3-4函数的单调性与极值
函数的单调性与极值理
1、判别法中的开区间可换成其他各种区间. 2、判别法中如果f(x)严格增大(减小)，只能得出 f (x)≥0 (≤0)
如： 函数f(x)=x3在(, )上严格单调增加 但 f (0) =0
•函数单调性的判别法 设函数f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导.
(1)如果在(a, b)内f (x)>0, 则f(x)在[a, b]上严格单调增加 (2)如果在(a, b)内f (x)<0, 则f(x)在[a, b]上严格单调减少.
（1）两类点定义的出发点不同。
极值点是指函数在这一点处的函数值大于或小于该点 邻域内任何其它点的函数值；
驻点是指导数为零的点
因此极值点可以是可导点也可以是不可导点，而驻点 一定是可导点。
（2）极值点成为驻点的条件：若函数在区间内可导， 则函数的极值点一定是驻点，反之不成立；
（3）驻点成为极值点的条件：若f (x)在驻点左右邻域 内符号相反，则此驻点一定为极值点
y=2x39x212x3
例 例3 4. . 讨 论 函 数 y = 3 x 2 的 单 调 性 . 解 函数的定义域为(, ). y = 2 ( x 0 ) , 函 数 在 x = 0 处 不 可 导 . 3 3 x 因为x<0时, y<0, 所以函数在(, 0] 上单调减少
因为x>0时, y>0, 所以函数在[0, )上单调增加.
故函数f(x) 在x=0处取 得极小值f(0)=0.
y = 3 x2
•说明
人教版高中数学《函数的单调性与最值》教学设计全国一等奖
1.3.1函数的单调性与最大(小)值(第一课时)教学设计一、教学内容解析：(1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点；本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》(以下简称“新教材”)第一章节。
函数的单调性是研究当自变量X不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质.如增函数表现为“随着x增大，y也增大”这一特征.与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究*成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质.函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质．函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画．函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用(内部)；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用(外部)．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位．教学的重点是:引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y也增大(或减小)” 这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x,x,当x<x时，有f(x)<f(x)(或f(x) Mx)),则称函数f(x)在区间D上是增函数(或减函数)：2 1(2)教学内容的知识类型；在本课教学内容中，包含了四种知识类型。
函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题提出问题解决问题的研究模式，以及从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识.(3)教学内容的上位知识与下位知识；在本课教学内容中，函数的单调性，是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识.(4)思维教学资源与价值观教育资源；生活常见数据曲线图例子，能引发观察发现思维；函数f(x)=+1和函数y= x+ j ,能引发提出问题---分析问题解决问题的研究思维，不等关系等价转化为作差定号，是转化化归思维的好资源，是树立辩证唯物主义价值观的好契机；创设熟悉的二次函数探究背景，是引发从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料，树立了“事物是普遍联系的”价值观.二、教学目标设置：本课教学以《普通高中数学课程标准(实验)》(以下统称为“课标”)为基本依据，以“数学育人”作为根本目标设置。
确定函数单调区间和极值点的方法
确定函数单调区间和极值点的方法
一、函数单调区间的求法：
1、图像法
对于能作出图像的函数，我们可以通过观察图像确定函数的单调区间，即第一步作出函数图像，二是由单调性的几何意义划分增减区间，最后一步写出单调区间。
注意：当函数递增或递减区间由几个区间组成时，一般情况下不能取它们的并集，而应该用“和”、“或”连接。
2、定义法
有些函数如果不能作出函数图像来观察出单调区间，可以用定义法来求其单调区间，即首先可以设X1、X2为该区间内任意的两个值，且X1小于X2，其次作差，令F（X1）-F（X2），并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形。
3、直接法
对于我们所熟知的一次函数、二次函数、反比例函数等，可以根据它们的特征，直接求出单调区间
4、复合函数单调性的确定
求复合函数单调区间的问题,一般来说有以下结论:设y =f(u),u=
g(x),,若y=f(u)是[m,n]上的增函数,则
y=f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相同;若y=f(u)是[m,n]上的减函数,则y=f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相反。
二、求函数最值的方法
1、函数的最值
2、利用函数图像求最值
利用函数图像是函数求最值的常用方法，其步骤如下：
3、利用函数单调性求最值
函数的最值与单调性的关系：
若函数在区间[a,b]上是减函数，则f(x)在[a,b]上的最大值为f(a),最小值为f(b)；
若函数在区间[a,b]上是增函数，则f(x)在[a,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a).。
3-4函数单调性与凹凸性(09)
二、函数单调性的应用
——证明不等式和判断方程根的个数. ——证明不等式和判断方程根的个数. 证明不等式和判断方程根的个数 1. 证明不等式 关键是根据所证不等式及所给区间构造辅助函数 关键是根据所证不等式及所给区间构造辅助函数, 并讨论 构造辅助函数 它在指定区间内的单调性. 它在指定区间内的单调性. 例4 证明不等式 e x ≥ x + 1 证
令 f 2 ( x ) = ln(1 + x ) − x
因 为 f2 (0) = 0, 而 f2′( x) =
−x < 0 ( x > 0) 1+ x
则 f ( x )单减 即 f 2 ( x ) < f 2 (0)( x > 0) 故 单减.
ln(1 + x ) < x
证
x3 令 f ( x ) = tan x − x − 3
f ′(x) ≤ 0 A y = f (x)
B
o
a
b
x
o a
b x
各点处切线的斜率为正
各点处切线的斜率为负
在区间(a, 上单调递增 若 y = f (x)在区间 b)上单调递增 在区间 在区间(a, 上单调递减 若y = f (x)在区间 b)上单调递减 在区间
f ′( x) ≥ 0
f ′( x) ≤ 0
研究函数的单调性, 就是判断它在哪些区间内递增, 注1 研究函数的单调性 就是判断它在哪些区间内递增 哪些 区间内递减. 对可导函数的单调性, 区间内递减 由定理 1 对可导函数的单调性 可根据导数的正 负情况予以确定. 负情况予以确定 注2 包括无穷区间) 定理 1 的结论对其他各种区间 (包括无穷区间 也成立 包括无穷区间 也成立.
用导数解决函数的单调性极值最值的方法步骤
用导数解决函数的单调性极值最值的方法步骤导数是微积分中非常重要的概念，它可以通过求取函数的斜率来提供关于函数的很多信息。
通过导数，我们能够判断函数的单调性、极值和最值。
下面，我将详细介绍使用导数进行函数分析的方法步骤。
一、函数的单调性分析：函数的单调性指的是函数在定义域上的递增或递减特性。
使用导数可以判断函数在不同区间上的单调性。
1.求出函数的导数：根据函数的定义，求出函数的导数。
若函数在其中一点存在导数，则说明函数在该点是可导的。
2.导数的符号变化：对求得的导数进行符号变化的分析，即导数求值时，符号的正负变化。
假设导数的结果是f’(x)。
通过求解f’(x)=0的解集，得到导数的零点集合。
3.导数零点的意义：对于导数零点集合中的每一个点进行分析。
如果导数在其中一点处的零点是一个正的极值点，则说明函数在该点是递增的；如果导数在其中一点处的零点是一个负的极值点，则说明函数在该点是递减的。
4.极值点的判定：在求得导数零点的基础上，通过导数的符号变化来判定函数在区间上的单调性。
当导数从正数变为负数时，说明函数在该区间上是递减的；当导数从负数变为正数时，说明函数在该区间上是递增的。
二、函数的极值分析：函数的极值是指函数在其中一点处取得的最大值或最小值。
通过导数可以判断函数的极值点。
1.求出函数的导数：根据函数的定义，求出函数的导数。
2.导数零点的极值分析：计算导数的零点，并求出零点对应的函数值，在零点处求得导数的值，在零点前后进行符号判定。
3.极值点的判定：若导数从负数增加到正数，则说明函数在该点处取得极小值；若导数从正数减小到负数，则说明函数在该点处取得极大值。
三、函数的最值分析：函数的最值是函数在定义域上取得的最大值或最小值。
通过导数可以判断函数的最值点。
1.求出函数的导数：根据函数的定义，求出函数的导数。
2.导数的变化性：通过计算导数的值和导数的符号变化来判断函数的最值。
3.导数的非零点分析：计算函数的定义域上的导数，找出导数等于零的点的集合。
函数的极值与最值的区别
函数的极值与最值的区别一、前言二、函数的极值函数的极值是指函数在一定区间内取得的最大值或最小值。
根据函数的定义，可以得出一个结论：如果函数在某一点的导数等于0，那么这一点可能成为函数的极值点。
换句话说，在一个函数图像中，函数的极值往往出现在函数图像上呈现出拐点的位置。
回到导数的定义上，导数表示函数随着自变量变化而变化的速率。
在一个函数图像上，如果某一点的导数为0，那么这一点就是函数的极值点。
如果导数为正，那么这一点就是函数的局部最小值，如果导数为负，则是函数的局部最大值。
这种情况通常要注意函数的定义域和值域，还要注意函数的单调性。
函数的最值是指函数在定义域内能够取到的最大值和最小值，包括局部最值和全局最值。
与函数的极值不同的是，函数的最值并不要求函数在某个点的导数等于0，而是所有可能点的函数值的极值。
在数学中，一个函数的最值可以通过指定函数的定义域并计算所有在该定义域内的函数值进行比较而得出。
比如说，对于 +x^2+3x+4 这个函数，其定义域是实数集合，该函数的最小值为（-1,6）时的函数值，最大值为（- \infty，+\infty）时的函数值。
需要注意的是，在某些情况下，函数有可能没有最大值和最小值。
函数的极值一般需要用到导数，因为导数可以告诉我们一个函数在某一点的斜率是多少，从而判断该点是否是局部最大值或最小值。
但是函数的最值并不需要用到导数，而是通过指定定义域并计算所有的函数值进行比较。
函数的极值和最值是非常重要的数学概念，在不同的数学应用场景中都起着重要的作用。
理解这两个概念的异同点，能够对学生们更深入地理解函数及其相关概念。
五、函数极值和最值的应用函数的极值和最值在数学上有着广泛的应用。
其中函数极值主要用于解决函数最大值和最小值的问题，常见的例子包括数学建模中的最优化问题、物理学中的牛顿力学问题和经济学中的生产问题等。
而函数的最值则是应用于优化问题，例如在经济学中，最大化利润和最小化成本都涉及到函数的最值。
高等数学-导数-第四节 函数的单调性和极值
函数单调减少； 在(0,)内, y 0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
注意:
（1）把定理中的使f(x)连续的闭区间换成其它 各类区间（包括无穷区间），则函数的单调性 结论在相应的区间上也是成立的.
( x) f ( x0 ( x x0 )4
)
f (4) ( x0 ) a 4! 4!
若a 0, 由极限的局部保号性，可知
f
( x) f ( x0 ( x x0 )4
)
0
有 f ( x) f ( x0 ) 0，即f ( x) f ( x0 )
x0是f ( x)的极小值点。
若a 0, 同理可证 x0是f ( x)的极大值点。
三、最大值与最小值问题 1.求闭区间[a,b]上连续函数y=f(x)的最值 (1)求出f(x)的导数f'(x),令f'(x)=0，求 出驻点；以及使得导数f'(x)不存在的点.
(2)求出(1)中点处的函数值以及端点处的 函数值；
(3)比较这些值的大小，其中最大的就是函 数的最大值，最小的就是最小值.
如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
2. 函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x)在点 x0处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0.（费马定 理） 定义 使导数为零的点(即方程 f ( x) 0 的实根)叫 做函数 f ( x) 的驻点.
34 函数的单调性、凹凸性与极值
(2)求拐点的方法
方法: 设函数f ( x )在 x0的邻域内二阶可导, 且 f ′′( x0 ) = 0, 则有：
1) x0 两近旁f ′′( x )变号, 点( x0 , f ( x0 ))为拐点;
2) x0 两近旁f ′′( x )不变号, 点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
例9 求曲线 y = 3 x 4 − 4 x 3 + 1 的拐点及凹、凸的区间. 解 易见函数的定义域为 ( −∞ ,+∞ ),
定理4 (第一充分条件) 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某个邻域内连续并且 可导(导数 f ′( x0 ) 也可以不存在), (1)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) > 0; 在点 x0的右 邻域内 f ′( x ) < 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极大值 f ( x0 ); (2)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) < 0; 在点 x0的右 邻域内 f ′( x ) > 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极小值 f ( x0 ); (3)如果在点 x0的邻域内, 在 x0处没有极值.
例3
2 3 y = x 讨论函数 的单调区间.
解 Q D : ( −∞ ,+∞ ).
y′ = 32 ( x ≠ 0), 3 x 当 x = 0 时， 导数不存在.
当 x < 0时，y′ < 0,
∴ 在 ( −∞ , 0]上单调减少；
当 x > 0时，y′ > 0,
∴ 在 [0, +∞ )上单调增加；
向上凸：图形 上任意弧段位 于所张弦的上 方
定义 设 f ( x ) 在区间 I 内连续,
x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )< , 2 2 则称 f ( x ) 在 I 上的图形是(向上)凹的. x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )> , 2 2
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则 f ( ) 0,
( x1 x2 )
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调增加.
若在(a , b)内， f ( x ) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调减少.
x
f ( x )
f ( x)
( ,1) 1
( 1,3)
3
0
极 小 值
( 3, )
0
极 大 值
极大值 f ( 1) 10,
极小值 f ( 3) 22.
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f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 图形如下
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
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定义：使导数为零的点 ( 即方程 f ( x ) 0 的实根 )
叫做函数 f ( x ) 的驻点 .
注意:
（1）极值是一个局部的概念，而最值是一个整体的 概念。
( 2) 由费马定理知：可导函 数 f ( x ) 的极值点必定 是它的驻点, 但函数的驻点却不一定 是极值点.
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二、函数的极值
定义
设函数 f ( x ) 在 x0 的某邻域 U ( x0 ) 内有定义 ,
o
如果对于去心邻域 U ( x0 ) 内的任一点 x , 有 f ( x ) f ( x0 ) ( f ( x ) f ( x0 ) ) 就称 f ( x0 ) 是函数 f ( x ) 的一个极大值 ( 极小值 ) .
1 3
当 x 2 时 ，f ( x ) 0; 当 x 2 时 ，f ( x ) 0.
M
f ( 2) 1 为 f ( x ) 的极大值.
M
m
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注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点. 例8： 求出函数 f ( x ) 1 ( x 2) 的极值.
2 3
2 ( x 2) 解 f ( x ) ( x 2 ) 3 当x 2时, f ( x )不存在. 但函数f ( x )在该点连续.
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定理 1（单调的必要条件） ：若 f ( x )在区间[a , b]上连 续且单调增加（单调减少） ，在 ( a , b ) 内可导，则对任意 的 x (a , b) ，有 f ( x ) 0 ( f ( x ) 0) 。
证明： 只证单增的情况，单减的情况类似。 f ( x x ) f ( x ) x (a , b ) , x x (a , b) , 考察 x 当 x 0 时 ， f ( x x ) f ( x ) 0 ; x f ( x x ) f ( x ) 当 x 0 时 ， 0; x 于是由极限的保号性，得 f ( x x ) f ( x ) f ( x ) lim 0 x 0 x
f ( 2) 55 0， f ( 1) 3 0， f (0) 1 0， f (1) 1 0，
5 3
f ( 2) 57 0
故 f ( x ) 0 在( 2,1), ( 0,1), (1,2) 内个有一根,
因而方程 3 x 5 x 1 0 在区间 [ 2,2] 上有三个不 同实根.
例如,
y x 3 , y x 0 0,
但 x 0 不是极值点.
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y
y
(不是极值点情形)
x0
o
y
x
o
y
x0
x
x0
x0
o
y
x
y
o
x
o
x0
(是极值点情形)
x0
x
o
x
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函数的驻点和不可导点，称为函数的 可疑极值点。
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定理2（单调的充分条件）
设函数 y f ( x ) 在 [a , b]上连续，在(a , b ) 内可导。 （1） 如果在 (a , b ) 内 f ( x ) 0，那么函数 y f ( x ) 在 [a , b]上单调增加； ( 2) 如果在 (a , b )内 f ( x ) 0 ，那么函数 y f ( x ) 在 [a , b] 上单调减少。
定理中的 [a , b]换成其它类型的区间（包括无 穷区间） ，结论也成立。
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证明： x1 , x2 (a , b), 且 x1 x2 ,
应用拉格朗日中值定理，得
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) x2 x1 0,
f ( x ) e x sin x( x )在[0,1]上单调减少；
则 f ( x ) f (0) 0
可以再求 f ( x )
f ( x )在[0,1]上单调减少；
则 f ( x ) f ( 0) 0
2 x 即e x sin x 1 (0 x 1) 2
f ( x ) 2 3 x
3
,
( x 0)
y 3 x2
当x 0时, 导数不存在 .
当 x 0时，f ( x ) 0, 在( ,0]上单调减少；
当0 x 时， f ( x ) 0, 在[0,)上单调增加；
单增区间为 [0, ). 单减区间为 ( ,0]，
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例 3：讨论方程 3 x 5 5 x 3 1 0 在区间[ 2,2]上有几个 不同实根。
解：令 f ( x ) 3 x 5 5 x 3 1
f ( x ) 15 x 4 15 x 2 15 x 2 ( x 1)( x 1) 令 f ( x ) 0，得 x 0，x 1， x 1 f ( x )在 ( 2,1), ( 1,0), ( 0,1), (1,2) 内单调, 且
什么样的可疑极值点才是真正的极值 点呢？
从图中可以看出，若 x0 是 f ( x ) 的极值 点，则通过 x0 时， f ( x ) 改变了单调性；否则，
f ( x ) 没有改变单调性。
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定理3(第一充分条件)
o
设 f ( x ) 在 点 x0 处 连
续，在点 x0 的某去心邻域U ( x0 , ) 内可导 (1) 如 果 x ( x0 , x0 ), 有 f ( x ) 0; 而 x ( x0 , x0 ) ，有 f ( x ) 0 ，则 f ( x ) 在 x0 处取
5 求出相应的极值。
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例7： 求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值.
解:
f ( x ) 3 x 2 6 x 9 3( x 1)( x 3)
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符
号来判别一个区间上的单调性．
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3. 函数在定义区间上的单调性是会改变的。使单调
性改变的点可能是导数为零的点或导数不存在的点。 用导数为零或导数不存在的点来划分定义区间，就 能保证函数的导数在各个部分区间内保持固定的符 号，从而使函数在各个部分区间上单调。 求单调区间的方法:
当 2 x 时， f ( x ) 0, 在[2,)上单调增加；
[2, ) ； 单减区间为 [1,2] 单增区间为 ( ,1]，
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例2： 确定函数 f ( x ) 3 x 2 的单调区间。 解： D : ( , ).
f ( x ) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2)
解方程 f ( x ) 0 得， x1 1, x2 2. 当 x 1 时， f ( x ) 0, 在( ,1]上单调增加； 当 1 x 2 时，
f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；
第四节
第三章
函数的单调性与极值
一、函数的单调性
二、函数的极值及求法 三、函数的最大最小值
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一、函数的单调性
y
y f ( x)
A
B
y
A y f ( x)
B
o
a
f ( x ) 0
b
x
o a
f ( x ) 0
b x
事实上，由导数的定义和极限的保号性，我们可 以证明下面的事实。
用方程 f ( x ) 0的根及 f ( x ) 不存在的点来划分 函数 f ( x )的定义区间 ， 然后判断区间内导数的 符号 .
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例1：讨论函数 f ( x ) 2 x 3 9 x 2
12 x 3的单调性，并确 定其单调区间。
解 D : ( , ).
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说明：
1.此定理只给出了函数在某个区间上单调的充分条件，