四下第2讲-整除
小学数学四年级奥数基础教程目录
小学奥数基础教程（四年级）第1讲速算与巧算（一）第2讲速算与巧算（二）第3讲高斯求和第4讲 4，8，9整除的数的特征第5讲弃九法第6讲数的整除性（二）第7讲找规律（一）第8讲找规律（二）第9讲数字谜（一）第10讲数字谜（二）第11讲归一问题与归总问题第12讲年龄问题第13讲鸡兔同笼问题与假设法第14讲盈亏问题与比较法（一）第15讲盈亏问题与比较法（二）第16讲数阵图（一）第17讲数阵图（二）第18讲数阵图（三）第19将乘法原理第20讲加法原理（一）第21讲加法原理（二）第22讲还原问题（一）第23讲还原问题（二）第24讲页码问题第25讲智取火柴第26讲逻辑问题（一）第27讲逻辑问题（二）第28讲最不利原则第29讲抽屉原理（一）第30讲抽屉原理（二）第1讲速算与巧算（一）计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。
准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。
我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。
例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。
求这10名同学的总分。
分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。
观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。
我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。
于是得到总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-＝800＋9＝809。
实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。
为了清楚起见，将这一过程表示如下：通过口算，得到差数累加为9，再加上80×10，就可口算出结果为809。
第二讲 数的整除
数的整除【知识点回顾】数的整除特征：1、能被9整出的书的特征：各个数位数字之和是9的倍数。
2、能被8（或125）整除的数的特征：末三位能被8（或125）整除。
3、能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
4、能被11整除的数的特征:这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）能被11整除。
5、能被7（或11或13）整除的数的特征：这个整数的末三位与末三位之前的数字所组成的数的差（大减小）能被7、（或11或13）整除。
【例题讲解】例1 在□处填入适当的数字使四位数24□1是3的倍数。
□处有几种不同的填法？思路分析：要想使24□1是3的倍数，就要满足各数字之和是3的倍数。
2+4+1=7,7加上几是3的倍数呢？7+2=9,7+5=12,7+8=15. 解：□里可以填2,5,8. 这个四位数是2421,2451,2481. 所以有3种填法。
例2 最高位上的数字是1，并且能同时被2，3，5整除的最小四位数是多少？思路分析：能同时被2，5整除，个位数字只能是0，为使这四位数最小，百位数字取0，进而由3的倍数特征知十位数字为2,5,8，从而最小数字1020.解：最小四位数是1020.例3 在□内填上适当的数字，使六位数43217□能被4或25整除。
思路分析：43217□的个位数字不知是几，不妨记作x，那么43217□=432100+70+x。
而432100能被4和25整除，所以，只要70+x能被4或25整除，这个六位数就能被4或25整除。
70+ x要能被4整除，x只能是2或6。
70+x要能被25整除，x只能是5.解：所以432172和432176能被4整除，432175能被25整除。
例4 四位数3AA1能被9整除，求A。
思路分析：四位数3AA1要是9的倍数，它的各个数位之和就必须是9的倍数，3+A+A+1的和可能是9或18.当3+A+A+1=9时，A=2.5. 2.5不是自然数，不符合题目要求。
初中数学《数的整除》讲义及练习 (2)
5-2数的整除教学目标本讲是数论知识体系中的一个基石，整除知识点的特点介于“定性分析与定量计算之间”即本讲中的题型有定性分析层面的也有定量计算层面的，是很重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。
本讲力求实现的一个核心目标是让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性，在这个基础上对没有整除判定特性的数字可以将其转化为几个有整除判定特性的数字乘积形式来分析其整除性质。
另外一个难点是将数字的整除性上升到字母和代数式的整除性上，这个对于学生的代数思维是一个良好的训练也是一个不小的挑战。
知识点拨一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b和c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；例题精讲模块一、常见数的整除判定特征【例 1】已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？【巩固】六位数2008能被99整除，是多少？【巩固】六位数20□□08能被49整除，□□中的数是多少？【例 2】173□是个四位数字。
数学四年级下册专题复习第2讲：四则运算(二)-乘除运算
数学四年级下册专题复习第2讲：四则运算（二）-乘除运算姓名:________ 班级:________ 成绩:________同学们，经过一段时间的学习，你一定长进不少，让我们好好检验一下自己吧！一、选择题1 . 下面的算式，（）与”5+5+5+3”的计算结果相同。
A．5×3B．5×3+3C．5×4-22 . 25×40＝（）．A．100B．1000C．100003 . 下列算式中，积的末尾有3个0的是（）A．50×30B．50×20C．50×704 . 与720÷12结果相等的是（）A．720÷6÷6B．720÷6÷2C．720÷3×4D．720÷4×35 . 一个糖果罐重50克，一颗糖果重2克，小巧放x颗糖果到糖果罐里，糖果罐和糖果一共有多少克重？（）A．2x B．2x－50C．50D．2x+506 . 已知△÷○=口，下面算式正确的是（）．A．○ = □÷△B．△= ○×□C．○= 口×△7 . 根据下面的算式（）可以直接写出4128÷16的结果。
A．258×16 ＝4128B．4128×16 ＝66048C．24×172 ＝41288 . 用一根a米长的铁丝围成一个正方形,则正方形的面积是（）平方米。
A．a2B．(a÷4)2C．4a二、填空题9 . 一个四位数6□□6能被134整除，这个四位数除以134的商是（________）。
10 . 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
72÷2÷3（______）72÷（2×3）800÷4×5（______）800÷（4×5）42×5＋42×6（______）42×（5＋6） 815－405＋240（______）815＋405－24058＋121＋0（______）58×121×0 30＋（200＋132）×0（______）31－0÷（48÷4）11 . 125的4倍，除以2个25的和，商是（______）。
第02讲 整除问题进阶(学生版)-四升五暑期数学奥数培优讲义
一、整除问题进阶（五上）一、 两位截断与三位截断1、在1234，1144，17456789，35442，153153中，（1）哪些是7的倍数？（2）哪些是13的倍数？（3）哪些是99的倍数？2、六位数2008□□能同时被9和11整除．这个六位数是多少？第2讲 整除问题进阶知识点课堂例题3、已知九位数1234789□□能被99整除，这个九位数是__________．4、卡莉娅写了一个两位数59，墨莫写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59与89之间拼成一个五位数5989□，使得这个五位数能被7整除．请问：小高写的数是多少？□是13的倍数，□中的数字是（）．5、已知六位数20279A．1B．5C．7D．96、小高写了一个五位数，用方格盖住了两个数字后变成365□□，并告诉墨莫说这个五位数既是7的倍数，又是125的倍数．那么小高写的五位数可能是__________．7、用数字6，7，8各两个，要组成能同时被6，7，8整除的六位数．请写出一个满足要求的六位数．二、综合应用8、已知51位数255259555999个个□能被13整除，中间方格内的数字是多少？9、已知52位数255255555555个个□□能被13整除，中间方格内的数字是__________．10、（2011年四中入学）一个五位数abcba （相同字母表示相同数字）是7的倍数．若将它的十位和个位互换，新数是11的倍数，若将它的十位和百位互换，新数是13的倍数．那么原五位数是________．11、萱萱的爸爸买回来两箱杯子．两个箱子上各贴有一张价签，分别写着“总价117.□△元”、“总价127.○◇元”（□、△、○、◇四个数字已辨认不清，但是它们互不相同）．爸爸告诉萱萱，其中一箱装了99只A 型杯子，另一箱装了75只B 型杯子，每只杯子的价格都是整数分．但是爸爸记不清每个价签具体是多少钱，也不记得哪个箱子装的是A 型杯子，哪个箱子装的是B 型杯子了．爸爸知道萱萱的数学水平很厉害，于是他想考考萱萱．萱萱看了看，说：“这可难不倒我，我刚好学了一些复杂的整除性质，这下可以派上用场了．”同学们，你能像萱萱一样把价签上的数分辨出来吗？12、能同时被7、9、11整除的最小三位数是，最大四位数是？13、一个整数能被15整除，这个整数的最后三位是215，那么这样的整数中最小是多少？14、一个五位数，它的末三位为999．如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小是多少？1、四位数23□□能同时被9和11整除，这个四位数是__________．2、已知八位数123678□□能被99整除，这个八位数是__________．3、四位数572□能被7整除，那么这个四位数可能是__________．4、已知多位数 2010120103111333 个个能被13整除，那么中间方格内的数字是多少？1、有一个六位数，前四位是2857，即2857□□，这六位数能被143整除，则这个数的后组成的两位数为（）．A ．12B ．14C ．21D ．412、66ab ab 是77的倍数，则ab 最大为（）． A ．16B ．93C ．98D．99随堂练习课后作业3、在7315，58674，325702，96723，360360中，7的倍数有__________个．4、四位数33□□能同时被9和11整除，这个四位数是__________．5、四位数278□能被7整除，那么这个四位数是__________．6、（龙校五年级春季）（1）一个六位数2356□□是88的倍数，这个数除以88所得的商是________或________．（2）在□内填上适当的数字，使五位数236□□既能被3整除又能被5整除．7、（2011希望杯五年级初赛）如果六位数2011□□能被90整除，那么它的最后两位数是_________．8、已知多位数201225881258258258 个□能同时被7和13整除，方格内的数字是__________．9、已知多位数 2011120113111333 个个□能被7整除，那么中间方格内的数字是__________．10、八位数1235678a 能被7整除，a 等于多少？。
第二讲 整除问题进阶
练习一：
四位数 □23□，能同时被9和11整除，这个四位数是多少？
例题二：
已知九位数，1234□□789，能被99整除，这个九位数是多少？ 分析：这个九位数是99的倍数，说明两位截断以后，各段之和是99的倍数。这个99 的倍数可能是多少呢？
练习二：
已知八位数，123□□678，能被99整除，这个八位数是多少？
能被7、11、13整餘的特征：从个位开始，每三位一截， 奇数段之和与偶数段之和 的差能被7、11或13整除.
例题三：
阿呆写了一个两位数59，阿瓜写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59 与89之间，拼成一个五位数59□89，使得这个五位数能被7整除，请问小高写的是 多少？ 分析：根据能被7整除的数的特征，末三位组成的数与末三位之前的数组成的数之 差能被7整除，我们可以由此将问题简化。
现特征：从个位开始每两位一截，得到的所有 两位数（最前面的可以是一位数）之和被99整除.
例题一：
六位数□ 2008□ ，能同时被9和11整除，这个六位数是多少？ 分析：能同时被9和11整除，说明这个6位数能被99整除。想一想，99的整除特性是 什么？
例题六：
有一个五位数，它的末三位为999。如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小 是多少？ 分析：我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘 积，因此不可能根据整除特征来考虑，我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数 能被23整除，就是说，它能写成23与另一个数的乘积，接下来大家想到该怎么办了 吗？
练习三：
四位数57□2，能被7整除，那么这个四位数可能是多少？
{ {
例题四：
已知51位数 55...5□ 99...9能被13整除，中间方框内的数字是多少?
名校真题精讲(共7讲)_第02讲_数论专题—学生版
例 2014除以某数的余数都为10，这样的数共有多少个？ 14.
例 三个连续自然数依次是13、11、7的倍数，那么这三个连续自然 15. 数之和最小为_______．
例 如图，在一个圆周上有100多个孔．小明像玩跳棋那样，从A孔出 16. 发，沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回
中，这个数最小是______
例 的和是_________． 19.
例 一个特殊的圆形钟表只有一根指针，指针每秒转动的角度为连续 20. 自然数数列．现在设定指针第一秒转动的角度为a（a为小于360
的整数）度，则其第二秒转动度，第三秒转动度……如果指针在 第一圈内恰好能指回出发位置，那么a一共有________种设定方 法，最小可以被设定为________．
A孔．他先试着每隔2个孔跳一步，结果只能跳到B孔．他又试着 每隔4个孔跳一步，也只能跳到B孔．最后他每隔6个孔挑一步， 正好回到A孔．那么这个圆圈上至少有________个孔． Image
例 的末两位数是________． 17.
五、其他数论问题
例 一个自然数用四进制表示，它的数字和是5；用六进制表示，它 18. 的数字和是8；用八进制表示，它的数字和是11．那么在十进制
作 对于自然数nБайду номын сангаасn的约数个数用表示，n的所有约数的和用表示．
业 （1）n为最小的质数，
；（2）n为最小的合数，
；
5. （3）当时，A一定是 数；（4）当时，n最小是
．
作 a×b＋6＝x，x是偶数，a和b是1000以下的质数，问x的最大值．
业 6.
作 将77写成几个连续自然数相加的形式（至少两个数相加），其中 业 积最大的一组写法是_______ 7.
第2讲 整 除—完整版
第2讲整除内容概述掌握整除的概念和基本性质，掌握能被某些特殊数整除的数的特征。
通过分析整除特征解决数的补填问题，以及多位数的构成问题等。
兴趣篇1．下面有9个自然数：14，35，80，152，650，434，4375，9064，24125。
在这些自然数中，请问：(1)有哪些数能被2整除？哪些能被4整除？哪些能被8整除？(2)有哪些数能被5整除？哪些能被25整除？哪些能被125整除？答案：（1）能被2整除的有：14，80, 152, 650，434，9064；能被4整除的有：80，152，9064；能被8整除的有：80，152，9064(2)能被5整除的有：35，80，650，4375，24125；能被25整除的有：650，4375，24 125；能被125整除的有：4375, 24125解析：能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2、5整除；能被4、25整除的数的特征：末两位能被4、25整除；能被8、125整除的数的特征：末三位能被8、125整除．运用这些性质可迅速得出答案．2．有如下9个三位数：452，387，228，975，525，882，715，775，837。
这些数中哪些能被3整除？哪些能被9整除？哪些能同时被2和3整除？答案：能被3整除的有：387，228，975，525，882，837;能被9整除的有：387，882，837；能同时被2和3整除的有：228和882解析：依次计算每个数的各位数字之和：4+5+2=11, 3+8+7=18, 2+2+8=12,9+7+5=21, 5+2+5=12,8+8+2=18, 7+1+5 =13, 7+7+5 =19, 8+3+7 =18.根据3和9的整除特征可知：387，228，975，525，882，837能被3整除；其中，387，882，837能被9整除。
能被3整除的数中偶数是228和882，所以能同时被2和3整除的数是228和882.3．有如下4个自然数：2695，1804，1963，23205。
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四下第二讲整除
班级学号姓名成绩
补充数的整除特征：
1、一个整数的末两位数能被4或25整除，那么这个数能被4或25整除。
2、一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。
3、能被11整除的数的特征：一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数，那么这个数就是11的倍数。
例1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A表示多少?
例2. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是多少？
例3. 在25□79的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填什么？例4、已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是多少？
练习
1.已知四位数13□5能被3整除，□内可以填什么？(写出所有情况)
2.有一盒球，可以平均分给2个、3个、4个、5个、6个小朋友，这盒球至少有多少个？
3. 一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是多少？
4. 123456789□□,这个十一位数能被36整除,那个位上的数最小是多少？
5.有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是多少？
6. 有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是多少？
7、能同时被2、5、7整除的最大五位数是多少？。