Ch1函数极限与连续
ch1-9闭区间上连续函数的性质
则 ∃x1 > 0 , 使 f ( x1 ) > 0 则 ∃x 2 < 0, 使 f ( x 2 ) < 0
由零点定理， 由零点定理，得
∃ξ ∈ ( x2 , x1 ), 使 f (ξ ) = 0 即方程有实根. 即方程有实根
福州大学数计学院
13
定理3(介值定理) 在闭区间[a,b]上连续 , 定理3(介值定理) 设 f(x) 在闭区间 3(介值定理 上连续
第二类间断点
处的左、 如果 f ( x )在点 x0处的左、
右极限至少有一个不存 在, 则称点 x0为函数 f ( x )的第二类间断点 .
福州大学数计学院
3
对于连续函数，极限符号与函数符号可以交换， 因为 lim f ( x) = f ( x0 ) = f (lim x) .
x → x0 x → x0
连续的定义
复习
定义1 内有定义， 定义1 设 f ( x ) 在 U ( x 0 , δ ) 内有定义， 若 lim [ f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 )] = 0 ，那末就称 f ( x ) ∆x → 0 连续， 为的连续点。 在点 x0 连续， 称 x0 为的连续点。 定义2 内有定义, 定义 设函数 f ( x ) 在 U ( x0 , δ ) 内有定义 若 lim f ( x ) = f ( x0 ) x→ x→ x 连续. 则称函数 f ( x ) 在点 x 0 连续
至少有一根 .
另例 证明 方程 x 3 − 6 x + 2 = 0 在 (－3,－2) , ( 0,1) ,
( 2,3) 内各有一个实根 .
福州大学数计学院
10
例2 证 明 方 程 x + e x = 0 在 区 间 ( − 1, 1)内 )内
第一章函数极限与连续总结
第一章函数极限与连续总结函数极限与连续是高等数学中的重要概念，对于函数的性质和特征有着深远的影响。
在第一章的学习中，我们主要学习了函数的极限以及连续的定义与性质。
本文将对第一章的内容进行总结。
函数的极限是研究函数在其中一点或其中一区间的变化趋势的工具。
当自变量趋近于其中一点或其中一区间时，函数的值也有可能趋近于其中一固定值，这个固定值就是函数的极限。
在函数的极限的概念中，我们主要学习了一些基本的性质和计算方法。
通过极限的四则运算法则，我们可以将复杂的函数进行简化和转化，从而更好地研究它们的性质。
我们还学习了一些常见的函数的极限值，如指数、对数、三角函数及其反函数的极限。
通过对函数的极限的学习，我们可以了解函数在其中一点或其中一区间的变化趋势，从而更好地理解函数的特征和性质。
极限的计算方法也有助于我们解决实际问题，比如利用极限来计算一些数列的极限，从而得到更加精确的近似值。
连续是函数的一个重要性质，它代表了函数图像的连贯性和平滑性。
连续函数的定义是：当自变量在其中一点或其中一区间内变化时，函数的值也会在同一点或同一区间内变化，并且不会有跳跃或断层的现象。
我们学习了一些常见的连续函数，并掌握了判断函数连续性的方法。
其中，我们主要研究了基本初等函数、分段函数和复合函数的连续性。
通过学习这些连续性的性质，我们可以更好地分析函数的行为和特点。
在函数极限和连续的学习中，我们还学习了一些重要的定理和概念。
例如，极限存在准则、函数极限的无穷大与无穷小、函数极限的唯一性等。
这些定理和概念帮助我们更好地理解和应用函数的极限和连续性。
总的来说，函数的极限和连续性是高等数学中重要的概念和工具。
通过学习函数的极限，我们可以更好地了解函数的性质和特征，对于求解实际问题和进行精确计算有着重要的作用。
而学习连续性则可以帮助我们判断函数的连贯性和平滑性，更好地分析函数的行为和特点。
对于进一步学习高等数学以及其他数学学科，函数的极限和连续性是必不可少的基础知识。
函数极限与连续知识点总结大一
函数极限与连续知识点总结大一函数极限与连续知识点总结函数极限和连续是微积分中非常重要的概念，对于大一学生来说，掌握这些知识点是非常关键的。
在本文中，我将对函数极限和连续的相关知识进行总结，并强调一些必要的注意事项。
一、函数极限1. 定义：函数极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的因变量的值也趋近于一个确定的值。
数学上可以表示为lim(f(x))=L，其中lim表示极限，f(x)表示函数，L表示极限值。
2. 基本性质：- 极限存在唯一性：当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的极限值唯一。
- 有界性：如果函数在某个区间内有极限，那么函数在该区间内是有界的。
- 保号性：如果函数在某个点的左侧极限和右侧极限大于（或小于）某个特定值，那么函数在该点处的极限也大于（或小于）该特定值。
3. 常用的函数极限：- 常数函数的极限：对于常数函数f(x)=C，其极限值为C。
- 多项式函数的极限：多项式函数的极限与最高次项的系数有关。
- 幂函数的极限：幂函数的极限与指数之间的关系有关。
- 三角函数的极限：三角函数的极限可以通过泰勒展开或利用三角函数的性质推导得出。
二、连续函数1. 定义：连续函数是指在定义域内，函数的图像可以画成一条连续的曲线，即没有间断点。
数学上可以表示为f(x)在[a, b]上连续。
2. 基本性质：- 连续函数的和、差、积仍然是连续函数。
- 连续函数与常数的乘积仍然是连续函数。
- 连续函数的复合函数仍然是连续函数。
- 定义域上的有界函数与连续函数的乘积仍然是连续函数。
3. 常见连续函数：- 多项式函数与有理函数在其定义域上都是连续函数。
- 正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数在其定义域上都是连续函数。
三、注意事项1. 极限的计算要点：- 直接代入法：当极限形式符合直接代入法的条件时，可以直接将自变量的值代入函数中计算极限值。
- 四则运算法则：对于在极限运算过程中出现的加、减、乘、除操作，可以利用四则运算法则进行简化。
2021年同方高等数学ch1极限、连续与间断
n 1+ x −1~ 1 x n
ln(1 + x) ~ x
ex −1~ x
替换原则：乘除可换，加减忌换。
例 1.17． lim sin x − x
x→0
x3
错解：
lim
x→0
x− x3
x
=0
例
1.18．
lim
x→0
ln(1
−
2x)
x2
sin(
5x)
e 2 −1
3
+
1 x
2
2
−
3 x
2
x−
3
+
1 x4
=12
例 1.3． lim 3x + 1 + 3x −1 x→ x + 1 + x −1
1
同方专转本高等数学核心教程
3+ 1 + 3− 1
解：原式= lim 3x + 1 + 3x −1 = lim
x
x= 3
x→ x + 1 + x −1 x→ 1 + 1 + 1 − 1
方法：上下同除以 x 的最高次幂
例
1.1．
lim
x−
x5 + x2
x4 +
− x
2
解：原式 =
1+ lim
1 x
−
1 x5
=
x−
1 x3
+
1 x4
例
1.2．
lim
x−
(3x
+1)2 (2x
3x4 +1
函数的极限及连续性
函数的极限及连续性函数的极限与连续性是微积分学中重要的概念，它们在求解导数、积分以及研究函数性质等方面具有重要的应用。
本文将针对函数的极限与连续性展开讨论，并介绍相关的定义、性质和计算方法。
一、函数的极限1.1 定义对于给定函数f(x)，当自变量x无限接近某一特定值a时，函数值f(x)的极限被定义为函数f(x)在x趋近于a时的极限值，记作：lim(x→a)f(x) = L其中，L可以是一个实数或无穷大。
当不同方向的极限存在且相等时，函数的极限存在。
若函数在该点的左、右极限均存在且相等，则称函数在该点处连续。
1.2 性质（1）极限值唯一性：函数的极限值是唯一的，即对于给定函数f(x)和特定值a，极限lim(x→a)f(x)存在时，其极限值L是唯一确定的。
（2）局部性质：函数的极限是局部性质，即仅仅与函数在某一点附近的取值有关。
（3）极限与函数值的关系：函数在某一点处连续，意味着函数在该点的极限值等于函数在该点的函数值。
1.3 计算方法计算函数的极限可以通过直接代入、无穷小量无穷大代换法、夹逼定理等方法进行。
（1）直接代入法：对于一些简单的函数，可以直接将自变量代入函数，求解得到极限值。
（2）无穷小量无穷大代换法：对于一些复杂的极限问题，可利用一些常用极限的性质和等价无穷小量、等价无穷大量的代换方法，简化极限的计算。
（3）夹逼定理：对于一些无法直接求解的函数极限问题，可通过夹逼定理来间接求解，即通过构造两个函数，使得它们的极限分别等于给定函数的极限。
二、函数的连续性2.1 定义对于给定函数f(x)，若函数在某一区间上的每一点都满足极限lim(x→a)f(x)存在且等于函数在该点的函数值f(a)，则称函数在该区间上连续。
2.2 性质（1）连续函数与极限：连续函数的极限与函数值相等，即lim(x→a)f(x) = f(a)。
（2）连续函数的运算：连续函数的加减、乘法运算结果仍为连续函数，但除法运算需要排除除数为零的情况。
函数极限连续重要概念公式定理
函数极限连续重要概念公式定理函数的极限、连续是微积分中非常重要的概念。
它们是帮助我们研究函数性质、计算导数和积分的基础。
下面我们将详细介绍函数极限和连续的概念、常用公式和定理。
一、函数极限函数的极限是指当自变量趋向一些特定值时，函数的取值是否趋于确定的结果。
极限表示函数在其中一点的趋势和变化情况。
函数极限的概念可以分为以下几个层次：1.无穷极限当自变量趋向无穷大或无穷小时，函数的极限称为无穷极限。
常见的无穷极限有以下几种形式：- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为正无穷。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为负无穷。
2.有限极限当自变量趋向一些有限值时，函数的极限称为有限极限。
常见的有限极限有以下形式：- 当$x\rightarrow a$时，$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$，表示当$x$趋向$a$时，函数$f(x)$的极限为$L$。
3.间断点函数在一些点上不具有有限的极限时，称该点为函数的间断点。
常见的间断点有以下几种类型：- 第一类间断点：当$x\rightarrow a$时，函数极限不存在且左右极限存在，即$\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)$和$\lim_{x\rightarrowa^+}f(x)$存在，但不相等。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了不同变量之间的关系。
而函数的极限和连续性则是函数理论中的两个重要概念，它们对于理解和分析函数的性质起着至关重要的作用。
一、函数的极限理论在介绍函数的极限之前，我们首先来了解一下函数的定义。
函数是一种将每一个自变量对应到唯一的因变量的规则。
符号表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为因变量。
函数的极限是指当自变量趋向于某个值时，因变量的变化趋势。
1.1 无穷大与无穷小在讨论函数的极限时，我们会遇到两类特殊的数：无穷大和无穷小。
无穷大指的是绝对值超过任何有限数的数，记作∞；无穷小指的是绝对值趋近于0的数，记作0。
在函数极限的计算中，无穷大和无穷小起着重要的作用。
1.2 极限的定义和性质对于函数的极限，我们有以下定义：设函数f(x)在a的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的ε>0，存在一个正数δ>0，使得函数在点a的去心邻域内的所有点x，满足|f(x)-l|<ε，其中l为实数，那么我们称l是函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim┬(x→a)〖f(x)=l〗。
极限有一些基本的性质，如极限的唯一性、四则运算、初等函数在某点的极限等等。
这些性质为我们进行函数极限的计算和推导提供了便利。
二、函数的连续性理论函数的连续性是指函数在某一点上的值与该点的极限值相等。
简单来说，就是函数图像在该点上没有断裂或间断。
连续性是理解和分析函数性质的基础。
2.1 连续性的定义设函数f(x)在点a的某个邻域内有定义，如果lim┬(x→a)〖f(x)=f(a)〗，那么我们称函数f(x)在点a处连续。
连续性的定义要求极限值和函数值相等，也就是说，函数在断点上没有间断或突变。
如果一个函数在其定义域上的每个点都连续，则称该函数在整个定义域上连续。
2.2 连续函数与间断点基于连续性的概念，我们可以将函数分为连续函数和间断函数两类。
连续函数是指在定义域上的每个点都连续的函数，而间断函数则是指在某些点上不连续的函数。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性在数学中，函数的极限与连续性是两个重要的概念，它们在微积分和数学分析中有着广泛的应用。
本文将对函数的极限与连续性进行讨论，并探究其相关性质和应用。
一、函数的极限函数的极限是描述函数在某一点趋于无穷或趋于某一特定值的性质。
常用的函数极限有左极限、右极限和无穷大极限。
1. 左极限和右极限对于函数f(x)，在某一点a处的左极限定义为：lim(x→a-) f(x) = L即当x从a的左侧趋近于a时，函数f(x)的取值逐渐趋近于L。
类似地，函数f(x)在某一点a处的右极限定义为：lim(x→a+) f(x) = M即当x从a的右侧趋近于a时，函数f(x)的取值逐渐趋近于M。
2. 无穷大极限函数的无穷大极限是指函数在某一点趋于无穷或负无穷的性质。
常用记号包括：lim(x→∞) f(x) = ∞lim(x→-∞) f(x) = -∞二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点的取值与其周围取值的一致性。
根据连续性的不同性质，函数可以分为三类：间断点、可去间断点和跳跃间断点。
1. 间断点函数f(x)在点a处间断，表示在点a的邻域内函数无定义或者函数在该点不连续。
常见的间断点包括可去间断点和跳跃间断点。
2. 可去间断点如果一个函数在某一点a的左极限和右极限存在并相等，但与函数在a处的取值不相等，则称函数在该点具有可去间断。
在可去间断点，可以通过重新定义该点的函数值来修复函数的连续性。
3. 跳跃间断点如果一个函数在某一点a的左极限和右极限存在，但不相等，则称函数在该点具有跳跃间断。
跳跃间断点通常是由函数在该点的定义造成，例如分段函数。
三、函数极限与连续性的关系函数的极限与函数的连续性密切相关。
下面是一些重要的结论：1. 连续函数的极限性质如果函数f(x)在点a处连续，则必有：lim(x→a) f(x) = f(a)即函数在该点的极限等于该点的函数值。
2. 极限运算法则函数的极限具有一些运算法则，例如加减、乘积与商的极限运算法则。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Ch1、函数、极限与连续§1、函数一、函数概念1、定义设有变量y x ,和数集D ，若对任一D x ∈，y 按一定法则f ，总有唯一确定的数值与之对应，则称y 是x 的（单值）函数，记为)(x f y =。
①以上定义的仅仅是单值函数，即：“每个y D x f唯一−→−∈”。
例如在表达式1=x 及x y =2中，y 均非x 的函数。
②函数完全同定义域D 和函数关系f 这两要素确定。
例如对于下列两对函数前一对函数不相同，而后一对相同。
2、分段函数例1、⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0000x x x x x x y例2、设⎪⎩⎪⎨⎧>≤=101sin )(x x xx f ，求)(x f 的定义域及)2(,4f f ⎪⎭⎫⎝⎛-π，并做)(x f 的图形。
解：()+∞∞-=,D ，0)2(,224sin 4==⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f ππ注：分段函数是一个而不是几个函数。
二、函数的几种性质1、有界性有界性有下列两种等价定义：定义1：若有0>M ，使D x M x f ∈≤,)(，则称)(x f 在D 上有界。
定义2：若有P 、Q ，使D x Q x f P ∈≤≤,)(,则称)(x f 在D 上有界，P 和Q 分⎩⎨⎧=+=⎪⎩⎪⎨⎧==1)(cos sin )(1)()(22x g x x x f x g x x x f 与别称为)(x f 在D 上的一个下界和上界。
例如，2arctan ,1sin π<≤x x 。
2、单调性定义：设1x 、2x 为区间I 上任两点，若当21x x <时，有())()()()(2121x f x f x f x f ><，则称)(x f 在区间I 上单调增加（减少）。
注：这里定义的是严格单调性。
3、奇偶性定义：对任一D x ∈，若())()()()(x f x f x f x f =--=-，则称)(x f 为奇（偶）函数。
例3、判断①),0(,sin π∈=x x x y ②()1lg 2++=x x y 的奇偶性。
解：①非奇非偶（定义域不对称）。
②()())(1lg 11lg1lg )(222x f x x xx x x x f -=++-=++=-+=- 奇函数① 奇（偶）函数的图形关于原点（y 轴）对称。
② 按奇偶性分类，函数可分为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=)(0)(唯一既奇又偶非奇非偶偶奇x f4、周期性定义：若有0≠l ，使)()(x f l x f =+，则称)(x f 为周期函数，l 称为周期，通常l 指最小正周期。
三、反函数定义：对)(x f y =，给定y ，若总有唯一的x 与之对应，则x 也是y 的函数，称为)(x f y =的反函数，记为)(y x φ=或)(x y φ=， ① 单调函数必有反函数，且其反函数也单调。
② 函数与其反函数的图形关于x y =对称。
x y x y arcsin ,sin ==§2、初等函数一、基本初等函数1、 幂函数 R x y ∈=μμ2、 指数函数 )71828.2,( ===e e y a y x x3、 对数函数 )ln log (log x x y x y e a ===4、 三角函数5、 反三角函数注：x y x y 2sin ,232=+=等不是初等函数。
二、复合函数与初等函数1、若)(u f y =的定义域为1D ，值域为1W ，)(x u φ=的定义域为2D ，值域为2W ，且2W （全部或部分）1D ⊂，则通过中间变量u ，y 也是x 的函数，称为复合函数，记为[])(x f y φ=。
例如，x e u u y -==1,可复合成x e y -=1，而π-==x u u y a r c t a n ,ln 不能复合。
2、由基本初等函数和常数经有限次四则运算和有限次复合而成并可由一个式子表示的函数称为初等函数。
一般地，分段函数不是初等函数。
（2x x y ==是）三、双曲函数与反双曲函数双曲正弦 2x x e e shx y --== 双曲余弦 2xx e e chx y -+==双曲正切xx xx ee e e thx y --+-== 反双曲正弦 ()1ln 2++==x x arshx y 反双曲余弦 ()1ln 2-+==x x archx y 反双曲正切 xx arthx y -+==11ln 21例4、判断⎪⎩⎪⎨⎧<+=>-=01001)(x x x x x x f 的奇偶性，并作)(x f 的图形。
解：)(01001010001)(x f x x x x x x x x x x x f -=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+-=⎪⎩⎪⎨⎧<-+-=->---=-，即)(x f 为奇函数。
§3、数列的极限预备知识① 点a 的δ邻域(){}δδδ+<<-=a x a x a U , ② 点a 的去心δ邻域(){}δδ<-<=a x x a U 0,③ 取整函数[]x y =——不超过x 的最大整数。
例如，[][]4,25.2,032-=-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡π一、数列极限的N -ε定义1、引例：考察数列{}∞→⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=n n n x n 当1时的极限。
{}1,1000010001,,34,23,2:→ n x⇔=-⇔∞→⇔→可任意地小充分大时当无限接近于时nx n x n x n n n 11,1,1任给正数ε（无论它多么小），总可找到一个正整数N ，使得从第N 项起以后的所有项，均满足ε<-1n x ，即εε1,1><n n ，此时可取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε1N 。
例如，1000,001.0;100,01.0====N N εε2、定义：若对任意给定的正数ε，总存在正整数N ，使得对满足N n >的所有n x ，不等式ε<-a x n 均成立，则称a 为数列{}n x 的极限或称数列{}n x 收敛于a ，记为a x n n =∞→lim 或)(∞→→n a x n ，否则称数列{}n x 无极限或发散。
简记为：“a x a x N n N n n →<->>∃>∀则成立时当,,,0,0εε”①⎩⎨⎧固定任意ε ②⎩⎨⎧不唯一有关与εN③关键点：N 的存在性。
④出发点：不等式ε<-a x n3、N -ε定义的几何解释记{}εε<-=a x x a U ),(，则N -ε定义可表述为 “a x a U x N n N n n →∈>>∃>∀则时当),,(,,0,0εε” 即“邻域),(εa U 外最多只有N 个点”例1、证明11lim=+∞→nn n 证：第一步：由ε<-a x n 确定N 。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=><=-+=-εεε1,1,1111N n n n n x n 可取 第二步：完整地写出N -ε定义的四句话。
对任意0>ε，只要取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε1N ，则当N n >时，就有ε<-1n x 成立，故11lim=+∞→nn n例2、证明04sin1lim =∞→πn n n 证：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=><≤=-εεεπ1,1,14sin 10N n n n n x n 可取放大对任意0>ε，存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε1N ，当N n >时，ε<-0n x ，故04sin1lim =∞→πn n n二、收敛数列的性质定理1：收敛数列{}n x 的极限是唯一的。
证：设b a b x a x n n <→→且,,根据极限定义，对任意0>ε，存在⎩⎨⎧21N N ，当⎩⎨⎧>>21N n N n 时，⎪⎩⎪⎨⎧<-<-εεb x a x n n ，即⎩⎨⎧+<<-+<<-εεεεb x b a x a n n ，取2a b -=ε，则其变为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<<++<<-232223a b x b a b a x ba n n ，显然若取{}21,m a xN N N =，则当N n >时，上述两不等式同时成立，矛盾，故得证。
定理2：收敛的数列有界，即收敛⇒有界。
证：设a x n →，由极限定义对任意0>ε，存在N ，当N n >时，ε<-a x n 从而a a a x a a x x n n n +<+-≤+-=ε)(令{}a x x x M N +=ε,,,,max 21 ，则对任意n ，均有M x n ≤，即数列{}n x 有界。
注：有界的数列不一定收敛，即有界⇒收敛，例如n n x )1(-=。
定义：在数列{}n x 中任意抽取无限多项并保持其先后次序，这样得到的一个数列称为原数列的子数列。
例如数列{}{}{} ,)1(,,1,11,1)1(n n n x ---=-=有两个子数列{}{} ,1,,112--=-n x 和{}{} ,1,,12=n x 。
定理3、数列{}n x 收敛于⇔a 数列{}n x 的任一子数列均收敛于a 。
推论：若数列{}n x 的两个子数列收敛于不同的极限，则数列{}n x 发散。
例如，对{}{}n n x )1(-=，1,1212→-→-n n x x 而，故数列{}n x 发散。
§4、函数的极限一、0x x →（有限值）时的极限1、引例：考察556)(2-+-=x x x x f 当5→x 时的极限。
如图，当5→x 时，4)(→x f事实上，545564)(2-=--+-=-x x x x x f当5-x 任意小时，4)(-x f 也任意地小。
2、（δε-）定义：设)(x f 在0x 的某一去心邻域内有定义，若对任意0>ε，存在0>δ，当δ<-<00x x 时，不等式ε<-A x f )(，则称A 为)(x f 当0x x →时的极限，记为A x f x x =→)(lim 0或)()(0x x A x f →→。
注：当0x x →时，)(x f 有无极限、极限为何值与)(x f 在0x 处有无定义、定义值为何值无关。
例1、证明4556lim25=-+-→x x x x 证：第一步：由ε<-A x f )(推出δ<-0x x （求δ）εδεε=<-<--+-=-即可取得由,545564)(2x x x x x f第二步：写出定义中的四句话。
对任意0>ε，只要取εδ=，则当δ<-<50x 时，就有ε<-4)(x f 故4)(lim 5=→x f x例2、证明9)14(lim 2-=--→x x证：4,4)2()2(4)9()14()9()(εδεε=<--<--=---=--即可取得由x x x x f对任意0>ε，只要取4εδ=，则当δ<--<)2(0x 时，就有ε<--)9()(x f故9)(lim 2-=-→x f x3、函数极限的二条性质定理1、（局部保号性）若A x f x x =→)(lim 0，且()00<>A A ，则存在0x 的某一去心邻域，在其内()0)(0)(<>x f x f 。