4-4 变上限积分函数及其导数
高等数学中积分上限函数及其导数的教学策略
高等数学中积分上限函数及其导数的教学策略【摘要】本文围绕高等数学中积分上限函数及其导数展开讨论。
首先介绍了积分上限函数的定义与特点，然后详细推导了其导数。
接着提出了三种教学策略，包括引导学生理解积分上限函数的定义、讲解导数推导过程以及举例说明在实际问题中的应用。
通过这些策略，有助于学生更好地掌握这一难点知识。
结论部分总结了本文的主要内容，强调了教学策略的重要性。
积分上限函数是高等数学中的重要概念，对学生的数学思维能力和解决实际问题的能力具有重要的促进作用。
通过本文的学习，有望提升学生对积分上限函数的理解，并在实践中灵活应用。
【关键词】高等数学、积分、上限函数、导数、教学策略、定义、特点、推导、引导、理解、讲解、举例、实际问题、应用、结论1. 引言1.1 引言在高等数学中，积分是一个非常重要的概念，被广泛应用于各个领域，包括物理、工程、经济学等。
而积分上限函数及其导数是积分学习中的一个重要内容，掌握了这部分知识可以帮助学生更深入地理解积分的概念和应用。
积分上限函数是指以自变量的一个区间作为上限的不定积分函数，通常表示为∫f(x)dx|0 to x。
它的定义和性质使得我们可以更加灵活地处理积分问题，特别是在涉及多变量、多维空间的情况下。
积分上限函数的导数是指这个函数对自变量的导数，即其变化率，它的求导过程通过基本积分法和链式法则来完成。
在教学中，引导学生理解积分上限函数的定义是第一步。
通过具体问题引导学生思考不同上限的积分结果的变化规律，从而深化他们对积分的理解。
接着，讲解积分上限函数的导数推导过程，通过具体的例题演示，帮助学生掌握这一部分知识。
举例说明积分上限函数在实际问题中的应用，让学生明白这些理论知识如何在实际中发挥作用。
通过以上教学策略，可以帮助学生更好地掌握积分上限函数及其导数的知识，提高他们的数学能力和问题解决能力。
在学习和掌握这些内容的过程中，希望学生能够培养自己的逻辑思维能力和数学建模能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
积分上限的函数及其导数
车到停车走了多少距离? 解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
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内容小结
1. 微积分基本公式
则有
积分中值定理
微分中值定理
2. 变限积分求导公式
牛顿 – 莱布尼兹公式
公式 目录 上页 下页 返回 结束
所以 其中
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作业
P240 3 ; 4 ; 5 (3) ; 6 (8) , (11) , (12) ; 9 (2) ; 12
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
1. 设
求
解： 定积分为常数 , 设
故应用积分法定此常数 . ,则
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2. 求
解： 由于
的递推公式(n为正整数) . 因此
定理2. 函数 , 则
( 牛顿 - 莱布尼兹公式)
证: 根据定理 1,
故
因此 得
记作
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例4. 计算
解:
例5. 计算正弦曲线 的面积 .
解:
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例6. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,到某处需要减
速停车, 设汽车以等加速度
刹车, 问从开始刹
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数 之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
与速度函数
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
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二、积分上限的函数及其导数
高中数学选修4—4知识点总结知识分享.docx
坐标系与参数方程知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点 P(x,y) 是平面直角坐标系中的任意一点x gx(0), 在变换:gy(的作用y0)下 , 点 P(x,y)对应到点 P ( x , y ) ,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示, 在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点 O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向 ), 这样就建立了一个极坐标系 .注: 极坐标系以角这一平面图形为几何背景, 而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景 ; 平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系, 而极坐标系则不可. 但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2) 极坐标设 M是平面内一点 , 极点O与点 M的距离 |OM|叫做点 M的极径 , 记为; 以极轴Ox为始边, 射线OM为终边的角xOM 叫做点M的极角,记为. 有序数对(, ) 叫做点M的极坐标, 记作M (,) .一般地 , 不作特殊说明时, 我们认为0,可取任意实数.特别地 , 当点M在极点时 , 它的极坐标为(0,)(∈ R).和直角坐标不同, 平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02, 那么除极点外, 平面内的点可用唯一的极坐标( ,) 表示;同时 , 极坐标(, ) 表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景 : 把直角坐标系的原点作为极点 ,x 轴的正半轴作为极轴 , 并在两种坐标系中取相同的长度单位 , 如图所示 :(2)互化公式 : 设M是坐标平面内任意一点 , 它的直角坐标是(x, y) , 极坐标是( , ) (0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点 M直角坐标( x, y)极坐标(, )x cos2x2y2互化公式y(x 0) y sin tanx在一般情况下 , 由tan确定角时 , 可根据点M所在的象限最小正角 .4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点, 半径r (0 2 )为 r 的圆圆心为 (r ,0) ,半径2r cos ()为 r 的圆22圆心为 (r , ) ,半22r sin(0)径为 r 的圆(1)过极点 , 倾斜角为(R)或(R)的直线(2)( 0)和 ( 0)过点 (a,0) , 与极轴cosa()垂直的直线22过 点 (a, ) , 与 极2sina(0 )轴平行的直线注 : 由 于 平 面 上 点 的 极 坐 标 的 表 示 形 式 不 唯 一 , 即( , ),( ,2 ),( , ),( , ), 都表示同一点的坐标 , 这与点的直角坐标的唯一性明显不同 . 所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式 , 只要求至少有一个能满足极 坐 标 方 程 即 可 . 例 如 对 于 极 坐 标 方 程, 点 M (, ) 可 以 表 示 为544( , 2 )或 (, 2 )或 (-,,) 的极坐标满足方 ) 等多种形式 , 其中 , 只有 (4 44 44 444程.二、参数方程1. 参数方程的概念一般地 , 在平面直角坐标系中 , 如果曲线上任意一点的坐标x, y 都是某个变数 t 的函数x f (t )M ( x, y) 都在这条曲线上 ,y① , 并且对于 t 的每一个允许值 , 由方程组①所确定的点g(t )那么方程①就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数 , 简称参数 , 相对于参数方程而言 , 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2. 参数方程和普通方程的互化(1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式 , 一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程 .(2) 如果知道变数 x, y 中的一个与参数 t 的关系 , 例如 x f (t ) , 把它代入普通方程 , 求出另一个变数与参数的关系y g(t) , 那么x f (t ) y就是曲线的参数方程 , 在参数方程与g(t )普通方程的互化中 , 必须使 x, y 的取值范围保持一致 .注： 普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
高中数学选修4—4（坐标系与参数方程）知识点总结[整理文档]
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坐标系与参数方程知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy ygg的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为.有序数对(,)叫做点M的极坐标,记作(,)M.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,可取任意实数.特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0,)(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示;同时,极坐标(,)表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y,极坐标是(,)(0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)互化公式cossinxy222tan(0)x yyxx在一般情况下,由tan确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆(02) r圆心为(,0)r,半径为r的圆2cos()22 r圆心为(,)2r,半径为r的圆2sin(0) r过极点,倾斜角为的直线(1)()()R R 或(2)(0)(0)和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos()22a 过点(,)2a ,与极轴平行的直线sin (0)a 注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,点(,)44M 可以表示为5(,2)(,2),444444或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44的极坐标满足方程.二、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t yg t ①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t ,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()yg t ,那么()()x f t yg t 就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
一、积分上限函数及其导数二、积分上限函数求导法则三、微积分(精)
1dx
2
1
1 2
x
2dx
1 2
x2
1
x
0
1 2
1 3
x3
2
1
1 2
1
1 2
8 3
13
8 3
例8
设
f
x
x2,0 x 1
x,1
x
2
，
求
x
x
0
f
t dt
，在 0,2
上的表达式.
f
t
dt
x
与之对应，所以a
f
t dt
是一个定义在a,b上的关于 x 的函数，记为
x
x
a
f
t dt
a x b
称 x为积分上限函数.
2.积分上限函数的几何意义 积分上限函数
x在几何上表示为右端线可以变动的曲边
梯形的面积 图5－6 .
y
( x)
o a x x x b x
证
令
u
u
x0
f
t dt
，u
x，
d x
dx x0
f
t dt
du
dx x0
f
t dt
du
du x0
f
tdt du
dt
f
u u
f xx
3.法则3 若函数 f x在区间 a,b上连续， xa,，b xa,b， 且x 与 x
x
高等数学中积分上限函数及其导数的教学策略
高等数学中积分上限函数及其导数的教学策略高等数学中的积分是一个重要的概念，它在微积分中占据着重要的地位。
在积分的学习过程中，上限函数及其导数是一个难点和重点内容。
本文将针对这一部分内容进行教学策略的探讨，希望能够帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、认识上限函数及其导数1.1 上限函数的定义上限函数是积分的一种特殊形式，它表示在一定范围内，一个函数的上限值。
数学中通常用符号“f(x)=∫[a,x] g(t)dt”表示上限函数，其中g(t)是一个连续函数，a和x为区间上下限。
1.2 上限函数的图像学生在学习上限函数时，可以通过构建函数图像的方式来直观地理解上限函数的含义。
可以让学生观察不同区间内的函数变化情况，从而理解上限函数的概念。
1.3 上限函数的导数上限函数的导数是指上限函数对自变量x的导数，它在数学中具有重要的意义。
学生在学习上限函数的导数时，需要掌握导数的定义和求导法则，并能够灵活运用这些知识来求解上限函数的导数。
二、教学策略2.1 梳理知识体系在教学上限函数及其导数时，首先要对知识体系进行梳理，明确学生需要掌握的基本概念和方法。
可以通过讲解理论知识、举例说明和反复练习的方式，帮助学生逐步深入理解上限函数及其导数的内容。
2.2 强化基本概念在教学过程中，要重点强调上限函数的定义和特点，让学生明确上限函数表示的含义和作用。
要注重讲解上限函数的导数的定义和求导方法，帮助学生建立导数的概念，并能够准确求解上限函数的导数。
2.3 拓展应用技巧在教学内容的安排上，要注重拓展应用技巧，引导学生灵活运用所学知识解决实际问题。
可以通过真实案例和应用题目的讲解，让学生了解上限函数及其导数在实际生活中的应用，从而增强学习的实际意义和兴趣。
2.4 培养解决问题的能力在教学过程中，要注重培养学生的解决问题的能力，引导他们学会分析问题、理清思路、灵活运用知识和方法来解决问题。
可以通过练习题、案例分析和讨论的方式，激发学生的思维，提高他们的问题解决能力。
高等数学之变上限积分求导数
高等数学之变上限积分求导数对于变上积分这个函数在考研的要求就是对其求导数，无论在哪里遇到变上限积分都是对其求导数，那么在这里就重点给各位考生讲一下变上限积分的求导数的方法。
以上就是考研在变上限积分中出现的变形，考生们要牢牢把握，这也是考研数学中经常考到的题型，最后，凯程考研祝愿各位考生备考顺利!凯程考研辅导中心优势凯程考研辅导中心创办于2005年4月，具有强大高校背景，是中国最早专门从事考研高端辅导的机构之一。
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其次，所有老师都必须经过专门的培训与试讲环节且试讲必须得到听课学生90%以上的好评，好评不够马上淘汰。
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变上限定积分函数及其导数教案
变上限定积分函数及其导数教案一、教学目标：1. 理解变上限定积分的概念，掌握其图像和性质。
2. 学会计算变上限定积分的导数，并能应用于实际问题。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 变上限定积分的概念和性质2. 变上限定积分的计算3. 变上限定积分的导数4. 应用举例三、教学重点与难点：1. 重点：变上限定积分的概念、性质、计算和导数。
2. 难点：变上限定积分的导数计算和应用。
四、教学方法：1. 讲授法：讲解变上限定积分的概念、性质、计算和导数。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用变上限定积分及其导数解决问题的关键。
3. 练习法：通过课堂练习和课后作业，巩固所学知识。
五、教学过程：1. 导入：引导学生回顾定积分的概念，引出变上限定积分的概念。
2. 讲解：讲解变上限定积分的性质，演示其图像，引导学生理解。
3. 计算：讲解变上限定积分的计算方法，举例说明。
4. 导数：讲解变上限定积分的导数计算，引导学生理解导数的意义。
5. 应用：分析实际问题，引导学生运用变上限定积分及其导数解决问题的关键。
6. 练习：布置课堂练习，巩固所学知识。
7. 总结：对本节课内容进行总结，强调重点和难点。
8. 作业：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 课堂练习：检查学生对变上限定积分的计算和导数的掌握情况。
2. 课后作业：检查学生对变上限定积分及其导数的应用能力。
3. 课堂表现：评价学生在课堂上的参与度和数学思维能力。
4. 学习总结：评价学生的学习效果和总结能力。
六、教学准备：1. 教学课件：制作课件，包括变上限定积分的概念、性质、计算和导数的讲解，以及实际应用案例。
2. 教学素材：准备一些实际问题，用于引导学生运用变上限定积分及其导数解决实际问题。
3. 练习题库：准备一系列练习题，涵盖变上限定积分的计算、导数及其应用。
七、教学步骤：1. 回顾上节课的内容，巩固变上限定积分的概念和性质。
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定义：设函数f(x)在区间[ab]上连续并且设x为[ab]上的一点，
考察定积分 ，如果上限 在区间 上任意变动，则对于每一个取定的 ，定积分都有一个相应的积分值与之对应.因此它在 上定义了一个函数，称为变上限积分函数，记作
(x)
为明确起见，常记作(x) 。
说明：当 ，利用定积分的几何意义可以直观地看到积分上限的函数所表示的意义：积分 表示图1中阴影部分的面积.
三、能力反馈部分
1、求下列函数的导数（掌握变上限积分函数的求导）
（一级）
（一级）
（二级）
2、求极限（利用变上限积分函数的求导求极限）
（1） .（二级）
（2） （二级）
（2） ,则 .
(3) 可视为 与 构成的复合函数，则由复合函数求导公式可得
.
说明：利用此方法，可推出一般公式
（4）
则
说明：一般的，若 ，有
例2求极限 .（二级）
解：此极限是 型的未定式，利用洛必达法则和变上限积分函数的导数公式得
原式=
例3求极限 .（二级）
解：此极限是 型的未定式，利用洛必达法则和变上限积分函数的导数公式有
注：(1)变上限积分函数的导数其结果为被积函数 本身
（2）若 ，则称函数(x)为f(x)在[ab]上的一个原函数此定理说明连续函数一定存在原函数，它其中的一个原函数就是一个变上限积分函数.
2、例题
例1求下列函数的导数：
（一级） （一级）
（二级）（4） （二级）
解：（1）直接利用积分上限函数的求导法则， .
(x)
图1
下面讨论这个函数的可导性
定理1如果函数f(x)在区间[ab]上连续则函数
(x)
在[ab]上具有导数并且它的导数为
(x) (ax<b)
(选讲)证明：若x(ab)取x使xx(ab)
(xx)(x)
应用积分中值定理有f ()x
其中在x与xx之间x0时x于是
(x)
若xa取x>0则同理可证(x)f(a)若xb取x<0则同理可证(x)f(b)
模块基本信息
一级模块名称
积分学
二级模块名称
基础模块
三级模块名称
变上限积分函数及其导数
模块编号
4-4
先行知识
1、定积分的概念
模块编号
4-2
2、定积分的性质
模块编号
4-3
知识内容
教学要求
掌握程度
1、变上限积分函数及原函数的概念
1、理解变上限积分函数及原函数的概念
一般掌握
2、变上限积分函数的求导
2、掌握变上限积分函数的求导
能力目标
培养学生知识类比、迁移的能力
时间分配
45分钟
编撰
王明
校对
熊文婷
审核
危子青
修人
张云霞
二审
危子青
一、正文编写思路及特点
思路：先复习定积分的概念和性质，给出变上限积分函数的定义，通过两个定理来展示变上限积分函数的性质.
特点：引导学生根据已学过的相关知识理解新知识
二、授课部分
（一）新课讲授
前面我们利用定积分的概念计算了定积分的值，从中我们可以看到利用定义来求定积分是一件十分麻烦而困难的事，因此我们必须寻找一种计算定积分的新方法，即后面要学习的微积分基本定理。为了学习微积分基本定理，我们先来研究变上限积分函数及其导数的相关知识，为微积分基本定理的证明做准备.