2018年高考数学一轮复习经典高考小题狂练7

（ii ）若 a b 6 时，满足 综上， a b 2
a b 0 ，恒成立 2
故 要 使 对 x1 0 ， x2 x1 ， g x2
ba8
f x1 成 立 只 需 a b ab
，画出可行域可 得 2
2a b 7
2．（ 1）若复数 z 与其共轭复数 z 满足 z
5 5 ， z z 2 ，则 z
z
（2）若函数 f x 解：（ 1） 2
ab 1 0
故f x
max 1 a b , 1 a b
max
b 1 a , 4a b 1 0 ，又结合 a 2 ，
b 1 a , 4a b 1 0
可以从规划视角来解题，以 a 为横坐标， b 为横坐标建系，
画出可行域
4a b 1 a2
0
如图 1 所示，
目标函数 b 1 a
b1a
2
视为可行域内的点
2
a,b 到直线 x y 1 0 的距离的
即 12
2a c
8 ac
5
a c 30
所以 a c a c cos AOC 24
解法二： 同前， O , A, C, B 四点共圆
由正弦定理得 R
5
3
3
， sin ABC ， tan ABC
3
5
4
又a c
a c cos AOC
2S OAC tan
8 S OAC
3
所以当且仅当 AOC 为等腰三角形时， S OAC max S NAC 9
道底 AB 的张角 最大时，采集效果最好，则采集效果 最 好 时 位 置 C 到 AB 的 距 离
是
。
解：以抛物线顶点为原点建系，则抛物线方程为
2
x
4y ， A 4, 6 , B 4, 6 ,C x, y
设 ACB
，则 cos
CA CB CA CB
且 S ABC
1 86 y
2
1 CA CB sin
5
2
4c 4a
2．（ 1）将二项式 ( x
1 ) n 的展开式按 x 的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该
24 x
展开式中 x 的指数是整数的项共有
个。
（2）无重复数字的五位数 a1a2a3a4a5 ， 当 a1<a2 ， a2 >a3， a3<a4， a4>a5 时称为波形数，
则由 1，2，3，4，5 任意组成的一个没有重复数字的五位数是波形数的概率为
感知高考刺金 131
1．函数 f x
4x x 0 ， g x x1
1 xa
2
x b , a b ，若对 x1 0 ， x2 x1 ，
g x2 f x1 ，则 2a b 的最大值为
。
解： g x
1 b a ,x b
2
x
a
b ,a
x
b， f x
2
1 a b ,x a
2
4x
4
4
x0
x1
x1
若使对 x1 0 ， x2 x1 ， g x2
x a 的图象总在 F x ln x
x 图象的上方，求实数
（2） x a ln x
x 对 x 0 且 x 1 恒成立，
。 a 的取值集合。
故 a x x ln x , x 1 或 a x x ln x ,0 x 1
min
min
令 g( x) x x ln x ，,, ，得 a 1
感知高考刺金 132
现要求第
三、四两节课中每节课恰有两位教师开课 （不考虑教师所开课的班级和内容） ，则不同的开
课方案共有
种。
解：若只有甲乙两人开课，他们两人每人开设两节，只有一种方案；
若甲乙两人开课，丙丁中有一人开课，则有
C21 A12 A12 8 种方案；
若甲乙两人中有一人开课，丙丁两人均开课，有
12
A2 A2
4 种方案；
右 支 于 P, Q 两 点 ， 若 P F1 F1 F2 ， 且 3 PF2 2 QF2 ， 则 双 曲 线 的 离 心 率
为
。
解：如图所示，标出两个焦点三角形各边的长度， M 是 PF2 的中点，则在 Rt PF1M , Rt F1MQ
中，利用勾股定理得
2
2
2
2
F1M 2c c a 3c a
所以 5c2 12ac 7a2 0 即e 7
2 倍，显然当 a,b 取点 2, 1 时 b 1 a min 2 2 2
同理，可行域
4a b 1 a2
0
如图 1
2
视为可行域内的点
2
a, b 到直线
的 2 倍，显然当 a, b 取点 2, 1 时 b 1 a min 2 综上， M a, b 2
x y 1 0 的距离
（ 2）解法一：规划视角
t a 和 y2
t a 的图象，两者取其大，则显然当
t 0 时，
f1 a b 1 2
2 ab1 2
a3b a1
M a, b 2
f 1 a b1 2
2 a b1 2 a 3 b a1
a f
2
1 a2 4b 2 4
8 a2 4b 8
a2
a2
2b
2
4
4
显然又是一个规划问题了。
以 a 为横坐标， b 为横坐标建系，画出可行域如图中 ABC 的蓝色部分。这里画图时注意到
证法二：绝对值不等式
fx
max f 1 , f 1 max 1 a b , 1 a b
max
1a b 1a b 1a b 1ab
2
2
解法三： M a,b max 1 a b , 1 a b
a2
令 b 1 t ，则 M a,b g t max t a , t a
在同一个坐标系中画出 y1 g t min a 2 故 M a, b 2
若甲乙丙丁四人全部开课，每人一节，有
C42C
2 2
6 种方案；
故共有 19 种
（ 2 ） 若 二 项 式 3x 2
n
2 (n 3x
N*) 展 开 式 中 含 有 常 数 项 ， 则 n 的 最 小 取 值
是
。
解： 7
感知高考刺金 134
x2 y2 1．已知双曲线 a2 b2 1 a 0,b 0 的左、右焦点分别为 F1, F2 ，过 F2 的直线交双曲线的
1．已知 f x
2
x
2
2a 1 x
2
a
4a
5 ，若 f x 的最大值是 g a ，则关于 a 的不等式
log 1 g a 3 0 的解集是
。
2
解：令
2
1x
t
0,1 ，则 x2 1 t 2
所以 f t
t2 2at a2 4a 6
t
2
a
2a2
4a
6
当 a 0 时， g a f 0 a 2 4a 6
当 0 a 1 时， g a
故 a c 的最大值为 24。
解法三： 同前， O , A, C, B 四点共圆
2 AC 2 由极化恒等式 a c OE
4
2 AC 2 故 a c OE
4
2
NE 3 24
2．（ 1）“预祝大家高考满堂红”这句话，如图所示形式排列，
从“预”字读起，只允许逐字．．沿水平向右或竖直向下方向读，
则读完整句话的不同读法共有 答案： 28 256 种
2
再由
| z |=
5
得
骣珑珑珑桫a
+ 2
2
2鼢鼢鼢+
骣2 - a 桫2
2
=
25 .
解得 a = ? 46 ． （2）解：由 f (x) x3 bx2 cx得 f (x) 3x2 2bx c ．
由 x 0 是函数 f ( x) 的一个极值点知 f (0) c 0 ． 又由 f (x) 图像经过点 A(3,0) 得 f (3) 27 9b 3c 0 ． 所以 b = - 3 ． f (x) x3 3x2 ． 由 l1 / / l 2 得 f (x1) f (x2) 3x12 6x1 3x22 6x2 ．
可以取到，所以 a b
0
min
又由（ 1）的逆否命题可知当 M a,b
2 时，必有 a 2 ，
f1 1 a b 2
且
4 1 a b 1 a b 2 2b
f 1 1a b 2
3b1
（i ）若 0 b 1，则 a b 2 1 3
（ii ）若 3 b 0 ，则 a 2
1,1 ， f a 2
a2 b M a, b 2
。
解：（ 1） 3 个
（2）五个数任意排列，有
5
A5 120 种不同排法
若将 5 排在 a2 位置， 4 排在 a4 位置，其余三个数任意排，有 A33 6 种
5 与 4 交换位置，又有 6 种； 若将 5 排在 a2 位置， 3 排在 a4 位置，则 4 只能排在 a1 位置，其余两个数有
交换位置，又有 2 种；
种．
预祝 大家高 考满 堂红 祝大家高考满堂红 大家高考满堂红 家高考满堂红 高考满堂红 考满堂红 满堂红 堂红 红
（2）
x
1
x
8
1 的展开式中
x5 的系数是
。
解： 14
感知高考刺金 136
2015 年浙江第 18 题
设函数 f x x2 ax b a,b R ，记 M a,b 为 y f x 在 1,1 上的最大值
2
所以两式相除得 tan
8y 6
x2 16
2