新疆阿克苏地区温宿县高中数学第三章空间向量与立体几何3.2平面的法向量导学案
高二数学选修2第三章空间向量与立体几何教案 苏教版
高二数学选修2第三章空间向量与立体几何教案课 题：平面向量知识复习 课时编号：SX2－03－01 教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备 教学重点：平面向量的基础知识教学难点：运用向量知识解决具体问题 教学过程： 一、基本概念向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。
二、基本运算1、向量的运算及其性质2、平面向量基本定理：如果21,e e ρρ是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数21,λλ，使a =r；注意)(21OB OA OP +=,OA OA OP )1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件：⑴ //a b rr 的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==ρρ，则//a b r r 的充要条件是： ；（坐标表示）4、两个非零向量垂直的充要条件：⑴ a b ⊥rr 的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==ρρ，则a b ⊥r r 的充要条件是： ；（坐标表示）三、课堂练习1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( -)·(+－2)=0，则∆ABC 是（ ）A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形2．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心3．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ）A ． 矩形B ． 菱形C ．直角梯形D ．等腰梯形4．已知||p =u r ||3q =r ，p u r 、q r 的夹角为45︒，则以52a p q =+r u r r ，3b p q =-r u r r为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ）A ．15B ． 14 D ．165．O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足=(++λ，),0[+∞∈λ则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．设平面向量=(－2，1)，=(λ，-1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）A ．),2()2,21(+∞-Y B ．),2(+∞ C ．),21(+∞- D ．)21,(--∞ 7．若()(),0,7,4,3,2=+-==c a b a 方向在则上的投影为 。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.3_3.2.4预习导航学案新
3.2.3 直线与平面的夹角 3.2.4 二面角及其度量预习导航课程目标学习脉络1.掌握直线在平面内的射影及斜线与平面所成角的概念，并会求直线与平面所成的角．2．掌握最小角定理及公式 cos θ＝cos θ1cos θ2，并会利用这一公式解决相关问题．3．掌握二面角的概念，理解二面角的平面角和直二面角的定义．4．会利用向量法解决二面角的计算问题.1．直线与平面所成的角思考 1直线与平面的夹角的取值范围是什么？斜线与平面夹角的取值范围是什么？ππ 提示：直线与平面的夹角的取值范围是[0， 2]，斜线与平面的夹角的取值范围是(0， 2).2．最小角定理(1)线线角、线面角的关系式：cos θ＝cos_θ1cos_θ2，如图，θ 是 OA 与 OM 所成的角，1θ1是OA与OB所成的角，θ2是OB与OM所成的角．(2)最小角定理：斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角．思考2一平面的斜线在平面内的射影是一条线段吗？它唯一吗？提示：不是，应是一条直线，斜线在平面内的射影是唯一的．思考3将公式cos θ＝cos θ1cos θ2中角的余弦值换成正弦值是否成立？提示：不成立．3．二面角及其度量思考4二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有什么关系？提示：二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角大小相等或互补．点拨 1.二面角的平面角必须具备三个条件：(1)二面角的平面角的顶点在二面角的棱上；(2)二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内；2(3)二面角的平面角的两条边都与棱垂直，且平面角的大小与平面角的顶点在棱上的位置无关．2．二面角的范围是[0，π]．3。
新疆阿克苏地区温宿县高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算导学案
D1 A1 D A B B1 C
C1
1、 有一个四边形 ABCD ，O 为空间任意一点， 且 AO OB DO OC ， 则四边形 ABCD 是 （ ） A．平行四边形
王新敞
奎屯 新疆
B．空间四边形
C．等腰梯形
D．矩形
当 2 已知空间四边形 ABCD ，连接 AC，BD，则 AB BC CD 为 （ ） 堂 检 A AD B BD C AC D0 测 3．在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， AB a ， AD b ， AA 1 c ，则 D1 B （
王新敞
奎屯 新疆
王新敞
奎屯
新疆
王新敞
奎屯
新疆
王新敞
奎屯
新疆
）
Abc
王新敞
奎屯 新疆
C a bc
王新敞
奎屯 新疆
D abc
王新敞
奎屯 新疆
4.若设 A, B, C , D 为空间任意四点，则 OA AB CB 等于 学 后 反 思
.
与向量 a 长度
1.在平行六面体 ABCD A1 B1C1 D1 中，与向量 AD 相等的向量共有 （ A.1 个 2.判断： （1）零向量没有方向. 预习 评价 （2）在空间中，单位向量不唯一. （3）在空间中，任意一个向量都可以进行平移. （4）在空间中，互为相反向量的两个向量必共线. （5）同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小. （6）两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同. ( ( ( ( ( （ ) ) ) ) ) ） B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
（7）将空间中单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆. 课堂学习研讨、合作交流 探究一:空间向量的基本概念 思考 1：类比平面向量的定义，给出空间向量的定义。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.2平面的法向量与平面的向量表示课后导
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示课后导练基础达标1.点A （a,0,0）,B(0,b,0),C(0,0,c),则面ABC 的一个法向量为（ ） A.（bc,ac,ab ） B.(ac,ab,bc) C.(bc,ab,ac) D.(ab,ac,bc) 答案：A2.若△ABC 所在平面为α,P ∉α, 且∠APB=∠BPC=∠CPA=90°,则点P 在平面α内的射影是△ABC 的（ ）A.外心B.内心C.重心D.垂心 答案：D3.已知：a,b 是直线，α是平面，则下列命题中正确的是（ ）A.a⊥α,a⊥b ⇒b∥αB.a⊥b,a∥α⇒b⊥αC.a∥b,b∥α⇒a∥αD.a⊥α,a∥b ⇒b⊥α 答案：D4.A ∉平面α,AB、AC 是平面α的两条斜线，O 是A 在平面α内的射影，AO=4，OC=3，BO⊥OC,∠OBA=30°.求C 到AB 的距离（ ）A.15B.4C.17D.13 答案：A5.如右图，直三棱柱ABC —A′B′C′中，AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D,E 分别为AB ，BB′的中点.(1)求证：CE⊥A′D;(2)求异面直线CE 与AC′所成角的余弦值. 答案：(1)证明:设=a ,=b ,CC CC′=c ,根据题意,|a |=|b |=|c |且a ·b =b ·c =c ·a =0,∴=b +21c , A '=-c +21b -21a .∴·A '=-21c 2+21b 2=0.∴CE⊥A′D.(2)解:'AC =-a +c , ∴|'AC |=2|a |,|CE |=25|a |. 'AC ·CE =(-a +c )·(b +21c )=21c 2=21|a 2|,∴cos〈'AC ,CE 〉=1010||252||2122=•a a . 6.已知P 是正方形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是PA 、BD 上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8. 求证：直线MN∥平面PBC. 证明：MN =MP +PB +BN=-PM +PB +BN =-135PA +PB +135BD =-135(BA -BP )+BP +135(BA +BC ) =135BP -BP +135BC =135BC -138BP =138(BP BC -85). 在BC 上取点E ，使BE=85BC, 于是MN =138(BE -BP )=138PE . ∴MN∥PE.∴MN∥平面PBC.7.如右图，已知空间四边形OABC 中，M 为BC 中点，N 为AC 中点，P 为OA 中点，Q 为OB 中点，若AB=OC ，求证PM⊥QN.证明：OM =21(+),ON =21(+), ∴PM =+OM =21(++)=21(-+)=21(AB +OC )， ON =QO +ON=21(BO +OA +OC ) =21(OA -OB +OC ) =21(BA +OC ) =21(OC -AB ). ∴PM ·QN=21(AB +OC )·21(OC -AB ) =41(OC 2-AB 2) =41(|OC |2-|AB |2). 由|AB |=|OC |， ∴PM ·QN =0, 即PM ⊥QN . 即PM ⊥QN .8.如右图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，CD 1和DC 1相交于点O ，连结AO. 求证：AO⊥CD 1.证明:∵=+=AB +AD +211CD =++21(+1CD )=++21+211CD=21AB +AD +211CD , 1CD =CD +1CD =-AB +1DD ,∴AO ·1CD=（21AB +AD +211DD ）·（-AB +1DD ） =-21AB ·AB -AD ·AB -211DD ·AB +21AB ·1DD +AD ·1DD +211DD ·1DD =0，∴AO ⊥1CD 即AO⊥CD 1.9.如右图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1侧面的三条对角线AB 1、BC 1、CA 1中，如果AB 1⊥BC 1，求证：AB 1⊥CA 1.证明：取AB 、A 1B 1的中点D 、D 1，连A 1D 、BD 1,A 1B 1C 1—ABC 为正三棱柱⎭⎬⎫⊂⊥⇒ABC CD ABC AA 平面平面1综合运用10.如右图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°,AC=1,AA 1=2,D 为AB 的中点.(1)求证：CD⊥平面ABB 1A 1； （2）过CD 作A 1B 的垂面；（注：写出作图过程，并说明理由）. 答案：(1)证明：∵⇒⎭⎬⎫⊂⊥ABC CD ABC AA 平面平面1CD⊥AA 1,又CD⊥AB,AA 1∩AB=A, ∴CD⊥平面ABB 1A.(2)解:如下图,作DE⊥A 1B 于E;连接CE,则CE⊥A 1B(三垂线定理).∴A 1B⊥平面CDE,则平面CDE 即为所求作的平面.11.如右图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别在BB 1、DD 1上，且AE⊥A 1B ，AF⊥A 1D.求证：A 1C⊥平面AEF.证明:∵CB⊥平面A 1B,∴A 1C 在平面A 1B 上的射影为A 1B,又A 1B⊥AE,AE ⊂平面A 1B. ∴A 1C⊥AE.同理A 1C⊥AF,∴A 1C⊥平面AEF.12.在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ABC=90°,BC=2,CC 1=4,EB 1=1,D 、F 、G 分别为CC 1、B 1C 1、A 1C 1的中点，EF 与B 1D 相交于H.求证：B 1D⊥平面ABD.证明:由直三棱柱的性质,得平面ABC⊥平面BB 1C 1C,又由已知,AB⊥BC. ∴AB⊥平面BB 1C 1C. 又B 1D ⊂平面BB 1C 1C,∴AB⊥B 1D.由已知,BC=CD=DC 1=B 1C 1.在Rt△BCD 与Rt△DC 1B 1中可求得∠BDC=∠B 1DC 1=45°.则∠BDB 1=90°,即B 1D⊥BD. 又AB∩BD=B,∴B 1D⊥平面ABD.13.已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，P 、Q 分别是BC 、CD 上的动点，且|PQ|=2，建立如下图所示的坐标系;确定P 、Q 的位置，使得B 1Q⊥D 1P.解:如下图,设BP=t,则CQ=2)2(2t -- ,DQ=2-2)2(2t --,∴B 1(2,0,2),D 1(0,2,2),P(2,t,0),Q(2)2(2t --,2,0). ∴1QB =(2)2(2t --,-2,2),1PD =(-2,2-t,2),∵B 1Q⊥D 1P 等价于1QB ·1PD =0， 即-2)2(22t ---2(2-t)+2×2=0, 即2)2(2t --=t ，解得t=1.此时，P 、Q 分别是棱BC 、CD 的中点，即当P 、Q 分别是棱BC 、CD 的中点时，B 1Q⊥D 1P. 14.如下图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1，求证：AB 1⊥CA 1.证明:如下图,将BC 1平移,使其与A 1C 在一个平面内,所以延长B 1C 1至D,使C 1D=B 1C 1,于是BC 1DC为平行四边形,只需证明AB 1⊥平面A 1CD 即可,为此,连A 1D.∵A 1C 1=B 1C 1=C 1D,∴A 1B 1⊥A 1D, 又AA 1⊥A 1D,∴A 1D⊥面ABB 1A 1.因此AB 1⊥A 1D,又AB 1⊥DC,可得AB 1⊥平面A 1DC,∴AB 1⊥CA 1. 拓展研究15.如下图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为2,侧棱长为3,E 、F 分别是AB 1、CB 1的中点，求证：平面D 1EF⊥平面AB 1C.证明：把正四棱柱如下图放置在坐标系中，则各点坐标为A(2,0,0),C(0,2,0),B 1(2,2,3),D 1(0,0,3),E(2,22,23),F(22,2,23). 设平面AB 1C 的法向量为n 1=(1,λ1,μ1),则n 1应垂直AC 和1AB . 而AC =(-2,2,0),1AB =(0,2,3),∴n 1·1AC =-2+2λ1=0及n 1·1AB =2λ1+3μ1=0. ∴λ1=1,μ1=32-.∴n 1=(1,1, 32-).再假设平面D 1EF 的法向量为n 2=(1,λ2,μ2),则n 2应垂直D 1、D 1,而D 1=(2,22, 23-),D 1=(22,2,23-), ∴n 2·D 1=2+22λ223-μ2=0,n 2·F D 1=22+2λ223-μ2=0.∴λ2=1,μ2=6. ∴n 2=(1,1,6). 由于n 1·n 2=1+132-·6=1+1-2=0,∴n 1⊥n 2.因此平面D 1EF⊥平面AB 1C.。
新疆阿克苏地区温宿县高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算(2)导学案
课前预习
复习：1.两个向量的夹角的定义：已知两非零向量 ，在空间一点 ，作 ，则 叫做向量 与 的夹角，记作.
2.向量的数量积：
已知向量 ，则பைடு நூலகம்做 的数量积，记作 ，即 .
规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
3.空间向量数量积的性质：
（1）设单位向量 ，则 ．
（2） ．
（3） ＝.
预习评价
1.已知线段AB、BD在平面 内,BD⊥AB,线段 ,如果AB＝a,BD＝b,AC＝c,求C、D间
3.1.3空间向量的数量积运算（2）
学习目标
1．向量的数量积运算；
2．利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角。
学习重点
难点
重点：1.向量的数量积运算；2.利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角。
难点：利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角。
学法指导
通过课前自主复习，进一步理解向量的数量积运算；小组合作探究利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角．
例2、已知 ， ， ，则 。
例3、已知 和 是非零向量，且 = = ，求 与 的夹角。
当堂检测
（备注：本节课重、难点知识的检测）
1.已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，设 ＝a， ＝b， ＝c，则
(1) · ＝________；〈 ， 〉＝________；(2) · ＝________。
的距离.
2.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则 · ＝________.。
课堂学习研讨、合作交流（备注：重、难点的探究问题）
一、复习引入
1.① （用于判定垂直问题）
② （用于求模运算问题）
③ （用于求角运算问题）
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.3直线与平面的夹角课堂导学案
3.2.3 直线与平面的夹角课堂导学三点剖析一、最小角定理的应用【例1】 已知四棱锥P-ABCD （如右图），底面是边长为2的正方形.侧 棱PA⊥底面ABCD ，PA=a,M 、N 分别为AD 、BC 的中点，MQ⊥PD 于Q. (1)直线PC 与平面PBA所成角的正弦值为33.求PA 的长； (2)PA=2,求PM 与平面PCD 所成角的正弦值.解：(1)PC =（2，2，-a ），平面PBA 的一个法向量为n=AM =(0,1,0).∵直线PC 与平面PBA 所成角的正弦值为33， ∴|cos〈,n 〉|=33, 即33|010)(222|222222=++•-++a ∴a=2,即PA=2.(2)PM =（0，1，-2），=（0，-2，2），（2，0，0）. 设平面PCD 的法向量为n =(x,y,1),则⎪⎩⎪⎨⎧=•+•+•=•=•+•-+•=•.01002,012)2(0y x n y x OP n 解得⎩⎨⎧==.1,0y x ∴n =(0,1,1).∴cos〈PM ,n 〉=1010251-=•±-. ∴PM 与平面PCD 所成角的正弦值为1010.温馨提示最小角定理的应用注意形式，θ1,θ2所处的位置. 二、利用三垂线定理求线面角 【例2】 如右图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点.(1)证明：PA∥平面EDB ；（2）求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值. (1)证明：连结AC ，AC 交BD 于O.连结EO. ∵底面ABCD 是正方形， ∴点O 是AC 的中点.在△PAC 中,EO 是中位线, ∴PA∥EO.而EO ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB. 所以,PA∥平面EDB.(2)解：作EF⊥DC 交DC 于F.连结BF. 设正方形ABCD 的边长为a, ∵PD⊥底面ABCD, ∴PD⊥DC.∴EF∥PD,F 为DC 的中点.∴EF⊥底面ABCD,BF 为BE 在底面ABCD 内的射影,故∠EBF 为直线EB 与底面ABCD 所成的角. 在Rt△BCF 中, BF=a a a CFBC 25)2(2222=+=+.∵EF=21PD=2a,∴在Rt△EFB 中, tan∠EBF=55,则BE 与面ABCD 所成角的正切值为55. 温馨提示解题过程一般要包含作图、证明、计算三步.另外借助于法向量求线面角将更加简捷. 三、利用向量求线面角【例3】 如右图所示的正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1∶AB=2∶1,E、F 分别为面A 1C 1和面BC 1的中心.求（1）异面直线CE 与AF 所成的角； （2）A 1F 与平面BCC 1B 1所成的角；解：如右图，以D 为原点，DA 为Ox 轴正方向，DC 为Oy 轴正方向，DD 1为Oz 轴正方向建立空间直角坐标系.∵A 1A∶AB=2∶1,可设AB=2，由此得到相应各点的坐标分别为A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），E （1，1，4），F （1，2，2），A 1（2，0，4），B 1（2，2，4），∴CE =（1，-1，4），AF =（-1，2，2），F A 1=（-1，2，-2），F B 1=（-1，0，-2），A A 1=（0，0，-4），EB =（1，1，-4）.(1)设异面直线CE 和AF 所成的角为α,则 2185918821=⨯+--=∴α=arccos2185,此即异面直线CE 和AF 所成的角. (2)∵A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，∴A 1F 与平面BCC 1B 1，所成的角为∠A 1FB 1（设为β）. 则cosβ=||||1111F B F A B A +•=59401⨯++=35. ∴β=arccos35.此即为A 1F 与平面BCC 1B 1所成的角. 温馨提示充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，用相关知识求解线面角.各个击破类题演练 1PA 、PB 、PC 从P 引出三条射线每两条的夹角都是3π，则直线PC 与面PAB 所成角的余弦值为多少？解析：设点C 在面PAB 上的射影为H ，则∠HPA=30°=θ2,∠APC=θ=60°,θ1=∠CPH 即为所求的线面角，有cosθ1·cosθ2=cosθ，得cosθ1=3330cos 60cos =.变式提升 1面α垂直面β,交线为CD ，A∈CD,AP ⊂α,∠DAP=30°,QA ⊂β,∠DAQ=30°,求∠PAQ 的大小.解析：过P 作PM⊥CD,则PM⊥β,即∠PAM 为直线AP 与β所成的角，设∠PAM=θ1,∠MAQ=θ2,∠PAQ=θ,有cosθ=cosθ1cosθ2，即cosθ=cos30°·cos30°=43,得θ=∠PAQ=arccos43.类题演练 2在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°,侧棱AA 1=AC=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G. 求AB 与平面ABD 所成角的大小.解：连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角，设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，因为D 、E 分别是CC 1、A 1B 的中点，又DC⊥平面ABC ，所以CDEF 为矩形.连结DF,G 是△ADB 的重心,EF=1,FD=3,ED=2,EG=36,则FC=ED=2,BE=3,则sin∠EBG=EB EG =32,所求的角为arcsin 32.变式提升 2如右图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段.点A、l2上,AM=MB=MN.若∠ACB=60°,求NB与平面ABC所成角的余弦值.解:∵Rt△CNA≌Rt△CNB,∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此,△ABC为正三角形.∵Rt△ANB≌Rt△CNB.∴NC=NA=NB,因此,N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心,连结BH,∠NBH为NB与平面ABC所成的角.在Rt△NHB中,cos∠NBH=362233==ABABNBHB.类题演练 3如右图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.(1)求证:PB⊥DM;(2)求CD与平面ADMN所成的角.解:如右图,以A为坐标原点建立空间直角坐标系A—xyz,设BC=1，则A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，1，0），M（1，21,1），D（0，2，0）.(1）∵PB·DM=（2，0，-2）·（1，-23，1）=0，∴PB⊥DM.(2)∵·=（2，0，-2）·（0，2，0）=0，∴PB⊥AD，又因为PB⊥DM，∴PB⊥平面ADMN.∵〈PB，DC〉的余角即是CD与平面ADMN所成的角.∵cos〈PB ，CD 〉=510||||=DC PB DC PB . ∴CD 与平面ADMN 所成的角为arcsin 510. 变式提升 3如右图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为a,侧 棱长为2a ，求AC 1与侧面AB 1所成的角.解:1AA =(0,0,2a).设侧面A 1B 的法向量n =(λ,x,y),所以n ·=0，且n ·1AA =0，∴ax=0,且2ay=0,∴x=y=0,故n =(λ,0,0).∵1AC =(23-a,2a,2a). ∴cos〈1AC ,n 〉11aa3||23••-λλ=||2λλ-.∴sinθ=|cos 〈1AC ,n 〉|=21,∴θ=30°.。
高中数学第3章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法第1课时空间向量与平行关系学案新人教A版选修2_1
第1课时 空间向量与平行关系1．直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线_平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量的定义直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则a 叫做平面α的法向量． 思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？[提示] 不唯一，直线的方向向量(平面的法向量) 有无数个，它们分别是共线向量． 2．空间中平行关系的向量表示1．若A (－1，0，1)，B (1，4，7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1，2，3) B ．(1，3，2) C ．(2，1，3)D ．(3，2，1)A [AB →＝(2，4，6)＝2(1，2，3)．]2．若平面α，β的一个法向量分别为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，13，－1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，3，则( ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α与β相交但不垂直D ．α∥β或α与β重合D [∵n ＝－3m ，∴m ∥n ，∴α∥β或α与β重合．]3．已知AB →＝(－3，1，2)，平面α的一个法向量为n ＝(2，－2，4)，点A 不在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系为( )A ．AB ⊥αB ．AB ⊂αC ．AB 与α相交但不垂直D ．AB ∥αD [因为n ·AB →＝2×(－3)＋(－2)×1＋4×2＝0，所以n ⊥AB →.又点A 不在平面α内，n 为平面α的一个法向量，所以AB ∥α，故选D.]4．若直线l 的方向向量a ＝(2，2，－1)，平面α的法向量μ＝(－6，8，4)，则直线l 与平面α的位置关系是________．l ⊂α或l ∥α [∵μ·a ＝－12＋16－4＝0，∴μ⊥a ，∴l ⊂α或l ∥α.]AD ＝12，试建立适当的坐标系．(1)求平面ABCD 的一个法向量； (2)求平面SAB 的一个法向量； (3)求平面SCD 的一个法向量．[解] 以点A 为原点，AD 、AB 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，1，0)，C (1，1，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，S (0，0，1)．(1)∵SA ⊥平面ABCD ，∴AS →＝(0，0，1)是平面ABCD 的一个法向量． (2)∵AD ⊥AB ，AD ⊥SA ，AB ∩SA ＝A ，∴AD ⊥平面SAB ， ∴AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量．(3)在平面SCD 中，DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，SC →＝(1，1，－1)．设平面SCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )， 则n ⊥DC →，n ⊥SC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·DC →＝0，n ·SC →＝0，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋y ＝0，x ＋y －z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ，z ＝－y ， 令y ＝－1，得x ＝2，z ＝1，∴平面SCD 的一个法向量为n ＝(2，－1，1)．1．利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB →，AC →. (3)列方程组：由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，列出方程组．(4)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 2．求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．(2)取特值：在求n 的坐标时，可令x ，y ，z 中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量．(3)注意0：提前假定法向量n ＝(x ，y ，z )的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.1．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱A 1D 1、A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面BDD 1B 1的一个法向量； (2)平面BDEF 的一个法向量．[解] 设正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D (0，0，0)，B (2，2，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，E (1，0，2)．(1)连接AC (图略)，因为AC ⊥平面BDD 1B 1，所以AC →＝(－2，2，0)为平面BDD 1B 1的一个法向量．(2)DB →＝(2，2，0)，DE →＝(1，0，2)． 设平面BDEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DE →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，x ＋2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，z ＝－12x . 令x ＝2，得y ＝－2，z ＝－1.∴n ＝(2，－2，－1)即为平面BDEF 的一个法向量．111111四边形AEC 1F 是平行四边形．[解] 以点D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，C 1(0，1，1)，F ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12， ∴AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，0，12，FC 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，0，12，EC 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，∴AE →＝FC 1→，EC 1→＝AF →，∴AE →∥FC 1→，EC 1→∥AF →， 又∵FAE ，F EC 1，∴AE ∥FC 1，EC 1∥AF ，∴四边形AEC 1F 是平行四边形．1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面． 2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．3．两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直．2．长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是面对角线B 1D 1，A 1B 上的点，且D 1E ＝2EB 1，BF ＝2FA 1.求证：EF ∥AC 1.[证明] 如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝a ，DC ＝b ，DD 1＝c ，则得下列各点的坐标：A (a ，0，0)，C 1(0，b ，c )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，23b ，c ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，b 3，23c .∴FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，b 3，c 3，AC 1→＝(－a ，b ，c )，∴FE →＝13AC 1→.又FE 与AC 1不共线，∴直线EF ∥AC 1.在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？ [提示] 可设几何体的棱长为1或a ，再求点的坐标．【例3】 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CC 1，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD . 思路探究：[证明] 法一：如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B (1，1，0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12， N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，于是DA 1→＝(1，0，1)，DB →＝(1，1，0)，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12.设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，即⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝x ＋z ＝0，n ·DB →＝x ＋y ＝0，取x ＝1，则y＝－1，z ＝－1，∴平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)．又MN →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN →⊥n .∴MN ∥平面A 1BD .法二：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→，∴MN→∥DA 1→，∴MN ∥平面A 1BD .法三：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12DA →－12A 1A →＝12()DB →＋BA→－12()A 1B →＋BA →＝12DB →－12A 1B →. 即MN →可用A 1B →与DB →线性表示，故MN →与A 1B →，DB →是共面向量，故MN ∥平面A 1BD .1．本例中条件不变，试证明平面平面AEB ，BE ⊂平面AEB 两两垂直．0)，C (2，4，0)，F (00)，AB →＝(2，0，－2)．，z )，1．向量法证明线面平行的三个思路(1)设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a ⊥u ，即a ·u ＝0.(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v ，则α∥β⇔μ∥v .1．应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．(3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．1．已知向量a ＝(2，4，5)，b ＝(3，x ，y )，a 与b 分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152D [∵l 1∥l 2，∴a ∥b ， ∴存在λ∈R ，使a ＝λb ， 则有2＝3λ，4＝λx ，5＝λy ， ∴x ＝6，y ＝152.]2．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3，4)，B (9，2，1)，则线段AB 与坐标平面( ) A ．xOy 平行 B ．xOz 平行 C ．yOz 平行D ．yOz 相交 C [AB →＝(0，5，－3)，坐标平面yOz 的一个法向量为n ＝(1，0，0)，因为AB →·n ＝0，所以AB →⊥n .故线段AB 与坐标平面yOz 平行．]3．已知直线l 的方向向量为(2，m ，1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，且l ∥α，则m ＝________．－8 [∵l ∥α，∴l 的方向向量与α的法向量垂直． ∴(2，m ，1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2＝2＋12m ＋2＝0. 解得m ＝－8.]4．在长方体OAEB O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2PA 1，点S 在棱BB 1上，且SB 1＝2BS ，点Q ，R 分别是棱O 1B 1，AE 的中点．求证：PQ ∥RS .[解] 如图，建立空间直角坐标系，则A (3，0，0)，B (0，4，0)，O 1(0，0，2)，A 1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)．易求得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，43，Q (0，2，2)，R (3，2，0)，S ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4，23，于是PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，2，23，RS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，2，23.∴PQ →＝RS →，∴PQ →∥RS →.∵R PQ ，∴PQ ∥RS .。
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示学案 新人教B版选修2
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示学案新人教B版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示学案新人教B版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示学案新人教B 版选修2-1的全部内容。
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示1．理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量．（重点）2．会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直．(重点)3．理解并会应用三垂线定理及其逆定理,证明有关垂直问题．（难点)［基础·初探］教材整理1 平面的法向量与向量表示阅读教材P102～P103“例1”，完成下列问题．1．平面的法向量已知平面α，如果向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交．2．平面的向量表示设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，适合条件错误!·n＝0的点M的集合构成的图形是过空间内一点A并且与n垂直的平面．这个式子称为一个平面的向量表示式．3．两平面平行、垂直的判定设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则（1）α∥β或α与β重合⇔n1∥n2；（2）α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.1．若直线l的方向向量a＝（1,0,2），平面α的法向量为n＝（－2，0,－4），则( ）A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交【解析】∵n＝（－2,0，－4)＝－2(1,0，2）＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α.【答案】B2．若平面α，β的法向量分别为a＝（2，－1，0)，b＝(－1,－2，0),则α与β的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定【解析】∵a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β.【答案】B教材整理2 三垂线定理及其逆定理阅读教材P104第5行～P105第2行内容，完成下列问题．1．正射影已知平面α和一点A，过点A作α的垂线l与α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的正射影，简称射影．2．三垂线定理如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射线垂直,则它也和这条斜线垂直．3．三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在平面内的射影垂直．判断(正确的打“√",错误的打“×”)（1)若a是平面α的一条斜线，直线b垂直于a在α内的射影，则a⊥b.（)（2）若a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b.( )（3）若a是平面α的斜线，直线b⊂α，且b垂直于a在另一个平面β内的射影，则a ⊥b.（）(4)若a是平面α的斜线，b∥α，直线b垂直于a在平面α内的射影,则a⊥b。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
个以及一个确定，把这个向量叫做直线l的一个方向向量。如右图1中的 。
2.如右图2，直线l⊥α，取直线l的一个 ，则向量 叫做平面α的。
预习评价
（学生独立完成，教师通过批改了解掌握情况）
1.已知 ， ，若 ，则 ＝。
2. 已知 ， ，则 。
3. 若点A（﹣1,0,1），B（1,4,7）在直线l上，则直线l的方向向量可以为（ ）
问题6：设 ，如果 ⊥ 且 ⊥ ，那么 ， 与 的坐标之间满足怎样的关系？
问题7：根据问题8联立成方程组， 有多少个解？你能求出 的一个解吗？（注：给其中一个变量任意赋一个非零值，然后解出剩余两个变量）
那么，你能总结出求平面法向量的一般方法吗？
当堂检测
1．已知点A（1,0,0），B（0,2,0），C（0,0,3），求平面ABC的一个法向量。
2．如右图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，边长为1，求平面A1BD的一个法向量。
学后反思
A．（1,2,3） B．（1,3,2） C．（2,1,3） D．（3,2,1）
4.已知空间三点A（0,2,3），B（﹣2,1,6），C（1,﹣1,5），如果平面ABC的法向量是 ，那么 的坐标可以是（ ）
A．（1,1,1） B．（1,﹣1,1,） C．（﹣1,1,1） D．（1,1,﹣1）
课堂学习研讨、合作交流
问题2：什么是直线的方向向量？一条直线的方向向量唯一吗？
问题3：平面的法向量是什么？
问题4：一个平面的法向量唯一吗？如果不唯一，它们之间有什么关系？
探究二：如何求平面的法向量。
已知：平面α内有三个不共线的三点A（1,1,1），B（2,1,2），C（1,2,2），如果一个向量 是平面α的法向量，
问题5： 与 ， 垂直吗？你能求出 ， 的坐标吗？
3.2平面的法向量
学习目标
1．理解空间法向量的概念，掌握空间法向量的计算。
2．理解空间中直线的方向向量。
学习重点
难点
重点：理解直线的方向向量和平面的法向量概念。
难点：平面ห้องสมุดไป่ตู้法向量的求法。
学法指导
通过课前自主预习，理解直线的方向向量与平面的法向量定义；小组合作探究得出平面法向量的求法．
课前预习
（阅读课本102-103页，独立完成以下题目）
一．引入：
我们把向量从平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些立体几何问题，你是否已经初步体会到空间向量在解决立体几何问题中的作用？这节课我们将进一步学习立体几何中的向量方法。
二．新课探究：
探究一：如何把空间中的点、直线、平面的位置用向量表示出来。
问题1：在空间中给一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？