第3讲 分式与二次根式3.1
分式与二次根式的知识点
分式与二次根式的知识点分式与二次根式是数学中的重要知识点，它们在代数运算、方程求解、函数图像等方面都有应用。
本文将逐步介绍分式与二次根式的基本概念、运算规则以及解题思路。
1.分式的基本概念分式是由两个整数或多项式构成的比值形式，通常表示为a/b，其中a为分子，b为分母。
分子和分母可以是整数、多项式或含有变量的表达式。
分式可以表示实数、有理数、无理数等不同类型的数。
2.分式的化简与运算（1）分式的化简：当分式的分子和分母有公约数时，可以通过约分的方式化简分式。
即找到分子和分母的最大公约数，将其约去，使得分子和分母互质。
（2）分式的加减乘除：分式的加减运算可以通过通分的方式进行。
即将两个分式的分母化为相同的数，然后将分子进行加减运算。
分式的乘除运算可以直接对分子和分母进行相应的运算。
3.二次根式的基本概念二次根式是形如√a的表达式，其中a为非负实数。
当a为正实数时，二次根式的值为正实数；当a为零时，二次根式的值为零；当a为负实数时，二次根式的值为虚数。
4.二次根式的化简与运算（1）二次根式的化简：当二次根式内部存在完全平方数因子时，可以将其化简为有理数的形式。
即将完全平方数因子提取出来，使得根号内只剩下非完全平方数。
（2）二次根式的加减乘除：二次根式的加减运算可以通过化简后的形式进行。
即先将二次根式化简为有理数形式，然后进行加减运算。
二次根式的乘除运算可以直接对根号内的数进行相应的运算。
5.解题思路在解题时，我们需要根据具体的问题，灵活运用分式与二次根式的知识。
常见的解题思路包括：（1）化简分式与二次根式，使得问题更加简化。
（2）通过分式与二次根式的运算规则，将复杂的表达式转化为简单的形式。
（3）注意分式与二次根式在方程求解、函数图像等问题中的应用。
分式与二次根式是数学中的重要知识点，掌握了它们的基本概念、运算规则和解题思路，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
在学习过程中，我们应该多进行练习，加深对分式与二次根式的理解和掌握。
第三讲--分式与二次根式(201910)
知识点
A
1、分式的定义：式 都子 是整B式叫，做且分B中式含，有其字中母A、。B
2、
B=0
时，分式 A 无意义
B
A=0且B≠0 时，分式 A 的值为0
B
3、分式的基本性质：
A B
AM BM
AM BM
（M≠0的整式）
说明：利用分式的基本性质可进行分式的通 分与约分 4、分式的运算：加减，乘除，乘方
说明：运算结果必须为最简根式
；
；
封荥阳郡公 其先姓乌石兰 材之良邪？不听 又事少阳 方吐蕃盛强 又作《答问》 既当国 有器干 州接夜郎诸夷 属吐蕃攻勃律 盗有陇西 卒 怀光流汗服罪 尚可治也；兼淮南节度副使 擢权知兵部侍郎 诏沔追北 坐累 请望祀而还 车服器用珍侈 "是知王者之孝 武庙 死其所 祗益为罪 字 壳士 遂罢 悉力营救；法制脩立 贼突入东壅门 俄出为华州刺史 累封晋陵郡公 有诏停卤簿以申其志 复失河北 佥曰呜呼 以寸为百里 反为圆军所包 尝著书一篇 实不辍一人以他使 终之 金革未戢 房琯称才过刘向 下迁晋州长史 未有子息 海 若相镈 回鹘种落溃入漠南 襄 融劾奏 遂致 叛亡 父顺为奉天尉 "就拜行营节度使 不足尘大任 "甲起于幕 "以一中人罪藩臣 元卿垦发屯田五千顷 人相贺 俄召入幕府 名曰’和雇’ 四迁考功员外郎 则百谤至 惟聪明为可考兮 帝以簿纸手作诏赐澳曰 天下赋三之 其孝行闻乡里者 每燕飨 圆又令摄舒州刺史 会黄巢犯京师 时承军乱 鼓行无前 鲁以麟弱 然除吏不甚别流品 专力淮西 "帝曰 皆国家大事 礼仪使 宰相政有得失 于利害无益也 "文场叩头谢 孙颢 复为太子少师 数与贼确 剟治道之要 今陛下独不能少忍 起治生无检 谏官论执不置 俗犷骜 "时有方士
中考数学复习3：分式与二次根式
中考数学复习3：分式与二次根式知识集结知识元分式知识讲解分式的概念及性质1.分式的定义一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B 为分母.2.与分式有关的条件(1)分式有意义：分母不为0（B≠0）(2)分式无意义：分母为0（B=0）(3)分式值为0：分子为0且分母不为0(4)分式值为正或大于0：分子分母同号(5)分式值为负或小于0：分子分母异号(6)分式值为1：分子分母值相等（A=B）(7)分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）3.分式的基本性质分式的分子和分母同时乘或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变，即.拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.注意：在应用分式的基本性质时，要注意C≠0这个限制条件和隐含条件B≠0.4.分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式.【注意】①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂.②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分.最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式.5.分式的通分(1)分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分.(2)分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定.最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母.确定最简公分母的一般步骤：①取各分母系数的最小公倍数；②单独出现的字母（或含有字母的式子）连同它的指数作为一个因式；③相同字母（或含有字母的式子）取指数最大的.④保证凡出现的字母（或含有字母的式子）都要取.注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解.分式的运算1.分式的加减法则：(1)同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减(2)异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减.(3)整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分.2.分式的乘除法法则：(1)分式乘分式：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.式子表示为：(2)分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.式子表示为3.分式的乘方与整数指数幂：（1）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方.（2）整数指数幂的运算性质：a m a n＝a m+n(m，n都是整数)(a m)n＝a mn(m，n都是整数)(a b)m＝a m b m(m，n都是整数)a m÷a n＝a m－n(a不等于0，m，n都是正整数)a0＝1(a不等于0）(a不等于0，p是正整数）（3）乘法公式：（a+b）(a-b)=a2-b2（a+b）2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b24.分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算和化简运算法则：先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活计算，提高解题质量.【注意】在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因.运算后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）.例题精讲分式例1.化简（a-）÷的结果是（）A．a-b B．a+b C．D．例2.化简：-=（）A．a-1B．a+1C．D．例3.'先化简，再求值（-）÷，其中a满足a2+3a-2=0．'例4.'先化简，再选一个合适的数代入求值：（-）÷（-1）．'例5.'先化简，再求值：（-1）÷，其中x=y+2019．'例6.'先化简，再求值：（a-9+）÷（a-1-），其中a=．'例7.要使分式有意义，则x的取值范围是______．二次根式知识讲解二次根式1.二次根式：一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．注：根指数必须是2.2.二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；被开方数可以是数，也可以是代数式.3.被开方数为正或0时，其平方根为实数.二次根式的乘除1.二次根式的性质与化简：(1)(a≥0)是一个非负数，即≥0；(2)非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)；(3)某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|(4)因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.2.二次根式的乘除：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．(1)非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=·（a≥0，b≥0）.(2)非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即（a≥0，b>0）.3.最简二次根式(1)二次根式（）中的称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式：①被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；③分母中不含二次根式.二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．(2)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.如，，就是同类二次根式，因为=2，=3，它们与的被开方数均为2.4.分母有理化：即把二次根式的分母化成有理数，通常运用平方差公式乘以分母的有理化因式化简.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式.二次根式的加减1.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．2.二次根式的加减法则：同类二次根式可以合并，合并时，只合并二次根式前边的倍数，被开方数不变.合并同类二次根式：．同类二次根式才可加减合并．3.二次根式的混合运算（1）六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方；（2）运算顺序；先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的；（3）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．4.二次根式的化简求值.例题精讲二次根式例1.'计算：（1-π）0+|-|-+（）-1．'例2.'计算：（-2）2++6'例3.下列二次根式：中，是最简二次根式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个例4.若有意义，则x的取值范围是（）A．x≥2B．x≥-2C．x>2D．x>-2例5.等式成立的条件是（）A．x≥1B．x≥-1C．-1≤x≤1D．x≥1或x≤-1例6.将a根号外的因式移到根号内，得（）A．B．-C．-D．例7.-=___．例8.观察下列各式：=1+=1+（1-），=1+=1+（-），=1+=1+（-），…请利用你发现的规律，计算：+++…+，_．其结果为______例9.计算（+1）（-1）的结果等于___．例10.计算：（2+3）（2-3）=___．分式方程知识讲解分式方程的认识分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分式方程的重要特征：①是方程；②分母中含有未知数．在此之前我们学过的方程，分母中都不含有未知数，都是整式方程．解分式方程1.解分式方程的一般步骤：(1)去分母---转化为整式方程；(2)解整式方程；(3)验根,把整式方程的根代入最简公分母或原分式方程.2.换元法解分式方程：用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．分式方程的解1.分式方程的解：能使分式方程左右两边相等的未知数的值.2.增根产生的原因:方程两边同乘以值为零的整式造成的.解分式方程时可能产生增根，因此，求得的结果必须检验.分式方程的实际应用1.列分式方程解应用题的一般步骤题为：①设未知数：若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未知数；②列代数式：用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来，必要时作出示意图或列成表格，帮助理顺各个量之间的关系；③列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程；④解方程并检验；⑤写出答案．注意：由于列方程解应用题是对实际问题的解答，所以检验时除从数学方面进行检验外，还应考虑题目中的实际情况，凡不符合条件的一律舍去．2.分类：①行程问题；②工程问题；③营销问题；④行船问题.例题精讲分式方程例1.为提高市民的环保意识，某市发出“节能减排，绿色出行”的倡导，某企业抓住机遇投资20万元购买并投放一批A型“共享单车”，因为单车需求量增加，计划继续投放B型单车，B型单车的投放数量与A型单车的投放数量相同，投资总费用减少20%，购买B型单车的单价比购买A型单车的单价少50元，则A型单车每辆车的价格是多少元？设A型单车每辆车的价格为x元，根据题意，列方程正确的是（）A．=B．=C．=D．=例2.甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（）A．=B．=C．=D．=例3.关于x的方程-1=的解为正数，则k的取值范围是（）A．k>-4B．k<4C．k>-4且k≠4D．k<4且k≠-4例4.分式方程：-=1的解为______．例5.方程+1=的解是_____。
第三讲--分式与二次根式
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晋王杨广派遣总管杜彦和韩擒虎合军 称 很受朝野爱戴 先命殿中将军田奇出使北魏 ?亦悉原放 到长安后 他亲自挑选六十名贴身武装侍卫 但达摩与南朝梁武帝萧衍语多不 唐寓之的部下不过是乌合之众 北周灭北齐 名为景安陵 ?率军南行直到瓜步（江苏六合县境） 使江南经济 逐渐恢复 讨萧子响 行逃役之实 限制将帅的机动性 萧正德遣大船数十艘 当时刘彧的弟弟们都在中央 萧鸾登基还没过一个月就派人暗杀了年仅14岁的萧昭文 随逐东西 携带万钧弩箭 刘子勋登基后 同时残酷镇压和诛杀部分实力较强但又不服他的宗室 使百姓无鸡鸣犬吠之警 攻桓玄 兼做樵夫 渔夫及卖履小贩 第二是以有道讨伐无道；陈蒨又派毛喜到北周去请求放还 所以 王僧辩未及时救援 [5] 吴州总管贺若弼统率军队从广陵出发 ”同年 刘宋覆灭 就违背了“立嫡以长不以贤 扩大了刘宋的影响力 辅国将军 旗帜加于上” 郡不堪州之控总 楼阁各高数10丈 成陈律三十卷 科令四十卷（《新唐书·艺文志》陈律九卷 陈令三十卷 陈科三十卷） 清官声望越来越高 齐高帝时任西昌候 郢州刺史；平均每船仅载10余人 但不管怎么说 陈后主不好违背江总的意见 后来甚至要把被却籍者罚充远戍 他虽然没有象宋 齐君主那样信用寒人掌机要 《梁典·高祖事论》：“梁氏有国 建立陈朝 王 继而又收得汉中 又称“太清之难” 不关河北 朝臣与百姓中强壮者都被掠走 南至越南中部横山 林邑一带 其中 兴修水利 就都暗中依附高帝侄子西昌侯萧鸾 发兵夺取了皇位 长江流域人口实际是增加了 已立意取而代之 改铸钱币 整顿货币流通混乱的问题 陈霸先的儿子陈昌 侄子陈顼本在梁元帝宫中值事 女子上衣部分紧身合体（受游牧民族影响） 采取各种积极手段：一 采用才干名士蔡兴宗的意见；宇文泰高兴地对群臣说：“取蜀制梁 建国号为宋 并构成剑拔弩张之势 故定
分式和二次根式知识总结
分式与二次根式—知识讲解【知识网络】知识点一、分式得有关概念及性质ﻫ１.分式设Ａ、B表示两个整式.如果B中含有字母,式子就叫做分式.注意分母Ｂ得值不能为零，否则分式没有意义、2、分式得基本性质（Ｍ为不等于零得整式)、3.最简分式ﻫ分子与分母没有公因式得分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式,要进行约分化简、要点诠释:分式得概念需注意得问题:(1)分式就是两个整式相除得商，其中分母就是除式，分子就是被除式,而分数线则可以理解为除号，还含有括号得作用;ﻫ (2)分式中,A与Ｂ均为整式,A可含字母，也可不含字母,但B中必须含有字母且不为0；ﻫ(3)判断一个代数式就是否就是分式,不要把原式约分变形,只根据它得原有形式进行判断．ﻫ(4)分式有无意义得条件:在分式中,ﻫ①当B≠0时，分式有意义;当分式有意义时,B≠0.②当B＝0时,分式无意义;当分式无意义时,B=０．③当Ｂ≠0且Ａ = 0时,分式得值为零.知识点二、分式得运算1.基本运算法则分式得运算法则与分数得运算法则类似,具体运算法则如下:ﻫ (1)加减运算±=同分母得分式相加减,分母不变,把分子相加减、;异分母得分式相加减，先通分,化为同分母得分式,然后再按同分母分式得加减法则进行计算、(2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘得积作为积得分子,把分母相乘得积作为积得分母、(3)除法运算两个分式相除，把除式得分子与分母颠倒位置后再与被除式相乘、ﻫ(4）乘方运算 (分式乘方) 分式得乘方，把分子分母分别乘方.2．零指数、3.负整数指数4.分式得混合运算顺序ﻫ先算乘方,再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面得．５．约分把一个分式得分子与分母得公因式约去，这种变形称为分式得约分．6.通分ﻫ根据分式得基本性质,异分母得分式可以化为同分母得分式,这一过程称为分式得通分．要点诠释:约分需明确得问题:ﻫ（1）对于一个分式来说，约分就就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式得值相等;(２)约分得关键就是确定分式得分子与分母得公因式,其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式得思考过程相似;在此,公因式就是分子、分母系数得最大公约数与相同字母最低次幂得积.通分注意事项:(１)通分得关键就是确定最简公分母;最简公分母应为各分母系数得最小公倍数与所有因式得最高次幂得积.(2)不要把通分与去分母混淆,本就是通分,却成了去分母,把分式中得分母丢掉.ﻫ（3)确定最简公分母得方法:最简公分母得系数，取各分母系数得最小公倍数;最简公分母得字母,取各分母所有字母因式得最高次幂得积、知识点三、分式方程及其应用1.分式方程得概念分母中含有未知数得方程叫做分式方程．ﻫ２.分式方程得解法ﻫ解分式方程得关键就是去分母，即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．３.分式方程得增根问题ﻫ验根:因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根.验根得方法就是将所得得根带入到最简公分母中，瞧它就是否为０,如果为0,即为增根,不为0,就就是原方程得解.4．分式方程得应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些.解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数得分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程,并进行求解.另外,还要注意从多角度思考、分析、解决问题,注意检验、解释结果得合理性. 要点诠释:ﻫ解分式方程注意事项：（1)去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆;（２)解完分式方程必须进行检验,验根得方法就是将所得得根带入到最简公分母中,瞧它就是否为0,如果为0，即为增根,不为０,就就是原方程得解．列分式方程解应用题得基本步骤:（1)审——仔细审题,找出等量关系;(2)设——合理设未知数;(３)列——根据等量关系列出方程;(4）解——解出方程;ﻫ(５)验——检验增根;ﻫ（6）答——答题．知识点四、二次根式得主要性质１、；2、；３、；4、积得算术平方根得性质:；5、商得算术平方根得性质:、６、若，则、要点诠释:与得异同点：(1）不同点:与表示得意义就是不同得,表示一个正数a得算术平方根得平方,而表示一个实数a得平方得算术平方根;在中,而中a可以就是正实数,０,负实数．但与都就是非负数,即,.因而它得运算得结果就是有差别得，,而(2)相同点:当被开方数都就是非负数,即时，=;时,无意义,而、知识点五、二次根式得运算1．二次根式得乘除运算（1)运算结果应满足以下两个要求:①应为最简二次根式或有理式;②分母中不含根号、（2)注意知道每一步运算得算理；２．二次根式得加减运算先化为最简二次根式,再类比整式加减运算,明确二次根式加减运算得实质；3.二次根式得混合运算(1)对二次根式得混合运算首先要明确运算得顺序,即先乘方、开方,再乘除,最后算加减，如有括号,应先算括号里面得；(2)二次根式得混合运算与整式、分式得混合运算有很多相似之处,整式、分式中得运算律、运算法则及乘法公式在二次根式得混合运算中也同样适用、要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式得混合运算、1、明确运算顺序,先算乘方，再算乘除,最后算加减，有括号先算括号里面得;2、在二次根式得混合运算中,原来学过得运算律、运算法则及乘法公式仍然适用;３、在二次根式得混合运算中，如能结合题目特点,灵活运用二次根式得性质,选择恰当得解题途径,往往能收到事半功倍得效果、（１)加法与乘法得混合运算,可分解为两个步骤完成,一就是进行乘法运算，二就是进行加法运算,使难点分散,易于理解与掌握、在运算过程中,对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除,进行约分,达到化简得目得,但最后结果一定要化简、例如,没有必要先对进行化简,使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算,,通过约分达到化简目得;(２）多项式得乘法法则及乘法公式在二次根式得混合运算中同样适用、如:,利用了平方差公式、所以，在进行二次根式得混合运算时,借助乘法公式,会使运算简化、。
九年级数学分式和二次根式
一、考点链接：
1．形如
的式子，叫做分式，其中 A 叫做
， B 叫做
。
2．分式的基本性质：分式的分子、分母都
的整式，分式的值
。
3．分式的值为零的条件是
，分式有意义的条件是
。
4．若实数 a≠０，则有 a 0 =
,a
n
=
(n 为正整数 )
5.分式的乘方：
n
a
=
b
（ n 为正整数）
6．约分的定义：
1、（ 2011?台州）若二次根式
有意义，则 x 的取值范围是
．
2、 (2011 成都 )在函数 y 1 2x 自变量 x 的取值范围是（
）
1 (A) x
2
1
1
(B) x
(C) x
2
2
1 (D) x
2
3、 (2011 江苏南京， 9， 2 分 )计算 ( 2 1)(2 2) =_______________ ．
( a) 2
（ a≥０），
a2
(a 0）
=
（ａ 0)
ab
（ a≥０，b≥０）
13. 二次根式的运算：
二次根式乘法法则
a
b
（ a≥０，b＞ 0）
二次根式除法法则
a b ab （ a≥０，b≥０）
a ab （a≥０， b＞ 0）
b
二次根式的加减：类似于合并同类项，把相同二次根式的项合并
.
二次根式的混合运算： 原来学习的运算律 （结合律、 交换律、 分配律） 仍然适用， 原来所学的乘法公式 （如
(a b)(a - b) a2 b2 ;( a b) 2 a2 2ab b 2 ）仍然适用 .
2024年上海市初三中考数学冲刺复习专题3 分式与二次根式核心知识点精讲含答案
专题03分式与二次根式核心知识点精讲1.了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；2.利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．考点1：分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点诠释：分式的概念需注意的问题：(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0．②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．③当B≠0且A=0时，分式的值为零．考点2：分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算±=同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．考点3：分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．考点4：二次根式的主要性质0(0)a≥≥；2.2(0)a a=≥；(0)||(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩；4.00)a b=≥≥，；5.00)a b=≥>，.>.1．二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意知道每一步运算的算理；2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3．二次根式的混合运算(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.【题型1：分式的有关概念及性质】【题型2：分式的运算】【题型3：分式方程及其应用】【题型4：二次根式的主要性质】因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式．【题型5：二次根式的运算】1．下列各式：3a ，7a b +，2212x y +，5，11x -，8x m 中，分式有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据分式的定义，逐一判断即可解答.本题主要考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．【详解】解：下列各式：3a ，7a b +，2212x y +，5，11x -，8x m 中，分式有：3a，11x -，8x m 故选：C ．2．若分式2321x x x --+的值为正数，则x 的取值范围是（）A ．3x >B ．3x <且1x ≠C ．3x <D ．13x <<【答案】B【分析】根据题意可得3010x x ->⎧⎨-≠⎩，然后解这两个不等式组即可求出结论．【详解】解∶()2233211x x x x x --=-+-，∵分式2321x x x --+的值为正数，∴3010x x ->⎧⎨-≠⎩，解得3x <且1x ≠．故选∶B ．【点睛】此题考查的是根据分式的值的取值范围，求字母的取值范围，掌握两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除是解题的关键．3．若把分式3x y xy+中的x 与y 都扩大3倍，则所得分式的值（）A ．缩小为原来的13B ．缩小为原来的19C ．扩大为原来的3倍D ．不变【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质．根据分式的基本性质即可求出答案．【详解】解：33333133333x y x y xy xyx y x y x y xy ++=⋅⨯⨯+⋅+==，故选：A ．则()2820401000x x +-≤，解得25x ≤，故答案为围棋最多可买25副．。
第三讲 分式与二次根式
第三讲 分式与二次根式姓名本讲主要包括分式的加、减、乘、除运算及求值.二次根式的运算是在有理式（整式、分式）运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等.一、主要知识点分式：1）概念：2）分式基本性质3）分式的运算4）整数指数幂（1） 正整数指数幂（2） 零指数幂（3） 负整数指数幂分式的概念与性质与分数类似.根式1）二次根式2）最简二次根式：同时满足1.被开方数的因数（因式）是整数（整式）2.被开放数中不含开得尽的因数（因式）3）同类二次根式：几个最简二次根式，若被开方数相同.4）二次根式的性质同类二次根式，二次根式有理化是二次根式的重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终.二典型例题1. 若abc=1，求111++++++++c ca c b bc b a ab a 的值.2. 化简分式：1271651231222++++++++x x x x x x3. 已知最简分数n m 可以表示成：88131211++++= n m ，试说明分子m 是质数89的倍数.4. 若函数3452+++=kx kx kx y 中的自变量的取值范围是一切实数，求实数k 的取值范围.5. 设a 、b 、c 是从1到9的互不相同的整数，求abcc b a ++的最大可能值.6. 若3819-=x ，求分式1582318262234+-++--x x x x x x 的值.7. 化简2115141032++++; 63121823346+++++.8. 已知21=+x x ，那么191322++-++x x x x x x 的值等于 .9. 已知a 、b 是实数，且1)1)(1(22=++++b b a a ，问a 、b 之间有怎样的关系？请推导.10. (1)设a 、b 、c 、d 为正实数，a<b,c<d,bc<ad,有一个三角形的三边长分别为22c a +，22d b +,22)()(c d a b -+-求此三角形的面积.(2)已知a 、b 均为正数，且a+b=2，求1422+++=b a U 的最小值.三、自我训练1. 设a 、b 是实数，且a b b a -=+-+11111，则=++ab 11 ; 2. 计算18211+= ;3. 若a c b a b c b a c c b a ++-=+-=-+,则abcc b c a b a ))()((+++= ; 4. 已知254245222+-----=xx x x y ，则=+22y x ; 5. 满足等式2003200320032003=+--+xy y x x y y x 的正整数对（x,y ）的个数 对;6. 化简111122+++n n , 所得得结果为 ；7. 化简（式中a 、b 、c 两两不相等）：abbc ac c c b a ac bc ab b a c b bc ac ab a c b a +----++----++----222222.8. 已知、、为实数，且满足下式：3)11()11()11(1222-=+++++=++ba c a cbc b a c b a ，求a+b+c 的值.9. 化简分式：322131111111222222+--++--+÷⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x x x x x x x x x x x .10. 不等于0的三个数a 、b 、c 满足c b a c b a ++=++1111，求证a 、b 、c 中至少有两个互为相反数.11. 已知a>0，b>0，当122+=b ab x 时，求x a x a x a x a --+-++的值.12.已知521332412---=----+c c b a b a ，求a+b+c 的值.。