高中竞赛教程4.3.5 典型例题分析
§3．5 典型例题分析例1、绷紧的肥皂薄膜有两个平行的边界，线AB 将薄膜分隔成两部分(如图3-5-1)。
为了演示液体的表面张力现象，刺破左边的膜，线AB 受到表面张力作用被拉紧，试求此时线的张力。
两平行边之间的距离为d ，线AB 的长度为l (l ＞πd/2)，肥皂液的表面张力系数为σ。
解：刺破左边的膜以后，线会在右边膜的作用下形状相应发生变化(两侧都有膜时，线的形状不确定)，不难推测，在l ＞πd/2的情况下，线会形成长度为)2/(21d l x π-=的两条直线段和半径为d/2的半圆，如图3-5-2所示。
线在C 、D 两处的拉力及各处都垂直于该弧线的表面张力的共同作用下处于平衡状态，显然∑=i f T 2式中为在弧线上任取一小段所受的表面张力，∑i f 指各小段所受表面张力的合力，如图3-5-2所示，在弧线上取对称的两小段，长度均为r △θ，与x 轴的夹角均为方θ，显然θσ∆⋅==r f f 221而这两个力的合力必定沿x 轴方向，(他们垂直x 轴方向分力的合力为零)，这样θθσ∆⋅==cos 221r f f x x所以薄膜 图3-5-1图3-5-2∑∑==∆=d r r fiσσθθσ24cos 2 因此d T σ=说明 对本题要注意薄膜有上下两层表面层，都会受到表面张力的作用。
例2、在水平放置的平玻璃板上倒一些水银，由于重力和表面张力的影响，水银近似呈圆饼形状(侧面向外凸出)，过圆盘轴线的竖直截面如图3-5-3所示。
为了计算方便，水银和玻璃的接触角可按180º计算，已知水银密度33106.13m kg ⨯=ρ，水银的表面张力系数m N a 49.0=。
当圆饼的半径很大时，试估算厚度h 的数值大约是多少(取一位有效数字)？分析：取圆饼侧面处宽度为△x ，高为h 的面元△S ，图3-5-3所示。
由于重力而产生的水银对△S 侧压力F ，由F 作用使圆饼外凸。
但是在水银与空气接触的表面层中，由于表面张力的作用使水银表面有收缩到尽可能小的趋势。
上下两层表面张力的合力的水平分量必与F 反向，且大小相等。
△S 两侧表面张力43,f f 可认为等值反向的。
解：x gh S p F ∆=∆⋅=2121ρF f f =+21cos θx gh x a ∆=+∆221)cos 1(ρθg a h ρθ)cos 1(2+=由于0<θ<90º,有 m h m 33104103--⨯<<⨯1fx ∆4f例3、在连通器的两端吹出两个相同的球形肥皂泡A 和B 后，如图3-5-4，关闭活栓K ，活栓A K 和B K 则依旧打开，两泡内的空气经管相通，两泡相对平衡。
(1)若A 泡和B 泡的形状小于半球，试证明A 泡和B 泡之间的平衡是稳定的。
若A 泡和B 泡的形状大于半球，试证明A 泡和B 泡之间的平衡是不稳定的。
(2)若A 泡和B 泡的形状大于半球，设两管口的半径均为cm r 00.21=，A 泡和B泡的半径均为cm r 50.22=。
试问当A 泡和B 泡分别变化成何种形状时，两泡能再次达到平衡，设空气因压缩或膨胀所引起的密度变化可以忽略。
分析：开始时，A 泡B 泡均小于半球，泡半径应大于管半径。
若因扰动使A 泡缩小，则泡半径增大，表面张力应减小，A 泡内压强变小，这时B 泡内气体过来补充，使A 泡恢复扰动前的形状，重新达到平衡。
对于A 泡因扰动稍增大，或B 泡因扰动稍增大或缩小的情形可作同样分析。
若A 、B 泡形状相同，均大于半球。
因扰动使A 泡缩小，则泡半径变小，表面张力相应增加，A 泡内压强变大，使气体从A 泡到B 泡，A 泡缩小和B 泡增大后，扰动将持续发展。
总之，当A 泡和B 泡的形状大于半球时，其间的平衡是不稳定的。
值得注意的是，当A 泡缩小到半球形状时，即当12r r =时，A 泡半径最小。
若再收缩使形状小于半球时，A 泡半径再度增大，根据上面的分析，A 泡内的压强将再度下降。
当A 泡小于半球，B 泡大于半球，而两者的半径相同时，两泡内的压强再次相同，这又是一个新的平衡状态。
解：(1)见上面的分析。
ABKA k KBr 0图3-5-4图3-5-5(2)新的平衡状态为A 泡小于半球，B 泡大于半球，两者半径均为r ，图3-5-5，有03234V r =π21222220),3(r r r h hr h V -+=-=且π解得r=3.04cm例4、在相互平行的石墨晶格上，原子排成正六角形栅格，即“蜂窝结构”如图1-5-6(a)所示，平面上原子间距为101042.1-⨯m ，若石墨的密度为32270m kg ，求两层平面间的距离。
(碳原子量为12)解：显然应根据晶格模型进行研究，把晶格平面适当平移，使上下层原子正好对齐，这时原子系统可看成如图3-5-6(b)那样，每个原子属于6个不同晶胞，因此一个晶胞中12/6=2个原子，31m 石墨中的原子数是2962311014.112/1027.21002.6⨯=⨯⨯⨯=N 个。
晶胞数是上述原子数的一半，故一个晶胞的体积是3292810756.1107.51mV -⨯=⨯=晶胞的底面积是 220210239.5233m a S -⨯==m S V h 101035.3-⨯==说明在晶格模型的计算中，初学者往往把晶胞所包含的原子数搞错，误认为石墨晶胞包含了12个原子。
这里的关键是要分析其中每一个原子是哪几个晶胞所共有，那么每个晶胞仅只能算其1/n 个原子。
a例5、用圆柱形的杯子做“覆杯”实验，杯子的半径为R，高度为H，假定开始时杯内水未装满，盖上不发生形变的硬板后翻转放手，由于水的重力作用，硬板将略下降，在杯口和平板间形成凹的薄水层，如图3-5-7所示。
假定水对玻璃和平板都是完全浸润的，水的表面张力系数为 ，纸板重为mg，大气压为0p，水的密度为ρ，则为了保证“覆杯”实验成功，装水时，杯内所留的空气体积不得超过多少？物理课件网（）欢迎您！f'图3-5-7图3-5-8图3-5-9解：如图3-5-8表示板与杯口间水层的大致形状(为求清晰，图中比例已被夸大)。
其中虚线表示整体轮廓，实线则划出其一小片分析其受力，图3-5-9则是俯视平面图。
设内凹的薄水层深度为d ，由于完全浸润，它就等于凹面的直径，所取出的水液面宽度为△l ，则它受力如下：f —附着层水对凹面的表面张力，有上(杯沿)下(硬板)两个，其大小为l f ∆=σ，方向垂直于△l 水平向外。
f '—和划出部分相连的凹面其他部分的水对该液面的作用力，方向沿圆周切线方向，大小为2df ⋅⋅='πσ，两力合力大小为R lf f f ∆⋅'=∆'=∆'θθ2sin2F —液面内外压力差，其方向水平指向圆心，大小为l d p p F ∆⋅-=)(0(其中0p 为大气压，p 为内部水压强)。
在受力平衡的条件下应有l R ld l d p p ∆⋅=∆⋅+∆⋅-σπσ22)(0得πσσ+⋅-=R p p R d 2)(40 ①如果以硬板为研究对象，受力如图3-5-10，平衡时有mg pS S p +=0即20R mgp p π=- ②p 是水内部的压强，它应等于杯内气体压强加上由水重所引起的压强，若杯内气体压强为p '，原来装水后空气层厚度为h ，则)(h H g p p -+'=ρ ③图3-5-10进行覆杯实验后，硬纸板是盖住杯口的，这时杯内气体压强就等于大气压即01p p =，体积h R V 21π=，“覆杯”放手后，由于硬纸板受重力作用，板下移距离d (即前述水层厚度)，使杯内气体体积变为)(22d h R V +=π，压强就变为p '，由玻意耳定律得d h hp p +='0 ④把②代入①可求得板重为mg 时，水层最大厚度σπσπ2224R mg R d +=⑤由②③④式可得)(2022=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+d gH R mg p h R mg d H g gh ρππρρ d H R mg p R m d H R m d H h ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-±+-=ρπρρπρπ202222222将⑤式代入即可得到极限情况下杯内原来的空气柱厚度，因式子过繁，就不将d 值代入了。
说明 当杯子倒转放手后，如果杯内装满水而无空气，则大气对平板的向上压力将远大于杯内水及平板重，因此平板紧压杯口，但如果原来杯内有空气，其压强等于大气压，翻转杯子并放开平板合，水与板重将使板下移，杯内空气体积增大，压强减小，只要条件合适，大气压力有可能承受住杯内气体压力(小于S p 0)与水、板重之和。
然而，气压减小量是与气体体积增大量有关，而体积增大则决定于板与杯口间水层的厚度，而该层最大厚度则与表面张力引起的附加压强有关。
据此反推，即可得到解题思路。
高中数学竞赛题目解析与解题技巧
高中数学竞赛题目解析与解题技巧引言数学是一门广泛应用于各个领域的学科，它的应用不仅限于解决实际问题，还包括在数学竞赛中展示才华。
高中数学竞赛是对学生数学能力的综合考验，不仅需要深厚的数学知识，还需要良好的解题技巧和思维能力。
本文将介绍高中数学竞赛题目的一些常见类型，并提供解题技巧，帮助读者更好地应对数学竞赛。
数列与序列等差数列等差数列是高中数学竞赛中经常出现的题型之一。
对于给定的等差数列，求解其中某一项或求解前n项和是常见的考点。
解题技巧包括使用通项公式和求和公式来快速求解。
此外，还需要注意将等差数列问题转化为已知条件，利用已知条件推导出所求的未知量。
等比数列等比数列是另一个常见的数列类型。
与等差数列类似，求解等比数列的通项或前n项和也是考点之一。
解题技巧包括使用通项公式和求和公式进行求解。
此外，还需要注意等比数列的特点，如首项、公比以及递推关系等，利用这些特点进行解题分析。
数列极限数列极限是高中数学竞赛中较为复杂和抽象的题目之一。
要求求解数列的极限值，需要运用极限的定义和性质进行分析。
解题技巧包括使用夹逼定理和数列收敛性的判定方法，以及灵活运用数列极限的性质，如极限运算法则、极限不等式和极限的唯一性等。
几何与三角形平面几何平面几何是高中数学竞赛中的一个重要部分。
常见的几何题目包括线段、角度、三角形、四边形和圆等。
解题技巧包括使用几何图形的性质和定理进行分析，灵活运用平行线、垂直线、相似三角形、角平分线和圆的性质等。
此外，还需要注意对等式和不等式进行推导和证明。
三角函数三角函数是高中数学竞赛中的另一个重要内容。
常见的三角函数题目包括求解三角方程、三角恒等式、三角函数图像和三角函数性质等。
解题技巧包括运用三角函数的定义和性质进行分析，灵活运用三角函数的周期性、奇偶性和对称性，以及运用三角函数的图像进行推导和求解。
三角形三角形是几何学的基本要素之一，也是高中数学竞赛中的重要内容。
常见的三角形题目包括求解三角形的面积、周长、角度和边长等。
高中竞赛教程4.4.5 典型例题分析
§4。
5 典型例题分析例1 用不导热细管连接的两个相同容器里装有压强为1atn ，相对湿度B=50%，温度为100℃的空气。
现将其中一个容器浸在温度为0℃的冰中，试问系统的压强改变为多少？每一容器中的相对湿度是多少？已知0℃时水的饱和汽压为4.6mmHg 。
分析:当一个容器浸在0℃的冰中，另一容器中的空气与水蒸气将流入这一容器，整个系统的压强将逐步降低。
达到平衡时，空气在两容器中的分压也应相等。
解:设平衡时空气在两容器中的分压02,1,V atm p p o =空为每一容器体积，由空气的总摩尔数不变的条件得00002100022RT pV RT V p RT V p =⋅+⋅空空解得 m m H g p 3212=空 由于水蒸气分压不可能比同一温度下饱和蒸气压大，即mmHg p p 6.42=≤饱水，若没有水蒸气凝结，则按理想气体方程，在末态的水汽分压应等于321mmHg ，因为在初态时空气和水汽的分压是相等的。
但2空p 比4.6mmHg 大得多，说明在0℃的容器中已有水凝结，因而水p 2=4.6mmHg 所以在末态的压强mmHg p p p 326222=+=水空故在0℃容器中的相对湿度%1000=B ，而在100℃容器中的相对湿度为%6.0%1007606.4100=⨯=B 。
例1 把质量为g m 1001=的2N 与未知质量的2O 混合，在温度T=77.4K 的条图4-5-1件下，让单位体积的混合气体作等温压缩。
混合后气体压强和体积关系如图4-5-1所示。
(1)确定2O 质量2m ；(2)计算T=77.4K 时饱和2O 的压强2p 。
解:说明T=77.4K 是在标准大气压下液态氮的沸点，液态氧的沸点更高。
因为液态氧的沸点更高，所以在等温压缩中，氧气先达到饱和气压。
从图中可知，从A 点起，氧气的压强达到饱和气压，设为2p 由A →B 氧气保持2p 不变而质量减少到达B 点后，氮气压强达到饱和气压，设为1p ，A →B 氮气质量1m 不变，利用状态方程和分压定律得：在A 点：4,,02110222=+==p p RT M mV p RT M m V p A A在B 点： 721=+p p 在A →B 中，氮气质量不变，有01102,2,p p V V V p V p B A B A ===解得a t m p g m a t m p a t m p a t m p 61,1.38,1,6,322210=====例2 两个相同的轻金属容器里装有同样质量的水。
教育考试：高中数学竞赛题目分析与解答
教育考试：高中数学竞赛题目分析与解答1. 引言1.1 概述教育考试一直是学生们在学习过程中必不可少的一环。
其中，高中数学竞赛作为一种特殊的考试形式，对学生的数学水平和解题能力提出了更高的要求。
本文将着重分析和解答高中数学竞赛题目，探讨其类型、解题思路与方法，并剖析常见考点和难点。
1.2 文章结构本文共分为五个部分进行论述。
首先在引言部分进行概述，介绍文章撰写的背景和结构。
接下来在“数学竞赛题目分析与解答”部分，将详细讨论竞赛题目的类型、解题思路与方法以及常见考点和难点。
然后，在“高中数学竞赛题目案例分析”部分，通过选择题、解答题和计算题三个案例进行具体问题的解析。
紧接着，在“高效备考策略与技巧”部分，提供制定合理备考计划、掌握关键知识点和解题技巧以及模拟练习与错题总结等方面的建议。
最后，在“结论与展望”部分总结实践经验和教训，并对未来高中数学竞赛发展方向提出展望，同时提出对教育改革的建议和期望。
1.3 目的本文旨在帮助读者更好地理解和应对高中数学竞赛题目，并为备考过程中给予一些建议和技巧。
通过对题目类型、解题思路和常见难点的分析，读者能够更加深入地了解数学竞赛的要求，并在实践中提升自己的学习效果。
此外，文章还将总结实践经验和教训，并展望高中数学竞赛的未来发展方向，以期给教育改革提供一些有益的建议与期望。
2. 数学竞赛题目分析与解答：2.1 竞赛题目类型：在数学竞赛中，常见的题目类型包括选择题、解答题和计算题。
选择题是指给出几个选项，要求选出正确的答案；解答题是指需要用文字或公式详细写出解题过程，并给出最终结果；计算题则着重考察对基本数学运算的熟练掌握程度。
2.2 解题思路与方法：针对不同类型的数学竞赛题目，可以采用不同的解题思路和方法。
一般来说，解决数学问题首先需要理清问题的要求和条件，然后将问题转换成具体的数学表达式，并利用已有的数学知识和技巧进行推导与计算。
对于复杂或难以直接求解的问题，可以尝试利用类比、归纳、递推等方法处理。
数学竞赛试题及答案高中生
数学竞赛试题及答案高中生试题一：代数问题题目：已知\( a, b \) 是方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \) 的两个实根，求 \( a^2 + 5a + 6 \) 的值。
解答：根据韦达定理，对于方程 \( x^2 + bx + c = 0 \)，其根\( a \) 和 \( b \) 满足 \( a + b = -b \) 和 \( ab = c \)。
因此，对于给定的方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \)，我们有 \( a + b =-5 \) 和 \( ab = 6 \)。
由于 \( a \) 是方程的一个根，我们可以将 \( a \) 代入方程得到 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。
所以 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。
试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，已知直角边长分别为 3 厘米和 4 厘米，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度 \( c \) 可以通过直角边 \( a \) 和 \( b \) 计算得出，公式为 \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)。
将给定的边长代入公式，我们得到 \( c = \sqrt{3^2 + 4^2} =\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) 厘米。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项 \( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)，求第 10 项 \( a_{10} \) 的值。
解答：等差数列的通项公式为 \( a_n = a_1 + (n - 1)d \)，其中\( n \) 是项数。
将给定的值代入公式，我们得到 \( a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 9 \times 2 = 3 + 18 = 21 \)。
试题四：组合问题题目：从 10 个不同的球中选取 5 个球，求不同的选取方式有多少种。
高中数竞练习题及讲解推荐
高中数竞练习题及讲解推荐### 高中数学竞赛练习题及讲解推荐在高中数学竞赛中，练习题的质量和讲解的深度对于学生掌握数学概念和解题技巧至关重要。
以下是一些精选的高中数学竞赛练习题以及相应的讲解推荐，旨在帮助学生提升解题能力。
#### 1. 组合数学问题练习题：一个班级有30名学生，需要从中选出5名学生组成一个委员会。
求出所有可能的委员会组合数。
讲解推荐：这个问题可以通过组合数学中的组合公式来解决。
首先了解组合公式的定义，即C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)，其中n是总数，k是选择的数量。
然后应用公式计算出所有可能的组合数。
#### 2. 几何问题练习题：在一个半径为r的圆内，随机选择三个点，求这三个点构成的三角形面积的期望值。
讲解推荐：这个问题涉及到几何概率和积分的概念。
首先，需要理解几何概率的基本概念，然后通过积分来计算三角形面积的期望值。
可以利用圆的对称性简化问题，然后通过积分来求解。
#### 3. 数列与级数问题练习题：给定数列{an}，其中a1 = 1，an = 2an-1 + 1，求数列的前10项。
讲解推荐：这是一个递推数列问题。
首先，根据递推公式计算出数列的前几项。
然后，尝试找出数列的规律或者通项公式。
对于此类问题，通常需要观察数列的增长模式，或者使用数学归纳法来证明猜想。
#### 4. 代数问题练习题：解方程x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = 0。
讲解推荐：这个问题可以通过因式分解或者使用代数方法来解决。
首先尝试直观地找到方程的根，然后使用合成除法或者多项式除法来分解方程。
如果直观方法无效，可以尝试使用更高级的代数技巧，如根的有理解猜测。
#### 5. 函数与方程问题练习题：证明函数f(x) = x^2 - 4x + 4在区间[0, 2]上单调递减。
讲解推荐：这个问题涉及到函数的单调性。
首先，找到函数的导数f'(x)。
然后，分析导数在指定区间的符号，以确定函数的单调性。
习题解析：高中数学竞赛试题解析合集
习题解析：高中数学竞赛试题解析合集引言高中数学竞赛试题解析是学习数学竞赛题目的重要一环。
通过分析和解答高中数学竞赛试题，我们可以深入理解数学的应用和思维方法，提高自己的解题能力。
本篇文章将为大家带来一系列高中数学竞赛试题的解析，帮助大家更好地掌握数学竞赛的解题技巧和思路。
第一章：代数与方程H1 方程与不等式方程与不等式是代数学中的重要内容。
对于高中数学竞赛来说，解方程与不等式经常是考察的重点之一。
在这一章中，我们将解析一些常见的方程和不等式的解题思路。
H2 一次方程一次方程是最基本的代数方程之一，其形式为ax+b=0。
我们将通过具体的例子来解析一次方程的解题方法。
H3 例题1：解一次方程已知一次方程3x−5=2x+7，求解x的值。
解析：将方程左右两边的项进行整理，可以得到3x−2x=7+5。
化简后得到x=12。
因此，方程的解为x=12。
H3 例题2：方程的应用小明今年的年龄是小Li 去年的年龄的两倍，小明明年的年龄是小Li 明年的年龄的一半。
求小明和小Li 今年的年龄。
解析：设小明今年的年龄为M ，小Li 今年的年龄为L 。
根据题意，可以建立如下的方程组：M =2L M +1=L +12将第一个方程变形为M −2L =0，然后代入第二个方程，得到(2L)+1=L+12。
整理后得到L =3，再代入第一个方程得到M =6。
因此，小明今年的年龄为6岁，小Li 今年的年龄为3岁。
H2 二次方程二次方程是形如ax 2+bx +c =0的方程，其中a ≠0。
解二次方程常用的方法有配方法、因式分解法和求根公式法等。
下面将通过例题展示这些解法。
H3 例题3：配方法已知二次方程x 2−6x +8=0，求解x 的值。
解析：对于这个方程，我们可以通过配方法来解决。
首先，我们将方程的常数项拆解成两个数的和与两个数的积，即8=2×4。
然后，我们将方程的x 2−6x 这一项进行拆分，使其成为两个数的和，且这两个数的和等于方程的一次项系数的相反数。
2021-2022年高中数学竞赛训练讲义及详细答案
2021-2022年高中数学竞赛训练讲义及详细答案一、选择题1、为互不相等的正数，，则下列关系中可能成立的是（ ）．、； 、 ； 、； 、；2、设 ，又记()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +===则（ ）．、； 、 ； 、； 、；3、设为锐角，，则的大小顺序为（ ）．、； 、 ； 、； 、；4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（ ）.、； 、； 、； 、.5、正四棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为，则其侧面与底面的夹角为( ).、； 、； 、； 、 .6、正整数集合的最小元素为，最大元素为，并且各元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列，则并集中的元素个数为（ ）．、 、； 、； 、. 二、填空题 7、若实数满足：1031031031031,125263536x y x y+=+=++++，则 .8、抛物线顶点为，焦点为，是抛物线上的动点，则的最大值为 ．9、计算 .10、过直线：上的一点作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为，则椭圆的方程为 . 11、把一个长方体切割成个四面体，则的最小值是 .12、将各位数码不大于的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列，则 ．三、解答题 13、数列满足：；令A B CD12111,1,2,k ky k a a a =+++=；求 ．15、若四位数的各位数码中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数．参考答案一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、为互不相等的正数，，则下列关系中可能成立的是（ ） 、； 、 ； 、； 、；答案：；解：若，则，不合条件，排除，又由，故与同号，排除；且当时，有可能成立， 例如取，故选．2、设 ，又记()()()()()11,,1,2,,k kf x f x f x f f x k +===则（ ）、； 、 ； 、； 、； 答案：；解：()()1121111,11f x f x f x x f x++===---， ()()323423111,111f f x f x f x x f x f ++-====-+-，据此，()()414211,1n n x f x f x x x+++==--，()()4341,1n n x f x f x x x +-==+，因为型，故选. 3、设为锐角，，则的大小顺序为（ ） 、； 、 ； 、； 、； 答案：；解：sin cos 1sin cos sin cos x y αααααα+=≥=++，2sin cos sin cos z y αααα=≤=<=+，故.4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（ ）.、； 、； 、； 、. 答案：；解：选两色有种，一色选择对角有种选法，共计种； 选三色有种，其中一色重复有种选法，该色选择对角有种选法，另两色选位有种，共计种；四色全用有种（因为固定位置），合计种.5、正四棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为，则其侧面与底面的夹角为( ).、； 、； 、； 、 . 答案：；解：设底面正方形边长为，棱锥的高为，侧面三角形的高为，则 ，，则，.6、正整数集合的最小元素为，最大元素为，并且各元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列，则并集中的元素个数为（ ）．、 、； 、； 、.答案：；解：用表示集的元素个数，设，由，得，于是，，175910032006131759A A A ==+=⨯；从而175917591003119353151A A A A A =+-=+-=．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）A B CD7、若实数满足：1031031031031,125263536x y x y+=+=++++，则 .答案：； 解：据条件，是关于的方程的两个根，即()233560t x y t -+--+=的两个根，所以；．8、抛物线顶点为，焦点为，是抛物线上的动点，则的最大值为 ． 答案：；解：设抛物线方程为，则顶点及焦点坐标为，若设点坐标为，则22222222242MO x y x px p MF p x px x y ++⎛⎫== ⎪⎝⎭⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭()222222224313234444x px x px px x px x p x px ++=≤=+++++， 故．（当或时取等号）9、计算 .答案：.解：()000000012cos102sin 3010241sin10cos10sin 202⎛⎫ ⎪-⎝⎭==． 10、过直线：上的一点作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为，则椭圆的方程为 . 答案：；解：设直线上的点为，取关于直线的对称点，据椭圆定义，12222a PF PF PQ PF QF =+=+≥== ，当且仅当共线，即，也即时，上述不等式取等号，此时， 点坐标为，据得，，椭圆的方程为. 11、把一个长方体切割成个四面体，则的最小值是 . 答案：；解：据等价性，只须考虑单位正方体的切割情况，先说明个不够，若为个，因四面体的面皆为三角形，且互不平行，则正方体的上底至少要切割成两个三角形，下底也至少要切割成两个三角形，每个三角形的面积，且这四个三角形要属于四个不同的四面体，以这种三角形为底的四面体，其高，故四个不同的四面体的体积之和，不合；所以，另一方面，可将单位正方体切割成个四面体； 例如从正方体中间挖出一个四面体，剩下四个角上的四面体，合计个四面体.12、将各位数码不大于的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列，则 ．答案：； 解：简称这种数为“好数”，则一位好数有个；两位好数有个；三位好数有个；…，位好数有个；，记，因，，即第个好数为第个六位好数；而六位好数中，首位为的共有个，前两位为的各有个，因此第个好数的前两位数为，且是前两位数为的第个数；而前三位为的各个，则的前三位为，且是前三位数为的第个数；而前四位为的各个，则的前四位为，且是前四位数为的第个数；则的前五位为，且是前五位数为的第个数，则．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）1A13、数列满足：()()111,211n n n na a a n na +==++；令 12111,1,2,k ky k a a a =+++=；求解：改写条件式为，则()()()112211111111111122n n n n n na na n a n a n a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，111111111k kk i i i k x a i i k k ==⎛⎫==-=-= ⎪+++⎝⎭∑∑； ()2111111kk k kk i i i i i y i i i i a ======+=+=∑∑∑∑()()()()()121112623k k k k k k k k ++++++=；()()()()22111121112233236nnk kk k n n n n n x y k k ==+++⎛⎫=+=+⋅ ⎪⎝⎭∑∑． 15、若四位数的各位数码中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数．解：称为的数码组，则{},,,1,2,,9a b c d M ∈=；一、当数码组只含一个值，为，共得个值； 二、当数码组恰含二个值，．、数码组为型，则任取三个数码皆可构成三角形，对于每个 ，可取个值，则数码组个数为，对于每组， 有种占位方式，于是这种有个．、数码组为型，，据构成三角形条件，有，共得个数码组，对于每组，有种占位方式，于是这种有个． 、数码组为型，，据构成三角形条件，有，同上得个数码组，对于每组，两个有种占位方式，于是这种有个．以上共计个．三、当数码组恰含三个值，．、数码组为型，据构成三角形条件，则有，这种有组，每组中有种占位方式，于是这种有个． 、数码组为型，，此条件等价于中取三个不同的数构成三角形的方法数，有组，每组中有种占位方式，于是这种有个．、数码组为型，，同情况，有个值． 以上共计个值．四、互不相同，则有，这种有组，每组有个排法，共得个值．综上，全部四位三角形数的个数为93049843841681+++=个．xx 年南菁高中数学竞赛训练讲义（二）一、选择题1、若点P （x ，y ）在直线x+3y=3上移动，则函数f （x ，y ）=的最小值等于（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）2、满足的正整数数对（x ，y ）（ ）（A ）只有一对 （B ）恰有有两对 （C ）至少有三对 （D ）不存在3、设集合M={-2，0，1}，N={1，2，3，4，5}，映射f ：MN 使对任意的x ∈M ，都有是奇数，则这样的映射f 的个数是（ ）（A ）45 （B ）27 （C ）15 （D ）114、设方程1)19cos()19sin(2007220072=+y x 所表示的曲线是（ ） （A ）双曲线 （B ）焦点在x 轴上的椭圆 （C ）焦点在y 轴上的椭圆 （D ）以上答案都不正确5、将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。
高中数学竞赛试题解析
高中数学竞赛试题解析引言高中数学竞赛是培养学生数学思维和解决问题能力的重要途径之一。
在这个竞赛中，学生们需要面对各种复杂的数学题目，并提供准确的解答。
本文将对高中数学竞赛经典试题进行详细解析，帮助读者更好地理解问题并掌握解题技巧。
试题一：函数与方程题目描述给定一个二次函数f(x)=ax2+bx+c，已知该函数通过点(1,3)和(2,7)。
求出a、b、c的值。
解析我们可以利用已知的两个点来建立方程组，进而求解a、b、c。
首先，由于f(1)=3和f(2)=7，我们得到以下两个方程：a+b+c=3 (1)4a+2b+c=7 (2)然后，我们可以通过联立方程组来解得a=1,b=1,c=1。
因此，二次函数为f(x)=x2+x+1。
试题二：概率与统计题目描述有一个袋子里面有10个球，其中有3个红色球和7个蓝色球。
现从袋中随机取1个球，然后将其放回，再继续取另一个球。
求：两次都取到红色球的概率是多少？解析设事件A为第一次取到红色球，事件B为第二次也取到红色球。
根据概率的性质和独立性，我们可以使用条件概率公式计算这一概率：P(A∩B)=P(B∣A)⋅P(A)首先，因为每个球被放回袋中后重新混合，所以第二次取到红色球的概率与第一次没有关系。
故P(B∣A)=P(B)。
其次，第一次取到红色球的概率是310。
因此，两次都取到红色球的概率为：P(A∩B)=P(B∣A)⋅P(A)=P(B)⋅P(A)=(310)2=0.09结论本文对高中数学竞赛中涉及函数与方程、概率与统计等题目进行了详细解析。
通过理解问题背景和运用相应的数学知识和技巧，读者可以更好地应对这类试题，并在竞赛中取得好成绩。
希望本文对您的学习有所帮助！。
高中希望杯数学竞赛试题详解(1-10题)
题1 已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是 .（第十一届高二第一试第11题）解法1 b b a a b b a x ++=-+=，ab b aa b b y -+=--=.y x a b b b b a b a <∴-+>++∴<<,,0 .解法2bb a ab b a b b b b a y x ++-+=---+=，y x y x a b b a <∴<∴->+,1, . 解法3a ab b a b b a ab b b b a y x -+-++=----+=-1111 =y x yx a a b b a <∴>-∴>--+,011,0.解法4 原问题等价于比较a b b a -++与b 2的大小.由,2)(222y x y x +≥+得b a b b a a b b a 4)(2)2=-++≤-++（，b a b b a 2≤-++∴. y x b a b b a a b b a <∴<-++∴-≠+,2, .解法5 如图1，在函数x y =的图象上取三个不同的点A（a b -，a b -）、B （b ，b ）、C （b a +，b a +）. 由图象，显然有AB BCk k <，即)()(a b b ab b b b a b b a ----<-+-+， 即a b b b b a --<-+，亦即y x <.解法6 令()f t a t t =+-，tt a at f ++=)( 单调递减，而a b b ->，)()(a b f b f -<∴，即a b b b b a --<-+，y x <∴.解法7 考虑等轴双曲线)0(22>=-x a y x . 如图2，其渐近线为x y =.在双曲线上取两点 A （b ，a b -）、B （a b +，b ）. 由图形，显然有1>AB k ，即1>-+--bb a ab b ，从而y x <.ABCxyO b-a b b+a图1ABOxyb a a b +解法8 如图3.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，BC=a ，AC=b ，BD=b ，则AB=b a +，DC=a b -. 在△ABD 中，AB-AD<BD ，即-+b a AD b <，从而-+b a AD-DC<-b DC ，即a b b b b a --<-+，故y x <.评析 比较大小是中学代数中的常见内容.其最基本的方法是作差比较法、作商比较法、利用函数的单调性.解法1通过分子有理化（处理无理式常用此法）将问题转化成比较两个分母的大小.解法2直接作商与1比较大小，顺理成章，也很简洁.要注意的是：0,>b a 时，1a a b b >⇔>；0,<b a 时，1aa b b>⇔<.此题直接作差难以确定差与0的大小，解法3对y x ,的倒数作差再与0比较大小，使得问题顺利获解，反映了思维的灵活性.解法6运用函数的单调性解题，构造一个什么样的函数是关键.我们认为构造的函数应使得y x ,恰为其两个函数值，且该函数还应是单调的（最起码在包含y x ,对应的自变量值的某区间上是单调的）.解法5与解法7分别构造函数与解几模型，将y x ,的大小关系问题转化成斜率问题加以解决，充分沟通了代数与几何之间的内在联系，可谓创新解法.解法8充分挖掘代数式的几何背景，构造平面图形，直观地使问题得到解决，这也是解决大小关系问题和证明不等式的常用方法.有人对此题作出如下解答：取,2,1==b a 则12112,23123+=-=+=-=y x ，322+>10+>，.,121231y x <∴+<+可再取两组特殊值验证，都有y x <.故答案为y x <. 从逻辑上讲，取2,1==b a ，得y x <.即使再取无论多少组值（也只能是有限组值）验证，都得y x <，也只能说明y x >或y x ≥作为答案是错误的，而不能说明y x <一定是正确的,因为这不能排除x y =的可能性.因此答案虽然正确，但解法是没有根据的.当然，如果将题目改为选择题：已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是 （ ）A 、y x >B 、y x ≥C 、y x =D 、y x <此时用上述解法，且不用再取特殊值验证就可选D ，并且方法简单，答案一定正确.总而言之，特殊值法在解许多选择题时显得特别简捷，那是因为选择支中的正确答案是唯一的，从而通过特殊值排除干扰支，进而选出正确答案.但特殊值法只能排除错误结论，而不能直接肯定正确答案，因此，用此法解填空题（少数特例除外）与解答题是没有根据的.当然，利用特殊值指明解题方向还是十分可取的.题2 设c b a >>N n ∈,，且11n a b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值为 （ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5（第十一届高二第一试第7题）ABD Cb图3a ab +b a -b解法1 原式n c b c a b a c a ≥--+--⇔．mina c a c n ab bc --⎡⎤∴≤+⎢⎥--⎣⎦．而b a c a --+c b c a -- =b ac b b a --+-+b c a b b c -+--=2+b a c b --+c b b a --≥4，且当b ac b --=cb ba --，即bc a 2=+时取等号．mina c a c ab bc --⎡⎤∴+⎢⎥--⎣⎦4=．4n ∴≤．故选C ． 解法2 c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ，已知不等式化为()()()2a c n a b b c -≤--．由()()()()22242a c a c ab bc a b b c --≥=---+-⎛⎫⎪⎝⎭，即()()()4min2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---c b b a c a ，故由已知得4≤n ，选C ．解法3 由c b a >>，知0,0,0>->->-c a c b b a ，有()⎪⎭⎫⎝⎛-+--≤c b b a c a n 11．又()()()[]()41111112=+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c b b a c b b a c a ，即()411min=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c a ，由题意，4≤n ．故选C ． 解法4 c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ．∴已知不等式可变形为()()()2a c n a b b c -≤--．记()()()2a c k ab bc -=--，则()()[]()()()()[]()()4222=----≥---+-=c b b a c b b a c b b a c b b a k ．由题意，4≤n ．故选C ．解法5 c b a >>110,0.a b b c∴>>--于是 ()()ca cb b ac b b a -=-+-≥-+-4411．比较得4≤n ．故选C ． 评析 由已知，可得()⎪⎭⎫⎝⎛-+--≤c b b a c a n 11恒成立．根据常识“若()a f x ≤恒成立，则()min x f a ≤；若()x f a ≥恒成立，则()max a f x ≥,”()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--c b b a c a 11的最小值就是所求n 的最大值，故问题转化为求()⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c a 11的最小值，上述各种解法都是围绕这一中心的，不过采用了不同的变形技巧，使用了不同的基本不等式而已．解法1运用了2,,baa b R a b++≥∈“”；解法2运用了”“22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab ；解法3运用了()”“411≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++b a b a ；解法4运用了()”“+∈≥+R b a ab b a ,2；解法5运用了()”“+∈+≥+R b a ba b a ,411．虽解法异彩纷呈，但却殊途同归． 此题使我们联想到最新高中数学第二册（上）P 30第8题： 已知c b a >>，求证：0111>-+-+-ac c b b a ． 证：令()0,0,>>=-=-y x y c b x b a ，则y x c a +=-．()22111111x y xya b b c c a x y x y xy x y ++∴++=+-=---++．0,0x y >>， 0111>-+-+-∴ac c b b a ． 此证法通过换元将分母中的多项式改写成单项式，使得推证更简单了．运用这一思路，又可得本赛题如下解法：设()0,0,>>=-=-y x y c b x b a ，则y x c a +=-．ca nc b b a -≥-+-11恒成立，就是y x ny x +≥+11恒成立．也就是()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤y x y x n 11恒成立．()411≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++y x y x 恒成立， ∴由题意得4≤n ．故选C ．再看一个运用这一思想解题的例子．例 设+∈R c b a ,,，求证：2222cb a b ac a c b c b a ++≥+++++． （第二届“友谊杯”国际数学竞赛题）证明 设,,,z b a y a c x c b =+=+=+则()()0,,21>++=++z y x z y x c b a ． ()()()02222≥+-=++-+y x xy bx ay y x b a y b x a ，()222a b a b x y x y +∴+≥+ ①， ()()()()222222222a b a b c a b c a b c c a b c x y z x y z x y z a b c +++++++∴++≥+≥==+++++,即 2222c b a z c y b x a ++≥++，2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++∴． 本赛题还可直接由下面的命题得解．命题 若021>>>>n a a a ，则()nn n a a n a a a a a a --≥-++-+--12132211111 ．证明 021>>>>n a a a ，n n a a a a a a ---∴-13221,,, 都大于0．反复运用①式，可得: “若,(1,2,,)i i x y R i n +∈=,则22111n i ni i ni iii x x y y ===⎛⎫⎪⎝⎭≥∑∑∑,当且仅当1212nnx x x y y y ===时取等号”.故有()()22122311223111111111n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a --+++-+++≥=----+-++--． 也可以这样证明：021>>>>n a a a ，12231,,,0n n a a a a a a -∴--->．故由柯西不等式，得()()()1223112231111()n n n na a a a a a a a a a a a --+++-+-++-⎡⎤⎣⎦---()()211111n -≥+++个()21n =-，即()()21132211)111(-≥--++-+--n a a a a a a a a n nn ．01>-n a a ，()nn n a a n a a a a a a --≥-++-+-∴-12132211111 ． 由此可得本赛题的如下解法：c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ，()ca cb b ac b b a -=-+-+≥-+-∴411112．由 题意，4≤n ．故选C ．由此命题还可直接解决第七届高二培训题第8题：设1232000200a a a a a >>>>>，并且122320002001111m a a a a a a =+++---，200116104a a n -⨯=，则m 与n 的大小关系是 ( ) A 、n m < B 、n m > C 、n m ≥ D 、n m ≤ 解12320002001a a a a a >>>>>，2001162001121042000a a a a m -⨯=-≥∴．故选C ． 题3 设实数y x n m ,,,满足a n m =+22，b y x =+22，则ny mx +的最大值为 ( )A 、21()b a +B 、2122b a + C 、222b a + D 、ab（第十一届高二培训题第5题）解法1 设,sin ,cos ααa n a m ==,sin ,cos ββb y b x ==则,)cos(sin sin cos cos ab ab ab ab ny mx ≤-=+=+βαβαβα即)(ny mx +max =ab .故选D ．解法2 b n a b m a b a n m =+⇒=+2222,又b y x =+22,+=+∴mx abny mx a b )( ≤ny ab 22222222()()()()222b b b m x n y m n x y a a a ++++++==.2b b a a b=+⋅nymx +∴,ab ab b =≤当且仅当b m x a =且,b n y a=即my nx =时取等号，max )ny mx +∴（.ab = 解法3 2222222222222()2mx ny m x mxny n y m x m y n x n y +=++≤+++()()2222,m n x y ab =++=,mx ny ab ∴+≤当且仅当my nx =时取等号，故()max mx ny ab +=.解法4 设()(),,,,p m n q x y →→==则cos ,p q p q p q θ→→→→→→⋅=⋅⋅≤⋅222,p q p q →→→→∴⋅≤⋅()()222mx ny m n+≤+即()22,xyab +=当且仅当,p q →→共线，即my nx =时取等号，故()max mx ny ab +=.解法5 若设mx ny k +=，则直线mx ny k +=与圆22x y b +=有公共点，于是22k b m n≤+，即()max ,k mx ny ab mx ny ab =+≤∴+=.解法6 设12,z m ni z x yi =+=-,则()()()()12,z z m ni x yi mx ny nx my i =+⋅-=++-∴()()()2221212,z z mx ny nx my mx ny mx ny mx ny mx ny z z ⋅=++-≥+=+≥+∴+≤12z z =⋅2222,m n x y ab =+⋅+=当且仅当my nx =时取等号，故()max mx ny ab +=．解法7 构造函数()()()222222f X m n X mx ny X x y =+++++， 则()()()220.f X mX x nX y =+++≥故()()()2222244mx ny m nxy ∆=+-++()2440,mx ny ab =+-≤即()max .mx ny ab mx ny +≤∴+.ab =解法8 由2222,m n a x y b +=+=还可构造图形（如图），其中90A C BA DB ︒∠=∠=,b A C m a=,bB Cna= BCA,,BD x AD y AB b ===为圆的直径，由托勒密定理,AD BC BD AC ⋅+⋅2,AB CD AB =⋅≤得,b b m x n y b a a⋅+⋅≤，从而得m x n y a b +≤，当且仅当my nx =且0mx >时取等号．()max mx ny ab ∴+=．评析 解法1抓住已知条件式的结构特征，运用三角代换法，合情合理，自然流畅，也是解决此类型问题的通法之一．解法2运用基本不等式222b a ab +≤将ny mx +放大为关于22n m +与22y x +的式子，再利用条件求出最大值．值得注意的是，稍不注意，就会得出下面的错误解法：()()()22222222max ,22222m n x y m x n y a b a bmx ny mx ny ++++++++≤+==∴+=．故选A ．错误的原因就在于用基本不等式求最值时未考虑等号能否取到．上述不等式取等号的条件是x a =①且y b =②，而若①，②式同时取得，则2222m n x y +=+，即,a b =这与题设矛盾！即当a b ≠时，mx ny +取不到2a b+．解法2是避免这种错误的有效方法． 由于向量与复数的模的平方是平方和形式，与已知形式一致，故解法4与解法6分别运用了构造向量与构造复数的方法，新颖而简洁．解法5设k ny mx =+后，将其看作动直线，利用该直线与定圆b y x =+22有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径，得ab ny mx k ≤+=，充分体现了等价转化的解题功能．解法7运用的是构造函数法．为什么构造函数()()()2222f X m n X mx ny X =+++2x +2y +呢？主要基于两点：①()f X 为非负式（值大于等于0），②由于()0≥X f ，故有0≤∆，而∆沟通了已知与未知的关系，故使问题得到解决．解法8抓住已知两条件式的特征，构造了两个有公共边的直角三角形，利用托勒密定理及圆的弦小于等于半径使问题获解，充分揭示了这一代数问题的几何背景．拓展 此题可作如下推广 若2222221212,,n n a a a p b b b q +++=+++=则()1122max n n a b a b a b +++pq =（当且仅当()1,2,,i i qa b i n p==时取得最大值）.证明 2222221212n n q q q a a a p a a a p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⇒+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.q =1122a b a b ∴+++1122n n n n p qqqa b a b a b a b q p pp ⎛⎫=⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭p q ≤2222221122222n n q q q a b a b a b p p p ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+++ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=(),22222222122221pq qp p q q p b b b a a a pq q p n n=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++ 当且仅当()().,,2,1m a x2211pq b a b a b a n i b a pqn n i i =+++∴== 时取等号，本推广实际就是由著名的Cauchy （柯西）不等式()()()222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a +++⋅+++≤+++ （当且仅当nn b a b a b a === 2211时取等号）直接得到的一个结论．推广有十分广泛的应用，现举一例：例 已知123,,,,,,234,8.a b c x y z R a b c x y z +∈++=++=且求23a b cx y z++最大值． 解 ()()()222123234234,8a b c a b cx y z ++=⇒++=++=2212x y ⎛⎫⎛⎫⇒+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23z ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭＝8．由推广知23a b c x y z ++123234842,a b c x y z =⋅+⋅+⋅≤⨯=当且仅当81,4a x=82832,3,44b c y z==即12ax by cz ===时取等号．max23a b c x y z ⎛⎫∴++= ⎪ ⎪⎝⎭.24 题4 对于1≤m 的一切实数m ，使不等式221(1)x m x ->-都成立的实数x 的取值范围是＿＿＿＿（第十三届高二培训题第63题）解法1 题设等价于⎪⎩⎪⎨⎧--<>-1120122x x m x 或⎪⎩⎪⎨⎧--><-1120122x x m x 或⎩⎨⎧>-=-012012x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧--<>-11210122x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧-->-<-11210122x x x 或⎩⎨⎧>-=-012012x x ,所以21<<x 或113<<-x 或1=x ，即)2,13(-∈x . 解法2 已知不等式即()()01212<---x m x ，令()()121)(2---=x m x m f ，则当012≠-x ，即1±≠x 时，)(m f 是m 的一次函数，因为1≤m ，即11≤≤-m 时不等式恒成立，所以)(m f 在[]1,1-上的图象恒在m 轴的下方，故有⎩⎨⎧<+--=<+-+-=-0121)1(0121)1(22x x f x x f ，即⎩⎨⎧<->-+0202222x x x x ，解得213<<-x )1(≠x .又当1=x 时，1)(-=m f ，适合题意，当1-=x 时，()3f m =不合题意. 故x 的取值范围是213<<-x .评析 解决本题的关键是如何根据条件构建关于x 的不等式或不等式组.解法1运用分离参数法，为了达到分离参数的目的，又对12-x 分大于0、小于0、等于0三类情形分别构建关于x 的不等式组，从而通过解不等式组解决了问题.解法2则转换思维角度，把已知不等式看成关于m 的不等式，从而将原问题转化为函数()()121)(2---=x m x m f 在[]1,1-上的图象恒在m 轴下方的问题.这种方法称为变更主元法.用此方法，使得此题的解决显得既简捷，又直观易懂.题5 当0x a <<时,不等式2)(1122≥-+x a x 恒成立,则a 的最大值是________. (第十一届高二培训题第45题)解法 1 当0x a <<时, 2≥-+-x a x x x a ①,又有2)()(2222≥-+-x a x x x a ②, ②+①×2,得6)(222222≥--+-x a x ax x x a ,6)()(122222≥---+-x a x a a x a ,8)(2222≥-+x a a x a ,即2228)(11a x a x ≥-+.由282≥a,得02a <≤,2max =∴a . 解法2 2222)11()11()(112x a x x a x x a x --+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+ , 又 =-+x a x 11 +a 4(1a 2)x a x x x a ---, 222)4()(112a x a x≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∴, 即2228)(11a x a x ≥-+, 当且仅当xa xx x a -=- 且x a x -=11, 即 2ax = 时取等号. 2)(1122≥-+x a x 恒成立, ∴282,02a a ≥<≤. 于是2max =a .解法3 原不等式等价于12)(1122≥-+x a x ,由 0x a <<,可知10,x >10a x >-. 由 “两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”, 可知只需1)(2≥-+x a x , 即2≤a 即可, 故02a <≤, 于是2m a x =a .解法422)(11x a x -+2≥ 即 2)(112222≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++x x a x x ①成立，又 2122≥+x x 恒成立， ∴a 只要满足22)(1x x a --0≥②就能使①恒成立.由②式，得2x 2)(x a -1≤，1)(≤-x a x ，012≤-+-ax x ③.由于对称轴),0(2a ax ∈=，由二次函数的性质，当),0(a x ∈时，要③式恒成立，则24002a a ∆=-≤∴<≤ 2max =∴a .解法5 设αα22sin ,cos =-=ax a a x （0x a <<），则22)(11x a x -+=α42cos 1a + α42sin 1a ==+⋅αααα44442cos sin cos sin 1a =-⋅αα2sin 1612sin 2111422aαα2sin 2sin 28422-⋅a . )22(sin 2+αα2(sin 2－1）0≤，即2－αα2sin 2sin 42≥，则αα2s i n 2s i n 242-1≥)12s i n(2时取等号当=α，于是2228)(11ax a x ≥-+，由已知，得282,02,a a ≥∴<≤2max =∴a . 解法6 设11,(0,0),X Y X Y x a x==>>-则2为222X Y +≥表示在XOY 坐标系第一象限内以原点为圆心，半径的圆及其外部.由11,,X Y x a x==-得,aXY X Y =+又aXY X Y =+,4,22a XY XY ≥∴≥它表示双曲线24a XY =位于第一象限内的一支及其上方部分.依题意，双曲线2224(0)200XY X X Y X Y a=>+=>>与圆弧（，）相切或相离，从而282≥a，即02a <≤ 2max =∴a .2 xO解法7 运用结论“如果),,2,1(,n i R y x i i =∈+，则≥+++nn y x y x y x 2222121),()(21221*++++++nn y y y x x x 当且仅当k y x y x y x n n ==== 2211（常数）时取等号.” 0x a <<，∴0.a x ->由柯西不等式，有22222)11())(11)(11(x a x x a x -+≥-++①，由)(*得x a x -+11a4≥②.故,)4())(11(2222a x a x ≥-+得2228)(11a x a x ≥-+，当且仅当2a x =时取等号，由282≥a，得02a <≤ 2max =∴a .解法8 运用结论“212122311111(1),,n n n nn a a a a a a a a a a a -->>>+++≥----若则当且仅当n a a a ,,,21 成等差数列时取等号.”2222111122()(0)()x a x x a x ⎡⎤⎡⎤+=+≥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦2110x a x ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭222160)13(a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≥.∴2228)(11a x a x ≥-+，当且仅当x a x -=，即2a x =时取等号.令282≥a ，得02a <≤ 2max =∴a . 评析2)(1122≥-+x a x 恒成立，∴2)(11min 22≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+x a x.故问题的实质就是求22)(11x a x -+的最小值（关于a 的式子）大于等于2的解.因而在0x a <<的条件下，如何求22)(11x a x -+的最小值成了问题的关键.解法1运用“两个互为倒数的正数的和大于等于2”, 解法2运用配方再放缩, 解法3运用均值不等式及“两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”,解法5运用三角代换，解决了这一关键问题.解法4巧妙地将原问题转化为一个含参（a ）一元二次不等式恒成立，求参数的范围问题，从而运用二次函数的性质解决问题.解法6将原问题转化为解析几何问题处理.解法7、8则是运用一些现成的结论（读者可自己证明），各种解法异彩纷呈，都值得细细品味.拓展 此题可作如下推广：推广 1 若1210n x x x a -<<<<<，则≥-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x 23a n ，当且仅当a x x x n ,,,,121- 成等差数列时取等号.证明 由已知，1210n x x x a -<<<<<，则12x x -0>，23x x -0>，, 1--n x a 0>.根据柯西不等式及解法7运用的不等式（*）,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x n ≥21211111n x x x a x -⎛⎫+++≥ ⎪--⎝⎭2242,n n a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭故≥-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x 23a n . 当且仅当a x x x n ,,,,121- 成等差数列时取等号.推广2 若1210n x x x a -<<<<<，,),,,2,1(++∈=∈N k n i R b i 则++kk x b 111kk n k n k n k k a b b b x a b x x b 121111212)()()(+-+++++≥-++- ，当且仅当∑==ni ii i b ab a 1时取等号. 证明 不妨设112211,,,--=-==n n x a a x x a x a ，=M ,)(11+=∑k ni i b 由已知得i a 0>且),,2,1(n i =,1a a ni i =∑=令a a c i i =，则∑=ni i c 1=111=∑=ni i a a .由均值不等式，++k i k i c b 1≥+++个k i i i Mc Mc Mc ,)1(11+++k k ik b M k 即kik i c b 1+k n i b b b k kMc ))(1(21++++≥+ i b ⋅，则11111(1)()k nn nk i i i ki i i i b kM c k b c ++===+≥+∴∑∑∑1111()k nn k i i k i i i b b c ++==≥∑∑，即11k nki k i ib a a +=≥∑11()n k i i b +=∑，11111()nk k i ni i k k ni ii i b b a a ++===≥⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑∑，当且仅当=i a ∑∑∑====⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n i i i i n i i n i i b ab b b a 111时取等号. ∴++kk x b 111++kk x b 212kn kn x a b )(1--+ k k n a b b b 121)(++++≥ . 题6 已知()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=2,0,log sin πθθx x f ，设⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2cos sin θθf a ， ()θθcos sin ⋅=fb ，⎪⎭⎫⎝⎛+=θθθcos sin 2sin f c ，那么c b a 、、的大小关系是 （ ） A 、b c a ≤≤ B 、a c b ≤≤ C 、a b c ≤≤ D 、c b a ≤≤（第八届高二第一试第10题） 解法1 设p =θsin ，q =θcos .pq qp ≥+2，而()x f 是减函数，()pq fq p f ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴2，即b a ≤.2qp pq +≤，()2pq q p pq +≤∴，pq qp pq≤+2.()pq fq p pq f ≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∴2，即b c ≥.故c b a ≤≤.选D.解法2 由题意，令6πθ=，则21s i n =θ，3cos 2θ=，4312cos sin +=+θθ ，23cos sin 4=θθ，233cos sin cos sin 2cos sin 2sin -=+=+θθθθθθθ，()1,021sin ∈=θ ，()x f ∴是减函数，又233234314->>+，()⎪⎭⎫⎝⎛+<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴θθθθθθθcos sin 2sin cos sin 2cos sin f ff ，即c b a <<.故选D.评析 这是一个比较函数值大小的问题，通常利用函数的单调性.若函数()x f 单调递增（减），则当21x x <时，()()()()()2121x f x f x f x f ><，当21x x >时，()()21x f x f >()()()21x f x f <.因此解决问题的关键有两个：一是确定函数的单调性，二是确定自变量的大小关系.解法1就是这样解决问题的.因为正确答案应对一切⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ都正确，故又可以运用特殊值法.对⎪⎭⎫⎝⎛2,0π内的某个角不正确的选择支都是错误的，由正确选择支的唯一性，也可选出正确答案.解法2便是取特殊值6πθ=，排除了A 、B 、C 、而选D 的.当然，此题也可用作差比较法来解：⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ ，()1,0sin ∈∴θ，()x f ∴是单调减函数，0sin >θ，0cos >θ.=⋅-+=-∴θθθθθθcos sin log 2cos sin log sin sin b a01log cos sin 2cos sin log sin sin =≤⋅+θθθθθθ，b a ≤∴.又-⋅=-θθθcos sin log sin c b 01log cos sin 2cos sin log cos sin cos sin 2cos sin log cos sin 2sin log sin sin sin sin =≤+=+⋅=+θθθθθθθθθθθθθθθθθ，即c b ≤，c b a ≤≤∴.选D.题7 已知21=a ，不等式49321log <⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a的解是 .（第三届高二第二试第13题）解 原不等式即2l o g 32321-⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛-x a. 指数函数x⎪⎭⎫⎝⎛32是减函数，21=a ，∴原不等式化为2log121->-x ，即22121121loglog -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛->x .又 对数函数12log x 是减函数，2211-⎪⎭⎫⎝⎛<-∴x ，即21<-x ，解得31<<-x . 对数函数121log -x 的定义域是1≠x 的实数，∴原不等式的解是11<<-x 或31<<x .评析 此题涉及到指数不等式、对数不等式、绝对值不等式的解法.解指数不等式与对数不等式的基本方法是同底法，即先将不等式两边的指数式或对数式化成底数相同的指数式或对数式，然后根据底数所属区间是()1,0或()+∞,1，确定以该底数为底的指数函数或对数函数的单调性，再去掉底数或对数符号，转化成别的不等式.主要依据如下：⑴若01a <<,则()()()()f x g x a af xg x <⇔>；⑵若1a >,则()()()()f x g x aaf xg x <⇔<； ⑶若01a <<,则()()()()log log 0f x g x a af xg x <⇔>>；⑷若1a >,则()()()()log log 0f x g x aaf xg x <⇔<<.有时需要将常数化为指数式或对数式，其化法如下： ⑴ac ca log =（,0,0>>c a 且1≠c ）；（化为指数式）⑵log ac a c =（,0>c 且1≠c ）.（化为对数式） 例如，23log 32=将常数2化为3为底的指数式，233log 2=将常数2化为3为底的对数式.解指数不等式不需检验，但解对数不等式必须保证解使得对数式有意义，这点常被忽略. 若一个指数不等式的指数部分是对数式，常常采用取对数法求解. 例 不等式()x x x>lg的解集是 .（第十一届高二培训题第40题）解 两边取常用对数，得()x xlg lg2>，即0lg ,0lg 4lg ,0lg lg 4122<>->-x x x x x 或10,4lg <<∴>x x 或410>x .故所求解集是()()+∞,101,04 .应当指出，两边取对数后，不等号的方向变不变，关键看取的是什么底数.如果底数大于1，则不等号方向不变，如果底数大于0且小于1，则不等号方向改变.关于绝对值不等式，主要是根据绝对值的几何意义求解.下列结论应当理解并熟记（a 为常数）.⑴()0≤<a a x 的解集是φ； ⑵()0><a a x 的解集是()a a ,-； ⑶()0<>a a x 的解集是R ；⑷()0x a a >>的解集是()()+∞-∞-,,a a . 下列题目供练习：⑴已知常数⎪⎭⎫⎝⎛∈4,0πθ，则不等式()()8103cot tan 2--->x x x θθ的解集是 .（第八届高二第一试第16题）⑵若函数()⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=4222log log x x x f 的定义域是不等式211222log 7log 30x x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭的解集，则()x f 的最小值= ；最大值= .（第十届高二第一试第23题）⑶不等式22222log 2log x x x x x x ++>的解集是 .（第九届高二培训题第23题）⑷不等式1323>--x 的解是 （ ）（A ）6>x 或232<≤x （B ）6>x 或2<x （C ）6>x （D ）2<x答案 ⑴(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∞-1374,52, ⑵43 ；2 ⑶⎪⎭⎫⎝⎛2,21 ⑷A题8 不等式t x x +≥-21 的解集是∅ ,实数t 的取值范围(用区间形式)是 .(第一届高二第一试第18题)解法1 由t x x +=-21两边平方并整理得012222=-++t tx x ,此方程无实根,故()084184222<+-=--=∆t t t ,22>t .又0>t ,2>∴t .故填()+∞,2.解法2 作出函数21x y -=的图象(即图中的半圆)及函直线应数t x y +=的图象(即图中斜率为1的直线系).由题意,距在半圆的上方,由图象可知直线t x y +=在y 轴上的截2>t .故填()+∞,2.解法3 由012≥-x ,得11≤≤-x .故设θc o s =x ,[]πθ,0∈,则已知不等式就是yx122- -11 ot +≥θθcos sin ,即θθcos sin -≤t .⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-4sin 2cos sin πθθθ ,又⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-43,44πππθ,()sin cos [1,2]θθ∴-∈-.由题意得2>t .故填()+∞,2.评析 这是一道蕴含着丰富数学思想方法的好题.解法1﹑2﹑3分别运用方程思想﹑数形结合思想﹑化归转换思想,从不同的角度解决了问题,体现了这道题的丰富内涵.解法2揭示了本题的几何背景.解法3的依据是:不等式t x x +≥-21 的解集是∅等价于不等式x x t -->21恒成立.有人认为不等式t x x +≥-21 的解集是∅等价于不等式x x t -->21有解,这种观点是错误的.事实上,21=t 时,不等式x x t -->21就有解(比如53=x 就是其一个解),而21=t 时,不等式t x x +≥-21即2112+≥-x x 的解集却不是∅ (比如0就是它的一个解).拓展 通过上面的分析,并作进一步的研究,我们便有下面的 结论 已知t 为参数, ()f x 的值域是[],a b . (1) 若()t f x ≤恒成立,则t a ≤. (2) 若()t f x ≥恒成立,则t b ≥. (3) 若()t f x ≤的解集是∅,则t b >. (4) 若()t f x ≥的解集是∅,则t a <. (5) 若()t f x ≤有解,则t b ≤. (6) 若()t f x ≥有解,则t a ≥.若将()f x 的值域改为[),a b 、(],a b 、(),a b 等，也会有相应的结论，限于篇幅，不再一一列出． 根据这一结论，请回答下列问题：1.不等式213x x t -≥+的解集是∅，则实数t 的取值范围是 ．2.不等式213x x t -≤+的解集是∅，则实数t 的取值范围是 ．3.不等式213x x t -≥+有解，则实数t 的取值范围是 ．4.不等式213x x t -≤+有解，则实数t 的取值范围是 ．5.不等式213x x t ->+恒成立，则实数t 的取值范围是 ．6.不等式213x x t -<+恒成立，则实数t 的取值范围是 ．答案 1. ()2,+∞ 2.(),3-∞- 3.)3,⎡-+∞⎣4.(],2-∞5.(),3-∞- 6.()2,+∞题9 不等式03422≥+---x x x 的解集是 （ ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253 B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-255,253 C 、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-,255253, D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-253,255 （第十三届高二第二试第8题）解法 1 当0342≥+-x x ，即1≤x 或3≥x 时，原不等式就是,03422≥-+--x x x 即0552≤+-x x ，解得2553.255255+≤≤∴+≤≤-x x . 当2430,13x x x -+<即<<时，原不等式就是，03422≥+-+-x x x 即，0132≥+-x x 解得253-≤x 或3535322x x ++≥∴≤<，. 综上，所求解集为3555,33,,22⎡⎫⎡⎤++⎪⎢⎢⎥⎪⎣⎭⎣⎦即⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253.故选A. 解法2 如图，作函数2-=x y 和342+-=x x y 的图象.要求的解集就是21y y ≥，即1y 在2y 上方时x 的区间，即图中线段AB 上的点所对应的横坐标所组成的区间[]B A x x ,.又(),1234222--=+-=x x x y 当32<<x 时，().2122--=x y 由()2212-=--x x 可解得253+=A x .当3>x 时，(),1222--=x y 由()2122-=--x x 可解得255+=Bx ，∴所求不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253，故选A.解法 3 同解法2画出图形后，可知解集为一个闭区间[]b a ,，且()3,2∈a ，对照选择支.可知选A.解法4 当5.1=x 时，03422<+---x x x 时，故1.5不是原不等式的解，从而排除含1.5的B 、1 3A BC 、D ，故选A.评析 解含绝对值的不等式，一般是先去掉绝对值符号，然后再求解.解法1正是运用分类讨论思想这样解决问题的，也是一种通法.我们知道，方程()()x g x f =的解就是函数()x f y =与()x g y =的图象交点的横坐标；若图象无交点，则方程无解.而不等式()()x g x f >的解集则是函数()x f y =的图象在()x g y =的图象上方部分的点的横坐标的集合；若()x f y =的图象都不在()x g y =的图象的上方，则不等式无解.解法2正是运用这种数形结合思想解决问题的.许多超越不等式的近似解或解的所属范围也都运用此法解决. 选择题的正确答案就在选择支中，只是要求我们把它选出来而已.因此,不是非要求出答案再对照选择支选择答案不可的.基于此，解法3运用估算的方法选出了正确答案(注意：估算能力是高考明确要求要考查的能力之一).而解法4则运用特殊值排除了干扰支，进而选出了正确答案.类似这种不等式（方程）的解集是什么的选择题几乎都可用这种方法解，而且十分方便.值得注意的是，特殊值只能否定错误结论，根据正确选择支的唯一性才能肯定正确答案.另外，如何选取特殊值也是很有讲究的，读者可在解题实践中体会并加以总结.题10 不等式199920003224>-+-x x 的解集是 . （第十一届高二培训题第41题）解 设y=x x -+-3224 ，由⎩⎨⎧≥-≥-03024x x ，得定义域为[21，3].1999200010,106144410)3)(24(4)3(42422>≥∴≥-+-+=--+-+-=y x x x x x x y 即原不等式在定义域内恒成立，故所求解集为[21，3]. 评析 解无理不等式，通常是通过乘方去掉根号，化为有理不等式后再解.但从此题中不等式右边的数可以想象该有多么复杂，若将题目改为“276.571623.93224+>-+-πx x 的解集是 ”，还会有谁想通过平方化为有理不等式去解呢？显然，常规方法已难以解决问题，怎么办呢？考虑到不等式中的x ∈[21，3]，从而左边1999200010>≥，故解集就是定义域，这就启示我们，当常规思维受阻或难以奏效时，就应积极开展非常规思维，另辟蹊径，寻求解决问题的新方法.拓展 根据上面的分析，并加以拓广，我们可得结论 设a,b,c 是常数，若[,],()[,],()[,]x a b f x m n g x p q ∈∈∈,则 当m c >时,不等式()f x c >的解集是[,],()a b f x c ≤的解集是φ； 当n c <时, 不等式()f x c ≥的解集是φ,()f x c <的解集是[,]a b ; 当n p >时, 不等式()()f x g x ≥的解集是φ, ()()f x g x <的解集是[,]a b ; 当m q >时，不等式()()f x g x >的解集是[,]a b ，()()f x g x ≤的解集是φ. 根据这一结论，不难求得下列不等式的解集：1、 2sinx+3cosx>4;2、 322163-->-x x ;3、 x x x -<-+-433)1(log 4;4、 sinx-cosx<32+x .答案：1、φ 2、[2，+∞) 3、φ 4、R。
全国高中化学竞赛试题分析及解题方法
我们都哭了，在田野里四处寻 找，找了半个下午，还是没有踪影。
10 风筝 我们垂头丧气地坐在田埂上，一抬
头，看见远远的水面上半沉半浮着 一个巨大的木轮，不停地转着，将 水扬起来，半圈儿水在闪着白光。 那里是我们村的水磨坊。
ห้องสมุดไป่ตู้
全国高中化学竞赛试题分析及解题方法
大家再见
精 希拼 命
却依 奔 村 抖 丧磨坊
精心 希望 依然 飞舞 拼命 抖动 寻找 磨坊 继续 奔跑 大惊失色 千呼万唤 垂头丧气
10 风筝
我们去放风筝。一个人用手托着， 另一个人牵着线，站在远远的地方，说
10 风筝 声“放”，那线一紧一松，风筝就凌空
飞起，渐渐高过树梢了。牵线人飞快地 跑起来。风筝越飞越高，在空中翩翩飞 舞着，我们快活地喊叫着，在田野里拼 命地奔跑。村里人看见了，说：“放得 这么高！”
从早晨玩到下午，我们还是歇 不下来，牵着风筝在田野里奔跑。
忽然吹来一阵风，线嘣地断了。 风筝在空中抖动了一下，便极快地
10 风筝 飞走了。我们大惊失色，千呼万唤，
那风筝越来越小，倏地便没了踪影。
忽然吹来一阵风，线嘣地断了。 风筝在空中抖动了一下，便极快地
10 风筝 飞走了。我们大惊失色，千呼万唤，
那风筝越来越小，倏地便没了踪影。
忽然吹来一阵风，线嘣
10 风筝 地断了。风筝在空中抖动了
10 风筝 风筝越飞越高，似乎飞到了云彩上。
兴奋 快乐 喜悦 愉快
乐滋滋 美滋滋 乐呵呵
欣喜若狂
兴高采烈
从早晨玩到下午，我们还是歇 不下来，牵着风筝在田野里奔跑。