第4章 复杂电力系统潮流的计算机算法
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电力系统稳态分析-第四章 复杂电力系统潮流的计算机算法
第二节 功率方程及其迭代解法
在实际电力系统中，已知的运行条件往往不是节点的注 入电流而是负荷和发电机的功率，而且这些功率一般不随节 点电压的变化而变化。同时，在节点功率不变的情况下，节 点的注入电流随节点电压的变化而变化。而在节点电压未知 的情况下，节点注入电流是无法求得的。因此，不能用上节 介绍的网络方程进行潮流计算。必须在已知节点导纳矩阵的 情况下，用已知的节点功率来代替未知的节点注入电流，建 立起潮流计算用的节点功率方程，才能求出节点电压，进而 求出整个系统的潮流分布。
非线性方程组没有直接的解析方法，只能用迭代求解发方法。
第二节 功率方程及其迭代解法
为了更好的理解功率方程的意义，先以两母线系统为例， 然后推广到n母线系统 1、两母线系统的功率方程 G 1
~ ~ SG1 PG1 jQG1 SG 2 PG 2 jQG 2
U1
等值电源功率
SG1和SG2 ？
3) 输电线模型：是一个分布参数的电路，可用一个集中 参数的∏型等值电路表示；
4) 变压器模型：通常用集中参数的г型等值电路表示。
第一节 电力网络方程
要进行复杂系统的潮流计算，借助计算机程序进行计 算时，需要建立电力网络的网络方程。它是反映系统中 电流与电压之间相互关系的数学方程。需要对电力网进 行数学的抽象。
i
Yii Y jj yij Yij Y ji yij
yij
电力网
j
Yii Y jj Yii Yij Y ji Yij
(0) (0)
Yii Yij
第一节 电力网络方程
（4）在原有网络的节点i、j之间的导纳由yij改变为y'ij
i
Yii y yij ij Yij Y ji yij y ij
第4章 复杂电力系统潮流计算
Z ab Z bb Z cb Z ac I a Z bc Ib Z cc I c
Z E a aa Eb Z ba 0 Z ca
第一节 电力网络方程
另一种表达方式：
1 YL E L I L YL Z L
Y1i Y1n Y2i Y2 n Yii Yin Yni Ynn
第一节 电力网络方程
2）原网络节点 i 和 j 之间增加一条支路
节点导纳矩阵的阶数不变，只是由于节点 i 和 j
之间增加了一条支路导纳 yij 而使节点 i 和 j 之间的互
第一节 电力网络方程
结合图4-1（a）有
Y Y I Y U 1 11 12 13 1 I 2 Y21 Y22 Y23 U 2 0 Y Y Y U 31 32 33 3
第一节 电力网络方程
I Yaa Yab Yac E a a Y E I Y Y ba bb bc b b Yca Ycb Ycc 0 Ic
第一节 电力网络方程
三、节点导纳矩阵的形成和修改
1. 节点导纳矩阵的形成
（3-8）
/I Z ii U i i
0 I j
, i, j 1, , n, i j
（3-9）
/I Z ij U i j
0 I i
, i, j 1, , n,
ji
（3-10）
第一节 电力网络方程
自阻抗在数值上等于仅在节点 i 注入单位 电流而其余节点均不注入电流（即电源均 开路）时，节点 i 的电压。
Z E a aa Eb Z ba 0 Z ca
第一节 电力网络方程
另一种表达方式：
1 YL E L I L YL Z L
Y1i Y1n Y2i Y2 n Yii Yin Yni Ynn
第一节 电力网络方程
2）原网络节点 i 和 j 之间增加一条支路
节点导纳矩阵的阶数不变，只是由于节点 i 和 j
之间增加了一条支路导纳 yij 而使节点 i 和 j 之间的互
第一节 电力网络方程
结合图4-1（a）有
Y Y I Y U 1 11 12 13 1 I 2 Y21 Y22 Y23 U 2 0 Y Y Y U 31 32 33 3
第一节 电力网络方程
I Yaa Yab Yac E a a Y E I Y Y ba bb bc b b Yca Ycb Ycc 0 Ic
第一节 电力网络方程
三、节点导纳矩阵的形成和修改
1. 节点导纳矩阵的形成
（3-8）
/I Z ii U i i
0 I j
, i, j 1, , n, i j
（3-9）
/I Z ij U i j
0 I i
, i, j 1, , n,
ji
（3-10）
第一节 电力网络方程
自阻抗在数值上等于仅在节点 i 注入单位 电流而其余节点均不注入电流（即电源均 开路）时，节点 i 的电压。
电力系统稳态分析4(复杂电力网络的潮流估算)
4、从上式可以看出，当系统网络参数已知时，线路上的有功和无
功损耗仅仅是电压变量的函数。 当两母线系统中电压向量不能确定时，系统的有功和无功损 耗也不能确定。在非线性方程的迭代过程中，只要迭代没有收敛， 系统的有功和无功损耗就不能确定。
以上方程的物理意义及其特点： 5、两母线系统中有12个变量（用注入功率表示时有8个变量）， 但只有4个方程，因此必须根据系统的实际情况，给定4个值，使未 知数减少到4个，该非线性方程组才有解。 从理论上讲任意给定4个变量，由方程解出其他四个变量，但
Yij Yij Yij yij
Yij Yij Yij yij
④ 在原有网络的节点 、j 之间的导纳
i
相当于切除一条导纳为 支路。
yij 的支路，增加一条导纳为 yij 的
y ij
yi. j
yij yij
i
j
导纳矩阵阶数不变； 原矩阵中：
Yii Yii Yii yij yij
2、功率平衡方程
n ~ ˆ ˆ Si Pi jQi U i U jYij (i 1、 n) 2 j 1
实部与虚部分解
ˆ ˆ Pi Re (U i U jYij )(i 1、 n) 2
j 1
n
n
ˆ ˆ Qi I m (U i U jYij )(i 1、 n) 2
六、用阻抗矩阵形式表示的网络方程
第二节 功率方程及其迭代求解
一、两母线系统的功率方程
以上方程的物理意义及其特点：
1、四个功率方程包含电压的平方和三角函数，是一组非线性的代 数方程组。 2、两个有功方程式相加反映了两母线系统的有功平衡。 3、两个无功方程式相加反映了两母线系统的无功平衡。
复杂电力系统潮流的计算机算法资料
~ SG1
PG1
jQG1
~ SG2
PG2
jQG2
G
1
U 1
U 2
2
S~L1 PL1 jQL1
等值负荷功率 （a）简单系统
~ SL2
PL2
jQL2
第26页/共92页
4－2 功率方程及其迭代解法
一、功率方程和变量、节点的分类
1、功率方程
G
~ SG1
PG1
jQG1
~ SG2
PG2
jQG2
G
1
U 1
y12
4－2 功率方程及其迭代解法
一、功率方程和变量、节点的分类
2、变量的分类
设置平衡节点的目的
➢在结果未出来之前，网损是未知的， 至少需要一个节点的功率不能给定，用 来平衡全网功率。 ➢电压计算需要参考节点。
第33页/共92页
4－2 功率方程及其迭代解法
一、功率方程和变量、节点的分类
3、约束条件 实际电力系统运行要求：
第16页/共92页
三、节点导纳矩阵的修改
不同的运行状态，（如不同结线方式下的运行状况、变压器的
投切或变比的调整等）
改变一个支路的参数或它的投切只影响该 支路两端节点的自导纳和它们之间的互导纳，因 此仅需对原有的矩阵作某些修改。
第17页/共92页
三、节点导纳矩阵的修改
Y 矩阵的修改
不同的运行状态，（如不同结
y30
y20
以零电位作为 参考，根据基 尔霍夫电流定 律
I2
.
.
.
.
.
.
I 1 U 1 y10 (U 1 U 2) y12 (U 1 U 3) y13
.
第四章复杂电力系统潮流计算-牛顿-拉夫逊潮流计算
ΔX
(k )
?
Yes
收敛结束
极坐标形式的潮流方程
* * I U Y U Pi jQi Ui i i ij j * j 1 n
U i U i i，U j U j j Yij Gij jBij , ij i j
电压相量用 极坐标表示
极坐标下有功功率和无功功率方程
n Pi U iU j (Gij cos ij Bij sin ij ) j 1 n Q U U (G sin B cos ) ij ij ij i i j ij j 1
i 1, 2, , n
泰勒级数展开忽略步时的修正方程组为修正量修正方程的矩阵形式其中函数fx的jocabi雅可比矩阵收敛结束yesijijij极坐标下有功功率和无功功率方程电压相量用极坐标表示次迭代时pq节点
§3-4 牛顿-拉夫逊法潮流计算 （Newton-Raphson迭代法）
牛顿-拉夫逊法
单变量非线性方程
真解
f ( x ) 0,
j 1 n
n
U i U j [(Gij cos ij Bij sin ij ) j (Gij sin ij Bij cos ij )
j 1 n
U i U j (Gij cos ij Bij sin ij ) jU i U j (Gij sin ij Bij cos ij )
x( 0 )
1
x( 0 )
1
x1 x( 0 ) n x2 f n xn (0) x n x n f 1 x n
迭代至第 k 步时的修正方程组为
电力系统分析第04章复杂电力系统潮流计算
电力系统分析第04章复杂电力系统潮流计算潮流计算是电力系统分析的一个重要工具，用于计算电力系统中各节点的电压幅值和相角，以及各支路的功率潮流分布情况。
复杂电力系统潮流计算主要包括节点潮流计算和线路潮流计算两部分。
节点潮流计算是指计算电力系统各节点的电压幅值和相角。
节点潮流计算的基本原理是根据节点复功率方程和节点电流平衡方程，建立节点潮流计算的数学模型。
该模型可以用于计算电力系统中各节点的电压幅值和相角，并找出潮流计算过程中出现的问题。
线路潮流计算是指计算电力系统中各支路的功率潮流分布情况。
线路潮流计算的基本原理是根据支路潮流方程，建立线路潮流计算的数学模型。
该模型可以用于计算电力系统中各支路的功率潮流，包括有功功率、无功功率和视在功率等。
在复杂电力系统潮流计算中，需要考虑以下几个方面。
首先，需要确定电力系统的潮流计算方法，常用的有直接法、迭代法和改进迭代法。
直接法适用于小型电力系统，计算速度较快，但对于大型电力系统不太适用。
迭代法采用不断迭代的方式计算潮流，适用于大型电力系统，计算精度较高。
改进迭代法是对迭代法的改进，可以提高计算速度和精度。
其次，需要确定电力系统的节点类型。
电力系统中的节点可以分为平衡节点、PQ节点、PV节点和参考节点。
平衡节点的有功功率和无功功率都为零，用于维持整个系统的功率平衡。
PQ节点的有功功率和无功功率是已知的，需要通过潮流计算来确定该节点的电压幅值和相角。
PV节点的有功功率是已知的，需要通过潮流计算来确定该节点的无功功率和电压幅值。
参考节点是一个已知电压值的节点，作为其他节点电压相角的参考点。
最后，需要考虑电力系统潮流计算的收敛性和稳定性。
收敛性是指潮流计算的结果是否能够收敛到一个稳定的值。
如果潮流计算不能收敛，则需要调整潮流计算的参数或算法，以提高收敛性。
稳定性是指潮流计算结果对电力系统的扰动是否具有稳定的响应。
如果潮流计算结果不稳定，则需要进一步分析系统的动态行为，以寻找稳定的解决方案。
第4章复杂电力系统潮流计算
第4章复杂电力系统潮流计算复杂电力系统潮流计算是电力系统分析和运行中的关键问题之一、通过潮流计算可以获得电网各节点的电压、功率等信息，为电力系统的规划、调度和运行提供重要依据。
本章将介绍复杂电力系统潮流计算的原理及常用算法。
复杂电力系统潮流计算的目标是求解系统各节点的电压和功率，主要包括节点电压幅值和相位角。
常用的电力潮流计算算法有高斯-赛德尔迭代法、牛顿-拉夫逊迭代法和快速潮流算法等。
高斯-赛德尔迭代法是最常用的一种潮流计算方法。
该方法通过迭代计算各节点的电压幅值和相位角，直至满足收敛准则。
具体步骤如下：1.初始化各节点的电压幅值和相位角；2.根据节点电压和导纳矩阵计算节点注入功率；3.更新各节点的电压幅值和相位角；4.检查是否满足收敛准则，如果不满足则重复步骤2和3，直至满足。
牛顿-拉夫逊迭代法是一种更加精确的潮流计算方法。
该方法通过牛顿法和拉夫逊法相结合，通过雅可比矩阵的逆矩阵来迭代计算电压和功率。
具体步骤如下：1.初始化各节点的电压幅值和相位角；2.根据节点电压和导纳矩阵计算节点注入功率；3.根据雅可比矩阵计算节点电流和电压的偏导数；4.更新各节点的电压幅值和相位角；5.检查是否满足收敛准则，如果不满足则重复步骤2至4，直至满足。
快速潮流算法是一种高效的潮流计算方法。
该方法通过分解电力系统中的支路导纳矩阵，将潮流计算问题转化为不同节点之间的线性方程组求解问题，从而大大提高计算速度。
具体步骤如下：1.分解电力系统的导纳矩阵为戴维森分量和逆戴维森分量；2.根据节点电压和导纳矩阵计算节点注入功率；3.利用戴维森分量和逆戴维森分量计算节点电压幅值和相位角的变化量；4.更新各节点的电压幅值和相位角；5.检查是否满足收敛准则，如果不满足则重复步骤2至4，直至满足。
除了上述算法外，还有一些改进的算法用于复杂电力系统潮流计算，如改进的高斯-赛德尔迭代法、改进的牛顿-拉夫逊迭代法等。
这些算法在计算速度和计算精度上有所调整和改进，以满足电力系统不同场景下的需求。
华北电力大学-RJW-电力系统分析基础(第4章)
自然分布、串联电容、串联电抗、附加串联加压器 4. 潮流调整： TCSC、STATCOM、 UPFC、 FACTS
第四章 复杂电力系统潮流的计算机算法
本章主要内容：
1. 建立数学模型：节点电压方程、导纳矩阵的形成与修改 2. 功率方程、节点分类及约束条件
3. 迭代法计算潮流
功率方程的非线性性质 高斯—塞德尔法 用于潮流计算———速度慢、易于收敛
E2
.
.
.
.
.
.
.
E1
.
Z13
Z23
I 2 = U 2 y 2 0 ( U 2 U 1 )y 2 1 ( U 2 U 3 )y 2 3 0 = U 3 y 3 0 ( U 3 U 1 )y 3 1 ( U 3 U 2 )y 3 2
. . . . .
.
.
.
.
.
.
第一节 力网的数学模型
i j
- yij
•导纳矩阵的阶数不变
• Yii = Yjj = yij ' - yij • Yij = Yji = yij - yij '
i j
-yij
yij '
第一节 电力网的数学模型
5) 修改一条支路的变压器变比值（ k*改变为k* '）
yT / k*
i
j
yT(k*-1) / k*
• Yii = 0
( 2) x2 = 0.7737
解：（1）将方程组 ( 3)
（2）设初值 x ( 0) = x ( 0) = 0；代入上述迭代公式 1 2
第三节 高斯—塞德尔迭代法潮流计算 二、高斯-塞德尔迭代法原理及求解步骤
• 设有非线性方程组 的一般形式：
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路导纳的负值。
Yij yij
节点导纳矩阵的特点
N×N 阶方阵 对称 复数矩阵 高度稀疏矩阵
二、节点导纳矩阵的形成和修改
【例1】已知 输电线的参数： zL = j0.1，yL = j0.02，用∏型 等值电路表示。 根据定义有：
y 1 / zL 1 / j0.1 j10 L
Y1n Yn 2 Ynn
互导纳
自导纳
节点导纳矩阵
节点导纳矩阵元素的物理意义
对角元 Yii 称为自导纳：节点 i 注入电流 与该节点 i 电压之比，数值上等于该节 点直接连接的所有支路导纳的总和； 非对角元 Yij 称为互导纳：节点 i 注入电 流与该节点 j 电压之比，数值上等于连 接节点 i，j支路导纳的负值。
Y11 y y y L / 2 y L / 2 L L j10 j10 j0.01 j0.01 -j19.98 Y12 Y21 y12 y j10 L
3 yL/2
zL
yL/2 yL/2
2 yL/2 zL yL/2
zL
yL/2 1
j10 j10 j19.98 YB j10 j19.98 j10 j10 j10 j19.98
导纳矩阵的特点和性质
I1 Y11 I 2 Y21 I n Yn1 Y12 Y22 Yn 2 Y1n U1 Yn 2 U 2 Ynn U n
0 0 Y ij 0 0Y jj
导纳矩阵的修改
4）删除网络中的一条支路 与增加相反，可理解为增加了一条负支路。 5）修改原网络中的支路参数 可理解为先将被修改支路删除，然后增加
一条参数为修改后导纳值的支路。因此，修改
均开路）时，节点 i 的电压。
互阻抗在数值上等于仅在节点 j 注入单位
电流而其余节点均不注入电流时节点 i 的
电压。
阻抗矩阵的特点和性质
1) 是对称矩阵。
2) 对于连通的电力系统网络，当网络中有接
地支路时，Z是非奇异满矩阵。
3) 对纯电阻性或电感性支路组成的电网，
Z ii Z ij
节点对的自阻抗不为零。
节点电压方程
I B YBU B
（4-1）
IB：节点注入电流的列向量，可理解为各节 点电源电流与负荷电流之和，并规定电源流 向网络的注入电流为正。（n×1）
UB：为节点电压的列向量（n×1）
YB：为节点导纳矩阵（n×n）
节点导纳矩阵YB
Y11 Y12 Y Y 21 22 Yn1 Yn 2
导纳矩阵的修改
3）从原网络引出一条新支路，同时增加一个新节点
设原网络有 n 个节点，从节点 i ( i ≤ n )引出一条支路 yij 及新增一节点 j，由于网络节点多了一个，所以节点导纳矩阵 也增加一阶，有变化部分：
Y11 Y12 Y Y 21 22 Yi1 Yi 2 Yn1 Yn 2
Yii Yii yi
导纳矩阵的修改
2）原网络节点 i 和 j 之间增加一条支路
节点导纳矩阵的阶数不变，只是由于节点 i 和 j
之间增加了一条支路导纳 yij 而使节点 i 和 j 之间的
互导纳、自导纳发生变化：
Yii Yii yij Y jj Y jj yij Yij Yij Yij yij
Yii I i / U i
U j 0
, i, j 1, , n, i j
Yij I i / U j
U i 0
, i, j 1, , n,
ji
导纳矩阵的特点和性质
自导纳等于该节点直接连
接的所有支路导纳的总和。
Yii
j , j i
y
ij
互导纳等于连接节点i，j支
节点导纳矩阵的形成
【例2】
节点导纳矩阵的形成
1.0421 j8.2429 0.5882 j 2.3529 j3.6666 0.4539 j1.8911 0.5882 j 2.3529 1.0690 j 4.7274 0 0.4808 j 2.4038 Y j 3.6666 0 j3.3333 0 0.4539 j1.8911 0.4808 j 2.4038 0 0.9346 j 4.2616
4）若变压器变比变为1：1.1 ，节点导纳矩阵有何变化？
第二节 功率方程及其迭代求解
31 1 32 2 33 3
其中：
Y11 y10 y12 y13 ; Y12 y12 ; Y13 y13 Y21 y12 ; Y22 y 20 y12 y 23 ; Y23 y 23 Y31 y13 ; Y32 y 23 ; Y33 y30 y13 y 23
原网络中的支路参数可通过给原网络并联一条
支路来实现。
导纳矩阵的修改
6）增加一台变压器 可由步骤 1）、2）组成。
Yii Yii YT / k 2 Y jj Y jj YT Yij YT / k Y ji YT / k
k
2
k:1
YT/ k
YT
k
k-1 k
导纳矩阵的修改
7）将节点 i、j 之间变压器的变比由 k* 改为 k’* 用步骤 5）实现。
第四章 复杂电力系统潮流的 计算机算法
陈碧云 广西大学电气工程学院
潮流计算的基本概念
潮流计算的计算机算法是以电网络理论为基 础的，应用数值计算方法求解一组描述电力 系统稳态特性的方程。
潮流计算 已知和待求量 数学模型 求解方法 电压和功率 非线性 迭代法
U ZI Z ( S / U )
性表示
输电线模型：是一个分布参数的电路，可用
一个集中参数的Π型等值电路表示
变压器模型：用Γ型或者Π型等值电路表示
发电机模型：由它的端电压和输出功率来表
示
第一节 电力网络方程
一、节点电压方程
电力系统潮流计算实质是电路计算问题。
因此，用解电路问题的基本方法，就可以建立起
电力系统潮流计算所需的数学模型——潮流方程。
（3-8）
Z ii U i / I i
I j 0
, i, j 1, , n, i j
（3-9）
Z ij U i / I j
I i 0
, i, j 1, , n,
ji
（3-10）
节点阻抗矩阵ZB
自阻抗在数值上等于仅在节点 i 注入单位 电流而其余节点均不注入电流（即电源
ZiD Z Di U i
(i 1, 2,, n)
作业1
已知一简单系统的等值电路图及元件参数，其中阻抗支
路的参数以阻抗标注，导纳支路的参数以导纳标注（均 为标么值），试求 1）该等值电路的节点导纳矩阵； 2）若支路34断开，节点导纳矩阵有何变化？
3）若节点2接地，节点导纳矩阵有何变化？
形成阻抗矩阵的方法
1) 支路追加法
实质上是与根据定义直接求节点导
纳矩阵的方法相对应。
根据自阻抗和互阻抗的定义直接求
节点阻抗矩阵的方法。
形成阻抗矩阵的方法
求逆法：ZB ＝ YB-1
Y11 Y1D Y1n U1 0 YD1 YDD YDn U D 1 D列 Yn1 YnD Ynn U n 0
回路电流方程
割集电压方程 节点电压方程
潮流方程
节点电压方程
y12 y13 y23 y20 y30
I1
y10
I2
节点电压方程
运用基尔霍夫电流定律可以得到:
y10U 1 y12 (U 1 U 2 ) y13 (U 1 U 3 ) I1 y U y (U U ) y (U U ) I
0 0
Yii Yii yij , Yij Yij yij
Y jj yij
Y1i Y1n Y2i Y2 n Yii Yin Yni Ynn
Y ji
Yii Yii Y jj Y jj (k '2 k 2 )YT Yij (k ' k )YT Y ji (k ' k )YT
导纳矩阵的形成流程
【例4-1】
三、节点阻抗矩阵ZB
1) 以地为参考节点的节点导纳矩阵Y是N×N阶
稀疏矩阵 ；
2) 如果网络中存在接地支路，Y是非奇异的，
20 2 12 2 1 23 2 3
2
y30U 3 y13 (U 3 U 1 ) y23 (U 3 U 1 ) 0
y13 )U 1 y12U 2 y13U 3 I1 y U ( y y y )U y U I
其逆矩阵是节点阻抗矩阵：
Z Y 1
3) 用节点阻抗矩阵 Z 表示的网络方程是：
ZI U
节点阻抗矩阵ZB
将 UB = ZBIB 展开得到
U1 Z11 U 2 Z 21 U n Z n1 Z12 Z 22 Z n2 Z1n I1 Z n2 I 2 Z nn I n
导纳矩阵的修改
2. 导纳矩阵的修改
1）原网络节点增加一接地支路