概率论与数理统计第03章多维随机变量及其分布第1讲
《概率学》3.1多维随机变量及其联合分布
第1节 二维随机变量的联合分布
第三章 多维随机变量及其分布
例 2 设随机变量 X 在 1,2,3,4四个数中等可能地取值，
另一个随机变量 Y 在1~X 中等可能地取一整数值。试求
( X,Y ) 的概率分布列及P｛X=Y｝.
解 由题意知，｛X=i，Y=j｝的取值情况是：i=1,2,3,4， 且是等可能的；然后 j 取不大于 i 的正整数。由乘法公 式求得 ( X,Y ) 的分布律。
(3) P{X+Y≤1} (4) P{X=0}
解: 令X 表示取出的红球数，Y表示取出的蓝球数，
（X,Y）的所有可能取值为（0, 0）,（0,1）,（0, 2),
（1, 0）,（1,1）,（2, 0）依古典概型得
pij
P{X
i,Y
j}
C3iC2jC42i j C92
（i=0,1,2; j=0,1,2; 且i+j≤2）
F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P｛X≤x,Y≤y｝ 称为二维随机向量(X, Y)的分布函数, 或称为随机 变量X和Y的联合分布函数.
几何意义 F(x, y)为(X, Y)落在点(x, y)的左下区域的概率. y
(x, y)
(X, Y ) o
6
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第1节 二维随机变量的联合分布
第三章 多维随机变量及其分布
计算概率： 对于任意的x1＜x2，y1＜y2，
P｛x1＜X≤x2，y1＜Y≤y2｝
＝F（x2, y2）-F(x2,y1) -F(x1 ,y2)+F(x1 ,y1)
y y2
(x1 , y2)
(X, Y )
y1 (x1 , y1)
概率统计第三章 多维随机变量及其分布
第三章多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布第一节 多维随机变量及其分布５．二维随机变量若对于试验的样本空间Ω中的每个试验结果e ，有序变量(,)X Y 都有确定的一对实数值与e 相对应，即()X X e =， ()Y Y e =，则称(,)X Y 为二维随机变量或二维随机向量． 6．二维离散型随机变量及联合概率函数如果二维随机变量(,)X Y 仅可能取有限个或可列无限个值，那么，称(,)X Y 为二维离散型随机变量．二维离散型随机变量(,)X Y 的分布可用下列联合概率函数来表示：(,),,1,2,,i j ij P X a Y b p i j ====其中，0,,1,2,,1ij iji j p i j p≥==∑∑．7．二维离散型随机变量的边缘概率函数设(,)X Y 为二维离散型随机变量，ijp 为其联合概率函数（,1,2,i j =），称概率()(1,2,)i P X a i ==为随机变量X 的边缘概率函数，记为i p 并有.(),1,2,i i ij jp P X a p i ====∑，称概率()(1,2,)j P Y b j ==为随机变量Y 的边缘概率函数，记为.jp ，并有.jp =(),1,2,j ij iP Y b p j ===∑.8．随机变量的相互独立性 ．设(,)X Y 为二维离散型随机变量，X 与Y 相互独立的充分必要条件为,,1,2,.ij i j p p p i j ==对一切多维随机变量的相互独立性可类似定义．即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论．９．二维离散型随机变量(,)X Y 的条件概率函数 设(,)X Y 为二维离散型随机变量，ijp 为其联合概率函数 (,1,2,)i j =，X 在给定jY b =下的条件概率函数为(|),1,2,;ij i j jp P X a Y b i p ⋅====Y 在给定i X a =下的条件概率函数为(|),1,2,ij j i i p P Y b X a j p ⋅====10．随机变量函数的分布设X 是一个随机变量，()g x 是一个已知函数，()Y g X =是随机变量X 的函数，它也是一个随机变量．对离散型随机变量X ，下面来求这个新的随机变量Y 的分布．设离散型随机变量X 的概率函数为则随机变量函数Y g =但要注意，若()i g a 的值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，同时把对应的概率i p 相加．1１．二维离散型随机变量函数的分布如果二维离散型随机变量的联合概率函数为(,),,1,2,,i j ij P X a Y b p i j ====则随机变量函数(,)Z g X Y =的概率函数为((,)),,1,2,,i j ij P Z g a b p i j ===但要注意，取相同(,)i j g a b 值对应的那些概率应合并相加． 特别有下面的结论：(j) 设~(,),~(,)X B m p Y B n p ，且X 与Y 相互独立，则~(,)X Y B m n p ++； (ii) 设12~(),~()X P Y P λλ，且X 与Y 相互独立，则12~()X Y P λλ++．三、思考题１．某地有２５００人参加人寿保险，每人在年初向保险公司交付把费１２元，若在这一年内死亡，则由其家属从保险公司领取２０００元．设该地人口死亡率为１．５％，求保险公司获利不少于１００００元的概率．２．已知二维随机变量(,)X Y 的联合概率函数为 YX ０ １ ２０ 19 118 16１ α β 19 问,αβ取何值时，X 与Y 相互独立？3．联合分布函数二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数规定为随机变量X 取值不大于x 实数的概率，同时随机变量Y 取值不大于实数y 的概率，并把联合分布函数记为(,)F x y ，即(,)(,),,F x y P X x Y y x y =≤≤-∞<<+∞-∞<<+∞．4．联合分布函数的性质 (1) 0(,)1F x y ≤≤；(2) (,)F x y 是变量x (固定y )或y (固定x )的非减函数； (3)(,)0,(,)0lim lim x y F x y F x y →-∞→-∞==，(,)0,(,)1lim lim x x y y F x y F x y →-∞→+∞→-∞→+∞==；(4) (,)F x y 是变量x (固定y )或y (固定x )的右连续函数；(5) 121222211211(,)(,)(,)(,)(,)P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=--+．８．二维连续型随机变量及联合概率密度对于二维随机变量(X ，Y)的分布函数(,)F x y ，如果存在一个二元非负函数(,)f x y ，使得对于任意一对实数(,)x y 有(,)(,)xyF x y f s t dtds-∞-∞=⎰⎰成立，则(,)X Y 为二维连续型随机变量，(,)f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度． ９．二维连续型随机变量及联合概率密度的性质(1) (,)0,,f x y x y ≥-∞<<+∞； (2)(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰；(3) 设(,)X Y 为二维连续型随机变量，则对任意一条平面曲线L ，有((,))0P X Y L ∈=； ’(4) 在(,)f x y 的连续点处有2(,)(,)F x y f x y x y ∂=∂∂;(5) 设(,)X Y 为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域D 有((,))(,)DP X Y D f x y dxdy∈=⎰⎰．1０，二维连续型随机变量(,)X Y 的边缘概率密度设(,)f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度，则X 的边缘概率密度为()(,)X f x f x y dy+∞-∞=⎰；Y 的边缘概率密度为()(,)Y f y f x y dx+∞-∞=⎰．1１．二维连续型随机变量(,)X Y 的条件概率密度设(,)f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度，则X 在给定Y y =的条件下的条件概率密度为|(,)(|),()X Y Y f x y f x y x f y =-∞<<+∞，其中()0Y f y >；Y 在给定X x =的条件下的条件概率密度为 |(,)(|),()Y X X f x y f y x y f x =-∞<<+∞，其中()0X f x >．1２．常用的二维连续型随机变量 (1) 均匀分布如果(,)X Y 在二维平面上某个区域G 上服从均匀分布，则它的联合概率密度为1,(,)x y f x y G ⎧∈⎪=⎨⎪⎩，（)G;的面积0,其余. (2) 二维正态分布221212(,,,,)N μμσσρ 如果(,)X Y 的联合概率密度2211212221121()()()()1(,)22(1)x x y x f x y μμμμρρσσσσ⎧⎫⎡⎤----⎪⎪=--+⎨⎬⎢⎥-⎪⎪⎣⎦⎩⎭则称(,)X Y 服从二维正态分布，并记为221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ.如果221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，则211~(,)X N μσ，222~(,)Y N μσ，即二维正态分布的边缘分布还是正态分布．1３．随机变量的相互独立性 ．如果X 与Y 的联合分布函数等于,X Y 的边缘分布函数之积，即(,)()(),,X Y F x y F x F y x y =-∞<<+∞对一切，那么，称随机变量X 与Y 相互独立．设(,)X Y 为二维连续型随机变量，则X 与Y 相互独立的充分必要条件为(,)()(),X Y f x y f x f y =在一切连续点上.如果221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ．那么，X 与Y 相互独立的充分必要条件是0ρ=．多维随机变量的相互独立性可类似定义．即多维随机变量的联合分布函数等于每个随机变量的边缘分布函数之积，多维连续型随机变量的独立性有与二维相应的结论． 1４．随机变量函数的分布（１）一维随机变量函数的概率密度 设连续型随机变量X 的概率密度为()X f x ，则随机变量()Y g X =的分布函数为()()(())()()yY y X I F y P Y y P g X y P X I f x dx=≤=≤=∈=⎰其中，{}y X I ∈与{()}g X y ≤是相等的随机事件，而{||()}y I x g x y =≤是实数轴上的某个集合．随机变量Y 的概率密度()Y f y 可由下式得到：'()()Y Y f y F y =．连续型随机变量函数有下面两条性质：(i) 设连续型随机变量的概率密度为()X f x ，()Y g X =是单调函数，且具有一阶连续导数，()x h y =是()y g x =的反函数，则()Y g X =的概率密度为()(())|'()|Y f y f h y h y =⋅．(ii) 设2~(,)X N μσ，则当0k ≠时，有22~(,)Y kX b N k b k μσ=++，特别当1,k b μσσ==-时，有~(0,1)Y kX b N =+，~(0,1)X N μσ-．（２）二维随机变量函数的概率密度设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合概率密度为(,)f x y ,则随机变量函数(,)Z g X Y =的分布函数为()()((,))((,))(,)ZZ Z D F z P Z z P g X Y z P X Y D f x y dxdy=≤=≤=∈=⎰⎰,其中，{(,)}Z X Y D ∈是与{(,)}g X Y z ≤等价的随机事件，而{(,):(,)}Z D x y g x y z =≤是二维平面上的某个集合(通常是一个区域或若干个区域的并集)． 随机变量函数(,)Z g X Y =的概率密度为'()()Z Z f z F z =.当X 与Y 相互独立，且X 的概率密度为()X f x ,Y 的概率密度为()Y f y 时，随机变量函数Z X Y =+的概率密度为()()()Z X Y f z f x f z x dx+∞-∞=-⎰, 或 ()()()Z X Y f z f x f z x dx+∞-∞=-⎰．以上两个公式也称为卷积公式．当X 与Y 相互独立，且X 的分布函数为()X F x ,Y 的分布函数为()Y F y 时，随机变量函数max(,)Z X Y =的分布函数为()()()Z X Y F z F z F z =，随机变量函数max(,)W X Y =的分布函数为()1(1())(1())W X Y F w F w F w =---．通过求导，可以求得,Z W 的概率密度． 特别有下面的结论：设211~(,)X N μσ，222~(,)Y N μσ，且X 与Y 相互独立，则221212~(,)X Y N μμσσ+++．三、思考题１．设随机变量(,)X Y 的概率密度为(),0,0,(,)0,x y xye x y f x y -+⎧≥≥=⎨⎩其它. 求(3).P X Y ≥２．若X Y 与为相互独立的分别服从[0,1]上均匀分布的随机变量，试求Z X Y =+的分布密度函数．在许多问题中，随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述．如，大学生的身体状况（身高H 和体重W ），弹着点的位置(,)X Y 等．单单逐个研究还不足以把握其变化规律，因为它反映不出X 和Y 之间的关系，需作为一个整体来研究——多维随机变量．以二维随机变量为例介绍．一 二维随机变量及其分布函数1 二维随机变量定义1 设X 、Y 是定义在同一样本空间上的随机变量，称有序对(,)X Y 为二维随机变量（Two - dimensional random variables ，2-rv ）或二维随机向量．注1 (,)X Y 可以看作平面上的随机点． 注2 用二维随机变量表达事件：{(,)}{((),())}X Y D X Y D ωωω∈∈2()D ∈．特别地，{,}X x Y y ==，{,}X x Y y ≤≤．注3 n 维随机变量12(,,,)n X X X ．2 二维随机变量的分布函数定义2 设(,)X Y 为二维随机变量，称二元函数{}(,),F x y P X x Y y =≤≤（任意实数,x y ）为二维随机变量(,)X Y 的分布函数, 或(,)X Y 的联合分布函数，或X 和Y 的联合分布函数．（J-cdf ）注4 (,)F x y 表示随机点(,)X Y 落在以(,)x y 为右上端点的广义矩形区域内的概率．（画图）注5 随机点(,)X Y 落在任意矩形区域1212[;]x x x y y y <≤ <≤之内的概率为121222211112{;}(,)(,)(,)(,)P x X x y y y F x y F x y F x y F x y <≤ <≤=-+-．注6 n 维随机变量12(,,,)n X X X 的分布函数（或12,,,n X X X 的联合分布函数）：121122(,,,){,,,}n n n F x x x P X x X x X x =≤≤≤（12,,,n x x x ∀ ∈）．3 分布函数的基本性质性质1（非减性）(,)F x y 对于每一个变量非减． 性质2（右连续性）(,)F x y 对于每一个变量右连续．性质3（边界极端性）(,)0F y -∞=，(,)0F x -∞=，(,)1F +∞+∞=． 性质4（多维特别性质） 对任意1212,x x y y <<，有22211112(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y -+-≥．注7 4条性质是决定性的．画图并解释性质4（缺之不可，对比多元微积分与一元微积分）：222111121212(,)(,)(,)(,){}F x y F x y F x y F x y P x X x y y y -+-=<≤<≤,．对于多维随机变量，由分布函数出发求事件的概率不常采用（了解之即可）．类似于一维情形，通常我们是针对离散型和连续型这两种常见情形，给出表达其概率分布的比较方便的形式．二 二维离散型随机变量的分布律1 定义定义3 若二维随机变量(,)X Y 的所有可能的取值是有限个或可列个：(,),1,2,i j x y i j =（），则称(,)X Y 为二维离散型随机变量(Two -dimensional discrete randomvariables , 2d-rv )，并称函数{,}i j ijP X x Y y p ===（,1,2,i j =）为(,)X Y 的分布律，或(,)X Y 的联合分布律，或X 和Y 的联合分布律．（J-pmf )注8ijp 表示随机点(,)X Y 落在点,i j x y （）上的概率．注9 二维离散型随机变量的分布律的表格表示：一维表格（不常用）：略． 二维表格（常用）：例1 口袋中有3个球（编号分别为0,1,1）．接连抽取两球，X 、Y 分别表示第一次、第二次取得球的编号，求X 和Y 的联合分布律．例2 某射手击中目标的概率为p (01)p <<．连续射击直至击中目标两次为止，X 表示首次击中目标所射击的次数，Y 表示总射击次数，求X 和Y 的联合分布律．解 X 和Y 的联合分布律为22(,)(1)n P X m Y n p p -===-（2,3,;1,2,,1n m n ==-）．2 联合分布律的基本性质性质1（非负性）0(,1,2,)ij p i j ≥=．性质2（正则性）111iji j p+∞+∞===∑∑．注10 性质是决定性的．3 由联合分布律求事件的概率(,){(,)}i j ijx y DP x y D p ∈∈=∑．特别地，(,)i j ijx x y yF x y p≤≤=∑．（当然，由联合分布函数还可导出联合分布律）三 二维连续型随机变量的概率密度函数1 定义定义4 设(,)X Y 是二维随机变量，若存在非负函数(,)f x y ，使得(,)(,)yxF x y f x y dxdy-∞-∞=⎰⎰，则称(,)X Y 为二维连续型随机变量(Two -dimensional continuous random variables ，2c-rv )，而函数(,)f x y 称为二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数，或(,)X Y 的联合概率密度函数, 或X 和Y 的联合概率密度函数．(J-pdf )注11 密度函数不唯一．注12 (,)f x y dxdy 表示随机点(,)X Y 落在(,)x y 的微小邻域内的概率． 2 联合密度函数的基本性质性质1 (,)0f x y ≥． 性质2 (,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰．注13 性质是决定性的．例3 设(,)X Y 的密度函数为(2)0,0(,)0x y Ce x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他，求（1）常数C ；（2）分布函数(,)F x y ；（待讲）（3）{}P Y X ≤．（待讲） 3 由联合密度函数求事件的概率{(,)}(,)DP X Y D f x y dxdy∈=⎰⎰．特别地，{,}0P X x Y y ===．例3 （2）（3）见上例4 设(,)X Y 的密度函数为1(6),02,24(,)80,x y x y f x y ⎧--<<<<⎪=⎨⎪⎩其他，求（1）3{1,3}8P X Y <<=； （2）5{3}24P X Y +≤=．4 联合密度函数与联合分布函数(,)(,)yxF x y f x y dxdy-∞-∞=⎰⎰；2(,)(,)F x y f x y x y ∂=∂∂（在(,)f x y 的连续点处，或使得(,)F x y 二阶混合偏导连续的点处）．5 常用的二维连续型分布 ➢ 二维均匀分布(,)~()X Y U D ：1,(,)(,)0,Dx y DS f x y ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他．背景：馅饼． ➢ 二维正态分布(,)X Y ~221212(,,,,)N μμσσρ（12,μμ为任意常数，120,0σσ>>, 11ρ-<<）：22112222211221()()()()(,)22(1)x x y y f x y μμμμρρσσσσ⎧⎫⎡⎤----⎪⎪--+⎨⎬⎢⎥-⎪⎪⎣⎦⎩⎭．特别地，(,)X Y ~(0,0,1,1,)N ρ（二维标准正态）：22222(1)(,)x xy y f x y ρρ-+--．四 联合分布与边缘分布随机变量X 和Y 作为一个整体：(,)X Y ，具有概率分布（联合分布函数，联合分布律或联合密度函数），它从整体上反映了(,)X Y 的统计规律性．由于X 和Y 都是随机变量，它们都有自己的概率分布（分布函数，分布律或密度函数）．为了区别于联合分布，分别称之为二维随机变量(,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘(Marginal )概率分布（边缘分布函数M-cdf ，边缘分布律M-pmf 或边缘密度函数M-pdf ）．记号: ()X F x ,()Y F y ,()X f x ,()Y f y 等．联合分布可完全确定边缘分布：➢ 边缘分布函数可由联合分布函数确定：()()X F x F x =+∞,，()()Y F y F y =+∞，．➢ 边缘分布律可由联合分布律确定：{}1(1,2,)i iji j p X x p p i +∞⋅=== = ∑，{}1(1,2,)j ijj i p Y y p p j +∞⋅=== = ∑．➢ 边缘密度函数可由联合密度函数确定：()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰，()(,)Y f y f x y dx+∞-∞=⎰．例5（见前例1）（略）例6（见前例2）已知X 和Y 的联合分布律为22(,)(1)n P X m Y n p p -===-，（2,3,;1,2,,1n m n ==-）．求(,)X Y 的边缘分布律． 解 (,)X Y 关于X 的边缘分布律是1{}(,)n m P X m P X m Y n ∞=+====∑221(1)n n m p p ∞-=+=-∑1(1)m p p -=-（m =1,2, …）；(,)X Y 关于Y 的边缘分布律是11{}(,)n m P Y n P X m Y n -=====∑1221(1)n n m p p --==-∑22(1)(1)n n p p -=--（n =2,3, …）．注 14 二维正态分布的边缘分布是正态分布（以二维标准正态为例推导）：221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ⇒211~(,)X N μσ，222~(,)Y N μσ．注 15 边缘分布不能完全确定联合分布．如上例（二维标准正态，ρ）．其实，联合分布不仅刻画了X 和Y 各自的特征，而且反映了X 和Y 之间的关系．例7 设(,)~()X Y U D （其中D ：221x y +<），求(,)X Y 的边缘密度函数．例8 设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为801(,)0x y x y f x y ≤≤≤⎧=⎨⎩，，其它，试求(,)X Y 的边缘密度函数．解 24(1)01()0X x x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩，，其它 ；3401()0Y y y f y ⎧≤≤=⎨⎩，，其它．第10、11次课 3 学时第二节 条件分布及随机变量的独立性一条件分布一般情况下，随机变量X 的取值对随机变量Y 的概率分布有影响．例如，X 和Y 分别表示身高和体重．它们各自有一定的概率分布．若限制X 的取值, 则Y 的概率分布肯定不同于原来的分布，这个分布就是条件分布．在某种给定条件下（通常是X 取某个特定值），随机变量Y 的概率分布就称为条件分布． 引例（见前例1）考虑在X =1条件下，Y 的概率分布．——条件分布律． 1 离散型随机变量的条件分布律定义1 设(,)X Y 是二维离散型随机变量，若对于固定的j ，{}0j P Y y =>，则称{,}{|}{}i j ij i j j jP X x Y y p P X x Y y P Y y p ⋅=======，1,2,i =为jY y =条件下随机变量X 的条件(Conditional )分布律．同样，若对于固定的i ，{}0i P X x =>，则称{,}{|}{}i j ij j i i i P X x Y y p P Y y X x P X x p ⋅=======,1,2,j =为i X x =的条件下随机变量Y 的条件分布律． 注1条件分布律是分布律． 注2条件分布律的表格表示（略）． 例1（见前节例2） 解 X 和Y 的联合分布律为22(,)(1)n P X m Y n p p -===-，（2,3,;1,2,,1n m n ==-）．关于X 的边缘分布律是1{}(1)m P X m p p -==-（1,2,m =）；关于Y 的边缘分布律是{}P Y n =22(1)(1)n n p p -=--（2,3,n =）．条件分布律为 对于2,3,n =，(|)P X m Y n =={,}{}P X m Y n P Y n ====2222(1)(1)(1)n n p p n p p ---=--11n =-（m =1, 2, …, n -1），对于 1,2,m =，1(|)(1)n m P Y n X m p p --===-(1,2,)n m m =++．2 连续型随机变量的条件密度函数定义2 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数为(,)f x y ．若对于固定的y ，()0Y f y >，则称|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =为Y y =条件下X 的条件(Conditional )密度函数．类似地，可定义|(,)(|)()Y X X f x y f y x f x =．注3 条件密度函数是密度函数．注 4 正态分布的条件分布是正态分布．（以二维标准正态分布为例推导，(,)X Y ~(0,0,1,1,)N ρ）例2（见前节例5）设(,)X Y 服从区域D ：221x y +<上的均匀分布，求 （1）|(|)X Y f x y ；（2）P (X >1|Y =y )．（待讲）注5 若(X , Y )是连续型随机变量, 则对任一集合L ，|(|)(|)X Y LP X L Y y f x y dx∈==⎰．注6 Y y =下X 的条件分布函数：||(,)(|){|}(|)()x xX Y X Y Y f x y F x y P X x Y y f x y dx dx f y -∞-∞=≤===⎰⎰．3 乘法公式与全概率公式的其他表现形式➢ 离散形式：(,)()()i j i j i P X x Y y P X x P Y y X x ======,|(,)()(|)X Y X f x y f x f y x =.➢ 连续形式：1()()()j i j i i P Y y P X x P Y y X x ∞======∑，|()()(|)YX Y X f y f x f y x dx +∞-∞=⎰. 例3 设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p (0<p <1)，且中途下车与否相互独立，以Y 表示中途下车的人数．求二维随机变量(X ,Y )的概率分布．解 已知X=n 时Y 的条件分布是参数为n ，p 的二项分布，所以P {Y=m|X=n }=m n m m np p C--)1(, 0≤m ≤n ．由X~ π(λ)知，(X ,Y )的分布律为P {X=n ,Y=m }=P {X=n }P {Y=m|X=n }=!n e n λλ-mn m m np p C--)1(, n=0,1,2,…；m=0,1,…,n ．例4 设随机变量X 在(-1,1)区间服从均匀分布，当观察到X =x (-1<x <1)时，随机变量Y 在(x 2,1)上服从均匀分布，求Y 的密度函数．解 由题意f X (x )=1/2,11,0,.x -<<⎧⎨⎩其它，且当-1<x <1时，f Y|X (y|x )=221,110,.x y x⎧<<⎪-⎨⎪⎩其它．于是22|1,11,12(1)(,)()(|)0,X Y X x x y x f x y f x f y x ⎧-<<<<⎪-==⎨⎪⎩其它．从而f Y (y )=(,)f x y dx +∞-∞⎰=,01,0,y ⎧<<⎪⎨⎪⎩其它=01,0,y ⎧<<⎪⎨⎪⎩其它．二 随机变量的独立性（以两个为例）1定义定义3 设X Y 、是两个随机变量，如果对于任意的实数x 和y ，有(,)()()X Y F x y F x F y =⋅ (即{}{}{},P X x Y y P X x P Y y ≤≤=≤≤)则称随机变量X 与Y 相互独立（Mutually independent ）．注7 X 与Y 相互独立的本质是{}{}{}1212,P X B Y B P X B P Y B ∈∈=∈∈．注8 当X 与Y 相互独立时，由边缘分布可唯一决定联合分布． 注9 推广到多个． 2等价条件离散型：X Y 与独立⇔ij i jp p p ••=（对于所有的j i 、）．连续型：X Y 与独立⇔(,)()()X Y f x y f x f y =（几乎所有的(,)x y ）． 例5 (,)X Y 的联合分布律为：问α、β取何值时，X 与Y 相互独立？例 6 已知(,)X Y 的联合概率密度为801()0x y x y f x y ≤≤≤⎧=⎨⎩，，，其他，问X 与Y 是否独立？解 易知，X 和Y 的边缘密度分别为24(1)01()0X x x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩，，其它 和 ⎩⎨⎧≤≤=其它，，0104)(3y y y f Y ．取点(1/4,1/2)，(1/4)15/16X f =，(1/2)1/2Y f =，(1/4,1/2)1f =．易见(1/4,1/2)f ≠(1/4)X f ⋅(1/2)Y f ，故随机变量X 与Y 不相互独立．注10 若(,)X Y 服从二维正态分布221212(,,,,)N μμσσρ，则X 与Y 独立的充要条件是0ρ=．例3 设某种货物的需求量X 与供应量Y 都在（0，a ）上服从均匀分布，并且两者相互独立，求缺货的概率． 3性质性质 若X 与Y 是独立的，则()g X 与()h Y 也是独立的．第12次课 2 学时第三节 多维随机变量函数的分布一 二维离散型随机变量函数的分布例1 设(X ,Y )的分布律为（见右表）， 求Z 1=X+Y ，Z 2=max{X ,Y }的分布律．例2若12~(,),~(,)X b n p Y b n p ，且X 与Y 相互独立，证明12~(,)Z X Y b n n p =++（可加性）证明 Z 所有可能的取值为120,1,2,,n n +．对于任意的k （120k n n ≤≤+），有{}{}P Z k P X Y k ==+==1212{,}k k k P X k Y k +===∑=1212+{}{}k k k P X k P Y k ===∑=121112221212+(1)(1)k kk n k k n k n n k kkp p P p CC --=--∑=12121212(1)k k n n kk n n k k k p p C C+-+=-∑=1212(1)k n n kk n n p p C+-+-,故12~(,)Z X Y b n n p =++．注1 若离散型随机变量X 与Y 相互独立，则Z X Y =+的分布律为{}{}{}1k i k i i P Z z P X x P Y z x ∞=====-∑{}{}1k j j j P X z y P Y y ∞===-=∑．（离散场合的卷积公式）二 二维连续型随机变量函数的分布1 一般思路——分布函数法例3 设X ~ N (0,σ2), Y ~ N (0,σ2),且X 与Y 相互独立,求Z =数．2 和函数的分布设(,)X Y 的概率密度函数为(,)f x y ，则Z X Y =+的概率密度函数为()(,)Z f z f z y y dy +∞-∞=-⎰(,)f x z x dx+∞-∞=-⎰．（一般公式）特别地，当,X Y 相互独立时，Z X Y =+的概率密度函数为()()()Z X Y f z f z y f y dy +∞-∞=-⎰()()X Y f x f z x dx+∞-∞=-⎰．（连续场合的卷积公式）例4 设X 和Y 相互独立同服从(0,1)N ，求Z X Y =+的概率分布． 解 由题意22(),x X f x x -= -∞<+∞,22(),y Y f y y -=-∞<<+∞．由卷积公式，()()()Z X Y f z f x f z x dx+∞-∞=-⎰22()2212x z x eedxπ-+∞---∞=⋅⎰22()4212z z x ee dx π+∞----∞=⎰22()4212z z x e edxπ-+∞---∞=⎰，令2zt x =-，得()Z f z=222z -⋅，即 ~(0,2)Z N ．注2 一般，若221122~(,),~(,)X N Y N μσμσ，且X 与Y 相互独立，则221212~(,)X Y N μμσσ±±+．进一步，若2~(,)(1,2,,)i i i X N i n μσ=且i X 相互独立，而实数12,,,n a a a 不全为零，则22111~(,)nnni ii i i ii i i a XN a a μσ===∑∑∑．即独立正态分布随机变量的线性组合仍为正态分布随机变量．（记住结论）例5 若()22,0,0(,)~(,)0,x y ex y X Y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩其他，求Z X Y =+的概率密度．3 最大、最小值函数的分布设X 和Y 相互独立，分布函数分别为(),X F x ()Y F y ，则 ➢ max(,)M X Y =的分布函数max ()()()X Y F z F z F z =． ➢min(,)N X Y =的分布函数min ()F z 1[1()][1()]X Y F z F z =---注 3 推广到n 个： 设12,,,n X X X 相互独立，分布函数分别为1212(),(),,()n X X X n F x F x F x ，则12max(,,,)n M X X X =的分布函数为 12max ()()()()n X X X F z F z F z F z =．12min(,,,)n N X X X =的分布函数为min 1()1[1()]k nX k F z F z ==--∏．特别地，当12,,,n X X X 同分布时（分布函数()F x ），max ()[()]n F z F z =，min ()1[1()]n F z F z =--．例6 设系统L 由两个相互独立的子系统1L 、2L 联接而成，联接方式分别为 ⑴串联，⑵并联，⑶备用（图见教材）（当系统1L 损坏时，系统2L 开始工作）．已知1L 、2L 的寿命分别为X 和Y ，概率密度分别为()00xX e x f x x αα-⎧>=⎨≤⎩ 和0()00y Y e y f y y ββ-⎧>=⎨≤⎩其中0,0αβ>>，且αβ≠，试分别就以上三种联接方式求出系统L 的寿命Z 的概率密度函数．解 由已知，X 与Y 相互独立，且分布函数分别为10()00xX e x F x x α-⎧->=⎨≤⎩ ，10()00y Y e y F y y β-⎧->=⎨≤⎩⑴ 串联情况这时，L 的寿命Z min(,)X Y =．Z 的分布函数为()min 10()00ze z F z z αβ-+⎧->=⎨≤⎩，于是Z 的概率密度函数为()min ()0()00ze zf z z αβαβ-+⎧+>=⎨≤⎩．⑵ 并联情况这时，L 的寿命Z max(,)X Y =．Z 的分布函数为max (1)(1)()00z z e e z F z z αβ--⎧-->=⎨≤⎩，于是Z 的概率密度函数为()max ()0()00z z ze e e zf z z αβαβαβαβ---+⎧+-+>=⎨≤⎩．⑶ 备用情况这时，L 的寿命Z X Y =+． 当0z >时，()()()Z X Y f z f z y f y dy +∞-∞=-⎰()zz y yeedy αβαβ---=⎰[]z ze e αβαβαβ--=--，当0z ≤时，()0Z f z =．于是[]0()00z zZe e zf zzαβαβαβ--⎧->⎪-=⎨⎪≤⎩．第三章习题选讲（略）。
概率论与数理统计(浙大) 习题答案 第3章
第三章 多维随机变量及其分布1. 在一箱子中装有12只开关, 其中2只是次品, 在其中取两次, 每次任取一只, 考虑两种试验: (1)放回抽样, (2)不放回抽样. 我们定义随机变量X , Y 如下:⎩⎨⎧=若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品10X ,⎩⎨⎧=若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品10Y .试分别就(1), (2)两种情况, 写出X 和Y 的联合分布律.解: (1)(X , Y )所有可能取的值为(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), 按古典概型, 显然有362512101210)0 ,0(=⋅===Y X P ,3651221210)1 ,0(=⋅===Y X P ,3651210122)0 ,1(=⋅===Y X P ,361122122)1 ,1(=⋅===Y X P ,列成表格便得X 和Y 的联合分布律(2)(X , Y )所有可能取的值为(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), 按古典概型, 显然有66451191210)0 ,0(=⋅===Y X P ,66101121210)1 ,0(=⋅===Y X P ,66101110122)0 ,1(=⋅===Y X P ,661111122)1 ,1(=⋅===Y X P ,列成表格便得X 和Y 的联合分布律2. 盒子里装有3只黑球, 2只红球, 2只白球, 在其中任取4只球, 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到白球的只数, 求X , Y 的联合分布律.解: (X , Y )的可能取值为(i , j ), i =0, 1, 2, 3, j =0, 1, 2, i +j ≥2, 联合分布律为P (X =0, Y =2)=351472222=C C C ,P (X =1, Y =1)=35647221213=C C C C , P (X =1, Y =2)=35647122213=C C C C , P (X =2, Y =0)=351472222=C C C ,P (X =2, Y =1)=351247121223=C C C C ,P (X =2, Y =2)=353472223=C C C ,P (X =3, Y =0)=352471233=C CC ,P (X =3, Y =1)=352471233=C CC ,列成表格便得X 和Y 的联合分布律3. 设随机变量(X , Y )概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它042 ,20)6(),(y x y x k y x f . (1)确定常数k ; (2)求P (X <1, Y <3); (3)求P (X <1.5); (4)求P (X +Y ≤4). 解: (1)因为 k dydx y x k dy dx y x f 8)6(),(1242=--==⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-,所以81=k .(2)83)6(81)3 ,1(3210⎰⎰=--=<<dy y x dx Y X P .(3)3227)6(81) ,5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P .(4)32)6(81}4{4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dx Y X P x .4. 将一枚硬币掷3次, 以X 表示前2次中出现H 的次数, 以Y 表示3次中出现H 的次数, 求(X , Y )的联合分布律及边缘分布律.故(X , Y )的联合分布律为(X , Y )关于X 的边缘分布律为即)21 ,2(~b X .(X , Y )关于Y 的边缘分布律为即)21 ,3(~b Y .5. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤-=其它00,10)2(8.4),(xy x x y y x f , 求边缘概率密度. 解: ⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎰其它010)2(8.40x dy x y x⎩⎨⎧≤≤-=其它010)2(4.22x x x ,⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎰其它010)2(8.41y dx x y y⎩⎨⎧≤≤+-=其它010)43(4.22y y y y . 6. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其它00),(y x e y x f y , 求边缘概率密度.解:⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰+∞-000x x dy e x y⎩⎨⎧≤>=-000x x e x . ⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰-000y y dx e y y⎩⎨⎧≤>=-000y y ye y . 7. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它01),(22y x y cx y x f . (1)试确定常数c ; (2)求边缘概率密度. 解: (1)因为l =⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-+-∞+∞-===c dy y c ydx cx dy dxdy y x f yy 21432),(1025210,所以421=c .(2)X 的边缘概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎰其它011421)(~122x ydy x x f X x X⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它011)1(82142x x x .X 的边缘概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=⎰+-其它010421)(~2y ydx d y f Y y y Y⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它0102725y y .8. 将某一医公司9月份和8月份收到的青霉素针剂的订货单数分别记为X 和Y , 据以往积累的资料知X 和Y 联合分布律为:(1)求边缘分布律;(2)求8月份的订单数为51时, 9月份订单数的条件人布律.解: 在表中运算得(2)因为j ijj j i i i p p y Y P y Y x X P y Y x X P ⋅=======)() ,()|(, 并且P (Y =51)=0.28=p ⋅j , 所以28628.006.0)51|51(====Y X P ,28728.007.0)51|52(====Y X P ,28528.005.0)51|53(====Y X P ,28528.005.0)51|54(====Y X P ,28528.005.0)51|55(====Y X P ,故当8月份的订单数为51时, 9月份订单数的条件分布律为9. 以X 记某一医院一天出生的婴儿的个数, Y 记男婴的个数, 记X 和Y 的联合分布律为)!(!)86.6()14.7() ,(14m n m e m Y n X P mn m -===--(m =0, 1, 2, ⋅⋅⋅, n ;n =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ).(1)求边缘分布律; (2)求条件分布律;(3)特别写出当X =20时, Y 的条件分布律. 解: (1)边缘分布律:∑∑=--=-=====nm mn m n m m n m e m Y n X P n X P 0140)!(!)86.6()14.7() ,()(∑=--⋅⋅⋅⋅=nm m n m m ne n C 014)86.6()14.7(!1 ∑=--⋅⋅=n m m n m mn C n e 014)86.6()14.7(! !14)86.614.7(!1414n e n e n n --⋅=+=(n =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ). ∑∑∞=--∞=-=====0140)!(!)86.6()14.7() ,()(n mn m n m n m e m Y n X P m Y P∑∞=---=014)!()86.6(!)14.7(n mn m m n m e m m m e e m e )14.7(!!)14.7(14.786.614--==(m =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ).(2)条件分布律:m mn m m e m n m e m Y P m Y n X P m Y n X P )14.7(!)!(!)86.6()14.7()() ,()|(14.714----======= )!()86.6(86.6m n e mn -⋅=--(n =m , m +1, ⋅⋅⋅ ).当m =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ 时1414!14)!(!)86.6()14.7()() ,()|(----=======e n m n m e n X P m Y n X P n X m Y P nmn m m n m m n m n -⋅⋅-=)1486.6()1414.7()!(!! m m mn C -⋅⋅=20)49.0()51.0((m =0, 1, ⋅⋅⋅ , n ). (3)当X =20时, Y 的条件分布为m m mC X m Y P -⋅===2020)49.0()51.0()20|((m =0, 1, ⋅⋅⋅ , 20).10. 求§1例1中的条件分布律: P (Y =k |X =i )=?解: 由于)(),()|(i X P i X k Y P i X k Y P ======, 而411) ,(⋅===i i X k Y P (i =1, 2, 3, 4, k ≤i ),41)(==i X P ,所以ii X k Y P 1)|(===(i =1, 2, 3, 4, k ≤i ),即11. 在第7题中(1)求条件概率f X |Y (x |y ), 特别, 写出当21=Y 时X 的条件概率密度; (2)求条件概率密度f Y |X (y |x ), 特别, 分别写出当31=X , 21=X 时Y 的条件概率密度; (3)求条件概率P (Y ≥1/4|X =1/2), P (Y ≥3|X =1/2). 解: (1)当0<y ≤1时,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-==其他027421)(),()|(252|y x y y yx y f y x f y x f Y Y X ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-其他023232y x y y x ,特别, ⎪⎩⎪⎨⎧<<-==-其他02121)21(23)21|(232|x x y x f Y X ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他02121232x x .(2)当-1<x ≤1时,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-==其他01)1(821421)(),()|(2422|y x x x y x x f y x f x y f X X Y ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他01)1(222y x x y ,特别, ⎪⎩⎪⎨⎧<<-==其他0191))3/1(1(2)31|(4|y y x y f X Y⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他01914081y y ,⎪⎩⎪⎨⎧<<-==其他0141))2/1(1(2)21|(4|y y x y f X Y⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他01411532y y .(3))21|41()21|1()21|41(=<-=<==≥X Y P X Y P X Y P1153215324141141=-=⎰⎰ydy ydy ,)21|43()21|1()21|43(=<-=<==≥X Y P X Y P X Y P157153214341=-=⎰ydy .12. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<=其他010 ,||1),(x x y y x f , 求条件概率密度f Y |X (y |x ),f X |Y (x |y ). 解: f (x ,y )的边缘密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=⎰-其他0101)(x dy x f x x X ⎩⎨⎧<<=其他0102y x ,⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎰其他0111)(1||y dx x f y Y ⎩⎨⎧<<--=其他011||1y y ,所以当0<x <1时,⎪⎩⎪⎨⎧<==其他0||21)(),()|(|x y xx f y x f x y f X X Y , 当|y |<1时,⎪⎩⎪⎨⎧<-==其他0||||11)(),()|(|x y y x f y x f x y f Y Y X , 13. (1)问第1题中的随机变量X 和Y 是否相互独立？(2)问第12题中的随机变量X 和Y 是否相互独立？(需说明理由) 解: (1)有放回抽样时, 由于ij =p i ⋅⋅p ⋅j , 所以X 和Y 独立. 不放回抽样时, 由于ij =p i ⋅⋅p ⋅j , 所以X 和Y 不独立.(2)由于当|y |<x , 0<x <1时, f X (x )⋅f Y (y )=2x (1-|y |)≠f (x , y )=1, 故X 和Y 不独立.14. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, X 在(0, 1)上服从均匀分布, Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00021)(2y y e y f y Y .(1)求X 和Y 的联合概率密度;(2)设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0, 试求a 有实根的概率.解: (1)按已知X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他0101)(x x f X .由于X 和Y 相互独立, 故(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧><<=⋅=-其他0,1021)()(),(2y x e y f x f y x f y Y X .(2)要使a 有实根, 必须方程a 2+2Xa +Y =0的判别式∆=X 2-Y ≥0,⎰⎰⎰---==≥-10202102)1(21)0(22dx e dy e dx Y X P x x y⎰⎰⎰∞--∞-----=-=02121022222121[211dx e dx e dx e x x x πππ 1445.0)]0()1([21=Φ-Φ-=π.15. 第1题中的随机变量X 和Y 是否相互独立. 解: 放回抽样的情况P (X =0, Y =0)=P (X =0)⋅P (Y =0)3625=P (X =0, Y =1)=P (X =0)⋅P (Y =1)365=P (X =1, Y =0)=P (X =1)⋅P (Y =0)3651210122=⋅=P (X =1, Y =1)=P (X =1)⋅P (Y =1)361122122=⋅=.在放回抽样的情况下, X 和Y 是独立的. 不放回抽样的情况:P (X =0, Y =0)66451191210=⋅=,P (X =0)651210==,P (X =0)=P (X =0, Y =0)+P (Y =0, X =1) 6511101121191210=⋅+⋅=,P (X =0)⋅P (Y =0)36256565=⨯=,P (X =0, Y =0)≠P (X =0)P (Y =0), 所以X 和Y 不独立.14. 设X , Y 是两个相互独立的随机变量, X 在(0, 1)上服从均匀分布. Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=00021)(2y y e y f y Y .(1)求X 和Y 的联合密度;(2)设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0,试求有实根的概率. 解: (1)X 的概率密度为⎩⎨⎧∈=其它0)1 ,0(1)(x x f X ,Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00021)(2y y e y f y Y ,可见且知X , Y 相互独立, 于是(X , Y )的联合密度为⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其它0,1021)()(),(2y x e y f x f y x f y Y X .(2)由于a 有实根, 从而判别式∆=4X 2-4Y ≥0, 即Y ≤X 2. 记}0,10|),{(2x y x y x D <<<<=, ⎰⎰=≤Ddxdy y x f X Y P ),(}{2⎰⎰⎰⎰⎰----=-==10010102022222121x xx y y dx e de dx dy e dxdx e x ⎰-⋅-=00222121ππ)5.08413.0(21)]2()1([21--=Φ-Φ-=ππ 1445.08555.013413.05066312.21=-=⨯-=.15. 进行打靶, 设弹着眯A (X , Y )的坐标X 和Y 相互独立, 且都服从N (0, 1)分布, 规定点A 落在区域D 1={(x , y )|x 2+y 2≤1}得2分; 点A 落在D 2={(x , y )|1≤x 2+y 2≤4}得1分; 点A 落在D 3={(x , y )|x 2+y 2>4}得0分, 以Z 记打靶的得分, 写出X , Y 的联合概率密度, 并求Z 的分布律.解: (1)因为X ~N (0, 1), Y ~N (0, 1), X 与Y 独立, 故(X , Y )的联合概率密度为22221),(y x e y x f +-=π(-∞<x <+∞, -∞<y <+∞).(2)Z 的可能取值为0, 1, 2.⎰⎰>++-=∈==421222221)),(()0(x x y x dxdy e D Y X A P Z P π⎰⎰≤++--=422222211x x y x dxdy e π2202022211--=-=⎰⎰e rdr e d r ππθ,⎰⎰≤+≤+-=∈==4122222221)),(()1(x x y x dxdy e D Y X A P Z P π22120212221----==⎰⎰e e rdr e d r ππθ,⎰⎰≤++-=∈==121222221)),(()2(x x y x dxdy e D Y X A P Z P π21201021212---==⎰⎰e rdr e d r ππθ,故得Z 的分布律为16. 设X 和Y 是相互独立的随机变量, 其概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=-000)(x x e x f x X λλ, ⎩⎨⎧≤>=-000)(y y e y f y Y μμ, 其中λ>0, μ>0是常数, 引入随机变量⎩⎨⎧>≤=Y X YX Z 当当01.(1)求条件概率密度f X |Y (x |y ); (2)求Z 的分布律和分布函数. 解: (1)由X 和Y 相互独立, 故⎩⎨⎧>>=⋅=+-其他00 ,0)()(),()(y x e y f x f y x f y x Y X μλλμ.当y >0时,⎩⎨⎧≤>===-000)()(),()|(|x x e y f y f y x f y x f x X Y Y X λλ. (2)由于⎩⎨⎧>≤=Y X YX Z 当当01,且 μλλλλμμλμλ+===≤⎰⎰⎰+∞+-+∞+∞+-0)(0)()(dx e dydx eY X P x xy x ,μλμμλλ+=+-=≤-=>1)(1)(Y X P Y X P ,故Z 的分布律为Z 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=111000)(z z z z F Z μλμ. 17. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 其概率密度分别为⎩⎨⎧<≤=其他0101)(x x f X , ⎩⎨⎧>=-其他00)(y e y f y Y , 求随机变量Z =X +Y 的概率密度.解: 由于X 和Y 是相互独立的, 故⎩⎨⎧><≤=⋅=-其他00 ,10)()(),(y x e y f x f y x f y Y X , 于是Z =X +Y 的概率密度为⎰+∞∞--⋅=dx x z f x f z f Y X Z )()()(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤-=⎰⎰其他01)()(10)()(100z dxx z f x f z dx x z f x f Y X x YX ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤=⎰⎰----其他011010)(0)(z dxe z dx e x z x x z ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-=--其他01)1(101z e e z e zz .18. 设某种商品一周的需要量是一个随机变量, 其概率密度为⎩⎨⎧≤>=-000)(t t te t f t , 设各周的需要量是相互独立的, 试求: (1)两周需要量的概率密度; (2)三周需要量的概率密度.解: (1)设第一周需要量为X , 它是随机变量; 设第二周需要量为Y , 它是随机变量且与X 同分布, 其分布密度为⎩⎨⎧≤>=-000)(t t te t f t . Z =X +Y 表示两周需要的商品量, 由X 和Y 的独立性可知:⎩⎨⎧>>=--其它00,0),(y x ye xe y x f y x .因为z ≥0, 所以当z <0时, f z (z )=0; 当z >0时, 由和的概率公式知 ⎰∞+∞--=dy y f y z f z f Y X Z )()()(z yzy z e z dy ye ey z ----=⋅-=⎰6)(30)(, 所以 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0006)(3z z e z z f z Z .(2)设Z 表示前两周需要量, 其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0006)(3z z e z z f z Z ,设ξ表示第三周需要量, 其概率密度为:⎩⎨⎧≤>=-000)(x x xe x f x ξ,Z 与ξ相互独立, η=Z +ξ表示前三周需要量, 则因为η≥0, 所以u <0, f η(u )=0. 当u >0时 ⎰∞+∞--=dy y f y u f u f )()()(ξηdy ye e y u y uy u ---⋅-=⎰0)(3)(61u e u -=1205, 所以η的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00120)(5u u e u u f u η.19. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=+-其他00,0)(21),()(y x e y x y x f y x .(1)问X 和Y 是否相互独立？ (2)求Z =X +Y 的概率密度. 解: (1)X 的边缘密度为⎪⎩⎪⎨⎧<>+=⎰∞++-000)(21)(0)(x x dy e y x x f y x X⎪⎩⎪⎨⎧<>+=-000)1(21x x e x x ,同理Y 的边缘密度为⎪⎩⎪⎨⎧<>+=-000)1(21)(y y e y y f y Y .因为当x >0, y >0时,)()()1)(1(41)(21),()()(y f x f e y x e y x y x f Y X y x y x =++≠+=+-+-,所以X 与Y 不独立. (2)Z 的概率密度为z z x Z e z dx e x z x dx x z x f z f --+∞∞-=-+=-=⎰⎰2021)(21),()((z >0).当z <0时, f Z (z )=0, 所以⎪⎩⎪⎨⎧<>=-0021)(2z z e z z f z Z .20. 设X , Y 是相互独立的随机变量, 它们都服从正态分布N (0, σ 2), 试验证随机变量22Y X z +=具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧>≥=-其他0,0)(2222σσσz e z z f z Z ,称Z 服从参数为σ(σ>0)的瑞利(Rayleigh 分布.解: 因为X , Y 相互独立且均服从正态分布N (0, σ 2), 它们的概率密度分别为22221)(σσπx e x f -=, 22221)(σσπy e y f -= , σ>0,故X 和Y 的联合密度为2222221)()(),(σπσy x e y f x f y x f +-=⋅=.22Y X z +=的分布函数为⎰⎰≤+=≤+=≤=222),()()((z)22z y x Z dxdy y x f z Y X P z Z P F⎰⎰-=zd e d 022202221ρρπσθσρπ2222202211σσρρρσz z ed e---==⎰(z >0),当z ≤0时, F Z (z )=0.于是随机变量22Y X z +=的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≥==-其他00 ,0)()(2222σσσz e z dz z dF z f z Z Z .21. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧+∞<<<<=+-其他00 ,10),()(y x be y x f y x . (1)试确定义常数b ;(2)求边缘概率密度f X (x ), f Y (y );(3)求函数U =max(X , Y )的分布函数. 解: (1)由10)(1=⎰⎰+∞+-dy be dx y x , 即1)1(1010=-=⎰⎰+∞--e b dy e dx e b y x ,得1111-=-=-e e e b .(2)⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎰∞++-其他0101)(0)(x dy e e e x f y x X⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-其他0101x e e e x ,⎩⎨⎧≤>==-∞+∞-⎰000),()(y y e dx y x f x f y X . 显然X 与Y 独立.(3)⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=-1110)1(100)(x x e e e x x F x X⎩⎨⎧≤>-=-0001)(y y e x F y Y , 故U =max(X , Y )的分布函数为F U (u )=P (U ≤u )=P (max(X , Y )≤u ) =P (X ≤u , Y ≤u )=P (X ≤u )P (Y ≤u )⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--<==--1110)1(100)()(2u eu e e e u u F u F uu Y X .22. 设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N (160, 202)分布. 随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率.解: 设X 1, X 2, X 3, X 4为4只电子管的寿命, 它们相互独立, 同分布, 其概率密度为:22202)160(2021)(⨯--⋅=t T et f π,⎰∞-⨯-==<18022202)160(20121)180(}180{dt t F X f X π ⎰∞--=-======1220160221du e u ut π令 8413.0)2060180(=-Φ=.设N =min{X 1, X 2, X 3, X 4}, 则P {N >180}=P {X 1>180, X 2>180, X 3>180, X 4>180} =P {X >180}4={1-p [X <180]}4 =(0.1587)4=0.00063.23. 对某种电子装置的输出测量了5次, 得到观察值X 1,X 2, X 3, X 4, X 5, 设它们是相互独立的随机变量且都服从参数σ=2的瑞种分布.(1)求Z =max{X 1, X 2, X 3, X 4, X 5}的分布函数; (2)求P (Z >4).解: 由20题知, X i (i =1, 2, ⋅⋅⋅ , 5)的概率密度均为⎪⎩⎪⎨⎧≥=-其他004)(82x e x x f x X ,分布函数为821)(x X e x F --=(x >0).(1) Z =max{X 1, X 2, X 3, X 4, X 5}的分布函数为 585m ax )1()]([)(2z e z F z F --== (z ≥0), 当z <0时, F max (z )=0.所以Z 的分布函数为⎩⎨⎧<≥-=-000)1()(58m ax 2z z e z F z .(2)P (Z >4)=1-P (Z ≤4)=1-F Z (4)5167.0)1(1)1(1525842=--=--=--e e .24. 设随机变量X , Y 相互独立, 且服从同一分布, 试证明 P (a <min{X , Y }≤b )=[P (X >a )]2-[P (X >b )]2 . 解: 因为X 与Y 相互独立且同分布, 故P (a <min{X , Y }≤b )=P (min{X , Y }≤b )-P (min{X , Y }≤a ) =1-P (min{X , Y }>b )-[1-P (min{X , Y }>a )] =P (min{X , Y }>a )-P (min{X , Y }>b ) =P (X >a , Y >a )-P (X >b , Y >b ) =P (X >a )P (Y >a )-P (X >b )P (Y >b ) =[P (X >a )]2-[P (Y >b )]2 .25. 设X , Y 是相互独立随机变量, 其分布律分别为 P (X =k )=p (k ) (k =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ), P (Y =r )=q (r ) (r =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ). 证明随机变量Z =X +Y 的分布律为∑=-==ik k i q k p i Z P 0)()()( (i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ),证明: 因为X 与Y 独立, 且X 与Y 的分布律分别为 P (X =k )=p (k ) (k =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ), P (Y =r )=q (r ) (r =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ), 故Z =X +Y 的分布律为∑==+===ik i Y X k X P i Z P 0) ,()( ∑=-===i k k i Y k X P 0) ,( ∑=-===i k k i Y P k X P 0)()( ∑=-=i k k i q k p 0)()( (i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ).26. 设X , Y 是相互独立的随机变量, X ~π(λ1), Y ~π(λ2), 证明Z =X +Y ~π(λ1+λ2).证明: 因为X , Y 分别服从参数为λ1, λ2的泊松分布, 故X , Y 的分布律分别为 1!)(1λλ-==e k k X P k (λ1>0),2!)(2λλ-==e r r Y P r (λ2>0),由25题结论知, Z =X +Y 的分布律为 ∑=-====ik k i Y P k X P i Z P 0)()()(∑=----⋅=ik ki k e k i e k 02121)!(!λλλλ∑=-+-⋅-=i k k i k k i k i i e 021)()!(!!!21λλλλ i i e )(!21)(21λλλλ+=+-(i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ), 即Z =X +Y 服从参数为λ1+λ2的泊松分布.27. 设X , Y 是相互独立的随机变量, X ~b (n 1, p ), Y ~b (n 2, p ), 证明Z =X +Y ~b (n 1+n 2, p ).证明: Z 的可能取值为0, 1, 2, ⋅⋅⋅ , 2n , 因为 {Z =i }={X +Y =i }={X =0, Y =0}⋃{X =1, Y =i -1}⋃ ⋅⋅⋅ ⋃{X =i , Y =0}, 由于上述并中各事件互不相容, 且X , Y 独立, 则∑=-====ik k i Y k X P i Z P 0) ,()(∑=-===ik k i Y P k X P 0)()(∑=+-----⋅-=ik k i n ki k i n k n k k n p p C p p C 02211)1()1( ∑=--+⋅-=ik ki n k n k n n i C C p p 02121)1( in i i n n p p C -+-=2)1(21(i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ , n 1+n 2), 所以 Z =X +Y ~b (n 1+n 2, p ),即Z =X +Y 服从参数为2n , p 的二项分布.提示:上述计算过程中用到了公式i n n ik k i n k n C C C21210+=-=⋅∑,这可由比较恒等式2121)1()1()1(n n n n x x x ++=++两边x i 的系数得到.28. 设随机变量(X , Y )的分布律为(1)求P {X =2|Y =2), P (Y =3|X =0); (2)求V =max{X , Y }的分布律; (3)求U =min{X , Y }的分布律; (4)求W =V +U 的分布律. 解: (1)由条件概率公式)2()2,2()2|2(======Y P Y X P Y X P08.005.005.005.003.001.005.0+++++=2.025.005.0==.同理 31)0|3(===X Y P .(2)变量V =max{X , Y }.显然V 是一随机变量, 其取值为V : 0, 1, 2, 3, 4, 5. P (V =0)=P (X =0, Y =0)=0,P (V =1)=P (X =1, Y =0)+P (X =1, Y =1)+P (X =0, Y =1) =0.01+0.02+0.01=0.04,P (V =2)=P (X =2, Y =0)+P (X =2, Y =1)+P (X =2, Y =2) +P (Y =2, X =0)+P (Y =2, X =1)=0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16, P (V =3)=P (X =3, Y =0)+P (X =3, Y =1) +P (X =3, Y =2)+P (X =3, Y =3)+P (Y =3, X =0)+P (Y =3, X =1)+P (Y =3, X =2), =0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28 P (V =4)=P (X =4, Y =0)+P (X =4, Y =1) +P (X =4, Y =2)+P (X =4, Y =3) =0.07+0.06+0.05+0.06=0.24, P (V =5)=P (X =5, Y =0)+ ⋅⋅⋅ +P (X =5, Y =3) =0.09+0.08+0.06+0.05=0.28. (3)显然U 的取值为0, 1, 2, 3.P (U =0)=P (X =0, Y =0)+ ⋅⋅⋅ +P (X =0, Y =3)+P (Y =0, X =1)+ ⋅⋅⋅ +P (Y =0, X =5)=0.28. 同理 P (U =1)=0.30, P (U =2)=0.25, P (U =3)=0.17. (4)W =V +U 的取值为0, 1, ⋅⋅⋅ , 8. P (W =0)=P (V =0, U =0)=0,P (W =1)=P (V =0, U =1)+P (V =1, U =0). 因为V =max{X , Y }=0又U =min{X , Y }=1 不可能上式中的P (V =0, U =1)=0,又 P (V =1, U =0)=P (X =1, Y =0)+P (X =0, Y =1)=0.2, 故 P (W =1)=P (V =0, U =1)+P (V =1, U =0)=0.2,P(W=2)=P(V+U=2)=P(V=2, U=0)+P(V=1,U=1) =P(X=2 Y=0)+P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=0.03+0.01+0.02=0.06,P(W=3)=P(V+U=3)=P(V=3, U=0)+P(V=2,U=1) = P(X=3,Y=0)+P(X=0,Y=3)+P(X=2,Y=1)+P(X=1,Y=2)=0.05+0.01+0.04+0.03=0.13, P(W=4)=P(V=4, U=0)+P(V=3,U=1)+P(V=2,U=2) =P(X=4,Y=0)+ P(X=3,Y=1)+P(X=1,Y=3)+P(X=2,Y=2 =0.19,P(W=5)=P(V+U=5)=P(V=5, U=0)+P(V=5,U=1)+P(V=3,U=2=P(X=5 Y=0)+P(X=5,Y=1)+P(X=3,Y=2)+P(X=2,Y=3) =0.24,P(W=6)=P(V+U=6)=P(V=5, U=1)+P(V=4,U=2) +P(V=3,U=3)=P(X=5,Y=1)+P(X=4,Y=2)+P(X=3,Y=3)=0.19,P(W=7)=P(V+U=7)=P(V=5, U=2)+P(V=4,U=3) =P(V=5,U=2)+P(X=4,Y=3)=0.6+0.6=0.12, P(W=8)=P(V+U=8)=P(V=5, U=3)+P(X=5,Y=3)=0.05.。
概率统计第三章 多维随机变量及其分布
第三章多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布第一节 多维随机变量及其分布５．二维随机变量若对于试验的样本空间Ω中的每个试验结果e ，有序变量(,)X Y 都有确定的一对实数值与e 相对应，即()X X e =， ()Y Y e =，则称(,)X Y 为二维随机变量或二维随机向量． 6．二维离散型随机变量及联合概率函数如果二维随机变量(,)X Y 仅可能取有限个或可列无限个值，那么，称(,)X Y 为二维离散型随机变量．二维离散型随机变量(,)X Y 的分布可用下列联合概率函数来表示：(,),,1,2,,i j ij P X a Y b p i j ====其中，0,,1,2,,1ij iji j p i j p≥==∑∑．7．二维离散型随机变量的边缘概率函数设(,)X Y 为二维离散型随机变量，ij p 为其联合概率函数（,1,2,i j =），称概率()(1,2,)i P X a i ==为随机变量X 的边缘概率函数，记为i p 并有.(),1,2,i i ij jp P X a p i ====∑，称概率()(1,2,)j P Y b j ==为随机变量Y 的边缘概率函数，记为.j p ，并有.j p =(),1,2,j ij iP Y b p j ===∑.8．随机变量的相互独立性 ．设(,)X Y 为二维离散型随机变量，X 与Y 相互独立的充分必要条件为,,1,2,.ij i j p p p i j ==对一切多维随机变量的相互独立性可类似定义．即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论．９．二维离散型随机变量(,)X Y 的条件概率函数设(,)X Y 为二维离散型随机变量，ij p 为其联合概率函数 (,1,2,)i j =，X 在给定j Y b =下的条件概率函数为(|),1,2,;ij i j jp P X a Y b i p ⋅====Y 在给定i X a =下的条件概率函数为(|),1,2,ij j i i p P Y b X a j p ⋅====10．随机变量函数的分布设X 是一个随机变量，()g x 是一个已知函数，()Y g X =是随机变量X 的函数，它也是一个随机变量．对离散型随机变量X ，下面来求这个新的随机变量Y 的分布．设离散型随机变量X 的概率函数为则随机变量函数Y g =但要注意，若()i g a 的值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，同时把对应的概率i p 相加．1１．二维离散型随机变量函数的分布如果二维离散型随机变量的联合概率函数为(,),,1,2,,i j ij P X a Y b p i j ====则随机变量函数(,)Z g X Y =的概率函数为((,)),,1,2,,i j ij P Z g a b p i j ===但要注意，取相同(,)i j g a b 值对应的那些概率应合并相加．特别有下面的结论：(j) 设~(,),~(,)X B m p Y B n p ，且X 与Y 相互独立，则~(,)X Y B m n p ++； (ii) 设12~(),~()X P Y P λλ，且X 与Y 相互独立，则12~()X Y P λλ++．三、思考题１．某地有２５００人参加人寿保险，每人在年初向保险公司交付把费１２元，若在这一年内死亡，则由其家属从保险公司领取２０００元．设该地人口死亡率为１．５％，求保险公司获利不少于１００００元的概率．２．已知二维随机变量(,)X Y 的联合概率函数为 YX ０ １ ２０ 19 118 16１ α β 19 问,αβ取何值时，X 与Y 相互独立？3．联合分布函数二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数规定为随机变量X 取值不大于x 实数的概率，同时随机变量Y 取值不大于实数y 的概率，并把联合分布函数记为(,)F x y ，即(,)(,),,F x y P X x Y y x y =≤≤-∞<<+∞-∞<<+∞．4．联合分布函数的性质 (1) 0(,)1F x y ≤≤；(2) (,)F x y 是变量x (固定y )或y (固定x )的非减函数； (3)(,)0,(,)0lim lim x y F x y F x y →-∞→-∞==，(,)0,(,)1lim lim x x y y F x y F x y →-∞→+∞→-∞→+∞==；(4) (,)F x y 是变量x (固定y )或y (固定x )的右连续函数；(5) 121222211211(,)(,)(,)(,)(,)P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=--+．８．二维连续型随机变量及联合概率密度对于二维随机变量(X ，Y)的分布函数(,)F x y ，如果存在一个二元非负函数(,)f x y ，使得对于任意一对实数(,)x y 有(,)(,)xyF x y f s t dtds-∞-∞=⎰⎰成立，则(,)X Y 为二维连续型随机变量，(,)f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度． ９．二维连续型随机变量及联合概率密度的性质(1) (,)0,,f x y x y ≥-∞<<+∞； (2)(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰；(3) 设(,)X Y 为二维连续型随机变量，则对任意一条平面曲线L ，有((,))0P X Y L ∈=； ’(4) 在(,)f x y 的连续点处有2(,)(,)F x y f x y x y ∂=∂∂;(5) 设(,)X Y 为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域D 有((,))(,)DP X Y D f x y dxdy∈=⎰⎰．1０，二维连续型随机变量(,)X Y 的边缘概率密度设(,)f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度，则X 的边缘概率密度为()(,)X f x f x y dy+∞-∞=⎰；Y 的边缘概率密度为()(,)Y f y f x y dx+∞-∞=⎰．1１．二维连续型随机变量(,)X Y 的条件概率密度设(,)f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度，则X 在给定Y y =的条件下的条件概率密度为|(,)(|),()X Y Y f x y f x y x f y =-∞<<+∞，其中()0Y f y >；Y 在给定X x =的条件下的条件概率密度为|(,)(|),()Y X X f x y f y x y f x =-∞<<+∞，其中()0X f x >．1２．常用的二维连续型随机变量 (1) 均匀分布如果(,)X Y 在二维平面上某个区域G 上服从均匀分布，则它的联合概率密度为1,(,)x y f x y G ⎧∈⎪=⎨⎪⎩，（)G;的面积0,其余. (2) 二维正态分布221212(,,,,)N μμσσρ如果(,)X Y 的联合概率密度2211212221121()()()()1(,)22(1)x x y x f x y μμμμρρσσσσ⎧⎫⎡⎤----⎪⎪=--+⎨⎬⎢⎥-⎪⎪⎣⎦⎩⎭则称(,)X Y 服从二维正态分布，并记为221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ.如果221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，则211~(,)X N μσ，222~(,)Y N μσ，即二维正态分布的边缘分布还是正态分布．1３．随机变量的相互独立性 ．如果X 与Y 的联合分布函数等于,X Y 的边缘分布函数之积，即(,)()(),,X Y F x y F x F y x y =-∞<<+∞对一切，那么，称随机变量X 与Y 相互独立．设(,)X Y 为二维连续型随机变量，则X 与Y 相互独立的充分必要条件为(,)()(),X Y f x y f x f y =在一切连续点上.如果221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ．那么，X 与Y 相互独立的充分必要条件是0ρ=．多维随机变量的相互独立性可类似定义．即多维随机变量的联合分布函数等于每个随机变量的边缘分布函数之积，多维连续型随机变量的独立性有与二维相应的结论． 1４．随机变量函数的分布（１）一维随机变量函数的概率密度设连续型随机变量X 的概率密度为()X f x ，则随机变量()Y g X =的分布函数为()()(())()()yY y XI F y P Y y P g X y P X I fx dx=≤=≤=∈=⎰其中，{}y X I ∈与{()}g X y ≤是相等的随机事件，而{||()}y I x g x y =≤是实数轴上的某个集合．随机变量Y 的概率密度()Y f y 可由下式得到：'()()Y Y f y F y =．连续型随机变量函数有下面两条性质：(i) 设连续型随机变量的概率密度为()X f x ，()Y g X =是单调函数，且具有一阶连续导数，()x h y =是()y g x =的反函数，则()Y g X =的概率密度为()(())|'()|Y f y f h y h y =⋅．(ii) 设2~(,)X N μσ，则当0k ≠时，有22~(,)Y kX b N k b kμσ=++，特别当1,k b μσσ==-时，有~(0,1)Y kX b N =+，~(0,1)X N μσ-．（２）二维随机变量函数的概率密度设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合概率密度为(,)f x y ,则随机变量函数(,)Z g X Y =的分布函数为()()((,))((,))(,)ZZ Z D F z P Z z P g X Y z P X Y D f x y dxdy=≤=≤=∈=⎰⎰,其中，{(,)}Z X Y D ∈是与{(,)}g X Y z ≤等价的随机事件，而{(,):(,)}Z D x y g x y z =≤是二维平面上的某个集合(通常是一个区域或若干个区域的并集)． 随机变量函数(,)Z g X Y =的概率密度为'()()Z Z f z F z =.当X 与Y 相互独立，且X 的概率密度为()X f x ,Y 的概率密度为()Y f y 时，随机变量函数Z X Y =+的概率密度为()()()Z X Y f z f x f z x dx+∞-∞=-⎰, 或 ()()()Z X Y f z f x f z x dx+∞-∞=-⎰．以上两个公式也称为卷积公式．当X 与Y 相互独立，且X 的分布函数为()X F x ,Y 的分布函数为()Y F y 时，随机变量函数max(,)Z X Y =的分布函数为()()()Z X Y F z F z F z =，随机变量函数max(,)W X Y =的分布函数为()1(1())(1())W X Y F w F w F w =---．通过求导，可以求得,Z W 的概率密度． 特别有下面的结论：设211~(,)X N μσ，222~(,)Y N μσ，且X 与Y相互独立，则221212~(,)X Y N μμσσ+++．三、思考题１．设随机变量(,)X Y 的概率密度为(),0,0,(,)0,x y xye x y f x y -+⎧≥≥=⎨⎩其它. 求(3).P X Y ≥２．若X Y 与为相互独立的分别服从[0,1]上均匀分布的随机变量，试求Z X Y =+的分布密度函数．在许多问题中，随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述．如，大学生的身体状况（身高H 和体重W ），弹着点的位置(,)X Y 等．单单逐个研究还不足以把握其变化规律，因为它反映不出X 和Y 之间的关系，需作为一个整体来研究——多维随机变量．以二维随机变量为例介绍．一 二维随机变量及其分布函数1 二维随机变量定义1 设X 、Y 是定义在同一样本空间上的随机变量，称有序对(,)X Y 为二维随机变量（Two - dimensional random variables ，2-rv ）或二维随机向量．注1 (,)X Y 可以看作平面上的随机点． 注2 用二维随机变量表达事件：{(,)}{((),())}X Y D X Y D ωωω∈∈2()D ∈．特别地，{,}X x Y y ==，{,}X x Y y ≤≤．注3 n 维随机变量12(,,,)n X X X ．2 二维随机变量的分布函数定义2 设(,)X Y 为二维随机变量，称二元函数{}(,),F x y P X x Y y =≤≤（任意实数,x y ）为二维随机变量(,)X Y 的分布函数, 或(,)X Y 的联合分布函数，或X 和Y 的联合分布函数．（J-cdf ）注4 (,)F x y 表示随机点(,)X Y 落在以(,)x y 为右上端点的广义矩形区域内的概率．（画图）注5 随机点(,)X Y 落在任意矩形区域1212[;]x x x y y y <≤ <≤之内的概率为121222211112{;}(,)(,)(,)(,)P x X x y y y F x y F x y F x y F x y <≤ <≤=-+-．注6 n 维随机变量12(,,,)n X X X 的分布函数（或12,,,n X X X 的联合分布函数）：121122(,,,){,,,}n n n F x x x P X x X x X x =≤≤≤（12,,,n x x x ∀ ∈）．3 分布函数的基本性质性质1（非减性）(,)F x y 对于每一个变量非减． 性质2（右连续性）(,)F x y 对于每一个变量右连续．性质3（边界极端性）(,)0F y -∞=，(,)0F x -∞=，(,)1F +∞+∞=． 性质4（多维特别性质） 对任意1212,x x y y <<，有22211112(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y -+-≥．注7 4条性质是决定性的．画图并解释性质4（缺之不可，对比多元微积分与一元微积分）：222111121212(,)(,)(,)(,){}F x y F x y F x y F x y P x X x y y y -+-=<≤<≤,．对于多维随机变量，由分布函数出发求事件的概率不常采用（了解之即可）．类似于一维情形，通常我们是针对离散型和连续型这两种常见情形，给出表达其概率分布的比较方便的形式．二 二维离散型随机变量的分布律1 定义定义3 若二维随机变量(,)X Y 的所有可能的取值是有限个或可列个：(,),1,2,i j x y i j =（），则称(,)X Y 为二维离散型随机变量(Two -dimensional discrete random variables , 2d-rv )，并称函数{,}i j ijP X x Y y p ===（,1,2,i j =）为(,)X Y 的分布律，或(,)X Y 的联合分布律，或X 和Y 的联合分布律．（J-pmf )注8ijp 表示随机点(,)X Y 落在点,i j x y （）上的概率．注9 二维离散型随机变量的分布律的表格表示：一维表格（不常用）：略． 二维表格（常用）：例1 口袋中有3个球（编号分别为0,1,1）．接连抽取两球，X 、Y 分别表示第一次、第二次取得球的编号，求X 和Y 的联合分布律．例2 某射手击中目标的概率为p (01)p <<．连续射击直至击中目标两次为止，X 表示首次击中目标所射击的次数，Y 表示总射击次数，求X 和Y 的联合分布律．解 X 和Y 的联合分布律为22(,)(1)n P X m Y n p p -===-（2,3,;1,2,,1n m n ==-）．2 联合分布律的基本性质性质1（非负性）0(,1,2,)ij p i j ≥=．性质2（正则性）111iji j p+∞+∞===∑∑．注10 性质是决定性的．3 由联合分布律求事件的概率(,){(,)}i j ijx y DP x y D p ∈∈=∑．特别地，(,)i j ijx x y yF x y p≤≤=∑．（当然，由联合分布函数还可导出联合分布律）三 二维连续型随机变量的概率密度函数1 定义定义4 设(,)X Y 是二维随机变量，若存在非负函数(,)f x y ，使得(,)(,)y xF x y f x y dxdy-∞-∞=⎰⎰，则称(,)X Y 为二维连续型随机变量(Two -dimensional continuous random variables ，2c-rv )，而函数(,)f x y 称为二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数，或(,)X Y 的联合概率密度函数, 或X 和Y 的联合概率密度函数．(J-pdf )注11 密度函数不唯一．注12 (,)f x y dxdy 表示随机点(,)X Y 落在(,)x y 的微小邻域内的概率． 2 联合密度函数的基本性质性质1 (,)0f x y ≥． 性质2 (,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰．注13 性质是决定性的．例3 设(,)X Y 的密度函数为(2)0,0(,)0x y Ce x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他，求（1）常数C ；（2）分布函数(,)F x y ；（待讲）（3）{}P Y X ≤．（待讲） 3 由联合密度函数求事件的概率{(,)}(,)DP X Y D f x y dxdy∈=⎰⎰．特别地，{,}0P X x Y y ===．例3 （2）（3）见上例4 设(,)X Y 的密度函数为1(6),02,24(,)80,x y x y f x y ⎧--<<<<⎪=⎨⎪⎩其他，求 （1）3{1,3}8P X Y <<=； （2）5{3}24P X Y +≤=．4 联合密度函数与联合分布函数(,)(,)y xF x y f x y dxdy-∞-∞=⎰⎰；2(,)(,)F x y f x y x y ∂=∂∂（在(,)f x y 的连续点处，或使得(,)F x y 二阶混合偏导连续的点处）．5 常用的二维连续型分布 二维均匀分布(,)~()X Y U D ：1,(,)(,)0,Dx y DS f x y ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他．背景：馅饼． 二维正态分布(,)X Y ~221212(,,,,)N μμσσρ（12,μμ为任意常数，120,0σσ>>, 11ρ-<<）：22112222211221()()()()(,)22(1)x x y y f x y μμμμρρσσσσ⎧⎫⎡⎤----⎪⎪--+⎨⎬⎢⎥-⎪⎪⎣⎦⎩⎭．特别地，(,)X Y ~(0,0,1,1,)N ρ（二维标准正态）：22222(1)(,)x xy y f x y ρρ-+--=．四 联合分布与边缘分布随机变量X 和Y 作为一个整体：(,)X Y ，具有概率分布（联合分布函数，联合分布律或联合密度函数），它从整体上反映了(,)X Y 的统计规律性．由于X 和Y 都是随机变量，它们都有自己的概率分布（分布函数，分布律或密度函数）．为了区别于联合分布，分别称之为二维随机变量(,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘(Marginal )概率分布（边缘分布函数M-cdf ，边缘分布律M-pmf 或边缘密度函数M-pdf ）．记号: ()X F x ,()Y F y ,()X f x ,()Y f y 等．联合分布可完全确定边缘分布：边缘分布函数可由联合分布函数确定：()()X F x F x =+∞,，()()Y F y F y =+∞，．边缘分布律可由联合分布律确定：{}1(1,2,)i iji j p X x p p i +∞⋅=== = ∑，{}1(1,2,)j ijj i p Y y p p j +∞⋅=== = ∑．边缘密度函数可由联合密度函数确定：()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰，()(,)Y f y f x y dx+∞-∞=⎰．例5（见前例1）（略）例6（见前例2）已知X 和Y 的联合分布律为22(,)(1)n P X m Y n p p -===-，（2,3,;12,,1n m n ==-）．求(,)X Y 的边缘分布律． 解 (,)X Y 关于X 的边缘分布律是1{}(,)n m P X m P X m Y n ∞=+====∑221(1)n n m p p ∞-=+=-∑1(1)m p p -=-（m =1,2, …）；(,)X Y 关于Y 的边缘分布律是11{}(,)n m P Y n P X m Y n -=====∑1221(1)n n m p p --==-∑22(1)(1)n n p p -=--（n =2,3, …）．注 14 二维正态分布的边缘分布是正态分布（以二维标准正态为例推导）：221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ⇒211~(,)X N μσ，222~(,)Y N μσ．注 15 边缘分布不能完全确定联合分布．如上例（二维标准正态，ρ）．其实，联合分布不仅刻画了X 和Y 各自的特征，而且反映了X 和Y 之间的关系．例7 设(,)~()X Y U D （其中D ：221x y +<），求(,)X Y 的边缘密度函数．例8 设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为801(,)0x y x y f x y ≤≤≤⎧=⎨⎩，，其它，试求(,)X Y 的边缘密度函数．解 24(1)01()0X x x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩，，其它 ；3401()0Y y y f y ⎧≤≤=⎨⎩，，其它．第10、11次课 3 学时第二节 条件分布及随机变量的独立性一条件分布一般情况下，随机变量X 的取值对随机变量Y 的概率分布有影响．例如，X 和Y 分别表示身高和体重．它们各自有一定的概率分布．若限制X 的取值, 则Y 的概率分布肯定不同于原来的分布，这个分布就是条件分布．在某种给定条件下（通常是X 取某个特定值），随机变量Y 的概率分布就称为条件分布． 引例（见前例1）考虑在X =1条件下，Y 的概率分布．——条件分布律． 1 离散型随机变量的条件分布律定义1 设(,)X Y 是二维离散型随机变量，若对于固定的j ，{}0j P Y y =>，则称{,}{|}{}i j ij i j j jP X x Y y p P X x Y y P Y y p ⋅=======，1,2,i =为jY y =条件下随机变量X 的条件(Conditional )分布律．同样，若对于固定的i ，{}0i P X x =>，则称{,}{|}{}i j ij j i i i P X x Y y p P Y y X x P X x p ⋅=======,1,2,j =为i X x =的条件下随机变量Y 的条件分布律． 注1条件分布律是分布律． 注2条件分布律的表格表示（略）． 例1（见前节例2） 解 X 和Y 的联合分布律为22(,)(1)n P X m Y n p p -===-，（2,3,;12,,1n m n ==-）．关于X 的边缘分布律是1{}(1)m P X m p p -==-（1,2,m =）；关于Y 的边缘分布律是{}P Y n =22(1)(1)n n p p -=--（2,3,n =）．条件分布律为 对于2,3,n =，(|)P X m Y n =={,}{}P X m Y n P Y n ====2222(1)(1)(1)n n p p n p p ---=--11n =-（m =1, 2, …, n -1），对于 1,2,m =，1(|)(1)n m P Y n X m p p --===-(1,2,)n m m =++．2 连续型随机变量的条件密度函数定义2 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数为(,)f x y ．若对于固定的y ，()0Y f y >，则称|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =为Y y =条件下X 的条件(Conditional )密度函数．类似地，可定义|(,)(|)()Y X X f x y f y x f x =．注3 条件密度函数是密度函数．注 4 正态分布的条件分布是正态分布．（以二维标准正态分布为例推导，(,)X Y ~(0,0,1,1,)N ρ）例2（见前节例5）设(,)X Y 服从区域D ：221x y +<上的均匀分布，求（1）|(|)X Y f x y ；（2）P (X >1|Y =y )．（待讲）注5 若(X , Y )是连续型随机变量, 则对任一集合L ，|(|)(|)X Y LP X L Y y f x y dx∈==⎰．注6 Y y =下X 的条件分布函数：||(,)(|){|}(|)()x xX Y X Y Y f x y F x y P X x Y y f x y dx dx f y -∞-∞=≤===⎰⎰．3 乘法公式与全概率公式的其他表现形式离散形式：(,)()()i j i j i P X x Y y P X x P Y y X x ======,|(,)()(|)X Y X f x y f x f y x =.连续形式：1()()()j i j i i P Y y P X x P Y y X x ∞======∑，|()()(|)YX Y X f y f x f y x dx +∞-∞=⎰. 例3 设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p (0<p <1)，且中途下车与否相互独立，以Y 表示中途下车的人数．求二维随机变量(X ,Y )的概率分布．解 已知X=n 时Y 的条件分布是参数为n ，p 的二项分布，所以P {Y=m|X=n }=mn m m np p C--)1(, 0≤m ≤n ．由X~ π(λ)知，(X ,Y )的分布律为P {X=n ,Y=m }=P {X=n }P {Y=m|X=n }=!n e n λλ-mn m m np p C--)1(, n=0,1,2,…；m=0,1,…,n ．例4 设随机变量X 在(-1,1)区间服从均匀分布，当观察到X =x (-1<x <1)时，随机变量Y 在(x 2,1)上服从均匀分布，求Y 的密度函数．解 由题意f X (x )=1/2,11,0,.x -<<⎧⎨⎩其它，且当-1<x <1时，f Y|X (y|x )=221,110,.x y x⎧<<⎪-⎨⎪⎩其它．于是22|1,11,12(1)(,)()(|)0,X Y X x x y x f x y f x f y x ⎧-<<<<⎪-==⎨⎪⎩其它．从而f Y (y )=(,)f x y dx +∞-∞⎰=,01,0,y ⎧<<⎪⎨⎪⎩其它=01,0,y ⎧<<⎪⎨⎪⎩其它．二 随机变量的独立性（以两个为例）1定义定义3 设X Y 、是两个随机变量，如果对于任意的实数x 和y ，有(,)()()X Y F x y F x F y =⋅ (即{}{}{},P X x Y y P X x P Y y ≤≤=≤≤)则称随机变量X 与Y 相互独立（Mutually independent ）．注7 X 与Y 相互独立的本质是{}{}{}1212,P X B Y B P X B P Y B ∈∈=∈∈．注8 当X 与Y 相互独立时，由边缘分布可唯一决定联合分布． 注9 推广到多个． 2等价条件离散型：X Y 与独立⇔ij i jp p p ∙∙=（对于所有的j i 、）．连续型：X Y 与独立⇔(,)()()X Y f x y f x f y =（几乎所有的(,)x y ）． 例5 (,)X Y 的联合分布律为：问α、β取何值时，X 与Y 相互独立？例 6 已知(,)X Y 的联合概率密度为801()0x y x y f x y ≤≤≤⎧=⎨⎩，，，其他，问X 与Y 是否独立？解 易知，X 和Y 的边缘密度分别为24(1)01()0X x x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩，，其它 和 ⎩⎨⎧≤≤=其它，，0104)(3y y y f Y ．取点(1/4,1/2)，(1/4)15/16X f =，(1/2)1/2Y f =，(1/4,1/2)1f =．易见(1/4,1/2)f ≠(1/4)X f ⋅(1/2)Y f ，故随机变量X 与Y 不相互独立．注10 若(,)X Y 服从二维正态分布221212(,,,,)N μμσσρ，则X 与Y 独立的充要条件是0ρ=．例3 设某种货物的需求量X 与供应量Y 都在（0，a ）上服从均匀分布，并且两者相互独立，求缺货的概率． 3性质性质 若X 与Y 是独立的，则()g X 与()h Y 也是独立的．第12次课 2 学时第三节 多维随机变量函数的分布一 二维离散型随机变量函数的分布例1 设(X ,Y )的分布律为（见右表）， 求Z 1=X+Y ，Z 2=max{X ,Y }的分布律．例2若12~(,),~(,)X b n p Y b n p ，且X 与Y 相互独立，证明12~(,)Z X Y b n n p =++（可加性）证明 Z 所有可能的取值为120,1,2,,n n +．对于任意的k （120k n n ≤≤+），有{}{}P Z k P X Y k ==+==1212{,}k k k P X k Y k +===∑=1212+{}{}k k k P X k P Y k ===∑=121112221212+(1)(1)k kk n k k n k n n k kkp p P p C C --=--∑=12121212(1)k k n n kk n n k k k p p C C+-+=-∑=1212(1)k n n kk n n p p C+-+-,故12~(,)Z X Y b n n p =++．注1 若离散型随机变量X 与Y 相互独立，则Z X Y =+的分布律为{}{}{}1k i k i i P Z z P X x P Y z x ∞=====-∑{}{}1k j j j P X z y P Y y ∞===-=∑．（离散场合的卷积公式）二 二维连续型随机变量函数的分布1 一般思路——分布函数法例3 设X ~ N (0,σ2), Y ~ N (0,σ2),且X 与Y 相互独立,求Z 数．2 和函数的分布设(,)X Y 的概率密度函数为(,)f x y ，则Z X Y =+的概率密度函数为()(,)Z f z f z y y dy +∞-∞=-⎰(,)f x z x dx+∞-∞=-⎰．（一般公式）特别地，当,X Y 相互独立时，Z X Y =+的概率密度函数为()()()Z X Y f z f z y f y dy +∞-∞=-⎰()()X Y f x f z x dx+∞-∞=-⎰．（连续场合的卷积公式）例4 设X 和Y 相互独立同服从(0,1)N ，求Z X Y =+的概率分布． 解 由题意22(),x X f x x -= -∞<+∞,22(),y Y f y y - -∞<<+∞．由卷积公式，()()()Z X Y f z f x f z x dx+∞-∞=-⎰22()2212x z x eedxπ-+∞---∞=⋅⎰22()4212z z x ee dx π+∞----∞=⎰22()4212z z x e edxπ-+∞---∞=⎰，令zt x =-，得()Z f z=222z -⋅，即 ~(0,2)Z N ．注2 一般，若221122~(,),~(,)X N Y N μσμσ，且X 与Y 相互独立，则221212~(,)X Y N μμσσ±±+．进一步，若2~(,)(1,2,,)i i i X N i n μσ=且i X 相互独立，而实数12,,,n a a a 不全为零，则22111~(,)nnni ii i i ii i i a XN a a μσ===∑∑∑．即独立正态分布随机变量的线性组合仍为正态分布随机变量．（记住结论）例5 若()22,0,0(,)~(,)0,x y ex y X Y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩其他，求Z X Y =+的概率密度．3 最大、最小值函数的分布设X 和Y 相互独立，分布函数分别为(),X F x ()Y F y ，则 max(,)M X Y =的分布函数max ()()()X Y F z F z F z =．min(,)N X Y =的分布函数min ()F z 1[1()][1()]X Y F z F z =---注 3 推广到n 个： 设12,,,n X X X 相互独立，分布函数分别为1212(),(),,()n X X X n F x F x F x ，则12max(,,,)n M X X X =的分布函数为 12max ()()()()n X X X F z F z F z F z =．12min(,,,)n N X X X =的分布函数为min 1()1[1()]k nX k F z F z ==--∏．特别地，当12,,,n X X X 同分布时（分布函数()F x ），m a x ()[()]nF z F z =，min ()1[1()]n F z F z =--．例6 设系统L 由两个相互独立的子系统1L 、2L 联接而成，联接方式分别为 ⑴串联，⑵并联，⑶备用（图见教材）（当系统1L 损坏时，系统2L 开始工作）．已知1L 、2L 的寿命分别为X 和Y ，概率密度分别为()00xX e x f x x αα-⎧>=⎨≤⎩ 和0()00y Y e y f y y ββ-⎧>=⎨≤⎩其中0,0αβ>>，且αβ≠，试分别就以上三种联接方式求出系统L 的寿命Z 的概率密度函数．解 由已知，X 与Y 相互独立，且分布函数分别为10()00xX e x F x x α-⎧->=⎨≤⎩ ，10()00y Y e y F y y β-⎧->=⎨≤⎩⑴ 串联情况这时，L 的寿命Z min(,)X Y =．Z 的分布函数为()min 10()00ze z F z z αβ-+⎧->=⎨≤⎩，于是Z 的概率密度函数为()min ()0()00ze zf z z αβαβ-+⎧+>=⎨≤⎩．⑵ 并联情况这时，L 的寿命Z max(,)X Y =．Z 的分布函数为max (1)(1)0()00z z e e z F z z αβ--⎧-->=⎨≤⎩， 于是Z 的概率密度函数为()max ()0()00z z ze e e zf z z αβαβαβαβ---+⎧+-+>=⎨≤⎩．⑶ 备用情况这时，L 的寿命Z X Y =+． 当0z >时，()()()Z X Y f z f z y f y dy +∞-∞=-⎰()zz y yeedy αβαβ---=⎰[]z ze e αβαβαβ--=--，当0z ≤时，()0Z f z =．于是[]0()00z zZe e zf zzαβαβαβ--⎧->⎪-=⎨⎪≤⎩．第三章习题选讲（略）。
概率论与数理统计第3章第一节-二维随机变量3-1解析
看作一个整体，因为 X 与Y 之间是有联系的；
⑶ 在几何上，二维随机变量 ( X ,Y ) 可看 作平面上的随机点． 二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y有关,而且 还依赖于这两个随机变量的相互关系,因此,逐个 地研究X及Y的性质是不够的，还需将(X,Y)作为 一个整体来研究．和一维的情况类似，我们也借 助“分布函数”来研究二维随机变量
时 F x1, y F x2, y ;
对任意固定的 x R 及 y1 , y2 R , 当 y1 y2
时 F x, y1 F x, y2 ;
x1, y y
x2, y
x1 O
x2 x
X ,Y
X ,Y
3 . 0 F x, y 1, 且
对任意固定的 y R , F , y 0 ,
得
1
F
，
A
B
2
C
2
0 F x， A B arctan x C
2 2
0 F ， y A B C arctan y
2
3
由 以 上 三 式 可 得A，
1，
2
B
，
2
C
2
．
n 维随机变量
设 E 是一个随机试验，S是其样本空间，
Xi Xi e e S i 1， 2， ， n
我们称此函数为n维随机变量的分布函数.
二、二维离散型随机变量
1．定义：
若二维随机向量(X,Y)的可能取值只有有限个或可 列个,则称(X,Y)是离散型二维随机向量.
若二维离散型随机向量(X,Y)的所有可能取值为
(xi,yj),i,j=1,2,…
记P{X=xi,Y=yj}=pij, i, j=1,2,…
2014年自考 概率论与数理统计串讲讲义 第三章 多维随机变量及其概率分布
第三章 多维随机变量及其概率分布1． 二维随机变量),(Y X),(Y X 的分布函数),(),(y Y x X P y x F ≤≤=X 的分布函数),(),(lim )(1+∞==∞→x F y x F x F y Y 的分布函数),(),(lim )(2y F y x F y F x +∞==∞→ ),(lim 0),(lim y x F y x F y x -∞→-∞→==2． 离散型),(Y X 的分布律ij P⎪⎩⎪⎨⎧=≥===∑∑i jij i i ij P y Y x X P P 10),( （与⎪⎩⎪⎨⎧=≥∑K K K P P 10比较） ∑===jij i i P x X P P )(∑===iij i j P y Y P P )(例１ 设),(Y X 的分布律为求（1）?=a（2）)0(=X P（3）)2(≤Y P（4）)2,1(≤<Y X P（5）)(Y X P =解：（1）由1=∑∑i j ij P知∑∑==+++++=1031131211030201)(i j ij P P P P P P P 125.025.03.01.01.0=+++++=a 解得0=a（2）300102031(0)0.10.10.30.5j j P X PP P P ====++=++=∑（3）∑∑==+=+==+==≤10210121)2()1()2(i i i i P P P P Y P Y P Y P 45.0)01.0()25.01.0(=+++=（4）2.01.01.0)2,0()1,0()2,0()2,1(0201=+=+===+===≤==≤<P P Y X P Y X P Y X P Y X P（5）25.0)(11===P Y X P3． 连续型),(Y X 的分布密度设D 为平面上的区域，),(y x f 为),(Y X 的分布密度，则其满足：⎪⎩⎪⎨⎧=≥⎰⎰∞+∞-∞+∞-1),(0),(dxdy y x f y x f dxdy y x f D Y X P D⎰⎰=∈),()),((特别，⎰⎰∞-∞-=≤≤=x ydudv v u f y Y x X P y x F ),(),(),(),(),(2y x f yx y x F =∂∂∂ 若X ，Y 相互独立，则有)()(),(21y F x F y x F ⋅=，)()(),(21y f x f y x f ⋅=，其中)(),(11x f x F 分别为X 的边缘分布函数和分布密度，)(),(22y f y F 分别为Y 的边缘分布函数和分布密度。
经管类概率论与数理统计第三章多维随机变量及概率分布
3.1二维随机变量的概念3.1.1二维随机变量及其分布函数到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其他布，但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述。
例如，在打靶时，以靶心为原点建立直角坐标系，命中点的位置是由一对随机变量（X，Y）（两个坐标）来确定的。
又如考察某地区的气候，通常要考察气温X，风力Y，这两个随机变量，记写（X，Y）。
定义3.12个随机变量X，Y组成的整体Z=（X，Y）叫二维随机变量或二维随机向量。
定义3.2（1）二元函数F（x,y）=P（X≤x,Y≤y）叫二维随机变量（X，Y）的联合分布函数，简称分布函数。
记作（X，Y）～F（x,y）。
（2）二维随机变量（X，Y）中，各分量X，Y的分布函数叫二维随机变量（X，Y）的边缘分布函数。
因为X<+∞，Y<+∞即-∞<X<+∞，-∞<Y<+∞，分别表示必然事件，所以有X～F x（x）=P（X≤x）=P（X≤x，Y<+∞）=F（x,+∞）Y～F Y（y）=P（Y≤y）=P（x<+∞，Y≤y）=F（+∞，y）公式可见X，Y的边缘分布可由联合分布函数求得。
3.1.2二维离散型随机变量定义3-3若二维随机变量（X，Y）只取有限多对或可列无穷多对（x i，y j），（i，j=1，2，…），则称（X，Y）为二维离散型随机变量。
设二维随机变量（X，Y）的所有可能取值为（x i，y j）（i，j=1，2，…），（X，Y）在各个可能取值的概率为：P{X=x i,Y=y j}=P ij（i，j=1，2，…），称P{X=x i,Y=y j}=P ij（i，j=1，2，…）为（X，Y）的分布律。
（X，Y）的分布律还可以写成如下列表形式：（X，Y）的分布律具有下列性质：（1）p ij≥0（i，j=1，2，…）；（2）反之，若数集{P ij}（i，j=1，2，…）具有以上两条性质，则它必可作为某二维离散型随机变量的分布律。
概率论 第三章 多维随机变量及其分布
f (x, y)
1
2 1 2 1 2
e
xp
1
2(1
2
)
(x
1)2
2 1
2
(x
1 )( y 1 2
2)
(y
2 )2
2 2
x ; y
则称: (X, Y)服从参数 为1、2、1、2、的二 维正态分布。其中1>0， 2>0，||1是常数。记为： (X, Y)~N(1、2、12、22、)
(1) f(x,y)0 ;
(2)
f (x, y)dxdy 1;
(3)若f(x,y)在点（x,y）连续，则有
2F(x, y) f (x, y);
xy
(4)P{(X,Y)G}= f (x, y)dxdy 。
G
例2. 设(X, Y)的(联合)密度为：
kxy x2 y 1, 0 x 1
定义 设(X，Y)的分布函数为 F(x,y), 如果存在非负函数f(x,y)使 得对x,yR
xy
F(x, y) P{X x,Y y} f (u,v)dudv
则称（X，Y）为连续型的二维随 机变量；称f(x,y)为（X，Y）的概 率密度(或简称联合概率密度)。
概率密度f(x,y)具有性质
f X ( x)
f ( x, y)dy
e y dy e x x
故f X ( x)
＝ e x 0
0 x x0
y yx
o
x
例6:设某仪器由寿命(单位:kh)为X, Y的两 部件组成,(X,Y)的联合分布函数为:
1 e0.5x e0.5y e0.5(x y) x 0; y 0
f (x, y) 0
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