2018北师大版高中数学必修三学案：第一章章末复习课

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2018版高中数学北师大版必修三学案：第一章 3 统计图

学习目标 1.理解统计图表的作用与意义.2.掌握茎叶图的概念与应用.3.通过实例体会条形统计图、折线统计图、扇形统计图和茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计．知识点一统计图表的作用与意义思考通过抽样获得的原始数据有什么缺点？梳理数据分析的基本方法：(1)借助于图形分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，此方法可以达到两个目的，一是从数据中________信息，二是利用图形________信息．(2)借助于表格分析数据的另一种方法是用紧凑的________改变数据的排列方式，此方法是通过改变数据的________，为我们提供解释数据的新方式．知识点二常见统计图的特征类型一条形图的制作及读图例1某人统计了一本书中的100个句子的字数，得出下列结果：1～5个字的15句，6～10个字的27句，11～15个字的32句，16～20个字的15句，21～25个字的8句，26～30个字的3句．(1)试作出条形统计图；(2)统计出1～15个字及16～30个字的句子个数所占百分比，作出条形统计图；(3)统计出1～10个字，11～20个字，21～30个字的句子个数所占百分比，作出条形统计图．反思与感悟条形图的制作一般可分为以下几步：(1)根据统计资料整理数据，一般整理成表格形式；(2)画出横轴、纵轴，确定它们表示的项目；(3)画直条，条形的高与数据的大小成比例．跟踪训练1有100名学生，每人只能参加一个运动队，其中参加足球队的有30人，参加篮球队的有27人，参加排球队的有23人，参加乒乓球队的有20人．(1)列出学生参加运动队的频率分布表；(2)画出频率分布条形图．类型二折线统计图与扇形统计图例2某市是我国西部的一个多民族城市，总人口数为370万(2000年普查统计)．如图1和图2所示的是2000年该市各民族人口的统计图，请你根据统计图提供的信息回答下列问题．(1)2000年该市少数民族的总人口数是多少？(2)2000年该市总人口中的苗族所占的百分比是多少？(3)若2000年该市参加中考的学生有40 000人，则参加中考的少数民族的学生人数约为多少？反思与感悟用统计图来表示百分比时，我们可以用条形统计图、折线统计图和扇形统计图，但最适宜用扇形统计图来表示．在解题过程中要看清楚题目的要求，根据不同的要求选择不同的统计图．统计图的功能就是将数据信息通过图表的形式恰当地表示出来．跟踪训练2如图是某保险公司提供的资料，在1万元以上的保险单中，有821少于2.5万元，那么不少于2.5万元的保险单有________万元．类型三茎叶图例3某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下：甲的得分12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50；乙的得分8,13,14,16,23,26,28,33,38,39,51.(1)画出甲、乙两名运动员得分数据的茎叶图；(2)根据茎叶图分析甲、乙两名运动员的水平．反思与感悟当数据较少时，用茎叶图分析问题的突出优点是(1)保留原始信息；(2)随时记录．用茎叶图分析数据可以运用数据分布的对称情况、集中分散情况来分析总体情况．跟踪训练3在某电脑杂志的一篇文章中，每个句子所含的字数如下：10,28,31,17,23,27,18,15,26,24,20,19,36,27,14,25,15,22,11,24,27,17；在某报纸的一篇文章中，每个句子所含的字数如下：27,39,33,24,28,19,32,41,33,27,35,12,36,41,27,13,22,23,18,46,32,22.(1)将这两组数据用茎叶图表示；(2)将这两组数据进行比较分析，得到什么结论？1．当收集到的数据量很大或有多组数据时，用哪种统计图表示较合适()A．茎叶图B．条形统计图C．折线统计图D．扇形统计图2．如图所示是从一批产品中抽样得到的数据的条形统计图，由图可看出数据出现机会最大的范围是()A．(8.1,8.3) B．(8.2,8.4)C．(8.4,8.5) D．(8.6,8.7)3．如图所示是某校高一年级学生到校方式的条形统计图，根据图形可得出骑自行车人数占高一年级学生总人数的()A．20% B．30%C．50% D．60%4．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：从折线图上两人射击命中环数的走势看，最有潜力的是________．1．条形统计图及折线统计图特别适用于数据量很大的情况，但却损失了数据的部分信息．扇形统计图适合表示总体的各个部分所占比例的问题，但不适用于总体分成部分较多的问题．2．茎叶图表示数据有两个突出优点：(1)统计图上没有原始信息的损失．(2)茎叶图可以随时记录，方便表示与比较．缺点：当数据量很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了．答案精析问题导学知识点一思考因为通过抽样获得的原始数据多而且杂乱，无法直接从中理解它们的含义，并提取信息，也不便于我们用它来传递信息．梳理(1)提取传递(2)表格构成形式知识点二直观准确具体数目折线统计图扇形统计图原始数据题型探究例1(1)条形统计图如图(1)所示．(2)1～15个字的句子个数为1～5个字，6～10个字，11～15个字的句子个数之和：15＋27＋32＝74，所占百分比为74%；16～30个字的句子个数为16～20个字，21～25个字，26～30个字的句子个数之和：15＋8＋3＝26，所占百分比为26%.条形统计图如图(2)所示．(3)1～10个字的句子个数为15＋27＝42，所占百分比为42%；11～20个字的句子个数为32＋15＝47，所占百分比为47%；21～30个字的句子个数为8＋3＝11，所占百分比为11%.条形统计图如图(3)所示．跟踪训练1解(1)参加足球队记为1，参加篮球队记为2，参加排球队记为3，参加乒乓球队记为4，得频率分布表如下：(2)由上表可知频率分布条形图如图．例2 解 (1)15%×370＝55.5(万人)，即2000年该市少数民族的总人口数是55.5万人． (2)40%×15%＝6%，∴2000年该市总人口中的苗族所占的百分比是6%. (3)40 000×15%＝6 000(人)，即2000年该市参加中考的少数民族的学生约有6 000人．跟踪训练2 91解析不少于1万元的占700万元的21%，为700×21%＝147万元.1万元以上的保险单中，超过或等于2.5万元的保险单占1321，金额为1321×147＝91万元，故不少于2.5万元的保险单有91万元．例3 解 (1)作出茎叶图如图．(2)由上面的茎叶图可以看出，甲运动员的得分情况是大致对称的；乙运动员的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称．因此甲运动员的发挥比较稳定，总体得分情况比乙运动员好．跟踪训练3 解 (1)茎叶图如图所示：(2)电脑杂志上每个句子的字数集中在10～30之间，报纸上每个句子的字数集中在20～40之间，说明电脑杂志上每个句子的平均字数要比报纸上每个句子的平均字数少．说明电脑杂志作为科普读物需要通俗易懂、简明．当堂训练1．B 2.B 3.B 4.乙。

2018版高中数学北师大版必修一学案：第三章章末复习

学习目标 1.构建知识网络；2.进一步熟练指数、对数运算，加深对公式成立条件的记忆；3.以函数观点综合理解指数函数、对数函数、幂函数．1．指数幂、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化．2．指数函数和对数函数的性质及图像特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图像及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时函数的单调性及图像特点．3．应用指数函数y＝a x和对数函数y＝log a x的图像和性质时，若底数含有字母，要特别注意对底数a＞1和0＜a＜1两种情况的讨论．4．幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为变量，指数函数的指数为变量．因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决．5．比较几个数的大小是幂函数、指数函数、对数函数性质应用的常见题型，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较．6．求含有指数函数和对数函数复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图像，观察确定其最值或单调区间．7．函数图像是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图造式、图像变换以及用图像解题．函数图像形象地显示了函数的性质，利用数形结合有时起到事半功倍的效果．类型一指数、对数的运算例1 化简：(1)2932-⨯(2)2log 32－log 3329＋log 38－25log 53.反思与感悟指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．跟踪训练1 计算80.25×42＋(32×3)6＋log 32×log 2(log 327)的值为________．类型二数的大小比较例2比较下列各组数的大小．(1)27,82；(2)log20.4，log30.4，log40.4；(3)1321211 2,log,log.33反思与感悟数的大小比较常用方法：(1)比较两数(式)或几个数(式)的大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数、幂函数图像与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图像法、中间搭桥法、作差法、作商法．(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小．跟踪训练2比较下列各组数的大小．(1)log0.22，log0.049；(2)a1.2，a1.3；(3)30.4,0.43，log0.43.类型三指数函数、对数函数、幂函数的综合应用命题角度1函数的性质及应用例3已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．反思与感悟指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段，构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图像变换等手段化归为基本的指数函数、对数函数、幂函数来研究．跟踪训练3已知函数f(x)＝log a(1－x)＋log a(x＋3)(0<a<1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值．命题角度2 函数的图像及应用例4 如图，函数f (x )的图像为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2}反思与感悟指数函数、对数函数、幂函数图像既是直接考查的对象，又是数形结合求交点，最值，解不等式的工具，所以要能熟练画出这三类函数图像，并会进行平移、伸缩，对称、翻折等变换．跟踪训练4 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )1．化简2lg (lg a 100)2＋lg (lg a )为( )A ．1B ．2C ．3D ．02．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )3．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x与函数g (x )＝log 12|x |在区间(－∞,0)上的单调性为( )A ．都是增函数B ．都是减函数C ．f (x )是增函数，g (x )是减函数D ．f (x )是减函数，g (x )是增函数4．已知P ＝2－32，Q ＝⎝⎛⎭⎫253，R ＝⎝⎛⎭⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是( ) A ．P ＜Q ＜R B ．Q ＜R ＜P C ．Q ＜P ＜RD ．R ＜Q ＜P5．函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1与x 轴交点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．41．函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题．2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图像的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图像、性质等方面来考查．答案精析题型探究例1 解原式＝2239533222(2)(10)10-⨯÷＝2－1×103×1052-＝2－1×1012＝102. (2)原式＝log 34－log 3329＋log 38－552log 3＝log 3⎝⎛⎭⎫4×932×8－55log 9 ＝log 39－9＝2－9＝－7. 跟踪训练1 111解析 ∵log 32×log 2(log 327) ＝log 32×log 23＝lg 2lg 3×lg 3lg 2＝1，∴原式＝314422⨯＋22×33＋1＝21＋4×27＋1＝111. 例2 解 (1)∵82＝(23)2＝26，由指数函数y ＝2x 在R 上递增知26<27，即82<27. (2)∵对数函数y ＝log 0.4x 在(0，＋∞)上是减函数， ∴log 0.44<log 0.43<log 0.42<log 0.41＝0. 又幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是减函数，∴1log 0.42<1log 0.43<1log 0.44，即log 20.4<log 30.4<log 40.4. (3)∵0<132-<20＝1，log 213<log 21＝0，112211log log 1,32>= 1321211log 2log .33-∴<<跟踪训练2 解 (1)∵log 0.049＝lg 9lg 0.04＝lg 32lg 0.22＝2lg 32lg 0.2＝lg 3lg 0.2＝log 0.23. 又∵y ＝log 0.2x 在(0，＋∞)上递减， ∴log 0.22>log 0.23，即log 0.22>log 0.049.(2)∵函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)，当底数a >1时在R 上是增函数；当底数0<a <1时在R 上是减函数，而1.2<1.3，故当a >1时，有a 1.2<a 1.3；当0<a <1时，有a 1.2>a 1.3. (3)30.4>30＝1， 0<0.43<0.40＝1， log 0.43<log 0.41＝0， ∴log 0.43<0.43<30.4.例3 解 (1)当a >0，b >0时，因为a ·2x ，b ·3x 在R 上都是增函数，所以函数f (x )在R 上是增函数；当a <0，b <0时，因为a ·2x ，b ·3x 在R 上都是减函数，所以函数f (x )在R 上是减函数． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0. ①当a <0，b >0时，⎝⎛⎭⎫32x >－a 2b ，解得x >log 32⎝⎛⎭⎫－a2b ； ②当a >0，b <0时，⎝⎛⎭⎫32x <－a2b ，解得x <log 32⎝⎛⎭⎫－a2b . 跟踪训练3 解 (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋3>0，解得－3<x <1，∴定义域为(－3,1)． (2)函数可化为f (x )＝log a [(1－x )(x ＋3)] ＝log a (－x 2－2x ＋3) ＝log a [－(x ＋1)2＋4]．∵－3<x <1，∴0<－(x ＋1)2＋4≤4. ∵0<a <1，∴log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4. 由log a 4＝－2，得a －2＝4，∴a ＝124-＝12. 例4 C [借助函数的图像求解该不等式．令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )的图像如图.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝log 2(x ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. ∴结合图像知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}．]跟踪训练4 B [由题意得y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝(13)x ，显然图像错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图像可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图像不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图像与y ＝log 3x 的图像关于y 轴对称．显然不符．故选B.] 当堂训练1．B 2.D 3.D 4.B 5.B。

18版高中数学第一章统计7相关性学案北师大版必修3

7 相关性[学习目标] 1.掌握相关关系的判断.2.会作散点图.3.体会化归思想的应用．知识点一变量间的相关关系1．变量之间常见的关系2.1．散点图在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．2．曲线拟合从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的过程称为曲线拟合．3．相关关系的分类(1)线性相关：若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关的．(2)非线性相关：若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关为非线性相关的．此时，可以用一条曲线来拟合．4．不相关如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的．思考任意两个统计数据是否均可以作出散点图？答可以，不管这两个统计量是否具备相关性，以一个变量值作为横坐标，另一个作为纵坐标，均可画出它的散点图．题型一变量间相关关系的判断例1 在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？①正方形边长与面积之间的关系；②作文水平与课外阅读量之间的关系；③农作物产量与施肥量之间的关系；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．解两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系．①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．②作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．③一块农田的农作物产量与施肥量之间的关系是一种不确定的相关关系．④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．综上，②③④中的两个变量具有相关关系．反思与感悟函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．跟踪训练1 下列两个变量间的关系不是函数关系的是( )A．正方体的棱长与体积B．角的度数与它的正弦值C．单产为常数时，土地面积与粮食总产量D．日照时间与水稻的单位产量答案 D解析函数关系与相关关系都是指两个变量之间的关系，但是这两种关系是不同的，函数关系是指当自变量一定时，函数值是确定的，是一种确定性的关系．因为A项V＝a3，B项y＝sinα，C项y＝ax(a＞0，且a为常数)，所以这三项均是函数关系．D项是相关关系．题型二散点图例2 5名学生的数学和物理成绩(单位：分)如下：解以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，得相应的散点图如图所示．由散点图可知，各点分布在一条直线附近，故两者之间具有线性相关关系．反思与感悟 1.判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果图上发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．2．画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．跟踪训练2 (1)如图是两个变量统计数据的散点图，判断两个变量之间是否具有相关关系？(2)某男孩的年龄与身高的统计数据如下.解(1)不具有相关关系，因为散点图散乱地分布在坐标平面内．(2)散点图如图：由图可见，具有线性相关关系．题型三散点图的应用例3 下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：(1)(2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增加吗？解(1)散点图如下：(2)从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增加，不会一直随施化肥量的增加而增加．反思与感悟利用散点图判断不同变量的相关性时，其关键是正确画出散点图，然后观察分布规律：是在一条直线附近波动还是在一条曲线附近波动，还是没有任何规律，从而得出线性相关、非线性相关或不相关的结论．跟踪训练3 对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u，v 有观测数据(u i，v i)(i＝1，2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )A．变量x与y，u与v都有线性相关关系B．变量x与y，u与v都没有线性相关关系C．变量x与y有线性相关关系，u与v没有线性相关关系D．变量x与y没有线性相关关系，u与v有线性相关关系答案 A数形结合思想例4 以下是在某地搜集到的不同楼盘房屋的销售价格y(单位：万元)和房屋面积x(单位：m2)的数据：关还是负相关？分析作出散点图，利用散点图进行判断．解数据对应的散点图如图所示．通过以上数据对应的散点图可以判断，房屋的销售价格和房屋面积之间具有线性相关关系，且是正相关．解后反思判断两个变量x和y是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图．如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就具有线性相关关系．注意不要受个别点的位置的影响．1．下列所给出的两个变量之间存在相关关系的为( )A．学生的座号与数学成绩B．学生的学号与身高C．曲线上的点与该点的坐标之间的关系D．学生的身高与体重答案 D解析A与B中的两个变量之间没有任何关系；C中的两个变量之间具有函数关系．2．下列各图中所示两个变量具有相关关系的是( )A．①②B．①③C．②④D．②③答案 D解析具有相关关系的两个变量的数据所对应的图形是散点图，②③能反映两个变量的变化规律，它们之间是相关关系．3．下面是四个散点图中的点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是( )答案 C解析散点图A中的点无规律的分布，范围很广，表明两个变量之间的相关程度很小；B中所有的点都在同一条直线上，是函数关系；C中点的分布在一条带状区域上，即点分布在一条直线的附近，是线性相关关系；D中的点也分布在一条带状区域内，但不是线性的，而是一条曲线附近，所以不是线性相关关系，故选C.4．下列变量之间的关系是函数关系的是( )A．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中a、c是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b2－4acB．果树剪枝和果树产量C．闯红灯和交通事故发生率D．每亩施用肥料量和粮食的亩产量答案 A5．命题：①路程与时间、速度的关系是相关关系；②同一物体的加速度与作用力是函数关系；③产品的成本与产量之间的关系是函数关系；④圆的周长与面积的关系是相关关系；⑤广告费用与销售量之间的关系是相关关系．其中正确的命题序号是________．答案②⑤两个变量间的关系有两种：一种是函数关系，另一种是相关关系．另外要会画散点图，并会根据散点图判断两个变量间是何种关系．。

北师大版2017-2018学年高中数学必修3全册教学案含解析

北师大版2017-2018学年高中数学必修3全册教学案目录第一章§1 从普查到抽样第一章§2 2.1简单随机抽样第一章§2 2.2分层抽样与系统抽样第一章§3 统计图表第一章§4 4.1 - 4.2平均数、中位数、众数、极差、方差标准差第一章§5 5.1 - 5.2估计总体的分布估计总体的数字特征第一章§7 相关性第一章§8 最小二乘估计复习课（一）统计第二章§1 算法的基本思想第二章§2 2.2变量与赋值第二章§2 2.3循环结构第二章§3 3.1条件语句第二章§3 3.2循环语句复习课（二）算法初步第三章§1 1.1 1.2频率与概率生活中的概率第三章§2 2.1古典概型的特征和概率计算公式第三章§2 2.2建立概率模型第三章§2 2.3互斥事件第三章§3 模拟方法——概率的应用复习课（三）概率从普查到抽样预习课本P3～6，思考并完成以下问题(1)普查的含义是什么？有什么特点？(2)抽样调查的含义是什么？有什么特点？(3)在统计学中，什么是总体和个体？(4)什么是样本和样本容量？[新知初探]1．普查(1)定义：普查是指一个国家或一个地区专门组织的一次性大规模的全面调查，目的是为了详细地了解某项重要的国情、国力．(2)特点：①所取得的资料更加全面、系统；②主要调查在特定时段的社会经济现象总体的数量．2．抽样调查(1)定义：通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据，并以此对调查对象的某项指标作出推断，这就是抽样调查．其中，调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本．(2)特点：①迅速、及时；②节约人力、物力和财力．[点睛]当调查的对象量很大，或调查过程具有破坏性时，采取普查就行不通，此时应采用抽样调查的方式．[小试身手]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)高考考生的身体检查，是抽样调查．()(2)某养鱼专业户要了解鱼塘中鱼的平均质量，是抽样调查．()(3)商检人员在某超市检查出售的饮料的合格率，是普查．()(4)某班拟组织一次春游活动，为了确定春游的地点，向全班同学进行调查，是普查．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．下面问题可以用普查的方式进行调查的是()A．检验一批钢材的抗拉强度B．检验海水中微生物的含量C．检验10件产品的质量D．检验一批汽车的使用寿命解析：选C A不能用普查的方式调查，因为这种试验具有破坏性；B用普查的方式无法完成；C可以用普查的方式进行调查；D该试验具有破坏性，且需要耗费大量的时间，在实际生产中无法应用．3．从一批零件中抽取10个，测得它们的长度(单位：cm)如下：22．3622.3522.3322.3522.3722.3422.3822．3622.3222.35由此估计这批零件的平均长度．在此统计活动中：(1)总体为：______________________；(2)个体为：______________________；(3)样本为：______________________；(4)样本容量为：______________________.答案：(1)这批零件的长度(2)每个零件的长度(3)抽取的10个零件的长度(4)10[典例]100名运动员进行调查，下面说法正确的是()A．1 000名运动员是总体B．每个运动员是个体C．抽取的100名运动员是样本D．样本容量是100[解析]根据调查目的可知，总体是这1 000名运动员的年龄，个体是每个运动员的年龄，样本是抽取的100名运动员的年龄，样本容量为100.故答案为D.[答案] D此类题目要正确理解总体与个体的概念，要弄明白概念的实质，并注意样本与样本容量的不同，其中样本容量为数目，无单位．[活学活用]为了了解全年级240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是()A．总体是240B．个体是每一个学生C．样本容量是40名学生D．样本容量是40解析：选D本题调查的对象是“学生的身高”这一项指标，故A、B不正确．而样本容量是数量，故C不正确．由此可见，研究此类问题首先要弄清楚所要调查的对象是什么.普查及其应用[典例]听力设备的质量，是全部检查还是抽取部分检查？谈谈你的想法和理由．[解]必须全部检查(采用普查)．因为高考是一件非常严肃、责任重大的事件，高考是一场公平竞争，要求十分严格，所配设备必须全部合格，且这批设备数量较少，全部检查是可行的，这样可确保万无一失．判断是否采用普查获取有关信息的方法(1)分析调查对象的性质，判断是否必须了解每一个个体的相关信息；(2)确定总体个数，依此来判断采取普查是否可行．[活学活用]下列调查中，适合采用普查方式的是()A．调查某品牌电视机的市场占有率B．调查某品牌电视机的使用寿命C．调查七年级一班的男女同学的比例D．调查某型号炮弹的射程解析：选C A中的调查对象很多，B、D中的调查对象具有破坏性，都不能采用“普查”．而C选项中男女同学的比例是需要“普查”的．抽样调查及其应用[典例]某校高一男女生比例大约为1∶1.体育老师要调查高一全体学生的平均身高，采用什么方法既省力又合理，应注意什么问题？[解]最好是男女生按1∶1分类抽样调查．因为男女生在身高上有一定的差异，随意抽样调查有可能导致样本代表性不足．判断是否采用抽样调查获取有关信息的方法(1)分析调查目的，确定是需要每个个体情况还是总体情况．若只是关心总体的某项指标(如本例中的平均身高)，一般采用抽样调查．(2)若采用普查，是否必要？是否具有破坏性？若不必要或有一定的破坏性，就采用抽样调查．[活学活用]下面的四个问题中，可以用抽样调查方法的是()A．检验10名参加计算机水平测试学生的成绩B．银行对公司10万元存款的现钞的真假检验C．跳伞运动员检查20个伞包及伞的质量D．检验一批汽车的防碰撞性能解析：选D根据抽样调查与普查的概念可知A、B、C一般采用普查的方法，只有D 是采用抽样调查的方法.抽样调查设计[典例]学者，谈他们对高考落榜的看法．这些名人所讲的都是大同小异，不外乎“我也有过落榜的沮丧，但从长远看，它有益于我的人生”，“我是因祸得福，落榜使我走了另一条成功之路”等等．小明据此得出一条结论，上大学不如高考落榜．他的结论正确吗？[解]小明的结论是错误的，在众多的高考落榜生中，走出另外一条成功之路的是少数，小明通过研究一些期刊杂志社报道过的一些成功人士就得出结论是片面的，因为他的抽样不具有代表性．根据调查问题的特点设计抽样调查的不同方案，应遵循以下原则：(1)要考虑如何合理地获取样本，以确保其典型性、代表性．即抽取的部分个体具有广泛的代表性，能很好地代表总体．(2)要考虑如何保证调查内容的真实性．[活学活用]为了缓解城市的交通拥堵情况，某城市准备出台限制私家车的政策，为此要进行民意调查，某个调查小组调查了一些拥有私家车的市民，你认为这样的调查结果会怎样？解：由于要出台限制私家车的政策，抽样调查的市民又是拥有私家车的市民，因此调查结果倾向于反对出台限制私家车的政策．如果要调查出社会公民对政策的真实意见，需要对市民的各个群体进行抽样调查，还包括对一些社会团体(比如公交公司、消防、医院等)的运营状况进行调查，这样才能比较真实地反映出社会的实际情况，获得市民的心声．[层级一学业水平达标]1．医生要检验人血液中血脂的含量，采取的调查方法应该是()A．普查B．抽样调查C．既不能普查也不能抽样调查D．普查与抽样调查都可以答案：B2．下列调查工作适合采用普查的是()A．环保部门对淮河水域的水污染情况的调查B．电视台对某电视节目收视率的调查C．质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查D．企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查解析：选D A、B中的调查，从理论上来说采用普查是可行的，但是普查会费时费力；C中，质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查不能采用普查，因为调查时的检验对电池具有破坏性；D中，企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查必须采用普查，否则工人的工作服会不合体．故选D.3．现从80件产品中随机抽出20件进行质量检验．下列说法正确的是()A．80件产品是总体B．20件产品是样本C．样本容量是80 D．样本容量是20解析：选D总体是80件产品的质量；样本是抽取的20件产品的质量；总体容量是80；样本容量是20.4．国家统计局、国家残联决定对国家残疾人生活、就业等情况进行调查，小明设计的调查方案是在国家残联的网站上设立一个调查表，根据网站上的数据进行分析．你认为小明的方案________(填“合理”或“不合理”)．解析：很多残疾人不具有上网条件，因此获取的数据不具有代表性．答案：不合理[层级二应试能力达标]1．若对某校1 200名学生的耐力做调查，抽取其中120名学生，测试他们1 500米跑的成绩，得出相应的数值，在这项调查中，样本是指()A．120名学生B．1 200名学生C．120名学生的成绩D．1 200名学生的成绩解析：选C本题抽取的是120名学生的成绩，因此每个学生的成绩是个体，这120名学生的成绩构成一个样本．2．在古代，我国的科学技术发展水平是否居于世界领先位置呢？为了说明这一问题应该()A．列举我国的文化遗产B．列举我国古代的著名科学家C．列举外国人对我国科技成就的赞扬D．列举全世界古代所有重大科技成果，统计其中有百分之多少是中国人创造的答案：D3．为了了解高一年级学生的视力情况，特别是近视率问题，抽测了其中100名同学的视力情况．在这个过程中，100名同学的视力情况(数据)是()A．总体B．个体C．总体的一个样本D．样本容量解析：选C100名同学的视力情况(数据)是从总体中抽取的一部分个体所组成的集合，所以是总体的一个样本．4．下列调查方案中，抽样方法合适、样本具有代表性的是()A．用一本书第1页的字数估计全书的字数B．为调查某校学生对航天科技知识的了解程度，上学期间，在该校门口，每隔2分钟随机调查一位学生C．在省内选取一所城市中学，一所农村中学，向每个学生发一张卡片，上面印有秦始皇、毛泽东、周恩来、保尔、比尔·盖茨、邓亚萍、刘德华等一些名人的名字，要求每个学生只能在一个名字下面画“√”，以了解全省中学生最崇拜的人物是谁D．为了调查我国小学生的健康状况，共抽取了100名小学生进行调查解析：选B A中样本缺少代表性(第1页的字数一般较少)；B中抽样保证了随机性原则，样本具有代表性；对于C，城市中学与农村中学的规模往往不同，学生崇拜的人物也未必在所列的名单之中，这些都会影响数据的代表性；D中总体数量很大，而样本容量太少，不足以体现总体特征．5．给出以下调查：①了解一批汽车驾校训练班学员的训练成绩是否达标；②了解一批炮弹的杀伤力；③某饮料厂对一批产品质量进行检查；④调查对2014年南京青奥会的满意度；⑤检验飞天设备中各零件产品的质量．其中适宜用抽样调查的是________(将正确答案的序号全填上)．解析：若调查的目的必须通过普查才能实现，一般用普查，但若存在一定的破坏性则用抽样调查，关键还是看实际需要．驾校训练的司机直接影响驾驶安全，必须普查；炮弹的杀伤力调查具有破坏性，只能采用抽样调查；饮料质量的调查也具有破坏性，应该采用抽样调查；青奥会满意度调查比较复杂，普查成本高，也没必要，适宜用抽样调查；飞天设备不能有一点疏忽，每一个零件的质量都需要检查．答案：②③④6．普查是一项非常艰巨的工作，当总体中的对象很少时，往往采用的调查方式是________；当总体中的对象很多时，普查工作量就很大，这时通常采用的调查方式是________．但是如果调查具有破坏性，那么无论总体数目的多少，只能采用的调查方式是________．答案：普查抽样调查抽样调查7．为制定本市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高做调查，现有三种调查方案：①测量少年体校中180名男子篮球、排球队员的身高；②查阅有关外地180名男生身高的统计资料；③在本市的市区和郊县各任选一所完全中学、两所初级中学，在这六所学校有关的年级(1)班中，用抽签的方法分别选出10名男生，然后测量他身高．为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，则上述调查方案比较合理的是________．解析：①中，少年体校的男子篮球、排球的运动员的身高一定高于一般的情况，因此无法用测量的结果去估计总体的结果；②中，用外地学生的身高也不能准确地反映本地学生身高的实际情况；而③中的调查方案比较合理，能达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的．答案：③8．要调查中央电视台《新闻联播》的收视情况，某同学到某一大型商场调查了所有的顾客和售货员的收视情况，得出数据并进行分析，你认为他的调查结果可靠吗？为什么？解：因为某一商场的顾客和售货员的收视情况不具有代表性，不能反映该时间内工人、农民、学生等人员的收视情况，故调查结果不可靠．9．某年春季，某著名的全国性连锁服装店进行了一项关于当年秋季服装流行色的民意调查，调查者通过向顾客发放饮料，并让顾客通过挑选饮料瓶的颜色来对自己喜欢的服装颜色“投票”．这次调查结果显示，某大城市服装颜色的众数(大多数人的选择)为红色，而当年全国服装协会发布的秋季服装流行色是咖啡色．这个结果是否意味着该城市的人比其他城市的人较少倾向于选择咖啡色？你认为这两种调查结果的差异是由什么引起的？解：这个结果意味着该城市光顾这家连锁店的人比其他城市的人较少倾向于选择咖啡色，由于光顾这家连锁店的人是一种比较容易得到的样本(方便样本)，不一定能代表该城市其他人的想法．而该城市的调查结果来自于该城市光顾这家连锁店的人，这个样本也不能很好地代表全国民众的观点，从而带来了调查结果的差异．抽样方法2．1简单随机抽样预习课本P8～11，思考并完成以下问题(1)什么样的抽样是简单随机抽样？(2)简单随机抽样有什么特点？(3)简单随机抽样的常用方法有哪些？(4)抽签法和随机数表法的概念是什么？它们的实施步骤是什么？各有什么优缺点？[新知初探]1．简单随机抽样(1)定义：根据实际需要有时需从总体中随机地抽取一些对象，然后对抽取的对象进行调查．在抽取的过程中，要保证每个个体被抽到的概率相同．这样的抽样方法叫作简单随机抽样．(2)特点：①总体个数有限：简单随机抽样要求被抽取样本的总体个数有限，这样便于通过样本对总体进行分析．②逐个抽取：简单随机抽样是从总体中逐个进行抽取，这样便于实际操作．③无放回抽样：简单随机抽样是一种无放回抽样，这样便于样本的获取和一些相关的计算．④等可能抽样：不仅每次从总体中抽取一个个体时各个个体被抽取的可能性相等，而且在整个抽样过程当中，各个个体被抽取的可能性相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．2．抽签法(1)定义：抽签法就是先把总体中的N个个体编号，并把编号写在形状、大小相同的签上，然后将这些号签放在同一个箱子里均匀搅拌．每次随机地从中抽取一个，然后将号签均匀搅拌，再进行下一次抽取．如此下去，直至抽到预先设定的样本数．(2)优缺点：①优点：简单易行，当总体个数不多时，号签搅拌均匀很容易，个体有均等的机会被抽取，从而能保证样本的代表性．②缺点：当总体个数较多时，费时、费力，且号签很难被搅拌均匀，产生的样本代表性差，导致抽样的不公平．3．随机数法(1)定义：把总体中的N个个体依次编上0,1，…，N－1的号码，然后利用工具(转盘或摸球、随机数表、科学计算器或计算机)产生0,1，…，N－1中的随机数，产生的随机数是几，就选几号个体，直至抽到预先规定的样本数．(2)优缺点：优点：简单易行，它很好地解决了抽签法中遇到的当总体个数较多时制签难、号签很难被搅拌均匀的问题．缺点：总体个数很多，需要的样本容量较大时，不太方便．[点睛]当随机地选定开始读取的数字之后，读数的方向可以向右，也可以向左、向上、向下等．因为随机数表中每个位臵上各个数字出现的概率是相等的，因此不论采用什么方式读数，我们都能保证各个个体被抽到的概率相同．[小试身手]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从无数个个体中抽取20个个体作为样本，是简单随机抽样．()(2)从50台冰箱中一次性抽取5台冰箱进行质量检测，是简单随机抽样．()(3)某班有40名学生，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛，是简单随机抽样．()(4)彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签，是简单随机抽样．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性()A．与第几次抽样有关，第一次抽中的可能性要大些B．与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等C．与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性要大些D．每个个体被抽中的可能性无法确定解析：选B在简单随机抽样中，每一个个体被抽中的可能性都相等，与第几次抽样无关．3．下列抽样中，用抽签法方便的是()A．从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验B．从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验D．从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验解析：选B根据抽签法的特点可知，B选项用抽签法比较方便．4．在容量为100的总体中用随机数表法抽取5个样本，总体编号为00,01,02， (99)给出下列几组号码：①00,01,02,03,04；②10,30,50,70,90；③49,19,46,04,67；④11,22,33,44,55则可能成为所得样本编号的是________(将所有正确结论的序号全填上)．解析：随机数表法是一种简单随机抽样方法，因此每一个个体都有可能被抽到，且被抽到的可能性相同，因此所列几组都可能成为所得样本的编号．故填①②③④.答案：①②③④简单随机抽样的概念[典例](1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本；(2)仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；(3)某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴灾区开展救灾工作．[解](1)不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．(2)不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．(3)不是简单随机抽样．因为这50名官兵是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．要判断所给的抽样方法是否是简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机抽样的四个特点．[活学活用]下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？①某工厂的质检员从一袋30个螺母中一次性取出5个进行质量检测；②某商品的市场调查员为了了解该商品在某日某超市的销售情况，在超市出口处随机向10个顾客询问是否购买了该商品；③某班级有4个小组，每组共有12个同学．班主任指定每组坐在第一张桌子的8位同学为班干部；④中国福利彩票30选7，得到7个彩票中奖号码．解：简单随机抽样要求：被抽取的样本的总体个数确定且较少，抽取样本时要求逐个抽取，每个个体被抽取的可能性一样．所以①不是，因为是一次性抽取不是逐个抽取；②不是，被抽取的样本的总体个数不确定；③不是，班主任的指定不能保证班级里的每一个学生被抽取的可能性一样；④是，它属于简单随机抽样中的随机数法.抽签法的应用[典例]某班有50抽取该样本的过程．[解]利用抽签法步骤如下：第一步：将这50名学生编号，编号为01,02,03， (50)第二步：将50个号码分别写在纸条上，并揉成团，制成号签．第三步：将得到的号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀．第四步：从容器中逐一抽取6个号签，并记录上面的号码．对应上面6个号码的学生就是参加该项活动的学生．利用抽签法抽取样本时应注意以下问题：(1)编号时，如果已有编号(如学号、标号等)可不必重新编号．(例如该题中这50名同学，可以直接利用学号)(2)号签要求大小、形状完全相同．(3)号签要搅拌均匀．(4)要逐一、不放回抽取．[活学活用]上海某中学从40名学生中选1名学生作为上海男篮拉拉队成员，采用下面两种方法选取．方法一：将40名学生按1～40进行编号，相应制作1～40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅拌均匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签号码一致的学生幸运入选；方法二：将39个白球与1个红球混合放在一个暗箱中搅匀，让40名学生逐一从中摸取1个球，摸到红球的学生成为拉拉队成员．试问这两种方法是否都是抽签法？为什么？解：抽签法抽样时给总体中的N个个体编号各不相同，由此可知方法一是抽签法，因为抽签法要求所有的号签编号互不相同，而方法二中39个白球无法相互区分，故方法二不是抽签法．这两种方法的相同之处在于每名学生被选中的机会都相等.随机数法[典例]设某校共有12名教师组成暑期西部讲师团，请写出利用随机数法抽取该样本的步骤．[解]其步骤如下：第一步，将100名教师进行编号：00,01,02， (99)第二步，在随机数表(见教材第9页表1－2)中任取一数作为开始，如从第12行第9列开始，依次向右读取两位的数，可以得到31,70,05,00,25,93,45,53,78,14,28,89.与这12个编号对应的教师组成样本．随机数法解题策略(1)选定初始数字读数方向，向左、向右、向上或向下都可以，方向不同可能导致不同结果，但这一点不影响样本的公平性．(2)读数时，编号为两位，两位读取，编号为三位，则三位读取，如果出现重号，则跳过，接着读取．(3)当题目所给的编号位数不一致时，不便于直接从随机数表中读取，这时需要对号码作适当的调整使新编号位数相同．[活学活用]假设我们要检验某公司生产的袋装牛奶的质量是否达标，需从800袋袋装牛奶中抽取50袋进行检验．利用随机数法抽取样本，写出抽样过程．解：第一步：将800袋袋装牛奶编号为000,001， (799)第二步：从随机数表(见教材第9页表1－2)中任意一个位臵，如从第1行的第8列，第9列和第10列开始选数，向右读，抽得第1个样本号码208，依次得到样本号码：026,314,070,243，…，其中超出000～799范围的数和前面已出现的数舍去，一直到选出50个样本号码为止；第三步：所选出的50个号码对应的50袋袋装牛奶即为所要抽取的样本.简单随机抽样的灵活应用[典例]道物理题中随机抽3道；从20道化学题中随机抽3道；从12道生物题中随机抽2道．选用合适的方法确定这个学生所要回答的三门学科的题的序号(物理题的编号为1～15，化学题的编号为16～35，生物题的编号为36～47)．。

2018版高中数学北师大版必修三学案：第一章统计 4-1 平均数、中位数、众数、极差、方差-4-2 标准差精品

4．1 平均数、中位数、众数、极差、方差4．2 标准差[学习目标] 1.掌握各种基本数字特征的概念、意义以及它们各自的特点.2.要重视数据的计算，体会统计思想．知识点一众数、中位数、平均数 1．众数、中位数、平均数定义(1)众数：一组数据中重复出现次数最多的数．(2)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数称为这组数据的中位数．(3)平均数：如果n 个数x 1，x 2，…，x n ，那么x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )称为这n 个数的平均数．2．三种数字特征与频率分布直方图的关系1．标准差(1)平均距离与标准差标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示．假设样本数据是x 1，x 2，…，x n ，x 表示这组数据的平均数．x i 到x 的距离是|x i －x |(i ＝1,2，…，n )，则用如下公式来计算标准差： s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. (2)计算标准差的步骤 ①求样本数据的平均数x ；②求每个样本数据与样本平均数的差x i －x (i ＝1,2，…，n )； ③求(x i －x )2(i ＝1,2，…，n )；④求s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]；⑤求s ＝s 2，即为标准差． 2．方差标准差的平方s 2叫作方差．s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中，x i (i ＝1,2，…，n )是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数．题型一众数、中位数、平均数的简单运用例1 某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下表：(1)(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．解 (1)平均数是：x ＝1 500＋4 000＋3 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×2033≈1 500＋591＝2 091(元)，中位数是1 500元，众数是1 500元． (2)新的平均数是x ′＝1 500＋28 500＋18 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×2033≈1 500＋1 788＝3 288(元)，新的中位数是：1 500元，新的众数是1 500元．(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．反思与感悟 1.众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势，当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题.2.在求平均数时，可采用新数据法，即当所给数据在某一常数a 的左右摆动时，用简化公式：x ＝x ′＋a .跟踪训练1 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：解在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.上面表格里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是 1.70；这组数据的平均数是x ＝117(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝28.7517≈1.69(m)．答 17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m ，1.70 m,1.69 m. 题型二平均数和方差的运用例2 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm 的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．解 (1)x 甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x 乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1. (2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s 2甲＞s 2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定．反思与感悟 1.极差、方差与标准差的区别与联系：数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述．(1)极差是数据的最大值与最小值的差，它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感．(2)方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小，为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度通常用标准差，即样本方差的算术平方根，是样本数据到平均数的一种平均距离． 2．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，质量越稳定．跟踪训练2 某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其质量，分别记录抽查数据如下(单位：kg)：甲：102 101 99 98 103 98 99 乙：110 115 90 85 75 115 110 (1)这种抽样方法是哪一种方法？(2)试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品比较稳定．解 (1)采用的抽样方法是：系统抽样．(2)x 甲＝17(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100；x 乙＝17(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100；x 2甲＝17[(102－100)2＋(101－100)2＋(99－100)2＋(98－100)2＋(103－100)2＋(98－100)2＋(99－100)2]＝17(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)≈3.43； s 2乙＝17[(110－100)2＋(115－100)2＋(90－100)2＋(85－100)2＋(75－100)2＋(115－100)2＋(110－100)2]＝17(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100) ≈228.57.所以s 2甲＜s 2乙，故甲车间产品较稳定．题型三数据的数字特征的综合应用例3在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．解(1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．(2)x甲＝12＋5＋10＋13＋14＋6(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)＝150×4 000＝80，x乙＝14＋4＋16＋2＋12＋12(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝150×4 000＝80.s2甲＝12＋5＋10＋13＋14＋6[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，s2乙＝14＋4＋16＋2＋12＋12[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.∵s2甲<s2乙，∴甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组好些．(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好．(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好．反思与感悟要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论．跟踪训练3甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件．为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出20件，量得其内径尺寸如下(单位：mm)：甲25．4625.3225.4525.3925.3625．34 25.42 25.45 25.38 25.42 25．39 25.43 25.39 25.40 25.44 25．40 25.42 25.35 25.41 25.39 乙25．40 25.43 25.44 25.48 25.48 25．47 25.49 25.49 25.36 25.34 25．33 25.43 25.43 25.32 25.47 25．31 25.32 25.32 25.32 25.48从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高？(结果保留小数点后3位) 解用计算器计算可得 x 甲≈25.405，x 乙≈25.406； s 甲≈0.037，s 乙≈0.068.从样本平均数看，甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准(25.40mm)，差异很小；从样本标准差看，由于s 甲<s 乙，因此甲生产的零件内径尺寸比乙的稳定程度高得多．于是，可以作出判断，甲生产的零件的质量比乙的高一些．分类讨论思想例4 某班有四个学习小组，各小组人数分别为10,10，x,8，已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数．分析由于x 未知，因此中位数不确定，需讨论．解该组数据的平均数为14(10＋10＋x ＋8)＝14(28＋x )，中位数是这4个数按从小到大的顺序排列后处在最中间两个数的平均数．(1)当x ≤8时，原数据从小到大排序为x,8,10,10，中位数是9，由14(28＋x )＝9，得x ＝8，符合题意，此时中位数是9；(2)当8＜x ≤10时，原数据从小到大排序为8，x,10,10，中位数是12(x ＋10)，由14(28＋x )＝12(10＋x )，得x ＝8，与8＜x ≤10矛盾，舍去；(3)当x ＞10时，原数据从小到大排序为8,10,10，x ，中位数是10，由14(28＋x )＝10，得x ＝12，符合题意，此时中位数是10.综上所述，这组数据的中位数是9或10.解后反思当题目中含有参数，且参数的不同取值影响求解结果时，需对参数的取值分类讨论．1．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是( ) A ．平均数 B ．中位数 C ．方差 D ．众数答案 C解析由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度．2．一组样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x 等于( ) A ．21 B ．22 C ．20 D ．23 答案 A解析根据题意知，中位数22＝x ＋232，则x ＝21.3．一次选拔运动员的测试中，测得7名选手中的身高(单位：cm)分布的茎叶图如图所示．记录的平均身高为177 cm ，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x ，则x 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 D解析由题意知，10＋11＋0＋3＋x ＋8＋9＝7×7，解得x ＝8.4．已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是________．答案 0.1解析 x －＝4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.55＝5.1，则方差s 2＝15[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.5．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8，7,9,5,4,9,10,7,4 则：(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________．答案 (1)7 (2)2解析 (1)x ＝7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋410＝7.(2)∵s 2＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s ＝2.1.一组数据中的众数可能不止一个，中位数是唯一的，求中位数时，必须先排序． 2．利用直方图求数字特征： (1)众数是最高的矩形的底边的中点． (2)中位数左右两边直方图的面积应相等．(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．3．标准差的平方s 2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．。

[推荐学习]2018北师大版高中数学必修三学案：第一章 1 从普查到抽样

学习目标 1.了解普查与抽样调查的概念.2.理解随机抽样的必要性和重要性.3.明确两种调查的优缺点．知识点一统计思考我们每天都接触大量的数据：各地房价的涨幅，各种指数的变化、天气的各种数据等，这些数据是怎么来的？梳理统计是研究如何合理收集、______、______数据的学科．知识点二普查思考你对“武汉一人口普查员劳累过度以身殉职”的报道有何看法？梳理一般地，普查是指一个________或一个________专门组织的________大规模的全面调查，目的是为了详细地了解________重要的国情、国力．普查的主要特点：①所取得的资料更加全面、________；②主要调查在特定时段的社会经济现象总体的________．普查的对象________时，普查无疑是一项非常好的调查方式．知识点三抽样调查思考要了解一批牛奶的质量是否达标，能用普查吗？梳理当不宜普查时，有：(1)抽样调查：从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观察，获取数据，并以此对调查对象的某项指标作出推断，这就是抽样调查．(2)总体：调查对象的全体称为总体．(3)个体：组成总体的每一个考察对象叫作个体；(4)样本及样本的容量：从总体中所抽取的一部分个体叫作总体的一个样本，样本中的个体数目叫作样本的容量．(5)抽样调查的优点：抽样调查与普查相比，有很多优点，最突出的有两点：①迅速、及时；②节约人力、物力和财力．类型一普查与抽样调查例1医生是如何检验人的血液中血脂的含量是否偏高的？反思与感悟设计合理的调查方案是调查的基础，是统计活动中非常重要的环节．若对大批量且有破坏性的检验问题，只能进行抽样调查，这样检验是科学、合理的．在抽样调查中应注意：抽取的样本要具有全面性、代表性、随机性．跟踪训练1下列调查中哪些是用普查方式，哪些是用抽样方法来收集数据的？(1)为了了解我们班级的每个学生穿几号鞋，向全班同学做调查；(2)为了了解我们学校高一年级学生穿几号鞋，向我们所在班的全体同学做调查；(3)为了了解我们班的同学每天的睡眠时间，在每个小组中各选取2名学生做调查；(4)为了了解我们班的同学每天的睡眠时间，选取班级中学号为双数的所有学生做调查．类型二如何进行抽样调查例2为了缓解城市的交通拥堵情况，某市准备出台限制私家车的政策，为此要进行民意调查．某个调查小组调查了一些拥有私家车的市民，你认为这样的调查结果会怎样？反思与感悟在统计活动中，尤其是大型的统计活动，为避免一些外界因素的干扰，通常需要确定调查的对象、调查的方法与策略，需要精心设计前期的准备工作和收集数据的方法，然后对数据进行分析，得出统计推断．跟踪训练2中央电视台希望在春节联欢晚会播出后一周内获得当年春节联欢晚会的收视率．下面是三名同学为电视台设计的调查方案．甲同学：我把这张《春节联欢晚会收视率调查表》放在互联网上，只要上网登录该网址的人就可以看到这张表，他们填表的信息可以很快地反馈到我的电脑中．这样，我就可以很快统计收视率了．乙同学：我给我们居民小区的每一户住户发一份是否在除夕那天晚上看过中央电视台春节联欢晚会的调查表，只要一两天就可以统计出收视率．丙同学：我在电话号码本上随机地选出一定数量的电话号码，然后逐个给他们打电话，问一下他们是否收看了中央电视台春节联欢晚会，我不出家门就可以统计出中央电视台春节联欢晚会的收视率．请问：上述三名同学设计的调查方案能够获得比较准确的收视率吗？为什么？1．下列调查方式中，可用“普查”方式的是()A．调查某品牌电视机的市场占有率B．调查某电视连续剧在全国的收视率C．调查某校七年级一班的男女同学的比例D．调查某型号炮弹的射程2．下列说法不正确的是()A．普查是要对所有的对象进行调查B．样本不一定是从总体中抽取的，没抽取的个体也是样本C．当调查的对象很少时，普查是很好的调查方式，但当调查的对象很多时，则要耗费大量的人力、物力和财力D．普查不是在任何情况下都能实现的3．为了了解高一年级学生的视力情况，特别是近视率问题，抽测了其中100名同学的视力情况．在这个过程中，100名同学的视力情况(数据)是()A．总体B．个体C．总体的一个样本D．样本容量4．下列调查中属于抽样调查的是()①每隔5年进行一次人口普查；②某商品的质量优劣；③某报社对某个事情进行舆论调查；④高考考生的查体．A．②③B．①④C．③④D．①②5．“非典”期间，我国每日公布非典疫情，其中有关数据的收集所采用的调查方式是________．普查是一项非常艰巨的工作，它要对所有的对象进行调查．当普查的对象很少时，普查无疑是一项非常好的调查方式．普查主要有两个特点：(1)所取得的资料更加全面、系统；(2)主要调查在特定时段的社会经济现象总体的数量．答案精析问题导学知识点一思考由专业人员收集、整理、分析出来的．梳理整理分析知识点二思考人口普查是一个规模宏大的政府工程．普查是一项非常艰苦的工作，工作量很大，要耗费大量的人力、物力与财力，并且组织工作繁重、时间长．更值得注意的是，在很多情况下，普查工作难以实现．梳理国家地区一次性某项系统数量很少知识点三思考检验具有破坏性，故不能普查．题型探究例1解大家都知道，医生在检验时是不可能将一个人的血液都抽出来进行普查的，因此，医生在检验人的血液中血脂含量是否偏高时，通常是抽取少量的血样进行检验，然后由此作出推断，认为这个人的血液状况基本如此．跟踪训练1解(1)因为调查的是班级的每个学生，所以用的是普查．(2)通过我们班的全体同学穿几号鞋来了解学校高一年级学生穿几号鞋，这是抽样调查，样本是我们班的全体同学所穿的鞋号，总体是学校高一年级学生所穿的鞋号．(3)、(4)也都是抽样调查，样本分别是每小组中选取的2名学生的睡眠时间，学号为双数的所有学生的睡眠时间；总体都是我们班的同学每天的睡眠时间．例2解一个城市的交通状况的好坏将直接影响着生活在这个城市中的每个人，关系到每个人的利益．为了调查这个问题，在抽样时应当关注到各种人群，既要抽到拥有私家车的市民，也要抽到没有私家车的市民．调查时，如果只对拥有私家车的市民进行调查，结果一定是片面的，不能代表所有市民的意愿．因此，在调查时，要对生活在该城市的所有市民进行随机地抽样调查，不要只关注到拥有私家车的市民．跟踪训练2解综上所述，这三种调查方案都有一定的片面性，不能得到比较准确的收视率．因为并不是每个人都有互联网可上；某一地方的居民小区代表性不强；并不是每家都拥有电话．当堂训练1．C 2.B 3.C 4.A 5.普查。

2018版高中数学北师大版必修三学案：第一章统计 2-2 第1课时分层抽样精品

2．2分层抽样与系统抽样第1课时分层抽样[学习目标] 1.理解分层抽样的概念.2.会用分层抽样从总体中抽取样本.3.能用分层抽样解决实际问题．知识点一分层抽样的概念将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样．分层抽样具有如下特点：(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；(2)按比例确定每层抽取个体的个数；(3)在每一层进行抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样的方法；(4)分层抽样能充分利用已掌握的信息，使样本具有良好的代表性；(5)分层抽样也是等机会抽样，每个个体被抽到的可能性都是样本容量n总体容量N，而且在每层抽样时，可以根据个体情况采用不同的抽样方法．知识点二分层抽样的步骤思考分层抽样的总体具有什么特性？答分层抽样的总体由差异明显的几部分构成，也就是说当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样．题型一对分层抽样概念的理解例1 有40件产品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件．现从中抽出8件进行质量分析，则应采取的抽样方法是( ) A ．抽签法 B ．随机数法 C ．系统抽样 D ．分层抽样答案 D解析总体是由差异明显的几部分组成，符合分层抽样的特点，故采用分层抽样．反思与感悟判断抽样方法是分层抽样，主要是依据分层抽样的特点： (1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况． (2)样本能更充分地反映总体的情况．(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等．跟踪训练1 在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本．方法1：采用简单随机抽样的方法，将零件编号00,01,02，…，99，用抽签法抽取20个．方法2：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．对于上述问题，下列说法正确的是( )①不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是15；②采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同；③在上述两种抽样方法中，方法2抽到的样本比方法1抽到的样本更能反映总体特征； ④在上述抽样方法中，方法1抽到的样本比方法2抽到的样本更能反映总体的特征． A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②③答案 B解析根据两种抽样的特点知，不论哪种抽样，总体中每个个体入样的可能性都相等，都是nN ，故①正确，②错误．由于总体中有差异较明显的三个层(一级品、二级品和三级品)，故方法③抽到的样本更有代表性，③正确，④错误．故①③正确．题型二分层抽样的应用例2 一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人．为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？解用分层抽样来抽取样本，步骤如下：(1)分层．按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．(2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为100500＝15，则在不到35岁的职工中抽取125×15＝25(人)；在35岁至49岁的职工中抽取280×15＝56(人)；在50岁及50岁以上的职工中抽取95×15＝19(人)．(3)在各层分别按系统抽样或随机数法抽取样本． (4)汇总每层抽样，组成样本．反思与感悟利用分层抽样抽取样本的操作步骤： (1)将总体按一定属性特征进行分层； (2)计算各层的个体数与总体的个体数的比；(3)按各层的个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量； (4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样)； (5)最后将每一层抽取的样本汇总合成样本．跟踪训练2 一个单位有职工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有320人，具有初级职称的有200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是________．答案 8,16,10,6解析抽样比为40800＝120，故各层抽取的人数依次为160×120＝8,320×120＝16,200×120＝10,120×120＝6.抽样方法例3 某单位有老年人28人、中年人54人、青年人81人，为了调查他们的身体状况，从中抽取一个容量为36的样本，则最适合抽取样本的办法是( ) A ．简单随机抽样 B ．抽签法 C ．分层抽样D ．先从老年人中剔除1人，再用分层抽样分析根据题意结合各种抽样方法的特点进行选择．解析因为总体由差异明显的三部分组成，所以考虑用分层抽样．因为总人数为28＋54＋81＝163，样本容量为36，由于按36163抽样，无法得到整数解，因此考虑先剔除1人，将抽样比变为36162＝29.若从老年人中随机地剔除1人，则老年人应抽取27×29＝6(人)，中年人应抽取54×29＝12(人)，青年人应抽取81×29＝18(人)，从而组成容量为36的样本．答案 D解后反思本题易错选C.已知总体是由差异明显的三部分组成，因而盲目选了C ，却忽略了分层抽样过程中的取整要求．1．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是( ) A ．简单随机抽样 B ．抽签法 C ．随机数表法 D ．分层抽样答案 D解析从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分层抽样．2．为了保证分层抽样时，每个个体等可能地被抽取，必须要求( ) A ．每层的个体数必须一样多 B ．每层抽取的个体数相等C ．每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取n i ＝n ·N iN (i ＝1,2，…，k )个个体，其中k是层数，n 是抽取的样本容量，N i 是第i 层所包含的个体数，N 是总体容量 D ．只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制答案 C 解析3.甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生( ) A ．30人，30人，30人 B ．30人，45人，15人 C ．20人，30人，10人 D ．30人，50人，10人答案 B解析先求抽样比n N ＝903 600＋5 400＋1 800＝1120，再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3 600×1120＝30(人)，乙校抽取5 400×1120＝45(人)，丙校抽取1 800×1120＝15(人)，故选B.4．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是( ) A ．8,8 B ．10,6 C ．9,7 D ．12,4答案 C解析抽样比为1654＋42＝16，则一班和二班分别被抽取的人数是54×16＝9,42×16＝7.5．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．答案 60解析根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为44＋5＋5＋6×300＝60.1.对于分层抽样中的比值问题，常利用以下关系式解： (1)样本容量n 总体容量N ＝各层抽取的样本数该层的容量； (2)总体中各层容量之比＝对应层抽取的样本数之比． 2．选择抽样方法的规律：(1)当总体容量较小，样本容量也较小时，制签简单，号签容易搅匀，可采用抽签法． (2)当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数法． (3)当总体是由差异明显的几部分组成时，可采用分层抽样法．。

【配套K12】2018北师大版高中数学必修三学案：第一章 4 数据的数字特征

学习目标 1.能合理地选取样本，并从中提取基本的数字特征.2.了解众数、中位数、平均数的概念，会计算方差和标准差.3.进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的数字特征估计总体的数字特征．知识点一众数、中位数、平均数思考1平均数、中位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关，它有何缺点？思考2在电视大奖赛中，计算评委打分的平均值时，为什么要去掉一个最高分和一个最低分？梳理众数、中位数、平均数定义(1)众数：一组数据中出现次数________的数．(2)中位数：把一组数据按____________的顺序排列，处在________位置的数(或中间两个数的________)叫作这组数据的中位数．(3)平均数：如果n个数x1，x2，…，x n，那么x＝________________叫作这n个数的平均数．知识点二方差、标准差思考1当样本数据的标准差为0时，该组数据有何特点？思考2标准差、方差的意义是什么？梳理标准差、方差的概念及计算公式(1)标准差是样本数据到平均数的一种_____________________，一般用s表示．s＝________________________________________________________________________. (2)标准差的平方s2叫作方差．s2＝________________________________________________________________________ (x n是样本数据，n是样本容量，x是样本平均数)．(3)标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近．s＝0时，每一组样本数据均为x.知识拓展平均数、方差公式的推广：1．若数据x1，x2，…，x n的平均数为x，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mx n＋a的平均数是m x＋a.2．设数据x1，x2，…，x n的平均数为x，方差为s2，则a．s2＝1n[(x 21＋x22＋…＋x2n)－n x2]；b．数据x1＋a，x2＋a，…，x n＋a的方差也为s2；c．数据ax1，ax2，…，ax n的方差为a2s2.知识点三用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征1．样本的基本数字特征包括________、________、________、________.2．平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断，因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的．因此，还需要用标准差来反映数据的________程度．3．现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，虽然总体的平均数与标准差客观存在，但是我们无从知道．所以通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差．虽然样本具有________性，不同的样本测得的数据不一样，与总体的数字特征也可能不同，但只要样本的________好，这样做就是合理的，也是可以接受的．类型一众数、中位数和平均数的理解与应用例1某公司的各层人员及工资数构成如下：人员：经理1人，周工资2 200元；高层管理人员6人，周工资均为250元；高级技工5人，周工资均为220元；工人10人，周工资均为200元；学徒1人，周工资为100元．(1)计算该公司员工周工资的众数、中位数、平均数；(2)这个问题中，平均数能客观地反映这个公司的工资水平吗？反思与感悟(1)众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．(2)众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中部分数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题．(3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中．(4)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动．(5)因为平均数与每一个样本数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数不具有的性质，也正因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于全体样本数据的信息．但平均数受数据的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．跟踪训练1对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有下列结论：①这组数据的众数是3；②这组数据的众数与中位数的数值不相等；③这组数据的中位数与平均数的数值相等；④这组数据的平均数与众数的数值相等．其中正确结论的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4类型二标准差、方差的应用例2计算数据89,93,88,91,94,90,88,87的方差和标准差(标准差结果精确到0.1)．反思与感悟(1)方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．(2)样本标准差反映了各样本数据围绕样本平均数波动的大小，标准差越小，表明各样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散．(3)若样本数据都相等，则s＝0.(4)当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征，而样本数据的离散程度是由标准差来衡量的．跟踪训练2甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和(1)中算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．1．某市2016年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是()A．19 B．20 C．21.5 D．232．设样本数据x1，x2，…，x10的平均数和方差分别为1和4，若y i＝x i＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的平均数和方差分别为()A．1＋a,4 B．1＋a,4＋aC．1,4 D．1,4＋a3．已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为________．4．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为________．5．某校医务室抽查了高一10位同学的体重(单位：kg)如下：74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.求这10个学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差．1．平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差刻画了一组数据的离散程度．它们作为一组数据的代表各有优缺点，也各有各的用处，从不同的角度出发，不同的人会选取不同的统计量来表达同一组数据的信息．2．标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．答案精析问题导学知识点一思考1平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但是平均数受数据中极端值的影响较大．思考2为了避免平均值受数据中个别极端值的影响，增大它在估计总体时的可靠性，故计算评委打分时要去掉一个最高分和一个最低分．梳理(1)最多(2)从小到大(或从大到小)中间平均数(3)1n(x1＋x2＋…＋x n)知识点二思考1当样本数据的标准差为0时，该组数据都相等．思考2标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．梳理(1)平均距离1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2](2)1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2]知识点三1．众数中位数平均数标准差2．分散3．随机代表性题型探究例1解(1)众数为200，中位数为220，平均数为2 200×1＋250×6＋220×5＋200×10＋100×11＋6＋5＋10＋1＝300.(2)虽然平均数为300，但由给出的数据可见，只有经理的周工资在平均数以上，其余的都在平均数以下，故用平均数不能客观地反映该公司的工资水平．跟踪训练1A[在这11个数中，数3出现了6次，频率最高，故众数是3；将这11个数按从小到大的顺序排列得2,2,3,3,3,3,3,3,6,6,10，中间数据是3，故中位数是3；而平均数x＝2×2＋3×6＋6×2＋1011＝4.故只有①正确．] 例2 解 ①x ＝90＋18[(－1)＋3＋(－2)＋1＋4＋0＋(－2)＋(－3)]＝90＋18×0＝90； ②计算x i －x (i ＝1,2，…，8)，得各数据为－1,3，－2,1,4,0，－2，－3；③计算(x i －x )2(i ＝1,2，…，8)，得各数据为1,9,4,1,16,0,4,9；④计算方差：s 2＝18(1＋9＋4＋1＋16＋0＋4＋9)＝448＝5.5； ⑤计算标准差：s ＝ 5.5≈2.3.所以这组数据的方差为5.5，标准差约为2.3.跟踪训练2 解 (1)由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分，14分． x 甲＝10＋13＋12＋14＋165＝13， x 乙＝13＋14＋12＋12＋145＝13， s 2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4， s 2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. (2)由s 2甲＞s 2乙可知乙的成绩较稳定．从折线图来看，甲的成绩基本上呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩无明显提高．当堂训练1．B2．A [∵x 1，x 2，…，x 10的平均数x ＝1，方差s 21＝4，且y i ＝x i ＋a (i ＝1,2，…，10)，∴y 1，y 2，…，y 10的平均数y ＝110·(y 1＋y 2＋…＋y 10)＝110·(x 1＋x 2＋…＋x 10＋10a )＝110·(x 1＋x 2＋…＋x 10)＋a ＝x ＋a ＝1＋a ，其方差s 22＝110·[(y 1－y )2＋(y 2－y )2＋…＋(y 10－y )2]＝110[(x 1－1)2＋(x 2－1)2＋…＋(x 10－1)2]＝s 21＝4.故选A.]3．6 4.165．解这10个学生体重数据的平均数为x ＝110×(74＋71＋72＋68＋76＋73＋67＋70＋65＋74)＝71.这10个学生体重数据从小到大依次为65,67,68,70,71,72,73,74,74,76，位于中间的两个数是71,72，∴这10个学生体重数据的中位数为71＋722＝71.5. 这10个学生体重数据的方差为s 2＝110×[(74－71)2＋(71－71)2＋(72－71)2＋(68－71)2＋(76－71)2＋(73－71)2＋(67－71)2＋(70－71)2＋(65－71)2＋(74－71)2]＝11，这10个学生体重数据的标准差为s ＝s 2＝11.。

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学习目标 1.会根据不同的特点选择适当的抽样方法获得样本数据.2.能利用图、表对样本数据进行整理分析，用样本和样本的数字特征估计总体.3.能利用散点图对两个变量是否相关进行初步判断，能用线性回归方程进行预测．
1．抽样方法
(1)当总体容量较小，样本容量也较小时，可采用______________． (2)当总体容量较大，样本容量较小时，可用__________________． (3)当总体容量较大，样本容量也较大时，可用____________________． (4)当总体由差异明显的几部分组成时，可用__________________． 2．用样本估计总体
用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定的一组数据作频率________与频率____________．当样本只有两组数据且样本容量比较小时，用________刻画数据比较方便． 3．样本的数字特征
样本的数字特征可分为两大类：一类是反映样本数据集中趋势的，包括________、________和________；另一类是反映样本波动大小的，包括________及________． 4．变量间的相关关系
(1) 两个变量之间的相关关系的研究，通常先作变量的________，根据散点图判断这两个变量最接近于哪种确定性关系(函数关系)． (2)求线性回归方程的步骤：
①先把数据制成表，从表中计算出x ，y
，∑n
i ＝1x 2
i ，∑n
i ＝1
x i y i ； ②计算回归系数a ，b .公式为⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝
∑n
i ＝1
x i y i
－n x y
∑n i ＝1
x 2i
－n x 2
，
a ＝y －
b x .
③写出线性回归方程y＝bx＋a.
类型一抽样方法的应用
例1某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，干事20人，上级机关为了了解机关人员对政府机构的改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，如何抽取？
反思与感悟三种抽样方法并非截然分开，它们都能保证个体被抽到的机会相等．
跟踪训练1某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名，现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为()
A．6 B．8 C．10 D．12
类型二用样本的频率分布估计总体分布
例2有1个容量为100的样本，数据(均为整数)的分组及各组的频数如下：
[12.5,15.5)，6；[15.5,18.5)，16；[18.5,21.5)，18；
[21.5,24.5)，22；[24.5,27.5)，20；[27.5,30.5)，10；
[30.5,33.5)，8.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计数据小于30的数据约占多大百分比．
反思与感悟借助图表，可以把抽样获得的庞杂数据变得直观，凸显其中的规律，便于信息的提取和交流．
跟踪训练2为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为()
A．64 B．54 C．48 D．27
类型三用样本的数字特征估计总体的数字特征
例3甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为
甲：9910098100100103
乙：9910010299100100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
反思与感悟样本的数字特征就像盲人摸到的象的某一局部特征，只有把它们结合起来才能看到全貌．
跟踪训练3对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：
问：甲、乙谁的平均成绩好？谁的各门功课发展较平衡？
类型四线性回归方程的应用
例4下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据．
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
反思与感悟散点图经最小二乘法量化为线性回归方程后，更便于操作(估计、预测)，但得到的值仍是估计值．
跟踪训练4 2017年元旦前夕，某市统计局统计了该市2016年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如表：
(1)如果已知y 与x 成线性相关关系，求线性回归方程； (2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出． (参考数据：∑10
i ＝1
x i y i ＝117.7，∑10
i ＝
1
x 2i ＝406)
1．10个小球分别编有号码1,2,3,4，其中1号球4个，2号球2个，3号球3个，4号球1个，则数0.4是指1号球占总体分布的( ) A ．频数 B ．概率 C ．频率
D ．累积频率
2．为了了解全校1 320名高一学生的身高情况，从中抽取220名学生进行测量，下列说法正确的是( ) A ．样本容量是220 B ．个体是每一个学生。