【强烈推荐】广东省高考第一轮复习-圆锥曲线综合问题

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2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版强基版)：圆锥曲线中的综合问题全文

所以B→D＝(x1－2，y1)，B→E＝(x2－2，y2)，
则(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，
将x1＝ky1＋m，x2＝ky2＋m代入上式得
(k2＋1)y1y2＋k(m－2)(y1＋y2)＋(m－2)2＝0，
将
①
代
入
上
式
得
(k2＋
1)
m2－4 k2＋4
＋
k(m
－
2)
－k2＋2km4 ＋
(m
x1＋x2＝－8 267m，x1x2＝4m227－3， y1y2＝6x1x2＋ 6m(x1＋x2)＋m2＝24m2－3－2748m2＋27m2， ∵O→A·O→B＝0，∴x1x2＋y1y2＝0，代入根与系数的关系得 m2＝12，m＝±2 3，满足 Δ>0， ∴直线 l 的方程为 y＝ 6x±2 3.
4k2＋1
又直线 OP 的斜率为－－12－－00＝12，且直线 OP 与 MQ 不重合，
所以MQ∥OP.
题型二定点与定值
例 2 (2022·济南模拟)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A，B，点 P(0,2)，连接 PA，PB 交椭圆 C 于点 M，N，△PAB 为直角三角形，且|MN|＝35|AB|. (1)求椭圆的标准方程；
设经过点F且斜率为k(k≠0)的直线的方程为y＝kx＋1，与曲线C的方程联立得 y＝kx＋1， x32＋y42＝1，消去 y 整理得(4＋3k2)x2＋6kx－9＝0， Δ＝36k2＋4×9×(4＋3k2)＝144(1＋k2)>0恒成立，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则|MN|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2×4＋Δ3k2＝124＋1＋3kk22， x1＋x2＝－4＋6k3k2，

(广东专用)高考数学第一轮复习用书_第70课_圆锥曲线综合问题_文

第70课圆锥曲线综合问题1．（2012广州调研）设椭圆222:12x y M a +=(2)a >的右焦点为1F ，直线l ：222x a =-与x 轴交于点A ，若112OF AF +=0（其中O 为坐标原点）．（1）求椭圆M 的方程；（2）设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆N ：()2221x y +-=的任意一条直径（E 、F 为直径的两个端点），求PE PF ⋅的最大值．【解析】（1）由题设知，22(,0)2A a -，21(2,0)F a -，∵112OF AF +=0，∴112OFAF = 222222(2)2a a a -=--，解得62=a ．∴椭圆M 的方程为126:22=+y x M ．（2）设圆N ：()2221x y +-=的圆心为N ，则()()PE PF NE NP NF NP ⋅=-⋅-()()NF NP NF NP =--⋅-2221NP NF NP =-=-．从而求PE PF ⋅的最大值转化为求2NP 的最大值． ∵P 是椭圆M 上的任意一点，设()00,y x P ，∴1262020=+y x ，即202036y x -=． ∵点()2,0N ，∴()()121222020202++-=-+=y y x ．∵02,2y ⎡∈-⎣，∴当10-=y 时，2取得最大值12． ∴PE PF ⋅的最大值为11．2．（2012东城二模）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点1(1,0)F -，长轴长与短轴长的比是2（1）求椭圆的方程；（2）过1F 作两直线m ，n 交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，若m n ⊥，求证：11AB CD+为定值．【解析】（1）由已知得2222:221a b c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩．故所求椭圆方程为22143x y +=．证明：（2）由（1）知()11,0F -，当直线m 斜率不存在时，此时3,4AB CD ==，11AB CD +1173412=+=．当直线m 斜率存在时，设直线m 的方程为：(1)(0)y k x k =+≠．由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得 ()22223484120k x k x k +++-=．由于0∆>，设()()1122,,,A x y B x y ，则有2122834k x x k +=-+，212241234k x x k-=+， AB ==()2212134k k +=+．同理2212(1)34k CD k +=+． ∴11AB CD +()2234121k k +=++()2234121k k ++()()2271121k k +=+712=．综上，11AB CD +为定值712．3．（2012汕头一模）如图，已知椭圆222:1x C y a+=（1a >）的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：226270x y x y +--+=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且0AP AQ ⋅=，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【解析】（1）∵圆M ：226270x y x y +--+= ∴圆M 22(3)(1)3x y -+-=， ∴圆M 的圆心为(3,1)M∴(0,1)A ，(,0)F c ，221a c =+，∴直线AF 的方程为1xy c+=，即0x cy c +-=，∵直线AF 与圆M 相切，=a =∴椭圆C 的方程为2213x y +=．（2）由0AP AQ ⋅=，知AP AQ ⊥， ∴直线AP 与坐标轴不垂直，由(0,1)A ，可设直线AP 的方程为1y kx =+，则直线AQ 的方程为11(0)y x k k=-+≠，由22113y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：22(13)60k x kx ++=，解得0x =或2613kx k =-+， ∴P 的坐标为22266(,1)1313k k k k--+++，即222613(,)1313k k k k --++．将上式中的k 换成1k-，得22263(,)33k k Q k k -++． ∴直线l 的方程为22222222231363313()6633313k k k k k k y x k k k k k k ----++=-++++++，化简得直线l 的方程为241142k y x k -=-，因此直线l 过定点1(0,)2-．4．（2012广东高考）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率23e =，且椭圆C 上的点到(0,2)Q 的距离的最大值为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点,A B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由．【解答】（1）∵23c e a ==，∴2223c a =，∴2213b a =，设(,)P x y 是椭圆C 上任意一点，则22221x y a b+=，∴222222(1)3y x a a y b=-=-，∴22222||(2)3(2)PQ x y a y y =+-=-+-222(1)6y a =-+++当1b ≥时，当1y =-时，||PQ 263a +=， ∴3a =1,2b c ==当1b <时，22||6363PQ a b <++<，不合题意，∴椭圆C 的方程为22132x y +=．（2）在AOB ∆中，1OA OB ==，∴111sin sin 222AOB S OA OB AOB AOB ∆=⋅⋅∠=∠≤，当且仅当90AOB ∠=时，AOB S ∆有最大值12，∵当90AOB ∠=时，点O 到直线AB 的距离为22d =，2222m n =+，即222m n +=，① ∵点(,)M m n 在椭圆C 上，∴22132m n +=，② 由①②解得232m =，212n =，此时点62(2M ±．5．（2012韶关质检）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合，且截，倾斜角为45的直线l 过点F ．（1）求该椭圆的方程；（2）设椭圆的另一个焦点为1F ，问抛物线x y 42=上是否存在一点M ，使得M 与1F 关于直线l 对称，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由．【解析】（1）抛物线x y 42=的焦点为)0,1(F ，准线方程为1-=x ，∵ 椭圆的一个焦点F 与抛物线的焦点重合， ∴)0,1(F ，1c =．∴122=-b a ①，∴抛物线的准线与椭圆的交点为(1,)2-±，∴ 121122=+ba ， ② 由①、②解得12=b 或212-=b （舍去），从而2122=+=b a ．∴椭圆的方程为2212x y +=．（2）∵ 倾斜角为45的直线l 过点F ， ∴ 直线l 的方程为1-=x y ，由（1）知椭圆的另一个焦点为)0,1(1-F ，设),(00y x M 与1F 关于直线l 对称，则得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+=+-=⨯+-12)1(201110000x y x y ，解得⎩⎨⎧-==2100y x ，即)2,1(-M ．又)2,1(-M 满足x y 42=，故点M 在抛物线上．∴抛物线x y 42=上存在一点)2,1(-M ，使得M 与1F 关于直线l 对称．6．（2012广州二模）已知对称中心为坐标原点的椭圆1C 与抛物线2C ：24x y =有一个相同的焦点1F ，直线l ：2y x m =+与抛物线2C 只有一个公共点．(1)求直线l 的方程；(2)若椭圆1C 经过直线l 上的点P ，当椭圆1C 的长轴长取得最小值时，求椭圆1C 的方程及点P 的坐标．【解析】(1)由⎩⎨⎧=+=yx m x y 4,22，得0482=--m x x ．∵直线l 与抛物线2C 只有一个公共点，∴28440m ∆=+⨯=，解得4m =-． ∴直线l 的方程为24y x =-． (2)∵抛物线2C 的焦点为)1,0(1F ，∴椭圆1C 的两个焦点为)1,0(),1,0(21-F F ．设点)1,0(1F 关于直线l 的对称点为100(,)F x y '，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⨯=+-=⨯-.42221,1210000x y xy 解得⎩⎨⎧-==.1,400y x ∴点1(4,1)F '-．∴直线l 与直线12F F '：1y =-的交点为)1,23(0-P ．由椭圆的定义及平面几何知识得：椭圆1C 的长轴长1212122||||||||||4a PF PF PF PF F F ''=+=+≥=，其中当点P 与点0P 重合时，上面不等式取等号．∴当2a =时，椭圆1C 的长轴长取得最小值，其值为4．此时椭圆1C 的方程为13422=+x y ，点P 的坐标为)1,23(-．。

高考数学第一轮复习圆锥曲线的综合问题

圆锥曲线的综合问题●知识梳理分析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它自己重视于形象思想、推理运算和数形联合，综合了代数、三角、几何、向量等知识. 反应在解题上，就是依据曲线的几何特色准确地变换为代数形式，依据方程画出图形，研究几何性质. 学习时应娴熟掌握函数与方程的思想、数形联合的思想、参数的思想、分类与转变的思想等，以达到优化解题的目的.详细来说，有以下三方面：（ 1）确立曲线方程，本质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法 . 有时题设设计的特别隐蔽，这就要求仔细审题，发掘题目的隐含条件作为解题打破口 .（ 2）分析几何也能够与数学其余知知趣联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思想的灵巧性和多面性，能够顺利进行转变，即从一知识转变为另一知识.（ 3）分析几何与其余学科或本质问题的综合，主要表此刻用分析几何知识去解相关知识，详细地说就是经过成立坐标系，成立所研究曲线的方程，并经过方程求解往返答本质问题. 在这一类问题中“本质量”与“数学量”的转变是易犯错的地方，这是由于在座标系中的量是“数目” ，不单有大小还有符号 .●点击双基1. （ 2005 年春天北京， 5）设 abc ≠0，“ ac >0”是“曲线 ax 2+by 2=c 为椭圆”的 A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C. 充足必需条件D. 既不充足又不用要条件 2 2分析： ac >0 曲线 ax +by =c 为椭圆 .答案： B2. 到两定点 A （0， 0）， B （ 3， 4）距离之和为 5 的点的轨迹是A. 椭圆所在直线 C. 线段 ABD. 无轨迹分析：数形联合易知动点的轨迹是线段： = 4，此中 0≤ x ≤ 3.AB3答案： C3. 若点（ x ， y ）在椭圆 4x 2+y 2=4 上，则x y 的最小值为2B. － 1C.－23D. 以上都不对3分析：y的几何意义是椭圆上的点与定点（ 2， 0）连线的斜率 . 明显直线与椭圆相x2切时获得最值，设直线 = （－ 2）代入椭圆方程（ 4+k 2）x 2－4 2 +4 2－4=0.y k xk x k令 =0， k =± 23 .3∴ k min =－ 23 .3答案： C4. （ 2005 年春天上海， 7）双曲线 9 2－ 16 y 2=1 的焦距是 ____________.x分析：将双曲线方程化为标准方程得x2y221 21 ，－ 1 =1. ∴ a =9 ， b =16 19 16c 2=a 2+b 2= 1 + 1 =25 .9 16 144∴ c = 5， 2c = 5.126答案：565. （ 2004 年春天北京）若直线+ －3=0 与圆 x 2+ y 2=3 没有公共点，则mx ny系式为 ____________；以（ m ， n ）为点 P 的坐标，过点 P 的一条直线与椭圆公共点有 ____________个 .分析：将直线 mx +ny － 3=0 变形代入圆方程x 2+y 2=3，消去 x ，得（2+2） y 2－ 6 ny +9－3 2=0.m nm22令 <0 得 m +n <3.又 m 、n 不一样时为零，2 2∴ 0<m +n <3.223 ， | m |< 3 ，由 0<m +n <3，可知 | n |<m 、n 知足的关2 2 x y再由椭圆方程 a = 7 ， b = 3 可知公共点有 2 个.2 2答案： 0<m +n <3 2 ●典例分析【例 1】（2005 年春天北京， 18）如图， O 为坐标原点，直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 a 和 b （ a >0， b ≠ 0），且交抛物线 y 2=2px （p >0）于 M （ x 1， y 1），N （ x 2， y 2）两点 .lyMOa xb N（ 1）写出直线 l 的截距式方程；（ 2）证明： 1+1=1；y 1y 2 b （ 3）当 =2 时，求∠的大小 .a pMON分析：易知直线l 的方程为 x + y =1 ，欲证 1+1=1，即求 y1y 2 的值，为此只要aby 1 y 2by 1 y 22=2px 交点的纵坐标 . 由根与系数的关系易得 121 2的值，从而证得求直线 l 与抛物线 y y +y 、y y 1+ 1 = 1. 由 OM · ON =0 易得∠ MON =90° . 亦可由 k OM ·k ON =－ 1 求得∠MON =90° . y 1 y 2 b（ 1）解：直线 l 的截距式方程为x + y=1.a b①（ 2）证明：由①及 y 2=2 消去x可得by 2+2－2 =0.pxpaypab②点、的纵坐标 y 1、 y 2 为②的两个根，故 y 1+ 2=2 pa ， 1 y 2=－2. M Npab2 pa所以 1 + 1y 1 y 2 = b1== .y 1 y 2y 1 y 2 2 pa b （ 3）解：设直线 OM 、 ON 的斜率分别为k 1、 k 2，则 k 1=y 1，k 2=y 2.x 1 x 2当 a =2p 时，由（ 2）知， y 1y 2=－ 2pa =－ 4p 2，2222由 y 1 =2px 1， y 2 =2px 2，相乘得（ y 1y 2）=4p x 1 x 2，x 1x 2= ( y 1 y 2 ) 2 =( 4 p 2 ) 2=4p 2，4 p 2 4 p 2所以 ky 1 y 2 4 p 21k 2===－ 1.x 1 x 24 p 2所以 OM ⊥ ON ，即∠ MON =90° .评论：此题主要考察直线、抛物线等基本知识，考察运用分析几何的方法分析问题和解决问题的能力 .【例 2】（2005 年黄冈高三调研考题）已知椭圆C 的方程为x 2+ y 2=1（ a >b >0），双a 2b 2x 2 y 2121曲线a 2－b 2 =1 的两条渐近线为 l 、l ，过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l，使 l ⊥ l ，又 l 与l 2 交于 P 点，设 l 与椭圆 C 的两个交点由上至下挨次为A 、B . （以下列图）ylPl 2AOFx Bl 1（ 1）当 l 1 与 l 2 夹角为 60°，双曲线的焦距为4 时，求椭圆 C 的方程；（ 2）当 FA =λ AP 时，求 λ的最大值 .分析：（ 1）求椭圆方程即求、 b 的值，由l 1与l2的夹角为 60°易得b=3，由双曲aa3线的距离为 4 易得 a 2+b 2=4，从而可求得 a 、b .（ 2）由 FA =λ AP ，欲求 λ 的最大值，需求A 、P 的坐标，而 P 是 l 与 l 1 的交点，故需求 l 的方程 . 将 l 与 l 2 的方程联立可求得 P 的坐标，从而可求得点A 的坐标 . 将 A 的坐标代入椭圆方程可求得λ的最大值 .解：（ 1）∵双曲线的渐近线为 y =± bx ，两渐近线夹角为60°，a又 b<1，a∴∠ POx =30°，即 b=tan30 ° = 3.a3∴ a = 3 b .又 a 2+b 2=4，∴ a 2=3，b 2=1.故椭圆 C 的方程为x 22+y =1.3（ 2）由已知 l ： y = a（ x －c ），与 y = bx 解得 P （ a 2，ab），ba ccca 2abFA=cc） .由得（，λ APA11将 A 点坐标代入椭圆方程得（ c 2+λa 2）2+λ2a 4=（ 1+λ） 2a 2c 2. ∴（ e 2+λ） 2+λ2=e 2（ 1+λ） 2.∴ λ2= e4e 2 =－［（ 2－ e 2）+ 2 ］+3≤3－2 2 . e 222 e 2∴ λ的最大值为2 － 1.评论：此题考察了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用. 解决此题的难点是经过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想 . 此题是培育学生分析问题和解决问题能力的一道好题 .【例 3】设椭圆中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率= 3，已知点（0， 3）2 2到这个椭圆上的点的最远距离是 7 ，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P 的距离等于 7 的点的坐标 .分析：设椭圆方程为x2+ y2=1，由 e =3知椭圆方程可化为x 2+4y 2=4b 2，而后将距离a 2b 22转变为 y 的二次函数，二次函数中含有一个参数b ，在判断距离有最大值的过程中，要议论y =－ 1能否在 y 的取值范围内，最后求出椭圆方程和P 点坐标 .2解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是x2 y 2=1，此中 a ＞b ＞ 0 待定 .a+2b 2由 e 2c2=a 2b 2=1－（b2可知b1 e2 = 13 1 ，即 a =2b .=a 2 a 2a ） =4 =a222322y 229设椭圆上的点（ x ，y ）到点 P 的距离为 d ，则 d =x +（y － 2 ） =a （ 1－ b 2）+y － 3y + 4 =4b 2－3y 2－ 3y + 9 =－ 3（y + 1）2 +4b 2+3，此中－ b ≤ y ≤b .42假如b ＜1，则当y =－ b 时2（从而）有最大值，由题设得（7）2=（ + 3）2，由2ddb 2此得 b = 7 － 3＞ 1，与 b ＜ 1矛盾 .222所以必有 b ≥1成立，于是当 y =－127 222 2 时 d （从而 d ）有最大值，由题设得（） =4b +3，由此可得 b =1， a =2.故所求椭圆的直角坐标方程是x 2 +y 2=1.4由 y =－ 1及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点（－3 ，－ 1），点（3，－ 1）到222点 P 的距离都是7 .解法二：依据题设条件，设椭圆的参数方程是x =a cos θ，y =b sin θ，此中 a ＞ b ＞ 0 待定，0≤ θ＜ 2π，∵ e = 3，2 ∴ a =2b .设椭圆上的点（ x ， y ）到点 P 的距离为 d ，则d 2=x 2+（ y －3）2=a 2cos 2θ +（ b sin θ－3）2=－ 3b 2·（sin θ+1） 2+4b 2+3.222b假如1＞1，即 b ＜1272，则当 sin θ=－ 1 时， d （从而 d ）有最大值，由题设得（） =2b2（ +3） 2，由此得b =7－3＞1，与＜1矛盾 .b22 2b 2所以必有1≤1 成立，于是当 sin θ=－1时， d 2（从而 d ）有最大值，由题设得（7 ）2b2b2=4b 2+3.由此得 b =1， a =2. 所以椭圆参数方程x =2cos θ， y =sin θ.消去参数得 x2+y 2=1，由 sin θ=1 ，cos θ=±3知椭圆上的点（－ 3，－1），（ 3 ，4222－ 1）到 P 点的距离都是7 .2评论：此题表现认识析几何与函数、三角知识的横向联系，解答中要注意议论.深入拓展依据图形的几何性质，以P 为圆心，以 7 为半径作圆，圆与椭圆相切时，切点与P 的距离为7 ，此时的椭圆和切点即为所求. 读者不如一试 .x 2+（ y － 3） 2=7，提示：由2x 2+4 2=4 2，y b得 3y 2+3y － 9=4b 2－ 7，4由 =0 得 b 2=1，即椭圆方程为 x 2+4y 2=4.所求点为（－3，－ 1）、（ 3，－ 1） .22●闯关训练夯实基础1. （ 2005 年北京东城区目标检测）以正方形的相对极点、为焦点的椭圆，恰ABCD A C好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为102 B. 5 1A.3351D. 102C.22分析：成立坐标系，设出椭圆方程，由条件求出椭圆方程，可得e =102.2答案： D2. 已知 F 1（－ 3， 0）、F 2（3， 0）是椭圆x 2 + y 2＝ 1 的两个焦点， P 是椭圆上的点，当m n∠ F 1PF 2＝2π时，△ F 1PF 2 的面积最大，则有3=12， n =3=24 ， n =6 =6， n =3=12 ， n =62分析：由条件求出椭圆方程即得 m =12， n =3.答案： A3. （ 2005 年启东市第二次调研）设P （ 2 ，2 ）、P （－2 ，－ 2 ）， M 是双曲线12y = 1上位于第一象限的点，对于命题①| 2| － |1|=2；②以线段1为直径的圆与圆xMPMP2MPx 2+y 2=2 相切；③存在常数 b ，使得 M 到直线 y =－ x +b 的距离等于2| MP 1|. 此中全部正确命2题的序号是 ____________.分析：由双曲线定义可知①正确，②绘图由题意可知正确，③由距离公式及| MP 1| 可知正确 .答案：①②③4. （ 2004 年全国Ⅱ， 15）设中心在原点的椭圆与双曲线2 2－ 2 2=1 有公共的焦点，且xy它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是_________________.分析：双曲线中， a =1=b ，∴ F （± 1， 0）， e = c= 2 . ∴椭圆的焦点为（± 1， 0），2a离心率为2. ∴长半轴长为2 ，短半轴长为1.2∴方程为x 2+y 2=1.2答案： x 2+y 2=125. （ 1）试议论方程（ 1－k ） x 2+（ 3－k 2） y 2=4（ k ∈ R ）所表示的曲线；（ 2）试给出方程x 2 y2k+=1 表示双曲线的充要条件 .k 26 6k 2k 1解：（ 1） 3－ k 2>1－k >0 k ∈（－ 1， 1），方程所表示的曲线是焦点在x 轴上的椭圆；1－ k >3－ k 2>0 k ∈（－3 ，－ 1），方程所表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆； 1－k =3－k 2>0 k =－ 1，表示的是一个圆；（ 1－ k ）（ 3－ k 2） <0 k ∈（－∞，－ 3 ）∪（ 1， 3 ），表示的是双曲线； k =1， k =－3 ，表示的是两条平行直线； k = 3 ，表示的图形不存在 .（ 2）由（ k 2+k － 6）（ 6k 2－ k －1）<0（k +3）（ k －2）（ 3k +1）（ 2k － 1）<0 k ∈（－ 3，－ 1）∪（ 1，2）.326. （ 2003 年湖北八市模拟试题）已知抛物线y 2 =2px 上有一内接正△ AOB ，O 为坐标原点 .yAOxB（ 1）求证：点 A 、 B 对于 x 轴对称；（ 2）求△ AOB 外接圆的方程 .（ 1）证明：设 A （ x 1， y 1）、 B （ x 2， y 2），∵| |=|| ，∴x 2+ 22211=2+2.OAOByxy又∵ y 12=2px 1， y 22=2px 2， 22∴ x 2 － x 1 +2p （x 2－ x 1） =0，即（ x 2－x 1）（ x 1+x 2+2p ）=0.又∵ x 1、x 2 与 p 同号，∴ x 1+x 2+2p ≠ 0. ∴ x 2－ x 1=0，即 x 1=x 2. 由抛物线对称性，知点A 、B 对于 x 轴对称 .（ 2）解：由（ 1）知∠ AOx =30°，则y 2=2px ， x =6p ，y =3 x ∴y =2 3 p .3∴ A （ 6p ， 2 3 p ） .方法一：待定系数法， △ AOB 外接圆过原点 O ，且圆心在 x 轴上，可设其方程为 x 2+y 2+dx =0.将点 A （ 6p ， 2 3 p ）代入，得 d =－ 8p . 故△ AOB 外接圆方程为 x 2+y 2－ 8px =0.方法二：直接求圆心、半径，设半径为 r ，则圆心（ r ，0） .培育能力7. （理）（ 2004 年北京， 17）以下列图，过抛物线2=2px （ p ＞ 0）上必定点 P （x ， y ）y（＞ 0），作两条直线分别交抛物线于（1，1）、（ 2， 2） .yA xyB x y（ 1）求该抛物线上纵坐标为p的点到其焦点 F 的距离；2yPO AxB（ 2）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求是非零常数 .解：（ 1）当 y =p时， = p.2 x 8又抛物线 y 2=2px 的准线方程为x =－ p，2由抛物线定义得所求距离为p－（－ p） =5p.8 2 8（ 2）设直线 PA 的斜率为 k PA ，直线 PB 的斜率为22=2px ，由 y=2px ， y0 11相减得（ y 1－ y 0）（ y 1+y 0） =2p （ x 1－ x 0），故 ky 1y 0 =2 p（x ≠ x ） .PA1x 1 x 0 y 1 y 0y1y2的值，并证明直线AB的斜率y0 k PB.同理可得 k PB =2 p（ x 2 ≠ x 0）.y 2y 0由 PA 、 PB 倾斜角互补知 k PA =－ k PB ，即2 p 2 p，所以 y +y =－ 2y ，=－y 1y 0y 2 y 0 1 2 0故y1y 2=－ 2.y 0设直线 AB 的斜率为 k.AB22由 y 2 =2px 2， y 1 =2px 1，相减得（ y 2－ y 1）（ y 2+y 1） =2p （ x 2－ x 1），所以 k AB = y2y1= 2 p（ x 1≠ x 2） .x 2 x 1 y 1y 2将 y 1+y 2=－2y 0（ y 0＞ 0）代入得k AB =2 p =－ p，所以 k AB 是非零常数 . y 1 y 2 y 0（文）以下列图，抛物线对于x 轴对称，它的极点在座标原点，点（ 1，2）、（ 1， 1）、PA xyB （ x 2， y 2）均在抛物线上 .y PO AxB（ 1）写出该抛物线的方程及其准线方程；（ 2）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1+y 2 的值及直线 AB 的斜率 .解：（ 1）由已知条件，可设抛物线的方程为 y 2=2px . ∵点 P （ 1， 2）在抛物线上，∴ 22=2p ·1，得 p =2.故所求抛物线的方程是 y 2=4x ，准线方程是 x =－ 1. （ 2）设直线的斜率为 k PA ，直线的斜率为 k PB .PAPB则 k PA =y 12（ x 1≠ 1），k PB =y 22（ x 2≠ 1） .x 1 1x 2 1∵ PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴ k PA =－ k PB .由 A （x 1， y 1）、 B （ x 2， y 2）在抛物线上，得2y 1 =4x 1，①2y 2 =4x 2，②∴ y 12=－ y 2 2 .1 y 12 1 1 y 2 2 1 4 4∴ y 1+2=－（ y 2+2） . ∴ y 1+y 2=－ 4. 由①－②得直线 AB 的斜率y 2 y 14=－ 4） .=－ 1（ x ≠ xAB12x 2x 1 y 1 y 2 48.（ 2003 年北京东城区模拟试题）从椭圆 x2+ y 2 =1（ a ＞ b ＞ 0）上一点 M 向 x 轴作垂线，a 2b 2恰巧经过椭圆的左焦点 F 1，且它的长轴右端点A 与短轴上端点B 的连线 AB ∥ OM .（ 1）求椭圆的离心率；（ 2）若 Q 是椭圆上随意一点， F 2 是右焦点，求∠ F 1QF 2 的取值范围；（ 3）过 F 1 作 AB 的平行线交椭圆于 C 、 D 两点，若 | CD |=3 ，求椭圆的方程 .解：（ 1）由已知可设（－，），Mcy则有( c) 2y2a 2+=1.b2∵ M 在第二象限，∴ M （－ c ，b 2） .a又由 AB ∥ OM ，可知 k AB =k OM .∴－ b 2 =－ b. ∴b =c . ∴ a = 2 b .acac2a2（ 2）设 | F 1Q |= m ，| F 2Q |= n ，22则 m +n =2a ， mn ＞ 0.| F 1F 2|=2 c ，a =2c ，∴ cos ∠ 1 2= m 2 n 2 4c 2F QF2mn( m n) 22mn 4c 2 4a 2 4c2=2mn=2mn － 1= a 2 － 1≥ a 2 － 1= a 2 － 1=0.mn m n 2 a 2()2 当且仅当 m =n =a 时，等号成立 .故∠ F QF ∈［ 0， π ］.122（3）∵ ∥ ， CD =－ b=－ 2 .CD AB ka2设直线 CD 的方程为 y =－2（x +c ），2即 y =－2（ x +b ）.222x+ y =1，a 22b则消去 y ，整理得y =－2（x +b ）.2（ a 2+2b 2）x 2+2a 2bx － a 2b 2=0.设 C （x 1， y 1）、 D （ x 2， y 2），∵ a 2=2b 2，∴ x 1+x 2=－2a 2b =－ 4b 3=－ b ，a 22b 24b 2x 1· x 2=－a 2b 2 =－ 2b 4 =－ b 2.a 2 2b 24b 22∴ | CD |= 1 k 2| x 1－x 2|=1 k 2· (x 1x 2 )24x 1x 2=1 (2 ) 2 · ( b)22b 2=9b 2 =3.22∴ b 2=2，则 a 2=4.∴椭圆的方程为 x 2+ y 2 =1.4 2 研究创新9. （ 2005 年春天上海， 22）（ 1）求右焦点坐标是（ 2， 0），且经过点（－ 2，－ 2 ）的椭圆的标准方程 .（ 2）已知椭圆 C 的方程是 x 2 + y 2=1（ a >b >0）. 设斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 于 A 、Ba 2b 2两点，的中点为 . 证明：当直线 l 平行挪动时，动点在一条过原点的定直线上 .AB MM （ 3）利用（ 2）所揭露的椭圆几何性质，用作图方法找出下边给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.（ 1）解：设椭圆的标准方程为x2+y2 =1， a >b >0，a 2b 2 ∴ a 2=b 2+4，即椭圆的方程为x 2 +y2 =1.b 2 4 b 2∵点（－ 2，－2 ）在椭圆上，∴4+2 =1.b24 b 2解得 b2=4或 b2=－2（舍）.由此得 a2=8，即椭圆的标准方程为x2+ y2=1.8 4 （2）证明：设直线l的方程为y=kx +m，与椭圆 C的交点 A（ x， y）、B（ x ， y ），1122y=kx+m，则有x2+ y2=1.a 2b2222222222解得（ b+a k） x +2a kmx+a m－ a b =0.2222∵ >0，∴m<b+a k，即－ b 2 a 2 k 2<m< b 2 a 2 k 2.2a 2 km， y+y=kx +m+kx +m=b 22b 2m，则 x +x =－b2a 2k 2 a 2k 2121212∴ AB中点 M的坐标为（－a 2 km b2 mb2 a 2k 2，b 2a 2 k 2）.∴线段 AB的中点 M在过原点的直线b2x+a2ky=0上.（ 3）解：以下列图，作两条平行直线分别交椭圆于A、 B和 C、 D，并分别取 AB、 CD的中点 M、 N，连接直线MN；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于A、B 和11 C1、D1，并分别取 A1B1、C1D1的中点 M1、N1，连接直线 M1N1，那么直线 MN和 M1N1的交点 O即为椭圆中心 .C AMA1ON C1BM1DB1N 1●思悟小结在知识的交汇点处命题，是高考命题的趋向，而分析几何与函数、三角、数列、向量等知识的亲密联系，正是高考命题的热门，为此在学习时应抓住以下几点：1.客观题求解时应注意绘图，抓住波及到的一些元素的几何意义，用数形联合法去分析解决 .2.四点重视：①重视定义在解题中的作用；②重视平面几何知识在解题中的简化功能；③重视根与系数关系在解题中的作用；④重视曲线的几何特色与方程的代数特色的一致3. 注意用好以下数学思想、方法：.①方程思想；②函数思想；③对称思想；④参数思想；⑤转变思想；⑥分类思想.除上述几种常用数学思想外，整体思想、数形联合思想、主元分析思想、正难则反省想、结构思想等也是分析几何解题中不行缺乏的思想方法. 在复习中一定赐予足够的重视，真实发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提升简化计算能力.●教师下载中心教课点睛本节是圆锥曲线的综合应用，主假如曲线方程的运用、变量范围的计算、最值确实定等，解决这种问题的重点是依照分析几何自己的特色，找寻一个打破口，那么怎样找到解决问题的打破口呢？（1）联合定义利用图形中几何量之间的大小关系 . （ 2）成立目标函数，转变为求函数的最值问题 . （ 3）利用代数基本不等式 . 代数基本不等式的应用，常常需要创建条件，并进行奇妙的构想 . （ 4）联合参数方程，利用三角函数的有界性. 直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特色是均含有三角式 . 所以，它们的应用价值在于：①经过参数示曲线上点的坐标；②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、题.（5）结构一个二次方程，利用鉴别式≥ 0.拓展题例【例 1】（ 2005 年启东市第二次调研题）抛物线y2=4px（p>0）的准线与x 轴交于 M 点，过点 M作直线 l 交抛物线于 A、 B 两点.（ 1）若线段AB的垂直均分线交x 轴于 N（ x ，0），求证： x>3p；00（ 2）若直线l的斜率挨次为p，p2，p3，，线段AB的垂直均分线与x 轴的交点挨次为 N， N， N，，当0<p<1时，求111的值 .++ +123| N1N2 | | N2N3 || N10 N11 |（1）证明：设直线l方程为y=k（x+p），代入y2=4px.得 k2x2+（2k2p－4p）x+k2p2=0.=4（k2p－ 2p）2－ 4k2·k2p2>0，得 0<k2<1.令 A（x， y）、 B（ x ， y），则 x +x=－2k 2 p 4 p， y +y=k（x+x +2p） =4 p，112212k 21212kAB中点坐标为（ 2 p k 2 p ， 2 p ）.k 2k垂直均分线为y － 2 p=－1（x－ 2 p k 2 p） .AB k k k2令y =0，得x0= k 2 p 2 p= +2 p.k 2p2k由上可知 0<k2<1，∴x0>p+2p=3p.∴x0>3p.（2）解：∵l的斜率挨次为p，p2，p3，时，AB中垂线与x轴交点挨次为N1，N2，N3，（0<p<1） .∴点N的坐标为（2， 0）. +np 2n1| N n N n+1|=| （p+2）－（ p+2） |= 2(1p 2 )，p2n1p2n 1p 2n1θ简洁地表范围等问1p 2n 1| N n N n 1 |=，2(1 p 2 )13421p 3 (1 p 19 )所求的值为 2(1p 2 ) ［ p +p + +p ］ = 2(1 p) 2 (1p) .【例 2】（ 2003 年南京市模拟试题）已知双曲线： x 2－ y2=1（＞0，＞ 0）， B 是右C2 b 2a极点， F 是右焦点，点 A 在 x 轴正半轴上，且知足 | OA |、| OB | 、| OF | 成等比数列，过 F作双曲线 C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为 P .yDPEAB FxO l（ 1）求证： PA · OP =PA · FP ；（ 2）若 l 与双曲线 C 的左、右两支分别订交于点D 、E ，求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围 .（ 1）证法一：yDPEOABFlxl ： y =－ a（ x －c ） . b y =－ a（ x － c ），bby = x .解得（ a2，ab）. ∵ | OA | 、| OB | 、 | OF | 成等比数列，∴（ a2， 0）.ccc∴ PA =（ 0，－ab）， OP =（ a 2，ab），c cc b2，ab） .FP =（－cc∴ PA · OP =－a 2b 2， PA · FP =－a 2b 2.c 2c 2∴ PA · OP =PA · FP .证法二：同上得 P （ a 2，ab） .cc∴ PA ⊥x 轴，PA · OP － PA · FP =PA · OF =0.∴ PA · OP =PA · FP .y =－ a（x － c ），（ 2）解：bb 2x 2－ a 2y 2=a 2b 2.422a222∴ b x －（ x － c ） =a b ，即（ b 2－ a4） x 2+2 a4cx －（ a 4c 2+a 2b 2） =0.b 2b 2b 2a 4c 2 22)(2 a b∵ x 1· x 2=ba 4＜ 0，b 2b2∴ b 4＞ a 4，即 b 2＞ a 2，c 2－ a 2＞ a 2.∴ e 2＞ 2，即 e ＞ 2 .。

高考数学一轮复习讲义第58课时圆锥曲线的综合问题理

451课题：直线和圆锥曲线的综合问题考纲要求：1.理解数形结合的思想.2.了解圆锥曲线的简单应用. 教材复习1.对相交弦长问题及中点弦问题要正确运用“设而不求”，常结合韦达定理 .2.解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题.对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式△，注意直线与圆锥曲线相切必有一个公共点，对圆与椭圆来说反之亦对，但对双曲线和抛物线来说直线与其有一公共点，可能是相交的位置关系.有时借助图形的几何性质更为方便.3.涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用“点差法”，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法.4.直线与圆锥曲线相交的弦长计算：()1连结圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦；()2易求出弦端点坐标时用距离公式求弦长；()3一般情况下,解由直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组,得到关于x (或y )的一元二次方程,利用方程组的解与端点坐标的关系，结合韦达定理得到弦长公式：d ==2212))(11(y y k-+. 5.涉及垂直关系问题，一般是利用斜率公式及韦达定理求解，设()11,A x y 、()22,B x y ，()00,P x y 是直线与圆锥曲线的两个交点，O 为坐标原点，则OA OB ⊥⇔12120x x y y +=，AP BP ⊥⇔()()()()010201020x x x x y y y y -⋅-+-⋅-=6.解析几何解题的基本方法：数形结合法，以形助数，用数定形.常用此法简化运算.基本知识方法1.在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效.2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决. 可从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况.3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值. 典例分析：452考点一弦长问题问题1．设直线l 过双曲线2213y x -=的一个焦点，交双曲线于A 、B 两点，O 为坐标原点，若0OA OB ⋅=，求AB 的值.考点二焦点弦问题问题2．过抛物线22y px =（0p >）的焦点作一条直线交抛物线于()11,A x y 、()22,B x y ，两点，设直线的倾斜角为θ.求证：()1212y y p ⋅=-；()222sin pAB θ=考点三范围与最值问题问题3．（2010湖北）已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点()1,0F 的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(Ⅰ)求曲线C 的方程；（Ⅱ）是否存在正数m ，对于过点(),0M m 且与曲线C 有两个交点,A B 的任一直线，都有0FA FB <？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.453问题4．(2012浙江) 如图，椭圆C ：2222+1x y a b =(0a b >>)的离心率为12，其左焦点到点()2,1PO 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 求ABP △的面积取最大时直线l 的方程．454考点四定点定值问题问题5．(2013陕西)已知动圆过定点()4,0A , 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程；(Ⅱ) 已知点()1,0B -, 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.455问题6．(2011山东) 已知直线l 与椭圆C : 22132x y +=交于()11,P x y ，()22,Q x y 两不同点，且OPQ △的面积S =,其中Q 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值；（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求OM PQ ⋅的最大值；（Ⅲ）略.456考点五探索性问题问题7．（04湖北）直线l ：1y kx =+与双曲线C ：2221x y -=的右支交于不同的两点A 、B .（Ⅰ）求实数k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.课后作业：1.（07南通九校联考）过双曲线2212y x -=的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若4AB =，则满足条件的直线l 有 .A 2条 .B 3条 .C 4条 .D 无数条4572.已知双曲线C :2214y x -= ，过点P (1,1)作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有 .A 1 条 .B 2条 .C 3条 .D 4条3.（07北京海淀区）若不论k 为何值，直线()2y k x b =-+与直线221x y -=总有公共点，则b 的取值范围是.A ( .B ⎡⎣ .C ()2,2- .D []2,2-4.直线10kx y k -++=与椭圆2212516x y +=公共点的个数是.A 0 .B 1 .C 2 .D 随k 变化而改变5.椭圆122=+ny mx 与直线1=+y x 交于,M N 两点，MN 的中点为P ，且OP 的斜率为22，则n m 的值为 .A 22 .B 322 .C 229 .D 27326.已知椭圆2224x y+=，则以(1,1)为中点的弦的长度是.A.B.C.D7.若直线1y kx=+和椭圆22125x ym+=恒有公共点，则实数m的取值范围为8.过椭圆2222x y+=的一个焦点的直线交椭圆于P、Q两点,求POQ△面积的最大值9.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的左焦点为F，离心率为13e=，过F作直线l交椭圆于,A B两点，已知线段AB的中点到椭圆左准线的距离是6，则AB=45845910. 已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为F ，过F 作直线与椭圆相交于A 、B两点，若有2BF AF =，求椭圆离心率的取值范围.11.抛物线22y px =的顶点任意作两条互相垂直的弦OA 、OB求证：AB 交抛物线的对称轴上一定点.460走向高考：12.（06福建）已知双曲线12222=-by a x (0a >，0b >)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是.A (]1,2 .B ()1,2 .C [)2,+∞ .D ()2,+∞13.（06江西）P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，,M N 分别是圆()2254x y ++=和()2251x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为 .A 6 .B 7 .C 8 .D 914.(2013安徽) 已知直线y a =交抛物线2y x =于,A B 两点.若该抛物线上存在点C ，使得ABC ∠为直角，则a 的取值范围为15.（07全国Ⅰ）已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于,B D 两点，过2F 的直线交椭圆于,A C 两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．。

广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习圆锥曲线

圆锥曲线3414.F 1、F 2为双曲线C ：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的焦点，A 、B 分别为双曲线的左、右顶点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，且满足∠MAB=30°，则该双曲线的离心率为 .【答案】【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧=+=222c y x x ab y ，解得⎩⎨⎧==b y a x ，即交点M 的坐标),(b a ，连结MB ，则AB MB ⊥,即ABM ∆为直角三角形，由∠MAB=30°得33230tan 0===a b AB MB ，即2234,332a b a b ==，所以2222237,34a c a a c ==-，所以321,372==e e ，所以双曲线的离心率321=e .15.椭圆2222+1(0)x y a b a b=>>的离心率为3，若直线kx y =与其一个交点的横坐标为b ，则k 的值为A.1±B.2±C.33±D. 3±16.已知F 1，F 2是椭圆2222x y 1a b +=（a ＞b ＞0）的左、右焦点，点P 在椭圆上，且12F PF .2π∠=记线段PF 1与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的面积之比为1：2，则该椭圆的离心率等于A.23-B.233-C.423-D.31-17. 已知F 1（－1,0），F 2（1,0）为平面内的两个定点，该平面内的动点P 满足｜PF 1｜＋｜PF 2｜＝2，记点P 的轨迹为曲线E 。

（I ）求曲线E 的方程；（II ）设点O 为坐标原点，A ，B ，C 是曲线E 上的不同三点，且OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r＝0，（i ）证明：直线AB 与OC 的斜率之积为定值；（i i ）当直线AB 过点F 1时，求直线AB 、OC 与x 轴所围成的三角形的面积。

2020年高考文科数学一轮复习大题篇—圆锥曲线综合问题

2020年高考文科数学一轮复习大题篇—圆锥曲线综合问题【归类解析】题型一范围问题【解题指导】解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.【例】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 23－y 2＝1的离心率互为倒数，且直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围.【解】 (1)∵双曲线的离心率为233， ∴椭圆的离心率e ＝c a ＝32. 又∵直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点，∴右顶点为点(2,0)，即a ＝2，c ＝3，b ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1. (2)由题意可设直线的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－11＋4k 2，于是y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.又直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，故y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km x 1＋x 2＋m 2x 1x 2＝k 2，则－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0. 由m ≠0得k 2＝14，解得k ＝±12. 又由Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)>0，得0<m 2<2，显然m 2≠1(否则x 1x 2＝0，x 1，x 2中至少有一个为0，直线OM ，ON 中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾).设原点O 到直线的距离为d ，则S △OMN ＝12|MN |d ＝12·1＋k 2·|x 1－x 2|·|m |1＋k 2故由m 的取值范围可得△OMN 面积的取值范围为(0,1).【训练】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围. (1)【证明】设P (x 0，y 0)，A ⎝⎛⎭⎫14y 21，y 1，B ⎝⎛⎭⎫14y 22，y 2. 因为P A ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程⎝⎛⎭⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02，即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根.所以y 1＋y 2＝2y 0，所以PM 垂直于y 轴.(2)【解】由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20，所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0， |y 1－y 2|＝22y 20－4x 0. 所以△P AB 的面积S △P AB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝()322003244y x -.因为x 20＋y 204＝1(－1≤x 0<0)，所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4,5]，所以△P AB 面积的取值范围是⎣⎡⎦⎤62，15104. 题型二最值问题1 利用三角函数有界性求最值【解题指导】处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.【例】过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则|AF |·|BF |的最小值是【解】设直线AB 的倾斜角为θ，可得|AF |＝21－cos θ，|BF |＝21＋cos θ，则|AF |·|BF |＝21－cos θ×21＋cos θ＝4sin 2θ≥4. 2 数形结合利用几何性质求最值【例】在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点.若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，求实数c 的最大值为。

高三数学一轮复习圆锥曲线的综合问题

备考例题 3
已知
F1，F2
为椭圆x2＋y2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A a2 b2
是椭圆上位于第一象限内的一点，点
B
也在椭圆上，且满足O→A＋O→B＝
0(O 为坐标原点)，且A→F2·F→1F2＝0，若椭圆的离心率等于 2. 2
(1)求直线 AB 的方程；
(2)若△ABF2 的面积为 4 2，求椭圆的方程；
则 P 到直线 y＝ 2x 的距离为 2
|2
2cosθ－2 6
2sinθ|＝4 3
6|cos(θ＋π)|≤4 43
6＜4，故椭圆上不存在点 M 使△MAB 面积为 8
3.
2
题型四
圆锥曲线与其他知识交汇的问题
1－ky0－1＋ky0
∴kEF＝yxEE－－yxFF＝(1－kky
－k 0)2－(1＋ky
0)2
k2
k2
2
＝ k ＝－ 1 (定值)，－4ky0 2y0
k2 所以直线 EF 的斜率为定值.
题型二最值与范围问题
①正确理解圆锥曲线的定义、标思维提准方程；
示 ②联立方程组，对有关参数进行讨论.
[解] (1)∵F0(c,0)，F1(0， b2－c2)，F2(0，－ b2－c2)，
∴|F0F1|＝ (b2－c2)＋c2＝b＝1，
|F1F2|＝2 b2－c2＝1⇒c2＝3， 4
于是 a＝1 (x≥0) 7
所求“果圆”的方程为 y2＋4x2＝1 (x≤0)
.
m2 m2－1
(2)设 Q(x1，y1)， ∵P(m，y0)，P→F＝λF→Q，
2
1－m＝λ(x1－1)
∴2
，
－y0＝λy1

广东省天河地区高考数学一轮复习试题精选圆锥曲线03

圆锥曲线031.（本小题满分12分）已知点()0,1F ，直线l ：1y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且FQ FP QF QP ⋅=⋅．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）已知圆M 过定点()0,2D ，圆心M 在轨迹C 上运动，且圆M 与x 轴交于A 、B 两点，设1DA l =，2DB l =，求1221l l l l +的最大值。

【答案】（1）设(),P x y ，则(),1Q x -，∵QP QF FP FQ =u u u r u u u r u u u r u u u rgg ， ∴()()()()0,1,2,1,2y x x y x +-=--g g ．即()()22121y x y +=--，即24x y =，所以动点P 的轨迹C 的方程24x y =．（2）解：设圆M 的圆心坐标为(),M a b ，则24a b =． ①圆M 的半径为MD =圆M 的方程为()()()22222x a y b a b -+-=+-．令0y =，则()()22222x a b a b -+=+-，整理得，22440x ax b -+-=． ② 由①、②解得，2x a =±．不妨设()2,0A a -，()2,0B a +，∴1l =2l =．∴22212122112l l l l l l l l ++==== ③ 当0a ≠时，由③得，1221l l l l +==当且仅当a =± 当0a =时，由③得，12212l l l l +=．故当a =±1221l ll l +的最大值为 2.（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为4，设右焦点为1F ，离心率为e ．（1）若2e =，求椭圆的方程；（2）设A 、B 为椭圆上关于原点对称的两点，1AF 的中点为M ，1BF 的中点为N ，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上． ①证明点A 在定圆上；②设直线AB的斜率为k ，若k ≥e 的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）由e =，c =2，得a =b =2 , 所求椭圆方程为22184x y +=. …………………………………………（4分）（Ⅱ）设00(,)A x y ，则00(,)B x y --，故00+222x y M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00222x y N -⎛⎫- ⎪⎝⎭，.① 由题意，得0OM ON =u u u u r u u u rg. 化简，得2204x y +=，所以点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上. ……………（8分） ② 设00(,)A x y ，则002222200220022222222220000,1,111,(1)444y kx x k x x y k k a ba b a b x kx x y =⎧⎧⎪+=⎪⎪+=⇒⇒+=+⎨⎨⎪⎪+=⎩⎪+=⎩.将2c e a a ==，222244b a c e=-=-，代入上式整理，得2242(21)2 1.k e e e -=-+因为42210e e -+>，k 2>0，所以2210e ->，所以 422221321e e k e -+=-≥．化简，得422840,210.e e e ⎧-+⎪⎨->⎪⎩≥解之，得2142e <-≤1,e <故离心率的取值范围是1⎤⎥⎝⎦. …………………（12分）3.（本小题满分13分）已知椭圆M 的对称轴为坐标轴,离心率为,2且抛物线2y =的焦点是椭圆M 的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中点P 在椭圆M 上，O 为坐标原点. 求点O 到直线l 的距离的最小值．【答案】解：（I）由已知抛物线的焦点为0),故设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则22, 2.c e a b ====由得所以椭圆M 的方程为22 1.42x y +=……5分（II ）当直线l 斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，则由22,1.42y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得，222(12)4240k x kmx m +++-=， …………………6分222222164(12)(24)8(24)0k m k m k m ∆=-+-=+->， ①…………7分设A B P 、、点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则： 012012122242,()21212km mx x x y y y k x x m k k =+=-=+=++=++，…………8分由于点P在椭圆M上，所以2200142x y+=. ……… 9分从而2222222421(12)(12)k m mk k+=++，化简得22212m k=+，经检验满足①式.………10分又点O到直线l的距离为：2d===≥=………11分当且仅当0k=时等号成立………12分当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，从而点P的坐标为(2,0)(2,0)-或，直线l的方程为1x=±，所以点O到直线l的距离为1 . 所以点O到直线l的距离最小值为2. ………13分4.（本小题满分14分）已知点A是椭圆()22:109x yC tt+=>的左顶点，直线:1()l x my m=+∈R与椭圆C相交于,E F两点，与x轴相交于点B.且当0m=时，△AEF 的面积为163.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线AE，AF与直线3x=分别交于M，N两点，试判断以MN为直径的圆是否经过点B？并请说明理由.【答案】解：（Ⅰ）当0m=时，直线l的方程为1x=，设点E在x轴上方，由221,91x ytx⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得(1,(1,33E F-,所以3EF=.因为△AEF的面积为1164233⨯⨯=，解得2t=.所以椭圆C的方程为22192x y+=. …………………………………………………4分（Ⅱ）由221,921x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(29)4160m y my ++-=，显然m ∈R .…………………5分设1122(,),(,)E x y F x y , 则121222416,2929m y y y y m m --+==++，………………………………………………6分 111x my =+,221x my =+.又直线AE 的方程为11(3)3y y x x =++，由11(3),33y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩解得116(3,)3y M x +，同理得226(3,)3y N x +.所以121266(2,),(2,)33y y BM BN x x ==++u u u u r u u u r ,……………………9分又因为121266(2,)(2,)33y y BM BN x x ⋅=⋅++u u u u r u u u r12121212363644(3)(3)(4)(4)y y y y x x my my =+=+++++1212212124(4)(4)364()16my my y y m y y m y y +++=+++2222216(436)164164(29)3216(29)m m m m m -+-⨯+⨯+=-++22264576641285769m m m ---++=0=.…………………………13分所以BM BN ⊥u u u u r u u u r,所以以MN 为直径的圆过点B . …………………………………14分5.本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，动点P到两点(0)，0)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C ，直线l 过点(1,0)E -且与曲线C 交于A ，B 两点．（Ⅰ）求曲线C 的轨迹方程；（Ⅱ）是否存在△AOB 面积的最大值，若存在，求出△AOB 的面积；若不存在，说明理由.【答案】解.（Ⅰ）由椭圆定义可知，点P 的轨迹C是以(0)，0)为焦点，长半轴长为2 的椭圆．……………………………………………………………………………3分故曲线C 的方程为2214x y +=． …………………………………………………5分（Ⅱ）存在△AOB 面积的最大值. …………………………………………………6分因为直线l 过点(1,0)E -，可设直线l 的方程为 1x my =-或0y =（舍）．则221,4 1.x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得 22(4)230m y my +--=．…………………………………7分由22(2)12(4)0m m ∆=++>．设1122()()A x y B x y ，，，．解得124m y m +=+，224m y m -=+．则21||y y -=因为1212AOB S OE y y ∆=⋅-21==． ………………………10分设1()g t t t=+，t =t ≥．则()g t在区间)+∞上为增函数．所以()g t ≥．所以2AOB S ∆≤，当且仅当0m =时取等号，即max ()2AOB S ∆=．所以AOB S ∆的最大值为2．………………………………………………………………13分以下同。

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综上，
1 1 7 为定值． AB CD 12
3．（2012 汕头一模）如图，已知椭圆 C : 圆 M ： x y 6 x 2 y 7 0 相切．
2 2
x2 y 2 1 （ a 1 ）的上顶点为 A ，右焦点为 F ，直线 AF 与 a2
当直线 m 斜率不存在时，此时 AB 3, CD 4 ，
x1 x2
8k 2 4k 2 12 ，， x x 1 2 3 4k 2 3 4k 2
2
AB (1 k 2 )[ x1 x2 4 x1 x2 ]
2
12 1 k 2 8k 2 2 4k 2 12 ． 1 k [( ) 4 ] 3 4k 2 3 4k 2 3 4k 2 12(1 k 2 ) 同理 CD ． 3k 2 4 7 1 k 2 1 1 3 4k 2 3k 2 4 7 ∴ ． 2 2 2 AB CD 12 1 k 12 1 k 12 1 k 12
F1
y0 1 2 1, x0 则 y0 1 2 x0 4. 2 2 x0 4, 解得 ∴点 F1 (4, 1) ． y0 1.
当 b 1 时， | PQ | ∴椭圆 C 的方程为
x2 y 2 1． 3 2 （2）在 AOB 中， OA OB 1 ， 1 1 1 OA OB sin AOB sin AOB ， 2 2 2 1 当且仅当 AOB 90 时， S AOB 有最大值， 2 2 ∵当 AOB 90 时，点 O 到直线 AB 的距离为 d ， 2 1 2 2 2 ∴ ，即 m n 2 ，① 2 2 2 m n

∴当 y 0 1 时， NP 取得最大值 12 ． ∴ PE PF 的最大值为 11 ．
2

2．（2012 东城二模）已知椭圆（1）求椭圆的方程；
x2 y 2 1 a b 0 的左焦点 F1 (1, 0) ，长轴长与短轴长的比是 2 : 3 ． a 2 b2 1 1 为定值． AB CD
（2）过 F1 作两直线 m ， n 交椭圆于 A ， B ， C ， D 四点，若 m n ，求证：
2a : 2b 2 : 3 a 2 【解析】（1）由已知得 c 1 ，解得． b 3 a 2 b 2 c 2
故所求椭圆方程为
证明：（2）由（1）知 F1 1, 0 ，
x2 y 2 1． 3 （2）由 AP AQ 0 ，知 AP AQ ， ∴直线 AP 与坐标轴不垂直，由 A(0,1) ，可设直线 AP 的方程为 y kx 1 ， 1 则直线 AQ 的方程为 y x 1( k 0) ， k y kx 1 2 2 由 x2 ，整理得： (1 3k ) x 6kx 0 ， 2 y 1 3 6k 解得 x 0 或 x ， 1 3k 2 6k 6k 2 ∴ P 的坐标为 ( , 1) ， 1 3k 2 1 3k 2 6k 1 3k 2 即 ( , )． 1 3k 2 1 3k 2 1 6k k 2 3 将上式中的 k 换成，得 Q ( 2 , )． k k 3 k2 3 k 2 3 1 3k 2 2 2 6k k2 3 ∴直线 l 的方程为 y k 3 1 3k ( x 2 ， ) 2 6k 6k k 3 k 3 k 2 3 1 3k 2 4k 2 1 1 化简得直线 l 的方程为 y x ， 4k 2 1 因此直线 l 过定点 (0, ) ． 2
x2 y 2 1． 4 3
1 1 1 1 7 ． AB CD 3 4 12 当直线 m 斜率存在时，设直线 m 的方程为： y k ( x 1)( k 0) ． y k ( x 1) 2 2 2 2 由 x2 y 2 ，得 3 4k x 8k x 4k 12 0 ． 1 3 4 由于 0 ，设 A x1 , y1 , B x2 , y2 ，则有
2 2
∴圆 M 的圆心为 M (3,1) ，半径为 3 ． ∴ A(0,1) ， F (c, 0) ， a c 1 ，
2 2
∴直线 AF 的方程为即 x cy c 0 ，
x y 1， c
∵直线 AF 与圆 M 相切， ∴
3 c c 1 c2
3 ，∴ a 3 ，
a2 a2 2
与 x 轴交于点
（2）设 P 是椭圆 M 上的任意一点， EF 为圆 N ： x y 2 1 的任意一条直径（ E 、 F 为直径
2 2

a2
2
a 2 ∵ OF1 2 AF1 0 ，∴ OF1 2 AF1
∴ S AOB ∵点 M ( m, n) 在椭圆 C 上，∴
m2 n2 1 ，② 3 2 3 1 6 2 2 2 由①②解得 m ， n ，此时点 M ( , )． 2 2 2 2
x2 y 2 1(a b 0) 的一个焦点 F 与抛物线 y 2 4 x 的焦点重合，且截 a 2 b2 抛物线的准线所得弦长为 2 ，倾斜角为 45 的直线 l 过点 F ．
∴ a 2 2(
2
பைடு நூலகம்
, 0) ， F1 ( a 2 2, 0) ，
a2 a 2
2
a 2 2) ，解得 a 2 6 ．
x2 y2 1． 6 2 2 2 （2）设圆 N ： x y 2 1 的圆心为 N ，则 PE PF NE NP NF NP NF NP NF NP 2 2 2 NP NF NP 1 ． 2 从而求 PE PF 的最大值转化为求 NP 的最大值． ∵ P 是椭圆 M 上的任意一点，设 P x 0 , y 0 ，
（1）求椭圆 C 的方程；求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标．【解析】（1）∵圆 M ： x y 6 x 2 y 7 0
2 2
（2）若不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 相交于 P 、 Q 两点，且 AP AQ 0 ，
∴圆 M ( x 3) ( y 1) 3 ，
∴ | PQ |
x 2 ( y 2) 2 a 2 3 y 2 ( y 2) 2
2
2( y 1) 2 a 2 6 ，
当 b 1 时，当 y 1 时， | PQ | 有最大值 a 6 3 ， ∴a
3 ，∴ b 1, c 2 ， a 2 6 3b 2 6 3 ，不合题意，
y 2 x m,
2
x 4 y ∵直线 l 与抛物线 C2 只有一个公共点，
2
，得 x 8 x 4m 0 ．
2
∴ 8 4 4m 0 ，解得 m 4 ． ∴直线 l 的方程为 y 2 x 4 ． (2)∵抛物线 C2 的焦点为 F1 (0,1) ， ∴椭圆 C1 的两个焦点为 F1 (0,1), F2 (0,1) ．设点 F1 (0,1) 关于直线 l 的对称点为 F1 ( x0 , y0 ) ，
∴椭圆的方程为
y0 0 1 1 x0 1 x0 1 则得，解得，即 M (1,2) ． y 2 y 0 x ( 1 ) 0 0 0 1 2 2 2 又 M (1,2) 满足 y 4 x ，故点 M 在抛物线上． 2 ∴抛物线 y 4 x 上存在一点 M (1,2) ，使得 M 与 F1 关于直线 l 对称．
第 70 课
1．（2012 广州调研）设椭圆 M :
圆锥曲线综合问题
． A ，若 OF1 2 AF1 0 （其中 O 为坐标原点）（1）求椭圆 M 的方程；
的两个端点），求 PE PF 的最大值．【解析】（1）由题设知， A(
x2 y 2 1 (a 2) 的右焦点为 F1 ，直线 l ： x a2 2
5．（2012 韶关质检）已知椭圆（1）求该椭圆的方程；（2）设椭圆的另一个焦点为 F1 ，问抛物线 y 4 x 上是否存在一点 M ，使得 M 与 F1 关于直线 l 对称，
2
若存在，求出点 M 的坐标，若不存在，说明理由．【解析】（1）抛物线 y 4 x 的焦点为 F (1,0) ，
∴椭圆 M 的方程为 M :

x0 y 2 2 0 1 ，即 x0 6 3 y 0 ． 6 2 ∵点 N 0,2 ，
∴ ∴ NP x 0 y 0 2 2 y 0 1 12 ．
2 2 2 2
2
2
∵ y0 2, 2 ，
∴椭圆 C 的方程为
4．（2012 广东高考）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：且椭圆 C 上的点到 Q (0, 2) 的距离的最大值为 3 ．（1）求椭圆 C 的方程；
2 x2 y 2 ， 2 1(a b 0) 的离心率 e 2 3 a b
（2 ）在椭圆 C 上，是否存在点 M ( m, n) 使得直线 l ： mx ny 1 与圆 O ： x y 1 相交于不同的两
1 2 2 （舍去），从而 a b 1 2 ． 2
x2 y2 1． 2 （2）∵ 倾斜角为 45 的直线 l 过点 F ， ∴ 直线 l 的方程为 y x 1 ，由（1）知椭圆的另一个焦点为 F1 ( 1,0) ，设 M ( x 0 , y 0 ) 与 F1 关于直线 l 对称，