2013年名牌高校自主招生及高中数学联赛辅导专题讲座

巧解平面解析几何题一、代点法代点法的三大优点：1.应用广泛；2.计算量小；3.易于掌握。

凡是涉及圆锥曲线（包括退化圆锥曲线）的弦的中点的题，都可用代点法解，其他某些题也可用代点法解。

1.什么是代点法通过下例说明代点法是一种什么样的解题方法。

例1-1求椭圆222222b a y a x b =+中斜率是m 的平行弦的中点的轨迹。

2.圆锥曲线的弦的斜率为定值求这弦的中点轨迹例1-2求曲线021*********=+−+−y x y xy x 的斜率为2的平行弦的中点轨迹。

例1-3已知两条直线012:1=+−y x l 与012:2=++y x l ，斜率为2的直线l 与1l 交于点A ，又与2l 交于点B ，求线段AB 的中点,(y x P 的轨迹。

3.圆锥曲线的弦所在直线经过一个定点求这弦的中点轨迹例1-4试证明经过椭圆的一个焦点的动弦的中点的轨迹还是椭圆。

例1-5给定双曲线,1222=−y x 过点)1,2(A 的直线l 与双曲线交于两点C B 、,求线段BC 的中点P 的轨迹方程。

练习题一用代点法解下列题目：1-1经过点)0,5(M 的动直线与椭圆369422=+y x 交于B A 、两点，求线段AB 的中点轨迹。

1-2求抛物线x y 42=中斜率为1的平行弦的中点轨迹方程。

1-3由圆222R y x =+外一点),(b a Q 作圆的割线交圆于B A 与两点，求线段AB 的中点的轨迹。

1-4斜率为2的直线与双曲线1=xy 相交于B A 与两点，求线段AB 的中点的轨迹方程。

1-5求与两平行的直线0346:,0623:21=−+=−+y x l y x l 距离相等的点的轨迹。

4.圆锥曲线的弦为定长求这弦的中点轨迹例1-6长度为定值l 的线段AB 的两个端点B A 、在抛物线2x y =上移动，求线段AB 的中点P 的轨迹方程。

例1-7射线OA 的方程是x y 3=，射线OB 的方程是x y 3−=。

长为34的动线段MN 的端点M 在OA 上移动，端点N 在OB 上移动。

求证线段MN 的中点),(y x P 在一椭圆的一段弧上。

5.已知圆锥曲线的弦的中点求这弦所在直线的方程例1-8点)2,2(P 是椭圆06122422=+−−+y x y x 的弦AB 的中点，求此弦所在的直线方程。

例1-9已知双曲线22a xy =的弦AB 的中点是)3,2(a a P ，求弦AB 所在的直线方程。

练习题二2-1过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 的弦AB 被这点平分，求过这弦所在的直线方程。

2-2AB 是双曲线122=−y x 的动弦，这弦的长为2，求这弦的中点的轨迹方程。

2-3A 是椭圆222222b a y a x b =+上一个动点，1F 是左焦点，求线段1AF 的中点的轨迹。

2-4从原点出发的两条射线OB OA 、与x 轴正向的夹角都是°60，斜率为2的直线与OA 交于点M ，与OB 交于点N ，求线段MN 的中点的轨迹。

6.用代点法解其他题目例1-10过抛物线px y 22=的顶点O 的两条动弦OB OA 与垂直，求动弦AB 的中点轨迹。

例1-11一直线绕着定点)0,(a A 转动)0(>a 并与抛物线px y 22=交于C B 、两点，证明这两点的横坐标的积等于常数，它们的纵坐标的积也等于常数。

例1-12圆222R y x =+的动弦AB 在定点)0,(a M 所张之角AMB 为直角，求动弦AB 的中点),(y x P 的轨迹。

|)||(|R a ≠例1-13两条直线是064:,0653:21=++=−−y x l y x l 。

直线l 与1l 交于点A ，与2l 交于点B ，线段AB 的中点是原点，求直线l 的方程。

例1-14求椭圆222222b a y a x b =+与双曲线2m xy =的公共弦AM AB 、的斜率。

)04(422>−m b a 例1-15抛物线px y 22=的弦AB 的中点是N ，分别过B A 、的切线相交于点M ，求证：MN ∥x 轴。

例1-16直线与双曲线222222b a y a x b =−相切于点M ，这直线又与这双曲线的两条渐近线分别交于B A 、点点，求证M 是线段AB 的中点。

例1-17若抛物线x y =2上总存在关于直线1:+−=k kx y l 对称的两点，求k 的取值范围。

练习三3-1设直线m kx y +=与圆222r y x =+相交于B A 、点点，不求出交点坐标，求出弦AB 的中点坐标。

3-2抛物线px y 22=的弦MN 的中点为,A 过点A 且与抛物线的轴平行的直线交抛物线于点B ，以点B 为切点的切线是BD ,试证BD MN //。

3-3椭圆222222b a y a x b =+上有两点OB OA B A 与，、的斜率满足关系式,22ab k k OB OA −=⋅求弦AB 中点的轨迹。

3-4椭圆的中心在原点，一焦点为).50,0(F 这椭圆与直线23−=x y 相交所得弦的中点的横坐标是21。

求这椭圆的参数方程。

3-5抛物线)0(22>=p py x 的切线交双曲线2a xy =于B A 、两点，证明线段AB 的中点P 在抛物线y p x 42−=上。

3-6直线l 经过点)1,3(P 。

这直线与直线012:1=−+y x l 交于点A ，又与直线032:2=−+y x l 交于点B ，且线段AB 的中点'P 又在直线01:3=−−y x l 上。

求直线l 的方程。

3-7若抛物线)0(12>−=a ax y 上总有不同的两点关于直线0=+y x对称，求a 的取值范围。

二充分应用图形性质解题解平面解析几何题，若充分应用图形性质（如利用平面几何定理），就可缩短解题过程，减少计算量，有的题可非常巧妙地解出来.由于有关圆的平面几何定理较多，因此在解涉及圆的平面解析几何题时，要打开思路，尽可能引用有关圆的平面几何定理，对于涉及其他圆锥曲线的题目，也不要忽略引用平面几何定理.例2-1自圆222r y x =+外一点),(b a P 引圆的两条切PB PA 与线，B A 、为切点，求证切点弦AB 在圆心张直角的条件为2222r b a =+.例2-2在圆6422=+y x 内有一点)4,3(P ,圆上两点B A 与满足条件°=∠90APB .以BP AP 、为邻边作矩形APBQ ,求点Q 的轨迹方程.垂直是与两个端点，是一个圆的一条直径的与设例2121213-2A A P P A A 的轨迹方程的交点与的弦，求直线P P A P A 2211.线与0).过点A的任意直外有一个定点A(a,r y 定圆x 4-例2222=+的轨迹的中点，求弦与点圆交于点P MN N M .).0()(2:5-2222>=+−=a a y a x C a x l ：与圆已知直线例过原点的直线与圆C 交于点D ，与直线l 交于点E .在直线OE 上取OP ，使||||DE OP =.求点P 的轨迹方程.上的一点是轴，垂直于的弦圆例AB P x AB r y x 2226-2=+且的轨迹求点为定值，而且其中P r a r a a PB PA ,,||||2≤≤−=⋅.的端点的切线，的长轴是过椭圆与如图，例AB y x FB EA 147-222=+BM C FB AM B A M ，直线交于点与切线直线外的任意一点、是椭圆上除.，交于点与直线，直线轴的垂线作过交于点与切线P CD MN MN x M D EA ..的轨迹求点P，的交点之一是与双曲线已知椭圆例P ny m x b y a x 118-222222222=−=+.2121nb F PF F F =∆的面积，求证：与它们有共同交点，轴于点交，直线与任作互相垂直的直线过定点例M x l l l b a A 121),(9-2..2的轨迹方程的中点求线段轴于点交直线B MN N y l.解法简捷解析几何题），往往使特别是关于圆的平面理解平面解析几何题（小结：加用平面几何定练习题四4-1已知点(,0)P a 是定圆222x y r +=内的一个定点，A 与B 是圆上的动点，且AP BP ⊥,求AB 的中点M 的轨迹.4-2直线经过点3(3,2P −−被圆2225x y +=截得的弦AB 的长为8,求这直线的方程.4-3ABC ∆中，6,BC AC =边上的中线4,BD =求点A 的轨迹.4-4已知二点(2,0)(20),A B −与，在圆22(3)(4)4x y −+−=上求一点,P 使22||||AP BP +有最大值，并求出最大值.4-5如图，正方形ABCD 的顶点A 与直角坐标系的原点重合，点D 在抛物线2y x =的右半支上移动，求顶点C 的轨迹方程.三、用综合法解题我们都很重视用解析法解平面几何题。

但是，用综合法解平面解析几何题，却重视不够。

我们将从下面的例题看出，有些平面解析几何题用解析法解，过程复杂，计算量大，而用综合法解，却极其简捷。

典型例题例3-1已知半圆222(0),x y r y A +=≥是x 轴上一点，且||=BA r ，过点A 的直线与半圆交于点P 和Q ，求证：1.223∠∠=i AOP AOQ tg tg例3-2过圆上、P Q 两点的切线相较于点,T 自点P 至平行于PQ 的直径两端各作一直线，这两条直线分别交垂直于PQ 的直径所在直线于点、R S ，求证：|||.=RT ST例3-3等腰三角形ABC 中，顶角2BAC θ∠=，高||AH h =，在三角形内部一点P 到三边AB BC AC 、、的距离分别为||||||PD PE PF 、、，并且2||||||PD PF PE =i ,求点P 的轨迹。

例3-4已知圆方程为22(2)(2) 2.x y −+−=由原点O 作二切线OA OB 、，A 与B 是切点。

又作圆的割线,ODC 弦AB 与OC 交于点E ，求证：112||||||OD OC OE +=.例3-5如图，ABC ∆中，||,||,||,90.BC a CA b AB c ABC ACB °===∠−∠=求证：222112.()()b c b c a+=+−例3-6ABC ∆的三个外角的平分线AD BE CF 、、分别与其对边的延长线交于D E F 、、，求证D E F 、、三点共线。

例3-7在圆222x y r +=中有两条直径AB 和CD ,其夹角为α。

M 是圆上任意一点，点P 和点Q 分别是点M 在AB CD 、上的射影，证明线段PQ 的长度与点M 在圆上的位置无关。

例3-8已知一圆的半径为r ，A 是圆内的一个定点，作矩形ABCD ，且B D 、两点都在圆上，求点C 的轨迹。