第6章§6.5含绝对值的不等式
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6.5含绝对值的不等式
4．不等式|2x2－1|≤1 的解集为( A ) A．{x|－1≤x≤1} C．{x|0≤x≤2} B．{x|－2≤x≤2} D．{x|－2≤x≤0}
解析 |2x2－1|≤1，即－1≤2x2－1≤1. 2x2≤2 ∴ 2 ⇒－1≤x≤1. 2x ≥0
5．已知 a，b∈R，ab>0，则下列不等式中不正确的是 ( C ) A．|a＋b|≥a－b C．|a＋b|<|a|＋|b|
(1)画出函数 y＝f(x)的图象； (2)若不等式 f(x)≤ax 的解集非空， a 的取值范围． 求
解
(1)由于
－2x＋5，x<2， f(x)＝ 2x－3，x≥2，
则函数 y＝f(x)的
图象如图所示．
(2)由函数 y＝f(x)与函数 y＝ax 的图象可知，当且仅当 1 a≥2或 a<－2 时， 函数 y＝f(x)与函数 y＝ax 的图象有交 点，故不等式 f(x)≤ax 的解集非空时，a 的取值范围为 1 (－∞，－2)∪2，＋∞.
2．两数和、差的绝对值的性质 |a|－|b|≤|a± b|≤|a|＋|b|. 提醒：特别注意此式，它是两数和、差的绝对值与 绝对值的和、差性质，应用此式求某些函数的最值 时一定要注意等号成立的条件． |a＋b|＝|a|＋|b|⇔ ab≥0 ； |a－b|＝|a|＋|b|⇔ ab≤0 ； |a|－|b|＝|a＋b|⇔(a＋b)b≤0 ； |a|－|b|＝|a－b|⇔ (a－b)b≥0 .
解析 ∵ab>0，∴a，b 同号，∴|a＋b|＝|a|＋|b|，
∴①和④正确．
(－4，－2)∪(0,2) 3．不等式 1<|x＋1|<3 的解集为__________________．
解析 由 1<|x＋1|<3，得 1<x＋1<3 或－3<x＋1<－1， ∴0<x<2 或－4<x<－2， ∴不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)．
第六章不等式介绍
第六章“不等式”简介颜其鹏《全日制普通高级中学教科书(试验本)·数学》第二册(上)的第六章内容为不等式，是根据《全日制普通高级中学教学大纲(供试验用)》(以下简称新大纲)必修课的不等式部分编写的。
本章教材是在初中介绍了不等式的概念，学习了一元一次不等式，一元一次不等式组的解法，高一学习了一元二次不等式，简单的分式不等式和含绝对值不等式的解法的基础上，研究了不等式的性质，不等式的证明和一些不等式的解法。
本章教学约需16课时，具体分配如下(仅供参考)：6．1不等式的性质约3课时6．2算术平均数与几何平均数约2课时6．3不等式的证明约5课时6．4不等式的解法举例约2课时6．5含有绝对值的不等式约2课时小结与复习约2课时一、内容与要求不等式主要研究数的不等关系。
它与数、式、方程、函数、三角等有密切的联系，在解决各类实际问题时也有广泛的应用。
因此，不等式是进一步学习数学的基础，是掌握现代科学技术的重要工具。
(一)本章的主要内容是不等式的基本性质，不等式的证明，一些不等式的解法和含有绝对值不等式的定理等与现行高中教材“不等式”相比，本章的内容有如下的变化。
l.解一元二次不等式，解简单的分式不等式和解简单的绝对值不等式等内容移到高一(上)第一章“集合与简易逻辑”中介绍。
2.删去了三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其应用。
3.删去了用数学归纳法证明不等式。
4.删去了解指数不等式和对数不等式。
5.增加了一些利用不等式解决实际问题的例习题。
(二)章头引言安排了一个实际问题——求一个长方体无盖贮水池的最低总造价。
这个问题是一个求函数的最小值的问题，可以用函数的知识来解决，但如果用算术平均数与几何平均数的定理，则很容易。
第一小节是“不等式的性质”。
教科书首先通过数形结合，给出了比较实数大小的方法，在这个基础上，给出了不等式的性质，一共讲了五个定理和三个推论，并给出了严格的证明。
不等式的其他性质，都可由它们推导出来，另外，本小节还增加了两个利用不等式的性质证明不等式的例题，这一方面有利于学生运用、掌握不等式的性质及其推论，另一方面，也为学生以后学习不等式的证明打下了基础。
含绝对值不等式的解法及应用 ppt
题型分类·深度剖析
题型二 与函数有关的绝对值不等式 思维启 迪 解 析 探究提 高
【例 2】 设函数 f(x)＝|x－1|＋|x－a|， (1)若 a＝－1，解不等式 f(x)≥3； (2)如果任意 x∈R，f(x)≥2， 求实数 a 的取值范围．
题型分类·深度剖析
题型二 与函数有关的绝对值不等式 思维启 迪 解 析 探究提 高
4．如果关于 x 的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1 的解集是全体实数，则实 数 a 的取值范围是 A．(－∞，3]∪[5，＋∞) C．[3,5] B．[－5，－3] D．(－∞，－5]∪[－3，＋∞)
• 。
(
)
2．若关于 x 的不等式|x－1|＋|x－3|≤a2－2a－1 在 R 上的解集为∅， 则实数 a 的取值范围是 A．a<－1 或 a>3 C．－1<a<2 B．－1<a<3 D．1<a<3 ( )
作业：写不等式强化练习：P293—294
再
见
谢 谢 大 家
f x g x f x g x 或f x g x
a f x bb a 0 a f x b或 b f x a
请讲出下列不等式 的解法
1 2 3x 2 3x
2 2 3x 5
由－2x＋12＝2 得 x＝5.由函数 f(x)图象可知，原不等式的解集为{x|x<5}．
学到这里，你能归纳出什么结论吗？
• .
x a x b的最值是？ 最小值是 b a ，无最大值
x a x b的最值是？ 最小值是 b a , 最大值是 b a
练习：P291——292 A组4， B组2、4、5
含绝对值的不等式课件
在物理中的应用
描述物理量的大小
在物理学中，许多物理量的大小受到绝对值的影响，例如速度、加速度、力等。通过绝 对值不等式，可以描述这些物理量的变化范对值不等式常被用于判断物理量的符号和大小，例如在解决力学 、电磁学和热力学问题时。
预测物理现象
通过建立绝对值不等式，可以预测某些物理现象的发生，例如在研究波动现象、流体动 力学和量子力学时。
绝对值不等式的定义
含绝对值符号的不等式，表示一个数 距离0的大小关系。
绝对值的定义
对于任意实数x，其绝对值表示为|x|， 若x≥0，则|x|=x；若x<0，则|x|=-x 。
绝对值不等式的解法
零点分段法
将数轴分为若干区间，分别去掉绝对值符号 ，转化为若干个不带绝对值符号的一元一次 不等式组进行求解。
$
f(x)| geq g(x)$：表示函数$f(x)$的绝对值大于或等于函 数$g(x)$，其中$f(x)$和$g(x)$是两个函数。
01
$
f(x)| < g(x)$：表示函数$f(x)$的绝对值 小于函数$g(x)$，其中$f(x)$和$g(x)$ 是两个函数。
02
03
$
f(x)| leq g(x)$：表示函数$f(x)$的绝 对值小于或等于函数$g(x)$，其中 $f(x)$和$g(x)$是两个函数。
05
含绝对值不等式的变种与 推广
变种形式的不等式
$
01
x| geq a$：表示$x$的绝对值大于或等于$a$，其中$a$是一个
常数。
$
02
x| < a$：表示$x$的绝对值小于$a$，其中$a$是一个常数。
$
03
x| leq a$：表示$x$的绝对值小于或等于$a$，其中$a$是一个
第六章 第五节 含绝对值的不等式
法一： 解：(1)法一：原不等式等价于 法一 x－x2－2＞x2－3x－4，或x－x2－2＜－ 2－3x－4)， － ＞ － ， － ＜－(x － ， ＜－ 解之得1－ 解之得 － ＜x＜1＋ ＜ ＋ ＞－3. ，或x＞－ ＞－
∴原不等式的解集为{x|x＞－ ． ＞－3}． 原不等式的解集为 ＞－ 法二： 法二：∵|x－x2－2|＝|x2－x＋2|＝x2－x＋2 － ＝ ＋ ＝ ＋ (∵x2－x＋2＞0)， ∵ ＋ ＞ ， ∴原不等式等价于x2－x＋2＞x2－3x－4⇔x＞－ 原不等式等价于 ＋ ＞ － ⇔ ＞－3. ＞－ ＞－3}． ∴原不等式的解集为{x|x＞－ ． 原不等式的解集为 ＞－
解不等式：|x＋3|－|2x－1|＜ 解不等式： ＋ － － ＜
＋1.
含有多个绝对值的不等式的解法是利用零点分区间 讨论法，将绝对值符号去掉，进而求解 讨论法，将绝对值符号去掉，进而求解.
＜－3时 原不等式化为－ ＋ － － 【解】 ①x＜－ 时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x) ＜－ ＜ ＜－3； ＋1，解得 ＜10，∴x＜－ ； ，解得x＜ ， ＜－ 时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)＜ 原不等式化为 ＋ － － ＜ ，∴－3≤x＜－ ＜－ ； ＋1， ，
已知f(x)＝ 定义在区间[0,1]上，x1， 已知 ＝x2－x＋c定义在区间 ＋ 定义在区间 上 ， x2∈[0,1]，且x1≠x2，证明： ∈ ， 证明： (1)f(0)＝f(1)； ＝ ； (2)|f(x2)－f(x1)|＜|x1－x2|； － ＜ ； (3)|f(x2)－f(x1)|≤ －
4．(2009·山东高考 不等式 －1|－|x－2|＜0的解集 ． 山东高考)不等式 山东高考 不等式|2x－ － － ＜ 的解集 为________． ． 解析：|2x－1|－|x－2|＜0⇔|2x－1|＜|x－2| 解析： － － － ＜ ⇔ － ＜ － ⇔(2x－1)2＜(x－2)2⇔4x2－4x＋1＜x2－4x＋4 － － ＋ ＜ ＋ ⇔3x2＜3⇔－1＜x＜1. ⇔ ＜ ＜ 答案： － 答案：(－1,1)
6.5 含绝对值的不等式
|f(2)|＝|4a＋2b＋c|＝|3f(1)＋f(－1)－3f(0)|≤3|f(1)|＋|f(－1)|＋3|f(0)|≤7. ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ － － ＋ － ＋ 此与f(2)＞ ＞ 此与 矛盾． 矛盾．
变式3.已知 ＝ 定义在区间[0,1]上，x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2， 变式 已知f(x)＝x2－x＋c定义在区间 已知 ＋ 定义在区间 上 ， 证明： 证明：(1)f(0)＝f(1)；(2)|f(x2)－f(x1)|<|x1－x2|； ＝ ； － ； (3)|f(x2)－f(x1)|< － ；(4)|f(x2)－f(x1)|≤ － .
上恒成立， 故|f(x)－g(x)|≤1在x∈[2,3]上恒成立，从而两函数是接近的． － 在 ∈ 上恒成立 从而两函数是接近的． 答案： 答案：B
2．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为 ．不等式 ＜ ＋ ＜ 的解集为 的解集为( A．(0,2) ． C．(－4,0) ．－
)
B．(－2,0)∪(2,4) ．－ ∪ D．(－4，－2)∪(0,2) ．－ ， ∪ 或 0＜x＜2或－4＜x＜－ ，故选 项． ＜－2，故选D项 ＜ ＜ 或 ＜ ＜－
(3)不妨设 2>x1，由(2)知|f(x2)－f(x1)|<x2－x1.① 不妨设x 不妨设 知 － ① 而由(1)知 ＝ 而由 知f(0)＝f(1)，从而 2)－f(x1)|＝|f(x2)－f(1)＋f(0)－f(x1)| ，从而|f(x － ＝ － ＋ － ≤|f(x2)－f(1)|＋|f(0)－f(x1)|<|1－x2|＋|x1|＝1－x2＋x1② － ＋ － － ＋ ＝ － ①＋②得2|f(x2)－f(x1)|<1，即|f(x2)－f(x1)|< . － ， － (4)|f(x2)－f(x1)|≤f(x)最大－f(x)最小＝f(0)－f( )＝ － － ＝ .
含绝对值不等式
f ( x) g( x) f ( x) g( x)或f ( x) g( x)
典型例题
例３、解不等法： （１）零点分段法；（通性通法） （２）几何意义法； （３）函数图象法．
典型例题
xa 例４、已知不等式 x 3 的解集为Ａ． 2 （１）若Ａ＝ 求实数a 的取值范围；
f ( x) a (a 0) a f ( x) a; f ( x) a (a 0) f ( x) a或f ( x) a
f ( x ) g( x ) f 2 ( x ) g 2 ( x )
3、零点分段法：如 ax b cx d k
若ab 0, 则 a b a b , a b a b
二、含绝对值不等式的解法： 1、等价转化法： 2、平方法：
f ( x) a (a 0) a f ( x) a; f ( x) a (a 0) f ( x) a或f ( x) a
【思维点拨】 １、需分别证明充分性和心要性； ２、通过分类讨论利用结论：
若ab 0, 则 a b a b , a b a b
若ab 0, 则 a b a b , a b a b
典型例题
例２、解不等式：
1 x 2x 2
2
【思维点拨】 本题有多种解法： （１）定义法； （２）等价转化法； （３）函数图象法. 注意： f ( x) g( x) g( x) f ( x) g( x);
高中数学第六章《不等式》 第 5 课
含绝对值不等式
问题:
a>b是a2>b2的什么条件？ 答案：既非充分又非必要条件.
知识梳理:
一、含绝对值不等式的证明：
典型例题
例３、解不等法： （１）零点分段法；（通性通法） （２）几何意义法； （３）函数图象法．
典型例题
xa 例４、已知不等式 x 3 的解集为Ａ． 2 （１）若Ａ＝ 求实数a 的取值范围；
f ( x) a (a 0) a f ( x) a; f ( x) a (a 0) f ( x) a或f ( x) a
f ( x ) g( x ) f 2 ( x ) g 2 ( x )
3、零点分段法：如 ax b cx d k
若ab 0, 则 a b a b , a b a b
二、含绝对值不等式的解法： 1、等价转化法： 2、平方法：
f ( x) a (a 0) a f ( x) a; f ( x) a (a 0) f ( x) a或f ( x) a
【思维点拨】 １、需分别证明充分性和心要性； ２、通过分类讨论利用结论：
若ab 0, 则 a b a b , a b a b
若ab 0, 则 a b a b , a b a b
典型例题
例２、解不等式：
1 x 2x 2
2
【思维点拨】 本题有多种解法： （１）定义法； （２）等价转化法； （３）函数图象法. 注意： f ( x) g( x) g( x) f ( x) g( x);
高中数学第六章《不等式》 第 5 课
含绝对值不等式
问题:
a>b是a2>b2的什么条件？ 答案：既非充分又非必要条件.
知识梳理:
一、含绝对值不等式的证明：
【学海导航】高三数学第一轮总复习6.5含有绝对值的不等式课件
10
拓展练习 若对一切实数x，不等式|x+1|+|x-
2|＞a恒成立，求实数a的取值范围.
解：设f(x)=|x+1|+|x-2|，
则f(x)＞a
f(x)］min＞a.
因为f(x)=|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3，
ห้องสมุดไป่ตู้
当且仅当(x+1)(x-2)≤0，即-1≤x≤2时取等号，
所以［f(x)］min=3.故a的取值范围是(-∞,3).
11
题型2 求含绝对值的不等式的解集
2. 解下列不等式：
(1)|x-x2-2|＞x2-3x-4;
(2)| 3x 1 |≤1(a＞- 1，为常数).
x-a
3
解：(1)解法1：原不等式等价于x-x2-2＞x2-
3x-4或x-x2-2＜-(x2-3x-4)，
所以0＜x＜1.
7
已知不等式|2x-t|+t-1＜0的解集为(- 1
2
, 1 )，则______.
2
解：依题意|2x-t|＜1-t，所以t-1＜2x-t＜
1-t，
即2t-1＜2x＜1，即t- 1 ＜x＜ 1 ,所以
2
2
t=0.
8
题型1 比较含绝对值的代数式的大小 1. 设f(x)= -x，已知|x-a|＜1，比较
盘点指南：①||a|-|b||;②|a|+|b|;③||a|-|b||;④
|a|+|b|;⑤a;⑥-a;⑦f2(x)≤g2(x); ⑧
f f
(x) (x)
g(x)
-g(x);⑨
f(x)≥g(x)或f(x)≤-g(x) .
拓展练习 若对一切实数x，不等式|x+1|+|x-
2|＞a恒成立，求实数a的取值范围.
解：设f(x)=|x+1|+|x-2|，
则f(x)＞a
f(x)］min＞a.
因为f(x)=|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3，
ห้องสมุดไป่ตู้
当且仅当(x+1)(x-2)≤0，即-1≤x≤2时取等号，
所以［f(x)］min=3.故a的取值范围是(-∞,3).
11
题型2 求含绝对值的不等式的解集
2. 解下列不等式：
(1)|x-x2-2|＞x2-3x-4;
(2)| 3x 1 |≤1(a＞- 1，为常数).
x-a
3
解：(1)解法1：原不等式等价于x-x2-2＞x2-
3x-4或x-x2-2＜-(x2-3x-4)，
所以0＜x＜1.
7
已知不等式|2x-t|+t-1＜0的解集为(- 1
2
, 1 )，则______.
2
解：依题意|2x-t|＜1-t，所以t-1＜2x-t＜
1-t，
即2t-1＜2x＜1，即t- 1 ＜x＜ 1 ,所以
2
2
t=0.
8
题型1 比较含绝对值的代数式的大小 1. 设f(x)= -x，已知|x-a|＜1，比较
盘点指南：①||a|-|b||;②|a|+|b|;③||a|-|b||;④
|a|+|b|;⑤a;⑥-a;⑦f2(x)≤g2(x); ⑧
f f
(x) (x)
g(x)
-g(x);⑨
f(x)≥g(x)或f(x)≤-g(x) .
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第5章 平面向量 章
双 基 研 习 · 面 对 高 考 考 点 探 究 · 挑 战 高 考
例1
解下列关于x的不等式． 解下列关于 的不等式． 的不等式
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第5章 平面向量 章
双 基 研 习 · 面 对 高 考 考 点 探 究 · 挑 战 高 考
(3)同解变形法，其同解定理有： 同解变形法，其同解定理有： 同解变形法 ①|x|≤a⇔－a≤x≤a(a≥0)； ≤ ⇔ ≤ ≤ ≥ ； ≥ 或 ≤ ≥ ； ②|x|≥a⇔________________ (a≥0)； ≥ ⇔ x≥a或x≤－a ③|f(x)|≤g(x)⇔－g(x)≤f(x)≤g(x)(g(x)≥0)； ≤ ⇔ ≤ ≤ ≥ ； ④ |f(x)|≥g(x) ⇔ f(x)≥g(x) 或 f(x)≤ － ≥ ≥ ≤ g(x)(g(x)≥0)． ≥ ．
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第5章 平面向量 章
双 基 研 习 · 面 对 高 考 考 点 探 究 · 挑 战 高 考
(2)法一 ： |x＋ 1|>|x－ 3|， 法一： ＋ 法一 － ， 2 2 两边平方得(x＋ 两边平方得 ＋ 1) >(x－ 3) ， ∴ 8x>8，∴ x>1. － ， ∴原不等式的解集为{x|x>1}． 原不等式的解集 为 ． 法二： 法二：分段讨论 x≤ x－ 1>－ x＋ 3， x∈ 当 x≤－1 时，有－ x－ 1>－ x＋ 3，此时 x∈∅； 当 － 1<x≤ 3 时 ， 有 x＋ 1>－ x＋ 3， 此 时 ≤ ＋ － ＋ ， 1<x≤ 3； ≤ ； 当 x>3 时，有 x＋ 1>x－3 成立，∴ x>3. ＋ － 成立， 原不等式解集为∅ ∴ 原不等式解集为 ∅∪ {x|1＜ x≤ 3}∪{x|x＞ 3} ＜ ≤ ∪ ＞ ＝ {x|x>1}． ．
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双 基 研 习 · 面 对 高 考 考 点 探 究 · 挑 战 高 考
2．绝对值不等式的性质 ． 基本性质|a|－ ≤ ＋ ≤ 基本性质 －|b|____|a＋b|_____|a|＋|b|， ＋ ， 推论(1)|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|， 推论 ≤ ＋ ＋ ， 推论(2)|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|. － ≤ － ≤ ＋ 推论
主要利用性质： － 主要利用性质：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适 ± ＋ ， 当的添项、拆项进行放缩． 当的添项、拆项进行放缩． 定义在区间[0,1]上 ， x1 已知f(x)＝ x2 － x＋ c定义在区间 ＋ 定义在区间 上 ＝ 例2 已知 求证： ，x2∈[0,1]，且x1≠x2，求证： ， (1)f(0)＝f(1)； ＝ ； (2)|f(x2)－f(x1)|<|x1－x2|. － 思路分析】 计算f(0)和f(1)． 【思路分析】 (1)计算 计算 和 ． (2)代入 2)， f(x1)→ 作差化简 2)－ f(x1)→ 放大 代入f(x ， 代入 → 作差化简f(x － → 到|x1－x2|.
) B．{x|0<x<1} ． D． {x|x<0} ．
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答案： 答案：D
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第5章 平面向量 章
双 基 研 习 · 面 对 高 考 考 点 探 究 · 挑 战 高 考
3．设 ab>0，下面四个不等式中，正确的是 ． ，下面四个不等式中， ( ) ① |a＋ b|>|a|；② |a＋ b|<|b|；③ |a＋ b|<|a－ b|； ＋ ； ＋ ； ＋ － ； ④ |a＋ b|>|a|－ |b| ＋ － A．①和② B．①和③ ． ． C．①和④ D．②和④ ． ．
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第5章 平面向量 章
双 基 研 习 · 面 对 高 考 考 点 探 究 · 挑 战 高 考
名师点评】 【名师点评】
去掉绝对值号， 去掉绝对值号，要根据题目特点
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第5章 平面向量 章
思考感悟
双 基 研 习 · 面 对 高 考 考 点 探 究 · 挑 战 高 考
2．|x－a|±|x－b|的几何意义是什么？ ． － ± － 的几何意义是什么 的几何意义是什么？ 提示： 提示： |x－a|＋|x－b|几何意义表示：数轴上的 － ＋ － 几何意义表示： 几何意义表示
双 基 研 习 · 面 对 高 考 考 点 探 究 · 挑 战 高 考
基础梳理
1．绝对值不等式的解法 ． 解绝对值不等式的思路是去绝对值的符号， 解绝对值不等式的思路是去绝对值的符号， 去绝 对值符号的方法有
a － a
( a≥ 0)， ≥ ) ( a<0). )
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第5章 平面向量 章
双 基 研 习 · 面 对 高 考 考 点 探 究 · 挑 战 高 考
思考感悟 1．在|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中，“＝”成立的条件 ． － ± ＋ 中 ＝ 成立的条件 是什么？ 是什么？ 提示： 不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝ 提示： 不等式 － ＋ ＋ ，右侧 ＝ ”成立的条件是 成立的条件是ab≥0，左侧 ＝”成立的条件是 成立的条件是 ，左侧“＝ 成立的条件是 ab≤0且|a|≥|b|.不等式 －|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧 不等式|a|－ 且 不等式 － ＋ ， “＝”成立的条件是 成立的条件是ab≤0，左侧 ＝”成立的条件是 ＝ 成立的条件是 ，左侧“＝ 成立的条件是 ab≥0且|a|≥|b|. 且
答案： 答案：C
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第5章 平面向量 章
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4．若关于 的不等式 ＋2|<6的解集为 －1,2)， ．若关于x的不等式 的不等式|ax＋ 的解集为(－ 的解集为 ， 则实数a的值等于 则实数 的值等于________． 的值等于 ． 答案：－ 答案：－4 ：－ 5 ． 不 等 式 |x ＋ log3x|<|x| ＋ |log3x| 的 解 集 为 ________． ． 答案： 答案：(0,1)
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第5章 平面向量 章
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§6.5 含绝对值的不等式
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6.5 含 绝 对 值 的 不 等 式
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考点探究· 考点探究·挑战高考
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考点突破 绝对值不等式的解法 解含绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值． 解含绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值． 常用的方法有： 由定义分段讨论 由定义分段讨论； 利用绝 常用的方法有：(1)由定义分段讨论；(2)利用绝 对值不等式的性质； 平方 平方． 对值不等式的性质；(3)平方．
(1)|x－x2－2|>x2－3x－4. － － (2)|x＋1|>|x－3|. ＋ － 思路分析】 【 思路分析 】 对于(1)可由 对于 可由|f(x)|>g(x)的形式去 可由 的形式去
绝对值，也可以讨论x－ 的正负． 绝对值，也可以讨论 －x2－2的正负．对于 可 的正负 对于(2)可 平方，也可分段讨论． 平方，也可分段讨论．
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到点a的距离与点 到点b的距离之和 点x到点 的距离与点 到点 的距离之和；|x－a| 到点 的距离与点x到点 的距离之和； － 表示： 到点a的距离减去点 到点b的 －|x－b|表示：点x到点 的距离减去点 到点 的 － 表示 到点 的距离减去点x到点 距离所得的差． 距离所得的差．
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x＋ 1 ＋ 2．不等式 |<1 的解集为 的解集为( ．不等式| x－ 1 － A．{x|0<x<1}∪ {x|x>1} ． ∪ C． {x|－ 1<x<0} ． －
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例1
解下列关于x的不等式． 解下列关于 的不等式． 的不等式
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(3)同解变形法，其同解定理有： 同解变形法，其同解定理有： 同解变形法 ①|x|≤a⇔－a≤x≤a(a≥0)； ≤ ⇔ ≤ ≤ ≥ ； ≥ 或 ≤ ≥ ； ②|x|≥a⇔________________ (a≥0)； ≥ ⇔ x≥a或x≤－a ③|f(x)|≤g(x)⇔－g(x)≤f(x)≤g(x)(g(x)≥0)； ≤ ⇔ ≤ ≤ ≥ ； ④ |f(x)|≥g(x) ⇔ f(x)≥g(x) 或 f(x)≤ － ≥ ≥ ≤ g(x)(g(x)≥0)． ≥ ．
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(2)法一 ： |x＋ 1|>|x－ 3|， 法一： ＋ 法一 － ， 2 2 两边平方得(x＋ 两边平方得 ＋ 1) >(x－ 3) ， ∴ 8x>8，∴ x>1. － ， ∴原不等式的解集为{x|x>1}． 原不等式的解集 为 ． 法二： 法二：分段讨论 x≤ x－ 1>－ x＋ 3， x∈ 当 x≤－1 时，有－ x－ 1>－ x＋ 3，此时 x∈∅； 当 － 1<x≤ 3 时 ， 有 x＋ 1>－ x＋ 3， 此 时 ≤ ＋ － ＋ ， 1<x≤ 3； ≤ ； 当 x>3 时，有 x＋ 1>x－3 成立，∴ x>3. ＋ － 成立， 原不等式解集为∅ ∴ 原不等式解集为 ∅∪ {x|1＜ x≤ 3}∪{x|x＞ 3} ＜ ≤ ∪ ＞ ＝ {x|x>1}． ．
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2．绝对值不等式的性质 ． 基本性质|a|－ ≤ ＋ ≤ 基本性质 －|b|____|a＋b|_____|a|＋|b|， ＋ ， 推论(1)|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|， 推论 ≤ ＋ ＋ ， 推论(2)|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|. － ≤ － ≤ ＋ 推论
主要利用性质： － 主要利用性质：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适 ± ＋ ， 当的添项、拆项进行放缩． 当的添项、拆项进行放缩． 定义在区间[0,1]上 ， x1 已知f(x)＝ x2 － x＋ c定义在区间 ＋ 定义在区间 上 ＝ 例2 已知 求证： ，x2∈[0,1]，且x1≠x2，求证： ， (1)f(0)＝f(1)； ＝ ； (2)|f(x2)－f(x1)|<|x1－x2|. － 思路分析】 计算f(0)和f(1)． 【思路分析】 (1)计算 计算 和 ． (2)代入 2)， f(x1)→ 作差化简 2)－ f(x1)→ 放大 代入f(x ， 代入 → 作差化简f(x － → 到|x1－x2|.
) B．{x|0<x<1} ． D． {x|x<0} ．
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答案： 答案：D
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3．设 ab>0，下面四个不等式中，正确的是 ． ，下面四个不等式中， ( ) ① |a＋ b|>|a|；② |a＋ b|<|b|；③ |a＋ b|<|a－ b|； ＋ ； ＋ ； ＋ － ； ④ |a＋ b|>|a|－ |b| ＋ － A．①和② B．①和③ ． ． C．①和④ D．②和④ ． ．
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名师点评】 【名师点评】
去掉绝对值号， 去掉绝对值号，要根据题目特点
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思考感悟
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2．|x－a|±|x－b|的几何意义是什么？ ． － ± － 的几何意义是什么 的几何意义是什么？ 提示： 提示： |x－a|＋|x－b|几何意义表示：数轴上的 － ＋ － 几何意义表示： 几何意义表示
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基础梳理
1．绝对值不等式的解法 ． 解绝对值不等式的思路是去绝对值的符号， 解绝对值不等式的思路是去绝对值的符号， 去绝 对值符号的方法有
a － a
( a≥ 0)， ≥ ) ( a<0). )
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思考感悟 1．在|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中，“＝”成立的条件 ． － ± ＋ 中 ＝ 成立的条件 是什么？ 是什么？ 提示： 不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝ 提示： 不等式 － ＋ ＋ ，右侧 ＝ ”成立的条件是 成立的条件是ab≥0，左侧 ＝”成立的条件是 成立的条件是 ，左侧“＝ 成立的条件是 ab≤0且|a|≥|b|.不等式 －|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧 不等式|a|－ 且 不等式 － ＋ ， “＝”成立的条件是 成立的条件是ab≤0，左侧 ＝”成立的条件是 ＝ 成立的条件是 ，左侧“＝ 成立的条件是 ab≥0且|a|≥|b|. 且
答案： 答案：C
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4．若关于 的不等式 ＋2|<6的解集为 －1,2)， ．若关于x的不等式 的不等式|ax＋ 的解集为(－ 的解集为 ， 则实数a的值等于 则实数 的值等于________． 的值等于 ． 答案：－ 答案：－4 ：－ 5 ． 不 等 式 |x ＋ log3x|<|x| ＋ |log3x| 的 解 集 为 ________． ． 答案： 答案：(0,1)
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考点突破 绝对值不等式的解法 解含绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值． 解含绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值． 常用的方法有： 由定义分段讨论 由定义分段讨论； 利用绝 常用的方法有：(1)由定义分段讨论；(2)利用绝 对值不等式的性质； 平方 平方． 对值不等式的性质；(3)平方．
(1)|x－x2－2|>x2－3x－4. － － (2)|x＋1|>|x－3|. ＋ － 思路分析】 【 思路分析 】 对于(1)可由 对于 可由|f(x)|>g(x)的形式去 可由 的形式去
绝对值，也可以讨论x－ 的正负． 绝对值，也可以讨论 －x2－2的正负．对于 可 的正负 对于(2)可 平方，也可分段讨论． 平方，也可分段讨论．
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到点a的距离与点 到点b的距离之和 点x到点 的距离与点 到点 的距离之和；|x－a| 到点 的距离与点x到点 的距离之和； － 表示： 到点a的距离减去点 到点b的 －|x－b|表示：点x到点 的距离减去点 到点 的 － 表示 到点 的距离减去点x到点 距离所得的差． 距离所得的差．
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x＋ 1 ＋ 2．不等式 |<1 的解集为 的解集为( ．不等式| x－ 1 － A．{x|0<x<1}∪ {x|x>1} ． ∪ C． {x|－ 1<x<0} ． －