【志鸿全优设计】2013-2014学年七年级数学上册 第四章 3角例题与讲解 北师大版
北京四中2013-2014学年七年级数学上册 4.3 角(基础)知识讲解 (新版)新人教版
角（基础）知识讲解【学习目标】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；5. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算；6．了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题．【要点梳理】【高清课堂：角 397364 角的概念】要点一、角的概念1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图1 图2（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．要点二、角的比较与运算1.角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．3.角的和、差关系如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．4.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=12∠AOB．要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．要点三、余角和补角1.定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．2．性质：（1）等角的余角相等．（2）等角的补角相等．要点诠释：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．(2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。
人教版七年级数学上册《四章 图形认识初步 4.3 角》优质课教案_14
4.3.3余角和补角432180︒65︒46︒44︒25︒10︒《余角和补角》教案教学目标：1、通过现实情境，掌握余角和补角的概念；2、使学生能用简单的代数思想——方程思想来处理图形的数量关系；3、培养学生的识图能力、发展空间观念和知识运用能力，进一步感受学习数学的意义.教学重点：认识角的互余、互补关系．教学难点：方程思想来处理图形的数量关系．学法指导：通过学生动脑想，勤钻研，主动地学习，增加学生主动参与的机会，增加学生的参与意识，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法．教学过程：一.创设情境，引入新课.让学生观察意大利著名建筑比萨斜塔．比萨斜塔建于1173年，工程曾间断了两次很长的时间，历经约二百年才完工．设计为垂直建造，但是在工程开始后不久便由于地基不均匀和土层松软而倾斜．二.探究新知.1.探究互为余角的定义：教师活动：讲解．学生活动：观察图形，得出结果：∠1+∠2=90° 定义：如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角.简称互余. 其中一个角是另一个角的余角.2.探究互为补角的定义：教师活动：讲解．学生活动：观察图形，得出结果：∠3+∠4=180°． 定义：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角.简称互补. 其中一个角是另一个角的补角. 3.问题1.找朋友(朋友的条件：互余或互补).问题2.判断对错.小结1：互为余角、互为补角主要反映两个角之间的数量关系，与角的位置无关. 4.练习1.填表并思考问题：②一个锐角的补角与其余角之间有什么关系？小结2：1、锐角有余角，直角、钝角没有余角；锐角、直角、钝角都有补角.2、一个锐角的补角比它的余角大90°. 练习：(1)70°的余角是 ，补角是 ．(2)∠α(∠α<90°)的余角是 ，它的补角是 ．教师提醒：(如何表示一个角的余角和补角)锐角∠α的余角是(90°—∠α).∠α的补角是(180°—∠α).三.例题讲解.例1如图，点A 、O 、B 在同一条直线上，射线OD 和射线OE 分别平分∠AOC 和∠BOC ．图中哪些角互为余角？解：∵射线OD 平分∠AOC ，射线OE 平分∠BOC ，∠AOC =140°，∴∠COD =21∠AOC =70°， ∠COE =21∠BOC =21(180°-∠AOC )=20°， ∴∠DOE =∠COD +∠COE =90°．所以，∠COD 和∠COE 互为余角.同理，∠AOD 和∠BOE ，角AOD 和∠COE ，角COD 和∠BOE 也互为余角.例2如下图，货轮O 在航行过程中，发现灯塔A 在它南偏东60°的方向上，同时，•在它北偏东40°，南偏西10°，西北(即北偏西45°)方向上分别发现了客轮B 、货轮C 和海岛D ．仿照表示灯塔方位的方法，画出客轮B 、货轮C 和海岛D 方向的射线．画法：以点O 为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边O B 落在东与北之间.射线OB 的方向就是北偏东40°，即客轮B 所在的方向.请同学们自己动手画出表示货轮C 和海岛D 方向的射线.教师讲解.四.巩固练习.1、已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数.2、已知一个角的余角比它的补角的31还少20°，求这个角的度数.(视时间情况) 五.小结.本节课我们学习了哪些知识？这节课你有哪些收获？。
初一数学上册(人教版)第四章 几何图形初步4.3 知识点总结含同步练习及答案
已知 ∠A = 37∘ ，则 ∠A 的余角等于（
）
A. 37∘
B. 63∘
C. 143∘
D. 53∘
解：D．
如图，将一副三角尺的直角顶点重合后叠放在一起，若 ∠1 = 40∘ ，则 ∠2 的度数为（ ）
A. 60∘ 解：C．
B. 50∘
同角的余角相等．
C. 40∘
D. 30∘
下列关于角的说法，正确的有（ ）
分析：根据角平分线的定义求得 ∠COB + ∠DOC = 70∘，由已知条件和图示求得
∠AOB = ∠BOC = 40∘．
解：因为 OB 是 ∠AOC 的平分线，OD 是 ∠COE 的平分线，
所以 ∠COB + ∠DOC = 又因为 ∠COD = 30∘ ，
1 2
∠AOE =
1 2
× 140∘
= 70∘．
所以 ∠AOB = ∠BOC = 40∘．
已知一个角的补角比这个角的余角的 3 倍大 10∘ ，求这个角的度数 解：设这个角是 x，则
(180∘ − x) − 3(90∘ − x) = 10∘ .
解得
所以这个角的度数 50∘ ．
x = 50∘ .
四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学） 1. 如图所示，用两种方法表示同一角的是 ( )
① 角是由两条有公共端点的两条射线组成的图形，故原命题错误；
② 角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关，故原命题正确； ③ 角的边是射线，无需延长，故在角的一边的延长线上取一点 D 说法错误；
④ 角可以看做由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，正确；
⑤ 把一个角放到一个放大 10 倍的放大镜下观看，角的度数不变，故原命题错误， 故正确的有两个．
人教版七年级数学上册第四章4.3《角》例题与讲解
4.3 角1． 角的定义及其表示方法(1) 角的定义：有公共端点的两条射线构成的图形叫做角，这个公共端点是角的极点，这两条射线是角的两条边．角也能够看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形． 当终边和始边成一条直线时，形成等角；当终边和始边重合时，形成周角．(2)角的表示方法：有四种表示角的方法：①用一个阿拉伯数字表示独自的一个角，在角内用一段弧标明；②用一个大写英文字母表示 独自的一个角，当角的极点处有两个或两个以上的角时，不可以用这种方法表示角；③用一个小写希腊字母表示独自的一个角；④用三个大写英文字母表示随意一个角，这时表示极点的字母必定要写在中间． 破疑点 角的理解 (1)角的大小与边的长短没关，只与构成角的两条射线张开的幅度大小相关，角能够胸怀，能够比较大小，能够进行运算； (2) 假如没有特别说明，所说的角 都是指小于平角的角．【例 1－ 1】 以下说法正确的选项是( ) ．A ．平角是一条直线B ．一条射线是一个周角C ．两边成一条直线时构成的角是平角D ．一个角不是锐角就是钝角分析： 要做对这种题目， 必定要理解观点， 严格依据观点进行判断， 才能得出正确的结论．平角、周角都是特别角，固然它们与一般角形象不符，可是它们仍旧是角，它们都拥有 一个极点和两条边，只可是平角的两边成一条直线，周角的两边重合成一条射线罢了．答案： C【例 1－ 2】 如图，以点 B 为极点的角有几个？请分别把它们表示出来．剖析： .射线 BA 与 BD ， BA 与 BC ，BD 与 BC 各构成一个角．表示极点的字母一定写在中间． 当一个极点处有多个角时，不可以用一个表示极点的大写字母表示，因此不可以把∠ ABC 错写成 “∠ B ”． 书写力争规范，如用数字或希腊字母表示角时要在凑近极点处加弧线注上 阿拉伯数字或小写的希腊字母．注意：角的符号必定要用 “∠” ，而不可以用 “ ＜”．解： 以 B 为极点的角有 3 个，分别是 ∠ ABC ， ∠ ABD ， ∠DBC .2.角的胸怀与换算 (1)角度制：以度、分、秒为单位的角的胸怀制，叫做角度制． (2)角度的换算：角的胸怀单位是度、分、秒，把一个周角360 均分，每一份就是1 度的角，记作 1°；把 1 度的角 6 0 均分，每一份就是 1 分的角，记作 1′；把 1 分的角 60 均分，每一份就是 1秒的角，记作 1″ .谈要点 角度的换算(1)度、分、秒的换算是 60 进制，与时间中的时、分、秒的换算 同样；(2)角的度数的换算有两种方法：(即从高位向低位化 )，用乘法， 1°＝ 60′ ， 1′ ＝ 60″ ；① 由度化成度、分、秒的形式 ② 由度、分、秒化成度的形式 (即从低位向高位化 ),1″＝ 1 ′，1′＝ 160 60 °，用除法．度及度、分、秒之间的转变一定逐级进行转变， “越级”转变简单犯错．【例 2】 (1) 将 70.23 °用度、分、秒表示；(2)将 26°48′ 36″用度表示．剖析： (1)70.23 °际是实 70°＋ 0.23 °，这里 70°不要变，只需将0.23 °化为分，而后再把所得的分中的小数部分化为秒．将0.23 °化为分，只需用 0.23 乘以 60′即可．(2)将 26°48′ 36″用度表示，应先将 36″化成分，而后再将分化成度就能够了．将 36″1化成分，能够用60′乘以 36.解： (1)将 0.23 °化为分，可得0.23× 60′＝ 13.8′，再把 0.8′化为秒，得 0.8×60″＝48″ .因此 70.23 °＝ 70°13′ 48″ .1′× 36＝0.6 ′，48′＋ 0.6′＝ 48.6′，把 48.6′ 化成度，(2)把 36″化成分， 36″＝60148.6′＝60°× 48.6＝ 0.81 .°因此 26°48′ 36″＝ 26.81 °.3．角的比较与运算(1)角的比较：①胸怀法：用量角度量出角的度数，而后依据度数比较角的大小，度数大的角大，度数小的角小；反之，角大度数大，角小度数小．②叠合法：把两个角的极点和一边分别重合，另一边放在重合边的同旁，经过另一边的地点关系比较大小．解技巧角的比较① 在胸怀法中，注意三点：对中、重合、度数；② 在叠合法中，要注意极点重合，一边重合，另一边落在重合这边的同侧．(2)角的和差：角的和、差有两种意义，几何意义和代数意义．几何意义关于此后读图形语言有很大帮助，代数意义是此后角的运算的基础．①几何意义：如下图，∠ AOB与∠BOC的和是∠ AOC，表示为∠ AOB＋∠ BOC＝∠AOC ；∠AOC 与∠ BOC 的差为∠ AOB，表示为∠ AOC－∠ BOC＝∠ AOB.②代数意义：如已知∠ A＝23°17′ ，∠ B＝40°50′ ，∠ A＋∠ B就能够像代数加减法一样计算，即∠ A ＋∠B ＝ 23°17′＋ 40°50′＝ 64°7′，∠ B －∠A ＝ 40°50′ － 23°17′＝17°33′ .(3)角的均分线：从一个角的极点出发，把这个角分红相等的两个角的射线，叫做这个角的均分线．如图所示，射线OC是∠AOB 的均分线，则有∠1＝∠ 2＝12∠ AOB或∠ AOB ＝2∠ 1＝ 2∠ 2.警误区角的均分线的理解角的均分线是一条射线，不是线段，也不是直线，它一定知足下边的条件：① 是从角的极点引出的射线，且在角的内部；② 把已知角分红了两个角，且这两个角相等．【例 3】如下图， OE 均分∠ BOC， OD 均分∠ AOC，∠ BOE＝ 20°，∠ AOD ＝ 40°，求∠ DOE 的度数．解：∵ OE 均分∠ BOC，∴∠ BOE＝∠ COE.∵OD 均分∠ AOC，∴∠ AOD＝∠COD .又∵∠ BOE＝ 20°，∠AOD ＝40°，∴∠ COE＝ 20°，∠COD ＝40°.∴∠ DOE＝∠ COE＋∠COD ＝20°＋ 40°＝ 60°.4．余角和补角(1)余角和补角的观点：①余角：假如两个角的和等于 90°(直角 )，就说这两个角互为余角，即此中一个角是另一个角的余角；②补角：假如两个角的和等于 180°(平角 )，就说这两个角互为补角，即此中一个角是另一个角的补角．(2)性质：余角的性质：同角(等角 )的余角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠ 2＝90°，∠ 3＋∠ 4＝90°，又由于∠ 2＝∠ 4，因此∠ 1＝∠ 3.补角的性质：同角(等角 )的补角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠ 2＝ 180°，∠ 3＋∠ 4＝ 180°，又由于∠ 2＝∠ 4，因此∠ 1＝∠3.(3)方向角：在航海、航空、测绘中，常常会用到一种角，它是表示方向的角，叫做方向角．往常以正北、正南方向为基准，描绘物体运动的方向．往常要先写北或南，再写偏东仍是偏西．警误区余角和补角的理解余角和补角是成对出现的，它们之间相互依存，只好说∠ 1的余角是∠2，∠ 2 的余角是∠1，或许说∠ 1 与∠ 2 互余，而不可以说∠ 1是余角．【例 4】如下图，直线 AB ，CD，EF 订交于点 O，且∠ AOD ＝ 90°，∠ 1＝ 40°，求∠ 2 的度数．解：由于∠ AOD ＋∠ AOC＝∠ AOD＋∠ BOD ＝ 180°，因此∠AOD ＝∠ AOC＝∠ BOD ＝ 90°.又由于∠ 1＋∠FOC ＝ 180°，∠DOF ＋∠ FOC ＝180°，因此∠DOF ＝∠ 1＝ 40°.因此∠2＝∠ BOD－∠ DOF ＝ 90°－ 40°＝ 50°.5．运用整体思想解决角的计算问题整体思想就是依据问题的整体构造特点，不拘泥于部分而是从整体上去掌握解决问题的一种重要的思想方法．整体思想突出对问题的整体构造的剖析和改造，发现问题的整体构造特点，擅长用“集成”的目光，把某些式子或图形当作一个整体，掌握它们之间的关系，进行有目的的、存心识的整体办理．整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程、几何解证等方面都有宽泛的应用，整体代入、 整体运算、整体设元、整体办理、 几何中的补形等都是整体思想方法在解数学识题中的详细运用．【例 5】如下图，∠ AOB ＝ 90°，ON 是∠ AOC 的均分线， OM 是∠ BOC 的均分线，求 ∠MON 的大小．剖析： 解决问题的要点是把 ∠ AOC － ∠BOC 视为一个整体，代入求值． 解： 由于 ON 是 ∠AOC 的均分 线， OM 是 ∠ BOC 的均分线，因此∠ NOC ＝12∠ AOC ，∠MOC ＝ 1∠ BOC ，21 1 1 1 因此 ∠MON ＝∠NOC － ∠MOC ＝∠AOC － ∠BOC ＝ (∠AOC －∠ BOC)＝ ∠AOB ＝222212× 90°＝ 45°.6.钟表问题关于钟表问题要掌握基本的数目关系，如走一大格为 30 度，一小格为 6 度，分针每分钟转 6 度，时针每分钟转 0.5 度，分针是时针转速的 12 倍等．若已知详细时间，求时针与分针的夹角， 只需知道它们相距的格数，即可求得；假如已知时针与分针的夹角求相应的时间，则一般需要成立方程求解．【例 6】上午 9 点时，时针与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角是什么时候？解：设经 过 x 分钟，时针与分针再次成直角，则时针转过(0.5x) °，分针转过 (6x) °，如图所示，可列方程360－ 6x － (90－ 0.5x) ＝90，解得 x ＝ 32 8.即过 32 8分钟，时针与分针再一11 11次成直角．7.角中的实验操作题实验操作题是最近几年来悄悄盛行的一种新形式的考题，它集阅读、作图、实验于一体，要求在规定的条件下进行实验，在着手操作中找出答案．这种题目主假如能画出整个过程中的状态表示图，从而求出点的转动角度．【例 7】如图，把作图用的三角尺 (含 30°，60°的那块 )从较长的直角边水平状态下开始，在平面上转动一周，求 B 点转动的角度 (在点的地点没有发生变化的状况下，一律看作点没有转动 )．解： 如图，从地点 ① 到地点 ② ， B 点转过 90°；从地点 ② 到地点 ③ ，B 点转过 120°；从地点 ③ 到地点 ④ ，由题意 B 点看作不动．于是在整个过程中 B 点转过的角度为90°＋ 120°＝ 210°.8.概括猜想在角的问题中的运用概括猜想， 是一种很重要的数学思想方法， 数学史上的很多重要发现： 如哥德巴赫猜想、四色猜想、角谷猜想、费马定理等都是由数学家的研究、猜想、总结而获得的．学习数学一定不停地去研究、猜想，不停地总结规律，才会有新发现．运用 n(n － 1)这个式子，能解决好多近似的问题，能达到一石数鸟，这都是大家擅长借2鉴的结果．在学习过程中，注意不停总结、概括规律，累积经验，运用总结出来的方法、技巧解决问题．【例 8】(1) 若在 n 个人的聚会上， 每一个人都要与此外全部的人握一次手， 问握手总次数 是多少？(2)如图①中共有多少条线段？如图②中共有多少个角(指小于平角的角 )?解： (1)每一个人可与此外 (n －1) 个人握一次手， n 个人就有 (n － 1) ·n 次握手，此中各重复一次，因此，握手总次数是 n(n －1) ÷2 次．(2)图 ① 中每两个点构成一条线段 (近似于两个人握一次手 )，因此共有 n(n － 1) ÷2 条线段． 图 ② 中每条射线都与此外 (n － 1)条射线构成一个角 (近似于握手 )，因此共有 n(n － 1) ÷2个角．9.方向角的应用(1)如图， 画两条相互垂直的直线 AB 和 CD 订交于点 O ，此中一条为水平线， 则图中四条射线所指方向就是东西南北四大方向， 详细是： 向上的射线 OA 表示正北方向， 向下的射线 OB 表示正南方向，向右的射线 OD 表示正东方向，向左的射线 OC 表示正西方向．这四大方向简称为上北下南左西右东．成立这四条方向线后，关于点 P ，假如点 P 在射线 OA 上，则称点 P 在正 北方向；假如点 P 在射线 OB 上，则称点 P 在正南方向；假如点 P 在射线 OC 上，则称点 P 在正西方向；假如点 P 在射线 OD 上，则称点 P 在正东方向．(2)在图中，东西和南北方向线把平面分红四个直角，假如点 P 在正北方向线 OA 与正东( 或正西 )方向线 OD( 或 OC)的夹角内，且射线 OP 与正北方向线 OA 的夹角是 m °，则称点 P 在北偏东 (或西 )m °方向；假如点 P 在正南方向线 OB 与正东 (或正西 )方向线 OD( 或 OC) 的夹角内，且射线 OP 与正南方向线 OB 的夹角为 m °，则称点 P 在南偏东 (或西 )m °方向．比如图中的射线 OA ， OB ， OC ，OD 分别称为：北偏东 40°、北偏西 65°、南偏西 45°、南偏东 20°.关于倾向 45°的方向角，有时也能够说成东南 (北 )方向或西南 (北 )方向．如图中的 OC，除了说成南偏西 45°外，还能够说是西南方向，但不要说成南西方向．【例 9】如图， OA 的方向是北偏东15°，OB 的方向是西偏北50°.(1)若∠ AOC ＝∠ AOB，则 OC 的方向是 ________；(2)OD 是 OB 的反向延伸线，OD 的方向是 ____；(3)∠ BOD 可看作是 OB 绕点 O 逆时针方向至OD，作∠ BOD 的均分线OE，OE 的方向是____ ；(4)在 (1) 、 (2) 、 (3)的条件下，∠ COE ＝ ____.分析： (1)∵ OB 的方向是西偏北50°，∴∠ 1＝ 90°－ 50°＝ 40°，∴∠ AOB＝ 40°＋ 15°＝ 55°∵∠ AOC＝∠ AOB，∴∠ AOC＝ 55°，∴∠ FOC＝∠ AOF＋∠ AOC＝ 15°＋ 55°＝ 70°，∴ OC 的方向是北偏东70°.(2)∵ OB 的方向是西偏北50°，∴∠ 1＝ 40°，∴∠ DOH ＝ 40°，∴ OD 的方向是南偏东40°.(3)∵ OE 是∠ BOD 的均分线，∴∠ DOE＝ 90°.∵∠ DOH ＝ 40°，∴∠ HOE＝ 50°，∴ OE 的方向是南偏西50°.(4)∵∠ AOF ＝ 15°，∠ AOC＝ 55°，∴∠ COG＝ 90°－∠AOF －∠ AOC＝ 90°－15°－ 55°＝ 20°.∵∠ EOH＝ 50°，∠HOG ＝ 90°，∴∠ COE＝∠ EOH＋∠HOG ＋∠ COG＝ 50°＋ 90°＋ 20°＝160°.答案： (1)北偏东 70°(2)南偏东 40°(3)南偏西 50°(4)160 °。
《初中同步测控全优设计》2013-2014学年人教版七年级数学上册例题与
观察右侧算式, 两个有理数相除时: 除法能否转化为乘法？ 商的符号如何确定? 商的绝对值如何确定?
正数除以正数 负数除以正数 零除以正数 因为 所以
1 8÷4 =2 8 =2 4 1 (-8)÷4 =-2 ( 8) =-2 4 1 0÷4 =0 0 =0 4
1 8 4 8 (-2)×4= -8, 4 1 ( 8)-2. 4 ( 8) (-8)÷ 4= 4
同号两数相除得正
3 (－12)÷(－4)=____,
－3 (－6) ÷2=____, －3 12÷(－4)=____, 0÷(－6)=____, 0
, 并把绝对值相除
异号两数相除得负 , 并把绝对值相除 零除以任何非零数得零
商的符号如何确定? 商的绝对值如何确定?
正 两个有理数相除, 同号得____, 负 并把绝对值_______. 相除 异号得_____,
0 0除以任何一个不等于0的数都得_____. 0不能作为除数
(1) (－8)÷(－4) 解: (1)原式 =+( 8÷4 )
(同号得正,绝对值相除)
(2) (－3.2)÷0.08
(3)
1 2 ( )÷ 6 3
=2
(3)原式 =-(1/6÷2/3)
(2)原式 =－ ( 3.2÷0.08 ) =－40
(异号得负,绝对值相除)
= -(1/6×3/2)
=-1/4
(同号得正,绝对值相除)
- 版权所有-
(1) (－8)÷(－4)
(2) (－3.2)÷0.08
(3)
1 2 ( )÷ 6 3
求解中的第一步是
确定商的符号 _______________
；
绝对值相除 ； 第二步是______________
【志鸿优化设计】2013-2014学年七年级数学上册 第4章4.6 用尺规作线段与角例题与讲解 (新
4.6 用尺规作线段与角1．尺规作图的概念几何中，通常用没有刻度的直尺和圆规来画图，这种画图的方法叫做尺规作图．(1)尺规作图与画图虽然都是指按要求画出符合条件的正确图形，但两者还是有本质上的区别．尺规作图是画图的一种特殊的表现形式，它要求只能限定用直尺和圆规这两种工具完成画图过程，而画图一般不限定工具．既可用直尺和圆规，也可以用其他的辅助工具，比如量角器、三角板、刻度尺等．(2)直尺的功能：在两点间连接一条线段；将线段向两边延长．圆规的功能：以任意一点为圆心，适当长为半径作一个圆；以任意一点为圆心，适当长为半径画一段弧．【例1】 下列说法中，正确的是( )．A ．延长射线OAB ．作直线AB 的延长线C ．延长线段AB 到C ，使AC ＝12AB D ．延长线段AB 到C ，使AC ＝2AB 解析：A 项：射线不可以延长，只能反向延长；B 项：直线没有延长线和反向延长线；C项：如果延长AB 到C ，则AC ＞AB ，不可能AC ＝12AB . 答案：D2．作一条线段等于已知线段(1)已知：线段a求作：线段AB ，使AB ＝a .作法：①作一条直线l ；②在l 上任取一点A ，以点A 为圆心，以线段a 的长度为半径画弧，交直线l 于点B . 线段AB 就是所求作的线段．(2)常用的基本作图语言有：①过点×和点×作射线××(或作直线××)；②在射线××上截取××＝××；③在射线上顺次截取××＝××＝××；④以点×为圆心，××长为半径作弧，交××于点×.谈重点作图的要求作图题的作图要求：(1)要根据问题把已知条件具体化；(2)要写明作什么图形，满足什么要求；(3)在作法中要使用规X 语句，按照作图的顺序逐一写明；(4)最后要指出结论．【例2】 已知线段a ，如图：求作：线段AB ，使AB ＝3a .分析：先作一条直线，在这条直线上连续作出三条线段都等于a 即可．作法：(1)作一条直线l ；(2)在l 上任取一点A ，以点A 为圆心，以线段a 的长度为半径作弧，交直线l 于C ；(3)以点C 为圆心，以线段a 的长度为半径作弧，在同一方向上交直线l 于D ；(4)以点D 为圆心，以线段a 的长度为半径作弧，在同一方向上交直线l 于B .所以线段AB就是所求的线段．释疑点截取线段的方法沿着某一个方向依次截取几次，结果所得到的线段就是原线段的几倍．3．作一个角等于已知角已知：∠AOB.如图所示：求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB.作法：(1)在∠AOB上以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q；(2)作射线EG，并以点E为圆心，OP长为半径画弧交EG于点D；(3)以点D为圆心，PQ长为半径画弧交第(2)步中所画弧于点F；(4)作射线EF.则∠DEF即为所求作的角．【例3】如图，已知∠AOB，利用尺规作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝2∠AOB.作法：(1)以O为圆心，以任意长为半径画弧交OA于点C，交OB于点D；(2)作射线O′A′，以O′为圆心，以OC长为半径画弧交O′C′于点C′；(3)以C′为圆心，以CD的长为半径画弧交前弧于E点，接着以E为圆心，同样的长为半径画弧交前面弧于点B′；(4)过点B′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求作的角．如图．辨误区作留作图痕迹作图痕迹是尺规作图必不可少的部分，不可擦去．4．作线段的和、差“作一条线段等于已知线段”是基本作图之一，它是作线段和、差的依据，因此我们要对“作一条线段等于已知线段”的过程和操作方法非常熟练．作线段的和时，是沿着某一点按照一个方向依次截取每一条线段，这条直线上的始点与终点组成的线段就是所作的几条线段的和；作线段的差时，先作被减线段，然后以这条线段的一个端点为端点，在这条线段内部作出要减的线段，其余的两个端点组成的线段就是要求作的线段．【例4】如图，已知线段a，b，c，用圆规和直尺画线段，使它等于2a＋b－c.分析：先作2a＋b，然后再减去c.作法：(1)作射线AF；(2)在射线AF上顺次截取AB＝BC＝a，CD＝b；(3)在线段AD上截取DE＝c.所以线段AE即为所求．5.作角的和、差“作一个角等于已知角”是基本作图之一，它是作角和、差的依据，因此我们要对“作一个角等于已知角”的过程和操作方法非常熟练．作角的和时，是沿着角的一边按照一个方向依次作出每一个角，这个角的始边与终边组成的角就是所作的几个角的和；作角的差时，先作被减的角，然后以这个角的一条边为一边，在这个角的内部作出要减的角，其余的两条边所组成的角就是要求作的角．【例5】如图，已知∠α和∠β(∠α＞∠β)，求作∠AOB，使∠AOB＝∠α－∠β.作法：(1)作射线OA；(2)以射线OA为一边作∠AOC＝∠α；(3)以O为顶点，以射线OC为一边，在∠AOC的内部作∠BOC＝∠β，则∠AOB就是所求作的角．6．“作一个角等于已知角”的应用在小学时，我们知道三角形的三个内角之和为180°，现在我们学习了“作一个角等于已知角”，我们可以利用“作一个角等于已知角”作出一个三角形的三个内角的和，利用图形来说明这一结论．析规律尺规作图步骤用尺规作图来说明问题时，根据要解决的问题先写出已知、求作，再作图并写出作法．作图要力求准确．作复杂的图形时，一般先根据题意画出草图，再写出已知、求作和作法．【例6】任意作一个三角形，用尺规作图作出它的三个内角的和，并用量角器度量出三个内角的和．解：已知如图所示，任意△ABC，求作∠MON＝∠A＋∠B＋∠C，并测量∠MON的大小．作法：(1)作∠MOD＝∠A；(2)以OD为一边，在∠MOD的外部作∠DOE＝∠B；(3)以OE为一边，在∠MOE的外部作∠EON＝∠C；则∠MON为所求作的角．用量角器度量出∠A＋∠B＋∠C＝∠MON＝180°.。
人教版数学七年级上册4.3角优秀教学案例
1.学生能够通过小组合作，共享学习资源，提高合作能力和交流能力。
2.学生能够在小组合作中发挥自己的特长，提高解决问题的能力和创新能力。
在教学过程中，我会组织学生进行小组合作，共同探讨和解决问题。我会设计一些具有挑战性的任务，如绘制角的图形、解决实际问题等，让学生在合作中共同思考和探索。在小组合作中，我会鼓励学生发挥自己的特长，共享学习资源，提高合作能力和交流能力。同时，我还会引导学生从小组合作中发现问题、解决问题，培养学生的解决问题能力和创新能力。
人教版数学七年级上册4.3角优秀教学案例
一、案例背景
本节课为人教版数学七年级上册4.3角的教学内容。在之前的教学中，学生已经学习了线段、射线和直线的概念，对几何图形有了初步的认识。而本节课的主要内容是引导学生认识角的概念，理解角的特征，并能够运用角的概念解决一些实际问题。
在角的教学中，我以实际情境为导入，通过展示一些生活中常见的角，如钟表的指针、门的铰链等，激发学生的兴趣，引导学生主动探索角的特征。在教学过程中，我注重让学生通过实际操作，如折纸、拼图等，体会角的形成和变化，从而加深对角的理解。同时，我还运用多媒体教学手段，通过动态演示角的形成过程，帮助学生形象直观地理解角的概念。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.学生能够理解角的概念，掌握角的特征，能够准确地识别和描述各种角。
2.学生能够运用角的概念解决一些简单的实际问题，如计算角度、绘制图形等。
3.学生能够了解角的度量单位，学会使用量角器进行角的度量。
在教学过程中，我注重引导学生通过观察、操作和思考，深入理解角的概念，从而能够准确地表达和运用角的知识。我会提供丰富的教学资源，如实物模型、图片等，帮助学生形象地理解角的概念，并通过实际操作，让学生亲身体验和探索角的特征。在解决问题的过程中，我会引导学生运用角的概念，计算角度和绘制图形，从而培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。此外，我还会在教学中介绍角的度量单位，教授学生使用量角器进行角的度量，提高学生的测量技能。
人教版七年级上册数学教案第四章4.3角
-角的运算：让学生掌握角的加减运算及倍数关系。
-举例：计算∠AOB + ∠BOC的度数，以及判断∠AOB是否是∠BOC的两倍。
-特殊角的认识：让学生熟悉并掌握30°、45°、60°、90°、180°等特殊角的性质和应用。
-举例：分析30°-60°-90°直角三角形的边长比例。
3.角的度量
-度量角的工具量角器。
-度量角的方法：将量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一边重合，读取另一边所对的刻度。
4.角的画法
-画指定度数的角。
-画角的平分线。
5.角的运算
-角的加减运算。
-角的倍数关系。
6.特殊角的认识
- 30°、45°、60°、90°、180°等特殊角的度数及性质。
人教版七年级上册数学教案第四章4.3角
一、教学内容
人教版七年级上册数学教案第四章4.3角：
1.角的概念及表示方法
-角是由两条具有公共端点的射线组成的图形。
-用大写字母表示角的顶点，用小写字母表示角的两个端点。
2.角的分类
-锐角、直角、钝角、周角。
-锐角：小于90°的角；直角：等于90°的角；钝角：大于90°小于180°的角；周角：等于360°的角。
1.理论介绍：首先，我们要了解角的基本概念。角是由两条具有公共端点的射线组成的图形。它是几何学中基本元素之一，广泛应用于日常生活和各类工程领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析三角形的内角和，了解角在实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调角的概念、分类和度量方法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
人教版七年级数学上册4.3角优秀教学案例
4.小组合作：组织学生进行小组讨论和合作交流，培养学生的团队合作精神和沟通能力。通过小组合作，学生可以相互学习、相互促进，提高学习效果。
5.多元化评价：采用多元化的评价方式，如观察、提问、讨论、作业、测验等，全面评价学生的知识、能力和态度。这种评价方式有助于客观、全面地了解学生的学习情况，激发学生的学习积极性。
（二）问题导向
1.提出一些引导性问题，如“角是如何定义的？”，“角有哪些分类？”，“角的大小如何度量？”等，引导学生思考和探究。
2.通过设置一些疑问，如“为什么角的大小与边的长短无关？”，“如何判断一个角是锐角还是钝角？”等，激发学生的求知欲和好奇心。
3.引导学生提出自己的问题，如“我不明白为什么角的大小与边的长短无关，能否解释一下？”等，鼓励学生主动参与和思考。
（三）学生小组讨论
1.设计一些有关角的问题，让学生进行小组讨论，如“角的大小与边的长短有什么关系？”
2.引导学生通过观察、操作、交流等途径，发现角的大小与边的长短无关，与两边叉开的大小有关。
3.鼓励学生提出自己的观点和看法，培养学生的思维能力和创新能力。
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结本节课所学的内容，如角的定义、分类和度量方法等。
4.教师要及时批改作业，给予学生反馈和指导，帮助学生纠正错误和提高。
五、案例亮点
1.生活实例导入：通过展示生活中各种角的实例，如钟表、自行车把等，让学生感受角的存在，激发学生的兴趣，增强学生对知识的亲切感。这种教学方式符合学生的认知规律，有助于提高学生的学习积极性。
2.启发式教学：在讲授新知过程中，教师引导学生主动探究角的定义和分类，培养学生独立思考和解决问题的能力。通过提问、讨论等互动环节，激发学生的思维，提高学生的课堂参与度。
人教版七年级数学上册第四章4.3角优秀教学案例
2.设计小组讨论话题，如：“你认为角在生活中的应用有哪些？”，“如何判断一个角的大小？”，引导学生深入讨论，提高他们的合作意识和团队精神。
3.鼓励小组成员之间互相评价、互相学习，培养他们的团队协作能力。
为达到这一目标，我将将学生分成若干小组，组织他们进行合作交流，分享学习心得，互相启发，共同提高。同时，设计小组讨论话题，引导学生深入讨论，提高他们的合作意识和团队精神。
（二）过程与方法
1.采用情境教学法，以现实生活中的场景为切入点，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂。
2.运用问题驱动法，提出具有挑战性的问题，激发学生的思考，培养学生解决问题的能力。
3.采用小组合作学习法，鼓励学生互相交流、讨论，提高学生的合作意识和团队精神。
为达到这一目标，我将设计一系列富有挑战性的问题，引导学生展开思考，培养学生解决问题的能力。同时，将学生分成若干小组，组织他们进行合作交流，分享学习心得，互相启发，共同提高。
（四）反思与评价
1.引导学生对自己的学习过程进行反思，总结学习方法，提高自己的学习能力。
2.组织学生进行自我评价、同伴评价，让学生了解自己的学习状况，找到改进的方向。
3.教师对学生的学习情况进行综合评价，关注学生的进步，激发他们的学习动力。
为达到这一目标，我将引导学生对自己的学习过程进行反思，总结学习方法，提高自己的学习能力。同时，组织学生进行自我评价、同伴评价，让学生了解自己的学习状况，找到改进的方向。最后，教师对学生的学习情况进行综合评价，关注学生的进步，激发他们的学习动力。
人教版七年级数学上册第四章4.3角优秀教学案例
一、案例背景
本节内容是“人教版七年级数学上册第四章4.3角”，主要介绍角的分类和特点。在教学过程中，我发现许多学生对于角的概念和分类存在模糊不清的现象，这对于他们后续学习几何知识会产生很大的影响。因此，我决定通过设计一个生动有趣的教学案例，让学生在实践中理解和掌握角的概念，提高他们的空间想象能力。
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3 角
1．角的定义
(1)静态定义：由两条具有公共端点的射线组成的几何图形叫做角．如图甲．
角的有关概念：
顶点：两条射线的公共端点．
边：组成角的两条射线．
(2)动态定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转所形成的几何图形．如图乙．
谈重点角的理解
(1)角有两个特征：①角是由两条射线组成的；②这两条射线有公共的端点．
(2)角的大小与角的两边的长短无关：由于角的两边是射线，而射线是向一方无限延伸的，所以角的大小与角的两边的长短无关，只与两条射线张开的程度有关．【例1】下列说法错误的有( )．
①有公共点的两条射线形成的图形是角
②从一点引出的两条射线形成的图形是角
③角的大小与两边所画的长度有关
④线段绕着一个端点旋转也可以形成角
A．1个B．2个C．3个D．4个
解析：
答案：C
2．角的表示方法及画法
角的表示方法有四种．
(1)三个大写英文字母表示法：用角的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示角，如图(1)中的角，可记为∠AOB，注意顶点的字母写在中间，每条边上的一点A，B写在两旁．
(2)顶点字母表示法：当角的顶点处只有一个角时，也可以只用顶点的字母表示角，如图(1)中的∠AOB也可记为∠O.
(3)阿拉伯数字表示法：在角的顶点处加上弧线标上数字，就可以用这个数字来表示角，如图(2)中的∠AOB可记为∠1.
(4)希腊字母表示法：在角的顶点处加上弧线标上小写希腊字母(α，β，γ等)，就可以用这个小写希腊字母来表示角，如图(2)中的∠BOC可记为∠α.这种方法与数字表示法实际上是一样的．
释疑点表示角时的注意事项
①以上四种表示方法的前面必须加上角的符号“∠”．
②表示角所用的符号“∠”，不能写成小于号“<”．
③当一个顶点处有两个以上的角时，不能用顶点字母表示法来表示角，如图(2)中以O
为顶点的角有∠1，∠α，∠AOC ，就不能用∠O 来表示了．否则，就会产生混乱．
3．平角、周角
(1)平角：一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角，平角是180°，如图1.
(2)周角：如图2，一条射线绕它的端点旋转一周，当终边与始边重合时，所成的角叫
做周角．周角等于360°.
(3)平角与周角的关系：一周角等于两平角．
平角的两边成一条直线，周角的两边重合后成一条射线，但不能认为一条直线就是平角或认为一条射线就是周角．角必须有顶点和两边．
【例3】 下列说法是否正确，为什么？
①平角是一条直线；
②钟表上的分针经过1小时形成一个周角．
分析：可根据平角和周角的形成定义判断．
解：①错．因为平角是一条射线绕着它的端点旋转到反方向位置时形成的图形，平角有顶点、边这些基本元素，而直线没有，故是错误的； ②正确．因为分针经过1小时会旋转一周，所以分针经过1小时会回到初始位置，即能形成一个周角．
4．度、分、秒的换算
(1)角的单位及意义
角的单位是度、分、秒．
意义：①把一个平角180等分，每一份就是一度的角，记作1°；②把一度的角60等分，每一份就是一分的角，记作1′；③把一分的角60等分，每一份就是一秒的角，记作1″.
(2)度、分、秒的进率及换算方法
度、分、秒的进率是60.即1°＝60′，1′＝60″，1°＝60′＝3 600″.
度60
60⨯÷分6060⨯÷秒
(3)度、分、秒有关的计算
度、分、秒的进率是六十进制，不同于十进制．在运算中满60才向高位进1，而借1则表示低位的60.
在进行度、分、秒的加减法或乘除法的运算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减、不够除的要借位．从高位借的，单位要化为低位的单位后才能进行运算．
在相乘或相加时，当低位大于或等于60时，要向高位进位．
【例4－1】 (1)用度、分、秒表示48.13°为__________；
(2)用度表示23°9′36″为__________．
解析：(1)先把0.13°化成分：60′×0.13＝7.8′，再把0.8′化成秒：60″×0.8＝48″，所以48.13°＝48°7′48″；
(2)先把36″化成分：⎝ ⎛⎭⎪⎫160′×36＝0.6′，再把9.6′化成度：⎝ ⎛⎭
⎪⎫160°×9.6＝0.16°，所以23°9′36″＝23.16°.
答案：(1)48°7′48″ (2)23.16°
【例4－2】 计算：
(1)13°29′＋78°37″； (2)61°39′－22°5′32″；
(3)23°53′×3； (4)107°43′÷5.
分析：先将相同单位相加减，注意进位和借位；乘法要先乘低位，再乘高位；除法是先除高位，高位余数换算成低位数后，再除低位．
解：(1)13°29′＋78°37″＝91°29′37″.
(2)61°39′－22°5′32″
＝61°38′60″－22°5′32″
＝39°33′28″.
(3)23°53′×3＝69°159′＝71°39′.
(4)107°43′÷5＝(105°＋2°43′)÷5
＝105°÷5＋163′÷5
＝21°＋(160′＋180″)÷5
＝21°＋160′÷5＋180″÷5
＝21°32′36″.
5.角的计数方法
数角的个数与数线段的条数的方法基本上相同，都要按一定的方法去数．常用的有两种方法：
①始边计数法：先以某条边为始边(固定一边)，按顺时针方向或逆时针方向找到与之构成的所有的角，然后再以另一条射线为边，重复上面的过程，最后把所有的角的个数加起来，就是构成角的总个数．
②分类计数法：先数清基本的角，再数由两个基本角组成的角，由三个基本角组成的角……
【例5】如图，图中共有多少个角？用字母分别表示出来．
分析：要确定有多少个角，需要先确定始边与终边的条数．可以用始边计数法数角的个数．即先以OA为始边，则能与它组成角的边有3条，就有3个角；再以OB为始边，按逆时针数出角的个数，依次类推．
解：以OA为一边的角有∠AOB，∠AOC，∠AOD；
以OB为一边且不重复的角有∠BOC，∠BOD；
以OC为一边且不重复的角有∠COD.
因此图中共有6个角，它们分别为：
∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠COD.
6．角的应用
角在生活和生产中随处可见．本节的有关角的应用主要是钟表中的角．
钟面上共有12个大格，把周角平均分，即360°÷12＝30°.钟表面上有60个小格，360°÷60＝6°.因此，时针每小时转动30°，分针每分钟转动6°.
时针与分针的夹角的求法：
先确定时针与分针之间有几个大格，即有多少个30°.用30°乘大格数．
特别注意：①从时针开始数，所形成的角有时需要按顺时针数，如3：40；有时需要按逆时针数，如2：50.
②从时针开始，按顺时针形成的角，两个度数相减；按逆时针形成的角度数相加．
③时针每分钟转30°÷60＝0.5°.
【例6】如图是部分节目的播出时间，分别确定出钟表上时针与分针所成的最小的角的度数．
分析：确定钟表上时针与分针所成的最小角的度数，需要先确定时针与分针形成的角中包含几个大格和小格．
0°
解：
新闻30分：0°；今日说法：30°×5＋35×0.5°＝167.5°；
电视剧：30°×4＝120°.。