2015年高考数学理一轮复习精品资料专题7.1 不等关系与不等式含解析

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2015高考数学一轮精品课件：7.1 不等关系与不等式

考纲要求
探究突破
巩固提升
2.不等式的基本性质
性质
性质内容
注意
对称性
a>b⇔
⇔
传递性
a>b,b>c⇒
可加性
a>b⇒ a+c>b+c
a>b
⇒ ac>bc
c>0
a>b
⇒ ac<bc
c<0
a>b
⇒ a+c>b+d
c>d
a>b>0
⇒ ac>bd>0
c>d>0
a>b>0⇒ an>bn
可乘性
同向可加性
同向同正可乘性
考纲要求
梳理自测
探究突破
探究突破
巩固提升
考点一用不等式(组)表示不等关系
【例 1】某蔬菜收购点租用车辆,将 100 t 新鲜辣椒运往某市销售,可租用的
大卡车和农用车分别为 10 辆和 20 辆,若每辆大卡车载重 8 t,运费 960 元,
每辆农用车载重 2.5 t,运费 360 元,总运费不超过 13 000 元,据此安排两种车

1

1
< ;
1
< ;
③a>b>0,0<c<d⇒

> ;
④0<a<x<b 或 a<x<b<0⇒
1

1
<
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
< .
第七页，编辑于星期五：十三点五分。
7.1
第七章
不等关系与不等式

2015届广东高考数学(理)一轮课件【7.1】不等关系与一元二次不等式

题型二一元二次不等式的解集
思维启迪解析思维升华
含有参数的不等式的求解，往
【例2】解集：
求下列不等式的
往需要对参数进行分类讨论 .
(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；
(1)－x2＋8x－3>0； (2)ax －(a＋1)x＋1<0.
(1)－x2＋8x－3>0； (2)ax －(a＋1)x＋1<0.
2
所以原不等式的解集为 {x|4 － 13 <x<4＋ 13}.
题型分类思想方法练出高分
基础知识
题型分类·深度剖析
题型二一元二次不等式的解集
思维启迪解析思维升华
(2)若 a＝0，原不等式等价于－x＋
【例2】解集：
求下列不等式的
解析
B A
[1,4]
(－5,0)∪(5，＋∞)
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
【例1】
c c (1)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：① > ； a b
不等式的性质及应用
②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c).其中所有正确结论的序号是 A.① B.①② C.②③ D.①②③ ( )
②中，因为 b<a<0，所以－b>－a>0.
故－b>|a|，即|a|＋b<0，故②错误； 1 1 1 1 ③中，因为 b<a<0，又 < <0，所以 a－ >b－，故③正确； a b a b

2015届高考数学总复习第六章第一节不等关系与不等式课时精练试题文(含解析)

第六章不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式1．(2012·福州模拟)下列四个数中最大的是( )A ．(ln 2)2B ．ln(ln 2)C ．ln 2D ．ln 2解析：∵0<ln 2<1，∴ln(ln 2)<0，(ln 2)2< ln 2，而ln 2＝12ln 2<ln 2，∴最大的数是ln 2.故选D.答案：D2．(2013·汕头检测)已知a <0，－1ab >ab 2B ．ab 2>ab >aC ．ab >a >ab 2D ．ab >ab 2>a解析：∵a <0，－10，ab －ab 2＝ab (1－b )>0，∴ab >ab 2>a .也可利用特殊值法，取a ＝－2，b ＝－12，则ab 2＝－12，ab ＝1，从而ab >ab 2>a .故选D.答案：D3．(2013·东北三校高三第四次联考)若p ⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，y ＞1，Q ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞2，xy ＞1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当x ＞1且y ＞1时，由不等式的基本性质，能推出x ＋y ＞2，且x ·y ＞1.反过来取x ＝12，y ＝3，满足x ＋y ＞2，且x ·y ＞1，但推不出x ＞1且y ＞1.所以p 是q 成立的充分不必要条件.答案：A4．(2012·汕头质检)下列各式中错误的是( )A ．0.83>0.73B ．log 0.50.4>log 0.50.6C ．0.75－0.1<0.750.1D ．lg 1.6>lg 1.4解析：构造相应函数，再利用函数的性质解决．对于A ，构造幂函数y ＝x 3，为增函数，故A 正确；对于B ，D ，构造对数函数y ＝log 0.5x 为减函数，y ＝lg x 为增函数，B ，D 都正确；对于C ，构造指数函数y ＝0.75x，为减函数，故C 错误．答案：C5．(2013·全国新课标卷Ⅱ)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a >c >b B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b解析：因为log 32＝1log 23<1，log 52＝1log 25<1，又log 23>1，所以c 最大．又1<log 23<log 25，所以1log 23>1log 25，即a >b ，所以c >a >b ，选D.答案：D6．(2012·湖南卷)设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论：①c a ＞c b；②a c ＜b c；③log b (a －c )＞log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③解析：由不等式及a ＞b ＞1知1a ＜1b ，又c ＜0，所以c a ＞cb，①正确；由指数函数的图象与性质知②正确；由a ＞b ＞1，c ＜0知a －c ＞b －c ＞1－c ＞1，由对数函数的图象与性质知③正确．故选D.答案：D7．甲、乙两人同时驾车从A 地出发前往B 地，他们都以速度v 1或v 2行驶，在全程中，甲的时间速度关系如图甲，乙的路程速度关系如图乙，那么下列说法中正确的是( )A ．甲先到达B 地 B ．乙先到达B 地C ．甲乙同时到达B 地D ．无法确定谁先到达B 地答案：A8．如果a ＞b ，则下列各式正确的是________．①a ·lg x ＞b ·lg x (x ＞0)；②ax 2＞bx 2；③a 2＞b 2；④a ·2x ＞b ·2x.解析：当lg x ≤0时①错，当x ＝0时②错，当b ＜a ＜0时a 2＜b 2，③错，只有④正确．答案：④9．(2013·临沂模拟)若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤a y >bx这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x >y ，a >b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不正确．又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1， ∴a y ＝bx，因此⑤不正确．由不等式的性质可推出②④成立．答案：②④ 10．设a ＝2－5，b ＝5－2，c ＝5－25，则a ，b ，c 之间的大小关系为______________．解析：a ＝2－5＝4－5＜0，∴b ＞0. c ＝5－25＝25－20＞0. b －c ＝35－7＝45－49＜0. ∴c ＞b ＞a . 答案：c ＞b ＞a11．已知a ＞2，b ＞2，试比较a ＋b 与ab 的大小．解析：∵ab －(a ＋b )＝(a －1)(b －1)－1，又a ＞2，b ＞2，∴a －1＞1，b －1＞1.∴(a －1)(b －1)＞1，(a －1)(b －1)－1＞0. ∴ab ＞a ＋b .12．(2013·锦州模拟)已知x ，y 为正实数，满足1≤lg xy ≤2,3≤lg x y≤4，求lg(x 4y 2)的取值范围．解析：设a ＝lg x ， b ＝lg y ，则lg (xy )＝a ＋b ，lg x y＝a －b ，lg(x 4y 2)＝4a ＋2b ，设4a ＋2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.又∵3≤3(a ＋b )≤6,3≤a －b ≤4. ∴6≤4a ＋2b ≤10.即lg(x 4y 2)的取值范围为[6,10]．13．(2013·大庆调研)已知a ，b ，c ∈R ＋，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N ，n >2时比较c n 与a n＋b n的大小．解析：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a n ，b n ，c n>0，而a n ＋b n cn ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n .∵a 2＋b 2＝c 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1，∴0<a c <1,02，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫b c2，∴a n＋b nc n＝⎝⎛⎭⎪⎫acn＋⎝⎛⎭⎪⎫bcn<a2＋b2c2＝1，∴a n＋b n<c n.。

2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：6.1不等关系与不等式

• • •
其中正确的是________(请把正确命题的序号都填上)．解析：①若c＝0则命题不成立．②正确．③中由2c＞0知成立．答案：②③
1 1 1 1 1．倒数性质：①a＞b，ab＞0⇒ ＜；②a＞0＞b⇒ ＞ . a b a b b b＋m b b－m 2．若 a＞b＞0，m＞0，则：①真分数的性质：a＜；＞ a＋m a a－m (b－m＞0)； a a＋m a a－m ②假分数的性质：b＞；b＜ (b－m＞0)． b＋m b－m
)
0.
2．比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，(1)作差法：a －b＞0⇔ a＞b ；a－b＝0⇔ a＝b ；a－b＜0⇔ a＜b .(2)作 a a a 商法：若 b＞0，则有＞1⇔a＞b；＝1⇔a＝b；＜1⇔a＜b. b b b
对点演练 1 ________ 3＋1(填“＞”或“＜”)． 2－1 1 解析：＝ 2＋1＜ 3＋1. 2－1 答案：＜
(1)若 c＞0，则①不成立；
由 ac2＞bc2 知 c2≠0，则 a＞b，②成立；由 a＜b＜0 知 a2＞ab＞b2，③成立； 1 1 a b 由 c＞a＞b＞0，得 0＜c－a＜c－b，则＞，则＞， c－a c－b c－a c－b ④成立； 1 1 b－a 若 a＞b，a－b＝ ab ＞0，则 a＞0，b＜0，⑤成立． (2)取 a＝－2，b＝－1，逐个检验选项可知，仅 C 选项成立．【答案】 (1)②③④⑤ (2)C
答案：(1)D (2)(3,8)
1 1 ， 8 3来自题型三利用不等式的性质证明简单的不等式 (1)已知 a＞b＞0，且 c＞d＞0，证明： 1 1 1 (2)设 a＞b＞c，求证：＋＋＞0. a－b b－c c－a a d＞ b c；

高考理科数学一轮复习课件不等关系与一元二次不等式

模拟测试卷及答案解析
• 答案解析 • 1.【分析】本题考查基本不等式求最值，属于基础题。将
$\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$与$a + b = 1$相乘，利用基本不等式即可求解。 • 【解答】$\frac{1}{a} + \frac{4}{b} = (\frac{1}{a} + \frac{4}{b})(a + b) = 5 + \frac{b}{a} + \frac{4a}{b} \geqslant 5 + 2\sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{4a}{b}} = 9$ ，当且仅当$\frac{b}{a} = \frac{4a}{b}$即$a = \frac{1}{3},b = \frac{2}{3}$时取等号，故答案为9。
模拟测试卷及答案解析
2.【分析】本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题。将不等式化为标准形式后，根据判别式即可求解。
【解答】由题意可知，不等式$mx^{2} + mx - 1 > 0$对一切实数$x$均不成立，即不等式$mx^{2} + mx - 1 leqslant 0$对一切实数$x$均成立。当$m = 0$时，不等式变为$-1 leqslant 0$，显然成立；当 $m neq 0$时，由$left{ begin{matrix} m < 0 m^{2} - 4m < 0 end{matrix} right.$解得$-4 < m < 0$。综上，实数$m$的取值范围是$-4 < m leqslant 0$。
用数轴上的两个点表示区间的两个端点，并用圆括号或方括号表示开闭
情况。例如，(a,b)表示开区间，{a}表示单点集，[a,b]表示闭区间，

高考数学大一轮复习-第六章不等式与推理证明第1课时不等关系与不等式课件北师大版

(2)a2a＋bb2≤－2⇔a2a＋bb2＋2＝a＋abb2≤0⇔ab＜0⇔ab＜＞00 或ab＞＜00 ，故选A. 答案 (1)C (2)A
在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．
是( )
A．a2＋1＞b2＋1
B.ba＜1
C．lg(a－b)＞0
D.13a＜13b
(2)已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N 的大小关系是( )
A．M＜N
B．M＞N
C．M＝N
D．不确定
(3)已知a＞b＞0，比较aabb与abba的大小．
审题视点 (1)运用特殊值验证即可．(2)可用作差法求解．(3)
(1)“作差比较法”的依据是“a－b＞0⇔a＞b，a－b＜0⇔a ＜b，a－b＝0⇔a＝b”，其过程可分三步：①作差；②变形；③ 判断差的符号．其中关键一步是变形．
(2)“作商比较法”的依据是“
a b
＞1，b＞0⇒a＞b”，是把两
数的大小比较转化为两数的商与1进行比较，在数式结构含有幂
或根式、绝对值时，可采用此方法．
1．实数x的绝对值不大于2，用不等式表示为( )
A．|x|>2
B．|x|≥2
C．|x|<2
D．|x|≤2
解析：“不大于”指“≤”，所以|x|≤2. 答案：D
2．某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车．根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6 辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．

高考数学第一轮复习：《不等关系与不等式》

高考数学第一轮复习：《不等关系与不等式》最新考纲1.了解现实世界和日常生活中的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景．3.掌握不等式的性质及应用.【教材导读】1．若a>b，c>d，则a－c>b－d是否成立？提示：不成立，同向不等式不能相减，如3>2,4>1，但3－4<2－1. 2．若a>b>0，则ac>bc是否成立？提示：不成立．当c＝0时，ac＝bc，当c<0时，ac<bc.3．若a>b，则a n>b n，na>nb是否成立？提示：不一定．当a>b>0，n∈N，n≥2时才成立．1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系设a，b∈R，则(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.2．不等式的基本性质性质性质内容注意对称性a>b⇔b<a ⇔传递性a>b，b>c⇒a>c ⇒可加性a>b⇔a＋c>b＋c ⇔可乘性⎭⎪⎬⎪⎫a>bc>0⇒ac>bcc的符号⎭⎪⎬⎪⎫a>bc<0⇒ac<bc同向可加性⎭⎪⎬⎪⎫a >b c >d ⇒a ＋c >b ＋d ⇒同向同正可乘性⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd ⇒可乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)a ，b 同为正数可开方性a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)(1)倒数性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b . ②a <0b >0，m >0，则 ①真分数的性质b a b －ma －m (b －m >0)． ②假分数的性质a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m (b －m >0)．1．设a ＋b ＜0，且b ＞0，则( ) (A)b 2＞a 2＞ab (B)b 2＜a 2＜－ab (C)a 2＜－ab ＜b 2 (D)a 2＞－ab ＞b 2答案：D2．若b ＜a ＜0，则下列结论不正确．．．的是( ) (A)a 2＜b 2 (B)ab ＜b 2 (C)b a ＋ab ＞2 (D)|a |－|b |＝|a －b | 答案：D3．设a＝2，b＝7－3，c＝6－2，则a，b，c的大小关系是() (A)a>b>c(B)a>c>b(C)b>a>c(D)b>c>aB解析：b＝7－3＝47＋3，c＝6－2＝46＋2.因为7＋3>6＋2，所以47＋3<46＋2，所以b<c.因为2(6＋2)＝23＋2>4，所以46＋2< 2.即c<a.综上可得b<c<a.故选B.4．若P＝a＋2＋a＋5，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，则P，Q的大小关系为() (A)P>Q(B)P＝Q(C)P<Q(D)由a的取值确定C解析：因为a≥0，P>0，Q>0，所以Q2－P2＝2a＋7＋2a2＋7a＋12－(2a＋7＋2a2＋7a＋10)＝2(a2＋7a＋12－a2＋7a＋10)>0.所以P<Q.5．已知a>b，ab≠0，则下列不等式中：①1a<1b；②a3>b3；③a2＋b2>2ab，恒成立的不等式的个数是________．解析：①取a＝2，b＝－1，则1a<1b不成立；②函数y＝x3在R上单调递增，a>b，所以a3>b3成立；③因为a>b，ab≠0，所以a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0，所以a2＋b2>2ab成立．综上可得：恒成立的不等式有两个．答案：2考点一用不等式(组)表示不等关系(1)某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为________．(2)已知4枝郁金香和5枝丁香的价格最多22元，而6枝郁金香和3枝丁香的价格不小于24元，则满足上述所有不等关系的不等式组为________．答案：(1)(8－x －2.50.1×0.2)x ≥20 (2)⎩⎨⎧4x ＋5y ≤226x ＋3y ≥24，x ≥0y ≥0【反思归纳】用不等式(组)表示不等关系 (1)分析题中有哪些未知量．(2)选择其中起关键作用的未知量，设为x 或x ，y 再用x 或x ，y 来表示其他未知量． (3)根据题目中的不等关系列出不等式(组)．提醒：在列不等式(组)时要注意变量自身的范围．【即时训练】已知甲、乙两种食物的维生素A ，B 含量如表：甲乙维生素A(单位/kg) 600 700 维生素B(单位/kg)800400设用甲、乙两种食物各有56 000单位维生素A 和62 000单位维生素B ，则x ，y 应满足的所有不等关系为________．解析：x ，y 所满足的关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤100，600x ＋700y ≥56 000，800x ＋400y ≥62 000，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤100，6x ＋7y ≥560，2x ＋y ≥155，x ≥0，y ≥0.答案：⎩⎨⎧x ＋y ≤1006x ＋7y ≥5602x ＋y ≥155x ≥0，y ≥0考点二不等式的性质若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) (A)a ＋1b ＜b2a ＜log 2(a ＋b ) (B)b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1b (C)a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2a (D)log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b2a【命题意图】本题考查不等式的应用，同时考查对数的运算．B 解析：根据题意，令a ＝2，b ＝12进行验证，易知a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 252＞1，因此a ＋1b ＞log 2(a ＋b )＞b2a .【反思归纳】判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：①不等式两边都乘以一个代数式时，所乘的代数式是正数、负数或0；②不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；③不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变．【即时训练】 (1)已知a ，b 为非零实数，且a ＜b ，则下列命题成立的是( ) (A)a 2＜b 2 (B)ab 2＜a 2b(C)1ab2＜1ba2(D)ba＜ab(2)若a，b∈R则1a3＞1b3成立的一个充分不必要条件是()(A)ab＞0 (B)b＞a(C)a＜b＜0 (D)a＞b＞0答案：(1)C(2)C考点三比较大小(1)比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R；(2)比较a a b b与a b b a(a，b为不相等的正数)的大小．解析：(1)(x6＋1)－(x4＋x2)＝x6－x4－x2＋1＝x4(x2－1)－(x2－1)＝(x2－1)(x4－1)＝(x2－1)(x2－1)(x2＋1)＝(x2－1)2(x2＋1)．当x＝±1时，x6＋1＝x4＋x2；当x≠±1时，x6＋1＞x4＋x2.(2)a a b ba b b a＝a a－b b b－a＝⎝⎛⎭⎪⎫aba－b，当a＞b＞0时，ab ＞1，a－b＞0，∴⎝⎛⎭⎪⎫aba－b＞1；当0＜a＜b时，ab ＜1，a－b＜0，∴⎝⎛⎭⎪⎫aba－b＞1.综上所述，总有a a b b＞a b b a.【反思归纳】比较大小常用的方法(1)作差法一般步骤是①作差；②变形；③判号；④定论．其中变形是关键，常采用因式分解、配方等方法把差变成积或者完全平方的形式．当两个式子都含有开方运算时，可以先乘方再作差．(2)作商法一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．作商比较大小时，要注意分母的符号避免得出错误结论．(3)特值法对于选择题可以用特值法比较大小．【即时训练】(1)(2017崇明县一模)若a<0，b<0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋b的大小关系为()(A)p<q(B)p≤q(C)p>q(D)p≥q(2)若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为________．解析：(1)p－q＝b2a＋a2b－a－b＝b2－a2a＋a2－b2b＝(b2－a2)·1a－1b＝(b2－a2)(b－a)ab＝(b－a)2(a＋b)ab，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0，若a＝b，则p－q＝0，此时p＝q，若a≠b，则p－q<0，此时p<q，综上p≤q.故选B.(2)ab＝18161618＝1816161162＝98161216＝98216，因为982∈(0,1)，所以98216<1，因为1816>0,1618>0，所以1816<1618.即a<b.答案：(1)B(2)a<b不等式变形中扩大变量范围致误设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．解析：法一设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，于是得⎩⎨⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1.所以f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又因为1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，即5≤f (－2)≤10. 法二由⎩⎨⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又因为1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10. 法三由⎩⎨⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A 32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，所以5≤f (－2)≤10. 答案：[5,10]易错提醒：(1)解决此类问题的一般解法是，先建立待求整体与已知范围的整体关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围；(2)此类求范围问题如果多次利用不等式的可加性，有可能扩大变量的取值范围而致误．课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．设a ，b ∈R ，则“a ＞1且b ＞1”是“ab ＞1”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件A 解析：a ＞1且b ＞1⇒ab ＞1；但ab ＞1，则a ＞1且b ＞1不一定成立，如a ＝－2，b ＝－2时，ab ＝4＞1.故选A.2．如果a >b ，则下列各式正确的是( ) (A)a ·lg x >b ·lg x (x >0) (B)ax 2>bx 2 (C)a 2>b 2(D)a ·2x >b ·2xD 解析：两边相乘的数lg x 不一定恒为正，选项A 错误；不等式两边都乘以x 2，它可能为0，选项B 错误；若a ＝－1，b ＝－2，不等式a 2>b 2不成立，选项C 错误．选项D 正确．3．已知1a ＜1b ＜0，给出下面四个不等式：①|a |＞|b |；②a ＜b ；③a ＋b ＜ab ；④a 3＞b 3.其中不正确的不等式的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3C 解析：由1a ＜1b ＜0可得b ＜a ＜0，从而|a |＜|b |，①不正确；a ＞b ，②不正确；a ＋b ＜0，ab ＞0，则a ＋b ＜ab 成立，③正确；a 3＞b 3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.故选C.4．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) (A)M ＜N (B)M ＞N (C)M ＝N (D)不确定答案：B5．设a ＜b ＜0，则下列不等式中不成立的是( ) (A)1a ＞1b (B)1a －b ＞1a (C)|a |＞－b (D)－a ＞－b答案：B6．若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞lnb 2.其中正确的不等式是( ) (A)①④ (B)②③ (C)①③ (D)②④答案：C7．设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论：①c a ＞cb ；②ac ＜b c ；③log b (a －c )＞log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( )(A)① (B)①② (C)②③ (D)①②③答案：D8．某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%.若p ＞q ＞0.则提价多的方案是________．解析：设原价为a ，方案甲提价后为a (1＋p %)(1＋q %)，方案乙提价后为a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋p %＋1＋q %22≥((1＋p %)(1＋q %))2＝(1＋p %)(1＋q %)，又∵p ＞q ＞0，∴等号不成立，则提价多的为方案乙．答案：乙9．已知f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2－1，φ(n )＝12n (n ∈N ＋，n ＞2)，则f (n )，g (n )，φ(n )的大小关系是________．解析：f (n )＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n＜12n ＝φ(n )，g (n )＝n －n 2－1＝1n ＋n 2－1＞12n ＝φ(n )，∴f (n )＜φ(n )＜g (n )．答案：f (n )＜φ(n )＜g (n )10．已知－1<a ＋b <3，且2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为____________．解析：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝52，y ＝－12，因为－52<52(a ＋b )<152，－2<－12(a －b )<－1，所以－92<52(a ＋b )－12(a －b )<132，即－92<2a ＋3b <132.答案：－92，132能力提升练(时间：15分钟)11．有外表一样、重量不同的四个小球，它们的重量分别是a ，b ，c ，d ，已知a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d ＞b ＋c ，a ＋c ＜b ，则这四个小球由重到轻的排列顺序是( )(A)d ＞b ＞a ＞c(B)b ＞c ＞d ＞a (C)d ＞b ＞c ＞a (D)c ＞a ＞d ＞bA 解析：∵a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d ＞b ＋c ，∴2a ＞2c ，即a ＞c .因此b ＜d .∵a ＋c ＜b ，∴a ＜b ，综上可得，c ＜a ＜b ＜d .12．若不等式(－1)n a ＜2＋(－1)n ＋1n 对于任意正整数n 都成立，则实数a 的取值范围是( )(A)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，32 (B)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，32 (C)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，32 (D)⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 A 解析：当n 取奇数时，－a ＜2＋1n ，因为n ≥1，故2＜2＋1n ≤3，所以－a ≤2，所以a ≥－2；当n 取偶数时，a ＜2－1n ，因为n ≥2，所以32≤2－1n ＜2，所以a ＜32，综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，32，故选A.13．若a ，b ，c ，d 均为正实数，且a ＞b ，那么四个数b a ，a b ，b ＋c a ＋c ，a ＋d b ＋d由小到大的顺序是________．解析：∵a ＞b ＞0，∴a b ＞1，a ＋d b ＋d ＞1，b a ＜1，b ＋c a ＋c ＜1，则a b －a ＋d b ＋d ＝d (a －b )b (b ＋d )＞0，即a b ＞a ＋c b ＋c ，b a －b ＋c a ＋c ＝c (b －a )a (a ＋d )＜0，即b a ＜b ＋c a ＋c ，所以由小到大的顺序是b a ＜b ＋c a ＋c ＜a ＋d b ＋d ＜a b答案：b a ＜b ＋c a ＋c ＜a ＋d b ＋d ＜a b14．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76000v v 2＋18v ＋20l. ①如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时；②如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比①中的最大车流量增加______辆/时．解析：①当l ＝6.05时，F ＝76000v v 2＋18v ＋121＝76000v ＋121v ＋18≤760002v ·121v＋18＝7600022＋18＝1900. 当且仅当v ＝11米/秒时等号成立，此时车流量最大为1900辆/时．②当l ＝5时，F ＝76000v v 2＋18v ＋100＝76000v ＋100v ＋18≤760002v ·100v ＋18＝7600020＋18＝2000. 当且仅当v ＝10米/秒时，车流量最大为2000辆/时比①中最大车流量增加100辆/时．15．建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比不应小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．解：设原来的窗户面积与地板面积分别为a 、b ，且a b ≥10%，窗户面积和地板面积同时增加的面积为c ，则现有的窗户面积与地板面积分别为a ＋c ，b ＋c .于是原来窗户面积与地板面积之比为a b ，面积均增加c 以后，窗户面积与地板面积之比为a ＋c b ＋c，因此要确定采光条件的好坏，就转化成比较a b 与a ＋c b ＋c的大小，采用作差比较法． a ＋c b ＋c －a b ＝c (b －a )(b ＋c )b. 因为a ＞0，b ＞0，c ＞0，又由题设条件可知a ＜b ，故有a b ＜a ＋c b ＋c 成立，即a ＋c b ＋c ＞a b≥10%. 所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．。

【新高考】高三数学一轮基础复习讲义：第七章 7.1不等关系与不等式-教师版

不等关系与不等式判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a 1，则a >b .( × )(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × )(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( × )(5)a >b >0，c >d >0⇒a d >b c .( √ )(6)若ab >0，则a >b ⇔1a <1b .( √ )题型一比较两个数(式)的大小例1 (1)已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是() A ．M <N B ．M >NC ．M ＝ND ．不确定(2)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( )A ．a 0，即M －N >0.∴M >N .(2)方法一易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln 44ln 3＝log 8164<1，所以a >b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1，所以b >c .即c e 时，函数f (x )单调递减．因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c <b <a .思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系．(1)设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( )A ．A ≤B B ．A ≥BC ．A <BD ．A >B(2)若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为________．答案 (1)B (2)a <b解析 (1)∵A ≥0，B ≥0，A 2－B 2＝a ＋2ab ＋b －(a ＋b )＝2ab ≥0，∴A ≥B .(2)a b ＝18161618＝(1816)161162＝(98)16(12)16＝(982)16， ∵982∈(0,1)，∴(982)16<1，∵1816>0,1618>0，∴1816<1618，即a ac B ．c (b －a )<0C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0(2)若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a 0.由b >c 得ab >ac 一定成立．(2)因为1a <1b<0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ，因为b <0，所以ab 0>b >－a ，c <d <0，则下列结论：①ad >bc ；②a d ＋b c<0；③a －c >b －d ；④a (d －c )>b (d －c )中成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析方法一 ∵a >0>b ，c <d <0，∴ad <0，bc >0，∴ad <bc ，故①错误．∵a >0>b >－a ，∴a >－b >0，∵c <d <0，∴－c >－d >0，∴a (－c )>(－b )(－d )，∴ac ＋bd <0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bd cd<0，故②正确． ∵c <d ，∴－c >－d ，∵a >b ，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )，∴a －c >b －d ，故③正确．∵a >b ，d －c >0，∴a (d －c )>b (d －c )，故④正确，故选C.方法二取特殊值．题型三不等式性质的应用命题点1应用性质判断不等式是否成立例3已知a>b>0，给出下列四个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③a－b>a－b；④a3＋b3>2a2b.其中一定成立的不等式为()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④答案 A解析方法一由a>b>0可得a2>b2，①成立；由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立；∵a>b>0，∴a>b，∴(a－b)2－(a－b)2＝2ab－2b＝2b(a－b)>0，∴a－b>a－b，③成立；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b3<2a2b，④不成立．故选A.方法二令a＝3，b＝2，可以得到①a2>b2，②2a>2b－1，③a－b>a－b均成立，而④a3＋b3>2a2b不成立，故选A.命题点2 求代数式的取值范围例4 已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是______，3x ＋2y 的取值范围是______．答案 (－4,2) (1,18)解析 ∵－1<x <4,2<y <3，∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6，∴1<3x ＋2y <18.引申探究1．若将已知条件改为－1<x <y <3，求x －y 的取值范围．解 ∵－1<x <3，－1<y <3，∴－3<－y <1，∴－4<x －y <4.又∵x <y ，∴x －y <0，∴－4<x －y <0，故x －y 的取值范围为(－4,0)．2．若将本例条件改为－1<x ＋y <4,2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围．解设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎨⎧ m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32，∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232， ∴3x ＋2y 的取值范围为(－32，232)．思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．(2)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．(1)若a 1bB ．a 2<ab C.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1 D ．a n >b n(2)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b；②a c log a (b －c )．其中所有正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③答案 (1)C (2)D解析 (1)(特殊值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确；C 项，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1) ⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |，∵a b >1知1a <1b，又c <0，∴c a >c b，①正确；构造函数y ＝x c ，∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数，又a >b >1，∴a c b >1，c <0，∴a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，③正确．1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧ a －b >0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ b a －b <0⇔a < b(a ，b ∈R )； (2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ a b >1⇔a > b a b ＝1⇔a ＝ ba b <1⇔a < b(a ∈R ，b >0)．2．不等式的基本性质不等式的一些常用性质(1)倒数的性质①a >b ，ab >0⇒1a <1b. ②a <0b >0,0<c <d ⇒a c >b d. ④0<a <x b >0，m >0，则①b a b －m a －m(b －m >0)． ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m(b －m >0)．典例设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________．错解展示解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2， ①2≤a ＋b ≤4， ② ①＋②得3≤2a ≤6，∴6≤4a ≤12，又由①可得－2≤－a ＋b ≤－1，③ ②＋③得0≤2b ≤3，∴－3≤－2b ≤0，又f (－2)＝4a －2b ，∴3≤4a －2b ≤12，∴f (－2)的取值范围是[3,12]．答案 [3,12]现场纠错解析方法一由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎨⎧ a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法二由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4 确定的平面区域如图阴影部分所示，当f (－2)＝4a －2b 过点A (32，12)时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f (－2)≤10.答案 [5,10]纠错心得在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.1．设a 1bB.1a －b >1a C ．|a |>－b D.－a >－b答案 B解析由题设得a <a －b <0，所以有1a －b <1a成立，即1a －b >1a 不成立．2．若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 a －b >0⇒a >b⇒a >b ⇒a 2>b 2，但由a 2－b 2>0a －b >0.3．若a ，b ∈R ，且a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是( )A ．a －b >0B ．a 3＋b 3>0C ．a 2－b 2<0D ．a ＋b <0答案 D解析由a ＋|b |<0知，a <0，且|a |>|b |，当b ≥0时，a ＋b <0成立，当b <0时，a ＋b <0成立，∴a ＋b <0成立.故选D.4．若0<a 1且2a <1， ∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12.即a <2ab <12，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12，a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)，又2b －1>0，b －1<0，∴a 2＋b 2－b <0，∴a 2＋b 2b ，c >d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式成立的是() A ．ad >bc B ．ac >bdC ．a －c >b －dD ．a ＋c >b ＋d答案 D解析由不等式的同向可加性得a ＋c >b ＋d .2．若6<a <10，a 2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是( )A ．9≤c ≤18B ．15<c <30C ．9≤c ≤30D ．9<c <30答案 D解析 ∵c ＝a ＋b ≤3a 且c ＝a ＋b ≥3a 2，∴9<3a 2≤a ＋b ≤3a <30.3．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是( )A ．xy >yzB ．xz >yzC ．xy >xzD ．x |y |>z |y |答案 C解析 ∵x >y >z 且x ＋y ＋z ＝0，∴x >0，z <0，又y >z ，∴xy >xz .4．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由(a －b )·a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a b ，则ac 2>bc 2B ．若a c >b c，则a >b C ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b答案 C解析当c ＝0时，可知A 不正确；当c <0时，可知B 不正确；对于C ，由a 3>b 3且ab <0，知a >0且b <0，所以1a >1b成立，C 正确；当a <0且b <0时，可知D 不正确．7．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a ＋1b >b ＋1aB.b a >b ＋1a ＋1 C ．a －1b >b －1aD.2a ＋b a ＋2b >a b答案 A解析取a ＝2，b ＝1，排除B ，D ；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x 在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a，但g (a )>g (b )未必成立，故选A. 8．若a >b >0，则下列不等式一定不成立的是( )A.1a <1b B ．log 2a >log 2bC ．a 2＋b 2≤2a ＋2b －2D ．b <ab <a ＋b 2<a 答案 C 解析 ∵(a －1)2＋(b －1)2>0(由a >b >0，得a ，b 不能同时为1)，∴a 2＋b 2－2a －2b ＋2>0，∴a 2＋b 2>2a ＋2b －2，∴C 项一定不成立．9．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a >b ，则a ·2c >b ·2c .其中正确命题的序号是________．答案 ②③解析 ①不对，因为c 2可以为0；②对，因为c 2>0；③对，因为2c >0.10．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 a ＝b >c解析 ∵a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，∴a ＝b ，又a ＝log 233>1，c ＝log 32<1，∴a >c .故a ＝b >c .11．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b>0； ②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0；③若bc－ad>0，ca－db>0，则ab>0.其中正确的命题是________．答案①②③解析∵ab>0，bc－ad>0，∴ca－db＝bc－adab>0，∴①正确；∵ab>0，又ca－db>0，即bc－adab>0，∴bc－ad>0，∴②正确；∵bc－ad>0，又ca－db>0，即bc－adab>0，∴ab>0，∴③正确．故①②③都正确．12．设a>b>c>0，x＝a2＋(b＋c)2，y＝b2＋(c＋a)2，z＝c2＋(a＋b)2，则x，y，z的大小关系是________．(用“>”连接)答案z>y>x解析方法一y2－x2＝2c(a－b)>0，∴y>x.同理，z>y，∴z>y>x.方法二令a＝3，b＝2，c＝1，则x＝18，y＝20，z＝26，故z>y>x.13．甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？解设路程为s，跑步速度为v1，步行速度为v2，甲到教室所用时间为t甲，乙到教室所用时间为t乙．t甲＝s2v1＋s2v2＝s(v1＋v2)2v1v2，s ＝t 乙2·v 1＋t 乙2·v 2⇒t 乙＝2s v 1＋v 2， ∴t 甲t 乙＝(v 1＋v 2)24v 1v 2≥(2v 1v 2)24v 1v 2＝1. ∴t 甲≥t 乙，当且仅当v 1＝v 2时“＝”成立．由实际情况知v 1>v 2，∴t 甲>t 乙．∴乙先到教室．*14.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元/人，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1) ＝14x ＋34nx ， y 2＝45nx . 所以y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x (1－n 5)．当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费同等优惠；当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠；当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠．。

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2015年高考数学理一轮复习精品资料【新课标版】预测卷
第一节不等关系与不等式
一、选择题
1. 若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( )
A ．－n ＜m ＜n ＜－m
B ．－n ＜m ＜－m ＜n
C ．m ＜－n ＜－m ＜n
D ．m ＜－n ＜n ＜－m
2.【2014·黄冈质检】已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中成立的是( )
A ．xy >yz
B ．xz >yz
C ．xy >xz
D ．x |y |>z |y |
3. 设2πα∈(0,)，2
πβ∈[0,]，那么3
β
α2-
的取值范围是( )
A.⎝
⎛⎭⎪⎫0，5π6
B.⎝
⎛⎭
⎪⎫－π6，5π6
C ．(0，π)
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，π
4. 若
11
<<0a b
，则下列结论不正确的是( ) A ．2
2
a b ＋＋【答案】D ．【解析】∵
11
<<0a b
，∴0a b >>.∴22a b <，2ab b <，0a b <＋，||a b a b =＋＋.
5.【2014·上海十三校联考】已知
11
<<0a b
，给出下面四个不等式：①|a |>|b |；②a b 3.其中不正确的不等式的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6.【改编题】若a<b<0，则下列结论正确的是（）.
A.
1111a b |a ||b |>>和均不成立 B.1111
a-b a |a ||b |>>和均不成立
C.
221111a )(b )a b a b a >+>+-和(均不成立 D.221111
(a )(b+)|a ||b |b a
>+>和均不成立
7. 已知0＜a ＜1，log log a
a x =1
log 52
a y =，log log a a z =( )
A ．x ＞y ＞z
B ．z ＞y ＞x
C ．y ＞x ＞z
D ．z ＞x ＞y
8. 设,a b R ∈，则“()2
0a b a -<”是“a b <”的（）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件【答案】A
【解析】若2()0a b a -<，则知0,a ≠即2
0,a >所以0,a b -<即a b <；令0,1a b ==，满足a b <，但
2()0a b a -=.所以2()0a b a -<是a b <的充分而不必要条件.选A .
9. 已知2>a ，2>b ，则
A 、b a ab +≥
B 、 b a ab +≤
C 、b a ab +>
D 、b a ab +< 【答案】C
【解析】因为，2>a ，2>b ，所以，1111110,0,(0,1)22a b a b ab a b
+<<<<=+∈，即b a ab +>，故选C 。

10. 若0a >，0b >，2a b +=，则下列不等式：①222a b +≥；②11
2a b
+≥；③1ab ≤恒成立的是 A ．①②④
B ．①②③
C ．②③④
D ．①③④
二、填空题
11. 【2014·扬州期末】若1212a a b b <<，，则1122a b a b ＋与1221a b a b ＋的大小关系是________．
12. 若13α＜＜，42β－＜＜，则α－|β|的取值范围是________．. 【答案】()3,3－
【解析】∵42β－＜＜，∴04||β≤＜，∴|4|0β≤－＜－，∴33αβ－＜－＜． 13. 已知存在实数a 满足2
ab a ab >>，则实数b 的取值范围是________．
三、解答题
14. 已知c b a R c b a ≠≠∈+
且,,,，试比较 abc c a ac c b bc b a ab 6)()()(与+++++的大小.
15. 已知2
2
π
π
αβ-
≤<≤
，求
2
αβ
+，
2
αβ
-的取值范围
16. 如图，y ＝f (x )反映了某公司产品的销售收入y 万元与销售量x 吨的函数关系，y ＝g (x )反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系，试问：
(1)当销售量为多少时，该公司赢利(收入大于成本)?
(2)当销售量为多少时，该公司亏损(收入小于成本)?。