2020届江苏省南通市如皋中学高三下学期3月线上模拟考试数学试题(学生版)
江苏省南通市2020届高三第三次模拟考试数学试题答案
所以
f
'(x)
2x (x2 4(x
4x 16) 4)2
0 ，所以
f
( x)max
f
(2
2) 6 4
2
，
即△ ABC 的内切圆的面积最大值为 (6 4 2) ．
18．(本小题满分 16 分)
【答案与解析】
a c 3,
（1）
AF
3 ，点
F
与椭圆
C
左准线的距离为
5， c
a2 c
5,
c a2 b2 ,
，
y
k
(
a3k 2 ab2 a2k2 b2
a)
Hale Waihona Puke 2kab2 a2k2 b2
，
即
M
(
a3 a2
2
k2．
k2
,
…… 6 分a 2 b2
)
b a2
2
k k2
a
同理由
y 2k(x a),
x2 a2
y2 b2
1
得
N
(
4a3k 2 ab2 4a2k 2 b2
,
4kab2 4a2k 2
b2
－f（xj）|≤f(x)max－f(x)min＝4，要使 xn 取得最小值，尽可能多让 xi（i=1，2，3，…，m）取 得最高点，且 f(0)＝1，f(1)＝0，f(2)＝－3，因为 0≤x1 x2 xn ，且
f x1 f x2 f x2 f x3 f xn1 f xn 2017 ，
(ii)
又 2kMA kBN (iii)
由 (i)
(ii)
(iii)
得：
2b2 a2
b4
江苏省如皋中学2020届高三数学模拟试题四
+
2.7
x
,
0 x 10 ．………6 分
x 10
（2）①当 0 x 10 时，
W
= 8.1x −
1
x3
−10 则W = 8.1 −
1
x2
81 − x2 =
=
(9 + x)(9 − x) ∵0
x
10
30
10
10
10
∴当 0 x 9 时，W 0 ，则W 递增；当 9 x 10 时，W 0 ，则W 递减；
江苏省如皋中学 2020 届高三数学模拟练习四
第 I 卷（必做题 共 160 分）
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.把答案填在题中横线上。
1.设集合 A = {−1, 0,1}， B = {x | x2 + x 0} ，则 A B =
．
2.已知 i 是虚数单位，则 3 − i 的虚部为
32
y = − 3 + 2 sin
圆 C 的位置关系．
D．选修 4—5 不等式证明选讲
设 a, b, c, d 是正数，且 a2 + b2 + c2 = 10 ， x2 + y2 + z2 = 40 ， ax + by + cz = 20 ，求 a + b + c 的值．
x+ y+z
22. (本小题满分 10 分)如图，三棱柱 ABC − A1B1C1 中， AA1 ⊥ 平面 ABC ，BAC = 90 ， AB = 2, AC = 6 ,
A．选修 4—1 几何证明选讲 在 ABC 的边 AB，BC，CA 上分别取 D，E，F．使得 DE=BE，FE=CE，
江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试数学试题(含答案解析)
开始输出n 输入p结束n ←1, S ←0S < pn ←n + 1S ←S + 2n NY（第5题）江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试数 学 试 题2020.05(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}2log (1)2B x x =-<，则A B =I ▲ ． 2．设复数2(2i)z =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲ ．3．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线2x ﹣y ﹣1＝0上方的概率为 ．4．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ▲ ． 5．执行右边的程序框图，若p ＝14，则输出的n 的值为 ▲ ．6．函数22log (32)y x x =--的值域为 ▲ ．7．等差数列}{n a 中，若100119753=++++a a a a a ， 则=-1393a a ▲ ．8．现用一半径为10 cm ，面积为80π cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为 ▲ cm 3．9．已知() 0 αβ∈π，，，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tan α的值为 ▲ ．10．已知实数,x y 满足40210440x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≥≥，则3z x y =+-的取值范围是 ▲ ．11．若函数()()ππ()sin 63f x a x x =++-是偶函数，则实数a 的值为 ▲ ．12．在△ABC 中，cos 2sin sin A B C =，tan tan 2B C +=-，则tan A 的值为 ▲ ． 13．已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．已知[)0,2θπ∈，若关于k ()33sin cos k θθ-在(],2-∞-上恒成立，则θ的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)已知sin cos θθ+=，ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，． （1）求θ的值；（2）设函数()22()sin sin f x x x θ=-+，x ∈R ，求函数()f x 的单调增区间．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//CD AB ，2AB CD =， AC 交BD 于O ，锐角PAD ∆所在平面PAD ⊥底面ABCD ，PA BD ⊥，点Q 在侧棱PC 上，且2PQ QC =． （1）求证：//PA 平面QBD ； （2）求证：BD AD ⊥．17．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：224x y +=，直线l ：43200x y +-=．43()55A ，为 圆O 内一点，弦MN 过点A ，过点O 作MN 的垂线交l 于点P ． （1）若MN ∥l ，求△PMN 的面积．（2）判断直线PM 与圆O 的位置关系，并证明．18．(本小题满分16分)如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形(矩形的一个边在三角形的边上)，并以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面。
2020届南通市如皋市高三下学期期初考试数学试题
2020届江苏省南通市如皋市高三下学期期初考试数学试题一、填空题1．已知1i 1i ()z -=+（i 为虚数单位），则复数z 的模为__________． 【答案】1【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解． 【详解】解：由(1)1i z i -=+，得21(1)1(1)(1)i i z i i i i ++===--+， ||1z ∴=．故答案为：1． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法． 2．已知集合{}1,2A =-，{}2,B a a =，若{}1A B ⋂=，则实数a 的值为__________．【答案】1-【解析】根据{1}A B =I 及集合元素的互异性，即可得出211a a ⎧=⎨≠⎩，解出a 即可．【详解】解：{1}A B =Q I ，{B a =，2}a ，{1A =，2}-，21a ∴=，且1a ≠，1a ∴=-，故答案为：1-． 【点睛】本题考查了列举法的定义，交集的定义及运算，集合元素的互异性，元素与集合的关系，考查了计算能力．3．已知某校高一、高二、高三年级分别有1000、800、600名学生，现计划用分层抽样方法在各年级共抽取120名学生去参加社会实践，则在高一年级需抽取__________名学生．【答案】50【解析】由题意，利用分层抽样的定义先求出高一年级学生所占的比例，再用样本容量乘以此比例，即为所求．【详解】解：高一年级学生所占的比例为10005 100080060012=++，∴高一年级需抽取51205012⨯=人，故答案为：50．【点睛】本题主要考查分层抽样的定义，属于简单题．4．从甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学参加安全知识竞赛，则同学甲被抽到且乙抽不到的概率为__________．【答案】1 3【解析】基本事件总数246n C==，同学甲被抽到且乙抽不到包含的基本个数11 122m C C==，由此能求出同学甲被抽到且乙抽不到的概率．【详解】解：从甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学参加安全知识竞赛，基本事件总数246n C==，同学甲被抽到且乙抽不到包含的基本个数11122m C C==，则同学甲被抽到且乙抽不到的概率为2163mpn===．故答案为：13．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力．5．某程序框图如下图所示，当输入7x=时，输出的y=__________．【答案】5【解析】根据题意，循环计算，即可得出结果. 【详解】解：由程序框图可知，当输入7x =，40x =≥，是；10x =≥，是；x =20<，否；则()22y =-+1=5，输出5y =. 故答案为：5. 【点睛】本题考查循环程序框图的计算，求输出值，属于基础题．6．已知双曲线22213x y b-=的两条渐近线与直线3x =心率为__________． 23【解析】求出双曲线的渐近线方程，利用两条渐近线与直线3x =求出渐近线的倾斜角，然后求解离心率即可． 【详解】解：双曲线22213x y b-=的两条渐近线与直线3x所以双曲线的渐近线的倾斜角为30°和150︒，所以33=，所以1b =， 所以双曲线的离心率为：233c e a ===. 故答案为：23． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，涉及双曲线渐近线方程和离心率，是基本知识的考查．7．已知变量x ，y 满足约束条件002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2y x -的最大值为__________．【答案】2【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【详解】解：由变量x ，y 满足约束条件0,0,2,x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩……„作出可行域如图， 化目标函数2z y x =-为2y x z =+， 由图可得，当直线2y x z =+过点(0,2)A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为2. 故答案为：2．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法．8．已知α为锐角，且1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=__________．【解析】由已知条件，由同角三角函数关系，求出sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，利用凑角和两角差正弦公式，即可算出. 【详解】解：因为α为锐角，1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 63πα⎛⎫+==⎪⎝⎭， 所以sin sin 66ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin .cos cos .sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1132=⨯=. 故答案为：16. 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，运用到同角三角函数关系以及两角和与差的正弦公式，同时考查计算能力.9．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，O 为上底面中心．设正四棱柱1111ABCD A B C D -与正四棱锥1111O A B C D -的侧面积分别为1S ，2S ，则21S S =__________．【答案】6【解析】由题意画出图形，求出正四棱锥的斜高，再分别求出正四棱柱与正四棱锥的侧面积， 则答案可求． 【详解】解：如图，正四棱柱1111ABCD AB C D -中，2AB =，13AA =，则正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积分别为142324S =⨯⨯=， 正四棱锥1111O A B C D -的斜高为221310+=，∴正四棱锥1111O A B C D -的侧面积2142104102S =⨯⨯⨯=， ∴2141010S S ==， 故答案为：10．【点睛】本题考查多面体侧面积的求法，涉及正四棱柱和正四棱锥的性质特征，是基础的计算题． 10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4321S S +=，4322232a a a =++，则1a =__________．【答案】1【解析】根据题意，利用等比数列的通项公式化简求出公比q ，即可算出1a . 【详解】解：由于4321S S +=，4322232a a a =++，且{}n a 为等比数列， 则： 12341232221a a a a a a a +++=+++， 即： 41231a a a a =+++， 因为：4322232a a a =++，则： 123322222232a a a a a +++=++，122a a =，即：212a q a ==， 又因为：4322232a a a =++，则： 321112232a q a q a q =++，11116862a a a =++. 解得：122a =， 则： 11a =. 故答案为：1. 【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，运用到等比数列的通项公式，考查计算能力. 11．已知圆22:420C x y x y +--=，过点(6,0)P 的直线l 与圆C 在x 轴上方交于A ，B 两点，且3PA PB =，则直线l 的斜率为__________．【答案】815-【解析】由题意设出直线l 的参数方程为6cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩，代入圆的方程，化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系结合3PA PB =，得到sin 4cos 4θθ-=，与平方关系联立求得sin θ，cos θ的值，即可求得直线l 的斜率． 【详解】解：设直线l 的倾斜角为(0)θθπ<…，则直线l 的参数方程为6cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩，代入22420x y x y +--=，得2(2sin 8cos )120t t θθ--+=，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则122sin 8cos t t θθ+=-，1212t t =， 由3PA PB =，得123t t =，1224t t t ∴+=，21223t t t =，∴2221222122()16(2sin 8cos )161233t t t t t t θθ+-===，整理得：2(2sin 8cos )64θθ-=， 由题可知，2πθ>，则2sin 8cos 0θθ->，得sin 4cos 4θθ-=，联立22sin4cos 41sin cos θθθθ-=⎧⎨+=⎩，解得8sin 1715cos 17θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则8tan 15θ=-， 即直线l 的斜率为815-， 故答案为：815-．【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查直线参数方程的用法，考查计算能力，是中档题．12．若2x >，0y >，且211x y+=，则1121x y +--最小值为__________． 2【解析】由已知可用x 表示y ，然后代入到所求式子后，利用基本不等式即可求解． 【详解】解：2x >Q ，0y >，且211x y+=， 2xy x ∴=-， 则1111121222212222212x x xx y x x x x --+=+=+-------g … 当且仅当1222x x -=-即22x =+2． 2【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值．13．已知ABC V 中，2AB =，1AC =，平面ABC 上一点D 满足3BC AD ⋅=-u u u r u u u r，则()BC BD CD ⋅+=u u u r u u u r u u u r__________．【答案】3-【解析】可得出()2()()BC BD CD BC AD AC AB AC AB +=--+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g ，然后根据2AB =，1AC =，3BC AD =-u u u r u u u rg ，进行数量积的运算即可求出答案．【详解】解：2AB =Q ，1AC =，3BC AD =-u u u r u u u rg ，∴()()BC BD CD BC AD AB AD AC +=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g ，[2()]BC AD AB AC =-+u u u r u u u r u u u r u u u rg ，2()()BC AD AC AB AB AC =--+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，226()AC AB =---u u u r u u u r ，614=--+，3=-，故答案为：3-． 【点睛】本题考查了向量减法的几何意义，向量的数量积运算及计算公式，考查了计算能力． 14．已知32()3f x x a x a =--，若存在[]1,1x ∈-，使得()0f x ≥成立，则实数a 的取值范围为__________．【答案】1,62⎛⎤⎫--∞⋃+∞ ⎪⎥ ⎪⎝⎦⎣⎭【解析】根据题意，求导()()2222333f x x a x a'=-=-，令 ()0f x '=，求出极值点1x a =-，2x a =，分类讨论求出()f x 的单调性，由于存在[]1,1x ∈-，使得()0f x ≥成立，转化成在[]1,1x ∈-，()max 0f x ≥成立即可，通过导数得到的单调性判断极值，进而求出最值，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】解：由32()3f x x a x a =--，得()()2222333f x x a x a'=-=-，令： ()0f x '=，即：220x a -=， 解得：1x a =-，2x a =，（1）当0a >时， ()0f x '>，则x a <或x a >，()0f x '<，则3a x -<<， 即：(),x a ∈-∞-，(),a +∞时，()f x 为增函数，(),x a a ∈-时，()f x 为减函数，由于存在[]1,1x ∈-，使得()0f x ≥成立， 则要求[]1,1x ∈-，()max 0f x ≥成立即可，且()0f a =-，()()221f a a a -=-，()()221f a a a =-+，()2131f a a -=--，()2131f a a =--+，已知0a >时，()00f <， ()0f a <， ①当1a >时，只需()10f -≥，则： 2310a a --≥，解得：a ≤或a ≥ 解得：1a >；②当01a <≤时，只需()0f a -≥或()10f ≥即可， 即()2210a a -≥或2310a a --+≥，解得：12a ≤≤或0a <≤ （2）当0a ≤时，()0f x '>，(),x a ∈-∞，(),a -+∞时，()f x 为增函数， ()0f x '<，(),x a a ∈-时，()f x 为减函数，则此时()00f a =->，所以存在[]1,1x ∈-，使得()0f x ≥成立， 解得：0a ≤.综上得：实数a 的取值范围为1,62⎛⎤⎫--∞⋃+∞ ⎪⎥ ⎪⎝⎦⎣⎭.故答案为：162⎛⎤⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥ ⎪⎝⎦⎣⎭. 【点睛】本题考查函数的存在性问题，通过导数判断函数的额单调性、极值、最值，考查分类讨论思想和综合分析能力.二、解答题15．已知2()4sin sin cos 242x f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数()26g x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域． 【答案】（1）最小正周期为2π（2）[]0,3【解析】（1） 利用三角函数的诱导公式结合辅助角公式进行转化求解即可．（2）求出函数()g x 的解析式，求出角的范围，结合三角函数的单调性进行求解即可． 【详解】解：（1）()1cos 24sin cos22x f x x xπ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=+， ()22sin 1sin 12sin 2sin 1x x x x =++-=+，所以函数()y f x =的最小正周期为2π， （2）()(2)2sin 2166g x f x x ππ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以函数()y g x =的值域为[]0,3. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的周期性以及单调性与值域的关系是解决本题的关键．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，面PAD ⊥面ABCD ，三角形PAD 为正三角形．（1）若E ，F 为PB ，CD 中点，证明：EF ∥面PAD ； （2）若90PAB ∠=︒，证明：面PAD ⊥面PAB ． 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）取PA 的中点G ，连接GD ，GE ．可得四边形GEFD 为平行四边形，//GD EF ，即可证明//EF 平面PAD ．（2）取AD 的中点H ，连接PH ，只需证明PH AB ⊥，AB PA ⊥，即可证明AB ⊥平面PAD ．平面PAD ⊥平面PAB ． 【详解】证明：（1）取PA 的中点G ，连接GD ，GE ， 在PAB △中，因为E ，G 分别为PB ，PA 中点， 所以GE AB ∥且12GE AB =， 因为底面ABCD 为平行四边形，所以/DC AB ∥，F 为DC 的中点，所以12DF AB =， 所以GE DF P 且GE DF =，所以四边形GEFD 为平行四边形，所以GD EF ∥， 因为EF ⊄平面PAD ，GD ⊂平面PAD ， 所以EF P 平面PAD ，（2）取AD 的中点H ，连接PH ，因为侧面PAD 为正三角形，所以PH AD ⊥， 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，PH ⊂平面PAD ， 平面PAD I 平面ABCD AD =，所以PH ⊥平面ABCD ， 因为AB Ì平面ABCD ，所以PH AB ⊥， 因为90PAB ∠=︒，所以AB AP ⊥，因为PH PA P ⋂=，,PA PH ⊂平面PAD ， 所以AB ⊥平面PAD ， 因为AB Ì平面PAB ， 所以平面PAD ⊥平面PAB .【点睛】本题考查了空间线面平行、面面垂直的判定，还涉及平行四边形的证明、面面垂直的性质，考查空间想象能力和推理能力．17．过椭圆22182x y+=上一点(2,1)P --作两条直线1l ，2l 与椭圆另交于A ，B 点，设它们的斜率分别为1k ，2k ．（1）若11k =，21k =-，求PAB △的面积PAB S V ； （2）若OA OB =，PA PB =，求直线AB 的方程． 【答案】（1）4825（2）20x y += 【解析】（1） 先通过点斜式分别写出直线1l ，2l 的方程，再通过曲直联立求出点A 和B 的坐标，从而求得直线AB 的方程以及线段||AB 的长，然后利用点到直线的距离公式求出PAB ∆的高，从而求得其面积.（2）设AB 的中点为H 点，然后分类讨论，①当直线AB 过原点时，可得知直线AB 的方程为20x y +=；②当直线AB 不过原点时，结合平面几何知识可得点P ，H ，O 三点共线，然后设直线AB 的方程为2(0)y x m m =-+≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(H x ，0)y ，再通过曲直联立、韦达定理和中点坐标公式，得到1208217x x mx +==，120217y y my +==，所以直线OH 斜率为18，所以直线OP 的斜率与直线OH 斜率不相等，即点P ，H ，O 三点不共线，与前面的结论矛盾，最后得到直线AB 的方程为20x y +=．【详解】解：（1）因为11k =，21k =-，所以直线1l ，2l 方程分别为10x y -+=，30x y ++=，由221821x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得：25840x x +-=， 由此解得25x =，75y =，所以27,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，同理可得：141,55B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 所以直线AB 的方程为510120x y -+=，所以148225PABS ==△， （2）设AB 的中点为H 点，①当直线AB 过原点时，点H 与点O 重合， 因为PA PB =，所以PO AB ⊥， 所以直线AB 的方程为20x y +=，②当直线AB 不过原点时．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，()00,H x y ， 在OAB V 中，因为OA OB =，所以OH AB ⊥， 在PAB △中，因为PA PB =，所以PH AB ⊥， 所以点P ，H ，O 三点共线， 因为直线OP 的斜率为12，所以直线AB 的斜率为2-， 设直线AB 的方程为()20y x m m =-+≠，由221822x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，得：221716480x mx m -+-=，由韦达定理知，122 12161748·17mx xmx x⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，121222()217my y x x m+=-++=，所以817mx=，017my=，所以直线OH斜率为18，所以直线OP的斜率与直线OH斜率不相等，点P，H，O三点不共线（与上面的结论矛盾），综上：所求直线AB的方程为20x y+=.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，运用直线与椭圆联立，韦达定理，中点坐标公式、点到直线的距离公式等知识，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．18．从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币．如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”．某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字．设OABθ∠=，五个正方形的面积和为S．（1）求面积S关于θ的函数表达式，并求tanθ的范围；（2）求面积S最小值．【答案】（1）228sin cos4sin cosSθθθθ=+-，θ的取值范围为()00,θ，1tan3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）9652-【解析】(1)由题意可知小正方形的边长为1(sin)2sin2θθ⨯=，大正方形的边长为1(cos sin )2cos 2sin 2θθθθ-⨯=-，所以五个正方形的面积和为22224sin (cos 2sin )8sin cos 4sin cos S θθθθθθθ=+-=+-，又sin cos 2sin θθθ<-，所以1tan 3θ<，所以θ的取值范围为(0，0θ )，01tan 3θ=，0(0,)2πθ∈；(2)法一：228sin cos 4sin cos S θθθθ=+-()9222θϕ=-+其中7tan 4ϕ=，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以min 92S -=，此时()sin 21θϕ+=，所以22πθϕ+=，则22tan 4tan 21tan 7θθθ==-，因为10tan 3θ<<，解得tan θ=，即可求出面积S 最小值为；法二：由（1）可知222284tan 18sin cos 4sin cos 1tan S tan θθθθθθθ-+=+-=+，令tan t θ=，则228411t t S t -+=+，设22841()1t t f t t -+=+，1(0,)3t ∈，利用导数得到当t =面积S 【详解】解：（1）过点O 分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为E ，F ， 因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合， 所以点E ，F 分别为小正方形和大正方形边的中点，所以小正方形的边长为1sin 2sin 2θθ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，大正方形的边长为1cos sin 2cos 2sin 2θθθθ⎛⎫-⨯=-⎪⎝⎭， 所以五个正方形的面积和为()224sin cos 2sin S θθθ=+-，228sin cos 4sin cos θθθθ=+-，因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长， 所以sin cos 2sin θθθ<-，1tan 3θ<，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以θ的取值范围为()00,θ，01tan 3θ=， 答：面积S 关于θ的函数表达式为228sin cos 4sin cos S θθθθ=+-，θ的取值范围为()00,θ，01tan 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（2）法一：228sin cos 4sin cos S θθθθ=+-，1cos21cos282sin 222θθθ-+=+-， 972sin 2cos 222θθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ()965222θϕ=-+，其中7tan 4ϕ=，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以min 9652S -=，此时()sin 21θϕ+=， 因为()00,θθ∈，所以0302222πθϕθπ<+<+<， 所以22πθϕ+=，所以14tan 2tan 2tan 7πθϕϕ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭， 则22tan 4tan 21tan 7θθθ==-，化简得：22tan 7tan 20θθ+-=， 由此解得：765tan 4θ-±=， 因为10tan 3θ<<，所以765tan 4θ-+=，答：面积S最小值为92- 法二：228sin cos 4sin cos S θθθθ=+-，2222228sin cos 4sin cos 8tan 4tan 1sin cos tan 1θθθθθθθθθ+--+==++， 令tan t θ=，则228t 41t 1t S -+=+，设()228t 41t 1t f t -+=+，10,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 令()()()222227201t t f t t+-'==+，得：13t =<，所以74t -+=时，面积S 最小值为92-， 答：面积S 最小值为92-【点睛】本题主要考查三角函数的实际应用，以及三角恒等变换的应用，涉及降幂公式、二倍角正弦公式和正切公式，是中档题．19．若函数()y f x =的图像上存在两个不同的点关于y 轴对称，则称函数()y f x =图像上存在一对“偶点”．（1）写出函数()sin f x x =图像上一对“偶点”的坐标；（不需写出过程） （2）证明：函数()ln(2)2g x x x =+-+图像上有且只有一对“偶点”；（3）若函数()2()xh x e mx m =--∈R 图像上有且只有一对“偶点”，求m 的取值范围．【答案】（1）()(),0,0ππ-（2）见解析（3）()1,+∞【解析】（1）根据题意即正弦函数的性质即可直接求解；（2）要证：函数数()2x h x e mx =--图象上有且只有一对“偶点”，只需证：())()()y Q x g x g x ==--=在(0,2)上有且只有一个零点，结合导数及函数的性质即可证明；（3）由题意，问题可转化为函数()()y h x h x =--只有一个零点，结合函数的性质及导数可求． 【详解】（1）函数()sin f x x =图像上一对“偶点”的坐标为()(),0,0ππ-， （2）设()()()()()ln 2ln 22Q x g x g x x x x =--=+--+-， 因为()y Q x =的定义域为()2,2-，且()()Q x Q x -=-， 所以函数()y Q x =为奇函数，要证：函数()ln(2)2g x x x =+-+图像上有且只有一对“偶点”， 只需证：()y Q x =在()0,2上有且只有一个零点，令()()222204x Q x x-'==-，得x =所以，函数()Q x 在(上为单调减函数，在)2上为单调增函数，(ln 30Q=+-<，4441122ln 40Q e e e ⎛⎫⎛⎫-=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()Q x 在41e ⎫-⎪⎭上有且只有一个零点，所以函数()ln(2)2g x x x =+-+图像上有且只有一对“偶点”， （3）设()()()2xxF x h x h x e emx -=--=--，()00F =，因为()y F x =的定义域为R ，且()()F x F x -=-， 所以函数()y F x =为奇函数，因为函数()2()xh x e mx m =--∈R 图像上有且只有一对“偶点”， 所以函数()y F x =在()0,∞+有且只有一个零点，()12x x F x e m e'=+-，()0,x ∈+∞， ①当1m £时，因为()220F x m '>-≥，所以函数()y F x =在()0,∞+上为单调增函数，所以()()00F x F >=， 所以函数()F x 在()0,∞+无零点，②当1m >时，由()212120x x xx xe me F x e m e e-+'=+-==，得：(0ln x m =，所以函数()y F x =在()00,x 上单调减函数，在()0,x +∞上单调增函数， 所以()()000F x F <=， 设()ln H x x x =-，()1xH x x-'=， 所以函数()H x 在()0,1上单调增函数，在()1,+∞上单调减函数， 所以()()110H x H ≤=-<，所以ln x x <，所以(ln ln 22m m m <<，设()()211xm x e x x =-->，设()()2xM x m x e x '==-，因为()220xM x e e '=->->，所以函数()M x 在()1,+∞单调增函数，所以()()120M x M e >=->，所以函数()m x 在()1,+∞单调增函数， 所以()()120m x m e >=->，所以当1x >时，21x e x >+，()22222124140m m m F m e m e m e=-->-->， 因为函数()y F x =在()0,x +∞上单调增函数，所以函数()F x 在()0,2x m 上有且仅有一个1x ，使得()10F x =， 综上：m 的取值范围为()1,+∞. 【点睛】本题中综合考查了函数的性质及导数的综合应用，体现了分类讨论思想的应用，试题具有一定的综合性．20．已知数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：2n n n b a a +=-，1232n n n n c a a a ++=++． （1）若{}n b 是等差数列，且公差1121d b a a ====，求数列{}n c 的通项公式n c ； （2）若{}n b 、{}n c 均是等差数列，且数列{}n c 的公差136d a ==，119c =，求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）231622n c n n =++（2）1n a n =+ 【解析】（1）{}n b 是等差数列，且公差11d b ==，2n n n b a a +=-，所以2n n a a n +-=，由1232n n n n c a a a ++=++，进而算出132n n c c n +-=+，利用累加法，即可求出数列{}n c 的通项公式n c ；（2）因为{}n c 是等差数列，且数列{}n c 的公差6d =，119c =，所以1232613n n n n c a a a n ++=++=+，得出112332619n n n n c a a a n ++++=++=+，根据题意，进而求出126n n b b ++=，可得出{}n b 的首项和公差，求得2n b =，所以22n n a a +-=，分类讨论n 为奇数和偶数时，求出数列{}n a 的通项公式．【详解】（1）因为{}n b 是等差数列，且公差11d b ==，2n n n b a a +=-，所以2n n a a n +-=，所以311n n a a n ++-=+，32a =，18c =，因为()1123123232n n n n n n n n c c a a a a a a ++++++-=++-++，即：()1312232n n n n n n c c a a a a n ++++-=-+-=+，所以21312c c -=⨯+，32322c c -=⨯+，…()1312n n c c n --=⨯-+，()2n ≥，上面1n -式子相加得：()()()113121213222n n n c c n n n --=⨯+++-+-=⨯+-…， 所以()2316222n c n n n =++≥， 当1n -时也满足上面{}n c 的通项，综上：数列{}n c 的通项公式231622n c n n =++， （2）因为{}n c 是等差数列，且数列{}n c 的公差6d =，119c =，所以1232613n n n n c a a a n ++=++=+①，112332619n n n n c a a a n ++++=++=+②，-②①得：()31226n n n n a a a a +++-+-=，即126n n b b ++=，所以2126b b +=，3226b b +=，因为{}n b 是等差数列，设等差数列{}n b 的公差为d '，所以1326b d '+=，1356b d '+=，由此解得：12b =，0d '=，所以2n b =，满足126n n b b ++=，即22n n a a +-=，因为11233219c a a a =++=，所以()22322219a +++=，所以23a =，①当()*21n k k =-∈N 时，()212212k a k k -=+-=，所以1n a n =+， ②当()*2n k k =∈N 时，()232121k a k k =+-=+，所以1n a n =+， 综上：数列{}n a 的通项公式1n a n =+.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和递推关系的应用，还运用累加法求数列的通项公式，考查计算能力和转化思想.。
2020年江苏南通高三下学期高考模拟数学试卷
，
．
，
，求函数 的单调增区间．
16. 如图，在四棱锥
锐角
所在平面
中，底面
底面
，
为梯形，
，
， 交 于，
，点 在侧棱 上，且
．
2
（ 1 ） 求证： （ 2 ） 求证：
平面
．
．
17. 在平面直角坐标系 中，圆
，直线
点，弦 过点 ，过点 作 的垂线交 于点 ．
（1） 若
，求
的面积．
（ 2 ） 判断直线 与圆 的位置关系，并证明．
2 若对任意 ，
，必存在
使得
，求数列 的通项公式．
（ ， ， 为常
，已知
，且
20. 若实数 满足 （ 1 ） 求函数
，则称
为函数
的不动点．
的不动点．
3
（ 2 ） 设函数
1若
时，存在一个实数
，其中 ， ， 为实数．
，使得
既是
点（
是函数 的导函数），求实数 的取值范围．
2令
，若存在实数 ，使 ，
，
为正数的等比数列，求证：函数 存在不动点．
， ，
， ，
，所以直线
， 与圆 相切，得证．
时，体积最大．
设
，则
，
，
若以 为底、 为高，则圆柱底面半径
，
，
，
，
当
时，
，当
时，
，
所以
，
若以 为底， 为高，则圆柱底面半径
，
，
，
当 所以
时，
，令
，得
、
，
，当
时，
，
，
【精准解析】江苏省南通市如皋中学2020届高三下学期3月线上模拟考试数学试题
d
，由已知得
9a1a(1a1
4d 36d
) a1 18
5d
13
，解得
a1 d
6 1
．
∴ an 6 (n 1) 7 n ． 故答案为： n 7 ． 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，考查等差数列的前 n 项和公式，解题方法是基本量
法，即用 a1 和 d 表示已知并求出，再由 a1 和 d 解决其他问题．
【详解】由题意 x 1 3 5 7 9 5 ， 5
∴ s2 1 [(1 5)2 (3 5)2 (5 5)2 (7 5)2 (9 5)2 ] 8 ． 5
故答案为：8．
【点睛】本题考查方差的计算，掌握方差计算公式是解题基础．
5.函数
f
பைடு நூலகம்
x
x2 1, x 1
log 2
9.在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，M 为 AD1 的中点，则三棱锥 M ACD 的体积
是_______
2
【答案】
3
-4-
【解析】 【分析】 由棱锥的体积公式进行转换．
【详解】∵ M
是
AD1 中点，∴VM ACD
1 2
VD1
ACD
1 1 (1 2 2) 2 23 2
2020 届高三全真模拟试题（一） 参考公式：
数学
样本数据 x1, x2 ,, xn 的方差 s2
1 n
n i 1
xi x
2
，其中
x
1 n
n i 1
xi
.
柱体的体积V Sh ，其中 S 是柱体的底面积， h 是柱体的高. 锥体的体积V 1 Sh ，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高.
江苏省南通市如皋中学2020届高三数学下学期3月线上模拟考试试题含解析
【答案】
【解析】
【分析】
由正弦定理化边为角，利用诱导公式和两角和的正弦公式化简已知条件，由已知条件可把 转化为可用基本不等式求最值的形式,从而得到最小值．
【详解】∵ ，
由正弦定理得 ，
∴ ,∴ ，
∴ ，当且仅当 时取等号，
∴ 的最小值是 ．
（1）设数列｛bn｝的通项为bn＝20n－2n，且是Ω数列，求M的取值范围；
（2）设{cn｝是各项为正数的等比数列，Sn是其前n项和，c3＝ ，S3＝ ，证明：数列{Sn}是Ω数列;
（3）设数列｛dn｝是各项均为正整数的Ω数列，求证：dn≤dn＋1.
【答案】（1） ；（2）证明见解析;（3）证明见解析
故答案为： ．
【点睛】本题考查考查正弦定理，考查诱导公式、两角和的正弦公式，在三角形与三角函数综合问题中，出现边的齐次式时，常常正弦定理化边为角，然后由三角函数恒等变换公式化简变形．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15。已知 为锐角， ， .
故 在 处取得极大值，也是最大值。
所以，当 满足 时,函数 即 取得最大值,此时招贴画最优美。
【点睛】本题考查三角函数的应用，考查导数的实际应用，用导数求函数的最值．解题关键用分类讨论的方法求出弦的半径和 ．
19。如果无穷数列｛an｝满足条件：① ；② 存在实数M,使得an≤M，其中n∈N＊，那么我们称数列{an}为Ω数列.
故答案为： ．
【点睛】本题考查求等差数列的通项公式,考查等差数列的前 项和公式，解题方法是基本量法，即用 和 表示已知并求出，再由 和 解决其他问题．
江苏省如皋市2019~2020学年高三第二学期第三次模拟考试数学试卷(PDF含解析)2020.5
江苏省如皋市2019~2020学年高三第二学期第三次模拟考试
参考答案
1．212．{1,2,4}3
．738
4．615．186．1422
=-y x 7．),2()1,(+∞--∞ 8．329．1或2510．2
11．【答案】9【解析】法一xy
z y x 21≥-
=+12．【答案】)
3,0(【解析】)sin(1cos sin )(2ϕωωω++=+=x a x x a x f (其中1cos 2+a a
ϕ，11
sin 2+a ϕ)
13．【答案】3
3,21(江苏省如皋市2019~2020学年高三第二学期第三次模拟考试
13．【答案】—3
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时，应写出文字说明、证明过程或是演算步骤
15、（本小题满足14分）
16、（本小题满足14分）
17、（本小题满足14分）
18、（本小题满足14分）
19、（本小题满足14分）
20、（本小题满足14分）
数学II卷（40分附加题）21、A【选修4-2矩阵与证明】
B【选修4-4坐标系与参数方程】
22、（本小题满足10分）
23、（本小题满足10分）。
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2020届高三全真模拟试题（一）
数学
参考公式：
样本数据12,,,n x x x ⋯的方差()2211
n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑. 柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.
锥体的体积13
V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．
. 1.已知集合{}1,0,2A =-，{}22x B x =≤，则A B =I _______ 2.复数()2i a i -的模为2，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是_______
3.如图是某算法的伪代码，则输出的S 的值是_______
4.已知一组数据1，3，5，7，9，则该组数据的方差是_______
5.函数()221,1log ,1
x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩，则()()1f f -=_______ 6.因疫情需要，从A 地区3名主治医师和2名护士中任选3人参加B 地区救治援助，则选出的3人中至少有1名护士的概率是_______
7.已知抛物线2
20y x =的焦点与双曲线()22
2109x y a a -=>的右焦点重合，则该双曲线的渐近线方程是_______
8.已知数列*{}()n a n N ∈是等差数列，n S 是其前n 项和.若156913,18a a a S +==，则{}n a 的通项公式
=n a _______
9.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1AD 的中点，则三棱锥M ACD -的体积是_______
10.已知P 为指数函数()x f x e =图象上一点，Q 为直线1y x =-上一点，则线段PQ 长度的最小值是_______
11.定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x π+=，且当[0,]x π∈时，0()1<<f x ；当(0,)x π∈且2x π
≠时，有2x π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
()0f x '>，则函数()sin y f x x =-在[2,2]x ππ∈-是的零点个数是_______ 12.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的焦距为2，设A (－2，0)，F 为椭圆C 的左焦点.若椭圆C 上存在点P ，满足PA PF
＝2，则椭圆C 离心率的取值范围是______ 13.圆的内接正六边形123456A A A A A A 的边长为1，若P 为弓形34A A 内任意一点（如图所示的阴影部分，含
边界），则136A A A P ⋅u u u u r u u u u r 的取值范围是_______ 14.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos 9c a B b A -=
，则cos cos cos a A b B a B
+的最小值是_______ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知,αβ为锐角，4sin 5α=
，5cos()αβ+=. （1）求cos β值；
（2）求()tan 2αβ-的值.
16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，,M N 分别为,AC AB
的
中点，点P 是1AA 上一点，
且1CP C M ⊥.
（1）求证：//BC 平面1C MN ；
（2）求证：平面PCB ⊥平面1C MN .
17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22
，左焦点(2,0)F -. （1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线y x m =+与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且线段AB 的中点M 关于直线1y x =+的对称点N 在圆221x y +=上，求实数m 的值. 18.如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD 是边长为2a 的正方形，周围是四个全等的弓形.已知O 为正方形的中心，G 为AD 的中点，点P 在直线OG 上，弧AD 是以P 为圆心、PA 为半径的圆的一部分，OG 的延长线
交弧AD 于点H .设弧AD 的长为l ，3()44APH θθππ∠=∈,
,.
（1）求l 关于θ的函数关系式；
（2）定义比值OP l
为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美.证明：当角θ满足：tan()4θθπ
=-时，招贴画最优美.
19.如果无穷数列{a n }满足条件：①
212
n n n a a a +++≤；② 存在实数M ，使得a n ≤M ，其中n ∈N *，那么我们称数列{a n }为Ω数列. （1）设数列{b n }的通项为b n ＝20n －2n ，且是Ω数列，求M 的取值范围；
（2）设{c n }是各项为正数
的等比数列，S n 是其前n 项和，c 3＝14，S 3＝74
，证明：数列{S n }是Ω数列； （3）设数列{d n }是各项均为正整数的Ω数列，求证：d n
≤d n ＋1.
20.已知函数2()ln ()f x ax x a R =+∈
（1）若1a =-，求()f x 的最大值；
（2）如果函数12(),(),()g x f x f x 在公共定义域D 上，满足12()()()f x g x f x <<，那么就称()g x 为
12(),()f x f x 的“伴随函数”.已知函数2211()()2(1)ln 2
f x a x ax a x =-++-，221()22f x x ax =+.若在区间(1,)+∞上，函数()f x 是12(),()f x f x 的“伴随函数”，求实数a 的取值范围；
（3）若1a =，正实数12,x x 满足121212()()++0f x f x x x x x ++=，证明：1212x x +≥
. 21.已知矩阵1031⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，向量18β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
.求向量α，使得2A αβ=. 22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2112x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），若以直角坐标系xOy 的O 点为极
点，Ox 所在直线为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为)4πρθ=-
. （1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的长度.
23.某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是13
，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立. （1）求该学生考上大学的概率.
（2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X ，求X 的概率分布及X 的数学期望.
24.记11(1)2x x x n ⎛⎫⎛⎫+⋅+
⋯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(2n ≥且*n N ∈)的展开式中含x 项的系数为n S ,含2x 项的系数为n T . （1）求n S ; （2）若2n n
T an bn c S =++,对n ＝2,3,4成立,求实数,,a b c 的值; （3）对（2）中的实数,,a b c ,用数学归纳法证明:对任意2n ≥且*2,n n
T n N an bn c S ∈=++都成立.。