高二数学12月月考试题文
2022-2023学年山西省晋城市校高二年级上册学期12月月考数学试题【含答案】
2022-2023学年山西省晋城市第二中学校高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．抛物线28y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．132B ．116 C ．18D ．4【答案】B【分析】将抛物线方程转化为标准方程求解.【详解】解：抛物线的标准方程为218x y =， 所以焦点坐标为10,32F ⎛⎫⎪⎝⎭，其准线方程为132y =-，所以抛物线28y x =的焦点到其准线的距离为111323216d ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 故选：B2．若直线1:20l x y -+=与直线2:230l x ay +-=平行，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．2 D ．1【答案】A【分析】解方程1(1)20a ⨯--⨯=即得解. 【详解】解：由题得1(1)20, 2.a a ⨯--⨯=∴=- 经检验，当2a =-时，满足题意. 故选：A3．已知直线3260x y --=经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ） A ．22194x y +=B ．22419x y +=C ．22194y x +=D ．22419y x +=【答案】C【分析】求出直线3260x y --=与两坐标轴的焦点为()0,3-，()2,0.根据32->，可设椭圆的方程为22221y x a b+=，求出,a b 即可. 【详解】令0x =，可得=3y -；令0y =，可得2x =. 则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为()0,3-，()2,0.因为32->，所以椭圆的焦点在y 轴上. 设椭圆的方程为22221y x a b +=，则3a =，2b =，所以椭圆的方程为22194y x +=.故选：C.4．若方程222141x y m m-=-+表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()2-∞-，B ．()21--，C ．()22-，D ．()11-，【答案】A【分析】原方程可变形为222141y x m m ---=-，根据已知有21040m m -->⎧⎨-+>⎩，解出即可. 【详解】因为方程222141x y m m -=-+表示焦点在y 轴上的双曲线， 222141x y m m -=-+可变形为222141y x m m ---=-. 所以有21040m m -->⎧⎨-+>⎩，即21040m m +<⎧⎨->⎩，解得2m <-. 故选：A. 5．数列262,4,,203--，…的一个通项公式可以是（ ） A ．()12nn a n =-⋅ B ．()311n nn a n-=-⋅C ．()1221n nn a n+-=-⋅D ．()31n nn na n⋅-=-【答案】B【分析】利用检验法，由通项公式验证是否符合数列的各项结合排除法即可. 【详解】选项A ：()331236a =-⨯⨯=-，不符合题意； 选项C ：()212222132a +-=-⨯=不符合题意； 选项D ：()222327122a -=-⨯=，不符合题意； 而选项B 满足数列262,4,,203--，故选：B6．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，则1AE BD ⋅=（ ）A ．0B ．1C ．32D ．2【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】解：如图，建立空间直角坐标系， 则()()()()12,0,0,0,2,1,2,2,0,0,0,2A E B D ， 所以，()()12,2,1,2,2,2AE BD =-=--， 所以，14422AE BD ⋅=-+=. 故选：D7．在数列{}n a 中，122,a a a ==，且132(2,N )n n a a n n n *+=-++≥∈，若数列{}n a 单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（2，52）B ．（2，3）C ．（52，4）D ．（2，4）【答案】C【分析】由递推关系，结合条件122,a a a ==，求出数列的通项公式，再结合数列的单调性，列不等式可求实数a 的取值范围.【详解】因为132(2,N )n n a a n n n *+=-++≥∈，所以()21312(N )n n a a n n *++=-+++∈，328a a =-+，所以23(2,N )n n a a n n *+=+≥∈，又2a a =， 328a a =-+，所以数列{}n a 的偶数项按项数从小到大排列可得一公差为3的等差数列，所以当n 为偶数时，332n a n a =+-， 当n 为大于等于3的奇数时，3722n a n a =+-， 因为数列{an }单调递增，所以1n n a a -≥(2,N )n n *≥∈，所以当n 为大于等于3的奇数时，()37313222n a n a +->-+-，化简可得4a <，当n 为大于等于4偶数时，()33731222n a n a +->-+-，解得52a >，由21a a >可得，2a >， 所以542a <<， 故选：C.8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右顶点分别为A ，B ，且椭圆C，点P是椭圆C 上的一点，且1tan 4PAB ∠=，则tan APB ∠（ ）A ．109-B ．1110-C ．1110D ．109【答案】B【分析】设()00,P x y 是椭圆上的点，设11tan 4k PAB =∠=，2tan k PBA =-∠求出12k k ⋅为定值，从而能求出tan PBA ∠的值，然后根据()tan tan APB PAB PBA ∠=-∠+∠求解. 【详解】设()00,P x y 代入椭圆方程，则()22002210x y a b a b+=>>整理得：()2222002,b y a x a=-设11tan 4k PAB =∠=，2tan k PBA =-∠ 又010y k x a =+，020y k x a=-,所以 ()22222000122222000116y y y b a c k k e x a x a x a a a -⋅=⋅==-=-=--=-+-- 而11tan 4k PAB =∠=，所以22tan 3k PBA =-∠=-，所以2tan 3PBA ∠=()12tan tan 1143tan tan 121tan tan 10143PAB PBA APB PAB PBA PAB PBA +∠+∠∠=-∠+∠=-=-=--∠⋅∠-⨯ 故选：B二、多选题9．在等比数列{n a }中，262,32a a ==，则{n a }的公比可能为（ ） A ．1- B ．2-C ．2D ．4【答案】BC【分析】根据等比数列的通项即可求解.【详解】因为在等比数列{n a }中，262,32a a ==，设等比数列的公比为q ，则54611216a a q q a q a ===，所以2q =±， 故选：BC .10．已知圆226430C x y x y +-+-=：，则下列说法正确的是（ ） A ．圆C 的半径为16B ．圆C 截x 轴所得的弦长为C ．圆C 与圆E ：()()22621x y -+-=相外切D ．若圆C 上有且仅有两点到直线340x y m ++=的距离为1，则实数m 的取值范围是()()19,2426,21⋃--【答案】BC【分析】先运用配方法将一般式方程化为标准方程，可确定其圆心个半径;根据点到弦的距离可求出弦长；圆心距和半径的关系可确定圆与圆的位置关系；圆心到直线的距离与半径之间的数量关系可确定圆C 上有且仅有两点到直线的距离为1【详解】A:将一般式配方可得：()()223216,4x y r -++=∴=，A 错；B ：圆心到x 轴的距离为2，弦长为B 对；C:5,C E CE r r ===+外切，C 对；D: 圆C 上有且仅有两点到直线340x y m ++=的距离为111,35r d r ∴-<<+∴<<，解之: ()()14,2426,16m ∈⋃--,D 错；故选：BC11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且151416S S S <<，则下列说法正确的是（ ） A ．0d > B ．0d <C ．300S >D ．当15n =时，n S 取得最小值【答案】ACD【分析】根据题干条件利用()12n n n a S S n -=-≥可得到150a <，15160a a +>，160a >，然后即可根据三个结论依次判断四个选项的正误.【详解】因为151416S S S <<，所以1515140a S S =-<，1616150a S S =->，151616140a a S S +=->. 对于A 、B 选项，因为150a <，160a >，所以16150d a a =->，故选项A 正确，选项B 错误； 对于C ，因为15160a a +>，所以()()130301516301502a a S a a +==+>，故选项C 正确； 对于D ，因为150a <，160a >，可知10a <，0d >，等差数列{}n a 为递增数列，当15n ≤时，0n a <，当16n ≥时，0n a >，所以当15n =时，n S 取得最小值，故D 选项正确. 故选：ACD.12．已知抛物线C ：212y x =，点F 是抛物线C 的焦点，点P 是抛物线C 上的一点，点(4,3)M ，则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线C 的准线方程为3x =-B ．若7PF =，则△PMF 的面积为32C ．|PF PM -|D ．△PMF 的周长的最小值为7【答案】ACD【分析】根据抛物线的标准方程可得准线方程为3x =-，即可判断A ，根据抛物线定义得到4P x =，故P 点可能在第一象限也可能在第三象限，分情况计算三角形面积即可判断B ，利用三角形任意两边之差小于第三边结合三点一线的特殊情况即可得到()max ||||PF PM F M -∴=，计算即可判断C ，三角形PMF 的周长PM MF PF PM PF =++=+||||PM PF +的最小值，即得到周长最小值.【详解】212y x =，6p ∴=，()3,0F ∴，准线方程为3x =-，故A 正确； 根据抛物线定义得372P P pPF x x =+=+=，4P x =，()4,3M ,//PM y ∴轴，当4x =时，y =±若P 点在第一象限时，此时(4,P ,故433PM =-，PMF △的高为1，故()1343312322PMFS=⨯-⨯=-， 若点P 在第四象限，此时()4,43P -，故433PM =+，PMF △的高为1，故()1343312322PMFS=⨯+⨯=+，故B 错误； ||||PF PM MF -≤，()()()22max 433010||||M P F PF M ∴+--==-=,故C 正确；（连接FM ，并延长交于抛物线于点P ，此时即为||||PF PM -最大值的情况， 图对应如下）过点P 作PD ⊥准线，垂足为点D ，PMF △的周长1010PM MF PF PM PF PM PD =++=++若周长最小，则PM PD +长度和最小，显然当点,,P M D 位于同一条直线上时，PM MF +的和最小，此时7PM MF PD +==,故周长最小值为710D 正确. 故选：ACD.三、填空题13．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，121916a a =，则28223log log a a +=___________. 【答案】4【分析】由条件，结合等比数列性质可得82316a a =，再对数运算性质求28223log log a a +即可.【详解】因为数列{}n a 为等比数列，所以3122198a a a a =， 又121916a a =，所以82316a a =， 所以2822328234log log log a a a a ==+， 故答案为：4.14．已知向量(2,4,)m a =，(1,,3)n b =-，若n m λ=，则 ||n m -=___________.【答案】【分析】根据n m λ=，列出1243b a λλλ-=⎧⎪=⎨⎪=⎩，分别求出,,a b λ，然后得到,m n ，进而计算，可求出||n m -的值.【详解】n m λ=，故1243b a λλλ-=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得1226b a λ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，故(2,4,6)m =-，(1,2,3)n =--，(3,6,9)n m -=--，则||(3)n m -=-=故答案为：15．在数列{}n a ，{}n b 中，112a =，3110a =，且11112(2)n n n n a a a -++=≥，记数列{bn }的前n 项和为Sn ，且122n n S +=-，则数列{}n n a b ⋅的最小值为___________.【答案】23【分析】可由题意构建1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差，求出n a 通项公式，{}n b 可由1n n S S --得出n b 的通项公式，再利用作差法求出新数列n n a b ⋅单调性即可求出最小值.【详解】由11112(2)n n nn a a a -++=≥可得111111n n n n a a a a +--=-，即数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设公差为d ， 首项112a =，311121028d a a =-=-=，可得4d =，则12(1)442n n n a =+-⨯=-，即142n a n =-， 由122n n S +=-，可得当2n ≥时，11222n n nn n n b S S +-=-=-=，112b S ==，代入后符合2n n b =，即{}n b 的通项公式为2n n b =，设新数列{}n c ，242nn n n c a b n ==-，11122(23)24(1)242(21)(21)n n n n n n c c n n n n +-+--=-=+--+-，当10n n c c +->时，得 1.5n >，即2n ≥时，{}n c 是递增数列； 当10n n c c +-<时，得 1.5n <，即21c c <，综上所述223c =是最小值，即数列{}n n a b ⋅的最小值为23，故答案为：2316．已知双曲线2322100x y C a b a b -=>>：（，）的右焦点为F ，离心率为102，点A 是双曲线C 右支上的一点，O 为坐标原点，延长AO 交双曲线C 于另一点B ，且AF BF ⊥，延长AF 交双曲线C 于另一点Q ，则||||QF BQ =___________. 【答案】22【分析】在1Rt F AF △中，由勾股定理可求得||AF 、1||AF 用含有a 的代数式表示，在1Rt F AQ △中，由勾股定理可求得||QF 用含有a 的代数式表示，在Rt BFQ △中，由勾股定理可求得||BQ 可用含有a 的代数式表示，进而求得结果. 【详解】如图所示，∵22101c b e a a ==+ ，则2252c a = ，2232b a =，由双曲线的对称性知：OA OB =，1OF OF = ， 又∵AF BF ⊥，∴四边形1AFBF 为矩形，设||0AF m => ，则由双曲线的定义知：1||2AF a m =+，在1Rt F AF △中，22211||||||F F AF AF =+，即：2224(2)c a m m =++ ，整理得：22230m am a +-=，即：()(3)0m a m a -+= ， ∵0m >，∴m a = ， ∴1||3AF a =设||0QF n => ，则由双曲线的定义知：1||2QF a n =+，在1Rt F AQ △中，22211||||||F Q AQ AF =+，即：222(2)(3)()a n a a n +=++，解得：3n a = ，即：||3QF a =， 又∵1||||3BF AF a ==，∴在Rt BFQ △中，||BQ ==∴||||2QF BQ =四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为258,224,100n S a a S +==. (1)求{an }的通项公式； (2)若+11n n n b a a =，求数列{n b }的前n 项和Tn . 【答案】(1)31n a n =- (2)2(32)n nT n =+【分析】（1）由等差数列的通项公式以及等差数列的前n 项和公式展开可求得结果； （2）由裂项相消求和可得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意知，1112()4248(81)81002a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩解得：123a d =⎧⎨=⎩ ∴1(1)23(1)31n a a n d n n =+-=+-=-. 故{}n a 的通项公式为31n a n =-. （2）∵1111()(31)(32)33132n b n n n n ==--+-+111111111111()()()()325358381133132111111111 ()325588113132111 =()3232=2(32)n T n n n n n nn =⨯-+⨯-+⨯-++--+=⨯-+-+-++--+⨯-++即：{}n b 的前n 项和2(32)n nT n =+.18．已知圆22:10C x y mx ny ++++=，直线1:10l x y --=，2:20l x y -=，且直线1l 和2l 均平分圆C . (1)求圆C 的标准方程(2)0y a ++-=与圆C 相交于M ，N 两点，且120MCN ∠=，求实数a 的值. 【答案】(1)()()22214x y -+-= (2)1a =或3a =-【分析】（1）根据直线1l 和2l 均平分圆C ，可知两条直线都过圆心，通过联立求出两条直线的交点坐标，由此得到圆心坐标即可得到圆的标准方程.（2）根据120MCN ∠=，及MCN △为等腰三角形可得到30CMN ∠=，可得圆心到直线的距离sin d r CMN =∠，再根据点到直线的距离公式即可求出实数a 的值.【详解】（1）因为直线1l 和2l 均平分圆C ，所以直线1l 和2l 均过圆心C ，因为1020x y x y --=⎧⎨-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，所以直线1l 和2l 的交点坐标为()2,1，所以圆心C 的坐标为()2,1，因为圆22:10C x y mx ny ++++=，所以圆心坐标为,22m n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2212m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得42m n =-⎧⎨=-⎩，所以圆C 的方程为224210x y x y +--+=，即()()22214x y -+-=， 所以圆C 的标准方程为()()22214x y -+-=.（2）由（1）得圆C 的标准方程为()()22214x y -+-=，圆心()2,1C ，半径2r =，因为120MCN ∠=，且MCN △为等腰三角形，所以30CMN ∠=， 因为CM CN r ==，所以圆心C 到直线3230x y a ++-=的距离sin 2sin301d r CMN =∠==， 根据点到直线的距离公式()222312311231a a d ++-+===+， 即12a +=，解得1a =或3a =-， 所以实数a 的值为1a =或3a =-.19．如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 是菱形.1202DAB PA AD ∠===，，22PC PD ==，点E 是棱PC 的中点.(1)证明：PC ⊥BD .(2)求平面P AB 与平面BDE 所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 3【分析】（1）首先根据线面垂直的判定定理证明PA ⊥平面ABCD ，然后建立空间直角坐标系，通过空间向量垂直的判定条件证明PC BD ⊥即可；（2）通过第（1）问的空间直角坐标系，根据二面角夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）120DAB ∠=，四边形ABCD 为菱形， 60CAD ∴∠=，又60ADC ∠=，ACD ∴为等边三角形，2AD =，2AC CD ∴==，2PA =，22=PC222PA AC PC +=，PA AC ∴⊥， 222PA AD PD +=，PA AD ∴⊥，ACAD A =，AC ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，PA ∴⊥平面ABCD .过点A 作AF BC ⊥，则PA AF ⊥，AF AD ⊥，PA AD ⊥，∴分别以AF ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴如图建立空间直角坐标系.2AB =，cos603AF AB ∴=⋅=，1BF =，2BC =，1FC ∴=.)3,0,0F∴，()002P ,,，)3,1,0C，()3,1,0B-，()0,2,0D ，()3,1,2PC ∴=-，()3,3,0BD =-，(33130PC BD ⋅=-⨯=，PC BD ∴⊥.（2）()0,0,2P ，)3,1,0C，E 为PC 中点，31,12E ⎫∴⎪⎪⎝⎭，设平面PAB 的法向量为()1111,,n x y z =，()0,0,2PA =-，()3,1,0AB =-，1112030z x y -=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩，()11,3,0n ∴=.设平面BDE 的法向量为()2222,,n x y z =，()3,3,0BD =-，33,122DE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，222223303302x y y z ⎧-+=⎪∴⎨-+=⎪，()23,1,0n ∴=， 设平面PAB 与平面BDE 夹角为θ， 则121213313cos n n n n θ⋅⨯+⨯==⋅∴平面PAB 与平面BDE 320．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 关于抛物线C 的准线的对称点为()9,0P -. (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作倾斜角为θ的直线l ，交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，记OAB 的面积为S ，求证：18sin S θ=. 【答案】(1)212y x = (2)证明见解析【分析】（1）根据抛物线的简单几何性质得到抛物线的焦点坐标和准线方程，结合条件得到()19222p p ⎡⎤⨯+-=-⎢⎥⎣⎦，即可求解. （2）设直线:3l x my =+，且cos sin m θθ=（()0,πθ∈），()11,A x y ，()22,B x y ，联立抛物线的方程结合韦达定理计算得到12y y -，结合图形得到1212OFA OFB S S S OF y y =+=⨯⨯-△△，即可求证.【详解】（1）由题意得：抛物线C 的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程0l ：2p x =-，因为焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭关于准线0:2p l x =-的对称点为()9,0P -，则()19222p p ⎡⎤⨯+-=-⎢⎥⎣⎦，解得：6p ， 所以抛物线C 的方程为：212y x =. （2）由（1）知，焦点()3,0F ，如图：过点F 作倾斜角为θ的直线l ，交抛物线C 于A ，B 两点， ∴直线l 的倾斜角θ不为0，则()0,πθ∈，即sin 0θ>，则设直线:3l x my =+，且cos sin m θθ=（()0,πθ∈），()11,A x y ，()22,B x y ， 联立2312x my y x=+⎧⎨=⎩，得：212360y my --=，由()2124360m ∆=+⨯>，得：12121236y y m y y +=⎧⎨=-⎩，则12y y -==又222cos 111sin sin m θθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，所以121212sin y y θ-=（()0,πθ∈）， 又1212111222OFA OFB S S S OF y OF y OF y y =+=⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯-△△，即1121832sin sin S θθ=⨯⨯=. 综上：OAB 的面积18sin S θ=，得证. 【点睛】方法点睛：（1）解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系. （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.21．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为yx =，且过点(3,.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)若双曲线C 的右焦点为F ，点()0,4P -，过点F 的直线l 交双曲线C 于,A B 两点，且PA PB =，求直线l 的方程.【答案】(1)2213x y -=(2)0y =，或1233y x =-或2y x =-+.【分析】（1）根据题意得22921b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，进而解方程即可得答案；（2）由题知()2,0F ，进而先讨论直线l 的斜率不存在不满足条件，再讨论l 的斜率存在，设方程为()2y k x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，进而与双曲线方程联立得线段AB 中点为22262,1313k k E k k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭，再结合题意得PE AB ⊥，进而再分0k =和0k ≠两种情况讨论求解即可.【详解】（1）解：因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为y=，且过点(3,， 所以，22921b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得221,3b a ==所以，双曲线C 的标准方程为2213x y -=（2）解：由（1）知双曲线C 的右焦点为()2,0F ，当直线l 的斜率不存在时，方程为:2l x =，此时,2,A A ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，PA PB =≠= 所以，直线l 的斜率存在，设方程为()2y k x =-，所以，联立方程()22213y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩得()222213121230k x k x k -+--= 所以()()422214441331212120k k k k ∆=----=+>，且2130k -≠，所以，k ≠设()()1122,,,A x y B x y ，则2212122212123,1313k k x x x x k k --+=-=-- 所以()3121222124441313k ky y k x x k k k k+=+-=--=---， 所以，线段AB 中点为22262,1313k k E k k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭， 因为PA PB =，所以，点()0,4P -在线段AB 的中垂线上， 所以PE AB ⊥，所以，当0k =时，线段AB 中点为()0,0E ，此时直线l 的方程为0y =，满足题意；当0k ≠时，22222222424122613,66313PEAB kk k k k k k k k k k k k -+-+--+--====----， 所以，222613PE AB k k k k k k -+-⋅=⋅=--，整理得23210k k +-=，解得13k =或1k =-，满足k ≠综上，直线l 的方程为0y =，或1233y x =-或2y x =-+.22．已知椭圆2222:1(0x y C a b a b +=>>0x y -=相切.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：1y kx =+与椭圆C 交于,A B 两点，点P 是y 轴上的一点，过点A 作直线PB 的垂线，垂足为M ，是否存在定点P ，使得PB PM ⋅为定值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22164x y += (2)存在，1(0,)4P【分析】（1）根据题意得,a b ==，由C与直线0x y --=相切，联立方程得22c =，即可解决；（2）1122(0,),(,),(,)P t A x y B x y ，结合韦达定理得PB PM PB PA ⋅=⋅222292(1)(312)23t t k k -+-+-=+，即可解决.【详解】（1）由题知，,c a b a ==， 所以椭圆C 为2222132x y c c+=，即2222360x y c +-=，因为C与直线0x y --=相切，所以22223600x y c x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，消去y得22223(60x x c +-=，所以2253060x c -+-=，所以236045(306)0c ∆=-⨯⨯-=，得22c =，所以椭圆C 的标准方程为22164x y +=； （2）设1122(0,),(,),(,)P t A x y B x y ，由221641x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22222(23)690,3636(23)144720,k x kx k k k ++-=∆=++=+> 所以12122269,2323k x x x x k k +=-=-++， 所以()PB PM PB PA AM PB PA PB AM PB PA ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅1122(,)(,)x y t x y t =-⋅-1212(1)(1)x x kx t kx t =++-+- 221212(1)(1)()(1)k x x k t x x t =++-++-222296(1)()(1)()(1)2323kk k t t k k=+-+-⋅-+-++ 222292(1)(312)23t t k k -+-+-=+，所以2231292(1)32t t --+-=，解得14t =， 所以存在点1(0,)4P ，使得PB PM ⋅为定值.。
【高中教育】最新高二数学12月月考试题文1
——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高二数学12月月考试题文1______年______月______日____________________部门一、单项选择（每题5分，共12题）1、若命题“”为假，且“”为假，则（ ）p q ∧p ⌝A ．或为假B ．假C ．真D ．不能判断的真假p q qq q2、命题“”的否定为（ ）0200(0,),2x x x ∃∈+∞<A ．B ．2(0,),2x x x ∀∈+∞<2(0,),2x x x ∀∈+∞>C ．D ．2(0,),2x x x ∀∈+∞≥2(0,),2x x x ∃∈+∞≥3、命题“三角形ABC 中，若cosA<0，则三角形ABC 为钝角三角形”的逆否命题是（ ）A ．三角形ABC 中，若三角形ABC 为钝角三角形，则cosA<0B ．三角形ABC 中，若三角形ABC 为锐角三角形，则cosA≥0 C ．三角形ABC 中，若三角形ABC 为锐角三角形，则cosA <OD ．三角形ABC 中，若三角形ABC 为锐角或直角三角形，则cosA≥O 4、设集合，，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的（ ）{}|20A x x =->{}2|20B x x x =->A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5、 抛物线的焦点坐标是241x y =A ．（，0）B ．（0，）C ．（0，1）D ．（1，0）1611616、以双曲线的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是1322=-x yA ．B ．4)2(22=+-y x 2)2(22=-+y xC ．D ．2)2(22=+-y x 4)2(22=-+y x7、短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF2的周长为532=e A ．3 B ．6C ．12D ．248、已知双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为，则双曲线方程为（ ）x y 2±=）（0,6),0,6(- A ． B ．18222=-y x 12822=-y xC ．D ．14222=-y x 12422=-y x9、已知P 为抛物线y2=4x 上一个动点，Q 为圆x2+（y ﹣4）2=1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．10、已知椭圆C ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF1B 的周长为4，则C 的方程为( )A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝111、已知椭圆的左焦点为与过原点的直线相交于两点,连接,若,则椭圆的离心率（ ）2222:1(0)x y C a b a b+=>>,F C ,A B ,AF BF 410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=C e = A ． B ． C ．D ．5754746512、已知方程和（其中且），则它们所表示的曲线可能是 （ ）221x y a b+=1x y a b +=0ab ≠a b ≠二、填空题（每题5分，共4题）13、若命题“”是假命题，则实数的取值范围是________．2,20x R x x m ∃∈++≤m14、已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线的焦点重合，是C 的准线与E 的两个交点，则 ．15、 在平面直角坐标系中,已知△顶点，顶点在椭圆上，则＝ 。
2023-2024学年青海省西宁市城西区高二上册12月月考数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年青海省西宁市城西区高二上册12月月考数学模拟试题一、单选题1．设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】C【分析】先求出共轭复数再判断结果.【详解】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．本题考点为共轭复数，为基础题目．2．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1C 1的中点，若BE =1xAA +y AB +z AD，则（）．A ．x ＝1，12y ＝，12z ＝－B ．x ＝1，12y ＝－，12z ＝C ．12x ＝，y ＝1，12z =-D ．12x ＝－，y ＝1，12z ＝【正确答案】B【分析】利用空间向量的加减及数乘运算法则进行计算，解决空间向量基本定理问题.【详解】由题意得：()11111111112BE BB B A A E AA AB A B A D =++=-++1111112222AA AB AB AD AA AB AD =-++=-+ ，所以111,,22x y z ==-=故选：B3．设非零向量a ，b满足a b a b +=- ，则A ．a ⊥bB ．=a bC ．a ∥bD ．a b> 【正确答案】A【详解】由a b a b +=- 平方得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，即0a b ⋅= ，则a b ⊥ ，故选A.本题主要考查了向量垂直的数量积表示，属于基础题.4．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为．A ．1415B ．115C ．29D．【正确答案】A【分析】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A ，可以求(P A ,运用公式()1()P A P A =-，求出()P A .【详解】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A ，所以232101(15C P A C =，因此114()1()=11515P A P A =--=,故本题选A.本题考查了求对立事件的概率问题，考查了运算能力.5．已知向量()0,1,0a = ，()3,0,2b = ，()2,1,3c =-，则有（）．A ．23a c b=- B ．a b c+= C ．()b a c⊥- D ．a b b c c a⋅=⋅=⋅ 【正确答案】C【分析】对于A ，利用向量的线性运算的坐标表示即可求解；对于B ，利用向量的摸的坐标表示即可求解；对于C ，利用向量的线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示即可求解；对于D ，利用向量的数量积的坐标运算即可求解.【详解】对于A ，因为()0,1,0a = ，()3,0,2b = ，()2,1,3c =- ，所以242,0,33b ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，2140,1,33c b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ，所以23a c b ≠- ，故A 不正确；对于B ，因为()0,1,0a = ，()3,0,2b = ，()2,1,3c =-，所以1,a ==b == ，c == ，所以a b c +≠ ，故B 不正确；对于C ，因为()0,1,0a = ，()2,1,3c =- ，所以()2,0,3a c -=-，又()3,0,2b = ，所以()()3200320b a c ⋅-=⨯-+⨯+⨯= ，即()b ac ⊥-，故C 正确.对于D ，因为()0,1,0a = ，()3,0,2b = ，()2,1,3c =- ，所以0310020a b ⋅=⨯+⨯+⨯=，()3201230b c ⋅=⨯+⨯+⨯-= ，()2011301c a ⋅=⨯+⨯+-⨯= ，所以a b b c c a ⋅=⋅≠⋅，故D 不正确.故选：C.6．已知sin cos αα-=α∈(0,π)，则tan α=A ．-1B ．2C ．2D ．1【正确答案】A 【详解】sin cos αα-=()0,απ∈，12sin cos 2αα∴-=，即sin 21α=-，故34πα=1tan α∴=-故选A 7．曲线2122y x =+在点51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的倾斜角为（）A ．34πB ．4πC ．23πD ．3π【正确答案】A【分析】根据导数的几何意义得到点51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处切线的斜率，再根据斜率求倾斜角即可.【详解】=y x '，所以在点51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的斜率为-1，倾斜角为34π.故选：A.8．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=【正确答案】A【详解】与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=，故选A9．四面体OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c =，点M 在线段OC 上，且2OM MC =，N 为BA 中点，则MN为（）A ．121232a b c-+ B ．211322a b c-++C ．112223a b c+-r r r D ．221332a b c++ 【正确答案】C【分析】利用空间向量的线性运算及空间向量基本定理，结合图像即可得解.【详解】解：根据题意可得，()2111232223MN MO ON OC OA OB a b c =+=-++=+-.故选：C.10．椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其左焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．,12⎤⎢⎥⎣⎦B．⎣⎦C．⎫⎪⎪⎣⎭D．⎣⎦【正确答案】B【分析】确定四边形1AFBF为矩形，得到1π4e α=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据三角函数的性质得到离心率范围.【详解】设椭圆右焦点为1F ，连接1AF ，1BF ，AF BF ⊥，则四边形1AFBF 为矩形，则12sin 2cos 2AF AF AF BF c c a αα+=+=+=，故11πsin cos 4e ααα=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，ππ124α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,，则ππ32π,4α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，πsin ,142α⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，23e ∈⎣⎦.故选：B.11．已知a<0，若直线1:210l ax y +-=与直线()2:140l x a y +++=平行，则它们之间的距离为（）A．4B．2CD4【正确答案】A【分析】根据平行关系确定参数，结合平行线之间的距离公式即可得出．【详解】解：直线1:210l ax y +-=与直线()2:140l x a y +++=平行，()120a a ∴+-=，解得2a =-或1a =，又a<0，所以2a =-，当2a =-时，直线1:2210l x y -+=与直线2:2280l x y -+=距离为4=.故选：A12．若圆221x y +=上总存在两个点到点(,1)a 的距离为2，则实数a 的取值范围是（）A ．(-⋃B ．(-C ．(1,0)(0,1)-D ．(1,1)-【正确答案】A【分析】将问题转化为圆22()(1)4x a y -+-=与221x y +=相交，从而可得2121-<+，进而可求出实数a 的取值范围.【详解】到点(,1)a 的距离为2的点在圆22()(1)4x a y -+-=上，所以问题等价于圆22()(1)4x a y -+-=上总存在两个点也在圆221x y +=上，即两圆相交，故2121-<+，解得0a -<<或0a <<所以实数a 的取值范围为(-⋃，故选：A ．二、填空题13．已知椭圆2214x y +=，过11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭点作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且点P 是AB 的中点，则直线l 的方程是__________.【正确答案】220x y +-=【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．【详解】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则221144x y +=，222244x y +=，12121212((4)0)))((x x x x y y y y ∴+-++-=．1(1,)2P 恰为线段AB 的中点，即有122x x +=，121y y +=，1212()2()0x x y y ∴-+-=，∴直线AB 的斜率为121212y y k x x -==--，∴直线AB 的方程为11(1)22y x -=--，即220x y +-=．由于P 在椭圆内，故成立．故220x y +-=．14．过点()1,2且与圆221x y +=相切的直线的方程是______．【正确答案】1x =或3450x y -+=【分析】当直线斜率不存在时，可得直线:1l x =，分析可得直线与圆相切，满足题意，当直线斜率存在时，设斜率为k ，可得直线l的方程，由题意可得圆心到直线的距离1d r ==，即可求得k 值，综合即可得答案.【详解】当直线l 的斜率不存在时，因为过点()1,2，所以直线:1l x =，此时圆心(0,0)到直线1x =的距离为1=r ，此时直线:1l x =与圆221x y +=相切，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，所以:l 2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=，因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线的距离1d r ==，解得34k =，所以直线l 的方程为3450x y -+=.综上：直线的方程为1x =或3450x y -+=故1x =或3450x y -+=15．已知椭圆2211612x y +=的左、右焦点分别为12,,F F AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则2ABF △的周长是___.【正确答案】16根据椭圆的定义求解．【详解】由椭圆的定义知12122,2,BF BF a AF AF a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩所以22||416AB AF BF a ++==.故16．16．已知P 为圆22(1)1x y ++=上任意一点，A ，B 为直线3470x y +-=上的两个动点，且||2AB =，则PAB 面积的最大值是___________．【正确答案】3【分析】直接利用直线和圆的位置关系，利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式的应用求出结果．【详解】解：根据圆的方程，圆心(1,0)-到直线3470x y +-=的距离2d =，所以圆上的点P 到直线的最大距离213max d =+=，此时最大面积13232PAB S =⨯⨯=△．故3．三、解答题17．已知直线12:310,:(2)0l ax y l x a y a ++=+-+=．（1）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）当12l l //时，求直线1l 与2l 之间的距离．【正确答案】（1）32a =；（2【分析】（1）由垂直可得两直线系数关系，即可得关于实数a 的方程.（2）由平行可得两直线系数关系，即可得关于实数a 的方程，进而可求出两直线的方程，结合直线的距离公式即可求出直线1l 与2l 之间的距离.【详解】（1）由12l l ⊥知3(2)0a a +-=，解得32a =．（2）当12l l //时，有(2)303(2)0a a a a --=⎧⎨--≠⎩，解得3a =．此时12:3310,:30l x y l x y ++=++=，即233:90x y l ++=，则直线1l 与2l 之间的距离d =本题考查了由两直线平行求参数，考查了由两直线垂直求参数的值，属于基础题.18．在△ABC 中，内角A,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且．（1）求角B 的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a ，c 的值【正确答案】（1）B =60°（2）a c ==【详解】（1)由正弦定理得【考点定位】本题主要考察三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真理19．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 、F 分别为1AD 、1CD 中点.(1)求证：EF BD ⊥;(2)求两异面直线BD 与1CD 所成角的大小.【正确答案】(1)见解析(2)3π【分析】（1）利用向量乘积为0证明即可；（2）利用向量法求异面直线所成的角.【详解】（1）如图,建立空间直角坐标系D xyz -则(0,0,0),(2,2,0),(1,0,1),(0,1,1)D BEF (1,1,0),(2,2,0)EF BD =-=--因为2200EF BD ⋅=-+=所以EF BD ⊥,即EF BD⊥（2）11(0,2,0),(0,0,2),(0,2,2)C D CD =-1111cos ,2||BD CD BD CD BD CD ⋅==设异面直线BD 与1CD 所成角为θ,则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦所以3πθ=,即异面直线BD 与1CD 所成角的大小为3π20．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2BC ＝2CC 1＝2，点E 是DC的中点．(1)求点D 到平面AD 1E 的距离；(2)求证：平面AD 1E ⊥平面EBB 1．【正确答案】(2)证明过程见解析.【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面1D AE 的法向量，利用点到平面距离公式求出答案；（2）利用空间向量的数量积为0证明出1,EA EB EA BB ⊥⊥，从而证明出线面垂直，进而证明出面面垂直.【详解】（1）以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()()110,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,2,0,1,2,1D A E D B B ，设平面1D AE 的法向量为(),,m x y z = ，则()()()()1,,1,0,10,,1,1,00m D A x y z x z m EA x y z x y ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=-=⎪⎩，令1x =得：1,1y z ==，所以()1,1,1m = ，则点D 到平面AD 1E 的距离为DA m d m⋅= ；（2）()()11,1,0,0,0,1EB BB == ，所以()()1,1,01,1,0110EA EB ⋅=-⋅=-= ，()()11,1,00,0,10EA BB ⋅=-⋅= ，所以1,EA EB EA BB ⊥⊥，因为1EB BB B =，1,EB BB ⊂平面1EBB ，所以EA ⊥平面1EBB ，因为EA ⊂平面1D AE ，所以平面1D AE ⊥平面1EBB .21．某企业为了了解职工对某部门的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示）：(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分的中位数与平均值；(3)从评分在[)40,60的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[)40,50的概率.【正确答案】(1)0.006a =；(2)中位数为5357，均值为76.2；(3)110【分析】（1）根据频率和为1可求频率分布直方图中a 的值;（2）根据组中值可求平均值，根据前3组、前4组的频率和可求中位数.（3）利用古典概型的概率计算公式可求概率.【详解】（1）由直方图可得(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=，故0.006a =.（2）由直方图可得平均数为(0.004450.006550.018950.022650.022850.02875)1076.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.前3组的频率和为0.0040.0060.022)100.32++⨯=，前3组的频率和为0.0040.0060.0220.028)100.6+++⨯=，故中位数在[)70,80，设中位数为x ，则700.320.280.510x -+⨯=，故5357x =.故中位数为5357.（3）评分在[)40,60的受访职工的人数为()0.0040.00610505+⨯⨯=，其中评分在[)40,50的受访职工的人数为2，记为,a b在[)50,60的受访职工人数为3，记为,,A B C ，从5人任取2人，所有的基本事件如下：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a A a B a C b A b B b C A B A C B C ，基本事件的总数为10，而2人评分都在[)40,50的基本事件为{},a b ，故2人评分都在[)40,50的概率为110.22．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别是,A B ，且经过点1,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，直线:1l x ty =-恒过定点F 且交椭圆于,D E 两点，F 为OA 的中点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)记BDE △的面积为S ，求S 的最大值.【正确答案】(1)2214x y +=(2)2【分析】（1）由直线过定点坐标求得a ，再由椭圆所过点的坐标求得b 得椭圆方程；（2）设()()1122,,,E x y D x y ，直线l 方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得12122223,44t y y y y t t +==-++，计算弦长DE ，再求得B 到直线l 的距离，从而求得三角形面积，由函数的性质求得最大值．【详解】（1）由题意可得，直线:1l x ty =-恒过定点(1,0)F -，因为F 为OA 的中点，所以||2OA =，即2a =.因为椭圆C经过点1,⎛ ⎝⎭，所以2222112b ⎛ ⎝⎭+=，解得1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设()()1122,,,E x y D x y .由22441x y x ty ⎧+=⎨=-⎩得()224230,0t y ty +--=∆>恒成立，则12122223,44t y y y y t t +==-++，则||ED ===又因为点B 到直线l 的距离d =所以11||22S ED d =⨯⨯==令m =26611m m m m==++，因为1y m m=+，m 时，2110y m'=->，1y m m =+在)m ∈+∞上单调递增，所以当m时，min 13m m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，故max 2S =.即S的最大值为方法点睛：本题求椭圆的标准方程，直线与椭圆相交中三角形面积问题，计算量较大，属于难题．解题方法一般是设出交点坐标，由（设出）直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用韦达定理，然后由弦长公式求得弦长，再求得三角形的另一顶点到此直线的距离，从而求得三角形的面积，最后利用函数的性质，基本不等式等求得最值．。
2022-2023学年山东省菏泽第一中学高二上学期12月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年山东省菏泽第一中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．抛物线22y x =的焦点坐标是（ ）A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】先把抛物线化为标准方程，直接写出焦点坐标．【详解】抛物线22y x =的方程为212x y =，所以焦点在y 轴 由122p =， 所以焦点坐标为10,8⎛⎫⎪⎝⎭．故选：D ．2．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知311a =，1060S =，则5a =（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】A【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意建立方程，即可求出1a ，d ，再根据等差数列的通项公式，即可求出结果．【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知11211?104560a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得115a =，2d =-，所以5141587a a d =+=-=． 故选：A3．设点B 是(2,3,5)A 关于坐标平面xOy 的对称点，则||=AB （ ） A ．10 BC ．38D【答案】A【分析】根据空间直角坐标系的坐标特点得点B 坐标，根据空间中两点间的距离公式计算即可得||AB .【详解】解：因为点B 是(2,3,5)A 关于坐标平面xOy 的对称点，所以(2,3,5)B -所以10AB AB ==.故选：A.4．已知向量()()1,1,0,1,0,=-=a b m ，且ka b +与2a b -互相平行，则k =（ ） A ．114-B ．15C ．35D ．12-【答案】D【分析】由空间向量平行的条件求解.【详解】由已知(1,,)ka b k k m +=-，2(3,1,2)a b m -=--， 因为ka b +与2a b -平行， 若0m =，则131k k -=-，12k =-， 若0m ≠，则1312k k mm-==--，k 无解． 综上，12k =-，故选：D ．5．设向量OA ，OB ，OC 不共面，空间一点P 满足OP xOA yOB zOC =++，则A ，B ，C ，P 四点共面的一组数对(,,)x y z 是（ ）A ．111(,,)432B ．131(,,)442-C ．(1,2,3)-D ．121(,,)332-【答案】B【分析】由题设条件可知，A ，B ，C ，P 四点共面等价于1x y z ++=，由此对选项逐一检验即可. 【详解】因为向量OA ，OB ，OC 不共面，OP xOA yOB zOC =++， 所以当且仅当1x y z ++=时，A ，B ，C ，P 四点共面， 对于A ，1111432++≠，故A 错误；对于B ，1311442-++=，故B 正确；对于C ，1231-+≠，故C 错误；对于D ，1211332-++≠，故D 错误.故选：B.6．已知数列{}n a 中，11a =且()133nn n a a n a *+=∈+N ，则16a 为（ ）A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】A【分析】采用倒数法可证得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，根据等差数列通项公式可推导得到n a ，代入16n =即可.【详解】由133n n n a a a +=+得：1311133n n n n a a a a ++==+，又111a ，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，13为公差的等差数列，()1121133n n n a +∴=+-=，32n a n ∴=+，1616a ∴=. 故选：A.7．已知三个数1，a ，9成等比数列，则圆锥曲线2212x ya +=的离心率为（ ）A 3B 5C 510D 310 【答案】D【详解】椭圆、双曲线的方程简单性质，等比数列的性质，分类讨论，由已知求得a 值，然后分类讨论求得圆锥曲线2212x y a +=的离心率解决即可． 【解答】因为三个数1，a ，9成等比数列， 所以29a =，则3a =±．当3a =时，曲线方程为22132x y +=，表示椭圆， 31， 3 当3a =-时，曲线方程为22123y x -=，表示双曲线，255102． 故选：D8．若数列{}n a 是等差数列，首项10a >，公差()2020201920200,0d a a a <+<，则使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ）A ．4039B ．4038C ．4037D ．4036【答案】B【分析】根据等差数列的单调性，结合等差数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】因为0d <，所以等差数列{}n a 是递减数列， 因为()2020201920200a a a +<，所以201920200,0a a ><，且20192020a a >，201920200a a +>， ()1403920192020403920204038201920204039()40390,403820190,22a a a a S a S a a ++===⨯=+所以使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是4038． 故选：B二、多选题9．下列结论错误的是（ ）A ．过点()1,3A ，()3,1B -的直线的倾斜角为30︒B ．若直线2360x y -+=与直线20ax y ++=平行，则23a =-C ．直线240x y +-=与直线2410x y ++=D ．已知()2,3A ，()1,1B -，点P 在x 轴上，则PA PB +的最小值是5 【答案】AC【分析】对于A ，tan AB k α=即可解决；对于B ，由题意得231a -=即可解决；对于C ，平行线间距离公式解决即可；对于D ，数形结合即可. 【详解】对于A ，131tan 312AB k α-===--，即30α≠︒，故A 错误； 对于B ，直线2360x y -+=与直线20ax y ++=平行，所以123a =-，解得23a =-，故B 正确；对于C ，直线240x y +-=与直线2410x y ++=（即1202x y ++=）之间的距离为d =故C 错误；对于D ，已知()2,3A ，()1,1B -，点P 在x 轴上，如图取()1,1B -关于x 轴的对称点()1,1B '--，连接AB '交x 轴于点P ，此时22(21)(31)5PA PB PA PB AB ''+=+≥=+++，所以PA PB +的最小值是5，故D 正确； 故选：AC.10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，25n S n n =-，则下列说法不正确．．．的是（ ） A ．{}n a 为等差数列 B ．0n a >C ．n S 最小值为254- D ．{}n a 为单调递增数列【答案】BC【分析】根据n S 求出n a ，并确定{}n a 为等差数列，进而可结合等差数列的性质以及前n 项和分析求解.【详解】对于A ，当2n ≥时，()()221515126n n n a S S n n n n n -⎡⎤==-----=-⎣⎦-， 1n =时114a S ==-满足上式，所以26,N n a n n *=-∈,所以()()1216262n n a a n n +-=+---=， 所以{}n a 为等差数列，故A 正确；对于B ，由上述过程可知26,N n a n n *=-∈，12340,20,0a a a =-<=-<=，故B 错误；对于C ，因为25n S n n =-，对称轴为52.52=， 又因为N n *∈，所以当2n =或3时，n S 最小值为6-，故C 错误； 对于D ，由上述过程可知{}n a 的公差等于2， 所以{}n a 为单调递增数列，故D 正确. 故选:BC.11．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为BC ，11CC BB ，的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．1D D AF ⊥B ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍 C ．1//A G 平面AEFD ．异面直线1A G 与EF 5【答案】BC【分析】对于选项A ：由11//DD CC 以及1CC 与AF 不垂直，可知A 错误；对于选项B ：利用等体积法,A GEF G AEF A CEF C AEF V V V V ----==，可求得结果，进而判断选项B 正确；对于选项C ：取11B C 的中点M ，根据面面平行的性质即可得出1//A G 平面AEF ，可知选项C 正确； 对于选项D ：根据线面垂直的判定定理和性质，结合二面角的定义可知D 错误；【详解】对于选项A ：因为1AC AC ≠，所以1ACC △不是等腰三角形，所以1CC 与AF 不垂直，因为11//DD CC ，所以1DD 与AF 不垂直，故选项A 错误；对于选项B ：设正方体的棱长为2，设点G 到平面AEF 的距离与点C 到平面AEF 的距离分别为12,h h ，则11133A GEF GEFG AEF AEFV AB S V h S--=⋅==⋅，21133A CEF CEFC AEF AEFV AB S V h S--=⋅==⋅，所以12121221112GEFCEFS h h S ⨯⨯===⨯⨯△△，故选项B 正确； 对于选项C ：取11B C 的中点M ，连接11,,GM A M BC ，由题意可知：1//GM BC ，因为1//BC EF ，所以//GM EF ，GM ⊄平面AEF ， EF ⊂平面AEF ，所以//GM 平面AEF ，因为1A M AE ∥，1A M 平面AEF ， AE ⊂平面AEF ，所以1//A M 平面AEF ，因为11,,A MGM M A M GM =⊂平面1AGM ，所以平面AEF //平面1AGM ， 因为1AG ⊂平面1AGM ，所以1//A G 平面AEF ，故选项C 正确； 对于选项D ：因为111//,//AD EF AG D F ，所以异面直线1A G 与EF 所成的角为1AD F ∠（或其补角），设正方体的棱长为2，则22112253AD D F AF AC CF ===+=，，， 在1AD F △中，由余弦定理可得：2221111110cos 22225AD D F AF AD F AD D F +-∠===⋅⨯⨯D 错误，故选：BC .12．下列命题中，正确的命题有（ ） A ．a b a b +=-是a ，b 共线的充要条件 B ．若//a b ，则存在唯一的实数λ，使得a b λ=C ．对空间中任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若243OP OA OB OC =-+，则P ，A ，B ，C 四点共面D ．若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},2,3a b b c c a +++构成空间的另一个基底 【答案】CD【分析】对A ，向量a 、b 同向时a b a b +=-不成立； 对B ， b 为零向量时不成立； 对C ，根据空间向量共面的条件判定； 对D ，根据能成为基底的条件判定.【详解】对A ，向量a 、b 同向时，a b a b +≠-，∴只满足充分性，不满足必要性，∴A 错误； 对B ，b 应该为非零向量，故B 错误； 对C ，由于243OP OA OB OC =-+得，1324PB PA PC =+， 若,PA PC 共线，则,,PA PC PB 三向量共线，故A ，B ，C 三点共线，与已知矛盾，故,PA PC 不共线，由向量共面的充要条件知,PB PA PC ,共面，而,PB PA PC ,过同一点P ，所以P ，A ，B ，C 四点共面，故C 正确；对D ，若{},,a b c 为空间的一个基底，则a ，b ，c 不共面， 假设a b +，2b c +，3c a +共面，设()()23a b x b c y c a +=+++，所以13102yxx y =⎧⎪=⎨⎪=+⎩ ，无解，故a b +，2b c +，3c a +不共面， 则{},2,3a b b c c a +++构成空间的另一个基底，故D 正确． 故选： CD ．三、填空题13．等比数列{}n a 中，39a =-，114a =-，则7a =______． 【答案】6-【分析】由等比数列的性质计算．【详解】因为{}n a 是等比数列，所以2731136a a a ==，又{}n a 的所有奇数项同号，所以76a =-．故答案为：6-．14．直线230x y +-=被圆()()22214x y-++=截得的弦长____________【分析】首先求出圆心坐标与半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最后利用勾股定理与垂径定理计算可得；【详解】圆()()22214x y -++=的圆心为2,1，半径2r =， 圆心2,1到直线的距离d ==所以直线被圆截得弦长为22223525522255r d ⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 故答案为：2555. 15．已知数列{}n a .的前n 项和为n S ，且()*2120N n n n a a a n +++-=∈.若11151912a a a ++=，则29S =______.【答案】116【分析】先判断出数列是等差数列，然后运用等差数列的性质可得答案.【详解】(){}*211220N ,2,n n n n n n n a a a n a a a a +++++-=∈∴=+∴为等差数列，111912915111519152,12,4,a a a a a a a a a ∴+=+=++=∴=129291529292941162a a S a +∴=⨯==⨯=. 故答案为：116.四、双空题16．如图，在棱长为1的正方体ABCD A B C D -''''中，M 为BC 的中点，则AM 与D B ''所成角的余弦值为___________；C 到平面DA C ''的距离为___________.【答案】103【分析】第一空根据向量法即可求得异面直线之间的夹角. 第二空利用等体积法即可求得.【详解】由已知连接BD ，如图所示建立空间直角坐标系,则()0,0,1A ，1,1,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,0B '，()1,0,0D '1,1,02AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭()1,1,0D B ''=-10cos ,10AM D B AM D B AM D B ''''==''⋅ AM 与D B ''所成角的余弦值为1010如图所示设C 到平面DA C ''的距离为d 因为C A DC A DCC V V '''--=1111322sin 601113232d d ⨯⋅=⨯⨯⨯⨯⇒=103五、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11221,1,2a b a b =-=+=. （1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S .【答案】（1）12n n b -=；（2）当5q =-时，321S =.当4q =时，36S =-.【分析】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，（1）由条件可得3d q +=和226d q +=，解方程得12d q =⎧⎨=⎩，进而可得通项公式； （2）由条件得2200q q +-=，解得5,4q q =-=，分类讨论即可得解.【详解】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则1(1)n a n d =-+-，1n n b q -=.由222a b +=得3d q +=.①（1）由335a b +=得226d q +=②联立①和②解得30d q =⎧⎨=⎩（舍去），12d q =⎧⎨=⎩ 因此{}n b 的通项公式为12n n b -=.（2）由131,21b T ==得2200q q +-=.解得5,4q q =-=.当5q =-时，由①得8d =，则321S =.当4q =时，由①得1d =-，则36S =-.【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的基本量运算，属于基础题.18．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且1160C CB C CD BCD ∠=∠=∠=︒，12CD CC ．(1)求1AC 的长；(2)求异面直线1CA 与1DC 所成的角．【答案】(1)122AC =(2)90°．【分析】(1)因为1,,CD CB CC 三组不共线，则可以作为一组基底，用基底表示向量1AC ，平方即求得模长.(2) 求出两条直线1CA 与1DC 的方向向量，用向量夹角余弦公式即可.【详解】（1）设CD a =，CB b =，1CC c =，{},,a b c 构成空间的一个基底．因为()11()AC CC CD CB c a b =-+=-+， 所以()22211AC AC c a b ⎡⎤==-+⎣⎦ 222222c a b a c b c a b =++-⋅-⋅+⋅ 12222cos608=-⨯⨯⨯︒=，所以1AC =（2）又1CA a b c =++，1DC c a =-，所以()()11CA DC a b c c a ⋅=++⋅- 220c a b c a b =-+⋅-⋅=∴11CA DC ⊥∴异面直线1CA 与1DC 所成的角为90°．19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为258,224,100n S a a S +==.(1)求{an }的通项公式；(2)若+11n n n b a a =，求数列{n b }的前n 项和Tn . 【答案】(1)31n a n =-(2)2(32)n n T n =+【分析】（1）由等差数列的通项公式以及等差数列的前n 项和公式展开可求得结果；（2）由裂项相消求和可得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意知，1112()4248(81)81002a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩ 解得：123a d =⎧⎨=⎩ ∴1(1)23(1)31n a a n d n n =+-=+-=-.故{}n a 的通项公式为31n a n =-.（2）∵1111()(31)(32)33132n b n n n n ==--+-+ 111111111111()()()()325358381133132111111111 ()325588113132111 =()3232=2(32)n T n n n n n n n =⨯-+⨯-+⨯-++--+=⨯-+-+-++--+⨯-++ 即：{}n b 的前n 项和2(32)n n T n =+. 20．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，2AB AC ==，14AA =，AB AC ⊥，1BE AB ⊥交1AA 于点E ，D 为1CC 的中点.(1)求证：BE ⊥平面1AB C ；(2)求直线1B D 与平面1AB C 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；15【分析】（1）先证明1AA AC ⊥，从而可得AC ⊥平面11AA B B ，进而可得AC BE ⊥，再由线面垂直的判定定理即得；（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法即得.【详解】（1）因为三棱柱111ABC A B C 为直三棱柱，所以1AA ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，所以1AA AC ⊥,又AC AB ⊥，1AB AA A ⋂=，AB ⊂平面11AA B B ，1AA ⊂平面11AA B B ，所以AC ⊥平面11AA B B ，因为BE ⊂平面11AA B B ，所以AC BE ⊥，又因为1BE AB ⊥， 1AC AB A ⋂=，AC ⊂平面1AB C ，1AB ⊂平面1AB C ，所以BE ⊥平面1AB C ；（2）由（1）知AB ，AC ，1AA 两两垂直，如图建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()12,0,4B ，()0,2,0C ，()2,0,0B ，()0,2,2D ，设()0,0,E a ，()12,0,4AB =，()2,0,BE a =-，()0,2,0AC =，因为1AB BE ⊥，所以440a -=，即1a =，则()2,0,1BE =-，由（1）平面1AB C 的一个法向量为()2,0,1BE =-，又()12,2,2B D =--，设直线1B D 与平面1AB C 所成角的大小为π20θθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，则 11115sin cos ,512BE B D BE B D BE B D θ⋅====⋅⋅， 因此，直线1B D 与平面1AB C 1521．已知数列{}1221,2,5,43.++===-n n n n a a a a a a(1)令1n n n b a a +=-，求证：数列{}n b 是等比数列；(2)若n n c nb =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【答案】(1)见解析 (2)11133244n n S n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据递推公式证明2113n n n na a a a +++--为定值即可； （2）利用错位相减法求解即可.【详解】（1）证明：因为2143n n n a a a ++=-，所以()2113n n n n a a a a +++-=-，即13n n b b +=， 又1213b a a -==，所以数列{}n b 是以3为首项，3为公比的等比数列；（2）解：由（1）得11333n n n n a a +--=⋅=， 3n n n c nb n =⋅=，则23323333n n S n =+⨯+⨯++⋅，23413323333n n S n +=+⨯+⨯++⋅，两式相减得()2311131313233333331322n n n n n n S n n n +++-⎛⎫-=++++-⋅=-⋅=-- ⎪-⎝⎭， 所以11133244n n S n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 22．如图，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直，1//122AF DE DE AD AD BE AF AD DE AB ⊥⊥====，，，，.(1)求证：BF ∥平面CDE ；(2)求二面角B EF D --的余弦值；(3)判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ？若存在，求出BQ BE 的值，若不存在，说明理由.【答案】(1)详见解析 (2)63(3)存在点Q ；17BQ BE =【分析】（1）根据线面平行的判断定理，作辅助线，转化为证明线线平行；（2）证得DA ，DB ，DE 两两垂直，从而建立以D 点为原点的空间直角坐标系，求得平面DEF 和平面BEF 的一个法向量，根据法向量的夹角求得二面角的余弦值；（3）设()[]()0,,20,1BQ BE λλλλ==-∈，求得平面CDQ 的法向量为u ，若平面CDQ ⊥平面BEF ，则0m u =⋅，从而解得λ的值，找到Q 点的位置.【详解】（1）取DE 的中点M ，连结MF ，MC ，因为12AF DE =，所以AF DM =，且AF DM =， 所以四边形ADMF 是平行四边形，所以//MF AD ，且MF AD =,又因为//AD BD ,且AD BC =，所以//MF BC ,MF BC =,所以四边形BCMF 是平行四边形，所以//BF CM ,因为BF ⊄平面CDE ,CM ⊂平面CDE ，所以//BF 平面CDE ；（2）因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，DE AD ⊥， 所以DE ⊥平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ，则DE DB ⊥，故DA ，DB ，DE 两两垂直，所以以DA ，DB ，DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()0,1,0B ，()1,1,0C -，()0,0,2E ，()1,0,1F ，所以()0,1,2BE =-，()1,0,1EF =-，()0,1,0n =为平面DEF 的一个法向量. 设平面BEF 的一个法向量为(),,m x y z =，由0m BE ⋅=，0m EF ⋅=，得200y z x z -+=⎧⎨-=⎩， 令1z =，得()1,2,1m →=. 所以26cos ,36m n m n m n →→→→→→⋅===. 如图可得二面角B EF D --为锐角，所以二面角B EF D --的余弦值为63. （3）结论：线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF . 证明如下：设()[]()0,,20,1BQ BE λλλλ==-∈，所以(0,1,2)DQ DB BQ λλ=+=-.设平面CDQ 的法向量为(),,u a b c =，又因为()1,1,0DC =-， 所以0u DQ ⋅=，0u DC ⋅=，即(1)200b c a b λλ-+=⎧⎨-+=⎩， 若平面CDQ ⊥平面BEF ，则0m u =⋅，即20a b c ++=， 解得[]10,17λ=∈.所以线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ， 且此时17BQ BE =.。
高二12月月考(数学)试题含答案
高二12月月考（数学）（考试总分：150 分）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.（5分）1．直线x﹣y+1＝0的斜率为（）A．B．﹣C．D．﹣2.（5分）2．已知向量＝（2，3，1），＝（1，2，0），则|+|等于（）A．B．3C．D．93.（5分）3．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝，＝，＝，则下列向量与相等的是（）A．﹣﹣+B．+﹣C．﹣++D．++4.（5分）4．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列．若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（）A．6.5尺B．13.5尺C．14.5尺D．15.5尺5.（5分）5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱A1B1和BB1的中点，那么异面直线AM和CN所成角的余弦值是（）A．B．C．D．﹣6.（5分）6．历时23天嫦娥五号成功携带月球样品返回地球，标志着中国航天向前迈出一大步．其中2020年11月28日晚，嫦娥五号成功进行首次近月制动，进入一个大椭圆轨道．该椭圆形轨道以月球球心为一个焦点F1，若其近月点A（离月球表面最近的点）与月球表面距离为r1公里，远月点B（离月球表面最远的点）与月球表面距离为r2公里，并且F1，A，B在同一直线上已知月球的半径为R公里，则该椭圆形轨道的离心率为（）A．B．C．D．7.（5分）7．已知动点P在直线l1：3x﹣4y+1＝0上运动，动点Q在直线l2：6x+my+4＝0上运动，且l1∥l2，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．8.（5分）8．若等差数列{a n}的前n项和为S n，首项a1＞0，a2020+a2021＞0，a2020•a2021＜0，则满足S n＞0成立的最大正整数n是（）A．4039B．4040C．4041D．4042二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.（5分）9．关于双曲线C1：＝1与双曲线C2：＝1，下列说法正确的是（）A．它们的实轴长相等B．它们的渐近线相同C．它们的离心率相等D．它们的焦距相等10.（5分）10．已知圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣4x＝0的公共点为A，B，则（）A．|C1C2|＝2B．直线AB的方程是x＝C．AC1⊥AC2D．|AB|＝11.（5分）11．若数列{a n}满足a1＝1，a2＝1，a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N+），则称数列{a n}为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用则下列结论成立的是（）A．a7＝13B．a1+a3+a5+……+a2019＝a2020C．S7＝54D．a2+a4+a6+……+a2020＝a202112.（5分）12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E，F在平面A1B1C1D1内，若|AE|＝，AC⊥DF，则（）A．点E的轨迹是一个圆B．点F的轨迹是一个圆C．|EF|的最小值为﹣1D．AE与平面A1BD所成角的正弦值的最大值为三、填空题（本题共计3小题，总分15分）13.（5分）13．若直线x﹣y+1＝0与直线mx+3y﹣1＝0互相垂直，则实数m的值为．14.（5分）14．若双曲线的渐近线为，则双曲线C的离心率为．15.（5分）16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点（，0）的直线l与圆C：x2+y2﹣4x+8＝0交于A，B两点，则四边形OACB面积的最大值为．四、解答题（本题共计7小题，总分75分）16.（5分）15．已知四面体ABCD的顶点分别为A（2，3，1），B（1，0，2），C（4，3，﹣1），D（0，3，﹣3），则点D到平面ABC的距离．17.（10分）17．在：①圆C与y轴相切，且与x轴正半轴相交所得弦长为2；②圆C经过点A（4，1）和B（2，3）；③圆C与直线x﹣2y﹣1＝0相切，且与圆Q：x2+（y﹣2）2＝1相外切。
2022-2023学年上海市南洋模范中学高二上学期12月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市南洋模范中学高二上学期12月月考数学试题一、填空题1．在空间直角坐标系中，点(1,2,3)A -关于xOz 平面对称的点的坐标是______. 【答案】()1,2,3--【分析】根据空间对称的知识求得正确答案.【详解】点关于xOz 平面对称点，横坐标和竖坐标不变，纵坐标相反， 所以点(1,2,3)A -关于xOz 平面对称的点的坐标是()1,2,3--. 故答案为：()1,2,3--2．为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数据如下（按从小到大的顾序排列，单位：kg ）56 56 57 58 59 59 61 63 64 65 66 68 69 70 73 74 83 据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为______kg 【答案】69【分析】根据百分位数的求法求得正确答案. 【详解】170.7512.75⨯=， 数据从小到大第13个数是69， 所以第75百分位数为69kg 故答案为：693．第14届国际数学教有大会（ICME-14）于2021年7月12日至18日在上海举办，已知张老师和李老师都在7天中随机选择了连续的3天参会，则两位老师所选的日期恰好都不相同的概率为______. 【答案】625##0.24 【分析】先确定随机试验张老师和李老师各在7天中随机选择了连续的3天参会的基本事件数，再确定事件两位老师所选的日期恰好都不相同所包含的基本事件数，由古典概型概率公式求事件两位老师所选的日期恰好都不相同的概率.【详解】因为张老师在7天中随机选择连续的3天参会共有5种选法，即()12,13,14，()13,14,15，()14,15,16，()15,16,17，()16,17,18，所以随机试验张老师和李老师各在7天中随机选择连续的3天参会的基本事件数为25，其中两位老师所选的日期恰好都不相同选法有：张老师选()12,13,14，李老师选()15,16,17或()16,17,18，张老师选()13,14,15，李老师选()16,17,18，张老师选()15,16,17，李老师选()12,13,14，张老师选()16,17,18，李老师选()12,13,14或()13,14,15，即事件两位老师所选的日期恰好都不相同包含6个基本事件，所以事件两位老师所选的日期恰好都不相同的概率625P =. 故答案为：625. 4．设等差数列{}n a 的公差为d ，若1234576,,,,,,a a a a a a a 的方差为1，则d =________．【答案】12±【详解】由题意得2222222411[(3)(2)()0()(2)(3)]47x a d d d d d d d =∴=-+-+-++++= ，因此12d =±5．某学校随机抽取100名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[]0,100，样本数据分组为[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100．则该校学生上学所需时间的均值估计为______________．（精确到1分钟）.【答案】34.【详解】由直方图可得0.0250.00650.0032201x +++⨯⨯=（）． 所以0.0125x =，该校学生上学所需时间的均值估计为：10200.012530200.02550200.006570200.00390200.00333.6⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=分钟，故该校新生上学所需时间的平均值为34分，故答案346．由8个整数形成的样本数据中，至少有六个互不相同的整数，若平均数、中位数、唯一的众数和全距（即样本中最大数与最小数之差）都是8，则可能成为样本数据中的最大整数是________． 【答案】12【分析】根据平均数、中位数、唯一的众数和全距求得最大整数的值.【详解】依题意，平均数=中位数=众数=8，所以偏态系数为0，数据分布对称， 因为存在众数且众数唯一，所以可设这8个整数为123456,,,8,8,,,x x x x x x ， 且12345688x x x x x x <<<=<<<， 所以6116882x x x x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得612x =.故答案为：127．如图：已知矩形ABCD 中，2AB =，BC t =，若PA ⊥平面ABCD ，在BC 边上取点E ，使PE DE ⊥，则满足条件的E 点有两个时，t 的取值范围是________．【答案】4t >【分析】由题意可证得DE AE ⊥，转化为以AD 为直径的圆与矩形另一边有2个交点，根据圆心到直线的距离小于半径求解即可. 【详解】连接AE ，如图，因为PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，所以PA DE ⊥，又PE DE ⊥，PA PE P =，,PA PE ⊂平面PAE ，所以DE ⊥平面PAE ， 因为AE ⊂平面PAE ，所以DE AE ⊥． 即E 点为以AD 为直径的圆与BC 的交点．因为2AB =，BC t =，满足条件的E 点有2个，即圆心也就是AD 中点到BC 的距离小于半径即可，即平行线间的距离22tAB =<，解得4t >． 故答案为：4t >8．某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为__________元. 【答案】8800【详解】要使得这8位员工月工资的中位数最大值，即月工资数据不清楚的两个人的工资分别为比8200小，比9500大，即中位数为9100850088002+=. 9．已知正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱AB ，1BB 的中点，过1D ，M ，N 三点作该正方体的截面，若截面为一个多边形Γ，则Γ在顶点1D 处的内角的余弦值为________．【答案】413【分析】建立空间直角坐标系，根据1//D P QN →→，1//D Q PM →→求出,P Q 坐标，利用向量的夹角公式求解即可.【详解】设正方体棱长为2，多边形Γ与棱11,B C AD 相交于,Q P ，以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，则1(2,1,0),(2,2,1),(0,0,2)M N D ，设(,0,0)P a ，(,2,2)Q b ，则11(,0,2),(2,1,0),(,2,0),(2,0,1)D P a PM a D Q b QN b →→→→=-=-==--，由正方体左右侧面平行，与截面多边形Γ分别交于1D P QN ，，所以1//D P QN ， 同理，可得1//D Q PM 故1//D P QN →→，1//D Q PM →→，所以2(2)2(2)a b b a =-⎧⎨=-⎩，解得43a b ==，所以14(,0,2)3D P →=-，14(,2,0)3D Q →=，则111111161649cos ,16163613||||49D P D Q D P D Q D P D Q →→→→→→⋅<>====++， 所以Γ在顶点1D 处的内角的余弦值为413． 故答案为：413. 10．已知A 、B 、C 是半径为1的球面上的三点，若1AB AC ==，则BC 的最大值为______. 【答案】3【分析】设ABC 的外接圆半径为r ，2BC x =，由条件列关系式确定,x r 的关系，由此可求x 的最大值，由此确定BC 的最大值.【详解】因为A 、B 、C 是半径为1的球面上的三点，过点A 、B 、C 作球的截面，设截面圆的圆心为1O ，半径为r ，设BC 的中点为D ，则1O D BC ⊥，因为1AB AC ==，所以AD BC ⊥，设2BC x =，则21AD x =-，211O D r x =--，又22211BD O D O B +=，所以()22221r x r x =+--，所以22114x r =-，因为球的半径为1，所以1r ≤，所以当1r =时，2x取最大值，最大值为34，所以BC 的最大值为3， 故答案为：3.11．在直三棱柱111ABC A B C 中，11AB AC AA ===，{}1Ω,01,02,03P AP AB AC AA λμηλμη==++≤≤≤≤≤≤，若Ω中所有的点构成的几何体的体积为3，则AB 与AC 夹角的大小为________．【答案】π6或5π6【分析】由条件确定区域Ω与三棱柱111ABC A B C 的体积关系，结合柱体体积公式列方程可求AB 与AC 夹角的正弦值，由此可得夹角大小.【详解】因为{}1Ω,01,02,03P AP AB AC AA λμηλμη==++≤≤≤≤≤≤， 所以Ω中所有的点构成的几何体的体积是直三棱柱111ABC A B C 体积的236⨯=倍， 则16sin ,3AB AC AB AC AA ⨯⨯=，又11AB AC AA ===，所以1sin ,2AB AC =，因为[],0,πAB AC ∈，所以π,6AB AC =或5π6， 所以AB 与AC 夹角的大小为π6或5π6．故答案为：π6或5π6.12．在一个112⨯⨯的长方体内部，有一半径为12的小球自由运动，则当小球在长方体内滚动时，长方体内没有被小球滚到的部分其体积为________． 【答案】5212π-【分析】根据条件，画直观图，直接计算即可.【详解】由题意，小球在长方体内活动如图中虚线所示，是由上下两个半球和中间的圆柱构成， 所以小球不能达到的空间体积为2314151121223212πππ⎛⎫⎛⎫⨯⨯-⨯⨯-⨯=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 故答案为：5212π-.二、单选题13．如图是6株圣女果植株挂果个数（两位数）的茎叶图，则6株圣女果植株挂果个数的中位数为（ ）A ．21B ．21.5C ．22D ．22.5【答案】B【分析】根据中位数的知识求得正确答案. 【详解】6个数据为16,18,21,22,22,31， 所以中位数为212221.52+=. 故选：B14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()e ,0,1a =-与()20232023,π,b a S =垂直，则{}n a 不可能是（ ）A ．公差大于0的等差数列B ．公差小于0的等差数列C ．公比大于0的等比数列D ．公比小于0的等比数列【答案】C【分析】根据空间向量互相垂直的性质、空间向量数量积的运算性质，结合等差数列和等比数列的性质逐一判断即可.【详解】因为()e ,0,1a =-与()20232023,π,b a S =垂直，所以2023202300a b a S ⋅=⇒-=，则20232023S a =，若20232023S a =，则2022202320230S S a =-=，所以保证20220S =即可， 若{}n a 为等差数列，取前2022项分别为2021,,3,1,1,3,,2021---即可，反之，取2021,,3,1,1,3,,2021---也可，故A 、B 均可能，若{}n a 为等比数列，取(1)nn a =-即可，故D 有可能，若公比大于0，则()2022120221S a q ==或()()202212022111a q S q q-=≠-均不为0，故C 不可能； 故选C ．15．设a ,b ,c ,x ,y ,z 是正数，且2a +2b +2c =10, 2x +2y +2z =40, ax +by +cz =20,则a b cx y z++++=A ．14B ．13C ．12D ．34【答案】C【详解】由柯西不等式得()2222222111111444222a b c x y z ax by cz ⎛⎫⎛⎫++++≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当111222a b c x y z ==时等号成立， 2222221040a b c x y z ++=++=，,20ax by cz ++=∴等号成立111222a b c x y z ∴== 12a b c x y z ++∴=++故答案选C16．已知a ，b 是异面直线，若直线m 上任意一点到a ，b 的距离都相等，则这样的直线m （ ） A ．存在且只有一条 B ．存在且只有两条 C ．存在无数条 D ．不存在【答案】B【分析】分别过a ，b 作与它们都平行的平面，再作一个他们正中间的平面，将两条异面直线投影到中间平面上，投影直线构成的四个角的角平分线即为所求.【详解】分别过a ，做平面α，使得b α，过b 作平面β，使得a β∥，然后在这两个平行平面中间作一个平面γ，使得平面γ到平面α、平面β的距离相等，则直线,a b 在平面γ内的投影分别为,a b ''，则//,//a a b b ''，则在平面γ内两条直线,a b ''构成的四个角的角平分线即为所求直线（共两条）, 故选：B .三、解答题17．某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次． (1)求按照专家提出的这种化验方法需要化验的次数并说明是否能减少化验次数； (2)若携带病毒的人只占2%，按照k 个人一组，试问k 取多少时化验次数最少？ 【答案】(1)平均需要化验4262次，能减少化验次数. (2)k 取8时化验次数最少【分析】（1）设每个人需要的化验次数为X ，结合独立重复试验概率计算公式、对立事件概率计算公式求得()E X ，从而确定正确答案.（2）假设k 个人一组，设每个人需要的化验次数为Y ，结合独立重复试验概率计算公式、对立事件概率计算公式求得()E Y ，从而确定正确答案. 【详解】（1）设每个人需要的化验次数为X ，若混合血样呈阳性，则15X =；若混合血样呈阴性，则65X =；因此，X 的分布列为510.955P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭，5610.955P X ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()551()0.95610.950.42625E X ⎡⎤=+⨯-≈⎣⎦， 说明每5个人一组，平功每个人需要化验0.4262次；100000.4262426210000⨯=<，所以能减少化验次数.（2）假设k 个人一组，设每个人需要的化验次数为Y ，若混合血样呈阳性，则1Y k =；若混合血样呈阴性，则11Y k =+； 因此，Y 的分布列为10.98k P X k ⎛⎫== ⎪⎝⎭，1110.98kP X k ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()()()11()0.98110.9810.98k kk E Y k k k ⎡⎤=++⨯-=+-⎣⎦， 利用计算器，对k 取1,2,3,，逐一计算110.98kk+-，发现当k 取8时，()E Y 取到最小值0.2742， 此时，10000个人大约需要化验2742次．18．现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误，设第n 次传球后，甲接到球的概率为n P ． (1)求0P ，1P ，2P 的值；(2)试用1n P -表示()*n P n N ∈，并求数列{}n P 的通项公式．【答案】(1)01P =，10P =，212P =(2)()1112n n P P -=-，1111332n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【分析】（1）直接由题意求值即可.（2）由（1）得10P =，根据*n ∈N ，2n ≥时，第n 次传给甲的事件是第n 1-次传球后，球不在甲手上并且第n 次必传给甲的事件，进而有()1112n n P P -=-，然后变形借助等比数列的定义即可求出数列{}n P 的通项公式.【详解】（1）第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，则01P =，10P =， 接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，则212P =. 故：01P =，10P =，212P =. （2）第一次传球后，球落在乙或丙手中，则10P =，*n ∈N ，2n ≥时，第n 次传给甲的事件是第n 1-次传球后，球不在甲手上并且第n 次必传给甲的事件， 于是有()1112n n P P -=-，即1111323n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 数列13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为11133P -=-，公比为12-的等比数列， 则1111332n n P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以1111332n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．故：1111332n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.19．高二A 班计划在学校即将举办的夏季游园会上为同学们提供单球冰激凌的销售服务.已知购买一圆柱形桶装冰激凌需要1300元，此桶装冰激凌桶内底面直径为25厘米，冰激凌净高20厘米.单球冰激凌的平均直径约为5厘米，一副一次性杯勺的成本约1元(其他成本忽略不计).根据前期调查，冰激凌球能全部售完.高二A 班打算将每个单球冰激凌定价为15元，你认为这样的定价是否合理？请作出必要的计算，结合计算结果阐述你的理由. 【答案】合理，理由见解析【分析】根据条件先求圆柱和单球冰激凌的体积，再计算每个单球冰激凌的成本，最后比较.【详解】2212.5203125V R h πππ==⋅⋅=圆柱，33441252.5336V r πππ==⋅=球， 每个单球冰激凌的成本价为125296130019.6731253ππ⋅+=≈(元)，定价为15元，利润率约为55%，较为合理.【点睛】本题考查几何体的实际应用问题，重点考查读题能力，抽象概括能力，属于基础题型. 20．如图，等高的正三棱锥P-ABC 与圆锥SO 的底面都在平面M 上，且圆O 过点A ，又圆O 的直径AD ⊥BC ，垂足为E ，设圆锥SO 的底面半径为1，圆锥体积为33π．(1)求圆锥的侧面积；(2)求异面直线AB 与SD 所成角的大小；(3)若平行于平面M 的一个平面N 3P A 与底面ABC 所成角的大小．【答案】(1)2π；(2)3(3)3arctan 2 【分析】（1）利用圆锥体积可求得圆锥的高，进而得到母线长，根据圆锥侧面积公式可求得结果；（2）作//DF AB 交圆锥底面圆于点F ，则SDF ∠即为异面直线AB 与SD 所成角，在SDF ∆中，求解出三边长，利用余弦定理可求得cos SDF ∠，从而得到结果；（3）根据截面面积之比可得底面积之比，求得ABC S ∆，进而求得等边三角形的边长，利用正棱锥的特点可知若Q 为ABC ∆的中心，则PAQ ∠即为侧棱PA 与底面ABC 所成角，在Rt PAQ ∆中利用正切值求得结果.【详解】（1）设圆锥高为h ，母线长为l由圆锥体积得：21313h π⨯⨯= 3h ∴=132l ∴=+= ∴圆锥的侧面积：2S π=（2）作//DF AB 交圆锥底面圆于点F ，连接AF ，SF则SDF ∠即为异面直线AB 与SD 所成角 由题意知：126ADF EAB CAB π∠=∠=∠=，AF DF ⊥ 33DF AD ∴==2SD SF == 2222323cos 232SDF +-∴∠==⨯⨯ 3SDF ∴∠= 即异面直线AB 与SD 所成角为：3（3）平行于平面M 的一个平面N 33ABC O S S ∆∴=3ABC S ∆∴=又21sin 323ABC S AB π∆=⨯=AB 2∴=，即ABC ∆为边长为2的等边三角形 设Q 为ABC ∆的中心，连接PQ ，则22234133AQ AE ==-三棱锥-P ABC 为正三棱锥 PQ ∴⊥平面ABCPAQ ∴∠即为侧棱PA 与底面ABC 所成角33tan 223PQ PAQ AQ ∴∠=== 3arctan 2PAQ ∴∠= 即侧棱PA 与底面ABC 所成角为：3arctan 2【点睛】本题考查圆锥侧面积的求解、异面直线所成角的求解、直线与平面所成角的求解.解决立体几何中的角度问题的关键是能够通过平移找到异面直线所成角、通过找到直线在平面内的投影，得到线面角.21．同底的两个正三棱锥内接于半径为R 的球，它们的侧面与底面所成的角分别为12,.αα求：（1）侧面积的比；（2）体积的比；（3）角12αα+的最大值．【答案】（1）21cos :cos αα（2）12tan :tan αα（3）4arctan 3π- 【分析】分别计算出其侧面积，再计算比值．分别计算出其侧体积，再计算比值．根据tan x 在(0,)2π 单调递增，通过计算12tan()αα+的最大值，求出角12αα+的最大值． 【详解】解：（1）设O 为球心，1O 为正三棱锥底面ABC 所在圆的圆心，两个三棱锥的顶点分别为P ,Q ,取BC 的中点D ,则,,PD BC AD BC ⊥⊥∴∠1PDO 是侧面与底面所成二面角的平面角， ∴∠1PDO 1α=，同理1QDO ∠=2α．11,cos DO PD α∴=12cos DO QD α=， 11133.22cos P ABC DO S BC PD BC α-∴=⋅⋅=⋅侧 1213322cos Q ABC DO S BC QD BC α-=⋅⋅=⋅侧． P ABC S -∴侧:Q ABC S -侧=21cos :cos αα．(2)111112tan ,tan PO DO QO DO αα=⋅=⋅,这两个三棱锥的底都是三角形ABC ∆，1112::tan :tan .P ABC Q ABC V V PO QO αα--∴==（3）设ABC ∆边长为a ,1OO h =,则1111tan ,PO R h DO DO α-== 1211tan ,QO R h DO DO α+==而111,33DO AD ===12.3AO AD ==222211,3R h AO a -== ()121122221212112tan tan 2tan 1tan tan 13RDO R R h a DO DO DO αααααα+∴+===----0.=< 12,2πααπ∴<+<当平面ABC 通过球心O 时，aR 时，12tan()αα+取最大值43-，这时12αα+也最大，最大值为4arctan 3π-. 【点睛】用已知数量表示所求量，再求比值．求角的最大值，可以根据单调性通过求其三角函数值的最值来求．。
山西省太原五中2013-2014学年高二数学12月月考试题 文
太 原 五 中2013—2014学年度第一学期月考（12月）高 二数 学(文)一．选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的)1.椭圆191622=+y x 的焦距为（ ） A. 10 B.5 C.7 D.722．已知方程11222=-+-k y k x 的图象是双曲线，那么k 的取值范围是（ ） A ．1<k B ．2>k C ．1<k 或2>k D ．21<<k3.已知21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，AB 是过1F 的弦，则2ABF ∆的周长是 ( )A.a 2B.a 4C.a 8D.b a 22+ 4. 抛物线)0(42>=p px y 上一点M 到焦点的距离为a ，则M 到y 轴距离为 ( ) A.p a - B. p a + C. 2pa -D. p a 2+ 5. 一动圆与圆221x y +=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，则动圆的圆心在（ ）A. 一个椭圆上B.一条抛物线上C.双曲线的一支上D. 一个圆上6. 设椭圆12622=+y x 和双曲线1322=-y x 的公共焦点为21,F F ，P 是两曲线的一个公共点，则cos 21PF F ∠的值等于（ ）A.41 B.31 C.91 D.537. 已知双曲线的一个焦点与抛物线y x 202=的焦点重合,且其渐近线的方程为043=±y x ,则该双曲线的标准方程为（ ）A.116922=-y x 192=-y C. 116922=-x y D. 191622=-x y 8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均与22:650C x y x +-+=相切，则该双曲线离心率等于（ ）A B C ．32D 9.若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是 （ ）A ．25B ．2．2210. 抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线m x y +=对称，且2121-=⋅x x ，则m 等于（ ）A ．23B ．2C ．25D ．3二．填空题（本题5个小题，共4⨯5=20分）11.设21,F F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上满足 9021=∠PF F ,那么21PF F ∆的面积是12.已知圆16)1(22=++y x ，圆心为)0,1(-C ，点)0,1(A ， Q 为圆上任意一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于点M ，则点M 的轨迹方程为 .13.已知F 是双曲线112422=-y x 的左焦点，定点)4,1(A ，点P 是双曲线右支上的动点， 则||||PA PF +的最小值为14. 已知椭圆22:12x c y +=的两焦点为12,F F , 点00(,)P x y 满足2200012x y <+<,则 |1PF |+ 2PF |的取值范围为____ ___15.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,21c F c F -（,若椭圆上存在点P 使1221sin sin F PF cF PF a ∠=∠,则该椭圆的离心率的取值范围为___三.解答题（本题4个小题，共4⨯10=40分）16. （本小题10分）在直角坐标系中，O 为坐标原点，设过点)2,3(P 的直线l ，与x 轴交于点)0,2(F ，如果一个椭圆经过点P ,且以点F 为它的一个焦点. （1）求此椭圆的标准方程；（2）在（1）中求过点)0,2(F 的弦AB 的中点M 的轨迹方程.17．（本小题10分）已知抛物线x y -=2与直线)1(+=x k y 交于B A ,两点. (1) 求证：OB OA ⊥；（2）当AOB ∆的面积等于10时，求k 的值.18．（本小题10分）设椭圆C: ()222210x y a b a b +=>>过点（0，4），离心率为35（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C 所截线段的长度 。
2023-2024学年湖南省长沙市宁乡市第一高二上学期12月月考数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年湖南省长沙市宁乡市第一高二上册12月月考数学模拟试题一、单选题1．已知正三棱柱111A B C ABC -，M 为棱BC 上靠近点C 的三等分点，则1A M =（）A ．1111123AC CC C B -+ B ．111111122A C AB B B++C ．1111113A C CBC C++ D ．1111233A C ABC C++【正确答案】C【分析】根据空间向量的线性运算直接求解即可.【详解】1111111111111111133A M AC C M AC C C CM AC C C CB AC C B C C =+=++=++=++.故选：C.2．空间,,,A B C D 四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且5133=--PA PB xPC PD ，则实数x 的值为（）A ．43-B ．13-C ．13D ．43【正确答案】C【分析】先设AB mAC nAD =+，然后把向量AB ，AC ，AD 分别用向量PA ，PB ，PC ，PD 表示，再把向量PA 用向量PB ，PC ，PD 表示出，对照已知的系数相等即可求解．【详解】解：因为空间A ，B ，C ，D 四点共面，但任意三点不共线，则可设AB mAC nAD =+，又点P 在平面外，则()()PB PA m PC PA n PD PA -=-+- ，即(1)m n PA PB mPC nPD ++=-++，则1111m n PA PB PC PD m n m n m n -=+++-+-+- ，又5133=-- PA PB xPC PD ，所以15131113m n m x m n n m n -⎧=⎪+-⎪⎪=-⎨+-⎪⎪=-⎪+-⎩，解得15m n ==，13x =，故选：C ．3．若直线1l ：430x y --=与直线2l ：310x my -+=（m ∈R ）互相垂直，则m =（）A ．34B ．34-C ．12D ．12-【正确答案】B【分析】根据两直线垂直可得斜率之积为-1，即可求解.【详解】由题意得，当0m =时，直线2:310l x +=，与直线1l 不垂直，故0m ≠，直线1l 的斜率为14，直线2l 的斜率为3m，所以1314m⨯=-，解得34m =-，故选：B ．4．已知圆22:20C x y y +-=的最大值为（）A ．4B ．13C1+D．11+【正确答案】C.【详解】解：d ==，上式表示圆C 上的点(,)x y 到点(1,2)-的距离，因为圆22:(1)1C x y +-=，圆心(0,1)C ，半径1r =．显然1max d r =+=+．故选：C ．5．已知圆22:25C x y +=与直线():3400l x y m m -+=>相切，则圆C 关于直线l 对称的圆的方程为（）A ．22(3)(4)16x y ++-=B ．22(3)(4)25x y ++-=C ．22(6)(8)16x y ++-=D ．22(6)(8)25x y ++-=【正确答案】D【分析】利用圆与直线相切，求出m ，然后求出过圆C 圆心垂直于直线l 的直线方程，联立求出交点，再利用中点公式求出关于直线对称后圆的圆心坐标，半径没有改变，即可解决问题.【详解】由圆22:25C x y +=的圆心为原点O ，半径为5，又圆C 与直线l 相切，则O 到直线l 的距离为5d =，则5d ==，解得25m =，设过O 且与l 垂直的直线为0l ，则0l ：430x y +=，联立4303342504x y x x y y +==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，得直线l 与0l 的交点为()3,4-，设圆心(0,0)O 关于点()3,4-的对称点为(),p n ，由中点公式有03620842p p nn +⎧-=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩所以圆心(0,0)O 关于点()3,4-的对称点为()6,8-，因此圆C 关于直线l 对称的圆的方程为：22(6)(8)25x y ++-=，故选：D.6．命题甲：动点P 到两个定点,A B 的距离之和||||2(PA PB a +=常数0)a >；命题乙：P 点的轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【正确答案】B【详解】由题意得，当动点P 到两个定点,A B 的距离之和2(PA PB a AB +=>常数0)a >时，点P 的轨迹为椭圆，所以甲是乙的必要不充分条件，故选B ．7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB =．则双曲线的离心率为（）A BC ．2D ．3【正确答案】A【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2by a =±，所以22b AB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.8．已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，直线l 过1F ，且l 与一条渐近线平行，若2F 到l 的距离大于a ，则双曲线C 的离心率的取值范围为（）A ．)+∞B ．C ．2⎫+∞⎪⎪⎝⎭D ．1,2⎛ ⎝⎭【正确答案】C设直线l ：()b y x c a =+，由2F 到l 的距离大于a ，得出b a 的范围，再由e =计算即可.【详解】设过1F 与渐近线by x a =平行的直线l 为()b y x c a=+，由题知2F 到直线l 的距离d a >，即2b a d =>=，可得12b a >，所以离心率2e =>.故选：C.本题考查计算双曲线离心率的范围，熟知公式e 可使计算变得简便，属于中档题.二、多选题9．已知直线360x +-=，则该直线（）A ．过点(3,B ．斜率为C ．倾斜角为60︒D ．在x 轴上的截距为6-【正确答案】AB【分析】验证法判断选项A ；求得直线的斜率判断选项B ；求得直线的倾斜角判断选项C ；求得直线在x 轴上的截距判断选项D.【详解】对于A ，当3x =时，3360⨯-=，∴y =∴直线过点(3,，故A 正确；对于B ，由题意得，y =+B 正确；对于C ，∵直线的斜率为，∴直线的倾斜角为120︒，故C 错误；对于D ，当0y =时，2x =，∴该直线在x 轴上的截距为2，故D 错误．故选：AB ．10．已知圆221:(1)4O x y -+=，圆222:(5)4O x y m -+=，下列说法正确的是（）A ．若4m =，则圆1O 与圆2O 相交B ．若4m =，则圆1O 与圆2O 外离C ．若直线0x y -=与圆2O 相交，则258m >D ．若直线0x y -=与圆1O 相交于M ，N 两点，则||MN =【正确答案】AC【分析】根据直线与圆相交、圆与圆位置关系逐项判断即可.【详解】解：圆221:(1)4O x y -+=的圆心()11,0O ，半径12r =若4m =，222:(5)16O x y -+=，则圆心()25,0O ，半径24r =，则1212124,6,2O O r r r r =+=-=，所以112221O O r r r r -<<+，则圆1O 与圆2O 相交，故A 正确，B 错误；若直线0x y -=与圆2O 相交，则圆心()25,0O 到直线0x y -=的距离d =，解得258m >，故C 正确；若直线0x y -=与圆1O 相交于M ，N 两点，则圆心()11,0O 到直线0x y -=的距离2d ==，所以相交弦长MN ===，故D 错误.故选：AC.11．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥,1BC AB AD CD ===，2BC PA ==，记四棱锥P ABCD -的外接球为球O ，平面PAD 与平面PBC 的交线为,l BC 的中点为E ，则（）A ．l ∥BCB ．AB PC⊥C ．平面PDE ⊥平面PAD D ．l 被球O 截得的弦长为1【正确答案】ABD【分析】由AD BC ∕∕，可得BC ∕∕平面PAD ，再根据线面平行的性质即可证得l BC ∕∕，即可判断A ；对于B ，连接,AE AC ，证明AB AC ⊥，PA AB ⊥，即可得AB ⊥平面PAC ，再根据线面垂直的性质即可证得AB PC ⊥，即可判断B ；对于C ，如图以A 为原点建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，判断法向量是否垂直，即可判断C ；对于D ，易得四棱锥P ABCD -的外接球的球心O 在过点E 且垂直于面ABCD 的直线上，求出半径，再利用向量法求出点O 到直线l 的距离，最后利用圆的弦长公式求出l 被球O 截得的弦长，即可判断D.【详解】解：对于A ，因为AD BC ∕∕，AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ，所以BC ∕∕平面PAD ，又因平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，所以l BC ∕∕，故A 正确；对于B ，连接,AE AC ，在等腰梯形ABCD 中，因为1AB AD CD ===，2BC =，BC 的中点为E ，所以四边形,ABED AECD 都是菱形，所以,AC DE AB DE ⊥∕∕，所以AB AC ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，所以PA AB ⊥，又PA AC A = ，所以AB ⊥平面PAC ，又因PC ⊂平面PAC ，所以AB PC ⊥，故B 正确；对于C ，如图以A 为原点建立空间直角坐标系，则()110,0,2,,,22P D E ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()110,0,2,,,0,,,2,1,0,02222AP AD PD DE ⎛⎫⎛⎫==-=--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面PDE 的法向量()111,,m x y z = ，平面PAD 的法向量()222,,n x y z = ，则111112020m PD x z m DE x ⎧⋅=-+-=⎪⎨⎪⋅==⎩，可取(0,m = ，同理可取)n =，因为40m n ⋅=≠，所以m 与n 不垂直，所以平面PDE 与平面PAD 不垂直，故C 错误；对于D ，由B 选项可知，EA EB EC ED ===，则点E 即为四边形ABCD 外接圆的圆心，故四棱锥P ABCD -的外接球的球心O 在过点E 且垂直于面ABCD 的直线上，设外接球的半径为R ，则OA OP R ==，则OA =所以R =，设OP 与l 所成的角为θ，点O 到直线l 的距离为d ，()()11,0,0,0,,,,122B C O ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因为l BC ∕∕，直线l的方向向量可取()BC =-，1,22OP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，则cos ,4BC OP =-，所以sin 4θ=，所以sin 2d OP θ==，所以l 被球O 截得的弦长为1=，故D 正确.故选：ABD.12．如图所示，抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过点(),0M p 的直线1l ，2l 与E 分别相交于()11,A x y ，()22,B x y 和C ，D 两点，直线AD 经过点F ，当直线AB 垂直于x 轴时，3AF =．下列结论正确的是（）A ．E 的方程为24y x =B ．1212y y =-C ．若AD ，BC 的斜率分别为1k ，2k ，则123k k =D ．若AD ，BC 的倾斜角分别为α，β，则()tan αβ-2【正确答案】AD【分析】根据抛物线定义表示AF ，由条件列方程求p 可得抛物线方程，判断A ，设AB 的方程为2x ty =+，利用设而不求法求12y y ，判断B ，设()()3344,,,C x y B x y ，利用设而不求法求34y y ，根据直线AD 经过点F ，确定14,y y 的关系，利用1y 表示12,k k ，判断C ，讨论α，结合12,k k 关系利用基本不等式求()tan αβ-的最值即可判断D.【详解】当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为x p =，所以点A 的横坐标为p ，所以2pAF p =+，又3AF =，所以2p =，所以抛物线的方程为24y x =，A 正确；所以()2,0M ，若直线AB 的斜率为0，则直线AB 与抛物线只有一个交点，以已知矛盾，故可设直线AB 的方程为2x ty =+，联立242y x x ty ⎧=⎨=+⎩，化简可得2480y ty --=，方程2480y ty --=的判别式216320t ∆=+>，由已知12,y y 为方程2480y ty --=的两根，所以12124,8y y t y y +==-，211168,B y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 错误；同理可设CD 的方程为2x ny =+，联立242y x x ny ⎧=⎨=+⎩，化简可得2480y ny --=，方程2480y ny --=的判别式216320n ∆=+>，设()()3344,,,C D x y y x 所以34344,8y y n y y +==-，244168,C y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若直线AD 的斜率存在，则11x ≠，41x ≠，2241y y ≠，因为直线AD 经过点F ，所以1411411y yk x x ==--，所以()()1441144y y y y y y -=-，因为14y y ≠，所以144y y =-，所以4114214224188116162y y y y k y y y y -+==-+-，所以11122114414y y k y y ==--，1221112244y k y y y ==--，所以122k k =，C 错误；因为AD ，BC 的倾斜角分别为α，β，当π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，因为122k k =，所以tan 2tan αβ=，所以()2tan tan tan 01tan n tan 12tan ta ααββαβββ-==<++-，当π2α=时，()()1,2,1,2A D -，()4,4B -，()4,4C 所以π2β=，此时()tan 0αβ-=，当π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为122k k =，所以tan 2tan αβ=，所以()2tan tan tan 111tan tan 12tan 2ta t n n an ta αββαββββαβ-===+-++所以()t 2an 11tan tan αβββ≤-=+当且仅当tan 2β=，tan α时等号成立，即1k =所以()tan αβ-的最大值为4，D 正确；故选：AD.(1)解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．三、填空题13．一个圆经过椭圆2219y x +=的三个顶点，且圆心在y 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为______.【正确答案】2242539x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭【分析】设出圆心与半径，根据过椭圆的上顶点、左右顶点，由半径相等列方程求解.【详解】由2219y x +=及圆心位置知：圆经过椭圆的上顶点坐标为()0,3，左右顶点坐标为()1,0±，设圆的圆心()0,a ，半径为r ，则()22213r a a +==-，解得43a =，53r =，故圆的方程为2242539x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.故答案为.2242539x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭14．若抛物线2y mx =的准线与直线1x =间的距离为3，则抛物线的方程为______.【正确答案】216y x =-或28y x=【分析】先求出抛物线的准线，再根据距离列方程求解即可.【详解】抛物线2y mx =的准线为4m x =-，则134m --=，解得16m =-或8m =，故抛物线的方程为216y x =-或28y x =.故216y x =-或28y x =.15．已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且AK =，则△AFK 的面积为.【正确答案】32【详解】由双曲线22179x y -=得右焦点为()40，即为抛物线22y px =的焦点，∴42p =，解得8p =．∴抛物线的方程为216y x =．其准线方程为()440x K =-∴-，，．过点A 作AM ⊥准线，垂足为点M ．则AM AF =．∴AK AM =．∴45MAK ∠=︒．∴KF AF =．∴221183222AKF S KF ==⨯= ．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，6AD =，点Q 是侧棱PD 的中点，点M ，N 分别在边AB ，BC 上，当空间四边形PMND 的周长最小时，点Q 到平面PMN 的距离为______．【分析】平面PAB 沿AB 展开到与平面ABCD 共面，当点P ，M ，N 和D ¢共线时周长最小，计算得到1AM =，4NC =，2BN =，建立空间直角坐标系，计算平面PMN的法向量为()2,1,1n =- ，根据距离公式计算得到答案.【详解】要使得空间四边形PMND 周长最小，只需将平面PAB 沿AB 展开到与平面ABCD 共面，延长DC 至D ¢，使得2DC CD '==，于是点N 在线段DD '的垂直平分线上，所以ND ND '=，因为PD 为定值，故当点P ，M ，N 和D ¢共线时，空间四边形PMND 的周长最小，易得PAM NCD PDD '' △△△，即得PA NC PD AM CD DD ==''，即226222NC AM +==+，所以1AM =，4NC =，642BN =-=，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()002P ,,，()0,6,0D ，由题意可得()1,0,0M ，()2,2,0N ，()0,3,1Q ，则()1,0,2PM =- ，()2,2,2PN =- ，设(),,n x y z =r 是平面PMN 的一个法向量，则00n PM n PN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩.即得202220x z x y z -=⎧⎨+-=⎩，令1z =，得2x =，1y =-，()2,1,1n =- ，()0,3,1PQ =- ，所以点Q 到平面PMN的距离3n PQ d n ⋅== ．四、解答题17．已知Rt ABC 的顶点(8,5)A ，直角顶点为(3,8)B ，顶点C 在y 轴上；(1)求顶点C 的坐标；(2)求Rt ABC 外接圆的方程．【正确答案】(1)(0,3)(2)22(4)(4)17x y -+-=【分析】（1）设点C 坐标，然后根据AB BC ⊥列方程，解方程即可得到点C 坐标；（2）根据直角三角形外接圆的特点，得到圆心坐标和半径，然后写方程即可.【详解】（1）设点()0,C m ，由题意：1AB BC k k ⋅=-，853385AB k -==--，所以85033BC m k -==-，解得3m =，所以点()0,3C .（2）因为Rt ABC △的斜边AC 的中点为圆心，所以圆心的坐标为()4,4，r =所以圆心的方程为()()224417x y -+-=.18．已知：双曲线:C 221169x y -=.（1）求双曲线C 的焦点坐标、顶点坐标、离心率；（2）若一条双曲线与已知双曲线C 有相同的渐近线，且经过点3)A -，求该双曲线的方程.【正确答案】(1)焦点()5,0±，顶点()4,0±，离心率54e =；(2)224194y x -=【分析】（1）由双曲线:C 221169x y -=可得：4,3a b ==，从而求得：5c =，问题得解．（2）设所求双曲线的方程为：22169x y -=λ，将()3A -代入即可求得λ，问题得解．【详解】 双曲线:C 221169x y -=，所以4,3a b ==，∴5c ==，∴双曲线C 的焦点坐标()5,0-，()5,0，顶点坐标()4,0-，()4,0，离心率54c e a ==．（2）设所求双曲线的方程为：22169x y -=λ，将()3A -代入上式得：(()223169λ--=，解得：14λ=-∴所求双曲线的方程为：224194y x -=．（1）主要考查了双曲线的简单几何性质，属于基础题．（2）主要考查了共渐近线的双曲线方程的特征-若双曲线方程为：22221x y a b-=()0,0a b >>则与它共共渐近线的双曲线方程可设为：2222x y a bλ-=，属于基础题．19．已知正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱11,D D B B 的中点.（1）求证；1,,,A E C F 四点共面；（2）求二面角11A EB C --的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出1 A E ，FC 坐标得1A E FC =uuu r uu u r ，从而得四边形1A ECF 为平行四边形即可证明；（2）分别求出平面11A EB 与平面1EB C 的法向量m 和n ，利用向量法求解二面角的公式cos ,m n m n m n⋅<>= 即可求解.【详解】解：如图建立空间直角坐标系D xyz -，设正方体的边长为2，（1）因为()10,2,2A ，()0,0,1E ，()2,0,0C ，()2,2,1F ，所以()10,2,1A E =-- ，()0,2,1FC =-- ，所以1A E FC =uuu r uu u r ，所以1//A E FC ，且1A E FC =，所以四边形1A ECF 为平行四边形，所以1,,,A E C F 四点共面；（2）()12,2,2B ，设平面11A EB 的法向量分别为(),,m x y z = ，则11100m A E m A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x --=⎧⎨=⎩，取1y =得()0,1,2m =- ，同理可得，平面1EB C 的法向量()1,2,2n =- ，所以cos ,5m n m n m n⋅<>==- ，由图可知，二面角为钝角，所以二面角11A EB C --的余弦值为.20．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB DC ，2PA AD DC AB ===，点E 在棱PC上，BE 平面PAD ．(1)证明：BE PD ⊥；(2)若90PDC ∠= ，求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值．【正确答案】(1)证明见解析(2)3【分析】（1）过E 作DC 的平行线交PD 于点F ，结合线面平行的性质得BE AF ∥，可得E ，F 分别为PC ，PA 的中点，结合AP AD =得AF PD ⊥，又BE AF ∥即可证得BE PD ⊥；（2）由已知条件证得AB ⊥面PAD ，得AB AD ⊥．建空间直角坐标系，求出面PBD 的法向量，然后利用向量夹角公式求得结果.【详解】（1）过E 作DC 的平行线交PD 于点F ，连接AF ，又AB DC ，则EF AB ∥，则,,,B E F A 四点共面，∵BE 面PAD ，BE ⊂面BEFA ，面BEFA ⋂面PAD AF =，∴BE AF ∥，故BEFA 为平行四边形，从而12EF AB DC ==，∴E ，F 分别为PC ，PA 的中点，又AP AD =，∴AF PD ⊥，又BE AF ∥，∴BE PD ⊥．（2）因为DC PD ⊥，AB DC ，所以AB PD ⊥，由PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，得PA AB ⊥，又PA PD P = ，,PA PD ⊂面PAD ，所以AB ⊥面PAD ，又AD ⊂面PAD ，所以AB AD ⊥．所以，以A 为原点，,,AB AD AP 为,,x y z 轴建空间直角坐标系，设1AB =，则有()()()()()()0,0,0,1,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2,1,1,1A B C D P E ．所以()1,2,0BD =- ，()1,0,2BP =- ，设面PBD 的法向量为(),,n x y z =r ，则2020n BD x y n BP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令2x =，所以()2,1,1n = ．又有()0,1,1BE = ，记α为BE 与平面PBD 所成角，则sin cos ,BE n BE n BE nα⋅==== 所以BE 与平面PBD21．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，且点(2,1)A 在双曲线C 上.(1)求双曲线C 的方程；(2)若点M ，N 在双曲线C 上，且AM AN ⊥，直线MN 不与y 轴平行，证明：直线MN 的斜率k 为定值.【正确答案】(1)22133y x -=(2)直线MN 的斜率k 为定值12-【分析】(1)根据离心率公式确定c =，再根据双曲线经过点(2,1)A 即可求解；(2)利用韦达定理用坐标表示出0AM AN ⋅= ,进而可求解.【详解】（1）由题可得离心率c a=c =，又因为222c a b =+，所以22a b =，所以双曲线方程为22221x y a a-=，又因为双曲线过点(2,1)A ，所以22411a a-=，解得23a =，所以双曲线方程为22133y x -=.（2）设直线MN 的方程为()()1122,,,,y kx m M x y N x y =+，联立22133y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()2221230k x kmx m ----=，则210k -≠得21k ≠，()()2222Δ44130k m k m =+-+>，得2233m k >-，212122223,11km m x x x x k k --+==--，()21212222222,11k m m y y k x x m m k k +=++=+=--()()()222212121212231m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=-，因为AM AN ⊥，所以0AM AN ⋅= ，所以1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=，即121212122()4()10x x x x y y y y -+++-++=，所以222222234324101111m km m k m k k k k -----++++=----，所以21240km k m ---=即()()12210k m k --+=，得120k m --=或210k +=，若120k m --=，则直线MN 的方程为12y kx k =+-，即1(2)y k x -=-过点(2,1)A ，不符合题意，若210k +=，则12k =-，满足AM AN ⊥，综上直线MN 的斜率k 为定值12-.22．已知抛物线C ：()220y px p =>，点(2,A 在抛物线上.(1)求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；(2)若直线1l ：()20x my m =+≠交抛物线C 于M ､N 两点，交直线2l ：2x =-于点P ，记直线AM ，AP ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求证：1k ，2k ，3k 成等差数列.【正确答案】(1)焦点坐标为()1,0，准线方程为=1x -(2)证明见解析【分析】（1）将点(2,A 的坐标代入抛物线方程中求出p ，从而可求出焦点坐标和准线方程；（2）两直线方程联立求出点P 的坐标，设()11,M x y ，()22,N x y ，再将直线1l 方程代入抛物线方程中，消去x ，利用根与系数的关系，再结合斜率公式化简证明【详解】（1）将(2,A 代入()220y px p =>，得2p =，所以焦点坐标为()1,0，准线方程为=1x -.（2）由22x my x =+⎧⎨=-⎩得.42,P m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭设()11,M x y ，()22,N x y ，由242y x x my ⎧=⎨=+⎩得：2480y my --=，则121248y y m y y +=⎧⎨=-⎩，所以((12211213121222y y y y y y k k x x my y -+---+=--)12121222y y y y my y m-+==又241222m k m --==+--，所以222k m =+，所以1322k k k +=，即1k ，2k ，3k 成等差数列.。
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2016-2017学年度上学期12月考试卷高二数学（ 文）一、单项选择题（每小题5分，共60分）1、若b a >，0>>d c ，则下列不等式成立的是（ ） A ．c b d a +>+ B ．c b d a ->- C ．bd ac > D ．db c a < 2、命题“()00x ∃∈+∞，，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A ．()0000ln 1x x x ∃∈+∞≠-，，B ．()0000ln 1x x x ∃∉+∞=-，， C ．()0ln 1x x x ∀∈+∞≠-，， D ．()0ln 1x x x ∀∉+∞=-，，3、在R 上定义运算⊙：a ⊙b a ab b ++=2，则满足x ⊙0)2(<-x 的实数x 的取值范围为（ ）A.)2,0( B ．)1,2(- C.),1()2,(+∞⋃--∞ D.)2,1(-4、已知变量,x y 满足430401x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z x y =-的取值范围是（ ）A ．[]2,1--B ．[]2,0-C ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5、“0x <”是“()ln 10x +<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6、方程22141x y t t +=--的图象表示曲线C ，则以下命题中 甲：曲线C 为椭圆，则14t <<；乙：若曲线C 为双曲线，则41t t ><或； 丙：曲线C 不可能是圆；丁：曲线C 表示椭圆，且长轴在x 轴上，则512t <<． 正确个数为（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个7、曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线方程为（ ）A ．22y x =--B ．22y x =+C ．22y x =-+D ．22y x =-8、设0,0.a b >>3a与3b的等比中项，则11a b+的最小值为 （ ） A ．8 B ．4 C ．1 D ．149、已知点F 是抛物线x y 42=的焦点，N M 、是该抛物线上两点，||||6MF NF +=，则MN 中点的横坐标为（ ） A ．23B ．2C ．25 D ．3 10、给出下列两个命题，命题:p “3x >”是“5x >”的充分不必要条件；命题q ：函数)2log y x =是奇函数，则下列命题是真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∨⌝C ．p q ∨D ．p q ∧⌝11、点(),0F c 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，点P 为双曲线左支上一点，线段PF与圆22239c b x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点Q ，且2PQ QF =，则双曲线的离心率是（ ）A ．212、已知定义在实数集R 的函数()f x 满足f （1）=4,且()f x 导函数()3f x '<，则不等式(ln )3ln 1f x x >+的解集为（ ）A ．(1,)+∞B ．(,)e +∞C ．(0,1)D ．(0,)e 二、填空题（每小题5分，共20分）13、若不等式220x ax b ++<的解集为{|32}x x -<<，则a = .14、若幂函数f （x ）的图象经过点A ，设它在A 点处的切线为l ，则过点A 与l 垂直的直线方程为________．15、若曲线x x x f ln 21)(2+-=在其定义域内的一个子区间)2,2(+-k k 内不是单调函数，则实数k 的取值范围是 .16、如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线AB 交抛物线于A 、B ，交抛物线的准线于点C ，若12BF BC=，则AB = ． 三、解答题（17-21每小题12分，22题10分，共70分）17、已知0m >，:(2)(6)0p x x +-≤，:22q m x m -≤≤+． （1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；（2）若5m =，“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数x 的取值范围．18、某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C 三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x,y 表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.（Ⅰ）用x,y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.19、已知三点A(2，8)，B(11,y x )，C(22,y x )在抛物线px y 22=上，△ABC 的重心与此抛物线的焦点F 重合. (1)写出该抛物线的方程和焦点坐标； (2)求线段BC 中点M 的坐标； (3)求BC 所在直线方程.20、已知椭圆2222:1x y C a b +=()0a b >>，经过椭圆C 上一点P 的直线:42l y x =-+与椭圆C 有且只有一个公共点，且点P 横坐标为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若AB 是椭圆的一条动弦，且52AB =，O 为坐标原点，求AOB ∆面积的最大值．21、给出定义在),0(+∞上的两个函数.)(,ln )(2x a x x g x a x x f -=-= （1）若)(x f 在1=x 处取最值．求a 的值；（2）若函数)()()(2x g x f x h +=在区间 (0,1]上单调递减，求实数a 的取值范围； （3）在（1）问下，试确定函数6)()()(--=x g x f x m 的零点个数，并说明理由．22、已知函数()1f x x m x m=++-,其中0m >． （1）当1m =时,解不等式()4f x ≤； （2）若a R ∈,且0a ≠,证明:()14f a f a ⎛⎫-+≥⎪⎝⎭．高二数学（文）12月月考参考答案一、单项选择1-5:BCBDB 6-10: BCBBC 11-12: CD 二、填空题13、【答案】2 14、【答案】15、【答案】32<<k 16、【答案】163三、解答题17、【答案】（1）[4,)+∞；（2）[3,2)(6,7]--．试题解析：（1）:26p x -≤≤，∵p 是q 的充分条件，∴[2,6]-是[2,2]m m -+的子集，022426m m m m >⎧⎪-≤-⇒≥⎨⎪+≥⎩，∴m 的取值范围是[4,)+∞． （2）由题意可知,p q 一真一假，当5m =时，:37q x -≤≤，p 真q 假时，由2637x x x x -≤≤⎧⇒∈∅⎨<->⎩或；p 假q 真时，由263237x x x x <->⎧⇒-≤<-⎨-≤≤⎩或或67x <≤．所以实数x 的取值范围是[3,2)(6,7]--．18、【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元试题解析：（Ⅰ）解：由已知y x ,满足的数学关系式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+003001033605820054y x y x y x y x ，该二元一次不等式组所表示的区域为图1中的阴影部分.(1)（Ⅱ）解：设利润为z 万元，则目标函数y x z 32+=，这是斜率为32-，随z 变化的一族平行直线.3z为直线在y 轴上的截距，当3z取最大值时，z 的值最大.又因为y x ,满足约束条件，所以由图2可知，当直线y x z 32+=经过可行域中的点M 时，截距3z的值最大，即z 的值最大.解方程组⎩⎨⎧=+=+30010320054y x y x 得点M 的坐标为)24,20(M ，所以112243202max =⨯+⨯=z . 答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.(2)19、【答案】(1) 抛物线的方程x y 322=，焦点坐标F(8,0)(2) M(11,-4) （３）4x+y-40=0 【解析】(1) 易得抛物线的方程x y322=，焦点坐标F(8,0)(2)由重心坐标公式32821++=x x ，38021++=y y 得M(11,-4)(3)⎪⎩⎪⎨⎧==2221213232x y x y 两式作差)(32))((212121x x y y y y -=-+，k BC =-44x+y-40=020、【答案】（1）221123x y +=；（2）3． 试题解析：（1）∵P 在椭圆上，故22421a b +=，同时联立222222b x a y a b y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得222222()42b x a x a b +-+=，化简得2222222139()0822b a x a x a a b +-+-=，由0∆=，可得212a =，23b =，故椭圆22:1123x y C +=；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 方程为：y kx b =+，联立22412x y y kx b⎧+=⎨=+⎩得()()222418430k x kbx b +++-=，故122814kb x x k +=-+，21224(3)14b x x k-=+， 由()()()()22222212112251144AB k x x k x x x x ⎡⎤==+-=++-⎣⎦，得2222225(14)3(14)64(1)k b k k +=+-+， 故原点O 到直线AB的距离d =S =令22141k u k+=+，则22262519262596()()9102425102425S u u u =--=--+，又∵[)22214341,411k u k k+==-∈++，当9625u =时，2max 9S =， 当斜率不存在时，AOB ∆，综合上述可得AOB ∆面积的最大值为3． 21、【答案】（1）2a =（2）a ≥2（3）两个零点．试题解析：（1）()2af x x x =-′由已知，(1)0f =′即:20a -=, 解得：2a =经检验2a =满足题意 所以2a = （2）()2222()()()ln 2ln h x f x g x x a x x ax x a x x =+=-+-=-+1()41h x x a x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭′要使得()2()2ln h x x a x x =-+在区间(]0,1上单调递减， 则()0h x ′≤，即1410x a x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤在区间(]0,1上恒成立 因为(]0,1x ∈，所以241x a x +≥ 设函数()241x F x x =+，则()max a F x ≥ ()2244111x F x x x x ==+⎛⎫+⎪⎝⎭因为(]0,1x ∈，所以[)11,x ∈+∞，所以2min 112x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()max 2F x =，所以a ≥2（3）函数()()()6m x f x g x =--有两个零点．因为()22ln 6m x x x x =--+所以())()1222221x m x x x x=--==′当()1,0∈x 时，()0<'x m ，当()+∞∈,1x 时，()0>'x m所以()()min 140m x m ==-<，3241-e)(1+e+2e )(=0e m e -<（），8424812(21))0e e e m e e -++-=>（4442()1)2(7)0m e e e e =-+->（故由零点存在定理可知：函数()x m 在4(,1)e -存在一个零点，函数()x m 在4(1,)e 存在一个零点， 所以函数()()()6m x f x g x =--有两个零点．22、【答案】（1）[]2,2-；（2）证明见解析．试题解析：（1）当1m =时,由()11f x x x =++-,由()4f x ≤得,1114,114x x x x <-⎧++-≤⇔⎨--+≤⎩,或11114x x x -≤≤⎧⎨+-+≤⎩,或121114x x x x >⎧⇔-≤<-⎨++-≤⎩或1x x -≤≤或[]12,2,2x x <≤∴∈-．（2）证明:()11111f a f a m a m a m a a m ⎛⎫-+=-++--+++-⎪⎝⎭, ()1121411112a m m a a a f a f a a a m a m a ⎫-+++≥+≥⎪⎪⎛⎫⇒-+≥⎬ ⎪⎝⎭⎪--+-≥+≥⎪⎭．。