高等数学(同济第六版)D8ppt课件
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同济版高等数学第六版课件第八章第七节平面及其方程
高等数学的学习建议
重视基础知识： 掌握基本概念、 定理和公式， 为后续学习打 下坚实基础。
多做练习：通 过大量练习， 加深对知识点 的理解和记忆纳总结： 及时归纳所学 内容，找出重 点和难点，有 针对性地进行
复习。
培养数学思维： 高等数学不仅 仅是计算和公 式，更重要的 是培养数学思 维和解决问题
平面的判定条件
三个不共线的点 确定一个平面
两条相交直线确 定一个平面
一条直线与这条 直线外一点确定 一个平面
两平面相交，交 线是两平面的公 共线
平面的性质定理
平面内任意两点确定一条直线
平面内任意三点确定一个平面
平面内任意四点确定一个平面
平面内任意五点确定一个平面
04
平面与直线的位置 关系
平行关系
几何法求解平面方程
定义：通过几何 图形和空间位置 关系来求解平面 方程的方法
适用范围：适用 于平面图形比较 简单的情况
步骤：先确定平 面上的两个不共 线的点，然后通 过这两个点确定 平面的法向量， 最后写出平面方 程
注意事项：需要 熟练掌握空间几 何和向量知识
参数法求解平面方程
参数方程的建立 参数的消元过程 参数的求解方法 参数法求解平面方程的步骤
平面方程的 基本形式
多个平面的 交面求解
两个平面的 交线求解
实际应用中 的交面求解
07
总结与展望
本节内容的总结回顾
平面方程的建立与求解方法 平面方程的应用举例 平面方程的分类与性质 平面方程与其他数学概念的联系
下节内容的预习准备
回顾本节内容： 回顾平面及其方 程的相关概念和 知识点，加深对 平面几何的理解。
的方程。
点法：通过已 知平面上的一 个点和该平面 的法向量，确 定一个平面的
同济版高等数学第六版课件第八章第五节曲面及其方程
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
曲面的实例：
一、曲面方程的概念
曲面方程的定义：
以下给出几例常见的曲面.
解
根据题意有
所求方程为
特殊地：球心在原点时方程为
解
根据题意有
所求方程为
根据题意有
解
化简得所求方程
例4 方程 的图形是怎的？
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
高等数学-同济大学第六版--高等数学课件第一章函数与极限
函数与极限
x
4
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
2024/7/17
函数与极限
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A {a1 , a2 ,, an }
有限集
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
2024/7/17
函数与极限
2
数集分类: N----自然数集 Z----整数集
2024/7/17
函数与极限
47
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
3l
l
2
2
l 2
3l 2
2024/7/17
函数与极限
25
四、反函数
y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
2024/7/17
函数与极限
26
五、小结
基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数
《高等数学》第六版上册同济大学出版社课件PPT
1 x
0
1
1
1 t4
1 t2
d
t
t 2 0 1t4
d
t
ห้องสมุดไป่ตู้
0
1
d
x x4
1 2
0 1
d
x x4
x2
0 1 x4
d
x
1
2
1 01
x2 x4
d
x
17
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1
2
0
1 x2
1
1 x2
二无界函数的反常积分第四节常义积分积分限有限被积函数有界推广一无穷限的反常积分反常积分广义积分反常积分第五章1一无穷限的反常积分引例
第四节 反常积分
第五章
积分限有限 常义积分 被积函数有界
推广
反常积分 (广义积分)
一、无穷限的反常积分
二、无界函数的反常积分
1
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一、无穷限的反常积分
F (b)
F(c )
F(c ) F(a)
可相消吗?
12
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例4. 计算反常积分
解: 显然瑕点为 a , 所以
原式
arcsin x a
a 0
arcsin1
π 2
例5. 讨论反常积分
的收敛性 .
解所下:以述1反1解dx常x2法积是分0否1dx1x正x2 确11:0发1dxx散21.11x2 ,0∴1 积 分 1x收敛01
x2
同济版高等数学第六版课件第八章第五节曲面及其方程
制造领域，如汽车、航空和船舶制造等。
直纹曲面在建筑设计中的应用
总结词
设计曲面建筑外观
VS
详细描述
直纹曲面方程在建筑设计中用于描述复杂 的曲面结构。通过直纹曲面，建筑师可以 创造出独特且富有艺术感的建筑外观。直 纹曲面在建筑设计中的广泛应用，不仅提 高了建筑的审美价值，也为建筑师提供了 更多的创作空间。
方程
锥面的方程通常表示为 x^2 + y^2 = r^2(z)，其中 (x, y) 是平面上的点，r 是锥顶到平面的距离，z 是锥面的参数。
性质
锥面是一个非对称的曲面，在锥顶处曲率为无穷大。
旋转曲面
定义
旋转曲面是由一条平面曲线绕 一条直线旋转一周所形成的曲
面。
方程
旋转曲面的方程通常表示为 x = x(t), y = y(t), z = z(t)，其 中 t 是参数，x(t), y(t), z(t) 是
非标准曲面
定义
01
非标准曲面是指不符合常规形式的曲面，如参数曲面、隐式曲
面等。
性质
02
非标准曲面具有一些特殊的几何性质，如曲率、法向量等，这
些性质有助于理解曲面的几何结构。
应用
03
非标准曲面在计算机图形学、计算几何等领域有广泛的应用，
如动画设计、虚拟现实、游戏开发等。
曲面的微分性质
定义
曲面的微分性质是指曲面在局部的几何性质，如切线、法线、曲率 等。
给定的平面曲线。
性质
旋转曲面是一个具有旋转对称 性的曲面，其曲率随旋转角度
而变化。
直纹曲面
定义
直纹曲面是由一条直线按一定方式移动所形成的曲面 。
方程
直纹曲面的方程通常表示为 z = f(x, y)，其中 f(x, y) 是给定的函数，(x, y) 是平面上的点。
直纹曲面在建筑设计中的应用
总结词
设计曲面建筑外观
VS
详细描述
直纹曲面方程在建筑设计中用于描述复杂 的曲面结构。通过直纹曲面，建筑师可以 创造出独特且富有艺术感的建筑外观。直 纹曲面在建筑设计中的广泛应用，不仅提 高了建筑的审美价值，也为建筑师提供了 更多的创作空间。
方程
锥面的方程通常表示为 x^2 + y^2 = r^2(z)，其中 (x, y) 是平面上的点，r 是锥顶到平面的距离，z 是锥面的参数。
性质
锥面是一个非对称的曲面，在锥顶处曲率为无穷大。
旋转曲面
定义
旋转曲面是由一条平面曲线绕 一条直线旋转一周所形成的曲
面。
方程
旋转曲面的方程通常表示为 x = x(t), y = y(t), z = z(t)，其 中 t 是参数，x(t), y(t), z(t) 是
非标准曲面
定义
01
非标准曲面是指不符合常规形式的曲面，如参数曲面、隐式曲
面等。
性质
02
非标准曲面具有一些特殊的几何性质，如曲率、法向量等，这
些性质有助于理解曲面的几何结构。
应用
03
非标准曲面在计算机图形学、计算几何等领域有广泛的应用，
如动画设计、虚拟现实、游戏开发等。
曲面的微分性质
定义
曲面的微分性质是指曲面在局部的几何性质，如切线、法线、曲率 等。
给定的平面曲线。
性质
旋转曲面是一个具有旋转对称 性的曲面，其曲率随旋转角度
而变化。
直纹曲面
定义
直纹曲面是由一条直线按一定方式移动所形成的曲面 。
方程
直纹曲面的方程通常表示为 z = f(x, y)，其中 f(x, y) 是给定的函数，(x, y) 是平面上的点。
《高等数学》(同济六版)教学课件★第1章.函数与极限(2)
则称函数 f (x)在 x0 连续.
可见 , 函数
在点 x0 连续必须具备下列条件:
(1)
在点 有定义 , 即
存在 ;
(2) 极限
存在 ;
(3)
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若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
在闭区间
上的连续函数的集合记作 C[ a , b ].
二、 两个重要极限
证:
当
x
(
0
,
π 2
)
时，
BD
1
x O
C
A
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
tan
x
亦故即有 显然有
sin x x tan x
(0
x
π 2
)
cos x sin x 1 x
(0
x
π 2
)
注
注 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求
lim sin x 1 , x0 3x 3
lim
x0
sin x x2
,
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
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定义. 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小,
若 lim 0,则称 是比 高阶的无穷小, 记作
o()
若 lim , 则称 是比 低阶的无穷小;
xn
n
为确定起见 , 仅讨论 x x0 的情形.
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定理1. lim f (x) A
xx0
有定义, 且
xn x0 , f (xn )
可见 , 函数
在点 x0 连续必须具备下列条件:
(1)
在点 有定义 , 即
存在 ;
(2) 极限
存在 ;
(3)
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若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
在闭区间
上的连续函数的集合记作 C[ a , b ].
二、 两个重要极限
证:
当
x
(
0
,
π 2
)
时，
BD
1
x O
C
A
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
tan
x
亦故即有 显然有
sin x x tan x
(0
x
π 2
)
cos x sin x 1 x
(0
x
π 2
)
注
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例2. 求
lim sin x 1 , x0 3x 3
lim
x0
sin x x2
,
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
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定义. 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小,
若 lim 0,则称 是比 高阶的无穷小, 记作
o()
若 lim , 则称 是比 低阶的无穷小;
xn
n
为确定起见 , 仅讨论 x x0 的情形.
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定理1. lim f (x) A
xx0
有定义, 且
xn x0 , f (xn )
高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件
具有重要的作用。
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
同济版高等数学第六版课件第八章第六节空间曲线及其方程
直角坐标方程
直角坐标方程是另一种描述空间曲线 的方法，它由一个方程组组成，表示 曲线上任意一点的坐标与三个直角坐 标轴之间的关系。
02
空间曲线的方程
空间曲线的一般方程
空间曲线的一般方程是两个三维空间 的方程联立得到的，通常表示为： F(x,y,z)=0 和 G(x,y,z)=0。
一般方程描述了空间中曲线的形状和 位置，通过解方程组可以求得曲线上 点的坐标。
参数方程
参数方程是描述空间曲线 的一种常用方法，其中参 数的变化反映了曲线上点 的运动轨迹。
空间曲线的弯曲程度
曲率
曲率描述了曲线在某一点 的弯曲程度，曲率越大， 弯曲程度越剧烈。
挠率
挠率描述了曲线在某一点 的方向变化速率，与曲线 的形状和类型有关。
曲率和挠率的关系
曲率和挠率共同决定了空 间曲线的弯曲程度和形状 。
原曲线与投影曲线的位置关系
通过比较原曲线和投影曲线的形状，可以确定它们之间的位 置关系，如相交、相切或相离。
投影曲线的面积与原曲线的关系
投影曲线面积的求解
根据投影曲线的方程，利用定积分计算其面积。
投影曲线面积与原曲线的关系
通过比较投影曲线面积和原曲线的面积，可以分析它们之间的数量关系，如相等 、成比例或相差一个常数倍。
02
极坐标方程的一般形式为：ρ=ρ(θ)，其中 ρ 是极径，θ是极角
。
极坐标方程可以用来表示各种形状的空间曲线，如球面曲线、
03
柱面曲线等。
03
空间曲线的性质
空间曲线的方向
01
02
03
方向向量
空间曲线的方向由其上的 方向向量决定，方向向量 表示了曲线上任意两点的 相对位置。
切线向量
直角坐标方程是另一种描述空间曲线 的方法，它由一个方程组组成，表示 曲线上任意一点的坐标与三个直角坐 标轴之间的关系。
02
空间曲线的方程
空间曲线的一般方程
空间曲线的一般方程是两个三维空间 的方程联立得到的，通常表示为： F(x,y,z)=0 和 G(x,y,z)=0。
一般方程描述了空间中曲线的形状和 位置，通过解方程组可以求得曲线上 点的坐标。
参数方程
参数方程是描述空间曲线 的一种常用方法，其中参 数的变化反映了曲线上点 的运动轨迹。
空间曲线的弯曲程度
曲率
曲率描述了曲线在某一点 的弯曲程度，曲率越大， 弯曲程度越剧烈。
挠率
挠率描述了曲线在某一点 的方向变化速率，与曲线 的形状和类型有关。
曲率和挠率的关系
曲率和挠率共同决定了空 间曲线的弯曲程度和形状 。
原曲线与投影曲线的位置关系
通过比较原曲线和投影曲线的形状，可以确定它们之间的位 置关系，如相交、相切或相离。
投影曲线的面积与原曲线的关系
投影曲线面积的求解
根据投影曲线的方程，利用定积分计算其面积。
投影曲线面积与原曲线的关系
通过比较投影曲线面积和原曲线的面积，可以分析它们之间的数量关系，如相等 、成比例或相差一个常数倍。
02
极坐标方程的一般形式为：ρ=ρ(θ)，其中 ρ 是极径，θ是极角
。
极坐标方程可以用来表示各种形状的空间曲线，如球面曲线、
03
柱面曲线等。
03
空间曲线的性质
空间曲线的方向
01
02
03
方向向量
空间曲线的方向由其上的 方向向量决定，方向向量 表示了曲线上任意两点的 相对位置。
切线向量
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8
四、二次曲面
椭圆锥面的形成>>>研究曲面的伸缩变形法
平面图形的伸缩变形法.
9
1.椭圆锥面
x2 a2
y2 b2
z2
把 圆 锥 面x2 y2 a2
z2沿y轴方向 伸缩b 倍可得 椭圆锥面 a
x2
a2 b2
a2
y2
z2,
x2 a2
y2 b2
z2
10
2.椭球面
x 2 a2
y2 b2
z2 c2
x2 a2
z2 y2 c2
1
13
5.椭圆抛物面
椭圆抛物面的形成
把zox平
面
上
的
抛
物
线x 2 a2
z 绕z 轴旋转,
得旋转抛物面
x2 y2 a2
z
14
6.双曲抛物面
截痕 双曲抛物面与平面xt的截痕 l 为平面xt上的抛
物线
当 t 变化时 l 的形状不变 位置只作平 移 而 l 的顶点的轨迹L为平面y0上 的抛物线
20
例2. 将下列曲线化为参数方程表示:
解: 将第二方程变形为 故所求为
22
三、空间曲线在坐标面上的投影
❖投影柱面与投影(曲线)
以空间曲线C为准线、母线平行于 z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影
投影柱面
柱面.
投影柱面与xOy面的交线叫做曲线
C在xOy面上的投影曲线, 或简称投影.
类似地可以定义曲线C在其它坐标 面上的投影.
>>>
15
第四节
第八章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
16
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组 C
表示圆柱面与平面的交线 C.
17
又
如
，
方
程
组z ( x
a2 a )2
x2 y2
y2 , (a )2
当给定 t t1 时，就得到曲线上的一个点 ( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
19
z
解:
o
xA
取时间t为参数，动点从A点出发， 经过t时间，运动到M点,
M 在 xoy面的投影M ( x, y,0)
x acost
y
a sint
z vt
y 螺旋线的参数方程
•
表示抛物柱面,
母线平行于 z 轴;
准线为xoy 面上的抛物线.
z
• x2 y2 R2 表示圆柱面.
M1 y
x
7
一般地,在三维空间
柱面, 母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2. 柱面,
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3.
将z1y代入方程x2y2z21 得 x2y2(1y)21 即x22y22y0.
这就是交线C关于xOy面的投影柱面方程. 两球面的交线C在xOy面上的投影方程为
27
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影
空 间 立 体
曲 面
28
例如,
上半球面
和锥面
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在
1
椭球面的形成
得旋转椭球面
x2 y2 a2
z2 c2
1
11
3.单叶双曲面
单叶双曲面的形成
把xoz平
面
上
的
双
曲
线x 2 a2
z2 c2
1 绕z 轴旋转,
得旋转单叶双曲面
x2 y2 a2
z2 c2
1
12
4.双叶双曲面
双叶双曲面的形成
把zox平
面
上
的
双
曲
线x 2 a2
z2 c2
1
绕 x 轴旋转, 得旋转双叶双曲面
f ( x2 y2 , z) 0.
曲线C : f ( y, z) 0 绕 y 轴旋转的旋转曲面:
f ( y, x2 z2 ) 0.
曲线C : f ( x, y) 0 绕 x 轴旋转的旋转曲面:
f ( x, y2 z2 ) 0.
曲线C : f ( x, z) 0 绕 z 轴旋转的旋转曲面:
2
例1. 求动点到定点
方程. 解: 设轨迹上动点为
即
故所求方程为
距离为 R 的轨迹 依题意
特别,当M0在原点时,球面方程为
表示上(下)球面 .
3
二、旋转曲面
定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周所形成的曲面叫做旋转曲面. 旋转曲线和定直线 称为旋转曲面的母线和旋转轴.
4
曲线C : f ( y, z) 0 绕 z 轴旋转的旋转曲面:
2
2
表 示 什 么 曲 线?
( x a )2 y2 ( a )2 表 示
2
2
母线平行于z 轴,准线是xOy
面上以点( a ,0) 为中心,半径 2
为 a 的圆周的柱面. 2
表示上半球面与圆柱面的交线C.
18
二、空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t )
空间曲线的参数方程
z z(t)
f ( x2 y2 , z) 0. 其余依此类推.
5
例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为
的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
两边平方
6
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
第三节
曲面及其方程
一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面
第八章
1
一、曲面方程的概念
定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
25
投影曲线的研究过程
空间曲线
投影柱面
投影曲线
26
例3. 已知两球面的方程为 x2 + y2 + z2=1和 x2 + (y-1)2 + (z-1)2 = 1
求它们的交线C在xOy面上的投影方程. 解：方程x2(y1)2(z1)21化为 x2y2z22y2z1
将x2y2z21代入得 12y2z1 即yz1.
投影曲线
23
三、空间曲线在坐标面上的投影
❖投影(曲线)的确定
设空间曲线C的一般方程为
投影柱面
方程组中的两个方程消去变量z后可 得一个关于x, y的方程
H(x y)0 这就是曲线C关于xOy面的投影柱面的方程.
曲线C在xOy面上的投影曲线的方程为
投影曲线
24
消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程
xoy 面上的投影曲线所围之域 .
二者交线
在 xoy 面上的投影曲线 所围圆域:
29
第四节
第八章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
四、二次曲面
椭圆锥面的形成>>>研究曲面的伸缩变形法
平面图形的伸缩变形法.
9
1.椭圆锥面
x2 a2
y2 b2
z2
把 圆 锥 面x2 y2 a2
z2沿y轴方向 伸缩b 倍可得 椭圆锥面 a
x2
a2 b2
a2
y2
z2,
x2 a2
y2 b2
z2
10
2.椭球面
x 2 a2
y2 b2
z2 c2
x2 a2
z2 y2 c2
1
13
5.椭圆抛物面
椭圆抛物面的形成
把zox平
面
上
的
抛
物
线x 2 a2
z 绕z 轴旋转,
得旋转抛物面
x2 y2 a2
z
14
6.双曲抛物面
截痕 双曲抛物面与平面xt的截痕 l 为平面xt上的抛
物线
当 t 变化时 l 的形状不变 位置只作平 移 而 l 的顶点的轨迹L为平面y0上 的抛物线
20
例2. 将下列曲线化为参数方程表示:
解: 将第二方程变形为 故所求为
22
三、空间曲线在坐标面上的投影
❖投影柱面与投影(曲线)
以空间曲线C为准线、母线平行于 z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影
投影柱面
柱面.
投影柱面与xOy面的交线叫做曲线
C在xOy面上的投影曲线, 或简称投影.
类似地可以定义曲线C在其它坐标 面上的投影.
>>>
15
第四节
第八章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
16
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组 C
表示圆柱面与平面的交线 C.
17
又
如
，
方
程
组z ( x
a2 a )2
x2 y2
y2 , (a )2
当给定 t t1 时，就得到曲线上的一个点 ( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
19
z
解:
o
xA
取时间t为参数，动点从A点出发， 经过t时间，运动到M点,
M 在 xoy面的投影M ( x, y,0)
x acost
y
a sint
z vt
y 螺旋线的参数方程
•
表示抛物柱面,
母线平行于 z 轴;
准线为xoy 面上的抛物线.
z
• x2 y2 R2 表示圆柱面.
M1 y
x
7
一般地,在三维空间
柱面, 母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2. 柱面,
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3.
将z1y代入方程x2y2z21 得 x2y2(1y)21 即x22y22y0.
这就是交线C关于xOy面的投影柱面方程. 两球面的交线C在xOy面上的投影方程为
27
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影
空 间 立 体
曲 面
28
例如,
上半球面
和锥面
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在
1
椭球面的形成
得旋转椭球面
x2 y2 a2
z2 c2
1
11
3.单叶双曲面
单叶双曲面的形成
把xoz平
面
上
的
双
曲
线x 2 a2
z2 c2
1 绕z 轴旋转,
得旋转单叶双曲面
x2 y2 a2
z2 c2
1
12
4.双叶双曲面
双叶双曲面的形成
把zox平
面
上
的
双
曲
线x 2 a2
z2 c2
1
绕 x 轴旋转, 得旋转双叶双曲面
f ( x2 y2 , z) 0.
曲线C : f ( y, z) 0 绕 y 轴旋转的旋转曲面:
f ( y, x2 z2 ) 0.
曲线C : f ( x, y) 0 绕 x 轴旋转的旋转曲面:
f ( x, y2 z2 ) 0.
曲线C : f ( x, z) 0 绕 z 轴旋转的旋转曲面:
2
例1. 求动点到定点
方程. 解: 设轨迹上动点为
即
故所求方程为
距离为 R 的轨迹 依题意
特别,当M0在原点时,球面方程为
表示上(下)球面 .
3
二、旋转曲面
定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周所形成的曲面叫做旋转曲面. 旋转曲线和定直线 称为旋转曲面的母线和旋转轴.
4
曲线C : f ( y, z) 0 绕 z 轴旋转的旋转曲面:
2
2
表 示 什 么 曲 线?
( x a )2 y2 ( a )2 表 示
2
2
母线平行于z 轴,准线是xOy
面上以点( a ,0) 为中心,半径 2
为 a 的圆周的柱面. 2
表示上半球面与圆柱面的交线C.
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二、空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t )
空间曲线的参数方程
z z(t)
f ( x2 y2 , z) 0. 其余依此类推.
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例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为
的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
两边平方
6
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
第三节
曲面及其方程
一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面
第八章
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一、曲面方程的概念
定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
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投影曲线的研究过程
空间曲线
投影柱面
投影曲线
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例3. 已知两球面的方程为 x2 + y2 + z2=1和 x2 + (y-1)2 + (z-1)2 = 1
求它们的交线C在xOy面上的投影方程. 解：方程x2(y1)2(z1)21化为 x2y2z22y2z1
将x2y2z21代入得 12y2z1 即yz1.
投影曲线
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三、空间曲线在坐标面上的投影
❖投影(曲线)的确定
设空间曲线C的一般方程为
投影柱面
方程组中的两个方程消去变量z后可 得一个关于x, y的方程
H(x y)0 这就是曲线C关于xOy面的投影柱面的方程.
曲线C在xOy面上的投影曲线的方程为
投影曲线
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消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程
xoy 面上的投影曲线所围之域 .
二者交线
在 xoy 面上的投影曲线 所围圆域:
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第四节
第八章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影