高等数学第三章习题讲解
高等数学 第三章中值定理与导数的应用习题课
(5) (1 + x )α = 1 + αx +
α (α − 1)
2!
x2 + L+
α (α − 1)L (α − n + 1)
n!
x n + o( x n )
Ⅲ 导数的应用
一、函数的极值与单调性
1．函数极值的定义 ． x ∈ U ( x0 , δ ), f ( x ) ≤ f ( x0 ), f ( x0 )为极大值. 为极大值.
0 ∞ 其它型： 其它型： ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 0 , 1 , ∞ , 转化为 “ ”型或“ ” 型 0 型或“ 型或 0 ∞
0 ∞ 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式 ．
如果函数在含有一点的开区间内具有直到(n+1)阶导数 阶导数 如果函数在含有一点的开区间内具有直到 f ′′( x0 ) f ( n) ( x0 ) 2 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) + L+ ( x − x0 )n + Rn ( x) 2! n! ( n +1) f (ξ ) Rn ( x ) = ( x − x0 ) n+1 拉格朗日型余项 ( n + 1)!
x ∈ U ( x 0 , δ ), f ( x ) ≥ f ( x0 ), f ( x0 )为极小值 .
o
。
2．函数的驻点 ．
f ′( x 0 ) = 0 则 x 0为 f ( x ) 的驻点。 的驻点。
3．函数的单调区间的判别 ．
函数在[a,b]上连续 在(a,b)内可导 上连续,在 内可导. 函数在 上连续 内可导
高数习题(第三章)第三章重难点总结复习
再来说说2展开,对比3我们发现它少了 1 x3 1= 1 x3的这样一个三阶项,所以就是展开的
3!
3!
少了。
那么3就是正确的.首先我们能够找到所有的三阶及比其低阶的量,其次由于sin x的泰勒展开
起步为x, 所以两式相乘时e x只需要展开到二阶即可得到三阶项.类似的,e x泰勒展开起步为1, 所以我们的sin x展开到三阶就可以得到最后的三阶项.这个就是开头说的所有的意思.
2.ex 1 x x2 o x2 2
sin x x o x
3.ex 1 x x2 o x2 2
sin x x 1 x3 o x3 3! 对于1展开,错误在于没有和第一种加的情况相区分,这样如果两式相乘,导致 x3 与sin x任意
3! 一项展开都不是我们所需要的,因为是比三阶高.即展开多了.
a
lim
n
n2 n2
n
a
、
注：第四种方法虽然结果正确，但是我们一般不采取这种方法。
7.若 lim x0
sin 6x xf x3
x
0, 则 lim x0
6 f x
x2
解析：恒等变形后使用洛必达法则
lim
x0
6x
xf x3
x
lim
x0
6
x
sin 6x x3
sin
6x xf x3
x
lim 6x sin 6x lim 6 6 cos 6x 36
分析：令F x f x g x F x在a,b上连续，在a,b内可导，在题设条
件下，要证存在 a,b，F '' =0.已知F a F b =0,只需再证c a,b, F c =0.
1由题设x1 a,b, M
同济大学《高等数学》(第四版)第三章习题课
上页 下页 返回
求极值的步骤: 求极值的步骤:
(1) 求导数 f ′( x ); ( 2) 求驻点，即方程 f ′( x ) = 0 的根; 求驻点，
( 3) 检查 f ′( x ) 在驻点左右的正负号或 f ′′( x ) 在 该点的符号 , 判断极值点;
(4) 求极值 .
上页
下页 返回
(3) 最大值、最小值问题 最大值、
做函数 f ( x )的驻点.
驻点和不可导点统称为临界点. 驻点和不可导点统称为临界点. 临界点
上页 下页 返回
定理(第一充分条件) 定理(第一充分条件) x (1)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) > 0;而 ∈(x0, x0 +δ ), 如 果 x 取 极 值 有f '(x) < 0， f (x)在 0处 得 大 . 则 x (2)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) < 0;而 ∈(x0, x0 +δ ) 如 果 x 取 极 值 有f '(x) > 0， f (x)在 0处 得 小 . 则 x (3)如 当x∈(x0 −δ , x0)及 ∈(x0, x0 +δ )时 f '(x) 符 如 果 , (x x 无 值 号 同则f (x)在 0处 极 . 相 ,则 定理(第二充分条件) 定理(第二充分条件)设f (x)在 0 处 有 阶 数 x 具 二 导 , 且f '(x0 ) = 0, f ''(x0 ) ≠ 0, 那 末 f ''(x0 ) < 0时 函 f (x)在 0 处 得 大 ; x 取 极 值 (1)当 , 数 当 '' x 取 极 值 (2)当f (x0) > 0时 函 f (x)在 0 处 得 小 . , 数 当
中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第3章课后习题详解
第3章中值定理与导数的应用内容概要课后习题全解习题3-1★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。
（1）]511[32)(2.,,x x x f ---=；（2）]30[3)(,,x x x f -=。
知识点：罗尔中值定理。
思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/=ξf ，得到的根ξ便为所求。
解：（1）∵32)(2--=x x x f 在]511[.,-上连续，在)5.1,1(-内可导，且0)51()1(==-.f f ，∴32)(2--=x x x f 在]511[.,-上满足罗尔定理的条件。
令()410f ξξ'=-=得)511(41.,ξ-∈=即为所求。
（2）∵x x x f -=3)(在]30[,上连续，在)30(,内可导，且0)3()0(==f f ， ∴x x x f -=3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。
令()0f ξ'==，得)30(2,ξ∈=即为所求。
★2.验证拉格朗日中值定理对函数25423-+-=x x x y 在区间]10[,上的正确性。
知识点：拉格朗日中值定理。
思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程(1)(0)()10f f f ξ-'=-，若得到的根]10[,ξ∈则可验证定理的正确性。
解：∵32()452y f x x x x ==-+-在]10[,连续，在)10(,内可导，∴25423-+-=x x x y 在区间]10[,上满足拉格朗日中值定理的条件。
又2)0(2)1(-=-=,f f ，2()12101f x x x '=-+，∴要使(1)(0)()010f f f ξ-'==-，只要：5(01)12,ξ±=，∴5(01)12,ξ∃=∈，使(1)(0)()10f f f ξ-'=-，验证完毕。
★3.已知函数4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。
高等数学第七版教材答案详解
高等数学第七版教材答案详解1. 课后习题答案1.1 第一章：函数与极限1.1.1 习题1解答1.1.2 习题2解答...1.2 第二章：导数与微分1.2.1 习题1解答1.2.2 习题2解答...1.3 第三章：微分中值定理与导数的应用1.3.1 习题1解答1.3.2 习题2解答...2. 课后思考题答案2.1 第一章：函数与极限2.1.1 思考题1解答2.1.2 思考题2解答...2.2 第二章：导数与微分2.2.1 思考题1解答2.2.2 思考题2解答...2.3 第三章：微分中值定理与导数的应用2.3.1 思考题1解答2.3.2 思考题2解答...3. 课后习题详解3.1 第一章：函数与极限3.1.1 习题1详解3.1.2 习题2详解...3.2 第二章：导数与微分3.2.1 习题1详解3.2.2 习题2详解...3.3 第三章：微分中值定理与导数的应用3.3.1 习题1详解3.3.2 习题2详解...在这篇文章中，我将给出《高等数学第七版》教材的习题答案和课后思考题答案的详细解析。
为了方便阅读，我将按章节划分答案，并提供习题和思考题的解答。
如果你在学习过程中遇到了困惑，希望这些答案能够帮助你更好地理解相关的数学概念和解题方法。
首先，我将给出每章节的课后习题答案。
在习题解答中，我将详细解释每个题目的解题思路和步骤，并给出最终答案。
你可以根据自己的需要，选择性地查看想要解答的习题。
接下来是课后思考题答案的解析。
这些思考题往往比较有挑战性，需要一定的思考和推导。
我将为每个思考题提供解答，希望能够帮助你在思考和解决问题时找到正确的方向。
最后，我将给出课后习题的详细解析。
在这一部分中，我将逐题逐题地分析解题思路，并给出详细的步骤和推导过程。
通过仔细研究这些解析，你可以更好地理解每个题目的解法，并且提高自己的解题能力。
总之，在这篇文章中，我将为你提供《高等数学第七版》教材的习题答案和课后思考题答案的详细解析。
高等数学第三章
10 ( x 1 ) 3x
1 3
.
令
y 0 ，得 x 1 .
当 x 0 时， y 不存在 .
0
( 0 , 1)
x y
y
( , 0)
1
0
(1 , )
↗
↘
↗
( , 0 ] 、 [1 , ) [ 0 , 1]
是函数的单调增加区间； 是函数的单调减少区间 .
f ( 2 ) f ( 1 ) f ( ) [ 2 ( 1 ) ]
2 3 ( 1 )3 3 2 3 , 2 1
1 ( 1 , 2),
1（舍去）
练习：
下列函数中在给定区间上满足拉格朗日定理条件的是（ C ） A . f ( x)
所以
y x3 x 1
在其定义域上单调增加.
y
注 有些可导函数虽在 其定义区间上可导，但却不 是单调的，而在其各个部分 区间上就具有单调性 .
y x2
. o
x
增减区间 的可能分 界点
函数 f (x) 单调增加与单调减少区间的分界点 具有什么性质？
y
f ( x 0 ) 0
y
f ( x ) 0
0
y
↘
↘；
↗
↗
↗.
↗
( , 1]
[ 1 , 0), ( 0 , )
例5：求 y ( 2 x 5 ) x 的单调区间 . 解：定义域 ( , ) .
3 2
例5
y
5 ( 2 x3
2 5 x3
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题详解-第三章 微分中值定理与导数的应用【圣才出
有且仅有三个实根，它们分别位于区间（1，2），（2，3），（3，4）
3 / 91
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台
6．证明恒等式： 证：取函数 f(x)＝arcsinx＋arccosx，x∈[－1，1]．因
所以 f(x)≡C．取 x＝0，得
．因此
7．若方程 正根 x＝x0，证明方程
即
，所以
（2）取函数
，因为函数 f(t)在[1，x]上连续，在（1，x）内可导，则由
拉格朗日中值定理知，至少存在一点 ξ∈（1，x），使
6 / 91
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平
台
即
．又 1＜ξ＜x，所以 eξ＞e，因此
即
ex＞x·e．
12．证明方程 x5＋x－1＝0 只有一个正根． 证：取函数 f(x)＝x5＋x－1，f(x)在[0，1]上连续，
的正根． 证：取函
有一个 必有一个小于 x0
数
．f(x)在[0，x0]
上连续，在（0，x0）内可导，且 f(0)＝f（x0）＝0，由罗尔定理知至少存在一点
ξ∈（0，x0），使
，即方程
正根．
必有一个小于 x0 的
8．若函数 f(x)在（a，b）内具有二阶导数，且 f（x1）＝f（x2）＝f（x3），其中
4 / 91
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平
台
a＜x1＜x2＜x3＜b．证明：在（x1，x3）内至少有一点 ξ，使得
．
证：根据题意知函数 f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]上连续，在（x1，x2），（x2，x3）内可导
且
，所以由罗尔定理知至少存在点 ξ1∈（x1，x2），
高等数学同济第七版第3章习题解答
135教材习题同步解析习题3-11.验证罗尔定理对函数x y sin ln =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ上的正确性. 证 x y sin ln =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ上连续，在⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ65,6内可导，且 ⎪⎭⎫ ⎝⎛π=⎪⎭⎫ ⎝⎛π656y y .故函数x y sin ln =在区间]65,6[ππ上满足罗尔定理的条件.又解0cot =='x y 得2π+π=n x ),2,1,0( ±±=n ,取0=n ，确实存在⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=65,62πππξ使得0cot )(=='ξξy .因此罗尔定理对函数x y sin ln =在区间]65,6[ππ上正确. 注意 凡是验证定理正确与否的命题,一定要验证两点(1)定理的条件是否满足;(2)若条件满足,求出定理结论中的ξ值.5.不求函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明方程0)(='x f 有几个实根，并指出它们所在的区间.解 函数)(x f 分别在区间[3,4][2,3],2],,1[上连续，在区间2),,1( (3,4)(2,3),内可导，且0)4()3()2()1(====f f f f . 由罗尔定理知，至少存在),2,1(1∈ξ),3,2(2∈ξ),4,3(3∈ξ使).3,2,1( 0)(==ξ'i f i 即方程0)(='x f 至少有三个实根.又因0)(='x f 为三次方程，故它至多有三个实根. 因此，方程0)(='x f 有且只有三个实根，分别位于区间2),,1((3,4)(2,3),内.6.证明恒等式: ).11(,2arccos arcsin ≤≤-=+x x x π136 证 设x x x f arccos arcsin )(+=，则11,01111)(22<<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-='x x x x f . 于是].1,1[,)(-∈=x c x f 其中c 为常数. 因为,20arccos 0arcsin )0(π=+=f 故).11(,2arccos arcsin ≤≤-=+x x x π7.若方程01110=+++--x a x a x a n n n 有一个正根0x x =,证明方程 0)1(12110=++-+---n n n a x n a nx a 必有一个小于0x 的正根.证 设x a x a x a x f n n n 1110)(--+++= ,可见0)0(=f ,又依题意,有0)(0=x f .并注意到12110)1()(---++-+='n n n a x n a nx a x f ,于是)(x f 在],0[0x 上满足罗尔定理条件,故存在),0(0x ∈ξ,使得0)(=ξ'f ,即0)1(12110=++-+---n n n a x n a nx a 有小于0x 的正根.8.若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中b x x x a <<<<321，证明：在),(31x x 内至少存在一点ξ，使得0)(=ξ''f .证 由于)(x f 在],[21x x 上连续，在),(21x x 内可导，且)()(21x f x f =，根据罗尔定理，至少存在一点∈ξ1),(21x x ，使得0)(1=ξ'f .同理可证至少存在一点∈ξ2),(32x x ，使得0)(2=ξ'f .又因为)(x f 在),(b a 内二阶可导，所以函数)(x f '在],[21ξξ上连续，在),(21ξξ内可导，且0)()(21=ξ'=ξ'f f .再次应用罗尔定理知：至少存在一点⊂ξξ∈ξ),(21),(31x x ，使得0)(=ξ''f .10. 设,0>>b a 证明：b b a b a a b a -<<-ln . 分析 由于b a ba ln ln ln -=,所以可以构造函数x x f ln )(=,然 后应用中值定理证明.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
两点x1 , x2 , 恒有
那末称f ( x )在( a , b )内的图形是凹的;
如果对( a , b )内任意两点x1 , x2 , 恒有 f( x1 x2 2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 2 ,
那末称f ( x )在( a , b )内的图形是凸的;
如果f ( x )在[a , b] 内连续, 且在( a , b )内的图形是凹 (或凸)的, 那末称f ( x )在[a , b] 内的图形是凹(或凸)的;
0 0
设函数 y f ( x ) 在 [ a , b ]上连续，在
( a , b )内
y f ( x )在
y f ( x )在
(2) 函数的极值及其求法
定义设函数f ( x )在区间(a , b )内有定义, x0是(a , b )内
的一个点, 如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x ,除了点x0外, f ( x ) f ( x0 )均成立, 就称 f ( x0 )是函数f ( x )的一个极大值; 如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x ,除了点x0外, f ( x ) f ( x0 )均成立, 就称 f ( x0 )是函数f ( x )的一个极小值.
域内的全部实根，用这些根同函数的间断 点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.
第三步 确 定 在 这 些 部 分 区 间 内 f ' ( x ) 和 f " ( x ) 的 符
号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹 凸与拐点（可列表进行讨论） ；
确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其 他变化趋势;
(5) 函数图形的描绘
利用函数特性描绘函数图形.
第一步 确 定 函 数 y f ( x ) 的 定 义 域 , 对 函 数 进 行
奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨 论 ,求 出 函 数 的 一 阶 导 数 f ( x ) 和 二 阶 导 数 f ( x ) ;
' "
第二步 求 出 方 程 f ' ( x ) 0 和 f " ( x ) 0 在 函 数 定 义
( 1 ) x 0 两近旁 f ( x ) 变号 , 点 ( x 0 , f ( x 0 )) 即为拐点
; .
( 2 ) x 0 两近旁 f ( x ) 不变号 , 点 ( x 0 , f ( x 0 )) 不是拐点
方法2:
设函数 f ( x ) 在 x 0的邻域内三阶可导
,
且 f ( x 0 ) 0 , 而 f ( x 0 ) 0 , 那末 ( x 0 , f ( x 0 )) 是 曲线 y f ( x )的拐点 .
f (b ) f (a ) f ( )(b a ) 成立 .
'
有限增量公式.
y f ( x 0 x ) x ( 0 1 ).
增量 y 的精确表达式 .
推论
如果函数
f ( x ) 在区间 I 上的导数恒为零 .
,
那末 f ( x ) 在区间 I 上是一个常数
且 f ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 , 那末 (1)当 f ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x ) 在x0 处取得极大值; (2)当 f ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x ) 在x0 处取得极小值.
'' '' ' ''
求极值的步骤:
( 1 ) 求导数 f ( x ); f ( x ) 0 的根 ;
Rolle 定理
导数的应用 单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 曲率;求根方法.
1.罗尔中值定理
罗尔（ Rolle ）定理 如果函数 f ( x )在闭区间
[a , b]上连续 , 在开区间 ( a , b ) 内可导 , 且在区间
端 点 的 函 数 值 相 等 ， 即 f (a ) f (b) , 那 末 在
s0
.
曲率的计算公式
k
y
3
.
(1 y ) 2
2
3 . 曲率圆
0
定义
设曲线 y f ( x ) 在点 M ( x , y ) 处的曲率为 , 在凹的一侧
k ( k 0 ). 在点 M 处的曲线的法线上 取一点 D , 使 DM 1 k
.以 D 为圆心 , 为半径作 M 处的曲率圆 .
注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)
实际问题求最值应注意:
1)建立目标函数; 2)求最值; 若目标函数只有唯一驻
函数值即为所求的最大 点，则该点的 （或最小）值．
(4) 曲线的凹凸与拐点
定义
设f ( x )在( a , b )内连续, 如果对( a , b )内任意 f( x1 x2 2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 2 ,
( 2 ) 求驻点，即方程
( 3 ) 检查 该点的符号
( 4 ) 求极值
f ( x ) 在驻点左右的正负号或 , 判断极值点
.
f ( x ) 在
;
(3) 最大值、最小值问题
步骤:
1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值;
3.柯西中值定理
柯西（ Cauchy ）中值定理 如果函数 f ( x )及 F ( x )
'
在闭区间[a , b]上连续 , 在开区间 ( a , b ) 内可导 , 且 F ( x ) 在 ( a , b ) 内每一点处均不为零，那末在 ( a , b ) 内至少 有一点 (a b) , 使等式
f (a ) f (b) F (a ) F (b) f ( ) F ( )
' '
成立 .
4.洛必达法则
1 .
0
0 0
型及
型未定式
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
2 .
0
0 , , 0 ,1 , 型未定式
定理1
如果f ( x )在[a , b]上连续, 在( a , b )内具有二阶
导数, 若在( a , b )内 (1) f ( x ) 0, 则f ( x )在[a , b]上的图形是凹的; ( 2) f ( x ) 0, 则f ( x )在[a , b]上的图形是凸的;
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
'
'
'
有 f ( x ) 0 ，则 f ( x )在 x0 处取得极小值. (3)如果当 x ( x0 , x0 ) 及 x ( x0 , x0 ) 时, f ( x ) 符
'
'
号相同,则 f ( x ) 在 x0 处无极值.
定理(第二充分条件)设 f ( x ) 在x0 处具有二阶导数,
第三章 中值定理与 导数的应用
习题课
主要内容
一、主要内容
洛必达法则 Cauchy 中值定理
F ( x) x
0 ,1 , 型
0
令y f
g
0
0
型
f g 1 g 1 f 1 g 1 f
型
0
取对数
0 型
型
f g f 1 g
Lagrange 中值定理
f (a ) f (b)
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点. 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值.
定理(必要条件)
定义
设 f ( x ) 在点 x0 处具有导数 , 且
'
在 x0 处取得极值,那末必定 f ( x0 ) 0 .
使导数为零的点
( 即方程 f ( x ) 0 的实根 )叫
0
0
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 ( 0 ), ( ) .
0
注意：洛必达法则的使用条件.
5.导数的应用 (1) 函数单调性的判定法
定理
可导 . 1 如果在 ( a , b )内 f ( x ) 0 ，那末函数 [ a , b ]上单调增加； 2 如果在 ( a , b )内 f ( x ) 0 ，那末函数 [ a , b ]上单调减少 .
做函数 f ( x )的驻点 .
驻点和不可导点统称为临界点.
定理(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ( x ) 0;而 x ( x0 , x0 ) , 有 f ( x ) 0 ，则 f ( x )在 x0 处取得极大值. (2)如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ( x ) 0;而 x ( x0 , x0 )
定理 2 如果 f ( x ) 在( x0 , x0 ) 内存在二阶导
数 , 则 点
"
x0 ,
f ( x0 ) 是 拐 点 的 必 要 条 件 是
f ( x0 ) 0 .
方法1:
设函数 f ( x ) 在 x 0的邻域内二阶可导
,
且 f ( x 0 ) 0 ,
圆 ( 如图 ), 称此圆为曲线在点
D 是曲率中心Leabharlann 1 k,,
k
1
.
是 曲 率 半 径 .
( a , b ) 内至少有一点 (a b) , 使得函数 f ( x )
在该点的导数等于零， 即 f ' ( ) 0