高等数学基本图形
高等数学公式大全及常见函数图像
高等数学公式大全及常见函数图像文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）高等数学公式导数公式： 基本积分表：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数的有理式积分：一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式：·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(·倍角公式： ·半角公式： ·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： 中值定理与导数应用： 曲率：定积分的近似计算： 定积分应用相关公式： 空间解析几何和向量代数： 多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx y x x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。
高等数学中的基本图形
常见曲线 y x2 sin 1
x
y x2 y x2 sin 1 x
o
y x2
y=x2 sin(1/x)
7
常见曲线 y sin x
x
o
y=sinx/x
8
常见曲线 y sin x, y x, y tan x
o
y=sinx, y=x, y=tanx
9
常见曲线
y
1
1 x
x
ye
o
y= (1+1/x)2
10
箕舌线
y
8a 3 x2 4a2
2a
a o
11
蔓叶线 y2 2a x x3
oa
2a
12
阿基米德螺线 r a
o
13
对数螺线 r ea
o
14
2
2
2
星形线 x 3 y 3 a 3
x a cos3 ,
y
a
sin3
.
o
15
三叶玫瑰线 r a sin 3
o
16
三叶玫瑰线 r a cos 3
o
17
四叶玫瑰线 r a sin 2
o
18
四叶玫瑰线 r a cos 2
o
19
心形线 r a(1 cos )
o
20
心形线 r a(1 cos )
o
21
伯努利双纽线 r2 a2 cos 2
o
22
伯努利双纽线 r 2 a2 sin 2
o
23
x2 y2 a2 b2 1
25
旋转抛物面 z x2 y2
26
圆锥面 z2 x2 y2
高等数学(绪论)
基本原理是高等数学的核心，需要熟 练掌握。在学习过程中，要注重对定 理、公式的推导和证明，理解其逻辑 和证明过程。
多做习题，培养解题能力
做习题
通过大量练习习题，可以加深对知识点 的理解和掌握，培养解题能力和技巧。 在练习过程中，要注重对题目的理解和 分析，掌握解题思路和方法。
VS
解题能力
推理思维的培养需要学生注重观察和实验，从具体问题中寻找规律和线索，通过归纳和总结得出一般 性的结论。同时，学生还需要注重培养自己的创造性思维，能够从不同角度和思路出发进行思考和探 索。
04
高等数学的学习方法
理解概念，掌握基本原理
理解概念
高等数学中的概念通常比较抽象，需 要深入理解。在学习过程中，要注重 对概念的解释和推导，理解其本质含 义和应用场景。
05
高等数学的重要性和意义
对其他学科的影响
物理学
高等数学提供了描述物理现象和规律的数学语言， 如微积分、线性代数和微分方程等。
工程学
高等数学是解决复杂工程问题的关键工具，如流 体力学、结构力学和航空航天工程等。
经济学
高等数学在经济学中广泛应用，如统计分析、计 量经济学和决策理论等。
对个人发展的影响
高等数学是大学理工科、经济学、管 理学等学科的重要基础课程，对于培 养学生的逻辑思维、分析问题和解决 问题的能力具有重要意义。
高等数学的应用领域
物理学 高等数学在物理学中有广泛应用， 如力学、电磁学、光学等领域都 需要用到高等数学的知识。
计算机科学 计算机科学中，高等数学主要用 于算法设计、数据结构、图像处 理等领域，有助于提高计算机科 学和技术的水平。
联系
高等数学与初等数学有着密切的联系，初等数学是高等数学的基础。高等数学中的许多概念和方法都 是在初等数学的基础上发展起来的，同时高等数学也为解决初等数学中的问题提供了更为深入和有效 的方法。
大学高等数学2平面图形的面积 旋转体的体积计算
为所求量U的元素。 应用定积分的元素法解决问题时，关键在于确定积分元素
f(x)dx 和积分区间[a ,b]。
◆直角坐标系下的平面图形的面积（演示）
1、 由x=a ， x= b ,y=0 及 y= f (x) 所围成的平面图形的面积为
◆定积分的元素法
复习曲边梯形的面积计算方法（演示）
定积分的元素法分析（演示）
定积分的元素法（演示） 一般地：若所求量U与变量的变化区间[a , b]有关，且关于
[a , b]具有可加性，在[a , b]中的任意一个小区间[x , x+dx]上 找出部分量的近似值dU=f(x)dx,得所求量的定积分表达式
4
t
cos2
t
dt
3a2
2 sin2 2t sin2 t dt
0
3a2
2
2 1 cos 4t 1 cos t dt
40
偶次方化倍角
3a2
2 1 cos 4t
cos t
cos 4t cos t dt
...
3a2
40
8
◆旋转体的体积
旋转体的概念——平面图形绕同一平面上某一定直线（旋转轴） 旋转一周所得的立体（演示）。
一周而成的立体的体积。
解 如图所示
Vy V1 V2
1 0
x12dy
1
0
x2
2
dy
1
ydy
1 y4dy 3
0
0
10
V1
V2
返回
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
1 y x3, x 1, y 0
高等数学平面与直线
注意事项：在使用点斜式方程时，需要确保已知点和斜率是正确的， 否则可能会得到错误的结果。
直线方程的应用
解析几何：用 于研究几何图 形的形状、大 小和位置关系
物理学应用：在 物理中，直线方 程可以用来描述 力、速度、加速 度等物理量的变
化规律
经济学应用：在 经济学中，直线 方程可以用来描 述成本、收益、 效用等经济变量
垂直关系
平面与直线垂直的定义： 直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则该直 线与该平面垂直。
垂直关系的判定定理： 如果一个平面内的两条 相交直线与另一个平面 垂直，则这两个平面垂 直。
垂直关系的性质：如 果两个平面垂直，则 其中一个平面内的直 线与另一个平面垂直。
垂直关系的ห้องสมุดไป่ตู้用：在几 何学、物理学和工程学 等领域中，垂直关系都 有着广泛的应用。
直线方程的表示： 点斜式、两点式和 截距式
直线方程的求解： 通过已知点坐标和 斜率求解直线方程
直线方程的应用： 求解交点、距离和 角度等问题
平面与直线的度量关系
距离公式
平面与直线之间的距离公式 公式推导过程 公式应用场景 公式注意事项
角度公式
平面与直线之间的夹角公式 直线与直线之间的夹角公式 平面与平面的夹角公式 直线与平面的夹角公式
面积公式
平面面积公式：A=πr²，其中r为圆的半径
直线长度公式：L=|x1-x2|，其中x1、x2为直线上两点的横坐标
平面方程的应用
描述几何图形
计算距离和角 度
解决实际问题
辅助设计
直线方程
一般式方程
定义：一般式方程是直线方程的一种形式，表示直线上任意一点的坐标都满足该方程。 形式：一般式方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为零。 特点：一般式方程包含了所有斜截式、点斜式和两点式方程的特殊情况，可以表示任意直线。 应用：在几何学、物理学、工程学等领域中，一般式方程被广泛应用于描述直线的位置关系和性质。
高等数学课件完整
要点二
二重积分的性质
二重积分具有一些基本性质，如线性性、可加性、保号性 等。这些性质在求解二重积分时非常有用。
07 无穷级数
常数项级数的概念与性质
常数项级数的定义
由一系列常数按照一定顺序排列并加上正负号组 成的无穷序列。
收敛与发散
常数项级数可能收敛于一个有限值，也可能发散 至无穷大或不存在。
级数的基本性质
特点
高等数学具有抽象性、严谨性和 应用广泛性等特点，需要学生具 备较强的逻辑思维能力和数学基 础。
高等数学的重要性
培养逻辑思维能力
高等数学的学习有助于培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学 素养和解决问题的能力。
为后续课程打下基础
高等数学是许多后续课程的基础，如物理学、工程学、经济学等， 掌握高等数学有助于学生更好地理解和应用这些学科的知识。
不定积分的性质
不定积分具有线性性、 可加性、常数倍性等基 本性质，这些性质在求 解积分时非常有用。
基本积分公式
掌握基本积分公式是求 解不定积分的基础，如 幂函数、指数函数、三 角函数等的基本积分公 式。
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分学中的另一个重 要概念，它表示函数在某个区
间上的积分值。定积分记为 ∫[a,b]f(x)dx，其中a和b是积
函数的性质
函数具有有界性、单调性、奇偶性、周 期性等重要性质，这些性质对于研究函 数的图像和变化规律具有重要意义。
极限的概念与性质
1 2 3
极限的定义
极限是描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势 的重要工具，它可以通过不同的方式定义，如数 列极限、函数极限等。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保号性、四则运算法 则等重要性质，这些性质对于求解极限问题和证 明极限定理具有重要作用。
大学高数空间解析几何
学习空间解析几何有助于培养人的逻辑思维和抽象 思维能力，提高解决问题的能力。
空间解析几何的历史与发展
早期发展
空间解析几何起源于17世纪，随着笛卡尔坐标系的建立和 解析几何方法的完善，开始形成独立的数学分支。
近代发展
随着计算机科学和数学的不断发展，空间解析几何在理论 和应用方面都取得了重要进展，如微分几何、线性代数和 微分方程等与空间解析几何的交叉融合。
详细描述
如果两个平面的法向量 $mathbf{a}$ 和 $mathbf{b}$ 是共线的，即存在一个非零实数 $lambda$ 使得 $mathbf{a} = lambda mathbf{b}$，那么这两个平面就是平行的。如果两个平面的法向量不共线，那么 这两个平面就是相交的。
04
空间几何的应用
空间几何在计算机图形学中的应用
01
02
03
三维建模
空间几何用于创建三维模 型，包括曲面建模、实体 建模和参数化建模等。
光照计算
空间几何用于计算物体表 面的光照效果，以实现逼 真的渲染效果。
动画制作
空间几何用于动画制作中 的骨骼绑定、运动轨迹规 划和角色动画等，以创建 动态的视觉效果。
05
空间几何的习题与解答
平面与平面的交线
总结词求平面与平面Fra bibliotek交线，需要消元法或参数方程法。
详细描述
平面与平面的交线可以通过消元法或参数方程法来求解。消元法是通过联立两个平面的方程组，然后消元得到一 个一元一次方程，这个一元一次方程就是两平面的交线。参数方程法则是设定一个参数，将两个平面的方程都表 示成参数的函数，然后令参数相等，解出交线的参数方程。
未来展望
随着科技的不断进步和应用领域的拓展，空间解析几何将 继续发挥重要作用，并有望在人工智能、机器学习等领域 取得新的突破和应用。
高等数学公式大全以及初等函数图像
高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
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29
双纽线r2=acos2θ
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阿基米德螺线r=aθ
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31
三叶玫瑰线r=acos3θ
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三叶玫瑰线r=asin3θ
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13
反余切 y=arccot x
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14
y=ln(x+sqrt(x2+1))
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y=sin(1/x)
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16
y=xsin(1/x)
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41
双曲抛物面z=x2-y2
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42
柱面x2+y2=2x与球面x2+y2+z2=4
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43
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9
余割 y=csc x
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反正弦曲线y=arcsinx
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11
反余弦曲线y=arccos x
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12
反正切 y=arctan x
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17
y=x2sin(1/x)
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y=x y=sin x y=tan x
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19
y=sinx/x
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20
y=sinx/x
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21
y=(1+1/x)x
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22
y=(1－cosx)/x2
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23
y=x y=ln (1+x)
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24
y=ln (1+x)/x
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25
y=ex
y=x+1
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26
y=(ex－1)/x
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27
摆线
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28
心形线r=a(1+cosθ)
x2 y
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33
四叶玫瑰线r=acos2θ
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34
四叶玫瑰线r=asin2θ
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圆柱面x2+y2=4
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36
双曲柱面x2-y2=1
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4
正弦曲线y=sinx
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余弦曲线y=cosx
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正切 y=tanx
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7
余切 y=cot x
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8
正割 y=sec x
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抛物面z=x2+5y2-6x+10y+6
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抛物面
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40
锥面z2=x2+y2
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曲线 y=xa(a>0)
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1
曲线 y=xa(a<0)
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2
曲线 y=ax(a>0,a≠1)
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3
曲线 y=logax (a>0,a≠1)
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