高数极限讲解
大一高数函数极限知识点
大一高数函数极限知识点函数极限是高等数学中的重要概念之一，它是分析函数性质和求解各种数学问题的基础。
在大一高数课程中，函数极限是必修内容，下面将介绍几个常见的函数极限知识点。
一、基本极限公式在求解函数极限的过程中，常用的基本极限公式有以下几个：1. 当n趋向于无穷大时，$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^p} = 0$，其中p是大于0的实数。
2. 当x趋向于无穷大时，$\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^p} = 0$，其中p是大于0的实数。
3. $\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x} = 1$。
4. $\lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x = e$，其中e是自然对数的底数。
这些基本极限公式在求解各种函数极限时非常常用，熟练掌握它们可以简化计算过程。
二、函数极限的性质函数极限具有一些重要的性质，下面介绍两个常用的性质。
1. 函数极限的唯一性：如果$\lim_{x \to x_0}f(x) = A$，且$\lim_{x \to x_0}f(x) = B$，那么A=B。
即函数在某一点的极限存在时，它的极限值是唯一确定的。
2. 函数极限的四则运算法则：设$\lim_{x \to x_0}f(x) = A$，$\lim_{x \to x_0}g(x) = B$，其中A、B都存在，则有以下四则运算法则：（1）$\lim_{x \to x_0}[f(x) \pm g(x)] = A \pm B$（2）$\lim_{x \to x_0}[f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$（3）$\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$，其中B不等于0。
这些性质在计算复杂函数极限时非常有用，可以简化计算步骤。
三、函数极限的求解方法对于一些特殊函数，我们需要使用一些特殊的求解方法来计算其极限。
高数大一函数的极限知识点
高数大一函数的极限知识点一、极限的定义在数学中，极限是指函数在某一点上逼近特定值的过程。
对于大一学生来说，了解极限的定义对于后续的数学学习至关重要。
根据极限的定义，给定一个函数和一个点，当该函数的自变量无限接近这个点时，函数值趋近于某个确定的值，这个确定的值就是函数在该点的极限。
二、常用的极限运算法则在计算函数极限时，我们可以使用一些常用的运算法则，这些法则可以简化计算过程，提高效率。
1. 基本极限法则：- 常数函数的极限：若k为常数，则lim(f(x)) = k (x-->a)- 恒等函数的极限：lim(x) = a (x-->a)- 幂函数的极限：lim(x^n) = a^n (x-->a)，其中n为正整数- 指数函数的极限：lim(a^x) = a^a (x-->a)，其中a为正实数2. 四则运算法则：- 和差的极限：lim(f(x)±g(x)) = lim(f(x)) ± lim(g(x)) (x-->a)- 积的极限：lim(f(x)g(x)) = lim(f(x)) · lim(g(x)) (x-->a)- 商的极限：lim(f(x)/g(x)) = lim(f(x))/lim(g(x)) (x-->a)，其中g(x) ≠ 03. 复合函数的极限法则：- 复合函数的极限：lim(f(g(x))) = lim(f(u)) (u-->lim(g(x)))三、函数的一致性对于大一函数的极限，函数的一致性也是需要注意的重要概念。
一致性是指当自变量趋于某个特定值时，函数的极限是唯一确定的。
具体来说，对于一个函数f(x)，当x趋于a时，如果极限值是L，在邻域内的所有点都有f(x)趋于L，那么函数f(x)在点a处是连续的。
四、无穷极限除了有限极限之外，函数还可能存在无穷极限。
无穷极限包括正无穷大、负无穷大以及无穷小。
当函数在某一点的极限是正无穷大时，我们可以表示为lim(f(x)) = +∞ (x-->a)；当极限是负无穷大时，我们可以表示为lim(f(x)) = -∞ (x-->a)；当极限是无穷小时，我们可以表示为lim(f(x)) = 0 (x-->a)。
高等数学极限知识点讲解
高等数学极限知识点讲解在数学的学习过程中，极限是一项非常重要且基础的概念。
它是研究函数和数列的性质时经常用到的一个数学工具。
本文将对高等数学中的极限知识点进行系统的讲解，帮助读者更好地理解和掌握这一部分内容。
极限的概念在数学中，极限是研究函数在某一点附近的性质时的重要概念。
简而言之，当自变量趋于某一值时，函数的取值趋于一个确定的值或者无穷大，这个值就是极限。
通常用符号$\\lim$表示，表示当自变量趋于某一点时，函数的极限值。
一元函数的极限对于一元函数f(f)而言，其在f=f处的极限定义如下：$$ \\lim_ {x \\to a} f(x) = L $$其中f是一个常数，表示当f接近f时，f(f)的值趋近于f。
极限的性质重要性质1.极限的唯一性：函数在某一点的极限值唯一。
2.有界性：如果函数在某一点有极限，那么该函数在该点附近是有界的。
3.保号性：如果函数在某一点的左右极限值不相等，那么函数在该点不连续。
极限的运算1.一元函数极限的四则运算法则：两个可导函数的极限和、差、积、商的性质。
2.复合函数的极限：复合函数的极限等于内层函数的极限乘以外层函数的极限。
极限存在的条件极限存在的条件包括分式函数在极限点处不为零、边界点无穷远点等情况。
极限的计算方法无穷小与无穷大的比较当f趋于无穷大时，无穷小量与无穷大量的比较的方法。
夹逼准则夹逼准则是求解一些复杂极限的有效方法，通过找到比所求函数更简单的两个函数界，求出极限。
单调有界准则单调有界准则是判断函数是否有极限的一种方法，如果函数单调有界，那么函数一定有极限。
结语通过本文的讲解，读者应该对高等数学中极限的一些重要知识点有所理解。
极限是数学中的基础概念，对于理解函数的性质和数列的收敛性都有重要的意义。
希望读者能够认真学习并掌握这些知识，为后续的学习打下坚实的基础。
大一高数知识点总结求极限
大一高数知识点总结求极限大一的高等数学课程对于许多学生来说是一个挑战。
其中，求极限是一个重要的知识点，在解决数学问题和理解数学概念时起到关键的作用。
本文将对大一高数中与求极限相关的知识做一个总结。
一、数列极限在大一高数中，数列极限是一个基础而重要的概念。
数列极限可以通过数学定义和一些常用的极限定理来求解。
1. 数列极限的定义数列极限的定义是：对于一个数列{an}，当n趋近于无穷时，如果存在一个实数A，使得对于任意给定的正数ε（无论多么小），都存在正整数N，使得当n > N时，有|an - A| < ε成立，则称数列的极限为A。
2. 常用的数列极限定理在实际计算中，可以根据一些常用的数列极限定理简化计算过程。
常用的数列极限定理包括：- 夹逼准则：当数列{an}、{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，且lim(n→∞)an=lim(n→∞)cn=L，那么lim(n→∞)bn=L。
- 唯一性定理：如果数列{an}与数列{bn}有相同的极限，即lim(n→∞)an=lim(n→∞)bn=L，那么可以推出lim(n→∞)(an ±bn)=2L。
- 四则运算法则：对于两个数列{an}和{bn}，如果它们的极限存在，可以利用四则运算计算它们的极限。
即lim(n→∞)an ± bn = lim(n→∞)an ± lim(n→∞)bn，lim(n→∞)an · bn =lim(n→∞)an · lim(n→∞)bn，lim(n→∞)an / bn = (lim(n→∞)an) / (lim(n→∞)bn)（其中，lim(n→∞)bn ≠ 0）。
二、函数极限在大一高数中，函数极限是求极限的另一个重要方面。
函数极限的计算可以通过代入法、夹逼定理和洛必达法则等方法进行。
1. 函数极限的代入法对于一些常见的函数极限，可以通过代入法进行计算。
例如，对于以下函数极限的计算：lim(x→a)f(x)，当x趋近于某个实数a时，可以通过直接将x代入f(x)的表达式中，计算得到极限值。
高数大一求极限知识点总结
高数大一求极限知识点总结高等数学中的极限是一个重要且基础的概念，它在微积分和数学分析等学科中起到了至关重要的作用。
大一学习高数过程中，掌握极限的相关知识点对于进一步深入学习数学和应用数学是至关重要的。
本文将对大一高数中的极限知识点进行总结，以帮助同学们回顾复习和加深理解。
1. 极限的定义极限是指当自变量趋向于某一特定值时，函数值或数列的趋势。
对于函数而言，当自变量逐渐接近某个特定值时，函数值是否逐渐趋于确定的有限值或无穷大，这个确定的值就是该函数的极限。
2. 极限的性质- 唯一性：如果一个函数存在极限，那么极限是唯一的。
- 有界性：如果一个函数在某个点附近存在极限，那么该函数在该点附近有界。
- 保号性：如果一个函数在某个点附近极限存在，且极限大于（或小于）0，那么在该点附近函数的值也大于（或小于）0。
3. 极限的四则运算在计算函数的极限时，可以利用四则运算的法则来简化问题。
以下是常见的四则运算法则：- 两个函数相加（减）的极限等于两个函数的极限的和（差）。
- 一个函数与一个常数相乘的极限等于函数的极限乘以常数。
- 两个函数相乘的极限等于两个函数的极限的乘积。
- 一个函数除以另一个函数的极限等于函数的极限除以另一个函数的极限。
4. 极限存在的充分条件为了判断一个函数在某点是否存在极限，可以利用以下常见的充分条件：- 函数在该点附近有定义。
- 左极限和右极限存在且相等。
- 函数在该点附近有界。
- 函数在该点附近单调。
- 函数在该点附近保号。
5. 常见的极限计算方法- 代入法：直接将自变量代入函数中，求函数值来确定极限。
- 消去法：通过分子有理化、分母有理化等方法，将复杂的表达式转化为简单的形式，进而计算极限。
- 夹逼定理：当存在两个函数，它们在某点附近夹住待求函数，并且这两个函数的极限相等，那么待求函数的极限也等于这个共同的极限。
6. 无穷小量与无穷大量- 无穷小量：当自变量趋于某一特定值时，函数的极限趋近于0，这个极限称为无穷小量。
大一高数知识点归纳极限
大一高数知识点归纳极限在大一的高等数学中，极限是一个非常重要的概念和知识点。
它是数学中的基础，也是许多高级数学概念的起点。
下面我们将对大一高数中的极限知识点进行归纳和总结。
1. 极限的定义在数学中，极限可以用来描述一个函数或者数列在某一点或者无穷远处的趋势。
对于函数f(x)，当x无限接近于一个常数a时，如果f(x)无限接近于一个常数L，那么我们可以说f(x)的极限为L，表示为lim (x->a) f(x) = L。
2. 无穷大与无穷小量在讨论极限时，我们经常会接触到无穷大与无穷小量的概念。
无穷大量是指当x趋近于某一点时，函数的值趋近于无穷大；无穷小量则是指当x趋近于某一点时，函数的值趋近于0。
3. 常见的极限计算方法我们可以通过一些常见的极限计算方法来求解各种函数的极限：- 代数运算法则：包括加减乘除四则运算的极限性质。
- 复合函数极限法则：当函数是由多个函数复合而成时，可以通过复合函数极限法则来求解极限。
- 洛必达法则：当求解函数的极限遇到形如0/0或者∞/∞的不定型时，可以利用洛必达法则进行求解。
- 数列极限：数列是一系列数字按照特定规律排列的集合，其中的极限也是一种重要的研究对象。
4. 基本的极限性质和定理在极限的研究中，我们还有一些基本的性质和定理：- 极限的唯一性定理：如果一个函数存在极限，那么这个极限是唯一的。
- 保号性定理：如果一个函数在某一点的左侧有极限，且极限大于0，那么在该点的右侧也有极限，且极限仍大于0。
- 夹逼定理：如果一个函数在某一点的左侧和右侧存在两个函数，且这两个函数的极限相等，那么原函数的极限也等于这个公共的极限。
- 连续函数定理：如果一个函数在某一点存在极限，并且这个极限等于函数在该点的值，那么这个函数在该点是连续的。
5. 极限在微积分中的应用极限在微积分中应用广泛，下面是一些常见的应用：- 求导：导数就是某一点的函数斜率，而极限可以用来表示这个点的函数值无限接近于该点的斜率。
大一数学极限高数知识点
大一数学极限高数知识点一、数列极限在大一数学中，数列极限是其中一个重要的知识点。
数列是按照一定规律排列的一串数值，它的极限表示了数列随着项数的增加而趋近的一个值。
数列极限的定义如下：对于一个数列{an}，如果存在一个实数L，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，当n>N时，有|an-L|<ε成立，那么L就是这个数列的极限。
二、函数极限除了数列极限，函数极限也是大一数学中的重要内容。
函数的极限表示了当自变量趋近于某个值时，函数的输出趋近于一个特定的值。
函数极限的定义如下：对于函数f(x)，如果存在一个实数L，对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，那么L就是这个函数在点a处的极限。
三、导数与极限的关系在高等数学中，导数与极限是密切相关的。
导数是函数在某一点处的变化率，而极限则描述了函数在某一点的趋近情况。
导数与极限的关系可以通过极限定义的导数公式来表示。
极限定义的导数公式如下：对于函数f(x)，如果在点a处的导数存在，那么导数等于极限lim(x→a) [f(x)-f(a)]/(x-a)。
四、极限运算法则在大一数学中，极限运算法则是用于计算复杂函数极限的重要工具。
它包括了函数极限的四则运算法则和复合函数的极限法则。
函数极限的四则运算法则如下：1. 两个函数极限的和等于极限的和，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
2. 两个函数极限的差等于极限的差，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
3. 两个函数极限的积等于极限的积，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
4. 两个函数极限的商等于极限的商，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。
高数函数的极限知识点
高数函数的极限知识点一、极限的定义1. 数列极限数列 $\{a_n\}$ 极限为 $L$，记作 $\lim_{n \to \infty} a_n = L$，如果对于任意给定的正数 $\epsilon$，总存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，不等式 $|a_n - L| < \epsilon$ 成立。
2. 函数极限函数 $f(x)$ 当 $x \to c$ 时的极限为 $L$，记作 $\lim_{x \to c} f(x) = L$，如果对于任意给定的正数 $\epsilon$，总存在一个正数 $\delta$，使得当 $0 < |x - c| < \delta$ 时，不等式 $|f(x) - L| < \epsilon$ 成立。
二、极限的性质1. 唯一性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 和 $\lim_{x \to c} f(x) = M$ 都成立，则 $L = M$。
2. 局部有界性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$，则 $f(x)$ 在 $c$ 的某个邻域内有界。
3. 局部保号性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 且 $L > 0$，则存在 $c$ 的一个邻域，使得在这个邻域内 $f(x) > 0$。
三、极限的计算1. 极限的四则运算如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 和 $\lim_{x \to c} g(x) = M$ 都存在，则：- $\lim_{x \to c} [f(x) + g(x)] = L + M$- $\lim_{x \to c} [f(x) - g(x)] = L - M$- $\lim_{x \to c} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$- $\lim_{x \to c} [f(x) / g(x)] = L / M$，当 $M \neq 0$。
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说明: 当
时, 有
ln(1 x) ~ x
ex 1 ~ x
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例4. 求
解: 原式
3 sin x ln(1 2 x )
3 2x x
说明: 若 lim u ( x) 0 , lim v( x) , 则有
x x0 x x0
x x0
lim 1 u ( x)
M
y f (x)
上有界 .
m o a 1 2
y
y f (x)
b
x
二、介值定理
定理2. ( 零点定理 ) 且 使 至少有一点
( 证明略 )
机动
o
a
b x
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定理3. ( 介值定理 ) 设 f ( x) C [ a , b ] , 且 f (a) A , f (b) B , A B , 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 至少有 一点 使
在
内连续 .
y sin( x x) sin x
y 2
x sin 2
cos( x
x ) 2
x
即 这说明 在 在
x 0
0
内连续 .
同样可证: 函数
内连续 .
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二、 函数的间断点
设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 不连续 : 无定义 ; 之一函数 f (x) 在点 (1) 函数 在
y
证: 作辅助函数
y f (x)
( x) f ( x) C
则 ( x ) C [ a , b ] , 且
B C A
(a) (b) ( A C )( B C )
o a
b x
使 故由零点定理知, 至少有一点 即 必取得介于最小值与最 推论: 在闭区间上的连续函数 大值之间的任何值 .
存在 ;
存在 ;
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若
在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 上的连续函数的集合记作 C [ a , b ]. ( 有理整函数 ) 在 上连续 .
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
在闭区间
例如,
又如, 有理分式函数 在其定义域内连续.
) 只要 Q( x0 ) 0 lim lim x ) x0 ( , ), , 都有 P( x)R( P)( x0 R( x0 continue
x x0 x x0
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对自变量的增量 函数
x x0
有函数的增量 连续有下列等价命题:
x 0
在点
lim f ( x) f ( x0 )
x 0
lim f ( x0 x) f ( x0 )
lim y 0
y y f (x)
y
(2) 函数
(3) 函数
在
在
x x0
虽有定义 , 但
虽有定义 , 且
不存在; 存在 , 但
lim f ( x) f ( x0 )
称为间断点 .
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这样的点
间断点分类:
第一类间断点: 及 若 若 第二类间断点: 均存在 , 称 称
x0 为可去间断点 . x0 为跳跃间断点 .
o 1
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x
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x , x 1 (4) y f ( x) 1 2 , x 1
显然 lim f ( x) 1 f (1)
x1
y
1
1 2
x 1 为其可去间断点 .
x 1 , x 0 (5) y f ( x) 0 , x 0 x 1 , x 0
及
中至少一个不存在 ,
若其中有一个为 , 称
x0 为无穷间断点 . x0 为振荡间断点 .
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若其中有一个为振荡 , 称
例如:
y
y tan x
2
为其无穷间断点 . x 2
o
x
y
1 y sin x
x 0 为其振荡间断点 .
y
0
x
x 1 为可去间断点 .
第九节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 确定函数 f ( x)
解: 间断点 x 0 , x 1
1 1 e
x 1 x
间断点的类型.
lim f ( x) , x 0 为无穷间断点;
x0
x , f ( x) 0 当 x 1 时, 1 x x , f ( x) 1 当 x 1 时, 1 x
故 x 1 为跳跃间断点.
在 x 0 , 1处 , f ( x) 连续.
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第九节 连续函数的运算与 初等函数的连续性
一、连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性
第一章
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一、连续函数的运算法则
定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 .
内容小结
基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续
初等函数在 定义区间内 连续
说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其
左、右连续性.
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思考与练习
续? 反之是否成立? 提示: “反之” 不成立 .反例 x 为有理数 x 为无理数
当
时, 取
或
, 则有
故由零点定理知 , 存在
使
即
小结
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*三. 一致连续性
已知函数
在区间 I 上连续, 即:
一般情形, 与 , x0 都有关 . 了一致连续的概念 . 定义: 都有 在 I 上一致连续 . 显然:
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就引出 对任意的
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例如,
因为 则 但 这说明
值和最小值.
即: 设 f ( x) C [ a , b ] , 则 1 , 2 [ a , b ] , 使
f (1 ) min f ( x)
a xb
y y f (x)
f ( 2 ) max f ( x)
a xb
(证明略)
o a 1 2 b x
注意: 若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断 点 , 结论不一定成立 .
又如,
其反函数
在
在
上连续 单调 递增,
上也连续单调递增.
定理3. 连续函数的复合函数是连续的. 证: 设函数 即 于是 且 ( x0 ) u0 .
lim f (u )
uu0
f [ ( x0 )]
故复合函数
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例如,
是由连续函数链
x R*
复合而成 , 因此
例如,
y 1 x 的连续区间为
2
(端点为单侧连续)
y ln sin x 的连续区间为
而 y
cos x 1 的定义域为
因此它无连续点
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例2. 求
解: 原式 例3. 求 解: 令 t a 1, 则 x log a (1 t ) , t 原式 lim t 0 log a (1 t )
二分法
1 2
0
1 x
3 4
则 ( 1 , 3 ) 内必有方程的根 ; 可用此法求近似根. 2 4
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例2. 设 f (x) 在 对任意的
使 证: 令
上连续 , 且恒为正 , 证明: 必存在一点
,则
f ( x1 ) f ( x2 ) [ f ( x1 ) f ( x2 )]2 0
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )
左连续 右连续
x
o
x0
x x
0 , 0 , 当 x x0 x 时, 有 f ( x) f ( x0 ) y
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例. 证明函数 证: x ( , )
第一章
第八节 函数的连续性与间断点
一、 函数连续性的定义
二、 函数的间断点
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一、 函数连续性的定义
定义: 设函数 在 的某邻域内有定义 , 且
则称函数 f ( x) 在 x0 连续. 可见 , 函数 (1) (2) 极限 (3) 在点 在点 x0 连续必须具备下列条件:
有定义 , 即
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思考与练习
1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它 一刀剪为面积相等的两片. 提示: 建立坐标系如图.
y
则面积函数 S ( ) C[ , ]
因 S ( ) 0 , S ( ) A
o
S ( )
x
故由介值定理可知:
A 0 ( , ) , 使 S ( 0 ) . 2
处处间断,
处处连续 .
作业