条件c-正规子群对有限群结构的影响
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极小弱c-正规子群对有限群结构的影响
规 子 群 ． 个 群 系 是 饱 和 的 ， 果 Ｇ （ ∈ 则 一 如 ／ Ｇ） ＧＥ 在 本 文 中 ， Ｕ表 示 所 有 超 可 解 群 类 ， 然 Ｕ是 显
１ 初 等 结 果 引 理 １ １１ 设 Ｇ 为 有 限 群 ， ： ． 【 ］ 则
（） １ 如果 Ｈ 在 Ｇ 中正 规 （ 正规 ） 则 Ｈ 在 Ｇ 中 ，
的极 小 子 群 具 有 较 好 的 性 质 去 研 究 有 限群 结 构 是 一
个 令人 感 兴趣 的 问题． ｕｋｅ Ｂ ｃ ｌｙ证 明 了 ： 果 奇 阶群 如 Ｇ的极小 子群 在 Ｇ 中正 规 ， Ｇ 是超 可解 群 ． 则 后来 ，
Ｓ ａ ｎ证 明 了 ： 限 群 Ｇ 的 极 小 子 群 及 ４阶 循 环 子 ｈ Ｍａ 有 群 在 Ｇ 中 Ｔ 拟 正 规 ， Ｇ 是 超 可 解 群 ． ｍａ ａ［ 【 一 则 Ｒａ ｄ ｎ２
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・ １ ・ ６
内江 师 范 学 院 学 报
Ｊ ＯｕＲＮＡＬ ＯＦ ＮＥＩＩ Ｊ ＡＮＧ ＮＯＲＭ ＡＬ ＵＮＩ ＶＥＲＳ ＴＹ Ｉ
第 ｚ ３卷 第 ６期
Ｎｏ ６ Ｖｏ ． ３ ． １２
极 小 弱 ｃ正 规 子 群 对 有 限群 结 构 的 影 响 一
个 极 小 子 群 在 Ｎ ｃ Ｐ） 正 规 ， Ｇ 超 可 解 群 ． 文 （ 中 则 本
在群 系 的条件 获得 了下 面 的命 题 ： 设 是包 含 Ｕ的
一
饱 和群 系． 假设 Ｎ 是有 限群 Ｇ 的一可 解 正规 子群
子 群 在 Ｇ 中 弱 Ｃ正 规 ， Ｇ∈ 本 文 利 用 极 小 子 群 一 则
２ 主 要 结 果
使 得 Ｇ／ 如果 Ｆ Ｎ） Ｎ∈ （ 的极小 子 群或 ４阶循 环 的弱 正规性 得 到 了超 可 解 群 的 一 些 充 分 条件 ， 并 推广 了一些 已知结果 ．
１ 初 等 结 果 引 理 １ １１ 设 Ｇ 为 有 限 群 ， ： ． 【 ］ 则
（） １ 如果 Ｈ 在 Ｇ 中正 规 （ 正规 ） 则 Ｈ 在 Ｇ 中 ，
的极 小 子 群 具 有 较 好 的 性 质 去 研 究 有 限群 结 构 是 一
个 令人 感 兴趣 的 问题． ｕｋｅ Ｂ ｃ ｌｙ证 明 了 ： 果 奇 阶群 如 Ｇ的极小 子群 在 Ｇ 中正 规 ， Ｇ 是超 可解 群 ． 则 后来 ，
Ｓ ａ ｎ证 明 了 ： 限 群 Ｇ 的 极 小 子 群 及 ４阶 循 环 子 ｈ Ｍａ 有 群 在 Ｇ 中 Ｔ 拟 正 规 ， Ｇ 是 超 可 解 群 ． ｍａ ａ［ 【 一 则 Ｒａ ｄ ｎ２
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内江 师 范 学 院 学 报
Ｊ ＯｕＲＮＡＬ ＯＦ ＮＥＩＩ Ｊ ＡＮＧ ＮＯＲＭ ＡＬ ＵＮＩ ＶＥＲＳ ＴＹ Ｉ
第 ｚ ３卷 第 ６期
Ｎｏ ６ Ｖｏ ． ３ ． １２
极 小 弱 ｃ正 规 子 群 对 有 限群 结 构 的 影 响 一
个 极 小 子 群 在 Ｎ ｃ Ｐ） 正 规 ， Ｇ 超 可 解 群 ． 文 （ 中 则 本
在群 系 的条件 获得 了下 面 的命 题 ： 设 是包 含 Ｕ的
一
饱 和群 系． 假设 Ｎ 是有 限群 Ｇ 的一可 解 正规 子群
子 群 在 Ｇ 中 弱 Ｃ正 规 ， Ｇ∈ 本 文 利 用 极 小 子 群 一 则
２ 主 要 结 果
使 得 Ｇ／ 如果 Ｆ Ｎ） Ｎ∈ （ 的极小 子 群或 ４阶循 环 的弱 正规性 得 到 了超 可 解 群 的 一 些 充 分 条件 ， 并 推广 了一些 已知结果 ．
【精品】有限群的几乎次正规子群及可解性
【关键字】精品有限群的几乎次正规子群与可解性摘要：引进几乎次正规子群的概念，应用某些子群的几乎次正规性给出了有限群为可解群的若干充分条件。
关键词：几乎次正规子群可解群有限群在群论中，人们常常利用有限群g的子群的性质来研究原群的结构。
1996年王燕鸣引进了c-正规的概念，称有限群g的子群h在g中c-正规的，如果存在g的正规子群k，使得g=hk且h∩k≤hg。
2003年张新建等减弱c-正规的条件，给出了s-正规子群的概念，称有限群g的子群h在g中s-正规的, 如果存在g的次正规子群k，使得g=hk且h∩khsg,其中hsg是包含在h中的g的最大次正规子群。
2006年杨高才从另一个方面减弱了c-正规的条件，给出了几乎正规子群的概念，称有限群g的子群h在g中几乎正规，如果存在g的正规子群n，使得nh和n∩h都是g的正规子群。
本文将引入一个比s-正规和几乎正规更加广泛的概念——几乎次正规，并研究某些子群具有几乎次正规性质的有限群的结构。
文中的所有群皆为有限群，soc(g)表示g的基柱；h g表示h是g的正规子群；h g表示h是g 的次正规子群；h≤g表示h是g的子群;h＜g表示h是g的真子群；sylp(g)表示群g的sylowp-子群集合；表示某一素数集；(g)表示|g|的素因子的集；p,q表示素数。
所用的概念和符号参照文献[4]。
1 基本概念定义1 群g的子群h称为在g中几乎次正规，如果存在g的一个次正规子群n，使得nh 和n∩h都是g的次正规子群。
注：显然s-正规子群, 几乎正规子群和次正规子群一定是几乎次正规子群。
但反之不真。
事实上，设g=s4为四次对称群，h1={(1),(1,2,3),(1,3,2)}是g的几乎次正规子群，但不是g 的s-正规子群，也不是g的次正规子群。
h2={(1),(1,2),(3,4)}是g的几乎次正规子群，但不是g的几乎正规子群。
为了获得本文的主要结果，我们先证明下面的引理。
有限群的弱c-正规子群与可解性
作者简介： 刘玉凤（９ ５一 ） 女， １６ ， 山东烟 台人， 副教授 ， 士， 硕 主要从事群论研究．
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１ Ｏ
淮北煤炭 师 范学 院学报 （ 自然科 学版 ） 引理 ５ 如果 群 Ｇ的 阶不被 ２整除， Ｇ是 可解 群 ． 则
２０ ０ ７生
是 Ｇ的 ｓｌｗ ｙ ２一子群 ． ｏ 否则 ， 必存 在 Ｇ的 ｓｌｗ ｙｏ ２一子 群 （， ／２ （． ； 有 Ｉ＜； 于是 Ｍ２Ｎ￣Ｍ２ ＝（ 肌 （ ） ２ ／ ２ ＜ ｃ （ ） ；ｎ ２ Ｍ２ ：（ｎ Ｍ ＝Ｍ２矛盾 ． ； ２ ， 因此 由条件 及引理 １存 在 Ｇ的次正规 子 群 Ｋ 使 得 Ｇ＝Ｍ２ ， ， Ｋ且 ｎＫ＝（ ）． Ｍ２。 （）若 （ ） ＝１则 由 Ｋ是 Ｇ的次正 规 的 ２ 一Ｈ ｌ子群及 引 理 ４ 知 Ｋ正规 于 Ｇ 从 而 Ｇ Ｍ２而 ａ ｃ ， ａｌ ， ， ／Ｋ ， Ｋ为奇 阶群， 由引理 ５知 ， 故 Ｋ可解， 而 Ｇ可解 ． 从 （ ）若 （ ） ≠ ｌ作 ＝Ｇ （ ）， ｂ 。 ， ／ 。显然满 足定 理条 件 ， 以 可解 ， 而 Ｇ可解 ． 所 从 由以上证 明知 ， Ｇ是可解 群 ． 定理 ２ 设 为群 Ｇ的 一Ｈ ｌ子群 ， ． ａ ｌ ２∈ 若 幂 零且 在 Ｇ中弱 ｃ 一正规 ， Ｇ是可 解群 ． 则 证 明 由于 在 Ｇ中弱 ｃ 正 规， 由引 理 １存 在 Ｇ的次 正规子群 Ｋ 使得 Ｇ＝Ｈ 一 故 ， ， Ｋ且 肌１Ｋ＝Ｈｃ ． １若 ≠１则考 察 商群 Ｇ ｃ若 ｌ ／Ｈ ｌ 能被 ２整 除 ， 由引理 ５知 Ｇ ｃ ） ， ／Ｈ ． Ｇ ｃ不 则 ／Ｈ 可解 ． 因此 得 Ｇ可解 ． 若 ｌ ／Ｈ ｌ 被 ２整 除 ， Ｇ ｃ能 由条 件 知 ， ／Ｈ 是 Ｇ 肌 的幂 零 一 ｌ子 群 ． Ｈ ｃ ／ Ｈａ ｌ 由引 理 １ Ｈ／Ｈ 在 Ｇ ｃ中弱 ， ｃ ／Ｈ ｃ 一正规 ， 以定 理 的条件对 商群 Ｇ ｃ 承， 所 ／Ｈ 继 由归纳 知 Ｇ 可解 ． 而得 到 Ｇ可 解 ． ／ 从 ２ ）若 Ｈ ＝１ 则 Ｋ是 Ｇ的次 正规 的 一 ｌ子 群， ｃ ． Ｈａ ｌ 由引理 ４ Ｋ正规 于 Ｇ 于 是 Ｇ Ｈ为 幂零 的， ， ． ／Ｋ 从而 可解． 又因为 Ｋ是 Ｇ的 一 ｌ子群 ， ２ ， 以 Ｋ为奇 阶群 ． Ｈａ ｌ 且 ∈ 所 由引理 ５ Ｋ可解 ． ， 因此 Ｇ可解 ． 定理 ３ 设 为 群 Ｇ的 一Ｈ ｌ子 群， ． ａ ｌ ２∈ 若 幂 零且 指数 为 ２的极 大子 群在 Ｇ中弱 ｃ 一正规 ， 则 Ｇ是 可解 群． 证明 对 Ｇ的阶进行 归 纳． 设 为 的极 大子 群 ， 且 在 中的指数 为 ２ 由条件 ， 在 Ｇ中弱 ｃ ． 一正规 ． 于是 由引理 １存在 Ｇ ， 的次 正规子 群 Ｋ 使得 Ｇ＝ＭＫ且 ｎＫ＝Ｍｃ ． １若 Ｍ。 ， ｌ ＿ｌ Ｉ １由假设 及 ２∈ 有 ｌ ＝ ， 中 ｒ是 奇数 ． ） ：１则 ＧＩ ． Ｍ ｌ ， ＫＩ ２ｔ其 ｒ ｔ 设 ， Ｋ的 ２ 一 ｌ子 为 Ｈａ ｌ 群， 则 ， ｈｒ Ｋ ｃ ａ Ｇ 从 而 ， ， Ｇ 由 于 为 群 Ｇ的 一 ａｌ 群 ， 以 ， 群 Ｇ的 一Ｈ ｌ子 ． Ｈ ｌ子 所 为 ａ ｌ 群． 由引理 ４ ， Ｇ 且 易得 Ｇ＝ＭＫ＝Ｈ ２ 因此 Ｇ ２ Ｈ幂 零， 而 可解 ． 因为 ｌ ＿２ｔｒ是 奇数 ， ， ， Ｋ， ， ／Ｋ， 从 又 ＫＩ ，ｔ ｒ 根据 引理 ６ Ｋ可解 ， ， 故 ， ， 而 Ｇ可解 ． 可解 从 ２ ）若 Ｍｃ １则 Ｍ／Ｍｃ Ｈ／Ｍｃ的指 数 为 ２的极 大 子 群 ， ≠ ， 是 由引 理 １ Ｍ／Ｍｃ Ｇ Ｍｃ 知 在 ／ 中弱 ｃ 一正 规． Ｇ 故 ／Ｍｃ 件继 承， 而 由归纳知 Ｇ 条 从 ／Ｍ。 可解 ． 因此 Ｇ可解 ． 定理 得证 ．
某些弱c-正规子群对有限群结构的影响
关键词 ： ｃ正规子群 ； 弱 一 超可解群 ； 极大子群 ；（ 义） ｉｉｇ 广 Ｆｔｎ 子群 ； － ｔ ｐ幂零群
中图分类号 ： １２ １ Ｏ ５ ． 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ：０ １８９ （０ ７ ０ －２００ １０ —３ ５ ２ ０ ） ３ ７ －５ ０
０ 引言
利 用有 限群 的各类子 群 描述 群 的性 质 ， 有 限 在 群 的研究 中 占据着 重 要 地 位 ， 有 方 法 上 的 意义 ． 具
的弱 Ｃ正 规性去讨 论群 的结 构 ， 到 了有 限群成 为 一 得 超 可解 群或 Ｐ 幂零 群 的若 干充 分条件 ． 一 本 文中所 有群 皆为有 限群．ＪＧＪ表示 Ｇ的阶 ； Ｍ ＜ Ｇ表示 是 ｃ的极 大子 群 ； ． Ｋ Ｇ表 示 Ｋ是 Ｇ次 正 规子 群 ； 表示 含 于 日 中 Ｇ的极 大 正 规子
Ｍａ ， ０ ７ ｙ２ ０ Ｖ １ ３ Ｎｏ ３ ｏ ． ０． ．
某些弱 ｃ 一 正规子群对有限群结构 的影响
刘 熠 ， 王坤仁
（ ．￣Ｊ师范大学 数学 与软件科学学院 ， １ Ｉ ｌｌ ｌ 四川 成都 ６ ０６ ； ２ １ ６ ０ ．内江师范学院 数学系 ， 四川 内江 ６ １ １ ） ４ １２
所有素因子 的集合 ； Ｇ Ｍ］ ［ ： 表示 在 Ｇ中的指数．
本文 没有提及 的术 语 以及 定义 可参见 文 ［ ］ ４．
若 Ⅳ的极大子群在 Ｇ 中弱 ｃ正规 ， Ⅳ是素数阶循 一 则
环 群．
１ 定 义 及 引 理
定义 １ １ ．［ 设 Ｈ是 有 限群 Ｇ的子群 ， Ｈ在 称
说 明了弱 Ｃ正 规不 能推 出 Ｃ 正 规 ； 一 一 并且利 用 Ｓｌｗ ｙｏ 子群 、 极大子 群 的弱 Ｃ 正 规性 研 究 了群 的结 构． 一 文
一类条件c-正规子群对有限群结构的影响
．
ａ ｅｉ ｒ ｖ ｄ ｒ ｍｐ ｏ ｅ ． Ｋｅ ｗｏ ｄ ： ｓ ｐ ｒｏ ｖ ｂ ｅｇ ｏ ｐ ； ｏ ｄｔ ｎ ｃ ｎ ｒ ｌ ｕ ｇｏ ｐ ； ｉ ｉ ｇｓ ｂ ｏ ｐ ； ａ ｕ ａ ｅ ｏｍａｉ ｎ ｙ ｒｓ ｕ ｅ ｓ ｌ ａ ｌ ｕ ｓ ｃ ｎ ｉ ｏ － ｏ ｍａ ｂ ｒ ｕ ｓ Ｆ Ｒ ｎ ｇ ｕ ｓ ｓ ｔ ｒ ｔｄ ｆｒ ｔ ｒ ｉ ｓ ｕｒ ｏ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｌ ｔ ｂ ｉｉ ｒ ｕ ．Ａ ｓ ｂ ｒ ｕ ｉ ａ ｅ ｏ ｄ ｔ ｎ Ｃ ｎ ｎｌ ［ ｆ ｈ ｒ ￣ｓ ｏｍａ ｕ ｇ ｏ ｐ Ｎ ｆＧ ｓ ｃ ｓｒ ｃ ： ｅ Ｇ ｅａ ｆ ｔ ｇ ｏ ｐ ｎ ｅ ｕ ｇ ｏ ｐ Ｈ ｓｃ ｌ ｄ ｃ ｎ ｉ ｏ － ｏ ｑ 。ｉ ｔ ｅ ｅ ｅ ｔ ａｎ ｒ ｌ ｂ ｒ ｕ ｏ ｕ ｈ ｌ ｉ ｌ ａ ｓ ｓ
定 义 ３（４ ｐ １１ ［ ３ ５）设 ，为一 个非 空 群 系， 果 ， 如 Ｇ Ｆ， 为 Ｇ的一 个极 小 正规 子群 ， ／ ＥＦ蕴含 Ｍ ＧＭ
群 Ｇ为超 可解 的新判 据， 推广 了文献［】 ３的一个 主要 结果 ． 本文考 虑 的群 均为有 限 ， ｎ Ｈ＜ Ｇ表 示
果 的证 明完 全类似 ， 在此 略去．
１ 定 义 与 引 理
收 稿 日期 ： ２０ － ３ １ ０８ ０ － ８
Ｇ 的 某 些 子 群 的 Ｆｔｎ ｉｉ ｔ ｇ子 群 的 条 件 ｃ 一正 规 性 获 得
群类 ， 如果 ，满足下 面条件 ， 称 ，为 一个群 系： １ 则 （） 如果 Ｇ Ｅ Ｎ Ｇ 则 Ｇ ＦＥ （） ， ／ ２ 如果 Ⅳ， ２ Ｇ 使 ｌ ， Ⅳ
得 Ｇ Ｎ ， ／ ２ 贝 ／ ２ ／ ｌ Ｎ Ｇ Ｅ ０ Ｎｌ Ｇ ｎⅣ Ｅ ‘
ａ ｅｉ ｒ ｖ ｄ ｒ ｍｐ ｏ ｅ ． Ｋｅ ｗｏ ｄ ： ｓ ｐ ｒｏ ｖ ｂ ｅｇ ｏ ｐ ； ｏ ｄｔ ｎ ｃ ｎ ｒ ｌ ｕ ｇｏ ｐ ； ｉ ｉ ｇｓ ｂ ｏ ｐ ； ａ ｕ ａ ｅ ｏｍａｉ ｎ ｙ ｒｓ ｕ ｅ ｓ ｌ ａ ｌ ｕ ｓ ｃ ｎ ｉ ｏ － ｏ ｍａ ｂ ｒ ｕ ｓ Ｆ Ｒ ｎ ｇ ｕ ｓ ｓ ｔ ｒ ｔｄ ｆｒ ｔ ｒ ｉ ｓ ｕｒ ｏ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｌ ｔ ｂ ｉｉ ｒ ｕ ．Ａ ｓ ｂ ｒ ｕ ｉ ａ ｅ ｏ ｄ ｔ ｎ Ｃ ｎ ｎｌ ［ ｆ ｈ ｒ ￣ｓ ｏｍａ ｕ ｇ ｏ ｐ Ｎ ｆＧ ｓ ｃ ｓｒ ｃ ： ｅ Ｇ ｅａ ｆ ｔ ｇ ｏ ｐ ｎ ｅ ｕ ｇ ｏ ｐ Ｈ ｓｃ ｌ ｄ ｃ ｎ ｉ ｏ － ｏ ｑ 。ｉ ｔ ｅ ｅ ｅ ｔ ａｎ ｒ ｌ ｂ ｒ ｕ ｏ ｕ ｈ ｌ ｉ ｌ ａ ｓ ｓ
定 义 ３（４ ｐ １１ ［ ３ ５）设 ，为一 个非 空 群 系， 果 ， 如 Ｇ Ｆ， 为 Ｇ的一 个极 小 正规 子群 ， ／ ＥＦ蕴含 Ｍ ＧＭ
群 Ｇ为超 可解 的新判 据， 推广 了文献［】 ３的一个 主要 结果 ． 本文考 虑 的群 均为有 限 ， ｎ Ｈ＜ Ｇ表 示
果 的证 明完 全类似 ， 在此 略去．
１ 定 义 与 引 理
收 稿 日期 ： ２０ － ３ １ ０８ ０ － ８
Ｇ 的 某 些 子 群 的 Ｆｔｎ ｉｉ ｔ ｇ子 群 的 条 件 ｃ 一正 规 性 获 得
群类 ， 如果 ，满足下 面条件 ， 称 ，为 一个群 系： １ 则 （） 如果 Ｇ Ｅ Ｎ Ｇ 则 Ｇ ＦＥ （） ， ／ ２ 如果 Ⅳ， ２ Ｇ 使 ｌ ， Ⅳ
得 Ｇ Ｎ ， ／ ２ 贝 ／ ２ ／ ｌ Ｎ Ｇ Ｅ ０ Ｎｌ Ｇ ｎⅣ Ｅ ‘
子群c—正规性对群结构的影响
引理 １
设 Ｇ为 群．
１ ）如果 Ｈ 正规 于 Ｇ， Ｈ 必 Ｃ 正 规 于 Ｇ； 则 一
２ ）如 果 Ｈ 为 Ｃ 正 规 于 Ｇ， ≤ Ｋ≤ Ｇ， Ｈ 必 Ｃ 正 规 于 Ｋ ： 一 Ｈ 则 一 ３ ）设 Ｋ≤ Ｈ ， Ｇ， 为 ｃ 正 规 于 Ｇ 当 且 仅 当 Ｈ ／ 为 ｃ 正 规 于 Ｇ Ｋ． Ｋ Ｈ 一 Ｋ ／
素 子 群 的 ｃ 正 规 性 确 定 了群 的 亚 幂 零 性 和 户一 ． 一 长
在这 篇 文章中 ， 们将 利用 极大子 群的 ｃ 正 规性 给 出一个群 为可 解群 的一个 充分必要 条 件 及 我 一 其它 结果 ．文 中所 有群均 为有限 群 ， 有 交待 的 概念与 符号读 者可参 见文 献［ ，］ 没 ４ｊ ．
群．
设 Ｇ 为有限 群 ， 户为 ｆ 的素 因子 ， －Ｓ ｌ Ｇ） 如果 Ｍ ，） （ ， Ｇ 为 户一 Ｇｆ ＰＣ ｙ ， （ （Ｊ＝ Ｐ） 则 幂零
引理 ４ 。
设 ｆ ：２ 是奇数 ， Ｇ必 可解． Ｇｆ ｎ 则
收稿 日期
２０ 一ｌ 一Ｏ ０１ ２ ４
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２０ ０ ２年 ５月
子群 ｃ 正规性对群结构 的影响 ～
张 新建 朱 路 进 朱 晓星
（ 州 大 学理 学 院 数 学 系 ， 苏扬 州 － ２ ０ ２ 扬 江 ２ ０ ） ５
摘
要 ： Ｇ 的一 个 子 群 Ｈ 称 为 在 ６ 中 ｃ一 规 ， 果 存 在 一 十 正规 子群 ， 得 Ｇ＝ 群 正 如 使
且 Ｈ ＡＧ≤风 －
其 中 Ｈ ， ｏｅ（ ） ｎ ＝Ｃ ｒｖＨ 一 பைடு நூலகம் ￣
是 包含 在 中 的 Ｇ 的 最 大正 规 子群 ．该 文 利 用于 群 ｃ 正 规性 给 出一 个 群 一
c＊-拟正规嵌入子群对有限群结构的影响
内幂零群 ，从而 Ｇ＝Ｐ Ｒ，其中 Ｐ为 Ｇ的正规 Ｓ ｙ ｌ ｏ ｗｐ－ 子群，Ｑ是Ｇ的 Ｓ ｙ ｌ ｏ ｗｑ 一 予群且 Ｑ循环．
（ ２ ） Ｐ＝２， ｅ ｘ ｐ （ Ｐ ） ＝４．
若 ｐ＞２，则 ｅ ｘ ｐ （ Ｐ ） ＝Ｐ ，由假 设知 ， Ｐ≤Ｚ （ Ｇ） 而 Ｇ＝Ｐ Ｑ＝Ｚ （ Ｇ ） Ｑ为幂 零群 ，矛盾 ． 故 Ｐ＝２，同上
（ １ ）如果 Ｈ ≤ ≤Ｇ ，则 是 的 Ｃ ‘ 一 可 补 嵌入子 群．
收稿 日期 ：２ ０ ｌ ３ ４ —１ ６ 基金项 目：２ ０ １ １ 年伊 犁师范学院教改课题 ［ ２ ０ １ １ ０ ８ ］ ． 作 者简介 ：古丽洁合 热姆 ・ 阿 卜来 （ １ ９ ７ ） ，女 （ 维吾 尔族 ） ，讲 师，研 究方向 ：代 数学 ’ 通讯作者 ：郭继 东 （ １ ９ ６ ５ 一） ，男，教授 ，硕 士生导 师，研究方向 ：代数 学．
（ ３ ）设 是Ｇ 的一个 Ｐ一 子群 ，且 Ｈ （ Ｇ ） ，则 Ｈ在 Ｇ中 Ｓ 一 拟正规．
（ ４ ）若Ｎ ｑ Ｇ，则删 在Ｇ中是ｓ ． 拟正规嵌入的，且Ｈ Ｎ ／ Ｎ在Ｇ ／ Ⅳ中是 一 拟正规嵌入的．
引理 ２ ． ２ … 令 日 是 Ｇ 的一个 Ｃ 一可补 嵌入 子群 ，则 ：
１ ０
伊 犁师范学院学报 （ 自然科学版 ）
２ ０ １ ３ 生
（ ２ ）如果Ⅳｑ Ｇ，且Ⅳ Ｈ Ｇ，则 Ⅳ是Ｇ ／ Ⅳ的Ｃ ’ 一 拟正规嵌入子群． （ ３ ）若日是Ｇ的子群，Ｎ是Ｇ的正规子群，则Ｈ Ｎ ／ Ｎ是Ｇ ／ Ⅳ的ｃ ． 一 拟正规嵌入子群．
引理 ２ ． ３ … 若 Ｐ是 Ｇ 的一 个 一 拟 正规 ｐ一 子群 ，￣ Ｕ ｗ ｅ （ Ｐ ） ＞ － （ Ｇ） ．
具有给定阶c-正规子群的有限群
子群 在 Ｇ 中 ｃ一 正规 ， 那么 Ｇ是 Ｐ一 幂 零 的 ；２ ０ ０ ７年 ， Ｊ ａ ｒ ａ ｄ ｅ ｎ等 证 明 了 ：对 于 Ｇ 的 任 一 非循 环 的
Ｓ ｙ ｌ ｏ ｗ Ｐ一 子群 Ｐ， 如果 Ｐ 中存在非 平凡 子群 Ｄ 且 Ｐ 的所 有 阶为 １ Ｄ１ 和２ １ Ｄ１ （ 若 尸 为非交换 ２ 一 群且 Ｉ Ｐ： Ｄ ｌ ＞２ ） 的子群 在 Ｇ 中 ｃ一 正规 ， 那 么 Ｇ超 可 解 ；２ ０ ０ ８年 ， 钟 祥 贵等 ］ 证明了： 对 于 Ｇ 的可 解正 规 子群 Ｈ 且 Ｇ／ Ｈ 超 可解 ， 如果 Ｆ（ Ｈ） 的所有 Ｓ ｙ ｌ ｏ ｗ子 群 的极 大子群 在 Ｇ中条件 ｃ一 正规 ， 那 么 Ｇ超 可 解． 一 个 自然 的问题是 ： 如果 Ｇ是 Ｐ一 幂零的， 那么 Ｇ的 Ｓ ｙ ｌ ｏ ｗ 一 子群 的任意极 大子 群是 否在 Ｇ 中 ｃ 一 正规 呢 ？答案 是否 定 的．作 为对上 述 问题 的 深入 探讨 ， 笔者 在 本 文 中附加 了一 定条 件 后得 到 一些
中 图分 类 号 ：０ １ ５ ２ ． １ 文 献 标 志 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１ ０ ０ ７—８ ２ ４Байду номын сангаасＸ（ ２ ０ １ ３ ） ０ ３—０ ０ ０ ４—０ ３
准素子 群 的广义 正规性 在群论 研 究 中有 着广 泛 的应 用． 例 如 ，１ ９ ７ ０年 ， Ｂ ｕ ｃ ｋ ｌ ｅ ｙ ＿ 】 ］ 证 明了： 如 果
Ｖｏ １ ． １ ６ ＮＯ ． ３
Ａｕ ｇ ．２０１ ３
具有给定 阶 ｃ 一 正 规 子 群 的 有 限群
汤 菊 萍 ，王 克科
（ 扬 州 大 学 数 学科 学 学 院 ， 江苏 扬州 ２ ２ ５ ０ ０ ２ ）
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定 义 １ 设 Ｈ 是有 限群 Ｇ 的一个 子群 ， 果 Ｇ有 正规 子群 Ｎ 使 得 ＨＮ ， Ｈ 如 ｑＧ 且 ｎ Ｎ Ｈ ， 则称 Ｈ 为 Ｇ 的条 件 ｃ正规 子群 或者说 Ｈ 在 Ｇ 中是 条件 ｃ正 规 的． 为 Ｈ 一 一 记 ｔ Ｇ． ｃ 显然 ，一 ｃ正规 子群 是条 件 ｃ正 规子 群 ， 之 不然 ． 一 反 事实 上 ， 对于 对称 群 Ｓ 它含 有一 个正 规 子群 Ｋ ， Ｈ ， 设 是 Ｓ 的 Ｓ ｌｗ ３子群 ， ｙｏ － 则可 知 Ｋ Ｈ ＝ Ａ Ｓ ， ｎ Ｋ Ｈ 一 １， 以 Ｈ ， Ｈ 不 为 Ｇ 的 ｃ正 规子 群． 所 ｔＧ 但 ｃ ～
． ６ Ｎｏ ５ ３ ．
Ｓ ｐ． ０ ８ ｅ ｔ２ ０
文章 编 号 ： ０ Ｏ ２ ６ （ ０ ８ ０ —０ ２ 一 Ｏ １０一 ３７２０）５ ０４ ３
条 件 ｃ正 规 子 群对 有 限群结 构 的影 响 一
郭静 安 ， 祥 贵 钟
（ 西 师 范 大 学 数 学 科 学 学 院 ， 西 桂 林 ５ １０ ） 广 广 ４ ０ ４
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第３ ６卷 第 ５期 ２０ ０ ８年 ９月
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ 河 南 师Ｎｏ ｍａ学 报ｉｅｓｔ （ 版 ） ａ ｃｅ ｃ ） ｏ ｒ ａ Ｈｅ ａ 范 大 学ｌＵｎ（ ｒｉ科 学 ｔ ｌＳ ｉｎ ｅ ｏ ｎｎ ｒ ｖ自然ｙ Ｎａ ｕ ｒ
结果．
关键 词 ： 条件 ｃ 一 正规子群 ； 超可解群 ； 可解群
中图分类 号 ： １ 文考虑 的群 均为 有限 ， 用符 号和 术语 均是标 准 的． 所
１９ ９ ６年 ，王燕 鸣在 文献 ［ ］ 引入 ｃ正 规子 群 的概 念． １中 一 此后 ， 德 玉 、 秀 云＿ ］ 群 的某 些 子群 的 ｃ正 李 郭 ２就 。 一 规性 对有 限群 结构 的影 响进行 了研 究． 韦华 全＿ 利 用 Ｓ ｌｗ子 群 的极 大 和 极小 子 群 的 ｃ正规 性 对 包 含超 可 ４ ｙｏ 一
ｔ ｃＧ／丁 ．
证 明 对 ｌ 用归 纳法 ． ｌ Ｇ 假定 Ｔ 为 Ｇ的任 意极 小正 规 丌 ＿ 群 ， ，子 由于 Ｈ ｃ ， 以存在 Ｇ的 正规子 群 ｔＧ 所
正规子 群 Ｋ ｎ Ｎ ， 使得 （ Ｈ Ｋ ， （ ｎ Ｎ）ｎ Ｈ Ｈ ， Ｈ ． Ｋ ｎ Ｎ） 且 Ｋ 故 ｔＫ ｃ （ ） Ｈ ， ２若 ｔ Ｇ 则存 在 Ｇ 的一 个 正 规 子 群 Ｎ ， 得 ＨＮ Ｇ ， Ｈ ｎ Ｎ Ｈ。． 是 ＮＴ／ Ｇ Ｔ， ｃ 使 且 于 Ｔ ／
解群 系 的饱和 群系进 行 了研究 ， 到 了此 类 群系 的一 些充分 条 件． 得 在文 献 ［ ３ ， 秀云 和 Ｋ． ．Ｓ ｕ 利用 ５中 郭 Ｐ ｈｍ
群 的 Ｓ ｌｗ Ｐ一 ｙｏ 子群 的极 大和 极小子 群 的 ｃ正 规 性 获得 了有 限群 为 Ｐ一 零 群 或超 可 解 群 的若 干充 分 条 件 ． 一 幂
Ｍ．Ｒ ｍａ ａ ， Ｅ ａ ｄ ｎ Ｍ． ．Ｍｏ ａ ｄａ ｄＡ Ａ．Ｈｅｉ ¨ 利 用 群 的素数 幂 阶子群 的 ｃ正 规性 研究 了有 限群 的 Ｐ一 ｈ ｍｅ ｎ ． ｌ ｌ ｅ６ 一 幂
零 性 ． 文 试 图 削 弱 子 群 的 ｃ正 规 性 条 件 ， 入 如 下 比 ｃ正 规 子 群 更 加 广 泛 的 条 件 ｃ正 规 子 群 ． 本 一 引 一 一
（ ＮＴ／ ） Ｈ／ ）一 ＨＮ／ Ｇ Ｔ ， （ Ｔ （ 丁 Ｔ ／ 且 ＮＴ／ ） ｎ （ ）一 （ ｎ Ｈ ） ／ ｒ ｆ Ｈ／ Ｎ Ｔ Ｔ
Ｈ ｆ ｔ Ｔ ． Ｔ ｃＧｆ
ＨＧ ／ Ｔ Ｔ
（ ／ ） Ｈ 丁 Ｔ， 故
反 之 ， Ｈ／ ｃ Ｔ ， 存 在 Ｇ Ｔ 的 一 个 正 规 子 群 Ｓ Ｔ ， 得 （ ／ ） Ｈ／ 、 Ｇ／ ， （ ／ ）ｎ 若 Ｔ ｔ Ｇ／ 则 ／ ／ 使 ｓ Ｔ （ 了 ） Ｔ 且 ＳＴ （ 丁 Ｈ／ ）一 （ ／ （ Ｔ） ｒ 显 然 Ｓ Ｇ， Ｈ Ｇ ， Ｓ ｎ Ｈ 三 Ｈ。， Ｈ ． Ｓ ｎ Ｈ） Ｔ Ｈ／ － ． Ｓ 且 三 三 故 ｔＫ ｃ 引理 ２ 设 丌是一 个素 数集 合 ， Ｔ是 Ｇ 的一个 正 规 丌 子群 ， 是 Ｇ 的 丌一 群 ， 一 Ｈ 子 如果 Ｈ ， ＨＴ／ ｔＧ 则 ｃ Ｔ
摘 要 ： 称有限群 Ｇ的子群 Ｈ 为 Ｇ的条件 ｃ 一 正规子群 ， 如果 Ｇ有 正规子群 Ｎ 使得 ＨＮ Ｇ， Ｈ ｎ Ｎ Ｈ ． 且 Ｇ
利 用 群 Ｇ 的某 些 特 殊 子 群 的条 件 ｃ Ｅ 性 给 出有 限 群 为 可 解 或 超 可 解 的 若 干 充 分 条 件 ， 广 了 相 关 文 献 中 的 一 些 － 规 ｉ 推
１ 引 理
引理 １ 设 Ｇ为 有 限群 ， 为 Ｇ 的子群 ， 么 （ ） 果 Ｈ Ｋ三 Ｇ且 Ｈ ｃ ， Ｈ ； ２ 如果 Ｔ Ｇ Ｈ 那 １如 三 三 ｔＧ 则 ｔ Ｋ （） ｃ 且 Ｔ Ｈ ， Ｈ ｅ 当且仅 当 Ｈ／ ／ 则 ｔ Ｇ Ｔ ｔ Ｇ Ｔ． ｃ 证 明 （ ） １ 由引理条 件 ， ｔ Ｇ ， Ｈ 即存在 Ｇ 的正 规 子群 Ｎ ， ｃ 使得 ＨＮ Ｇ ， Ｈ 且 ｎ Ｎ Ｈ。． 由于 Ｋ ｎ Ｎ Ｋ ， （ Ｈ — Ｋ （ 有 Ｋ ｎ Ｎ） ｎ ＨＮ） Ｋ ， Ｈ （ 且 ｎ Ｋ ｎ Ｎ）一 Ｈ ＝ ＨＧ ＨＫ， Ｋ 中存在 一个 ｎＮ 三 三 即