2015-2016学年高中数学 2.2.1-2.2.2向量加法、减法运算及其几何意义课件 新人教A版必修4
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高中数学新课标人教A版必修四《2.2.2向量减法运算及其几何意义》课件
思考1：如果向量a与b同向，如何作出向量
a－b？
a
ｂ
a－b
思考2：如果向量a与b反向，如何作出向
量a－b？
a
ｂ
a－b
第八页，编辑于星期一：点 十分。
思考3：设向量a与b不共线，作 OA=a，
OB =b，由 OB BA OA可得什么结论？
a
O
a
A
b
b
ab
B
BA ab
第九页，编辑于星期一：点 十分。
O思A 考4：设向量a与b不共线，作 OA=a，
AB AC DB
例2 化简下列各式： (1)AB AC DB;
(2)AB BC AD DB.
AB AC 例3 DB 在四边形ABCD中，E、F分别是 AD、BC的中点，求证：
AB EF
EF DC D
E A
C F B
第十五页，编辑于星期一：点 十分。
小结作业
1.向量的减法运算与加法运算是对立统 一的两种运算，在向量的几何运算的主 体内容，二者相互协调和补充.
2.2.1 向量减法运算及其几何意义
第一页，编辑于星期一：点 十分。
问题提出
1.用三角形法则与平行四边形法则求两个 向量的和向量分别如何操作？
b a
a+b b
a
b a+b a
第二页，编辑于星期一：点 十分。
2.向量的加法运算有哪些运算性质？
a＋0=0＋a=a
a与b 为相反向量
a＋b=0
a+b =b+a (a+b )+c=a +(b+c) |a＋b|≤|a|＋|b|
思考7：|a－b|与|a＋b|有什么大小关系
2.2-2.2.2 向量减法运算及其几何意义 秋学期高中数学必修4(人教A版)PPT课件
法二 先作－b，－c，再作 a＋(－b)＋(－c)，如下图 所示．作O→A＝a，A→B＝－b，B→C＝－c，则O→C＝a－b－c.
归纳升华 1．向量的减法的实质是向量加法的逆运算，两个向 量的差仍是向量，利用相反向量可以把减法转化为加法． 2．利用向量减法的几何意义可求两向量的差，即利 用三角形法则来求．
2．运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向 量要有共同的起点．
3．引入点 O，逆用向量减法的三角形法则，将各向 量起点统一．
[变式训练] (1)已知一点 O 到▱ABCD 的 3 个顶点 A，
B，C 的向量分别是 a，b，c，则向量O→D等于( )
A．a＋b＋c
B．a－b＋c
C．a＋b－c
D．a－b－c
第二章 平面向量
2．2 平面向量的线性运算
2．2.1 向量加法运算及其几何意义
2．2.2 向量减法运算及其几何意义
[学习目标] 1.理解向量加法的概念及向量加法的几何 意义(重点)． 2.理解向量的加法交换律和结合律，并能运 用它们进行向量计算(重点)． 3.掌握向量加法的平行四边 形法则和三角形法则，会作已知两向量的和向量(重点、难 点)． 4.掌握向量减法的定义，理解相反向量的概念，掌握 向量减法的运算，并理解其几何意义(重点、难点)．
法三 设 O 为平面内任意一点，则有(A→B－C→D)－(A→C －B→D)＝A→B－C→D－A→C＋B→D＝(O→B－O→A)－(O→D－O→C)－ (O→C－O→A)＋(O→D－O→B)＝O→B－O→A－O→D＋O→C－O→C＋O→A ＋O→D－O→B＝0.
归纳升华 向量减法运算的常用方法
1．可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加 法运算．
[知识提炼·梳理] 1．向量加法的定义及其运算法则 (1)向量加法的定义． 求两个向量和的运算，叫做向量的加法． (2)向量求和的法则．
高中数学《2.2.1向量加法运算及其几何意义》课件新人教A版必
)①AC → (1)AD
→ ②AO
→ ③AD
④0
规律方法
(1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各
向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将 0 写成 0. (2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量 是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．
解 (1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为 20 km/h；小 船逆流行驶时实际速度最小，最小值为 0 k m/h，此时小船是静 止的． → 表示水流的速度，MN → 表示小船实际过河的 (2)如图所示，设MA 速度． 设 MC⊥MA， → |＝|MB → |＝10，∠CMN＝30° |MA .
(2 分)
→ → 依题意，有|AB|＋ |BC|＝800＋800＝1 600(k m)， 又 α＝35° ，β＝55° ，∠ABC＝35° ＋55° ＝90° ， → 所以|AC|＝ → 2 → 2 ＝ 8002＋8002＝800 2(km) |AB| ＋ |BC| (6 分) (8 分)
其中∠BAC＝45° ， 所以方向为北偏东 35° ＋45° ＝80° .
误区警示 【示例】 下列命题：
因忽略特殊向量而出错
①如果非零向量 a 与 b 的方向相同或相反， 那么 a＋b 的方向必 与 a，b 之一的方向相同； → ＋BC → ＋CA → ＝0； ②在△ABC 中，必有AB → → → ③若AB＋BC＋CA＝0，则 A、B、C 为一个三角形的三个顶点； ④若 a，b 均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等． 其中真命题的个数为( )
自学导引 1．向量加法的定义 求
两个向量和
的运算，叫做向量的加法．
2．向量加法的运算法则 (1)三角形法则：已知向量 a，b，在平面上 → → 任取一点 A，作AB＝a，BC＝b，则向量 → AC 叫做 a 与 b 的和(或和向量)，记作 a＋b ， → ＋BC → ＝ AC → .上述求两个向量和的作图法则， 即 a＋b＝AB 叫做 向量求和的三角形法则． 对于零向量与任一向量 a 的和有 a＋0＝0 ＋a＝a.
→ ②AO
→ ③AD
④0
规律方法
(1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各
向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将 0 写成 0. (2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量 是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．
解 (1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为 20 km/h；小 船逆流行驶时实际速度最小，最小值为 0 k m/h，此时小船是静 止的． → 表示水流的速度，MN → 表示小船实际过河的 (2)如图所示，设MA 速度． 设 MC⊥MA， → |＝|MB → |＝10，∠CMN＝30° |MA .
(2 分)
→ → 依题意，有|AB|＋ |BC|＝800＋800＝1 600(k m)， 又 α＝35° ，β＝55° ，∠ABC＝35° ＋55° ＝90° ， → 所以|AC|＝ → 2 → 2 ＝ 8002＋8002＝800 2(km) |AB| ＋ |BC| (6 分) (8 分)
其中∠BAC＝45° ， 所以方向为北偏东 35° ＋45° ＝80° .
误区警示 【示例】 下列命题：
因忽略特殊向量而出错
①如果非零向量 a 与 b 的方向相同或相反， 那么 a＋b 的方向必 与 a，b 之一的方向相同； → ＋BC → ＋CA → ＝0； ②在△ABC 中，必有AB → → → ③若AB＋BC＋CA＝0，则 A、B、C 为一个三角形的三个顶点； ④若 a，b 均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等． 其中真命题的个数为( )
自学导引 1．向量加法的定义 求
两个向量和
的运算，叫做向量的加法．
2．向量加法的运算法则 (1)三角形法则：已知向量 a，b，在平面上 → → 任取一点 A，作AB＝a，BC＝b，则向量 → AC 叫做 a 与 b 的和(或和向量)，记作 a＋b ， → ＋BC → ＝ AC → .上述求两个向量和的作图法则， 即 a＋b＝AB 叫做 向量求和的三角形法则． 对于零向量与任一向量 a 的和有 a＋0＝0 ＋a＝a.
高中数学 2.2.1向量加法运算及其几何意义课件 新人教A版必修4 (2)
二、向量加法的运算律 b+ a 1.交换律：a+b=____. a+(b+c) 2.结合律：(a+b)+c=________.
思考：试举例说明向量加法的运算律是如何简化运算的？
提示：用交换律、结合律可以将多个向量相加转化为首尾相 接的形式，实现简化运算. 如 NQ QP MN MN NQ QP MP.
【知识点拨】
1.对向量的和及向量加法法则的两点说明
(1)向量的和及其物理背景
两向量的和仍是一个向量.向量的加法就是求两个向量和的运
算,是物理学中位移、力的合成等在数学运算中的抽象概括.
(2)三角形法则和平行四边形法则 三角形法则 物理 模型 使用 条件 平行四边形法则
位移的合成
任意两个非零向量
力的合成
A.BC B.AB C.AC D.AM
)
2.如图所示，已知向量a,b,c,试作出向量a+b+c.
【解题探究】1.几何表示式如何进行加法运算？
2.应用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法运算的过
程可以分别简记为什么？
探究提示：
1.运用加法法则的交换律与结合律，再利用三角形法则化简 . 2.三角形法则简记为“首尾相连，始终连线”；平行四边形 法则简记为“共起点，为邻边，平行四边形共起点的对角 线”.
(3)当a,b非零且同向时，作 OA a， 则 a b OB ， 如图 AB b，
②所示，此时|a+b|=|a|+|b|.
(4)当a,b非零且反向时，若|a|＞|b|.作 OA a,AB b，
则 a b OB, 如图③所示，此时|a+b|=|a|-|b|. 同理可证|a|＜|b|时，|a+b|=|b|-|a|;|a|=|b|时， |a+b|=0=|a|-|b|.
高中数学 2.2.1 向量加法运算及其几何意义课件 新人教A版必修4
中力F的分解为平行四边形法则.
例1.如图，已知向量 a , b ，求做向量 a b 。
作法1：在平面内任取一点O，
b
作 OA a ，AB b ，
a
则 OBab。
O
a
A
b
ab
B
三角形法则
例1.如图，已知向量 a , b ，求做向量 a b 。
作法2：在平面内任取一点O，
b
作 OA a ，OB b ，
abABBCAC 这 种 求 向 量 和 的 方 法 ， 称 为 向 量 加 法 的 三 角 形 法 则 。
向量的加法：
B
b
ab
C
起
点
相
同
O
a
A
以 同 一 点 O为 起 点 的 两 个 已 知 向 量a、 b为 邻 边 作OACB,
则 以 O为 起 点 的 对 角 线 OC就 是 a与 b的 和 ab,即
探究：数的加法满足交换律和结合律，即对任意a,b R ，有 abba,
(a b )ca(bc).
那么对任意向量 a , b 的加法是否也满足交换律和结合律？
请画图进行探索。
D
B
a
b
ab
O
a
C abc
c
bc
b
A
ab
C
A
a
b
B
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，
如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以2 3 km/h的速度向
abOAOBOC 这 种 求 向 量 和 的 方 法 ， 称 为 向 量 加 法 的 平 行 四 边 形 法 则 。
对于
零向量
与 a,我 任们 一规 向
例1.如图，已知向量 a , b ，求做向量 a b 。
作法1：在平面内任取一点O，
b
作 OA a ，AB b ，
a
则 OBab。
O
a
A
b
ab
B
三角形法则
例1.如图，已知向量 a , b ，求做向量 a b 。
作法2：在平面内任取一点O，
b
作 OA a ，OB b ，
abABBCAC 这 种 求 向 量 和 的 方 法 ， 称 为 向 量 加 法 的 三 角 形 法 则 。
向量的加法：
B
b
ab
C
起
点
相
同
O
a
A
以 同 一 点 O为 起 点 的 两 个 已 知 向 量a、 b为 邻 边 作OACB,
则 以 O为 起 点 的 对 角 线 OC就 是 a与 b的 和 ab,即
探究：数的加法满足交换律和结合律，即对任意a,b R ，有 abba,
(a b )ca(bc).
那么对任意向量 a , b 的加法是否也满足交换律和结合律？
请画图进行探索。
D
B
a
b
ab
O
a
C abc
c
bc
b
A
ab
C
A
a
b
B
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，
如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以2 3 km/h的速度向
abOAOBOC 这 种 求 向 量 和 的 方 法 ， 称 为 向 量 加 法 的 平 行 四 边 形 法 则 。
对于
零向量
与 a,我 任们 一规 向
人教版高中数学必修四2.2.1向量加、减法运算及其几何意义教学课件共30张PPT(共30张PPT)解答
首
a
C
尾
相
ab
接
b
b
A
a
B
已知非零向量 a 、b , 在平面内任取一点A，作 AB a, BC b, 则向量 AC叫做a与b的和，记作a b,即
a b AB BC AC 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
尝试练习一：
（1）根据图示填空：
E
D
AB BC _A__C__
向量加法、减法运算及 其几何意义
2019/8/27
知识回顾
1. 向量与数量有何区别?
数量只有大小没有方向,如:长度,质量,面积等
向量既有大小又有方向,如位移,速度,力等
2. 怎样来表示向量向量?
1)用有向线段来表示,线段的长度表示线段的大小，箭头所
指方向表示向量的方向。
A
B
2）用字母来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终
A
b
a
B
O
ab
三角形法则
思考1：如图，当在数轴上两个向量共线时，加法的三角形
法 则是否还适用？如何作出两个向量的和？
a
a
b
（1）
A
B
C
ab
b
（2）
C
A
B
ab
若a，b方向相同，则 | a b || a | | b | 若a，b方向相反，则 | a b || a | | b（| 或 | b | | a |）
a b OA OB OC 这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则。
向量加法的平行四边形法则：
B
b
ab
C
起
点
高中数学 2.2.1 向量加法运算及其几何意义课件 新人教A版必修4
引例2：撤去F 1 和 F 2 ，用一个力 F 作用在橡皮条上，使橡皮条沿 着相同的方向伸长相同的长度.
引例2：力 F 对橡皮条产生的效果，与力 F 1 与 F 2 共同作用 的效果 相同 .
物理学中把力F 叫做F1与F2的合力
B
C
b
ab
O
a
A
即 a b O A O B O C
向量的加法
（1）
a （2） a （3） a
b
b
b
a
（4）
b
2、如图，已知a , b 用向量的平行四边形法则做出 a b.
（1） a
b
（2） b a
想一想
1.若两向量互为相反向量,则它们的和为什么?
a （-a）（-a） a 0
2.零向量和任一向量 a 的和为什么?
a0 0a a
3. a b ,a b 和 a b 的 大 小 关 系 如 何 ?
(3) AB BD CA DC ___0_____
(1)通过实例，掌握向量加法的定义及其几何意义; (2)熟练运用加法的“三角形法则”和“平行四边形法则”; (3)掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算.
复习回顾
1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？ 向量：既有方向又有大小的量。
方向相同或相反的向量是_平__行__向__量___。 方向相同并且长度相等的向量是 相等向量 。
D
d
O
C
c
a
b
A
B
２.根据图示填空
EeD
gf
d
c
A
C
a
b
B
(1)a b c
(2)c d f (3)a b d f (4)c d e g
2016高中数学 2.2.1向量加法运算及其几何意义课件 新人教A版必修4
解 (1)B→C＋A→B＝A→B＋B→C＝A→C.
(2)D→B＋C→D＋B→C＝B→C＋C→D＋D→B
开本 关课
＝(B→C＋C→D)＋D→B＝B→D＋D→B＝0.
时 栏 目
(3)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A ＝A→B＋B→C＋C→D＋D→F＋F→A
＝A→C＋C→D＋D→F＋F→A
＝A→D＋D→F＋F→A＝A→F＋F→A＝0.
(3)A→B＋A→D＋C→D＝___A→_D____；
(4)A→C＋B→A＋D→A＝___0_____.
a
19
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.1
例 3 在水流速度为 4 3 km/h 的河中，如果要船以 12 km/h
的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．
解 如图，设A→B表示水流速度，则A→C表示船
∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
a
12
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.1
探究点三 向量加法的多边形法则
向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形
法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一
开本 关课
时 栏 目
个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量
的和向量． 即：A→1A2＋A→2A3＋A→3A4＋… ＋An－1An＝A→1An. 或A→1A2＋A→2A3＋… ＋An－1An＋A→nA1＝_0_.
A→D＋E→C＋F→D＝A→D＋0＝A→D＝D→B≠B→D.
故选 D.
a
23
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.1
2．设 E 是平行四边形 ABCD 外一点，如图所
示，化简下列各式：
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点评：对于任意的两个向量 a 与 b，有||a|－|b||≤ |a± b|≤|a|＋|b|，要从三角形两边之和、差与第三边 的大小关系来理解和记忆． ►跟踪训练 4．若向量 a、b 满足|a|＝5，|b|＝12，则|a＋b|的最 小值是________，|a－b|的最大值是________． 解析：由向量模的性质||a|－|b||≤|a± b|≤|a|＋|b|可得答案． 答案：7 17
►跟踪训练 → |＝3，|BC → |＝4，则 2．在矩形 ABCD 中，若|AB → ＋AD → |＝________． |AB 解析：实际上是求分别以 3，4 为邻边长的矩形 的对角线长． 答案：5
题型3 向量在实际生活中的应用
例 3 一艘船从 A 点出发以 2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船 的实际航行的速度的大小为 4 km/h， 求水流的速度． → 表示水流速度，AD → 表示渡 解析：如图，AB → 表示船的实际速度． 船速度，AC
→ ；③BA → ；④0. 解析：①0；②AB
题型2 以向量为邻边的平行四边形
→ ＝a，AD → ＝b，用 例 2 平行四边形 ABCD 中，AB → 、DB →. a，b 表示向量AC → ＝a＋b， 解析：由向量加法的平行四边法则得AC → ＝AB → －AD → ＝a－b. 由向量的减法得DB 点评： (1)充分利用相等向量进行向量间的转化． (2)以向量 a，b 为邻边的平行四边形中，(a± b)表示的是两条对角 线所在的向量．
60°，求v1和v2.
→ 表示水流速度，AD → 表示渡船速度， 解析：AB → 表示船的实际速度． AC
AB⊥AD，在 Rt△ABC 中， AB＝4×cos 60°＝2， AD＝4×sin 60°＝2 3. ∴v1＝2 3 km/h，v2＝2 km/h.
题型4 向量模的性质应用
→ |＝8，|AC → |＝5，则|BC → |的取值范围是________． 例 4 若|AB → |＝|AC → －AB → |， 解析：∵|BC → |≤|AC → |＋|AB → |， → → |≤|BC | AC | － | AB → |≤13. ∴3≤|BC → |的取值范围为[3，13]． 即|BC 答案：[3，13]
►跟踪训练 1．已知下列各式： → ＋BC → ＋CA → ；② → → ＋BO → ＋OM →； ①AB AB ＋ MB → ＋OC → ＋BO → ＋CO → ；④AB → ＋CA → ＋BD → ＋DC →. ③OA 其中结果为 0 的个数是(B) A． 1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
AB⊥AD，在 Rt△ABC 中，AB＝ 所以水流速度为 2 km/h.
4 －(2 3) ＝2.
2
2
点评：把速度问题转化为向量的加减问题，问题就 显得简单明了．
►跟踪训练
3 ．一艘船从 A 点出发以 v1 的速度向垂直于对岸的
方向行驶，同时河水的流速为 v2 ，船的实际航行
的速度的大小为 4 km/h，方向与水流间的夹ห้องสมุดไป่ตู้是
第二章
平面向量
2.2 平面向量的线性运算 2.1.1~2.2.2 向量加法、减法运算及其几何意义
题型1 有关向量的化简
例 1 化简： → ＋CD → ＋BC → ＝________； (1)AB → ＋OA → －OB → ＝________； (2)AB → ＋ → → ＋DC → ＝________； (3)AB BD ＋ CA → －OA → －OC → －CO → ＝________． (4)OB → ＋CD → ＋BC → ＝AB → ＋BC → ＋CD → ＝AD →. 解析：(1)AB → ＋OA → －OB → ＝AB → ＋BA → ＝0. (2)AB
→ ＋ → → ＋DC → ＝(AB → ＋BD → )＋(DC → ＋CA → )＝0. (3)AB BD＋CA → －OA → －OC → －CO → ＝AB → －(OC → ＋CO → )＝AB →. (4)OB → 答案：(1)AD (2)0 (3)0 → (4)AB
点评：封闭图形中所有向量依次相加之和为零向量．