高中数学研究性学习方式的探究

高中数学研究性学习方式的探究
高级中学 龚锦青
研究性学习活动的内容可立足于教材，有时又高于教材，跳出教材．问题设计要符合基础性、多样性、层次性、开放性的原则，着眼于培养学生的创新精神和实践能力．根据学生认知形成和发展规律，可以把研究性活动分为形成性研究、建构性研究、应用性研究等方式、方法．在一种研究活动中，可能用到一种或几种研究活动的方法．
（一）形成性研究活动的方式、方法
结合教材内容把一些知识形成过程的典型材料设计为研究性问题．这些材料可以是数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的发生、发展和形成过程，解题思路的探索过程，解题方法和规律的概括过程等．运用《几何画板》，把这些知识形成过程的教学设计为学生再发现、再创造的研究性活动，以培养学生的能力．
曲线的方程和方程的曲线是解析几何的重要概念，理解辨析“两个关系”是教学的难点，学生不理解规定“曲线上点的坐标都是方程的解”和“以方程的解为坐标的点都在曲线上”的意义何在，各自起何作用，只从字句上死记硬背，或干脆认为同义反复，随后面对充分必要条件、轨迹的纯粹性完备性等一系列数学抽象学生更加费解．
案例1： 证明以坐标原点为圆
心，半径等于5的圆的方程是
x 2+y 2=25，并判断点M 1（3,4），
M 2(-25,2) 是否在这个圆上．
借助“几何画板”平台，通过上
例引出两个关系，直观表示概念的形成过程．（如图1）
正面演示：在⊙O ：x 2+y 2=25
上任取一点P ， 图1 “测算”坐标值后计算平方和，显示252
2=+P P y x ，制作动画让点P 沿⊙O 移动，
学生观察到随点P 的运动其坐标值自动更新，但2522=+P P y x 保持不变．另一方面，选中
两端点在x 轴上的⊙O 直径，在其上任取一点A ，“测算”该点横坐标x ，计算2
25x -±作为纵坐标y ，绘制点B 、C ，缓缓拖动点A ，容易发现点B 、C 总在⊙O 上．这样通过上述的动态模拟，用学生的亲身体验建立起“曲线上的点”与“方程的解”之间的对应关系，完成对“两个关系”的意义构建．
构造反例：方程（1）225x y -=，（2）x 4-y 4+25y 2-25x 2=0 是否表示⊙O 的方程？学生从直觉上判断应该不是．教师要求用“两个关系”加以验证：当点P 在下半圆运动时，发现曲线上的点并不都是方程(1)的解；用方程（2）的解⎩⎨⎧==11
y x 绘制点，发现方程(2)的解
的点并不都在曲线上．从中领悟到二者缺一不可的道理，这将有助于学生理解，有助于学生通其法知其理．
（二）建构性研究活动的方式、方法
建构性研究是立足于引导学生在理解数学知识的基础上，应用例题、习题的研究功能，建立完整的知识系统，使学生形成良好的认识结构。

新教材的编写非常注重学生掌握知识的认知规律：新教材加强了研究性学习和动手实践等各种学习方式的运用，新教材强化了选择性，提倡学生对问题有自己的独特见解，为发展学生个性留下了充分的空间，在平时教学中，教师要时时注意挖掘教材精髓，引导学生积极探究，激励学生养成良好的研究习惯。

案例2：高中数学新教材第二册（上）第13页例4：“甲、乙两人同时同地沿同一路
线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走；如果m ≠n ，问甲、乙两人谁先到达指定地点”。

对这道题如果老师照本宣科，就失去了对学生进行创造性思维训练的一次机会。

因此
在例题教学过程中，教师可对问题进行引申、拓展，引导学生积极探究。

引申1：甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有1p
时间以速度m 行走，
另 1
1p -时间以速度n 行走；乙有1p 路程以速度m 行走，另 11p
-路程以速度n 行走；如
果m≠n，问甲、乙两人谁先到达指定地点（p>1,p*
）。

N
引申2：甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲把行走这段段路程所需的
乙把行走总时间n等分，每一个等分时间里行走的速度分别是m1、m2、m3、……、m n
；
的路程S进行n等分，在每一个等分时间里行走的速度分别是m1、m2、m3、……、m n
；如果m1、m2、m3、……、m n不全相等，问甲、乙两人谁先到达指定地点。

通过引申学生从不同角度、不同侧面及其实际意义进行研究，激发了学生强烈的求知欲，培养了学生的探索精神和应变能力。

建构性研究旨在使学习者真正地、深刻地理解知识，为此，教师需要就学习内容设计出有思考价值的、有意义的问题，引导学生通过持续的概括、分析、推论、假设检验等思维活动，来建构起与此相关的知识．在此过程中，教师要更多地帮助学习者对自己的学习策略、理解状况、以及见解的合理性等进行监视和调节．为了促进学习者的知识建构，教师要创设平等、自由、相互接纳的学习气氛，在教师――学生以及学生――学生之间展开充分的交流、讨论、争辩和合作，教师自己要耐心地聆听他们的想法，以便提供有针对性的引导．另一方面，教师要为学生设计情境性的、多样化的学习情境，要帮助学生利用各种有力的建构工具来促进自己的知识建构活动．
（三）应用性研究活动的方式、方法
用于数学研究性学习的材料应是建立在学生现有知识经验基础之上，能够激起学生解决问题的欲望，体现数学研究的思想方法和应用价值，有利于营造广阔的思维活动空间，使学生的思路越走越宽，思维的空间越来越大的一种研究性材料．数学研究性学习的材料不仅仅是教师自己提供的，而且教师应鼓励学生通过思考、调查、查阅资料等方式概括出问题，甚至可以通过日常生活情景提出数学问题，进而提炼成研究性学习的材料．在研究性学习的过程中，学生是学习的主人，是问题的研究者和解决者，是主角，而教师则在适当的时候对学生给予帮助，起着组织和引导的作用．联系实际，让学生参与研究性学习实践活动.
案例3：（高一〈下〉5.12研究性课题：向量在物理中的应用）
如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m．一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处，船航行的速度|v1|=10km/h,水流速度|v2|=4km/h,那么v 1与v2的夹角θ（精确到1°）多大时，船才能垂直到达对岸B
处？船行驶多少时间（精确到
0．1min）？
教师让学生在计算机上用
几何画板，获得BC两点距离与
河宽d之间不同关系时，v、
θ、t相应的数据，再从数据中
探究θ与t的关系式，并求出当
θ为何值时，t的最小值，最后用几何画板加以验证．
总之，研究性学习作为一种学习方式渗透到数学学科的教学活动中，给教师的教学观念带来了深刻的变化，教师不再为某个问题讲得是否透切学生是否真正理解而担忧，因为通过学生的自主学习、交流、合作研究活动已把问题解决得趋于完美，有时虽然不甚完美但教师也只要稍加点拔就可把问题彻底解决，不必多费口舌。

而给学生带来了的更是深远的影响，因为老师“唾沫横飞”“眉飞色舞”的时间少了那么势必给学生思考学习的时间就多了，大部分的问题可以通过学生自主学习而得以解决，留下来的少部分问题再通过学生间、师生间的合作交流加以解决，相对来说这样的课学生较喜欢上，与“满堂灌”“一言堂”的课相比，更易出效率，故我将乐此不疲。

参考文献：
[1]《信息技术环境下教学学习模式的建构》罗剑虹《中小学信息技术》
[2]《普通高中研究性学习案例》，第一辑/张民生主编,上海科技教育出版社，
[3]霍益萍，张人红，我们对“研究性学习”的理解、教育发展与研究，
[4]程太生、普通高中开设“研究性学习”的实践与思考、教育理论与实践
[5]《研究性学习及基本特征》龙开奋《数学通讯》2003。

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