2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模数学试题(word无答案)
江苏省南通市如皋市2020届高三数学下学期二模考试试题含解析
故 ，得 ．
所以 ，椭圆 的方程为 ．
（2）依题意，左焦点 ，设直线 ： , ， ， ．
联立方程组 整理得 ，
所以 , ．
因为直线 ， ， 的斜率之和为0,所以 ，
即 ，整理得 ,
即 ，解得 ．
所以直线 的方程为 ．
（3)若直线 的斜率不存在， ；
若直线 的斜率存在，由（2）可得
,
又 ，直线 的斜率为 ， ,
所以 ．
故 ，
令 ，则 ，
故
当 时， , ,
所以 ．
显然， ,
所以 的最小值为2．
【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系,考查椭圆中的最值问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19.已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数.
所以 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查集合 交、并、补运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题。
2.若复数 满足 （ 为虚数单位）,则 ______________．
【答案】
【解析】
由 ，得 ，则 ,故答案为 。
3.某工厂为了了解一批产品 净重（单位：克）情况，从中随机抽测了100件产品的净重，所得数据均在区间[96，106]中,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的100件产品中，净重在区间 上的产品件数是．
所以 平面 ，所以 ,
所以 ,
因为 ，所以 .
所以 ,
所以点 就是外接球的球心。
所以外接球的半径为 。
所以外接球的表面积为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查几何体的外接球表面积的计算问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平。
江苏省南通市2020届高三数学第二次调研测试试题
江苏省南通市2020届高三数学第二次调研测试一试题江苏省南通市 2020 届高三数学第二次调研测试一试题注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共 4 页，包含填空题（共14 题）、解答题（共 6 题），满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。
考试结束后，请将答题卡交回。
2．答题前，请您务势必自己的姓名、考试证号等用书写黑色笔迹的0.5 毫米署名笔填写在答题卡上。
3．作答试题一定用书写黑色笔迹的0.5 毫米署名笔写在答题卡上的指定地点，在其他位置作答一律无效。
若有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描绘清楚。
参照公式：柱体的体积公式V柱体Sh ，此中S为柱体的底面积，h为高．一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，合计 70 分．请把答案填写在答题卡相应地点上．．．．．．．．．1．已知会合 U1，0 ，1，2，3 ，A1，0 ，2，则 e U A▲ ．2．已知复数 z1a i ，z2z13 4 i ，此中i为虚数单位．若z为纯虚数，则实数a的值为▲ ．23．某班 40 名学生参加普法知识比赛，成绩都在区间40，100 上，其频次散布直方图如下图，则成绩不低于60 分的人数为▲．开始S←1频次i ←1组距i← i1S←S× 5i < 4YN40506070 8090100成绩 /分输出 S（第 3题）结束（第4题）4．如图是一个算法流程图，则输出的S的值为▲．5．在长为 12 cm 的线段AB上任取一点C，以线段AC， BC为邻边作矩形，则该矩形的面积大于 32 cm2的概率为▲ ．6．在△ABC中，已知 AB1，AC 2 ，B45 ，则BC的长为▲ ．江苏省南通市2020届高三数学第二次调研测试一试题27． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2y有公共的渐近线，且经过点 x13P 2， 3 ，则双曲线 C 的焦距为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知角 ， 的始边均为 x 轴的非负半轴，终边分别经过点A (1 ，2 ) ，B ( 5 ，1) ，则 tan() 的值为▲ ．9． 设等比数列 a n 的前 n 项和为 S n ．若 S 3 ，S 9 ，S 6 成等差数列， 且 a 8 3 ，则a 5 的值为▲ ．10．已知 a ，b ，c 均为正数，且 abc 4( a b ) ，则 a b c 的最小值为▲ ．x ≤ 3 ，11．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆 C 上的点都在不等式组x 3y 3≥ 0 ， 表示的平面地区 x3y 3 ≥ 0内，则面积最大的圆C 的标准方程为 ▲ ．12．设函数 f ( x)exx31 ，x 0 ，3 个不一样的零点，则实数2（此中 e 为自然对数的底数）有 3mx 2 ，x ≤ 0m 的取值范围是▲ ．13．在平面四边形 ABCD 中，已知 AB 1，BC4 ，CD 2 ，DA uuur uuur3，则 AC BD 的值为 ▲ ．14．已知 a 为常数，函数x的最小值为2f ( x)23 ，则 a 的全部值为▲ ．x 1 x 2a二、解答题： 本大题共 6 小题，合计 90 分．请在答题卡指定地区 内作答． 解答时应写出文字说明、．．．．．．．证明过程或演算步骤．15．（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量acos ，sin，， cos， 1 ，3．bsinc2 2 （1）若 a bc ，求 sin () 的值；（2）设5π， 0 π，且 a //b c，求的值．616．（本小题满分 14 分）如图，在三棱柱111中，AB，点 ， F 分别在棱 1，1上（均异于ABC ABCACEBBCC端点），且∠ ABE ∠ ACF ， AE ⊥ BB 1， AF ⊥ CC 1． AC求证：（ 1）平面 AEF ⊥平面 BBCC ；BF11E（2）BC //平面AEF．17．（本小题满分14 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，1， 2 是椭圆x2y21( a b 0 ) 的短轴端点，P是B Bb2a 2椭圆上异于点 B ， B 的一动点．当直线PB 的方程为y x 3时，线段 PB 的长为4 2．1211（1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q知足：1122．求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．QB PB， QB PByB1QO xPB2（第 17 题）18．（本小题满分16 分）2将一铁块高温消融后制成一张厚度忽视不计、面积为 100 dm 的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l 1，l 2裁剪成 A， B，C三个矩形（ B，C全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以l1为母线，将 A 作为圆柱的侧面睁开图，并从B， C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以l1为侧棱，将 A 作为正四棱柱的侧面睁开图，并从B， C中各裁剪出一个正方形（各边分别与l1或 l2垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；江苏省南通市2020届高三数学第二次调研测试一试题（ 2）设 l1的长为x dm，则当 x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？l1BAl 2C（第 18 题）19．（本小题满分16 分）设等比数列1， 2， 3， 4 的公比为，等差数列b 1，2，3， 4 的公差为，且q 1，d 0．a a a a qb b b d 记c i a i b i（i1，2， 3， 4）．（ 1）求证：数列c1，c2，c3不是等差数列；（ 2）设a11，q 2．若数列，，是等比数列，求b2对于 d 的函数关系式及其定义域；c1 c2c3（ 3）数列 c1，c2，c3，c4可否为等比数列？并说明原因．20．（本小题满分16 分）设函数 f ( x )x asin x ( a0 )．（1）若函数y f ( x ) 是R上的单一增函数，务实数a 的取值范围；（2）设a 1 ，g ( x )2f ( x ) b ln x 1 ( b R ，b0 )，g ( x ) 是g( x ) 的导函数．① 若对随意的x0 ，g ( x )0 ，求证：存在x0，使 g( x0)0 ；②若 g ( x1 )g ( x2) ( x1x2)，求证：x1 x24b 2．江苏省南通市2020届高三数学第二次调研测试一试题（附带题）注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求1． 本试卷共 2 页，均为非选择题（第21~23 题）。
江苏省如皋市2019—2020学年高三年级第二学期调研试题(二)数学(WORD版含解析)
江苏省如皋市2019—2020学年高三第二学期4月模拟卷（二）数学试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．设全集U ＝Z ，集合A ＝{0，2，3}，B ＝{}22x Z x x ∈-<，A I (U B ð)＝． 2．若复数z 满足2ii iz ++=，其中i 为虚数单位，则z ＝ ． 3．某工厂为了了解一批产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了100件产品的净重，所得数据均在区间[96，106]中， 其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100件产品中，净重在区间[100，104)上的产品件数是 ．4．某医院欲从积极扱名的甲、乙、丙、丁4名医生中选择2人去支援武汉抗击“新型冠状病毒”，若毎名医生被选择的机会均等，则甲、乙2人中至少有1人被选择的概率为 ． 5．执行右边的伪代码后，输出的结果是 ．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，设过右焦点F 2且与x 轴垂直的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若△F 1AB 是正三角形，则双曲线C 的离心率为 ． 7．已知函数()sin()f x x ωϕ=+(ω＞0)，将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于 ． 8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121223a a a a =+，且34S ，43S ，52S 成等差数列，则满足不等式40392020n n S a >的n 的最小值为 ．9．在三棱锥P —ABC 中，AB ⊥平面PAC ，PC ＝AB ＝2AC ＝2，PA接球O 的表面积为 ．10．已知实数x ，y 满足条件05040x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若不等式233128mx y x y ≤+恒成立，则实数m的最大值是 ．11．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ．已知AC ＝BC ，AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，且O 是AC 的中点，若AD AB CD CB 2⋅-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AC BD ⋅u u u r u u u r的值为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知MN 在圆C ：22(2)4x y -+=上运动，且MN＝若直线l ：30kx y -+=上的任意一点P 都满足22PM PN +≥14，则实数k 的取值范围是 ．13．已知函数2220()103x x ax a x f x e ex a x x⎧++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，，，若存在实数k ，使得函数()y f x k =-有6个零点，则实数a 的取值范围为 ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若CD 是边AB 上的中线，且CD＝CA ，则cos A cos Bb a +的最小值为 ． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b sinA ＝a cos(B ﹣6π)． （1）求角B 的大小；（2）若a ＝2，c ＝3，求cos(A ﹣B)的值．16．（本小题满分14分）在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝BB 1，且∠ABB 1＝60°，D 为AC 的中点． （1）求证：B 1C ∥平面A 1BD ； （2）求证：AB ⊥B 1C ．17．（本小题满分14分）现有一块废弃的半圆形钢板，其右下角一小部分因生锈无法使用，其形状如图所示，已知该钢板的圆心为O，线段AOB为其下沿，且OA＝2m，OB m．现欲从中截取一个四边形AMPQ，其要求如下：点P，Q均在圆弧上，AP平分∠QAB，且PM⊥OB，垂足M 在边OB上．设∠QAB＝θ，四边形AMPQ的面积为S(θ)m2．（1）求S(θ)关于θ的函数解析式，并写出其定义域；（2）当cosθ为何值时，四边形AMPQ的面积最大?18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22221x ya b+=(a＞b＞0)的焦距为2，且经过点(﹣1，2)，过左焦点F且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于点A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线OA，OB，AB的斜率之和为0，求直线l的方程；（3）设弦AB的垂直平分线分别与直线l，椭圆C的右准线m交于点M，N，求MN AB的最小值．19．（本小题满分16分）已知函数1()ln 1f x a x x=+-，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数． （1）若a ＝l ，求函数()f x 在x ＝1处的切线方程；（2）若函数()f x 在定义域上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围；（3）设函数1()()xg x e f x x=+-在区间(0，a e -)上存在极值，求证：11a a e a --+>+．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，设2nn n a b =． （1）若4121n nS n a -=+，记数列{}n b 的前n 项和为n T ．①求证：数列{}n a 为等差数列；②若不等式n nT a λ+≥3对任意的n N *∈都成立，求实数λ的最小值；（2）若n a ＞0，且112n n S a ++≥，是否存在正整数k ，使得无穷数列1k b +，2k b +，3k b +，…成公差不为0的等差数列？若存在，给出数列{}n a 的一个通项公式；若不存在，请说明理由．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B 两小题，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝ 2 11 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ＝1 10 1⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求矩阵C ，使得AC ＝B ．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求直线6πθ=(ρ∈R)被曲线4sin()6πρθ=+所截得的弦长．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上一点，m )到准线的距离与到原点O 的距离相等．（1）求抛物线的方程；（2）过不在y 轴上的点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，若OP ⊥AB ，求证：直线AB 过定点． 23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 的首项11a >，且211n n n a a a +=-，n N *∈．（1）求2a 的最小值； （2）求证：2115222nk k a n n =>+-∑．。
江苏省如皋中学2020届高三数学模拟试题二
点 P,Q ，使得 POQ 是以 O （ O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点
在 y 轴上？请说明理由．
模拟练习二第3页
附加题（共 40 分） 1.已知矩阵 A＝12 11，向量 β＝12．求向量 α，使得 A2α＝β．
2.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
x= 1t 2
x + y + x2 + y2 2 xy + 2xy = (2 + 2 ) xy ，所以，
△ ECF的面积 S
=
1 xy 2
1 a 2 2 +
2
2
=
3−2 4
2 a2
当且仅当 x = y = 2 − 2 a 时等号成立，故景观带面积的最大值为 3 − 2 2 a2
2
4
（2）记 EAD = ,FAB = ， , (0, ), + (0, ) ,则 tan = 1− x, tan = 1− y
x
+
2y
的最大值是
．
y
−1
k ←1 S0
7.执行如图所示的流程图，则输出 S 的值为
．
8.已知直线 l 、 m 与平面 、 ， l , m ，则下列命题中正确的
命题是
（填写正确命题对应的序号）．
k ≤ 20 ？Y
①若 l / /m ，则 / /
②若 l ⊥ m ，则 ⊥
S S + 2k
③若 l ⊥ ，则 ⊥
④若 ⊥ ，则 m ⊥
9.已知 cos( + ) = − 10 ， (0, ) ，则 sin(2 − ) =
．
4
10
2
【附加15套高考模拟试卷】江苏省南通市2020届高三下学期第二次调研测试数学试题含答案
江苏省南通市2020届高三下学期第二次调研测试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于命题的说法错误的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”B ．已知函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的，则命题“若()()0f a f b <，则()f x 在区间(),a b 内至少有一个零点”的逆命题为假命题C ．命题“x R ∃∈,使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++≥”D ．“若0x 为()y f x =的极值点，则()00f x '=”的逆命题为真命题2．高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为123100,,,,x x x x L，它们的平均数为x ，方差为2s ；其中扫码支付使用的人数分别为132x +，232x +，332x +，L ，10032x +，它们的平均数为x '，方差为2s '，则x '，2s '分别为（ ）A ．32x +，232s +B ．3x ，23sC ．32x +，29s D ．32x +，292s +3．如图，在ABC △中，AD AB ⊥，3BC BD =u u u r u u u r ，||1AD =u u u r ，则AC AD ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．23B ．32C ．33 D ．34．.一个空间几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则它的外接球的表面积为( ）A ．4πB ．1123πC ．283πD ．16π5．阅读如图的程序框图，当程序运行后，输出S 的值为( )A ．57B ．119C ．120D ．2476．已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上两点，，则的中点到准线的距离为（ ） A ．B ．2C ．3D ．47．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ）A ．65B ．184C ．183D ．1768． “牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上（图1），好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如（图2）所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图与侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（ ）A ．,a bB ．,a cC ．,c bD ．,b d9．在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，22AC =PB ⊥面ABC ，M ，N ，Q 分别为AC ，PB ，AB 的中点，3MN =，则异面直线PQ 与MN 所成角的余弦值为（ ）A ．105B．155C．35D．4510．已知数列{}n a和{}n b的前n项和分别为n S和n T，且0na>，2*634()n n nS a a n N=+-∈,()()1111nn nba a+=--，若对任意的n*∈N,nk T>恒成立，则的最小值为（）A．13B．19C．112D．11511．设a b，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若a b，与α所成的角相等，则a b∥B．若aαβ∥，b∥，αβ∥，则a b∥C．若a b a bαβ⊂⊂P，，，则αβ∥D．若a bαβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b⊥r r12．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的24n=，则p的值可以是( )(参考数据: sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈，sin3.750.0654︒≈)A．2.6B．3C．3.1D．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届江苏省南通市高三下学期二模考前综合练习数学试题(解析版)
2020届江苏省南通市高三下学期二模考前综合练习数学试题一、填空题1．记复数z ＝a +bi （i 为虚数单位）的共轭复数为()z a bi a b R =-∈，，已知z ＝2+i ，则2z =_____． 【答案】3﹣4i【解析】计算得到z 2＝（2+i ）2＝3+4i ，再计算2z 得到答案. 【详解】∵z ＝2+i ，∴z 2＝（2+i ）2＝3+4i ，则234z i =-． 故答案为：3﹣4i ． 【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，意在考查学生的计算能力.2．已知集合U ＝{1,3,5,9}，A ＝{1,3,9}，B ＝{1,9}，则∁U (A ∪B)＝________. 【答案】{5}【解析】易得A ∪B ＝A ＝{1,3,9}，则∁U (A ∪B)＝{5}．3．某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为_____． 【答案】30【解析】直接根据分层抽样的比例关系得到答案. 【详解】分层抽样的抽取比例为801160020=，∴抽取学生的人数为600120⨯=30． 故答案为：30． 【点睛】本题考查了分层抽样的计算，属于简单题.4．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P （1，2），则sin （π﹣α）的值是_____．【解析】计算sinα25y r ==，再利用诱导公式计算得到答案. 【详解】由题意可得x ＝1，y ＝2，r 5=，∴sinα25y r ==，∴sin （π﹣α）＝sinα25=． 故答案为：25． 【点睛】本题考查了三角函数定义，诱导公式，意在考查学生的计算能力. 5．执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是：_____．【答案】28【解析】根据程序框图直接计算得到答案. 【详解】程序在运行过程中各变量的取值如下所示：是否继续循环 i x 循环前 1 4 第一圈 是 4 4+2 第二圈 是 7 4+2+8 第三圈 是 10 4+2+8+14退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：28 故答案为：28． 【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.6．设α、β为互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若m ∥n ，则m ∥α；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ；④若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，m ⊥n ，则n ⊥β；其中正确命题的序号为_____． 【答案】④【解析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案. 【详解】对于①，当m ∥n 时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出m ∥α，①错误； 对于②，当m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β时，由两平面平行的判定定理，不能得出α∥β，②错误；对于③，当α∥β，且m ⊂α，n ⊂β时，由两平面平行的性质定理，不能得出m ∥n ，③错误；对于④，当α⊥β，且α∩β＝m ，n ⊂α，m ⊥n 时，由两平面垂直的性质定理，能够得出n ⊥β，④正确；综上知，正确命题的序号是④． 故答案为：④． 【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.7．已知函数f(x)＝若关于x 的方程f(x)＝kx 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________． 【答案】【解析】由图可知，当直线y ＝kx 在直线OA 与x 轴(不含它们)之间时，y ＝kx 与y ＝f(x)的图像有两个不同交点，即方程有两个不相同的实根．8．已知关于x 的不等式（ax ﹣a 2﹣4）（x ﹣4）＞0的解集为A ，且A 中共含有n 个整数，则当n 最小时实数a 的值为_____． 【答案】-2【解析】讨论0,0,0a a a <=>三种情况，a ＜0时,根据均值不等式得到a 4a+=-（﹣a 4a-）≤﹣=-4，计算等号成立的条件得到答案. 【详解】已知关于x 的不等式（ax ﹣a 2﹣4）（x ﹣4）＞0， ①a ＜0时，[x ﹣（a 4a +）]（x ﹣4）＜0，其中a 4a+＜0， 故解集为（a 4a+，4），由于a 4a +=-（﹣a 4a-）≤﹣=-4，当且仅当﹣a 4a=-，即a ＝﹣2时取等号， ∴a 4a+的最大值为﹣4，当且仅当a 4a +=-4时，A 中共含有最少个整数，此时实数a的值为﹣2；②a ＝0时，﹣4（x ﹣4）＞0，解集为（﹣∞，4），整数解有无穷多，故a ＝0不符合条件；③a ＞0时，[x ﹣（a 4a+）]（x ﹣4）＞0，其中a 4a +≥4，∴故解集为（﹣∞，4）∪（a 4a+，+∞），整数解有无穷多，故a ＞0不符合条件；综上所述，a ＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查了解不等式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.9．已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的两个焦点为10F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、20F ⎫⎪⎪⎝⎭，点P 是第一象限内双曲线上的点，且1212tan PF F ∠=，tan ∠PF 2F 1＝﹣2，则双曲线的离心率为_____．【解析】根据正弦定理得1212122PF sin PF F PF sin PF F ∠==∠，根据余弦定理得2212PF PF +-2PF 1•PF 2cos ∠F 1PF 2212F F ==3，联立方程得到1233PF PF ==，计算得到答案. 【详解】∵△PF 1F 2中，sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 1F 2∴由正弦定理得1212122PF sin PF F PF sin PF F ∠==∠，① 又∵1212tan PF F ∠=，tan ∠PF 2F 1＝﹣2， ∴tan ∠F 1PF 2＝﹣tan （∠PF 2F 1+∠PF 1F 2）123214122-=-=+⨯，可得cos ∠F 1PF 245=， △PF 1F 2中用余弦定理，得2212PF PF +-2PF 1•PF 2cos ∠F 1PF 2212F F ==3，②①②联解，得1233PF PF ==，可得123PF PF -=， ∴双曲线的2a =，结合2c =，得离心率22c e a ==.. 【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.10．记S k ＝1k +2k +3k +……+n k ，当k ＝1，2，3，……时，观察下列等式：S 112=n 212+n ，S 213=n 312+n 216+n ，S 314=n 412+n 314+n 2，……S 5＝An 612+n 5512+n 4+Bn 2，…可以推测，A ﹣B ＝_____． 【答案】14【解析】观察知各等式右边各项的系数和为1，最高次项的系数为该项次数的倒数，据此计算得到答案. 【详解】根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1， 最高次项的系数为该项次数的倒数， ∴A 16=，A 15212B +++=1，解得B 112=-，所以A ﹣B 1116124=+=．故答案为：14． 【点睛】本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力.11．设函数()||f x x x a =-，若对于任意的1x ，2x ∈[2，)+∞，1x ≠2x ，不等式1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【答案】2a ≤【解析】试题分析：由题意得函数()||f x x x a =-在[2，)+∞上单调递增，当2a ≤时()()f x x x a =-在[2，)+∞上单调递增；当2a >时()||f x x x a =-在[,)a +∞上单调递增；在[2,)a 上单调递减，因此实数a 的取值范围是2a ≤ 【考点】函数单调性12．已知平面向量a r，b r，c r 满足|a r|＝1，|b r|＝2，a r，b r的夹角等于3π，且（a c -r r ）•（b c -r r ）＝0，则|c r|的取值范围是_____．【答案】22⎣⎦， 【解析】计算得到|a b +r r|=2c =r c r |cosα﹣1，解得cosα2=r ，根据三角函数的有界性计算范围得到答案. 【详解】由（a c -r r）•（b c -rr ）＝0 可得 2c =r （a b +rr）•c a b -⋅=r r |a b +rr|•|c r|cosα﹣1×2cos3π=|a b +r r |•|c r |cosα﹣1，α为a b +r r 与c r 的夹角．再由 ()222a ba b +=++r r r r 2a r •b =r 1+4+2×1×2cos 3π=7 可得|a b +r r|=∴2c =r c r |cosα﹣1，解得cosα2=r ．∵0≤α≤π，∴﹣1≤cosα≤1，2≤r 1，即2c -r c r |+1≤0，解得2≤|c r|2≤，故答案为⎣⎦． 【点睛】本题考查了向量模的范围，意在考查学生的计算能力，利用三角函数的有界性是解题的关键.13．在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆()22211x y a a+=＞上，其中A （0，1）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为278，则实数a 的值为_____． 【答案】3【解析】设直线AB 的方程为y ＝kx +1，则直线AC 的方程可设为y 1k=-x +1，（k ≠0），联立方程得到B （22221a k a k -+，222211a k a k -+），故S 442221211a k ka a k k +=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，令t 1k k =+，得S 42222(1)a a a t t=-+，利用均值不等式得到答案. 【详解】设直线AB 的方程为y ＝kx +1，则直线AC 的方程可设为y 1k=-x +1，（k ≠0） 由22211y kx x y a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得（1+a 2k 2）x 2+2a 2kx ＝0，所以x ＝0或x 22221a k a k -=+ ∵A 的坐标（0，1），∴B 的坐标为（22221a k a k -+，k •22221a k a k -++1），即B （22221a k a k -+，222211a k a k-+）， 因此AB ==22221a k a k+， 同理可得：AC =•22221a kak+. ∴Rt △ABC 的面积为S12=AB•AC2212kk=++•44422422221221111a ka ka a k a a kk k+=⎛⎫⎛⎫++++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令t1kk=+，得S()4422422222(1)12a t aaa a t a tt==-++-+.∵t1kk=+≥2，∴S△ABC442222(1)(1)2aa aaa tt≤=--⨯.当且仅当2a tt=，即t21aa-=时，△ABC的面积S有最大值为4227(1)8aa a=-. 解之得a＝3或a3297+=.∵a3297+=时，t21aa-=＜2不符合题意，∴a＝3.故答案为：3.【点睛】本题考查了椭圆内三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 14．设f（x）＝e tx（t＞0），过点P（t，0）且平行于y轴的直线与曲线C：y＝f（x）的交点为Q，曲线C过点Q的切线交x轴于点R，若S（1，f（1）），则△PRS的面积的最小值是_____．【答案】2e【解析】计算R（t1t-，0），PR＝t﹣（t1t-）1t=，△PRS的面积为S2t et=，导数S ′()212t e t t-=，由S ′＝0得t ＝1，根据函数的单调性得到最值.【详解】∵PQ ∥y 轴，P （t ，0），∴Q （t ，f （t ））即Q （t ，2t e ），又f （x ）＝e tx （t ＞0）的导数f ′（x ）＝te tx ，∴过Q 的切线斜率k ＝t 2t e ，设R （r ，0），则k 220t t e tet r-==-，∴r ＝t 1t -， 即R （t 1t -，0），PR ＝t ﹣（t 1t -）1t=，又S （1，f （1））即S （1，e t），∴△PRS 的面积为S 2te t=，导数S ′()212t e t t-=，由S ′＝0得t ＝1，当t ＞1时，S ′＞0，当0＜t ＜1时，S ′＜0，∴t ＝1为极小值点，也为最小值点， ∴△PRS 的面积的最小值为2e ． 故答案为：2e ． 【点睛】本题考查了利用导数求面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.二、解答题15．在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若()31sin ,tan 53A AB =-=，角C 为钝角， 5.b = （1）求sin B 的值； （2）求边c 的长.【答案】（1）10sin 10B =（2）13c = 【解析】（1）由()sin sin B A A B ⎡⎤=--⎣⎦，分别求得sin cos A A ，，()()sin cos A B A B --，得到答案；（2）利用正弦定理sin sin a Ab B=得到 310a =，利用余弦定理解出13c =． 【详解】(1)因为角C 为钝角，3sin 5A = ，所以24cos 1sin 5A A =-= ， 又()1tan 3AB -= ，所以02A B π<-< ， 且()()sin ,cos 1010A B A B -=-= ， 所以()()()sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A A B ⎡⎤=--=---⎣⎦3455101010=⨯-⨯= . (2)因为sin 310sin 5a Ab B ==，且5b = ，所以310a = ， 又()cos cos cos cos sin sin 510C A B A B A B =-+=-+=-， 则2222cos 952523105169510c a b ab C ⎛=+-=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭ ，所以 13c = .16．如图，四棱锥V ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 交于点O ，VO ⊥平面ABCD ，E 是棱VC 的中点．（1）求证：VA ∥平面BDE ； （2）求证：平面VAC ⊥平面BDE ．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）连结OE ，证明VA ∥OE 得到答案.（2）证明VO ⊥BD ，BD ⊥AC ，得到BD ⊥平面VAC ，得到证明. 【详解】（1）连结OE ．因为底面ABCD 是菱形，所以O 为AC 的中点，又因为E 是棱VC 的中点，所以VA ∥OE ，又因为OE ⊂平面BDE ，VA ⊄平面BDE ， 所以VA ∥平面BDE ；（2）因为VO ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以VO ⊥BD ，因为底面ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC ，又VO ∩AC ＝O ，VO ，AC ⊂平面VAC ， 所以BD ⊥平面VAC ．又因为BD ⊂平面BDE ，所以平面VAC ⊥平面BDE ．【点睛】本题考查了线面平行，面面垂直，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.17．已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x +3y ﹣29＝0相切．（1）求圆的方程；（2）设直线ax ﹣y +5＝0（a ＞0）与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点P （﹣2，4），若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（x ﹣1）2+y 2＝25．（2）（512+∞，）．（3）存在，34a = 【解析】（1）设圆心为M （m ，0），根据相切得到42955m -=，计算得到答案.（2）把直线ax ﹣y +5＝0，代入圆的方程，计算△＝4（5a ﹣1）2﹣4（a 2+1）＞0得到答案.（3）l 的方程为()124y x a=-++，即x +ay +2﹣4a ＝0，过点M （1，0），计算得到答案. 【详解】（1）设圆心为M （m ，0）（m ∈Z ）．由于圆与直线4x +3y ﹣29＝0相切，且半径为5，所以42955m-=，即|4m﹣29|＝25．因为m为整数，故m＝1．故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2＝25．（2）把直线ax﹣y+5＝0，即y＝ax+5，代入圆的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1＝0，由于直线ax﹣y+5＝0交圆于A，B两点，故△＝4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a512＞，所以实数a的取值范围是（512+∞，）．（3）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为1a-，l的方程为()124y xa=-++，即x+ay+2﹣4a＝0，由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，所以1+0+2﹣4a＝0，解得34a=．由于35412⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，，故存在实数34a=使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.18．如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m和20m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD＝60°．（1）求BC的长度；（2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的视角分别为∠APB＝α，∠DPC＝β，问点P在何处时，α+β最小？【答案】（1）103m；（2）当BP为202103t=时，α+β取得最小值．【解析】（1）作AE⊥CD，垂足为E，则CE＝10，DE＝10，设BC＝x，根据()2tan CAD tan CAE∠=∠232010030x x--=，解得答案.（2）设BP＝t，则(1030103CP t t=＜＜，故()210103103200ttant tαβ+=-+-，设()f t =，求导得到函数单调性，得到最值.【详解】（1）作AE ⊥CD ，垂足为E ，则CE ＝10，DE ＝10，设BC ＝x ，则()22202210011tan CAEx tan CAD tan CAE tan CAE x ∠∠=∠===-∠-2200x --=，解之得，x =x =（舍）， （2）设BP ＝t，则(0CP t t =＜＜， ()101t tan t αβ+===-设()f t =，()2'200f t t =-+-，令f '（t ）＝0，因为0t＜＜t =，当(0t ∈，时，f '（t ）＜0，f （t ）是减函数；当(t ∈时，f '（t ）＞0，f （t ）是增函数，所以，当t =f （t ）取得最小值，即tan （α+β）取得最小值， 因为22000t -+-＜恒成立，所以f （t ）＜0，所以tan （α+β）＜0，2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，因为y ＝tanx 在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上是增函数，所以当t =时，α+β取得最小值．【点睛】本题考查了三角恒等变换，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19．设首项为1的正项数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{}2na 的前n 项和为T n，且()243n n S p T --=，其中p 为常数．（1）求p 的值；（2）求证：数列{a n }为等比数列；（3）证明：“数列a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“x ＝1，且y ＝2”．【答案】（1）p ＝2；（2）见解析（3）见解析 【解析】（1）取n ＝1时，由()24113p --=得p ＝0或2，计算排除p ＝0的情况得到答案.（2）241(2)33n n T S =--，则21141(2)33n n T S ++=--，相减得到3a n +1＝4﹣S n +1﹣S n ，再化简得到2112n n a a ++=，得到证明.（3）分别证明充分性和必要性，假设a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列，其中x 、y 均为整数，计算化简得2x ﹣2y ﹣2＝1，设k ＝x ﹣（y ﹣2），计算得到k ＝1，得到答案. 【详解】（1）n ＝1时，由()24113p --=得p ＝0或2，若p ＝0时，243n n S T -=，当n ＝2时，()22224113a a-++=，解得a 2＝0或212a =-，而a n ＞0，所以p ＝0不符合题意，故p ＝2； （2）当p ＝2时，241(2)33n n T S =--①，则21141(2)33n n T S ++=--②， ②﹣①并化简得3a n +1＝4﹣S n +1﹣S n ③，则3a n +2＝4﹣S n +2﹣S n +1④， ④﹣③得2112n n a a ++=（n ∈N ）， 又因为2112a a =，所以数列{a n }是等比数列，且112n n a -=； （3）充分性：若x ＝1，y ＝2，由112n n a -=知a n ，2x a n +1，2y a n +2依次为112n -，22n ，142n +， 满足112142222n n n -+⨯=+，即a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列；必要性：假设a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列，其中x 、y 均为整数，又112n n a -=，所以11111222222x y n n n -+⋅⋅=+⋅，化简得2x ﹣2y ﹣2＝1，显然x ＞y ﹣2，设k ＝x ﹣（y ﹣2），因为x 、y 均为整数，所以当k ≥2时，2x ﹣2y ﹣2＞1或2x ﹣2y ﹣2＜1， 故当k ＝1，且当x ＝1，且y ﹣2＝0时上式成立，即证． 【点睛】本题考查了根据数列求参数，证明等比数列，充要条件，意在考查学生的综合应用能力. 20．（本小题满分16分）已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，123,,x x x ∈R ，且123x x x <<．（1）当123012x x x ===，，时，求函数()f x 的减区间； （2）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根； （3）若方程()0f x '=的两个实数根是()αβαβ<，，试比较122x x +，232x x +与αβ，的大小，并说明理由．【答案】（1）(1（2）详见解析（3）231222x x x xαβ++<<<【解析】试题分析：（1）当123012x x x ===，，时，322()(1)(2)=32,()362,f x x x x x x x f x x x '=---+=-+，由()0f x <得()f x 减区间(1；（2）因为32123122331123()()()f x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，所以2123122331()32()()f x x x x x x x x x x x x '=-+++++，因为2221223312[()()()]0x x x x x x ∆=-+-+->所以，方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（3）因为21221()()024x x x x f +-'=-<，22323()()024x x x x f +-'=-<，所以231222x x x x αβ++<<<试题解析：（1）()f x减区间(1+； 4分（2）法1：32123122331123()()()f x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-， 6分2123122331()32()()f x x x x x x x x x x x x '=-+++++2221223312[()()()]0x x x x x x ∆=-+-+->，123x x x <<， 8分 所以，方程()0f x '=有两个不相等的实数根； 10分 法2：122331()()()()()()()f x x x x x x x x x x x x x '=--+--+--， 6分 22321()()()0f x x x x x '=--<， 8分()f x 是开口向上的二次函数，所以，方程()0f x '=有两个不相等的实数根； 10分 （3）因为21221()()024x x x x f +-'=-<， 12分 22323()()024x x x x f +-'=-<， 14分又()f x 在(,)α-∞和(,)β+∞增，()f x 在(,)αβ减，所以231222x x x x αβ++<<<． 16分【考点】利用导数求函数减区间，二次函数与二次方程关系21．试求曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，N 10201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦． 【答案】y ＝2sin 2x ．【解析】计算MN 11100022020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，计算得到函数表达式. 【详解】∵M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，N 10201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，∴MN 11100022020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ∴在矩阵MN 变换下，x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦→1'2'2x x y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的函数解析式为y ＝2sin 2x ． 【点睛】本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计算能力. 22．已知直线l 的极坐标方程为63sin πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，圆C 的参数方程为1010x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（1）请分别把直线l 和圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）求直线l 被圆截得的弦长．【答案】（1120y -+=．x 2+y 2＝100．（2）16【解析】（1）直接利用极坐标方程和参数方程公式化简得到答案. （2）圆心()0,0到直线的距离为1262d ==，故弦长为. 【详解】 （1）sin 63πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin cos 622ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，即1622y x -=，120y -+=.10cos 10sin x y θθ=⎧⎨=⎩，故22100x y +=. （2）圆心()0,0到直线的距离为1262d ==，故弦长为16=. 【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程，圆的弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力. 23．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，∠BAF ＝90°，AD ＝2，AB ＝AF ＝2EF ＝2，点P 在棱DF 上．（1）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （2）若二面角D ﹣AP ﹣C 的正弦值为63，求PF 的长度． 【答案】（1）3015．（22． 【解析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系，则BE =u u u r （﹣1，0，2），CP =u u u r（﹣2，﹣1，1），计算夹角得到答案.（2）设FP FD λ=u u u r u u u r，0≤λ≤1，计算P （0，2λ，2﹣2λ），计算平面APC 的法向量n =r（1，﹣1，222λλ-），平面ADF 的法向量m =r（1，0，0），根据夹角公式计算得到答案.【详解】（1）∵BAF ＝90°，∴AF ⊥AB ，又∵平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB ， ∴AF ⊥平面ABCD ，又四边形ABCD 为矩形，∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵AD ＝2，AB ＝AF ＝2EF ＝2，P 是DF 的中点，∴B （2，0，0），E （1，0，2），C （2，2，0），P （0，1，1），BE =u u u r（﹣1，0，2），CP =u u u r （﹣2，﹣1，1）， 设异面直线BE 与CP 所成角的平面角为θ，则cosθ2301556BE CP BE CP⋅===⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r ，∴异面直线BE 与CP 230（2）A （0，0，0），C （2，2，0），F （0，0，2），D （0，2，0），设P （a ，b ，c ），FP FD λ=u u u r u u u r，0≤λ≤1，即（a ，b ，c ﹣2）＝λ（0，2，﹣2）， 解得a ＝0，b ＝2λ，c ＝2﹣2λ，∴P （0，2λ，2﹣2λ），AP =u u u r（0，2λ，2﹣2λ），AC =u u u r （2，2，0）， 设平面APC 的法向量n =r（x ，y ，z ），则()2220220n AP y z n AC x y λλ⎧⋅=+-=⎨⋅=+=⎩u u uv r u u u v r，取x ＝1，得n =r（1，﹣1，222λλ-）， 平面ADP 的法向量m =r（1，0，0），∵二面角D ﹣AP ﹣C 的正弦值为6， ∴|cos m n r r ＜，＞|2261()322()22m nm nλλ⋅===-⋅+-r r r r ， 解得12λ=，∴P （0，1，1）， ∴PF 的长度|PF |222(00)(10)(12)2=-+-+-=．【点睛】本题考查了异面直线夹角，根据二面角求长度，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 24．甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1,,2a a (01)a <<，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ. （1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率()P i ξ=(i =0，1，2，3)中, 若(1)P ξ=的值最大, 求实数a 的取值范围. 【答案】（1）412a +，ξ的分布列为（2）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】(1)P(ξ)是“ξ个人命中，3－ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0、1、2、3.P(ξ＝0)＝01C 112⎛⎫-⎪⎝⎭02C (1－a)2＝12(1－a)2； P(ξ＝1)＝11C ·1202C (1－a)2＋01C 112⎛⎫-⎪⎝⎭12C a(1－a)＝12(1－a 2)； P(ξ＝2)＝11C ·1212C a(1－a)＋01C 112⎛⎫-⎪⎝⎭22C a 2＝12(2a －a 2)； P(ξ＝3)＝11C·1222C a 2＝22a . 所以ξ的分布列为ξ的数学期望为E(ξ)＝0×12(1－a)2＋1×12(1－a 2)＋2×12(2a －a 2)＋3×22a＝412a +.(2)P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝12[(1－a 2)－(1－a)2]＝a(1－a)； P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝12[(1－a 2)－(2a －a 2)]＝122a-；第 21 页 共 21 页 P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝12[(1－a 2)－a 2]＝2122a -. 由2(1)0,12{0,21202a a a a -≥-≥-≥和0＜a ＜1，得0＜a≤12，即a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.。
2020届高三年级第二学期阶段联合调研数学试题(三稿)
S ←0I ←0While S ≤10 S ←S ＋I （第4题）江苏省如皋中学2020届高三年级第二学期阶段考试数 学 试 题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}|02A x x =<<，集合{}|1B x x =>，则AB = ▲ ．2．已知i 为虚数单位，若复数3i()12i a z a -=∈+R 为纯虚数，则a = ▲ ． 3．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ▲ ．4．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ▲ ．5．某班在一次劳动教育实践活动中，准备从3名男生和2名女生中任选2名学生去擦教室玻璃，则恰好选中2名男生的概率为 ▲ ．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22213x y b-=的两条渐近线与直线3x =围成正三角形，则双曲线的离心率为 ▲ ．7．若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ， x ≤0f (x －2)，x ＞0，则f (log 23)＝ ▲ ．8．若函数()sin 3f x x x ωω=（x ∈R ，0ω>）满足()0f α=，()2f β=，且αβ-的最小值等于2π，则ω的值为 ▲ ． 9．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点P 是棱CC 1上一点，记三棱柱ABC －A 1B 1C 1与四棱锥P －ABB 1A 1的体积分别为V 1与V 2，则V2V 1＝ ▲ ．10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且434322+1,2232S S a a a ==++，则1a = ▲ ．11．已知向量m ＝(a ，﹣1)，n ＝(2b ﹣2，3)(a ＞0，b ＞0)，若m ∥n ，则211a b ++的最小值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A ，B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为 ▲ ．13．已知a ，b ∥R ，e 为自然对数的底数．若存在b ∥[－3e ，－e 2]，使得函数f (x )＝e x －ax －b在[1，3]上存在零点，则a 的取值范围为 ▲ ． 14．已知不等式()()322244≤+++--x xxx b a 对任意R x ∈恒成立，则b a +的最大值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）在∥ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ∥AB 于D ，且12BD AD c -=． （1）求证：sin 2sin()C A B =-；（2）若3cos 5A =，求tan C 的值．CADB16．（本小题满分14分）如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝2AC ，D ，E ，F 分别为线段AC ，A 1A ，C 1B 的中点．（1）证明：EF ∥平面ABC ； （2）证明：C 1E ∥平面BDE ．17．（本小题满分14分）如图，摩天轮的半径OA 为50m ，它的最低点A 距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m 的景观带MN ，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM ＝60m ．点P 从最低点A 处按逆时针方向转动到最高点B 处，记∠AOP ＝θ，θ ∥(0，π)．（1）当θ ＝2π3时，求点P 距地面的高度PQ ；（2）试确定θ 的值，使得∠MPN 取得最大值．ABCDEC 1A 1B 1F（第16题）AMNBO PQθ18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且点12⎫⎪⎭在椭圆C 上．椭圆C 的左顶点为A ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2的直线与椭圆交于P ，Q 两点，求三角形APQ 的面积；（3）过点A 作直线与椭圆C 交于另一点B ．若直线l 交y 轴于点C ，且OC BC =，求直线l 的斜率．19．（本小题满分16分）已知函数()ln f x x =．（1）求函数()()1g x f x x =-+的零点；（2）设函数()f x 的图象与函数1ay x x=+-的图象交于()11,A x y ，()22,B x y （12x x <）两点，求证：121a x x x <-；（3）若0k >，且不等式()()()2211x f x k x -≥-对一切正实数x 恒成立，求k 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，记b n ＝S n +1n．（1）若{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列，其中a ，d 均为正数． ∥当3b 1，2b 2，b 3成等差数列时，求ad 的值；∥求证：存在唯一的正整数n ，使得a n +1≤b n ＜a n +2．（2）设数列{a n }是公比为q (q ＞2)的等比数列，若存在r ，t (r ，t ∥N *，r ＜t )使得b t b r ＝t ＋2r ＋2，求q 的值．数 学 附 加 题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵，若矩阵对应的变换把直线变为直线l '，求直线l '的方程．1101,20201A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦AB :20l x y +-=B ．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的极坐标为(2,)4π，圆C 的极坐标方程为22sin()04ρθπ++=．过点M 的直线l 被圆C 截得的弦长为2305，求直线l 的直角坐标方程．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，且AF ＝2．（1）求p 的值；（2）若M ，N 为抛物线C 上异于A 的两点，且AM ∥AN ．记点M ，N 到直线y ＝－2的距离分别为d 1，d 2，求d 1d 2的值．· F（第22题图）xyO A MN23．（本小题满分10分）设*n N ∈且4n ≥，集合{}1,2,3,,M n =的所有3个元素的子集记为312,,,nC A A A ．（1）当4n =时，求集合312,,,nC A A A 中所有元素之和S ；（2）记i m 为i A 3(1,2,,)n i C =中最小元素与最大元素之和，求32018132018C ii mC=∑的值．江苏省如皋中学2020届高三年级第二学期阶段考试数学参考答案及评分标准1．{}|0x x > 2．—2 3．534．6 5．31067．34 8．1 9．23 10．1 112 12．[－34，＋∞) 13．[e 2，4e] 14．4333-15．（本小题满分14分） （1）因为12BD AD c -=，所以1cos cos 2a B b A c -=，………………2分 由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，所以sin 2sin()C A B =-．………………6分 （2）由（1）得，sin()2sin()A B A B +=-，所以sin cos cos sin 2(sin cos cos sin )A B A B A B A B +=-，化简，得3cos sin sin cos A B A B =．………………8分又3cos 5A =，所以4sin 5A =，所以4tan 3A =，4tan 9B =，………………10分所以44tan tan 4839tan tan()1tan tan 4411139A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅．………………14分16．（本小题满分14分）（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG ．因为F 为C 1B 的中点，所以FG ＝∥12C 1C ．………………2分 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝∥C 1C ，且E 为A 1A 的中点， 所以FG ＝∥EA ． 所以四边形AEFG 是平行四边形． 所以EF ∥AG ．………………4分 因为EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC ．………………6分（2）因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ∥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以A 1A ∥BD ． ………………8分因为D 为AC 的中点，BA ＝BC ，所以BD ∥AC ．因为A 1A ∩AC ＝A ，A 1A ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，所以BD ∥平面A 1ACC 1． 因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BD ∥C 1E ．………………10分（第16题）ABCD EC 1A 1B 1FG根据题意，可得EB ＝C 1E ＝62AB ，C 1B ＝3AB ， 所以EB 2＋C 1E 2＝C 1B 2．从而∥C 1EB ＝90°，即C 1E ∥EB ．………………12分 因为BD ∩EB ＝B ，BD ⊂平面BDE ， EB ⊂平面BDE ， 所以C 1E ∥平面BDE ．………………14分 17．（本小题满分14分）（1）由题意，得PQ ＝50－50cos θ ．从而，当θ ＝2π3 时，PQ ＝50－50cos 2π3＝75．即点P 距地面的高度为75m ．………………4分（2）方法一：由题意，得AQ ＝50sin θ ，从而MQ ＝60－50sin θ ，NQ ＝300－50sin θ ．又PQ ＝50－50cos θ ，所以tan ∠NPQ ＝NQ PQ ＝6－sin θ1－cos θ ，tan ∠MPQ ＝MQ PQ ＝6－5sin θ5－5cos θ ．从而tan ∠MPN ＝tan(∠NPQ －∠MPQ ) ＝tan ∠NPQ －tan ∠MPQ1＋tan ∠NPQ ⋅tan ∠MPQ＝6－sin θ1－cos θ －6－5sin θ5－5cos θ1＋6－sin θ1－cos θ ×6－5sin θ5－5cos θ＝12(1－cos θ)23－18sin θ－5cos θ．………………8分 令g (θ )＝12(1－cos θ)23－18sin θ－5cos θ，θ ∥(0，π)，则g '(θ)＝12×18(sin θ＋cos θ－1)(23－18sin θ－5cos θ)2 ，θ ∥(0，π)．………………10分由g '(θ)＝0，得sin θ ＋cos θ －1＝0，解得θ ＝ π2．当θ ∥(0，π2)时，g '(θ )＞0，g (θ )为增函数；当θ ∥(π2，π)时，g '(θ )＜0，g (θ )为减函数，所以，当θ ＝π2时，g (θ )有极大值，也为最大值．………………12分因为0＜∠MPQ ＜∠NPQ ＜π2，所以0＜∠MPN ＜π2，从而当g (θ )＝tan ∠MPN 取得最大值时，∠MPN 取得最大值． 即当θ ＝π2时，∠MPN 取得最大值．………………14分方法二：以点A 为坐标原点，A M 为x 轴建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为 x 2＋(y －50)2＝502，即x 2＋y 2－100y ＝0，点M (60，0)，N (300，0)． 设点P 的坐标为 (x 0，y 0)，所以Q (x 0，0)，且x 02＋y 02－100y 0＝0． 从而tan ∠NPQ ＝NQ PQ ＝300－x 0y 0 ，tan ∠MPQ ＝MQ PQ ＝60－x 0y 0 ．从而tan ∠MPN ＝tan(∠NPQ －∠MPQ ) ＝tan ∠NPQ －tan ∠MPQ1＋tan ∠NPQ ⋅tan ∠MPQ＝300－x 0y 0 － 60－x 0y 01＋300－x 0y 0 ×60－x 0y 0＝24y 010y 0－36x 0＋1800．………………6分由题意知，x 0＝50sin θ ，y 0＝50－50cos θ ，所以tan ∠MPN ＝＝12(1－cos θ)23－18sin θ－5cos θ．………………8分（下同方法一）18．（本小题满分16分）（1）由题意知：22222212121b a a b ⎧⎛⎪-=⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫ ⎪⎝⎭+=⎩，解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，………………2分 所以椭圆C 的方程为2214x y +=．………………4分 （2）设直线PQ的方程为y x =-，与椭圆联立得2320x -+=，所以123x x +=，1223x x =，则122PQ x =-==， 又点A 到直线PQ的距离为d =7分 所以三角形APQ的面积为11222PQ d ⋅⋅=⋅=9分 （3）由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为：()2y k x =+，联立方程组()42142x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 整理得：()222214161640k x k x k +++-=，由22164214B k x k --=+，得222814B k x k-=+，………………12分将0x =代入()2y k x =+中，得到2C y k =，得2k =，解得218k =．………………14分 所以直线l的斜率为16分19．（本小题满分16分）（1）令()ln 1g x x x =-+，所以()111xg x x x-'=-=．………………1分 当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 在()0,1上单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 在()1,+∞上单调递减；所以()()max 10g x g ==，所以()g x 的零点为1x =．………………3分（2）因为111222ln 1ln 1a x x x a x x x ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，所以211221ln ln 1x x a x x x x ⎛⎫-=⋅- ⎪-⎝⎭，………………5分要证121a x x x <-，即证211212121ln ln 1x x x x x x x x x ⎛⎫-⋅-<- ⎪-⎝⎭，即证2112ln 1x x x x ⎛⎫>-⎪⎝⎭，………………7分令211x t x =>，1ln 1t t>-，由（1）知ln 1x x ≤-，当且仅当1x =取等，所以11ln 1t t<-，即1ln 1t t>-，所以原不等式成立．………………9分（3）不等式()()221ln 1x x k x -≥-对一切正实数x 恒成立．因为()()()()22211ln 11ln 1k x x x k x x x x -⎡⎤---=--⎢⎥+⎣⎦． 设()()1ln 1k x h x x x -=-+， 则()()()()2222111211x k x k h x x x x x +-+'=-=++．………………10分 记()()2211x x k x ϕ=+-+，()()241442k k k ∆=--=-， ①当0∆≤，即02k <≤时，()0h x '≥恒成立，故()h x 单调递增．于是当01x <<时，()()10h x h <=，又210x -<，故()()221ln 1x x k x ->-，当1x >时，()()10h x h >=，又210x ->，故()()221ln 1x x k x ->-，又当1x =时，()()221ln 1x x k x -=-．因此当02k <≤时，不等式恒成立．………………13分 ②当0∆>，即2k >时，设()22110x k x +-+=的两个不等实数根分别为3x ，4x （34x x <）． 又()1420k ϕ=-<，于是3411x k x <<-<．故当()1,1x k ∈-时，()0h x '<，从而()h x 在()1,1k -在单调递减；当()1,1x k ∈-时，()()10h x h <=，此时210x ->，于是()()210x h x -<，即()()221ln 1x x k x -<-，舍去；………………15分 综上，k 的取值范围是02k <≤．………………16分 20．（本小题满分16分）（1）∥因为3b 1，2b 2，b 3成等差数列，所以4b 2＝3b 1＋b 3，即4×3a ＋3d 2＝3(2a ＋d )＋4a ＋6d3，解得，a d ＝34．………………3分∥由a n ＋1≤b n ＜a n ＋2，得a ＋nd ≤(n ＋1)a ＋(n ＋1)nd2n ＜a ＋(n ＋1)d ，整理得⎩⎨⎧n 2－n －2ad≤0，n 2＋n －2a d＞0，………………5分解得－1＋1＋8a d 2＜n ≤1＋1＋8a d 2，由于1＋1＋8ad 2－－1＋1＋8a d2＝1且－1＋1＋8a d 2＞0．因此存在唯一的正整数n ，使得a n ＋1≤b n ＜a n ＋2．………………8分（2）因为b tb r ＝a 1(1－q t ＋1)t (1－q )a 1(1－q r ＋1)r (1－q )＝t ＋2r ＋2，所以q t ＋1－1t (t ＋2)＝q r ＋1－1r (r ＋2)．………………9分设f (n )＝q n ＋1－1n (n ＋2)，n ≥2，n ∈N *．则f (n ＋1)－f (n )＝q n ＋2－1(n ＋1)(n ＋3)－q n ＋1－1n (n ＋2)＝q n ＋1[(q －1)n 2＋2(q －2)n －3]＋2n ＋3n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)，因为q ＞2，n ≥2，所以(q －1)n 2＋2(q －2)n －3＞n 2－3≥1＞0，所以f (n ＋1)－f (n )＞0，即f (n ＋1)＞f (n )，即f (n )单调递增．………………12分 所以当r ≧2时，t ＞r ≧2，则f (t )＞f (r )，即q t ＋1－1t (t ＋2)＞q r ＋1－1r (r ＋2)，这与q t ＋1－1t (t ＋2)＝q r ＋1－1r (r ＋2)互相矛盾．所以r ＝1，即q t ＋1－1t (t ＋2)＝q 2－13．若t ≧3，则f (t )≥f (3)＝q 4－115 ＝q 2－13·q 2＋15＞q 2－13，即q t ＋1－1t (t ＋2)＞q 2－13，与q t ＋1－1t (t ＋2)＝q 2－13相矛盾．于是t ＝2，所以q 3－18＝q 2－13，即3q 2－5q －5＝0．又q ＞2，所以q ＝5＋ 856．………………16分数学附加题参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换∥， ∥．………………4分 在直线上任取一点，它是由上的点经矩阵所对应的变换所得， ∥点在直线上， ∥．∥∥，即， ∥，即．∥ 将∥代入∥得，即， ∥直线的方程为．………………10分 B ．选修4—4：坐标系与参数方程因为点M的极坐标为)4π，1101,20201A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111011=22020102AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦l '(,)P x y l 000(,)P x y AB 000(,)P x y :20l x y +-=0020x y +-=00x x AB y y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦0011202x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦000122x y x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩001412x x y y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩112042x y y -+-=480x y +-=l '480x y +-=所以点M 的直角坐标为(1,1)，………………2分 因为圆C的极坐标方程为)04ρθπ++=，所以将cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得圆C 的直角坐标方程为22(1)(1)2x y +++=，………………4分 当直线l 的斜率不存在时，直线l 与圆C 没有交点，………………6分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1(1)y k x -=-， 则圆心(1,1)C --到直线l的距离为d =因为直线l 被圆C所以222d +=，即245=， 解得12k =或2k =， 所以直线l 的方程为210x y -+=或210x y --=．………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）（1）因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，且AF =2，所以p2＋1＝2，所以p ＝2．………………2分（2）由(1)得抛物线方程为y 2＝4x ．（3）因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2．………………4分设直线AM 方程为x －1＝m (y －2) (m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧x －1＝m (y －2)，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4m y ＋8m －4＝0，………………6分 即(y －2)( y －4m ＋2)＝0，所以y 1＝4m －2．因为AM ⊥AN ，所以－1m 代m ，得y 2＝－4m －2，………………8分所以d 1d 2＝|(y 1＋2) (y 2＋2)|＝|4m ×(－4m )|＝16．………………10分23．（本小题满分10分）（1）因为含元素1的子集有23C 个，同理含2,3,4的子集也各有23C 个，于是所求元素之和为23(1234)30C +++⨯=．………………2分（2）集合{}1,2,3,,M n =的所有3个元素的子集中：以1为最小元素的子集有21n C -个，以n 为最大元素的子集有21n C -个；以2为最小元素的子集有22n C -个，以1n -为最大元素的子集有22n C -个；以2n -为最小元素的子集有22C 个，以3为最大元素的子集有22C 个．………………5分31nC i i m =∴∑312nC m m m =+++222122(1)()n n n C C C --=++++22231233(1)()n n n C C C C --=+++++22231244(1)()n n n C C C C --=+++++3(1)n n C ==+3131nC ii nmn C =∴=+∑………………8分32018132018201812019C ii mC=∴=+=∑………………10分。
【2020南通高三模拟】江苏省南通市2020届高三下学期阶段性模拟考试 数学 Word版含答案
开始输出n 输入p结束n ←1, S ←0S < pn ←n + 1S ←S + 2n NY（第5题）江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试数 学 试 题2020.05(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}2log (1)2B x x =-<，则A B =I ▲ ． 2．设复数2(2i)z =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲ ．3．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线2x ﹣y ﹣1＝0上方的概率为 ．4．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ▲ ． 5．执行右边的程序框图，若p ＝14，则输出的n 的值为 ▲ ．6．函数22log (32)y x x =--的值域为 ▲ ．7．等差数列}{n a 中，若100119753=++++a a a a a ， 则=-1393a a▲ ．8．现用一半径为10 cm ，面积为80π cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为 ▲ cm 3．9．已知() 0 αβ∈π，，，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tan α的值为 ▲ ． 10．已知实数,x y 满足40210440x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≥≥，则3z x y =+-的取值范围是 ▲ ．11．若函数()()ππ()sin 363f x a x x =++-是偶函数，则实数a 的值为 ▲ ．12．在△ABC 中，cos 2sin sin A B C =，tan tan 2B C +=-，则tan A 的值为 ▲ ．13．已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．已知[)0,2θπ∈，若关于k()33sin cos k θθ-在(],2-∞-上恒成立，则θ的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)已知1sin cos 2θθ+=，ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，． （1）求θ的值；（2）设函数()22()sin sin f x x x θ=-+，x ∈R ，求函数()f x 的单调增区间．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//CD AB ，2AB CD =， AC 交BD 于O ，锐角PAD ∆所在平面PAD ⊥底面ABCD ，PA BD ⊥，点Q 在侧棱PC 上，且2PQ QC =． （1）求证：//PA 平面QBD ； （2）求证：BD AD ⊥．17．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：224x y +=，直线l ：43200x y +-=．43()55A ，为 圆O 内一点，弦MN 过点A ，过点O 作MN 的垂线交l 于点P ． （1）若MN ∥l ，求△PMN 的面积．（2）判断直线PM 与圆O 的位置关系，并证明．18．(本小题满分16分)如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形(矩形的一个边在三角形的边上)，并以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面。
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2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模数学试题
一、填空题
(★) 1 . 设全集，集合，，__________.
(★) 2 . 若复数满足（为虚数单位），则 ______________ ．
(★) 3 . 某工厂为了了解一批产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了100件产品的净重，所得数据均在区间[96，106]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100件产品中，
净重在区间上的产品件数
是．
(★) 4 . 某医院欲从积极扱名的甲、乙、丙、丁4名医生中选择2人去支援武汉抗击“新型冠状
病毒”，若毎名医生被选择的机会均等，则甲、乙2人中至少有1人被选择的概率为__________. (★) 5 . 执行下边的伪代码后，输出的结果是__________.
(★) 6 . 在平面直角坐标系中，已知双曲线：的左，右焦点分别
为，，设过右焦点且与轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若是正三角形，则双曲线的离心率为__________.
(★) 7 . 已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则的最小值等于__________.
(★★) 8 . 已知等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则满足不等式的的最小值为__________.
(★★) 9 . 在三棱锥中，平面，，，则该三棱
锥的外接球的表面积为__________.
(★★) 10 . 已知实数，满足条件，若不等式恒成立，则实数
的最大值是__________.
(★★) 11 . 如图，在四边形中，对角线与相交于点.已知，，，且是的中点，若，则的值为__________.
(★★★★) 12 . 在平面直角坐标系中，已知在圆：上运动，且
.若直线：上的任意一点都满足，则实数的取值范围是__________.
(★★★★) 13 . 已知函数，若存在实数，使得函数有
6个零点，则实数的取值范围为__________.
(★★) 14 . 在中，角，，所对的边分别是，，，若是边上的中线，且，则的最小值为__________.
二、解答题
(★★) 15 . 在中，角，，所对的边分别是，，，已知
.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的值.
(★★) 16 . 在三棱柱中，，，且，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
(★★) 17 . 现有一块废弃的半圆形钢板，其右下角一小部分因生锈无法使用，其形状如图所示，已知该钢板的圆心为，线段为其下沿，且，.现欲从中截取一个四边形，其要求如下：点，均在圆弧上，平分，且，垂足在
边上.设，四边形的面积为.
（1）求关于的函数解析式，并写出其定义域；
（2）当为何值时，四边形的面积最大？
(★★) 18 . 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的焦距为2，且经过点，过左焦点且不与轴重合的直线与椭圆交于点，两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线，，的斜率之和为0，求直线的方程；
（3）设弦的垂直平分线分别与直线，椭圆的右准线交于点，，求的最小值.
(★★★★) 19 . 已知函数，其中，为自然对数的底数.
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）若函数在定义域上恰有两个不同的零点，求实数 a的取值范围；
（3）设函数在区间)上存在极值，求证：.
(★★) 20 . 已知数列的前项和为，设.
（1）若，记数列的前项和为.①求证：数列为等差数列；②若不等式对任意的都成立，求实数的最小值；
（2）若，且，是否存在正整数，使得无穷数列，，，…成公差不为0的等差数列？若存在，给出数列的一个通项公式；若不存在，请说明理由.
(★) 21 . 已知矩阵，，求矩阵，使得.
(★) 22 . 在极坐标系中，求直线被曲线所截得的弦长.
(★★) 23 . 在平面直角坐标系中，已知抛物线：上一点到准
线的距离与到原点的距离相等.
（1）求抛物线的方程；
（2）过不在轴上的点作抛物线的两条切线，，切点分别为，，若，求证：直线过定点.
(★★) 24 . 已知数列的首项，且，.
（1）求的最小值；
（2）求证：.。