浅谈“三个二次”分类讨论的依据
2-3分类讨论思想
类型二 由图形位置或形状引起的分类讨论 几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论 (1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3) 函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲 线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几 何中点、线、面的位置变化等．
[答案] －2，0，23
2．(2014·浙江卷)设函数 f(x)＝x－2＋x2x，，xx≥<00，， 若 f(f(a))≤2， 则实数 a 的取值范围是________．
[解析] f(x)的图象如图，由图象知，满足 f(f(a))≤2 时，得 f(a)≥－2，而满足 f(a)≥－2 时，得 a≤ 2.
(2)分类讨论时要根据题设条件确定讨论的级别，再确定每级 讨论的对象与标准，每级讨论中所分类别应做到与前面所述不重 不漏，最后将讨论结果归类合并．其中级别与级别之间有严格的 先后顺序、类别和类别之间没有先后；最后整合时要注意是取交 集、并集．还是既不取交集也不取并集只是分条列出．
第
二 部
思想方法专题部分
分
第三讲
分类讨论思想
——————————思想方法概述————————— 1．分类讨论思想的含义 分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究
时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究 得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上， 分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策 略．
[解] (1)f′(x)＝1－aex，
当 a≤0 时，f′(x)>0，函数 f(x)是(－∞，＋∞)上的单调递增
函数；
当 a>0 时，由 f′(x)>0 得 x<－ln a，所以函数 f(x)是(－∞，
谈三个二次关系及及综合运用--
谈“三个二次”关系及其综合运用济钢高级中学 杨同才 2011年7月17日 12:29隋宇为于11-7-17 16:02推荐杨老师的文章从最基本的问题入手，通过数形结合的方法将“三个二次”的问题说的很清楚很全面，很有参考价值。
邵丽云于11-7-19 14:28推荐杨老师的“三个二次”关系及其综合运用这篇文章，以二次函数为主线充分论述三个二次间的关系，并对相关问题进行了总结归纳，可见杨老师平时教学的用心，值得学习。
一、”三个二次”的关系”三个二次”指一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和广泛的应用，在研究二次曲线与直线的位置关系、运用导数解决复杂函数性质等问题时，常常转化成二次方程、二次函数、二次不等式的问题。
”三个二次”将等与不等、数与形紧密的结合在一起，对数形结合思想、函数方程思想、等价转化思想有较高的要求。
因而在高考试题中将近占一半的试题与“三个二次”问题有关，作为教师进一步澄清三者的内在联系对提高学生数学思维水平有很大帮助！“三个二次”中，一元二次函数最为重要，在初中学生就专题学习了二次函数，研究了二次函数的定义、图像、性质和实际问题中的最值，往往作为中考试题的最后一个压轴题。
初中也学习了一元二次方程及其规范解法，如公式法、配方法、因式分解法等。
只有一元二次不等式及解法在初中仅是初步了解。
初中阶段对函数、方程、不等式的学习都是彼此独立的，对于“三个二次”的横向联系缺乏认识。
升入高中才真正揭开三者的内在联系，逐步形成用函数、方程、不等式“三位一体”的思考方式审视问题、解决问题。
在“三个二次”中一元二次函数2y=a +b +c x x 是重点，从它的配方形式22b 4ac-b y=a ++ 2a 4x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭中充分反映了函数值y 随自变量x 的变化而变化的规律，可以容易的观察出何时取最值，也能考查出自变量x 取关于2b a-对称值时函数值的取值特点。
高中数学教学中分类讨论思想的应用
高中数学教学中分类讨论思想的应用
分类讨论思想是数学教学中一种常用的方法和策略，通过分类和讨论问题的不同情况和可能性，帮助学生理解和解决数学问题。
在高中数学教学中，分类讨论思想的应用是非常广泛的。
下面就以一些具体的数学问题为例，来说明分类讨论思想在高中数学教学中的应用。
一、二次方程的分类讨论思想
二次方程是高中数学中较难的知识点之一，分类讨论思想在解决二次方程问题中起到了重要作用。
例如解决形如ax^2+bx+c=0的二次方程时，可以根据b^2-4ac（即判别式）的值进行分类讨论。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于0时，方程有两个相等实数根；当判别式小于0时，方程没有实数解，但有两个共轭复数根。
通过分类讨论思想，学生可以清楚地了解到二次方程的根的不同情况和性质，帮助他们理解二次方程的解的存在与唯一性，并能够正确解决相关问题。
二、平面几何问题的分类讨论思想
平面几何是高中数学中的一个重要部分，其中分类讨论思想经常被应用于解决相关问题。
解决平行线与交线问题时，可以根据两条直线的关系进行分类。
如果两条直线平行，则它们与第三条直线相交的交点为无穷远点；如果两条直线相交，可以根据相交角的大小分为对顶角、同旁内角、同旁外角，然后利用对应关系得到相关结论。
三、概率问题的分类讨论思想
概率是高中数学中的一个重要内容，而分类讨论思想在解决概率问题时起到了关键作用。
解决抛硬币的概率问题时，可以根据硬币正反两面的可能性分为两种情况；解决扑克牌问题时，可以根据不同的花色和点数进行分类讨论。
例谈分类讨论思想的三大原则四个步骤
例2：将实数分为正数和负数，这也是不对的，因为0既不是正数也不是负数，出现了遗漏. 不满 足原则1
例3：将实数分成非正数和非负数，这个分类是错误的。其中非正数和非负数都包含有0，出现 了重复，不满足原则2
我们首先根据“垃圾是否对人体健康或自然环境带来危害”为分类原则，可以将垃圾分成两大类： 有害垃圾和无害垃圾，我们将有害垃圾（比如废电池、油漆、过期药品等）放置于红色的有害 垃圾回收桶中，那么其余的垃圾又如何放置呢？我们还得对无害垃圾作进一步分类，根据原 则“是否可以利用回收”分成两类，可回收垃圾和不可回收垃圾。我们将可回收垃圾（比如塑料、 纸类、金属等一些具有利用价值的物质，这些垃圾可以被纳入废品回收系统，然后作资源再生 处置之后，进行循环使用）放进蓝色的可回收垃圾桶中，最后我们根据“是否容易腐烂”为原则， 将不可回收垃圾进行再分类，分成厨卫垃圾和其他垃圾，厨余垃圾是可以作为植物养分的肥料 使用的，通过土壤掩埋后厨余垃圾可被大自然微生物和植物分解吸收，可以起到废物再利用的 作用。我们将这些垃圾扔进绿色的厨卫垃圾回收桶中，剩下的垃圾（比如砖瓦、陶瓷、渣土等 难以回收的废弃物）就扔进灰色的其他垃圾回收桶中。
实际上，这就是我们所说的分类原则了，归纳如下三大原则：
(1)同一性原则：即不遗漏；
(2)互斥性原则：即不重复；
(3)层次性原则：即按同一个标准来分类，逐级进行，层次分明；
学生在解答与分类讨论相关的习题时，由于分类标准模棱两可，可能导致分类时出现漏解或重 复等情况。只有严格遵循分类的原则才能使得分类讨论的结果完整无缺。下面通过数学中的一 些具体实例来进行说明：
初高中衔接——三个“二次”之间的关系
初高中衔接——三个“二次”之间的关系作者：姜静洁来源：《新课程学习·中》2013年第11期摘要：学生从初中升入高中，数学学习上往往会出现很大的反差，教师应该在初三下学期给学生搭建一个坡度缓慢的“引桥”，让学生顺利完成衔接。
关键词：一元二次函数；一元二次方程；一元二次不等式；区别；联系；应用学生由初中升入高中将面临许多变化，学生不能尽快地适应高中学习，出现数学学习困难，成绩大幅度下降，甚至过去的尖子生可能变为学习后进生。
结合高中实际，对分化原因进行了分析，笔者认为：在整个中学数学教学中，三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具，而且高考试题中近一半的试题都与这三个“二次”问题有关。
所以，在初三下学期的数学教学中，我们应该从提高思想意识、指导学习方法出发，有意识地设置坡度不大的台阶，使学生能顺利、自然、快捷地完成初高中数学知识衔接教学。
一、三个“二次”之间的区别与联系例1.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根。
（2）写出不等式ax2+bx+c>0的解集。
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围。
（4）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
解：（1）方程ax2+bx+c=0的根即抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标，观察图象得方程ax2+bx+c=0的两根为x1=1，x2=3。
（2）不等式ax2+bx+c>0的解集即抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）位于x轴上方的那一段的x 的范围，观察图象得不等式ax2+bx+c>0的解集为1（3）抛物线的增减性是以对称轴为界，抛物线的对称轴为x=2，结合图象得对称轴右边y随x的增大而减小，所以x>2。
分类讨论定义及原则
.
；. 分类讨论概述
分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学策略．分类原则：(1) 所讨论的全域要确定，分类要“既不重复，也不遗漏”；(2) 在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；(3) 对多级讨论，应逐级进行，不能越级．讨论的基本步骤：(1) 确定讨论的对象和讨论的范围(全域)；
(2) 确定分类的标准，进行合理的分类；(3) 逐步讨论(必要时还得进行多级分类)；(4) 总结概括，得出结论．
引起分类讨论的常见因素：(1) 由概念引起的分类讨论；(2) 使用数学性质、定理和公式时，其限制条件不确定引起的分类讨论；(3) 由数学运算引起的分类讨论；(4)由图形的不确定性引起的分类讨论；(5) 对于含参数的问题由参数的变化引起的分类讨论．简化和避免分类讨论的优化策略：(1) 直接回避．如运用反证法、求补法、消参法等有时可以避开繁琐讨论；(2) 变更主元．如分离参数、变参置换等可避开讨论；(3) 合理运算．如利用函数奇偶性、变量的对称、轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；(4) 数形结合．利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论．
注：能回避分类讨论的尽可能回避．。
浅谈利用分类讨论解一元二次不等式
浅谈利用分类讨论解一元二次不等式摘要：三个“二次”问题是高考的“常青树”.其中，利用导数工具解决含参数的函数的单调性、极值、最值等问题是高考的热点和难点，而解含参一元二次不等式是解决此类问题的关键，同时也是解题的难点，是高考试题中有较大区分度的题目.合理的对参数进行分类讨论是解题的关键.关键词：浅谈分类讨论一元二次不等式含参一元二次不等式是由于不等式中含有参数字母，导致决定不等式解集的因素不确定，从而需要分类讨论.通过体验含参一元二次不等式的解题过程，能提高逻辑分析能力.在理解函数和不等式的关系时，需要借助直观的图像解决抽象问题，从而提高数形结合以及分类讨论的能力.因此规范的解答含参数的一元二次不等式，能进一步加强数形结合、分类讨论等数学思想方法的渗透.一、三个“二次”间的关系（）判别式x1x无根例1：解不等式 .解答：原不等式可化为，方程的根为：.不等式的解集为 .方法归纳：通过三个二次的关系体会决定一元二次不等式的解集的三要素：（1）二次项系数的符号，（2）判别式的符号，（3）两实根的大小.二、解题初探含参一元二次不等式是由于决定解集的三要素不确定，导致需要分类讨论.首先应注意此类不等式的二次项系数是否为参数，若为参数应先对二次项系数为零和不为零分类讨论；若二次项系数为零则不等式为一元一次不等式，容易写出解集；若二次项系数不为零则不等式为含参一元二次不等式，含参一元二次不等式可分为两大类型：（一）“可因式分解”型例2：解关于的不等式 .分析:原不等式可因式分解为，对应方程的两根分别为，此时，由于与的大小关系不确定，所以需按照的大小关系分类；进而画出对应二次函数的简图，画图应注意开口方向，根据图像写出解集.解答：原不等式可化为 ,令得 .（1）若，即则解集为Ｒ.（2）若，即，则：解集为 .1.若，即，则：解集为 .综上所述：当时，不等式的解集为 ;当时，不等式的解集为 ;当时，不等式的解集为 .方法归纳：此类含参一元二次不等式可因式分解（），因为不等式对应方程的根含有参数，则需对两根分， ,三种情况从的取值范围分类讨论，同时应注意二次项系数的符号，画出对应二次函数的简图，画图时注意开口方向，根据图像写出解集.（二）“不可因式分解”型例3：解关于的不等式 .分析：原不等式的二次项系数为参数，所以需对二次项系数a=0和a≠0两大类分类讨论.当二次项系数a=0时，原不等式是一元一次不等式，容易写出解集为；二次项系数a≠0时，原不等式为一元二次不等式，由于不可以因式分解，所以应围绕决定一元二次不等式的解集的三要素讨论.首先按a>0和a<0分类；其次在a>0和a<0的前提下的符号也不确定，又需在a>0和a<0的前提下按再分类讨论；再次在时还需注意两根的大小关系.解答：（1）当时，不等式的解集为 .（2）当时，若，即 ,令得：，不等式的解集为 .若，即时，不等式的解集为 .（3）当时，若，即 ,令得：,不等式的解集为 .若，即时，不等式的解集为 .若，即时，不等式的解集为综上所述:时，不等式的解集为；时,不等式的解集为 ;时，不等式的解集为 ;时，不等式的解集为 ;时，不等式的解集为 ;时，不等式的解集为 .方法归纳:首先应注意此类不等式的二次项系数为参数，所以应先对二次项系数为零和不为零讨论；其次，二次项系数不为零时，此一元二次不等式不可因式分解，应围绕决定解集的二次项系数、判别式的符号和两根的大小三要素依次分类讨论.通过近三年的高考试题分析，含参不等式问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不等式的问题往往与导数交织在一起，题型多以解答题出现，难度较大.例4：已知函数，求函数的单调区间.分析：该题利用导数法求单调区间，定义域为，求导得，分别令和，即令和得到单调递增区间和单调递减区间，也即解关于的含参一元二次不等式.解答：定义域为 ,.,令，即，,得 .令，即，,得 .函数在上单调递增，在上单调递减.三、探究总结通过以上分析研究,对于含有参数的一元二次不等式的求解，若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零;若二次项系数不为零应先考虑分解因式，若可因式分解则围绕两根的大小关系进行分类讨论，若不可因式分解则应围绕决定解集的三要素依次分类讨论.分类原则：二次项系数、判别式的符号和两根的大小不定时需讨论.分类标准：二次项系数按分类讨论；判别式按分类讨论；两根按分类讨论.解题步骤：分类画图写解集整合解集解答含参一元二次不等式的关键和难点是合理的对参数进行分类讨论，对参数进行的讨论是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类讨论.只要做到解题时不随意下手，注意二次项系数、判别式、(若 )两根的大小三要素是否确定，可以把含参一元二次不等式分为“可因式分解”型和“不可因式分解"两大类型，从而进行合理的分类必将轻松解答此类问题.。
三个“二次”之间的关系
一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.其中二次函数图象是连接三个“二次”的纽带，是理解和解决问题的关键，应认真研究、熟练掌握.本文主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.首先，我们来回顾一下三个“二次”的基本关系：接下来，我们一起来谈谈有关三个“二次”的四类重要题型：（一）解含参二次不等式例1 解关于x的不等式：ax2+（a-1）x-1>0（a∈R）分析当a=0时，此不等式为一次不等式，可直接求出不等式的解集；当a≠0时，要分a>0与a<0两种情况进行讨论，再看方程ax2+（a-1）x-1=0根的情况.解①当a=0时，得x<-1.②当a>0时，不等式可化为（x-1a）（x+1）>0，解得x1a.③当a<0时，不等式可化为（x-1a）（x+1）<0，若1a<-1，即-1 若1a=-1，即a=-1，则不等式解集为空集；若1a>-1，即a<-1，则-1<x<1a.综上所述，当a>0时，不等式的解集为{x|x1a}；当a=0时，不等式的解集为{x|x<-1}；当-1 当a=-1时，不等式解集为空集；当a<-1时，不等式解集为{x|-1<x<1a}.变式若关于x的不等式ax2+（a-1）x-1>0的解集为{x|x12}，求实数a的值.由一元二次不等式与二次方程的关系，借助根与系数的关系可得：a>0，12?（-1）=-1a，12+（-1）=-a-1a，解得a=2.解含参数的一元二次不等式的步骤：（1）二次项系数若含有参数应讨论二次项系数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.注意：二次项系数中含有参数时，参数的符号影响着不等号的方向.（2）判断方程的根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系.（3）确定无根或有一根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集.（二）二次函数在给定区间上的最值问题例2 求函数f（x）=x2-2ax，x∈[0，4]的最小值与最大值.分析函数f（x）在区间[0，4]上的单调性不确定，因此需对对称轴与给定区间的关系进行分类讨论.解 f（x）的对称轴为x=a.当a≤0时，f（x）在[0，4]上单调递增，f（x）min=f（0）=0；当0 当a≥4时，f（x）在[0，4]上单调递减，f（x）min=f（4）=16-8a.所以f（x）min=0，-a2，16-8a， a≤0，0 a≥4.f（x）max=max{f（0），f（4）}=0，16-8a， a≥2，a<2.变式1 已知函数f（x）=-x2+8x，求f（x）在区间[t，t+1]上的最大值h（t）.解 f（x）的对称轴为x=4.当t+1≤4即t≤3时，h（t）=f（t+1）；当t<4<t+1即3<t<4时，h（t）=f（4）；当t≥4时，h（t）=f（t）.所以h（t）=-t2+6t+7，16，-t2+8t， t≤3，3<t<4，t≥4.变式2 已知函数y=-x2+ax-a4+12在区间[0，1]上的最大值为2，求实数a的值.解令f（x）=-x2+ax-a4+12，函数的对称轴为x=a2，当a2≥1即a≥2时，ymax=f（1）=-12+34a=2.解得a=103∈[2，+∞）.当0 当a2≤0即a≤0时，ymax=f（0）=-a4+12=2，解得a=-6∈（-∞，0].所以a=103或a=-6.求解二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在给定区间[p，q]上的最值问题：实际上是研究函数在[p，q]上的单调性.常用方法是：（1）当a>0时求最小值或当a0时最大值为max{f（p），f（q）}，当a<0时最小值为min{f（p），f（q）}.（三）一元二次不等式恒成立问题例3 已知不等式mx2-2x-m+1<0.（1）若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；（2）设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围.分析（1）不等式mx2-2x-m+12，不等式不恒成立；当m≠0时，函数f（x）=mx2-2x-m+1为二次函数，需满足图象开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解，即m<0，Δ=4-4m（1-m）<0，则m无解.综上可知不存在这样的m.（2）从形式上看，这是一个关于x的一元二次不等式，由于已知m的取值范围，不妨换个角度，把它看成关于m的一元一次不等式在m∈[-2，2]上恒成立，求参数x的范围.解设g（m）=（x2-1）m+（1-2x），则其为一个以m为自变量的一次函数（或常函数），其图象是线段，由题意知当-2≤m≤2时该线段在x轴下方，即g（m）max<0.所以g（-2）<0，g（2）<0，即-2x2-2x+3<0，2x2-2x-1<0.解得-1+72<x<1+32.所以x的取值范围为{x|-1+72<x<1+32}.变式1 定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）是减函数，如果当x∈[0，1]时不等式f（1-2x2+4a2）+f（4ax-3）≥0恒成立，求a的取值范围.解由题意得，f（x）是奇函数，所以f（1-2x2+4a2）≥f（3-4ax），又因为f（x）在R上是减函数，所以1-2x2+4a2≤3-4ax，即x2-2ax+1-2a2≥0对x∈[0，1]恒成立.下面转化为二次函数在给定区间上的最值问题：令g（x）=x2-2ax+1-2a，对称轴为x=a，当a≤0时，g（x）min=g（0）=1-2a2≥0，得-22≤a≤0；当0 当a≥1，g（x）min=g（1）=2-2a-2a2≥0，因为a≥1，所以无解.综上，{a|-22≤a≤33}.变式2 设函数f（x）=x2-1，对任意x∈[32，+∞），f（xm）-4m2f（x）≤f（x-1）+4f （m）恒成立，则实数m的取值范围是.解由题意得：（xm）-1-4m2（x2-1）≤（x-1）2-1+4（m2-1）恒成立，即（1m2-4m2-1）x2+2x+3≤0恒成立，即1m2-4m2-1≤-2x-3x2恒成立.因为g（x）=-2x-3x2=-3x2-22在[32，+∞）上是增函数，故当且仅当1m2-4m2-1≤g（32））即可.解得m≤-32或m≥32.解决一元二次不等式恒成立问题的方法：解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，就选谁做主元，求谁的范围，谁就是参数.对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.1.一元二次不等式在x∈R上恒成立：（用Δ法）ax2+bx+c>0（a≠0）a>0，Δ<0；ax2+bx+c<0（a≠0）a<0，Δ<0.注意：a=0的情况.2. 一元二次不等式在区间上恒成立：①化归为区间最值问题：f（x）>0f（x）min>0；f（x）<0f（x）max<0.②分离参数法：a≥f（x）恒成立a≥f（x）max；a≤f（x）恒成立a≤f（x）min.以上就是对三个“二次”之间关系的几种题型的处理. 综合起来，可以这样说：一元二次方程是寻找二次函数图象上的点；一元二次不等式是截取二次函数图象上的一段，而研究二次函数则是探索无数函数中的一类特殊的函数关系.。
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黼ａｏ｛ －－－（） 种情况分类讨论． 函数 的图象 ， － ， ：ａ）（ ） ＜ 解 结合二次 ２￣ ＝ ２４ ２－０ ＝ ａ（ ） ， ４ ｚａ 可 ４ 观察对称轴 ＝ ａ与区间
［ ，］ ０ ２ 的位置关系得 （ ） ａ ０时 ， １当 ＜ Ｙ ０ ：－ ，， ） １Ｙ ｗ ２ ＝３ ４ ， ） － ａ ｘａ ｏ － ＜．
・
教材教法 ・
中‘擞 ・ （ ｌ＃ 期・ 中 ） ７ ７ ２ｏ－ ８ 高 版 ｏ ｇ
３ ３
浅 谈 “ 个 二 次 ” 类 讨 论 韵 依 据 三 分
２６０ 山东 省青 岛 市城 阳 区职 业 中等专 业学校 ６ １８
在“ 次方 程 ， 次 不等 式和 二次 函数 ” 简 称“ 二 二 （ 三 个二 次” 的教 学 中， 常会 遇到 分类讨 论 的标准 问题 ， ） 经 本文借 助例题对其进行探 究．
，
例 ３ 解关于 的不 等式 ３２ ｒ － ＞ ． Ｘ－ ｘ ｍ ０ ｅ
分析 因二次不等式 的二次项系数为 ３ ０ 故应根据 ＞，
判别式 ａ ０△＝ ，＜ ＞ ， Ｏ Ａ ０分三种情况分类讨论 ， 探求之 ．
解 因为 △＝ １ｍ＝ ｍ １ ） ｍ ＋ ２ ｍ（ ＋ ２ ， （ ） Ａ Ｏ时 ， １当 ＞ 即当 ｍ Ｏ或 ｍ ． ２时 ， ＞ ＜ １
（ ） 口 １或 ａ ０时 ， ａ ＞ ， 等 式 的 解 集 为 ３当 ＞ ＜ 即 口不
｛ 口 口 ｝ Ｉ＜ ＜ ．
３ 依据判别式 △
例５ 已 ÷≤ ≤ ， （） 似 －ｘ １ 间 知 ｎ １ ＝ ２＋ 在区 若，
［ ，］ 的最 大值为 Ｍ（ ） 最小值 为 Ｎ（ ） 令 ｇ ａ ＝ １３ 上 ａ， ａ ， （ ） Ｍ（ ） Ｎ（ ） 求 ｇ ａ 的 函数表达式． ａ － ａ ， （） 分析 因二次 函数的对称轴 为 ： ， １≤。 而 ≤１
可得 ： 竺
则有 １ ≤３ 故二 次函数 的对 称轴 为 ： Ｅ［ ， ］ ≤ ， １３ ，
，
则不等式 的解集 为
则二 次函数 在 ［ ， ］ 的最小 值 在抛 物线 的顶 点取 得 ， １３ 上
学
，） ＋； ∞
而最大值应 在区间的端点取得 ， 可 通过 讨论 函数 区间 故
５ 依据 区间端 点的函数值
（ ）当 ０＜ａ １ ＜１时 ， ａ ＜ ， 等 式 的 解 集 为 即 ａ不
｛ ａ ＜ ｝ Ｉ 口；
（ ） ａ 或 ａ＝ ２ 当 ＝１ ０时 ， ａ ＝ａ 不 等式 的解 集 为 即 ，
｛ ∈ ； Ｉ ｝
２ ＝３ ４ ，～ ０ ＝－ ， ） － ａｙ ） １则
例 ２ （０ １ ２ ０ 年全 国） ｆ ￣ 分析
贝ｙ∈［ １ ３ ４ ］ ４ 一 ，— ａ ；
原 不等式等价于 （ 一 ） ａ ） ０ 口 （ — ＜ ．根据 相应
（ ） ０ ≤２时 ， ＝ （ １ ， ２ 当 ≤口 Ｙ 一 ａ ＋ ） 函数 的最大值 必
在区间两个端点 中的某 一个 中取 得 ， 而 ０ ＝一 ， ２ ） １ ）
＝
二次方程的根的大小分为 ａ ＜ ， ａ和 ａ＞ ２口ａ ＝ ２ 口三种情 况 讨论 ， 来确定二次不等式 的解集．
解 由 ａ－ ＝ （ 一 ） Ｏ 有 ０ ａ １ ２ａ ， ３４一 一 ） ４ａ １ ， － ａ 又 － ａ （ １ ＝一 （ － ） 故有
兵
李培锋
对 于第 （ ） ２ 问学生们 经常会 出现 以下 错解 ： 由椭 圆
的参数方程可设点 Ｍ（ ｃｓ，ｎ） Ｎ ， ｃ （ ） ｖ 。 ｓ ， （Ｙ 。 ＋ｉ ， ５ Ｏｉ ／ ｓ ， Ｔ
面要 注意参数 的取值 范 围， 保证 换元前后 的等价 性 ， 另
① 当 ０ ≤１ ， 厂 ２ ＝３ ４ ， ≤ 时 Ｙ （ ） — ａ
贝 Ｙ 一 口＋ ）３ ４ ］ ０ ∈［ （ １ ，— ａ ； ②当 １ 口 ＜ ≤２时 ，一 ＝ ） １ ｙ ０ ＝一 ， 贝 Ｅ［ （ １ ， １ ； Ｕ Ｙ 一 口＋ ） 一 ］ （ ） ａ ２时 ， ３当 ＞ Ｙ； ［－ ａ 一 ］ ３ ４ ， １．
一
例 ４ 求函数 ｙ ｘ－ ａ 一 在 ［ ， ］ ＝ ２ ２ ｘ １ ０ ２ 的值域．
分析 由 ， 一 ）一 口＋ ） ， ＝（ 口 （ １ 可知对称轴为 ｘ ａ 是 ＝，
ｆ ２＜０。 ａ一
个变数 ， 根据对称 轴的位 置应 分 ａ Ｏ ０ ≤２ ａ ２三 ＜ ， ≤０ ，＞
得实数 ａ的取值范 围是 （ ２ ２ ． 一 ，］
１ 依 据 二 次 项 系数
谢 明玉
（ ） △＝ ２当 ０时 ， 当 ｍ＝ 即 ０时 ， 不等式 的解集为 ｛ Ｘ ∈Ｒ， ’≠０ ； 且 ｝ 当 ｍ＝ １ ， 一２时 不等式的解集为｛ ∈ 且 ｘ ２ ； Ｉ Ｒ， ＃－ ｝ （） ＜ ３ 当Ａ ０时 ， 即当一２ ｍ＜ 时 ， １＜ Ｏ 不等式的解集为 Ｒ
４ 依据对称轴 ＝ 一ｂ
ａ
例 １ 函数 ） 口 ２ Ｘ＋ （ — ） － ， 一 ）２ ２ ０ ２ ｘ ４的值恒 小于 ０ ＝（ ， 则 ａ的取值范 围是 ．
略解 因已知函数的值恒小于０ 于是转化为不等式小 ，
于０ 恒成立， 根据二次项系数 ａ ２ ０和 口 ２ ０分为两种情 一＝ 一＃
端点 的取值 的大小来 确定 最大值．
３ ４
十。擞－ （１－ 期・ 中 ） ？ ７ ２０ｆ ８ 高 版 ０￣ － ｇ
． 解题研究 ．
慎 用 椭 圆参 数方 程 解题
４ １０ 湖北省枣阳市第二中学 龚 ４２０
“ 引参 ， 消参 ， 元法” 换 是数 学解题 的一种 重要方法 及技 巧． 借用参 数可 以架起未 知变量之 间的桥 梁 ， 减少 运算量 ， 达到化繁为简 ， 化难 为易的 目的． 在运 用时一方