高一数学教案：指数函数及其性质(2个课时)

指数函数及其性质（2个课时）一. 教学目标：1．知识与技能①通过实际问题了解指数函数的实际背景；②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质. 2．情感、态度、价值观①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理. 二．重、难点重点：指数函数的概念和性质及其应用. 难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用.第一课时三．教学过程：(一). 情境设置①在本章的开头，问题（1）中时间x 与GDP 值中的 1.073(20)x y x x =∈≤与问题(2)]t 51301中时间t和C-14含量P的对应关系P=[()2，请问这两个函数有什么共同特征.②这两个函数有什么共同特征157301][()]2t P =t57301把P=[()变成2，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数，即都可以用x y a =（a ＞0且a ≠1来表示）.（二）．讲授新课 指数函数的定义一般地，函数x y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）22x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）24y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠）小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，x a 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R .只有满足(0,xy a a a =>≠且的形式才能称为指数函数，5,,3,31x x x a y x y y +===+1xx为常数,象y=2-3,y=2等等,(01)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数.先来研究a ＞1的情况用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2x y =的图象x3.00- 2.50- 2.00- 1.50- 1.00- 0.00 0.50 1.00 1.50 2.002xy =18-14121 2 4再研究，0＜a ＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数1()2x y =的图象.x2.50- 2.00- 1.50- 1.00- 0.00 1.00 1.50 2.00 2.50 1()2xy =14121 2 4索从图中我们看出12()2x x y y ==与的图象有什么关系?- - --- ----- -- - -xy0 y =2x- 012xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭ - - - ----- -----xy通过图象看出12()2x x y y y ==与的图象关于轴对称,实质是2x y =上的x,y 点(-)x y x,y y 1与=()上点(-)关于轴对称.2讨论：12()2x x y y ==与的图象关于y 轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？8642-2-4-6-8-5510问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.问题3：指数函数x y a =（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.图象特征函数性质a ＞10＜a ＜1 a ＞10＜a ＜1 向x 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R +函数图象都过定点（0，1）0a =1自左向右， 图象逐渐上升 自左向右，图象逐渐下降 增函数减函数在第一象限内的图 象纵坐标都大于1 在第一象限内的图 象纵坐标都小于1 x ＞0，x a ＞1x ＞0，x a ＜1在第二象限内的图 象纵坐标都小于1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于1x ＜0，x a ＜1x ＜0，x a ＞1利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[,]x a b f x a 上,()=（a ＞0且a ≠1）值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或 （2）若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R; （3）对于指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1），总有(1);f a = （4）当a ＞1时，若1x ＜2x ，则1()f x ＜2()f x ； 例题：例1：已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求(0),(1),(3)f f f -的值.分析：要求(0),(1),(3),,xf f f a x π-13的值,只需求出得出f()=()再把0，1，3分别代入x ，即可求得(0),(1),(3)f f f -.提问：要求出指数函数，需要几个条件？ （三）课堂练习：P 68 练习：第1，2，3题补充练习：1、函数1()()2x f x =的定义域和值域分别是多少?2、当[1,1],()32x x f x ∈-=-时函数的值域是多少? （四）归纳小结1、理解指数函数(0),101x y a a a a =>><<注意与两种情况。

2、解题利用指数函数的图象，可有利于清晰地分析题目，培养数型结合与分类讨论的数学思想 .（五）作业：P 69 习题2.1 A 组第5、6题 （六）板书设计课后反思第2课时一. 教学目标：（同上） 二．重、难点重点：指数函数的概念和性质及其应用. 难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用.三．教学过程：（一）、复习指数函数的图象和性质 （二）、新课 例题例1：（P 66例7）比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5 与 1.73( 2 )0.10.8-与0.20.8-( 3 ) 1.70.3 与0.93.1解法：（1）由函数的单调性考虑因为指数函数 1.7xy=在R上是增函数，且2.5＜3，所以， 2.531.7 1.7<（3）由于1.70.3=0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小.思考：1、已知0.70.90.80.8,0.8, 1.2,a b c===按大小顺序排列,,a b c.2.比较1132a a与的大小（a＞0且a≠0）.指数函数不仅能比较与它有关的值的大小，在现实生活中，也有很多实际的应用.例2（P67例8）截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？分析：可以先考试一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：1999年底人口约为13亿经过1年人口约为13（1+1%）亿经过2年人口约为13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)2亿经过3年人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿经过x年人口约为13(1+1%)x亿经过20年人口约为13(1+1%)20亿解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿，则13(11%)xy=+当x=20时，2013(11%)16()y=+≈亿答：经过20年后，我国人口数最多为16亿.（三）．课堂练习（四）.归纳小结：本节课研究了指数函数性质的应用，关键是要记住a＞1或0＜a＜时xy a=的图象，在此基础上研究其性质.本节课还涉及到指数型函数的应用，形如xy ka=（a＞0且a≠1）.（五）.作业：P69 A组第 7 ，8 题P70B组第 1，4题（六）6.板书设计课后反思：对数（第一课时）一．教学目标：1．知识技能：①理解对数的概念，了解对数与指数的关系； 2. 过程与方法：通过与指数式的比较，引出对数定义与性质 . 3．情感、态度、价值观（1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力. 二．重点与难点：（1）重点：对数式与指数式的互化及对数的性质 （2）难点：推导对数性质的 三． 教学过程：（一）．提出问题思考：（P 72思考题）13 1.01x y =⨯中，哪一年的人口数要达到10亿、20亿、30亿……，该如何解决？即：1820301.01, 1.01, 1.01,131313x x x ===在个式子中，x 分别等于多少？象上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数（引出对数的概念）.（二）新课 1、对数的概念一般地，若(0,1)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =a 叫做对数的底数，N 叫做真数.举例：如：24416,2log 16==则，读作2是以4为底，16的对数. 1242=，则41log 22=，读作12是以4为底2的对数.2、对数式与指数式的互化在对数的概念中，要注意：（1）底数的限制a ＞0，且a ≠1 （2）log x a a N N x =⇔= 指数式⇔对数式幂底数←a →对数底数 指 数←x →对数 幂 ←N →真数例题：例1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.（1）54=645 （2）61264-= （3）1() 5.733m =（4）12log 164=- （5）10log 0.012=- （6）log 10 2.303e =3．对数的性质：提问：因为a ＞0，a ≠1时，log x N a a N x =⇔= 则 由１、a 0=1 ２、a 1=a 如何转化为对数式 ②负数和零有没有对数？ ③根据对数的定义，log a N a =？（以上三题由学生先独立思考，再个别提问解答） 由以上的问题得到① 011,a a a == （a ＞0，且a ≠1）② ∵a ＞0，且a ≠1对任意的力，10log N 常记为lg N . 恒等式：log a N a =N 4、两类对数① 以10为底的对数称为常用对数，10log N 常记为lg N .② 以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，log e N 常记为ln N .以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即lg1002=.说明：在例1中，10log 0.010.01,log 10ln10e 应改为lg 应改为.例2：求下列各式中x 的值（1）642log 3x =- （2）log 86x = （3）lg100x = （4）2ln e x -=分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x .解：（1）2223()323331(64)(4)4416x --⋅--=====（2）111166366628,()(8)(2)22x x =====所以（3）21010010,2x x ===于是（4）222ln ,ln ,e x x e e -=-==-x 由得即e 所以2x =-（三）课堂练习： 练习3、4（四）．归纳小结：对数的定义log (b N a a N b a =⇔=＞0且a ≠1）（五）作业：P 习题 2.2 A 组 1、2B 组 1（六）板书设计课后反思：对数（第二课时）一．教学目标：1．知识与技能①通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能.②运用对数运算性质解决有关问题. 2. 过程与方法①让学生经历并推理出对数的运算性质. ②让学生归纳整理本节所学的知识. 3. 情感、态度、和价值观让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性. 二．教学重点、难点重点：对数运算的性质与对数知识的应用 难点：正确使用对数的运算性质 三． ．教学过程（1）．设置情境复习：对数的定义及对数恒等式log b a N b a N =⇔= （a ＞0，且a ≠1，N ＞0），指数的运算性质.;m n m n m n m n a a a a a a +-⋅=÷=();mn m n mnnma a a a ==（2）．讲授新课如：,,m n m n m n a a a M a N a +⋅===设。