人教版高三数学(文)上学期第二次月考试题

河北定州中学届高三上学期第二次月考数学文试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、设集合{})23lg(x y x A -==，集合{}x y y B -==1，则AB = ( )A ． (]1,∞-B. )23,(-∞ C ．)23,0[ D ．),23(+∞ 2、sin160sin10cos 20cos10︒︒︒︒-的值是( )A ．3-B ．12-C ．12D ．33、已知a 为实数，若复数2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则20151a i i++的值为( )A ．1B ．-1C ．iD ．i -4、直线:1l y kx =+与圆221x y +=相交于A ，B 两点，则“△OAB 的面积为43”是“3=k ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5、设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤+1011y x x y x ，则目标函数2-=x y z 的取值范围为( )A ．[]3,3-B ．[]2,2-C ．[]1,1-D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,326、定义在R 上的偶函数)(x f 满足：对任意的1212,(,0)()x x x x ∈-∞≠，都有1212()()0f x f x x x -<-.则下列结论正确的是 ( )A ．)5(log )2()3.0(23.02f f f << B ．)3.0()2()5(log 23.02f f f <<C ．)2()3.0()5(log 3.022f f f << D ．)2()5(log )3.0(3.022f f f <<7、当输入的实数[]2,30x ∈时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是 ( )A ．528B ．629C ．914D ．1929正视图侧视图俯视图5343（10题图）8、函数()sin()(,0,0,)2f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示, 如果1x 、2(,)63x ππ∈-，且12()()f x f x =，则 12()f x x +等于( )A ．12B ．22C ．32D ．19、设正项等比数列{}n a 的前n 项之积为n T ，且14128T =，则7811a a +的最小值是 ( ) A 2B 3 C ．2D ．2310、若某几何体的三视图(单位：cm )如右图所示，则该几何体的 体积等于( )A ．310cm B ．320cm C ．330cm D ．340cm 11、定义12nnp p p +++为n 个正数n p p p ,,,21 的“均倒数”．若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为123n +，又12n n a b +=，则1223910111+b b b b b b ++…=( ) A ．17 B ．1069 C ．14 D ．103912、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，若双曲线上存在点P ，使1221sin sin 0c PF F a PF F ∠=∠≠，则该双曲线离心率的取值范围为( )A ．(2，B ．(2， C ．(2+1⎤⎦， D ．()2+1， 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、设向量,a b 是两个不共线的向量，若3-a b 与λ+a b 共线，则实数λ= . 14、设函数2()ln f x a x bx =+，若函数()f x 在1x =处与直线12y =-相切，则实数a b +=15、已知ABC ∆的三个顶点在同一个球面上，6AB =，8BC =，10AC =.若球心O 到平面ABC 的距离为5，则该球的表面积为 .16、若函数对定义域的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”．给出以下命题：①是“依赖函数”；②是“依赖函数”；③是“依赖函数”；④是“依赖函数”；⑤，都是“依赖函数”，且定义域相同，则是“依赖函数”．其中所有真命题的序号是_____．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）已知函数)0(21cos cos sin 3)(2>+-=ωωωωx x x x f 经化简后利用x ① π32 π35 )(x f1－1（Ⅰ）请直接写出①处应填的值，并求函数()f x 在区间,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域； （Ⅱ）∆ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，已知()1,3f A π+=4+=b c ，7a =，求ABC ∆的面积．18、（本小题满分12分）2015年“五一节”期间，高速公路车辆较多，交警部门通过路面监控装置抽样调查某一山区路段汽车行驶速度，采用的方法是：按到达监控点先后顺序，每隔50辆抽取一辆，总共抽取120辆，分别记下其行车速度，将行车速度（km/h ）分成七段[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95）后得到如图所示的频率分布直方图，据图解答下列问题： （Ⅰ）求a 的值，并说明交警部门采用的是什么抽样方法？ （Ⅱ）求这120辆车行驶速度的众数和中位数的估计值（精确到0.1）；（Ⅲ）若该路段的车速达到或超过90km/h 即视为超速行驶，试根据样本估计该路段车辆超速行驶的概率.19、（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 是矩形，截面1A BC 是等边三角形．（Ⅰ） 求证：AB AC =；（Ⅱ）若AB AC ⊥，三棱柱的高为1，求点1C 到截面1A BC 的距离．()y f x =1x 2x 12()()1f x f x =y x =1y x=2xy =ln y x =()y f x =()y g x =()()y f x g x =⋅20、（本小题满分12分）已知函数()()2+1ln f x a x ax =-，21()2g x x x =-. （I ）若函数()f x 在定义域内为单调函数，求实数a 的取值范围； （II ）证明：若17a -<<，则对于任意1212,(1,),,x x x x ∈+∞≠有1212()()1()()f x f xg x g x ->--.21、（本小题满分12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率12e =，右焦点到直线1=+b y a x 的距离721=d ，O 为坐标原点. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆C 分别交于A 、B 两点，证明点O 到直线AB 的距离为定值，并求弦AB 长度的最小值.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22、（本小题满分10分）如图，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l 垂直的直径，P 是⊙O 与l 的公共点，AC⊥l ，BD⊥l ，垂足分别为C ，D ，且PC=PD ． （Ⅰ）求证：l 是⊙O 的切线；（Ⅱ）若⊙O 的半径OA=5，AC=4，求CD 的长．23、（本小题满分10分）已知直线l 的参数方程是22242x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），⊙C 的极坐标方程为22cos()4πρθ=+．（Ⅰ）求圆心C 的直角坐标；（Ⅱ）试判断直线l 与⊙C 的位置关系．24、（本小题满分10分）已知函数()2123f x x x =-++． （Ⅰ）求不等式()6f x ≤的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式()1f x a <-的解集非空，求实数a 的取值范围．河北定州中学2016届高三上学期第二次月考数学文试题一、选择题：(1)--(6) CADBDA (7)--(12) CCABAD 二、填空题：(13) 13-(14)12(15) 200π (16) ②③ 三、解答题：（17）（本小题满分12分） （Ⅰ）①处应填入6π．………1 分1cos 21()222x f x x ωω+=-+12cos 2sin(2)226x x x πωωω=-=-．………3分 因为T=522()233πππ-=，所以222ππω=，12ω=，即()sin()6f x x π=-．………4分因为,23x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2366x πππ-≤-≤，所以11sin()62x π-≤-≤，故)(x f 的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦…6分（Ⅱ）()sin()136f A A ππ+=+=，又0,A π<<∴ 7666A πππ<+<，得62A ππ+=，3A π=…8分由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-2()2cos 3b c bc bc π=+--2()3b c bc =+-，即2243bc =-，所以3bc =．………10分所以ABC ∆的面积11sin 322S bc A ==⨯=． ………12 分（18）（本小题满分12分） （I ）由图知：（a +0.05+0.04+0.02+0.02+0.005+0.005）×5=1，∴a =0.06，该抽样方法是系统抽样； …4分（II ）根据众数是最高矩形底边中点的横坐标，∴众数为77.5；∵前三个小矩形的面积和为0.005×5+0.020×5+0.040×5=0.325，第四个小矩形的面积为0.06×5=0.3，∴中位数在第四组，设中位数为75+x ，则0.325+0.06×x=0.5⇒x ≈2.9， ∴数据的中位数为77.9； …8分（III ）样本中车速在[90，95）有0.005×5×120=3（辆），∴估计该路段车辆超速的概率P=3112040=． …12分（19）（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：取BC 中点O ，连OA ，OA 1．因为侧面BCC 1B 1是矩形，所以BC ⊥BB 1，BC ⊥AA 1， 因为截面A 1BC 是等边三角形，所以BC ⊥OA 1，所以BC ⊥平面A 1OA ，BC ⊥OA ，因此，AB ＝AC ． …5分（Ⅱ）设点A 到截面A 1BC 的距离为d ，由V A －A 1BC ＝V A 1－ABC 得S △A 1BC ×d ＝S △ABC ×1，得BC ×OA 1×d ＝BC ×OA ×1，得d ＝OAOA 1．由AB ⊥AC ，AB ＝AC 得OA ＝ 1 2BC ，又OA 1＝32BC ，故d． 因为点A 与点C 1到截面A 1BC 的距离相等，所以点C 1到截面A 1BC 的距离为33．…12分（20）（本小题满分12分）（I ）解析：函数()()2+1ln f x a x ax =-的定义域为(0,)+∞()()2+12+1()a ax a f x a x x-+'=-=令()()2+1m x ax a =-+，因为函数()y f x =在定义域内为单调函数，说明()0f x '≥或()0f x '≤恒成立，……………2分即()()2+1m x ax a =-+的符号大于等于零或小于等于零恒成立，当0a =时，()20m x =>，()0f x '>，()y f x =在定义域内为单调增函数； 当0a >时，()()2+1m x ax a =-+为减函数， 只需()(0)2+10m a =≤，即1a ≤-，不符合要求； 当0a <时，()()2+1m x ax a =-+为增函数，只需()(0)2+10m a =≥即可，即1a ≥-，解得10a -≤<， 此时()y f x =在定义域内为单调增函数；……………4分 综上所述[1,0]a ∈-………………5分 （II ）22111()(1)222g x x x x =-=--在区间(1,)+∞单调递增， 不妨设121x x >>，则12()()g x g x >，则1212()()1()()f x f xg x g x ->--等价于1212()()(()())f x f x g x g x ->--等价于1122()()()+()f x g x f x g x +>………………7分 设()21()()+()2+1ln (1)2n x f x g x x a x a x ==+-+，解法一：则22(1)()(1)(1)2a n x x a a x +'=+-+≥+=-，由于17a -<<，故()0n x '>，即()n x 在(1,)+∞上单调增加，……………10分 从而当211x x <<时，有1122()()()+()f x g x f x g x +>成立，命题得证！………………12分解法二：则22(1)(1)2(1)()(1)=a x a x a n x x a x x+-+++'=+-+ 令2()(1)2(1)p x x a x a =-+++22(1)8(1)67(7)(1)0a a a a a a ∆=+-+=--=-+<即2()(1)2(1)0p x x a x a =-+++>在17a -<<恒成立 说明()0n x '>，即()n x 在(1,)+∞上单调增加，………………10分从而当211x x <<时，有1122()()()+()f x g x f x g x +>成立，命题得证！………………12分（21）（本小题满分12分） （I ）由题意得12c e a ==，∴2a c =，∴b ==………………….1分 由题意得椭圆的右焦点(,0)c 到直线1x ya b+=即0bx ay ab +-=的距离为77d c ====，∴1c =………….…….……...3分∴2a =，b =∴椭圆C 的方程为22143x y +=……..…….…….…….…….…….4分（II ）(i)当直线AB 斜率不存在时，直线AB 方程为7212=x ， 此时原点与直线AB 的距离7212=d …..……..…….…….…….…….…….…….… 5分(ii)当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立得22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去得222(34)84120k x kmx m +++-=，122834kmx x k ∴+=-+，212241234m x x k -=+…….6分OA OB ⊥，12120x x y y ∴+=由1212()2y y k x x m +=++，22121212()y y k x x km x x m =+++， ∴221212(1)()0k x x km x x m ++++=整理得22712(1)m k =+，∴212(1)7k m +=， 故O 到直线AB 的距离22212(1)7122217711k m d k k +====++ 综上：O 到直线AB 的距离定值2217……………………………………………………9分OA OB ⊥,2222AB OA OB OA OB ∴=+≥⋅，当且仅当OA OB =时取“=”号.∴22AB OA OB ⋅≤， 又由等面积法知d AB OA OB ⋅=⋅，∴22AB d AB ⋅≤,有42127AB d ≥=即弦AB 的长度的最小值是4217………………..12分（22）（本小题满分10分）（Ⅰ）证明：连接OP ，因为AC ⊥l ，BD ⊥l ，所以AC ∥BD ． 又OA=OB ，PC=PD ，所以OP ∥BD ，从而OP ⊥l ．因为P 在⊙O 上，所以l 是⊙O 的切线．…………..5分 （Ⅱ）解：由上知OP=（AC+BD ），所以BD=2OP ﹣AC=6，过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，则BE=BD ﹣AC=6﹣4=2， 在Rt △ABE 中，AE==4，∴CD=4．………………………………………….10分（23）（本小题满分10分）（I ）由⊙C 的极坐标方程为22cos()4πρθ=+，展开化为2cos()2(cos sin )4πρθρθθ=+=-， 即2222x y x y +=-，化为22(1)(1)2x y -++=∴圆心C (1,1)-．……………………………..5分（II ）由直线l 的参数方程（t 是参数），消去参数t 可得x ﹣y-4=0，∴圆心C 到直线的距离4d ==>l 与圆相离．…………….10分（24）（本小题满分10分）（Ⅰ）由()21236f x x x =-++≤得13322x x -++≤解得12≤≤-x ∴不等式的解集为[2,1]-．………………………………….4分（Ⅱ）∵()212321(23)4f x x x x x =-++≥--+=即)(x f 的最小值等于4，….6分由题可知|a ﹣1|＞4，解此不等式得a ＜﹣3或a ＞5．故实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．…………………………………10分。