高等数学图形演示系统(7)三重积分共68页
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高等数学《三重积分》课件
3
注: 1．可积性: f 连续 可积
2．物理意义
如果f(x,y,z)表示某物体在点(x,y,z)处的体密度，Ω 是该物体所占的空间闭区域，f(x,y,z)在Ω上连续， 则
物体的质量 M f ( x, y, z)dv 3．几何意义
的体积 V dxdydz
4．性质 同二重积分 4
8.3.2、直角坐标系下的三重积分的计算法
f (z, x,
y)]dV
若为球面x 2 y 2 z 2 R2所围，则
x 2dV
y 2dV
z2dV
1 3
[ x 2
y2
z 2 ]dV
13
例 3 利用对称性简化计算
z ln( x2 y2 z2 1)
x2 y2 z2 1 dxdydz 其中积分区域 {(x, y, z) | x2 y2 z2 1}.
其中A(z)是Dz的面积
习题8.3.1
20
o
y
或D(z)，即
x
{( x, y, z)( x, y) Dz ,c1 z c2}
f ( x, y, z)dv c2 dz f ( x, y, z)dxdy (3)
c1 Dz
15
f (x, y, z)dv c2 dz
z
f ( x, y, z)dxdy
c1
Dz
上式的适用范围：
其中在每vi表个示v第i上i个任小取闭一区点域(，i ,也i表, 示i)它，的作体乘积积。f ( i ,
i,
i)
vi
(i=1,2,…
n
,n)
，
并作和 f (i ,i , i )vi。
如果当各i 1小闭区域直径的最大值 趋于零时
这个和的极限总存在, 则称此极限为函数
三重积分_演示文稿
1 48
例2.
xd xd yd z , 其 中 是 由 平 面 x 0,
y = 0, z = 0 和 x+y+z =1所围成的四面体.
解:
xd xd yd z .
z 1
沿 z 轴方向,下方曲面: z=0, 上方曲面: z = 1 x y. 在xy面上的投影区域为
x+ y+z=1
f ( x, y, z )d z
方法2. “先二后一”
d z
a b
f ( x, y, z )d xd y
DZ
方法3. “三次积分”
d x
a b y2 ( x ) y1 ( x )
d y
z2 ( x, y )
f ( x, y, z )d z
z1 ( x , y )
三种方法(包含12种形式)各有特点, 具体计算时应根据 被积函数及积分域的特点灵活选择.
d d d z
x
z
o
dz
其中 F ( , , z ) f ( cos , sin , z ) 适用范围:
d
y
d
1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;
2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.
例1. 计算
zdxdydz ,
其中：x2+y2+z2 1, 且z0.
0 z 1 x 2y
z
1
1 2
解: :
0 y
1 (1 2
x)
0 x 1
x d x d y d z
x d x
0 1
1 (1 x ) 2
高等数学图形演示系统(7)三重积分
3x+2y =12 Ω和 x+y+z =z 6所围成的区域
6
x+y+z=6
3x+y=6
0
.
2
x
6
6
y
4. 计算 I f (x, y,z)dxdydz ：平面y=0 , z=0，3x+y =6,
3x+2y =12 Ω和 x+y+z =z 6所围成的区域
6
x+y+z=6
3x+y=6
3x+2y=12
D
.
.
D
0
2 4x
0
6
y
.
2
D
4
2y
6
4
6 x y
x
I
0
dy
3 y 2
dx
0
f ( x, y, z)dz
6
3
5. 计算 I f (x, y,z)dxdydz
Ω: 抛物柱面Ωy x 与平面y 0, z 0, x z π 所围成的区域。 2
不画立体图做三重积分 是曲顶柱体
1 y2
dxdydz 1
Ω: 锥面 x2 y2 z2 , z 1 所围
16 球面坐标
17 球面坐标的坐标面
18 球面坐标下的体积元素
19 Ω:球面 x2 y 2 z 2 R2及平面x 0,y 0,z 0在第一卦限所
围成的区域。
20 Ω : x 2 y 2 (z a)2 a 2 , x 2 y 2 z 2
2 6 Ω:双曲抛物面 z xy 和平面 x y 1, z 0 所围成的区域.
6
x+y+z=6
3x+y=6
0
.
2
x
6
6
y
4. 计算 I f (x, y,z)dxdydz ：平面y=0 , z=0，3x+y =6,
3x+2y =12 Ω和 x+y+z =z 6所围成的区域
6
x+y+z=6
3x+y=6
3x+2y=12
D
.
.
D
0
2 4x
0
6
y
.
2
D
4
2y
6
4
6 x y
x
I
0
dy
3 y 2
dx
0
f ( x, y, z)dz
6
3
5. 计算 I f (x, y,z)dxdydz
Ω: 抛物柱面Ωy x 与平面y 0, z 0, x z π 所围成的区域。 2
不画立体图做三重积分 是曲顶柱体
1 y2
dxdydz 1
Ω: 锥面 x2 y2 z2 , z 1 所围
16 球面坐标
17 球面坐标的坐标面
18 球面坐标下的体积元素
19 Ω:球面 x2 y 2 z 2 R2及平面x 0,y 0,z 0在第一卦限所
围成的区域。
20 Ω : x 2 y 2 (z a)2 a 2 , x 2 y 2 z 2
2 6 Ω:双曲抛物面 z xy 和平面 x y 1, z 0 所围成的区域.
[PPT模板]高数三重积分
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曲面面积公式为：
A 1 ( x )2 ( x )2 dydz
D yz
y z
(３)．设曲面的方程为：y h(z, x)
曲面面积公式为：
A 1 ( y )2 ( y )2 dzdx
Dzx
z x
9
例3 求半径为a的球的表面积。
z a
解 取z a2 x2 y2 , z 0
例6 求位于两圆r =2sin 和r = 4sin 之间的均匀
薄片的质心(如图)。 y
解 因为闭区域D对称于
4
__
y轴,所以质心G(x, y)
D 2
必位于y轴上, 于是
x
0,
y
1 A
D
yd。
o
x
由于闭区域D位于半径为1与半径为2的两
圆之间，所以它的面积等于这两个圆的面积
之差，即A=3。
10
取区域D1：x2+y2b2(0<b<a)为积 分区域，求出相应于D1上的球面面 积A1后，再令b→a取A1的极限即可 得到半球的面积。
y
b
o
ax
A1
D1
a
dxdy
a2 x2 y2
a
2
b
rdrd a d
D1 a2 r2
0
0
rdr a2 r2
n
n
I x yi2mi , I y xi2mi
i 1
i 1
Ix、Iy是该质点系对于坐标轴x轴以及y轴的转 动惯量。
24
设有一平面薄片占有 y
平面闭区域D, 在点(x,y) 处具有连续面密度
A 1 ( x )2 ( x )2 dydz
D yz
y z
(３)．设曲面的方程为：y h(z, x)
曲面面积公式为：
A 1 ( y )2 ( y )2 dzdx
Dzx
z x
9
例3 求半径为a的球的表面积。
z a
解 取z a2 x2 y2 , z 0
例6 求位于两圆r =2sin 和r = 4sin 之间的均匀
薄片的质心(如图)。 y
解 因为闭区域D对称于
4
__
y轴,所以质心G(x, y)
D 2
必位于y轴上, 于是
x
0,
y
1 A
D
yd。
o
x
由于闭区域D位于半径为1与半径为2的两
圆之间，所以它的面积等于这两个圆的面积
之差，即A=3。
10
取区域D1：x2+y2b2(0<b<a)为积 分区域，求出相应于D1上的球面面 积A1后，再令b→a取A1的极限即可 得到半球的面积。
y
b
o
ax
A1
D1
a
dxdy
a2 x2 y2
a
2
b
rdrd a d
D1 a2 r2
0
0
rdr a2 r2
n
n
I x yi2mi , I y xi2mi
i 1
i 1
Ix、Iy是该质点系对于坐标轴x轴以及y轴的转 动惯量。
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设有一平面薄片占有 y
平面闭区域D, 在点(x,y) 处具有连续面密度
三重积分
0 ≤ y ≤ 1 x 0≤ x ≤1
1 x y
x
1
1 1 2 ∫∫∫ xdxdydz = ∫ dx ∫ dy ∫ xdz = 2 ∫ x(1 x) dx = 24 0 0 0 0
3 例
化三重积分 I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz为三
2 2 2
次积分， 次积分，其中 积分区域 为由曲面
D( z )
无关时
就是截面的面积，如截面为圆、 就是截面的面积，如截面为圆、椭圆 三角形、正方形等， 、三角形、正方形等，面积较易计算
截面法的一般步骤： 截面法的一般步骤： (1) 把积分区域 向某轴（例如 z 轴）投影，得投 向某轴（ 投影， 影区间[c1 , c2 ]； (2) 对 z ∈ [c1 , c 2 ]用过 z 轴且平行 xoy 平面的平面去 截 ，得截面 Dz ;
1 3
0
0
r
若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、 若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、圆锥 体或旋转体时，通常情况下总是考虑使用柱坐标 体或旋转体时， 来计算。 来计算。
ez 2 2 dxdydz, : z = x + y , z = 1, z = 2 例2 ∫∫∫ 2 2 x +y x = r cosθ 0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ r ≤ 2 y = r sinθ , z=z 当0 ≤ r ≤ 1时 1≤ z ≤ 2
当1 ≤ r ≤ 2时 r ≤ z ≤ 2
2 z 2 2
e ez I = ∫ dθ [∫ dr∫ rdz + ∫ dr∫ rdz] r r 0 0 1 1 r
2π
1
= 2π (e2 e) + 2π ∫ (e2 er )dr = 2πe2
《重积分三重积分》课件
三重积分的性质
线性性质
三重积分满足线性性质，即对于 可分离变量的三重积分，可以将 积分拆分成几个部分分别进行计 算。
区间可加性
三重积分具有区间可加性，即对 于分割的三重积分，其值等于各 个子区间上三重积分的和。
积分中值定理
对于有界闭区域上的连续函数， 存在至少一个点使得三重积分在 该点的值等于被积函数在区域上 的平均值乘以区域的体积。
重积分三重积分
目录 CONTENTS
• 重积分的概念 • 三重积分的概念 • 三重积分的计算方法 • 三重积分的应用 • 三重积分的扩展知识
01
重积分的概念
重积分的定义
定义
重积分是定积分概念的推广，用于计 算多元函数在某个区域上的累积值。
记号
设 $f(x, y, z)$ 是三维空间上的可积函 数，$D$ 是三维区域，则 $f(x, y, z)$ 在 $D$ 上的三重积分用 $intintint_{D}f(x, y, z)dxdydz$ 表示 。
计算流体动力学
在流体力学中，三重积分常用于计算流体在三维空间 中的流动情况，例如流体速度、压力等。
计算热传导
在热力学中，三重积分可以用来计算三维物体中的温 度分布以及热传导情况。
计算结构力学
在结构力学中，三重积分可以用来计算三维结构在不 同载荷下的应力和应变分布。
05
三重积分的扩展知识
重积分与线积分、面积分的关系
质量分布
当 $f(x, y, z)$ 表示物体的密度时，三重积分表 示该物体在区域 $D$ 上的总质量。
3
重心位置
三重积分可以用来计算物体在区域 $D$ 上的重 心位置。
02
三重积分的概念
三重积分的定义
103三重积分2019426-PPT精选文档
2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.
高等数学
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例3. 计算三重积分 zdxd ydz 其中 由 z x2 y2
及平面 z 4 所围成的闭区域
z
4
解: 设 x c o s,y s in
则 : 02 04 z4
Dz
O
y
x
高等数学
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如例1: 计算三重积分 zdxd ydz 其中 为三个坐标
面及平面 x2yz1所围成的闭区域 .
z 1
解: 用平面 z z0 截 得平面 x2y1z0
1
D z x, y x 2 y 1 z ,x 0 ,y 0 O
x2y2z2R2 在球面坐标系下的方程为 rR
x2y2za2a2
r2acos
高等数学
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例7. 计算三重积分 z d v 其中 由 x2y2za2a2,x2y2 z2 确定
解: 设 xrsinco syrsinsinzrco s
则 f (x, y,z)dv
D xy
z2(x,y)f(x,y,z)dz dxdy
z1(x,y)
a b d xy y 1 2 x x d yz z 1 2 (( x x ,y ,y ))f(x ,y ,z)d z三次积分
把区域 投影到 xoz 平面或者 yoz 平面，方法一样
cz Dz
z
O a
by
x
c dz
z2 d xd y c z2 d z
dxd y
c Dz
c
Dz