第五章 第三节 课时限时检测

(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．(2010·北京高考)在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( )
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12 解析：由题知a m ＝|q |m －1＝a 1a 2a 3a 4a 5＝|q |10，所以m ＝11.
答案：C
2．等比数列{a n }的公比为q ，则“q ＞1”是“对于任意正整数n ，都有a n ＋1＞a n ”的
( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
解析：当a 1＜0时，条件与结论均不能由一方推出另一方．
答案：D
3．(2010·浙江高考)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2
＝( ) A ．11
B ．5
C ．－8
D ．－11
解析：设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，依题意知8a 1q ＋a 1q 4＝0，
a 1≠0，则q 3＝－8，故q ＝－2，
所以S 5S 2＝1－q 51－q 2
＝－11. 答案：D
4．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54
，则S 5＝( ) A ．35
B ．33
C ．31
D ．29
解析：设数列{a n }的公比为q 1，a 2·a 3＝a 21·q 3＝a 1·a 4＝2a 1⇒a 4＝2，a 4＋2a 7＝a 4＋2a 4q 3＝2
＋4q 3＝2×54⇒q ＝12
， 故a 1＝a 4q 3＝16，S 5＝a 1(1－q 5)1－q
＝31. 答案：C
5．已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8等于( )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
解析：由题意可知，b 6b 8＝b 27＝a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7.
∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝16.
答案：D
6．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )
A ．13项
B ．12项
C ．11项
D ．10项
解析：设前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －3，a 1q n －2，a 1q n －1.所以前三
项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q 3n －6＝4.所以两式相乘，得a 61q 3(n －1)＝8，即a 21q n －
1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝64，a n 1q n (n －1)2
＝64，即(a 21q n －1)n ＝642，即2n ＝642.所以n ＝12. 答案：B
二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)
7．(2010·福建高考)在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________.
解析：∵在等比数列{a n }中，前3项之和等于21，
∴a 1(1－43)1－4
＝21，∴a 1＝1，∴a n ＝4n －1. 答案：4n －
1 8．等比数列{a n }的公比q ＞0.已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝________.
解析：∵{a n }是等比数列，
∴a n ＋2＋a n ＋1＝6a n 可化为a 1q n ＋1＋a 1q n ＝6a 1q n －
1， ∴q 2＋q －6＝0.
∵q ＞0，∴q ＝2.a 2＝a 1q ＝1，∴a 1＝12
. ∴S 4＝a 1(1－q 4
)1－q ＝12(1－24)1－2＝152. 答案：152
9．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.
解析：由题意知，{a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，－24,36，－54,81
四项成等比数列，公比为q ＝－32
，6q ＝－9. 答案：－9
三、解答题(共3个小题，满分35分)
10．已知数列{a n }满足a n ＋1－2a n ＝0，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．
(1)求数列{a n }的通项公式a n ；
(2)若b n ＝13＋2log 12
a n ，S n ＝
b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n 的最大值．
解：(1)∵a n ＋1－2a n ＝0，即a n ＋1＝2a n ，
∴数列{a n }是以2为公比的等比数列．
∵a 3＋2是a 2，a 4的等差中项，∴a 2＋a 4＝2a 3＋4， ∴2a 1＋8a 1＝8a 1＋4，∴a 1＝2，
∴数列{a n }的通项公式a n ＝2n .
(2)由(1)及b n ＝13＋2log 12
a n ，得
b n ＝13－2n ，
令13－2n ≥0，则n ≤6.5，
∴当1≤n ≤6时，b n ＞0，
当n ≥7时，b n ＜0，
∴当n ＝6时，S n 有最大值，S 6＝36.
11．有n 2(n ≥4)个正数a ij (i ＝1,2，…n ，j ＝1,2，…n )，排成n ×n 矩阵(n 行n 列的数表)： ⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤a 11 a 12 … a
1n a 21 a 22 … a
2n … … … …a n 1 a n 2 … a nn ，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，且满足a 24＝1，a 42＝18，a 43＝316
. (1)求公比q ；
(2)用k 表示a 4k .
解：(1)因为每一行的数成等差数列，
所以a 42，a 43，a 44成等差数列，所以a 44＝2a 43－a 42＝14
. 又每一列的数成等比数列，故a 44＝a 24·q 2⇒q 2＝
a 44a 24＝14
. 又因为a ij >0，所以q >0，故q ＝12
. (2)由已知，第四行的数成等差数列，且d ＝a 43－a 42＝116
， a 4k 为此行中第k 个数，
所以a 4k ＝a 42＋(k －2)d ＝18＋(k －2)·116＝k 16
. 12．已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n ＋n ＋1(n ＝1,2,3，…)．
(1)若{a n }是等差数列，求其首项a 1和公差d ；
(2)证明{a n }不可能是等比数列；
(3)若a 1＝－1，求{a n }的通项公式以及前n 项和公式． 解：(1)因为{a n }是等差数列，设其首项为a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，于是有a 1＋nd ＝2[a 1＋(n －1)d ]＋n ＋1，整理得a 1＋nd ＝(2a 1－2d ＋1)＋(2d ＋1)n ，因此⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝2a 1－2d ＋1d ＝2d ＋1，解得a 1＝－3，d ＝－1. (2)证明：假设{a n }是等比数列，设其首项为a 1， 则a 2＝2a 1＋2，a 3＝2a 2＋3＝4a 1＋7，
于是有(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋7)，解得a 1＝－4，
于是公比q ＝a 2a 1＝－6－4＝32
， 这时a 4＝a 1q 3＝(－4)·(32)3＝－272
. 但事实上，a 4＝2a 3＋4＝8a 1＋18＝－14，二者矛盾，所以{a n }不是等比数列．
(3)由a n ＋1＝2a n ＋n ＋1可得a n ＋1＋(n ＋1)＋2＝2(a n ＋n ＋2)， 所以数列{a n ＋n ＋2}是一个公比为2的等比数列，其首项为(a 1＋1＋2)＝－1＋1＋2＝2， 于是a n ＋n ＋2＝2·2n －
1＝2n . 故a n ＝2n －n －2，于是{a n }的前n 项和公式
S n ＝2(1－2n )1－2
－n (n ＋1)2－2n ＝2n ＋1－2－n (n ＋1)2－2n .。