2018-2019学年浙江省宁波市鄞州中学高一下学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年浙江省宁波市鄞州中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．在等差数列{}n a 中，已知67a a 0+<，且11S 0>，则n S 中最大的是( ) A ．5S B ．6SC ．7SD ．8S【答案】B【解析】由已知结合等差数列的性质可判断出a 6＞0，a 7＜0，从而可得和取最大值时的条件． 【详解】∵等差数列{a n }中，a 3+a 10＜0， ∴a 6+a 7＝a 3+a 10＜0， ∵S 11()111112a a +=＞0，∴a 1+a 11＞0， ∴a 1+a 11＝2a 6＞0， ∴a 6＞0，a 7＜0，则当n ＝6时，S n 有最大值． 故选B ． 【点睛】本题考查了等差数列的性质与求和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．等比数列{a n }中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4 B ．4 C ．14± D ．14【答案】A【解析】利用等比数列{a n }的性质可得2648a a a ＝ ，即可得出． 【详解】设4a 与8a 的等比中项是x ．由等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝，6x a ∴=± ．∴a 4与a 8的等比中项561248x a =±=±⨯=±． 故选A ． 【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题．3．两条直线1:(1)3l ax a y +-=，2:(1)(23)2l a x a y -++=互相垂直，则的值是 A ．5- B ．1C ．1或D ．0或【答案】C【解析】试题分析：当两直线垂直时，有12120A A B B +=，即()()()11230a a a a -+-+=，解得a 的值为1或，故答案为C ．【考点】1、两直线的位置关系；2、充要条件． 4．已知点，，若直线过点与线段始终没有交点，则直线的斜率的取值范围是（ ） A ．B ．或C ．D ．【答案】A 【解析】先求出的斜率，根据直线与线段始终没有交点，可知其斜率的取值范围. 【详解】 因为，，如图：因为直线与线段始终没有交点，所以斜率k 的取值范围是. 故选A.【点睛】本题主要考查了直线的斜率和倾斜角，数形结合的思想方法，属于中档题. 5．ABC ∆中，A=6π，b="2," 以下错误的是（ ） A ．若1a =, 则c 有一解 B ．若3a =, 则c 有两解C ．若116a =, 则c 有两解 D ．若3a =, 则c 有两解【答案】D 【解析】试题分析：时，c 有一解；当时，c 无解；当时，c 有两个解；时，c 无解.故选D.【考点】正弦定理.6．已知数列{}n a 满足12,a =11n n n n a a a a ++-=，那么31a 等于（ ） A ．130-B ．261-C ．358-D ．259-【答案】D【解析】将递推公式变形得到1111n na a +-=-,可推出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,从而得到其通项公式,求出31a . 【详解】11n n n n a a a a ++-=Q ,1111n n a a +∴-=,即1111n na a +-=-, 又12,a =所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12,公差为1-的等差数列, 132n n a ∴=-+, 3113593122a ∴=-+=-,故31259a =-, 故选:D. 【点睛】本题考查已知数列的递推公式求值,一般而言有两种解题思路,一是通过递推公式求出其通项公式,二是检验数列是否为周期数列. 7．若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】依题意，画出的图像如下图所示，由图可知，解得.8．在锐角ABC V 中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若1a =且2B A =，则b 的取值范围是（ ） A ．2,3) B ．(3C ．)2,2D ．()0,2【答案】A【解析】先由正弦定理可得2cos b A =，再结合ABC V 为锐角三角形可得64A ππ<<，代入求解即可. 【详解】解：因为1a =且2B A =，由正弦定理sin sin a b A B=可得：sin sin 2a bA A =， 则2cos b A =，又ABC V 为锐角三角形，则0202222A A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<+<⎪⎩，解得：64A ππ<<， 即23cos ,2A ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，即()2,3b ∈，故选：A. 【点睛】本题考查了正弦定理及正弦的二倍角公式，重点考查了三角函数的值域的求法，属中档题.9．数列{}n a 满足123n n a a n ++=-，若12a =，则2120a a -=（ ） A ．9 B ．7C ．5D ．3【答案】B【解析】试题分析：令1n =，则211a a +=-，∴23a =-，∵123n n a a n ++=-，∴2121n n a a n +++=-，∴22n n a a +-=，即{}21n a -是以2为首项，2为公差的等差数列，{}2n a 是以1-为首项，2为公差的等差数列∴211(111)222a a =+-⋅=，202(101)215a a =+-⋅=，21207a a -=．【考点】数列综合． 10．等差数列、的前项和分别为和，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据等差数列性质可知所求结果为，根据，代入得到结果.【详解】由等差数列性质可知：又本题正确选项： 【点睛】本题考查等差数列性质的应用，关键是熟练掌握的性质，从而求解得到结果.二、填空题11．在ABC V 中，60A ︒=，1b =3a =________，sin sin a bA B+=+________.13239【解析】根据面积公式可以计算出4c =,再结合余弦定理可以算出a ,从而算出sin sin a bA B++.【详解】1sin 2S bc A =Q ,13132c ∴⨯⨯=解得4c =, 22212cos 116214132a b c bc A ∴=+-=+-⨯⨯⨯=,13a ∴=2392sin sin sin 3a b a R A B A +∴===+, 故答案为13239. 【点睛】本题属于解三角形的综合应用,答题时需要根据实际情况灵活运用各类公式,难度不大.12．在数列{}n a 中，112a =，111nn na a a ++=-，数列{}n a 前n 项和为n S ，则4a =________，2019S =________.【答案】13-11792【解析】根据递推公式依次计算,即可算出4a ,同时计算到5a 时,可以发现数列{}n a 是以4为周期的周期数列,因此可以根据数列的周期性算出2019S . 【详解】111n n n a a a ++=-Q ,112a =, 121131a a a +∴==-,232121a a a +==--,3431113a a a +==--,4541112a a a +==-, ∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列,20191220191111179505(32)()=2332S a a a =+++=⨯+----∴L , 故答案为11179;32-. 【点睛】本题考查已知数列的递推公式求值,一般而言有两种解题思路,一是通过递推公式求出其通项公式再求值,二是该数列可能为周期数列,利用周期性求值.13．已知a ，b 为正实数，且2a b +=，则211a b ++的最小值是________，2221a b a b +++的最小值为________.【答案】33+【解析】将题设条件变形为1133a b ++=,即可利用“乘1法”结合基本不等式求解. 【详解】2a b +=Q ,(1)3a b ∴++=,即1133a b ++=, 21211()()1133a b a b a b +∴+=++++ 22(1)133(1)33a b b a +=++++313+≥+=,当且仅当2(1)3(1)3a b b a +=+,即64a b =-=时等号成立, 222211211a b a b a b a b +∴+=++++-++2111a b =+++63+≥,故答案为. 【点睛】本题主要考查了基本不等式中“乘1法”的运用,需要学生有一定的计算化简能力. 14．已知函数2()1=++f x x ax .若不等式()0f x ≥对一切(0,1]x ∈恒成立，则实数a 的最小值为________；若()0f x =的一个根比1大，另一个根比1小，则实数a 的取值范围是________.【答案】2- (,2)-∞-【解析】①将不等式()0f x ≥转化为1a x x-≤+对一切(0,1]x ∈恒成立,求出1x x +在区间(0,1]上的最小值即可得出结论;②根据题意可知(1)0f <,代数解不等式即可. 【详解】①不等式2()10f x x ax =++≥对一切(0,1]x ∈恒成立,即为1a x x -≤+对一切(0,1]x ∈恒成立, 设1()g x x x =+,(0,1]x ∈,则1()2g x x x=+≥(当且仅当1x =时等号成立),所以2a -≤,即2a ≥-, 所以a 的最小值为2-;②若()0f x =的一个根比1大,另一个根比1小, 则(1)20f a =+<,即2a <-; 故答案为:2-;(,2)-∞-. 【点睛】本题主要考查二次函数恒成立以及根的分布问题,需要学生对二次函数的性质比较熟悉.解决二次函数恒成立问题一般有两种解决思路,一是借助函数图像性质列不等式求解,二是分离参数转化为最值问题求解.15．若直线l 经过点(7,1)P 且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l 的方程是________. 【答案】70x y -=或60x y --=.【解析】对截距为0,和截距不为0进行分情况讨论,利用待定系数法求解方程. 【详解】①若截距为0,则直线过原点, 设l 的方程为y kx =, 代点(7,1)P 入方程,解得17k =, 则直线方程为:70x y -=; ②若截距不为0, 设l 的方程为1x y a a+=-, 代点(7,1)P 入方程,解得6a =, 则直线方程为:60x y --=; 故答案为:70x y -=或60x y --=. 【点睛】本题主要考查待定系数法求直线方程,难度不大.解决与截距相关问题时,注意过原点的直线横､纵截距都为0,不可设截距式.16．在等差数列{}n a 中，已知公差0d >，354a a +=-，2612a a =-，则数列{}n a 的前n 项和n S =________.【答案】229,5940,5n n n n n n ⎧-+<⎨-+≥⎩. 【解析】联立3526412a a a a +=-⎧⎨=-⎩解出1a 和d ,得到{}n a 的通项公式,再根据n a 的正负,分情况讨论n S 即可. 【详解】联立35112611424412()(5)12a a a d a d a a a d a d +=-+++=-⎧⎧⇒⎨⎨=-++=-⎩⎩ 182a d =-⎧∴⎨=⎩或142a d =⎧⎨=-⎩(舍), 210n a n ∴=-,5n ∴<时,0n a <;5n ≥时,0n a ≥,设数列{}n a 的前n 项和为21()(8210)922n n n a a n n T n n +-+-===-, ∴①5n <时,212129n n n n a a a a a a T n n S =+++=----=-=-+L L ,②5n ≥时,12345++n n a a a a S a a =++++L12345n a a a a a a =----+++L 44n T T T =-+-42n T T =- 2940n n =-+,229,5940,5n n n n S n n n ⎧-+<∴=⎨-+≥⎩故答案为:229,5940,5n n n n n n ⎧-+<⎨-+≥⎩. 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式,以及求其绝对值的前n 项和,需要学生灵活应用等差数列的各类公式,同时注意根据n a 的正负,要对其绝对值进行分情况讨论.17．设ABC V 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，已知2222a b c +=，则tan B 的最大值为________.【解析】根据题意可得2221122b ac +-=,因此结合余弦定理与基本不等式即可求出cos B 的范围,从而得出B Ð的范围,求出tan B 的最大值.【详解】2222a b c +=Q ,2221122b ac ∴+-=,2222213cos 222a c b a c B ac ac +-+∴==⋅≥=c =时取等号), (0,]6B π∴∈,tan B ∴的最大值为3. 【点睛】 本题主要考查的是余弦定理与基本不等式的综合运用.此外,要注意解决此类最值问题时,经常需要考虑角的取值范围.三、解答题18．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2222sin sin sin b c a B A bc C+--=． （1）求角C 的值；（2）若4a b +=，当边c 取最小值时，求ABC V 的面积．【答案】（1）π3C =；（2）ABC S =V ． 【解析】（1）根据正弦定理，将角化为边的表达形式；结合余弦定理即可求得角C 的值．（2）由余弦定理求得2c 与ab 的关系，结合不等式即可求得c 的最小值，即可得到ab 的值，进而求得三角形面积．【详解】（1）由条件和正弦定理可得2222b c a b a b+-=-， 整理得222b a c ab +-=从而由余弦定理得1cos 2C =． 又∵C 是三角形的内角， ∴π3C =． （2）由余弦定理得222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，∵4a b +=，∴()22223163c a b ab a b ab ab =+-=+-=-，∴2216316342a b c ab +⎛⎫=-≥-= ⎪⎝⎭（当且仅当2a b ==时等号成立）． ∴c 的最小值为2，故1sin 2ABC S ab C ==V 【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理的简单应用，边角关系的转化及不等式在求最值中的用法，属于基础题．19．过点(2,1)P 作直线l 分别交x 轴的正半轴，y 轴的正半轴于A ，B 两点. （1）当||||OA OB ⋅取最小值时，求出最小值及直线l 的方程；（2）当||||PA PB ⋅取最小值时，求出最小值及直线l 的方程.【答案】(1)最小值为8,直线l 的方程为240x y +-=;(2)最小值为4,直线l 的方程为30x y +-=.【解析】(1)设(,0),(0,)A a B b ,直线方程为1x y a b +=,可推出211a b+=,则||||=OA OB ab ⋅,结合基本不等式即可得出结论;(2)由(1)可得2a b a =-,则可推出||||PA PB ⋅,结合基本不等式即可求解.【详解】(1)根据题意可设直线l 的方程为1(0,0)x y a b a b+=>>,则(,0),(0,)A a B b , Q 直线l 过点(2,1)P ,211(0,0)a b a b∴+=>>,又21a b +≥当且仅当21a b =,即4,2a b ==时取等号),1∴≤,即8ab ≥, ||||=OA OB ab ∴⋅的最小值为8,此时直线l 的方程为240x y +-=;(2)由(1)可知211a b+=, 02a b a ∴=>-,则2a >,||||PA PB ∴⋅4≥=(当且仅当221(2)=(2)a a --,即3a =时取等号). ||||PA PB ∴⋅的最小值为4,此时直线l 的方程为30x y +-=.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用,结合了直线方程的相关知识,需要学生有一定的计算推理能力.20．（1）解关于x 不等式2325()ax x ax a R -+>-∈.（2）若对于[2,2]m ∈-，不等式215mx mx m --<-+恒成立，求x 的取值范围.【答案】(1)答案见详解;(2)(1,2)-.【解析】(1)当0a =时,可直接求解,当0a ≠时,不等式化为(3)(1)0ax x -+>,再根据3a和0与1-的之间大小关系进行分情况讨论;(2)题设条件可以转化为2(1)60m x x -+-<对于[2,2]m ∈-恒成立,将2,2m m =-=分别代入不等式,即可求出x 的范围.【详解】(1)2325ax x ax -+>-Q , 2(3)30ax a x ∴-->+,即(3)(1)0ax x -+>①当0a =时,不等式化为:330x -->,解得1x <-;②当0a ≠时,方程(3)(1)0ax x -+=的两根分别为123,1x x a ==-, i 当0a >时,不等式的解集为3(,1)(,)a -∞-+∞U ,ii 当310a -<<,即3a <-时,不等式的解集为3(1,)a-,iii 当31a -=,即3a =-时,不等式的解集为∅, iv 当31a <-,即30a -<<时,不等式的解集为3(,1)a-, 综上所述:当0a >时,不等式的解集为3(,1)(,)a-∞-+∞U ; 当0a =时,不等式的解集为(,1)-∞-;当30a -<<时,不等式的解集为3(,1)a -;当3a =-时,不等式的解集为∅;当3a <-时,不等式的解集为3(1,)a-;(2)215mx mx m --<-+Q 对于[2,2]m ∈-恒成立, 2(1)60m x x ∴-+-<对于[2,2]m ∈-恒成立,222(1)602(1)60x x x x ⎧--+-<∴⎨-+-<⎩, 解得12x -<<,故x 的取值范围为(1,2)-.【点睛】本题考查了含参一元二次不等式的解法及恒成立问题,运用了分类讨论的思想. 21．已知数列{}n a 中,()111,3n n n a a a n N a *+==∈+. （1）求证：112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列,并求{}n a 的通项公式n a ； （2）数列{}n b 满足()312n n n n n b a =-⋅⋅,数列{}n b 的前n 项和为n T ,若不等式()112nn n n T λ--<+对一切n N *∈恒成立,求λ的取值范围. 【答案】（1）证明祥见解析,231n n a =-；（2）23λ-<<． 【解析】【试题分析】（1）依据题设条件将递推关系式()1*3n n n a a n N a +=∈+进行合理变形，再运用等比数列的定义分析推证，进而求出数列{}n a 的通项公式n a ；（2）借助题设条件，运用错位相减法求出数列{}n b 的前n 项和n T ，然后再运用分类整合思想，分类探求满足不等式的实数λ的取值范围：（1）证明：由()1*3n n n a a n N a +=∈+， 得13131n n n na a a a ++==+， 11111322n n a a +⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭所以数列112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以3为公比，以111322a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭为首项的等比数列， 从而1113232231n n n n a a -+=⨯⇒=-； （2）12n n n b -= ()0122111111123122222n n n T n n L --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ()121111112122222n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯L ， 两式相减得 012111111222222222n n n n T n n -+=++++-⨯=-L 1242n n n T -+∴=- ()12142n n λ-∴-<- 若n 为偶数，则124,32n λλ-∴<-∴< 若n 为奇数，则124,2,22n λλλ-∴-<-∴-∴- 23λ∴-<<22．己知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，n S 为其前n 项和，且满足221n n a S -=，11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T . （1）求数列{}n a 的通项公式及数列{}n b 的前n 项和n T .（2）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1T ，m T ，n T 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)21n a n =-,21n n T n =+;(2)存在正整数2,12m n ==,使得1T ,m T ,n T 成等比数列.【解析】(1)将等差数列求和公式代入221n n a S -=,化简后可得21n a n =-,再将其带入11n n n b a a +=⋅,利用裂项相消法可求得n T ; (2)根据等比中项的性质建立等式,化简后即可求得m 的范围,再结合题意,m n 均为正整数,进而可得解.【详解】(1){}n a Q 是各项均不为0的等差数列,121221(21)()(21)222n n n n n a a a n a S ---+-⋅=∴==, 21n a n ∴=-,111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +∴===⋅-⋅-+-+, 123n n T b b b b ∴=++++L11111111(1)2335572121n n =⋅-+-+-++--+L 11(1)221n =⋅-+ 21n n =+; (2)若存在正整数,m n (1)m n <<,使得1T ,m T ,n T 成等比数列,则21m n T T T =⋅,即21()21321m n m n =⋅++, 化简得:2230241m n m m =>-++, 解得:1122m -<<+ 又1m >且*m N ∈,所以2m =,12n =,故存在正整数2,12m n ==,使得1T ,m T ,n T 成等比数列.【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的基本性质,考查了学生综合分析问题和实际应用的能力.。
2019学年浙江省高一下学期期中数学试卷【含答案及解析】
2019学年浙江省高一下学期期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 在等比数列中，若，，则的值为（）A. B. ___________________________________ C.D.2. 在中，已知，则等于（）A． B. _________________________________ C.D.3. 已知直线在轴和轴上的截距相等，则实数的值是（）A. _______________________B. ____________________________C.或____________________________ D. 或4. 在中，内角的对边分别为，若，，则的面积为（）A. ________________________B. ______________________C.______________________ D.5. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（）A．____________________ B. ______________ C.___________ D.6. 若，则一定有（）A. _________________________________B.____________________________ C．______________________________ D.7. 直线分别交轴和轴于两点，是直线上的一点，要使最小，则点的坐标是（）A. ___________________________________B._________________________________ C. ______________________________ D.8. 已知是上的奇函数,数列满足,则数列的通项公式为（）A. ________________________B. ________________________C.________________________ D.二、填空题9. 已知直线，直线；若直线的倾斜角为，则______________ ，若，则______________ .10. 若规定，则______________ ，不等式的解集为______________ .11. 已知数列是等比数列，是其前项的和，若，，则___________ ，______________ .12. 在中，内角的对边分别为，已知， ,，则______________ ，边______________ .13. 若是等差数列的前项和，且，则______________ .14. 在中，内角的对边分别为，已知，则角______________ .15. 设数列满足：，则的前项的和为______________ .三、解答题16. 已知直线 .（Ⅰ ）证明：直线过定点；（Ⅱ ）若直线与直线平行，求的值并求此时两直线间的距离.17. 在中内角的对边分别为，已知．（Ⅰ ）求角的大小；（Ⅱ ）求的取值范围．18. 已知等差数列的前项和为，，，是递减的等比数列，且， .（Ⅰ ）求，；（Ⅱ ）求数列的前项和 .19. 已知不等式 .（Ⅰ ）若不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ ）若存在实数使得该不等式成立，求实数的取值范围.20. 已知数列的前项和为，且，数列满足.（Ⅰ ）求数列、的通项公式；（Ⅱ ）数列满足，记，求使恒成立的实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。
浙江省宁波市鄞州中学2018-2019学年高一下学期期中数学试题
○学○
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外
内
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绝密★启用前
浙江省宁波市鄞州中学 2018-2019 学年高一下学期期中数学
试题
试卷副标题
考试范围： xxx；考试时间： 100 分钟；命题人： xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
6．已知数列 an 满足 a1 2, an 1 an an 1an ，那么 a31 等于（
）
1
A．
30
2
B．
61
3
C．
58
2
D．
59
试卷第 1 页，总 3 页
7．若关于 ??的不等式 |??+ 1| - |??- 2| > ??2 + 2??有实数解， 则实数 ??的取值范围为 （ ）
A ．(-3,1)
B． (-1,3)
C． (- ∞，-3) ∪(1, +∞） D ．(- ∞，-1) ∪(3, +∞）
8．在锐角 VABC 中，角 A, B, C 所对的边长分别为 a,b, c ，若 a 1 且 B 2A ，则 b 的
取值范围是（
）
A ． ( 2, 3)
B ． 1, 3
C． 2, 2
D ． 0,2
9．数列 an 满足 an 1 an 2n 3 ，若 a1 2 ，则 a21 a20 （ ）
2018-2019学年浙江省宁波市鄞州中学高一下学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年浙江省宁波市鄞州中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．在等差数列{}n a 中，已知67a a 0+<，且11S 0>，则n S 中最大的是( ) A ．5S B ．6SC ．7SD ．8S【答案】B【解析】由已知结合等差数列的性质可判断出a 6＞0，a 7＜0，从而可得和取最大值时的条件． 【详解】∵等差数列{a n }中，a 3+a 10＜0， ∴a 6+a 7＝a 3+a 10＜0， ∵S 11()111112a a +=＞0，∴a 1+a 11＞0， ∴a 1+a 11＝2a 6＞0， ∴a 6＞0，a 7＜0，则当n ＝6时，S n 有最大值． 故选B ． 【点睛】本题考查了等差数列的性质与求和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．等比数列{a n }中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4 B ．4 C ．14± D ．14【答案】A【解析】利用等比数列{a n }的性质可得2648a a a ＝ ，即可得出． 【详解】设4a 与8a 的等比中项是x ．由等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝，6x a ∴=± ．∴a 4与a 8的等比中项561248x a =±=±⨯=±． 故选A ． 【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题．3．两条直线1:(1)3l ax a y +-=，2:(1)(23)2l a x a y -++=互相垂直，则的值是 A ．5- B ．1C ．1或D ．0或【答案】C【解析】试题分析：当两直线垂直时，有12120A A B B +=，即()()()11230a a a a -+-+=，解得a 的值为1或，故答案为C ．【考点】1、两直线的位置关系；2、充要条件． 4．已知点，，若直线过点与线段始终没有交点，则直线的斜率的取值范围是（ ） A ．B ．或C ．D ．【答案】A 【解析】先求出的斜率，根据直线与线段始终没有交点，可知其斜率的取值范围. 【详解】 因为，，如图：因为直线与线段始终没有交点，所以斜率k 的取值范围是. 故选A.【点睛】本题主要考查了直线的斜率和倾斜角，数形结合的思想方法，属于中档题. 5．ABC ∆中，A=6π，b="2," 以下错误的是（ ） A ．若1a =, 则c 有一解 B ．若3a =, 则c 有两解C ．若116a =, 则c 有两解 D ．若3a =, 则c 有两解【答案】D 【解析】试题分析：时，c 有一解；当时，c 无解；当时，c 有两个解；时，c 无解.故选D.【考点】正弦定理.6．已知数列{}n a 满足12,a =11n n n n a a a a ++-=，那么31a 等于（ ） A ．130-B ．261-C ．358-D ．259-【答案】D【解析】将递推公式变形得到1111n na a +-=-,可推出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,从而得到其通项公式,求出31a . 【详解】11n n n n a a a a ++-=Q ,1111n n a a +∴-=,即1111n na a +-=-, 又12,a =所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12,公差为1-的等差数列, 132n n a ∴=-+, 3113593122a ∴=-+=-,故31259a =-, 故选:D. 【点睛】本题考查已知数列的递推公式求值,一般而言有两种解题思路,一是通过递推公式求出其通项公式,二是检验数列是否为周期数列. 7．若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】依题意，画出的图像如下图所示，由图可知，解得.8．在锐角ABC V 中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若1a =且2B A =，则b 的取值范围是（ ） A ．2,3) B ．(3C ．)2,2D ．()0,2【答案】A【解析】先由正弦定理可得2cos b A =，再结合ABC V 为锐角三角形可得64A ππ<<，代入求解即可. 【详解】解：因为1a =且2B A =，由正弦定理sin sin a b A B=可得：sin sin 2a bA A =， 则2cos b A =，又ABC V 为锐角三角形，则0202222A A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<+<⎪⎩，解得：64A ππ<<， 即23cos ,2A ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，即()2,3b ∈，故选：A. 【点睛】本题考查了正弦定理及正弦的二倍角公式，重点考查了三角函数的值域的求法，属中档题.9．数列{}n a 满足123n n a a n ++=-，若12a =，则2120a a -=（ ） A ．9 B ．7C ．5D ．3【答案】B【解析】试题分析：令1n =，则211a a +=-，∴23a =-，∵123n n a a n ++=-，∴2121n n a a n +++=-，∴22n n a a +-=，即{}21n a -是以2为首项，2为公差的等差数列，{}2n a 是以1-为首项，2为公差的等差数列∴211(111)222a a =+-⋅=，202(101)215a a =+-⋅=，21207a a -=．【考点】数列综合． 10．等差数列、的前项和分别为和，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据等差数列性质可知所求结果为，根据，代入得到结果.【详解】由等差数列性质可知：又本题正确选项： 【点睛】本题考查等差数列性质的应用，关键是熟练掌握的性质，从而求解得到结果.二、填空题11．在ABC V 中，60A ︒=，1b =3a =________，sin sin a bA B+=+________.13239【解析】根据面积公式可以计算出4c =,再结合余弦定理可以算出a ,从而算出sin sin a bA B++.【详解】1sin 2S bc A =Q ,13132c ∴⨯⨯=解得4c =, 22212cos 116214132a b c bc A ∴=+-=+-⨯⨯⨯=,13a ∴=2392sin sin sin 3a b a R A B A +∴===+, 故答案为13239. 【点睛】本题属于解三角形的综合应用,答题时需要根据实际情况灵活运用各类公式,难度不大.12．在数列{}n a 中，112a =，111nn na a a ++=-，数列{}n a 前n 项和为n S ，则4a =________，2019S =________.【答案】13-11792【解析】根据递推公式依次计算,即可算出4a ,同时计算到5a 时,可以发现数列{}n a 是以4为周期的周期数列,因此可以根据数列的周期性算出2019S . 【详解】111n n n a a a ++=-Q ,112a =, 121131a a a +∴==-,232121a a a +==--,3431113a a a +==--,4541112a a a +==-, ∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列,20191220191111179505(32)()=2332S a a a =+++=⨯+----∴L , 故答案为11179;32-. 【点睛】本题考查已知数列的递推公式求值,一般而言有两种解题思路,一是通过递推公式求出其通项公式再求值,二是该数列可能为周期数列,利用周期性求值.13．已知a ，b 为正实数，且2a b +=，则211a b ++的最小值是________，2221a b a b +++的最小值为________.【答案】33+【解析】将题设条件变形为1133a b ++=,即可利用“乘1法”结合基本不等式求解. 【详解】2a b +=Q ,(1)3a b ∴++=,即1133a b ++=, 21211()()1133a b a b a b +∴+=++++ 22(1)133(1)33a b b a +=++++313+≥+=,当且仅当2(1)3(1)3a b b a +=+,即64a b =-=时等号成立, 222211211a b a b a b a b +∴+=++++-++2111a b =+++63+≥,故答案为. 【点睛】本题主要考查了基本不等式中“乘1法”的运用,需要学生有一定的计算化简能力. 14．已知函数2()1=++f x x ax .若不等式()0f x ≥对一切(0,1]x ∈恒成立，则实数a 的最小值为________；若()0f x =的一个根比1大，另一个根比1小，则实数a 的取值范围是________.【答案】2- (,2)-∞-【解析】①将不等式()0f x ≥转化为1a x x-≤+对一切(0,1]x ∈恒成立,求出1x x +在区间(0,1]上的最小值即可得出结论;②根据题意可知(1)0f <,代数解不等式即可. 【详解】①不等式2()10f x x ax =++≥对一切(0,1]x ∈恒成立,即为1a x x -≤+对一切(0,1]x ∈恒成立, 设1()g x x x =+,(0,1]x ∈,则1()2g x x x=+≥(当且仅当1x =时等号成立),所以2a -≤,即2a ≥-, 所以a 的最小值为2-;②若()0f x =的一个根比1大,另一个根比1小, 则(1)20f a =+<,即2a <-; 故答案为:2-;(,2)-∞-. 【点睛】本题主要考查二次函数恒成立以及根的分布问题,需要学生对二次函数的性质比较熟悉.解决二次函数恒成立问题一般有两种解决思路,一是借助函数图像性质列不等式求解,二是分离参数转化为最值问题求解.15．若直线l 经过点(7,1)P 且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l 的方程是________. 【答案】70x y -=或60x y --=.【解析】对截距为0,和截距不为0进行分情况讨论,利用待定系数法求解方程. 【详解】①若截距为0,则直线过原点, 设l 的方程为y kx =, 代点(7,1)P 入方程,解得17k =, 则直线方程为:70x y -=; ②若截距不为0, 设l 的方程为1x y a a+=-, 代点(7,1)P 入方程,解得6a =, 则直线方程为:60x y --=; 故答案为:70x y -=或60x y --=. 【点睛】本题主要考查待定系数法求直线方程,难度不大.解决与截距相关问题时,注意过原点的直线横､纵截距都为0,不可设截距式.16．在等差数列{}n a 中，已知公差0d >，354a a +=-，2612a a =-，则数列{}n a 的前n 项和n S =________.【答案】229,5940,5n n n n n n ⎧-+<⎨-+≥⎩. 【解析】联立3526412a a a a +=-⎧⎨=-⎩解出1a 和d ,得到{}n a 的通项公式,再根据n a 的正负,分情况讨论n S 即可. 【详解】联立35112611424412()(5)12a a a d a d a a a d a d +=-+++=-⎧⎧⇒⎨⎨=-++=-⎩⎩ 182a d =-⎧∴⎨=⎩或142a d =⎧⎨=-⎩(舍), 210n a n ∴=-,5n ∴<时,0n a <;5n ≥时,0n a ≥,设数列{}n a 的前n 项和为21()(8210)922n n n a a n n T n n +-+-===-, ∴①5n <时,212129n n n n a a a a a a T n n S =+++=----=-=-+L L ,②5n ≥时,12345++n n a a a a S a a =++++L12345n a a a a a a =----+++L 44n T T T =-+-42n T T =- 2940n n =-+,229,5940,5n n n n S n n n ⎧-+<∴=⎨-+≥⎩故答案为:229,5940,5n n n n n n ⎧-+<⎨-+≥⎩. 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式,以及求其绝对值的前n 项和,需要学生灵活应用等差数列的各类公式,同时注意根据n a 的正负,要对其绝对值进行分情况讨论.17．设ABC V 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，已知2222a b c +=，则tan B 的最大值为________.【解析】根据题意可得2221122b ac +-=,因此结合余弦定理与基本不等式即可求出cos B 的范围,从而得出B Ð的范围,求出tan B 的最大值.【详解】2222a b c +=Q ,2221122b ac ∴+-=,2222213cos 222a c b a c B ac ac +-+∴==⋅≥=c =时取等号), (0,]6B π∴∈,tan B ∴【点睛】 本题主要考查的是余弦定理与基本不等式的综合运用.此外,要注意解决此类最值问题时,经常需要考虑角的取值范围.三、解答题18．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2222sin sin sin b c a B A bc C+--=． （1）求角C 的值；（2）若4a b +=，当边c 取最小值时，求ABC V 的面积．【答案】（1）π3C =；（2）ABC S =V ． 【解析】（1）根据正弦定理，将角化为边的表达形式；结合余弦定理即可求得角C 的值．（2）由余弦定理求得2c 与ab 的关系，结合不等式即可求得c 的最小值，即可得到ab 的值，进而求得三角形面积．【详解】（1）由条件和正弦定理可得2222b c a b a b+-=-， 整理得222b a c ab +-=从而由余弦定理得1cos 2C =． 又∵C 是三角形的内角， ∴π3C =． （2）由余弦定理得222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，∵4a b +=，∴()22223163c a b ab a b ab ab =+-=+-=-，∴2216316342a b c ab +⎛⎫=-≥-= ⎪⎝⎭（当且仅当2a b ==时等号成立）． ∴c 的最小值为2，故1sin 2ABC S ab C ==V 【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理的简单应用，边角关系的转化及不等式在求最值中的用法，属于基础题．19．过点(2,1)P 作直线l 分别交x 轴的正半轴，y 轴的正半轴于A ，B 两点. （1）当||||OA OB ⋅取最小值时，求出最小值及直线l 的方程；（2）当||||PA PB ⋅取最小值时，求出最小值及直线l 的方程.【答案】(1)最小值为8,直线l 的方程为240x y +-=;(2)最小值为4,直线l 的方程为30x y +-=.【解析】(1)设(,0),(0,)A a B b ,直线方程为1x y a b +=,可推出211a b+=,则||||=OA OB ab ⋅,结合基本不等式即可得出结论;(2)由(1)可得2a b a =-,则可推出||||PA PB ⋅,结合基本不等式即可求解.【详解】(1)根据题意可设直线l 的方程为1(0,0)x y a b a b+=>>,则(,0),(0,)A a B b , Q 直线l 过点(2,1)P ,211(0,0)a b a b∴+=>>,又21a b +≥当且仅当21a b =,即4,2a b ==时取等号),1∴≤,即8ab ≥, ||||=OA OB ab ∴⋅的最小值为8,此时直线l 的方程为240x y +-=;(2)由(1)可知211a b+=, 02a b a ∴=>-,则2a >,||||PA PB ∴⋅4≥=(当且仅当221(2)=(2)a a --,即3a =时取等号). ||||PA PB ∴⋅的最小值为4,此时直线l 的方程为30x y +-=.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用,结合了直线方程的相关知识,需要学生有一定的计算推理能力.20．（1）解关于x 不等式2325()ax x ax a R -+>-∈.（2）若对于[2,2]m ∈-，不等式215mx mx m --<-+恒成立，求x 的取值范围.【答案】(1)答案见详解;(2)(1,2)-.【解析】(1)当0a =时,可直接求解,当0a ≠时,不等式化为(3)(1)0ax x -+>,再根据3a和0与1-的之间大小关系进行分情况讨论;(2)题设条件可以转化为2(1)60m x x -+-<对于[2,2]m ∈-恒成立,将2,2m m =-=分别代入不等式,即可求出x 的范围.【详解】(1)2325ax x ax -+>-Q , 2(3)30ax a x ∴-->+,即(3)(1)0ax x -+>①当0a =时,不等式化为:330x -->,解得1x <-;②当0a ≠时,方程(3)(1)0ax x -+=的两根分别为123,1x x a ==-, i 当0a >时,不等式的解集为3(,1)(,)a -∞-+∞U ,ii 当310a -<<,即3a <-时,不等式的解集为3(1,)a-,iii 当31a -=,即3a =-时,不等式的解集为∅, iv 当31a <-,即30a -<<时,不等式的解集为3(,1)a-, 综上所述:当0a >时,不等式的解集为3(,1)(,)a-∞-+∞U ; 当0a =时,不等式的解集为(,1)-∞-;当30a -<<时,不等式的解集为3(,1)a -;当3a =-时,不等式的解集为∅;当3a <-时,不等式的解集为3(1,)a-;(2)215mx mx m --<-+Q 对于[2,2]m ∈-恒成立, 2(1)60m x x ∴-+-<对于[2,2]m ∈-恒成立,222(1)602(1)60x x x x ⎧--+-<∴⎨-+-<⎩, 解得12x -<<,故x 的取值范围为(1,2)-.【点睛】本题考查了含参一元二次不等式的解法及恒成立问题,运用了分类讨论的思想. 21．已知数列{}n a 中,()111,3n n n a a a n N a *+==∈+. （1）求证：112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列,并求{}n a 的通项公式n a ； （2）数列{}n b 满足()312n n n n n b a =-⋅⋅,数列{}n b 的前n 项和为n T ,若不等式()112nn n n T λ--<+对一切n N *∈恒成立,求λ的取值范围. 【答案】（1）证明祥见解析,231n n a =-；（2）23λ-<<． 【解析】【试题分析】（1）依据题设条件将递推关系式()1*3n n n a a n N a +=∈+进行合理变形，再运用等比数列的定义分析推证，进而求出数列{}n a 的通项公式n a ；（2）借助题设条件，运用错位相减法求出数列{}n b 的前n 项和n T ，然后再运用分类整合思想，分类探求满足不等式的实数λ的取值范围：（1）证明：由()1*3n n n a a n N a +=∈+， 得13131n n n na a a a ++==+， 11111322n n a a +⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭所以数列112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以3为公比，以111322a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭为首项的等比数列， 从而1113232231n n n n a a -+=⨯⇒=-； （2）12n n n b -= ()0122111111123122222n n n T n n L --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ()121111112122222n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯L ， 两式相减得 012111111222222222n n n n T n n -+=++++-⨯=-L 1242n n n T -+∴=- ()12142n n λ-∴-<- 若n 为偶数，则124,32n λλ-∴<-∴< 若n 为奇数，则124,2,22n λλλ-∴-<-∴-∴- 23λ∴-<<22．己知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，n S 为其前n 项和，且满足221n n a S -=，11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T . （1）求数列{}n a 的通项公式及数列{}n b 的前n 项和n T .（2）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1T ，m T ，n T 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)21n a n =-,21n n T n =+;(2)存在正整数2,12m n ==,使得1T ,m T ,n T 成等比数列.【解析】(1)将等差数列求和公式代入221n n a S -=,化简后可得21n a n =-,再将其带入11n n n b a a +=⋅,利用裂项相消法可求得n T ; (2)根据等比中项的性质建立等式,化简后即可求得m 的范围,再结合题意,m n 均为正整数,进而可得解.【详解】(1){}n a Q 是各项均不为0的等差数列,121221(21)()(21)222n n n n n a a a n a S ---+-⋅=∴==, 21n a n ∴=-,111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +∴===⋅-⋅-+-+, 123n n T b b b b ∴=++++L11111111(1)2335572121n n =⋅-+-+-++--+L 11(1)221n =⋅-+ 21n n =+; (2)若存在正整数,m n (1)m n <<,使得1T ,m T ,n T 成等比数列,则21m n T T T =⋅,即21()21321m n m n =⋅++, 化简得:2230241m n m m =>-++, 解得:1122m -<<+ 又1m >且*m N ∈,所以2m =,12n =,故存在正整数2,12m n ==,使得1T ,m T ,n T 成等比数列.【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的基本性质,考查了学生综合分析问题和实际应用的能力.。
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浙江省鄞州中学高一下学期期中考试（数学）一、选择题（每小题3分，共30分） 1、数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()11+=n n a n ，则=5S （ ）A ．1B ．301C ．61D ．652、已知过点()()4,,,2m B m A -的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ） A ．0 B ．8-C ．2D ．103、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知1,3,3===b a A π，则c =（ ）A ．1B ．13-C ．2D ．3 4、若0<<b a ，则下列不等式中成立的是（ ）A ．b a 11<B ．a b a 11>-C ．ba > D ．22b a <5、设0,0>>y x ，且()1=+-y x xy ，则（ ） A ．()122+≥+y x B ．()122+≤+y x C ．()212+≤+y x D ．()212+≥+y x6、在数列 ,,,,21n a a a 的每相邻两项中插入3个数，使它们与原数构成一个新数列，则 新数列的第69项（ ）A ．是原数列的第18项B ．是原数列的第13项C ．是原数列的第19项D ．不是原数列中的项7、已知等比数列{}n a 中，0>n a ，991,a a 为方程016102=+-x x 的两根，则805020a a a ⋅⋅（ ）A ．32B ．64C ．256D ．64± 8、过点()2,2-且与两坐标轴围成的三角形面积为1的直线的斜率为（ ）A ．2-=k 或1-=kB ．2-=k 或21-=k C ．21-=k D ．3-=k 或31-=k9、直线l 过点()()()R a aB A ∈2,3,1,4两点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π B ．⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππππ,22,4 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,0π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,24,0 10、ABC ∆中，c b a ,,分别为C B A ∠∠∠,,的对边，如果c b a ,,成等差数列，030=∠B ，ABC ∆的面积为21，那么b 为（ ）A ．31+B ．33+C ．333+ D ．32+二、填空题（每小题4分，共24分）11、在等差数列{}n a 中，若1264=+a a ，n S 为数列的前n 项和，则=9S 12、在ABC ∆中，若8:7:5sin :sin :sin =C B A ，则B ∠的大小为13、设等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若2136=S S ，则=39S S14、如图、在地面上D 点测塔顶A 和塔基B ，仰角分别为060和030，已知塔基高出地平面m 20，则塔身的高为15、已知三条直线03,01,0=++=-+=-y mx y x y x 不能构成三角形，则所有可能的m 组 成的集合为16、已知向量()()R a a ∈==,,1,1,1，O 为原点，当这两向量的夹角在⎪⎭⎫⎝⎛12,0π变动时， a 的取值范围为三、解答题17、（本题10分）设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足A b a sin =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求C A cos cos +的取值范围．18、（本题11分）经观测，某公路在某时段内的车流量y ⎪⎭⎫⎝⎛小时千辆与汽车的平均速度v⎪⎭⎫ ⎝⎛小时千米之间有函数关系()016003920y 2>++=v v v v；（Ⅰ）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时车OB DA第14题流量y 最大？最大车流量为多少？（Ⅱ）为保证在该时段内车流量至少为10⎪⎭⎫⎝⎛小时千辆，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？19、（本题12分）设数列{}n a 的前n 项和为22n S n =，{}n b 为等比数列，且()112211,b a a b b a =-=（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设n nn b a c =，求数列{}n c 的前n 项和n T本题13分）已知直线()R k k y kx l ∈=++-021:，（Ⅰ）证明直线l 过定点；（Ⅱ）若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；（Ⅲ）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，记AOB ∆的面积为S ，求S 的最小值，并求此时直线l 的方程。
2018-2019学年高一数学下学期期中试题(含解析)
2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己所在的班级、姓名、学号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡.上对应题目选项的答案信息涂黑，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题（本题共12个小题,每小题5分,共60分，每小题的四个选项中，只有一个是正确的）1.已知，，且，则（）A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】D【解析】∵，∴∵∴∴故选D2.在中，角，，所对边分别是，，，若，，，则角（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据余弦定理，，选C.3.是顶角为的等腰三角形，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用已知条件求出向量的长度以及向量的夹角，然后求解向量的数量积即可．【详解】解：是顶角为的等腰三角形，且，则，则．故选：．【点睛】本题考查向量的数量积的应用及运算，是基本知识的考查．4.在数列中，，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】当时，可求出，当时，得，即可得数列为等比数列．【详解】解：当时，则，当时，由得故数列是以为首项等比数列故选【点睛】本题考查由数列的递推公式求数列的通项公式，属于基础题．5.记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（）A. 2B. 3C. 6D. 7【答案】B【解析】【详解】,6.等比数列中，，则等于( )A. 16B. ±4C. -4D. 4【答案】D【解析】分析：利用等比中项求解．详解：，因为为正，解得．点睛：等比数列的性质：若，则．7.已知平面向量满足，且，则向量的夹角为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，结合可得，利用平面向量的数量积公式可得结果.【详解】，，所以，可得，即，，设两向量夹角为，则，，，即为，故选A.【点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.8.数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用裂项相消法求数列的前项和为．【详解】解：故选【点睛】本题考查裂项相消法求数列的前项和为，属于基础题．9.中，角，，对边分别为，，，，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理边化角求得，再利用余弦定理求边．【详解】，，，又，由余弦定理得故选【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．10.若两个等差数列，的前项和分别为，且满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把转化为，然后借助于已知得答案．【详解】解：等差数列、前项和分别为，，且，得．故选．【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前项和，考查数学转化思想方法，是中档题．11.在中，，，，在边的中线上，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题可设，然后将用向量作为基底向量表示出来，再根据向量的运算，即可将问题转化为二次函数求最值问题．【详解】解：由题意，画图如下：可设，，，．，．．由二次函数的性质，可知：当时，取得最小值．故选：．【点睛】本题主要考查基底向量的设立以及用基底向量表示所求向量，最后转化为二次函数求最值问题，本题属基础题．12.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如将一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图所示，三角形数,，，……在这个自然数中三角形数的个数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出这一列数的通项，即可求出在中三角形数的个数．【详解】解：由题意知，，……可归纳为则，故在中三角形数的个数为个．故选【点睛】本题考查数列的通项公式，及数列的项的计算，属于基础题．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分.13.在ΔABC中，已知a=1，b=, A=30°，则B等于____________；【答案】或【解析】分析：根据正弦定理求解即可．详解：由正弦定理可知，解得，故解得或点睛：本题为易错题，根据大角对大边，正弦值在一、二象限均有取值，只要角大于角即可．14.如果数列的前项和，则此数列的通项公式__________．【答案】【解析】【分析】利用数列中与关系，得出，但，由此判定数列从第项起为等比数列，通项公式可求．【详解】解：当时，，得．当时，，得，当时，不成立，故数列为从第项起为等比数列．故答案为【点睛】本题考查利用数列中与关系求数列通项，考查等比数列判定，通项公式求解．需具有转化、变形、计算能力．15.某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是______.【答案】【解析】【分析】连结，由余弦定理可求，在中由正弦定理可求，利用面积公式分别求出，，即可求出四边形的面积．【详解】解：如图，连结，由余弦定理可知，故，，，，在中由正弦定理得：，即，故.故答案为【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，属于基础题．16.已知等差数列中，，公差d>0，则使得前n项和取得最小值时的正整数n的值是______．【答案】6或7【解析】【分析】将转化为的形式，得到，即，由此判断前或项的和最小.详解】]由且得，，且，即，即，即，故且最小.【点睛】本题主要考查利用基本元的思想，求等差数列的前项和取得最小值时的值.直接用等差数列的通项公式，将已知条件转化为的形式，由此得到为零，从而求得使等差数列的前项和取得最小值时的值.属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.18.如图，在中，，是边上一点，，，，为锐角.(1)求角大小；(2)求的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在三角形中，利用正弦定理表示出，求出，确定出的度数；（2）在中，设，由余弦定理可得，即可求出的长．【详解】（1）在中，，，由正弦定理可得，，即，，为锐角，，（2）在中，设，由正弦定理可得，，即，，即.【点睛】考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．19.数列满足，，.(1)设，证明是等差数列；(2)求的通项公式.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）要证是等差数列，即证，即由已知可得．（2）由（1）可得，利用累加法，求出数列的通项公式．【详解】（1）由得，又，所以是首项为，公差为的等差数列；（2）由（1）得，，由得，，则，，，，，所以，又，所以的通项公式.【点睛】本题考查：①用定义法证明等差数列；②等差数列的通项公式；③累加法求数列的通项公式；形如“”的递推关系式，求通项时一般利用累加法，属于中档题．20.的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)若，求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得：，由余弦定理可得，结合范围，可求的值．（2）可设，，由余弦定理可得，再由余弦定理，得，利用同角三角函数基本关系式可求的值．【详解】（1）由及正弦定理可得：，即.由余弦定理可得，又，.（2），所以可设，，则由余弦定理可得，，再由余弦定理得，故，.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．21.已知是等差数列，是各项为正数的等比数列，且，，.⑴求数列和的通项公式；⑵若，求数列的前项和.【答案】(1) ，;(2) .【解析】【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据等差数列和等比数列的通项公式，结合已知条件，，.可列出关于的方程组，解方程组求出的值，最后求出数列和的通项公式；(2)用错位相消法，结合等比数列前项和公式，可以求出数列的前项和.【详解】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，，所以有，所以，.(2)因为，.，所以，因此①，②，①—②得：，.【点睛】本题考查了等比数列和等差数列的通项公式，考查了用错位相消法求数列前项和.22.已知、、、为同一平面上的四个点，且满足，，设，的面积为，的面积为.（1）当时，求的值；（2）当时，求的值.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（I）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得到，即可求解的值；（II）由，得到，从而，由此能求出．试题解析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得所以在中，由余弦定理得所以所以.（Ⅱ）因为，所以所以解得考点：余弦定理；三角函数的恒等变换.【方法点晴】本题主要考查了三角形的面积的求法等问题，其中解答中涉及到三角形的面积，余弦定理，三角恒等变换等知识点综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了转化与化归思想，解题是要认真审题，注意余弦定理的合理运用，试题有一定的难度，属于中档试题.2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己所在的班级、姓名、学号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡.上对应题目选项的答案信息涂黑，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题（本题共12个小题,每小题5分,共60分，每小题的四个选项中，只有一个是正确的）1.已知，，且，则（）A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】D【解析】∵，∴∵∴∴故选D2.在中，角，，所对边分别是，，，若，，，则角（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据余弦定理，，选C.3.是顶角为的等腰三角形，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用已知条件求出向量的长度以及向量的夹角，然后求解向量的数量积即可．【详解】解：是顶角为的等腰三角形，且，则，则．故选：．【点睛】本题考查向量的数量积的应用及运算，是基本知识的考查．4.在数列中，，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】当时，可求出，当时，得，即可得数列为等比数列．【详解】解：当时，则，当时，由得故数列是以为首项等比数列故选【点睛】本题考查由数列的递推公式求数列的通项公式，属于基础题．5.记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（）A. 2B. 3C. 6D. 7【答案】B【解析】【详解】,6.等比数列中，，则等于( )A. 16B. ±4C. -4D. 4【答案】D【解析】分析：利用等比中项求解．详解：，因为为正，解得．点睛：等比数列的性质：若，则．7.已知平面向量满足，且，则向量的夹角为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，结合可得，利用平面向量的数量积公式可得结果.【详解】，，所以，可得，即，，设两向量夹角为，则，，，即为，故选A.【点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.8.数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用裂项相消法求数列的前项和为．【详解】解：故选【点睛】本题考查裂项相消法求数列的前项和为，属于基础题．9.中，角，，对边分别为，，，，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理边化角求得，再利用余弦定理求边．【详解】，，，又，由余弦定理得故选【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．10.若两个等差数列，的前项和分别为，且满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把转化为，然后借助于已知得答案．【详解】解：等差数列、前项和分别为，，且，得．故选．【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前项和，考查数学转化思想方法，是中档题．11.在中，，，，在边的中线上，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题可设，然后将用向量作为基底向量表示出来，再根据向量的运算，即可将问题转化为二次函数求最值问题．【详解】解：由题意，画图如下：可设，，，．，．．由二次函数的性质，可知：当时，取得最小值．故选：．【点睛】本题主要考查基底向量的设立以及用基底向量表示所求向量，最后转化为二次函数求最值问题，本题属基础题．12.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如将一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图所示，三角形数,，，……在这个自然数中三角形数的个数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出这一列数的通项，即可求出在中三角形数的个数．【详解】解：由题意知，，……可归纳为则，故在中三角形数的个数为个．故选【点睛】本题考查数列的通项公式，及数列的项的计算，属于基础题．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分.13.在ΔABC中，已知a=1，b=, A=30°，则B等于____________；【答案】或【解析】分析：根据正弦定理求解即可．详解：由正弦定理可知，解得，故解得或点睛：本题为易错题，根据大角对大边，正弦值在一、二象限均有取值，只要角大于角即可．14.如果数列的前项和，则此数列的通项公式__________．【答案】【解析】【分析】利用数列中与关系，得出，但，由此判定数列从第项起为等比数列，通项公式可求．【详解】解：当时，，得．当时，，得，当时，不成立，故数列为从第项起为等比数列．故答案为【点睛】本题考查利用数列中与关系求数列通项，考查等比数列判定，通项公式求解．需具有转化、变形、计算能力．15.某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是______.【答案】【解析】【分析】连结，由余弦定理可求，在中由正弦定理可求，利用面积公式分别求出，，即可求出四边形的面积．【详解】解：如图，连结，由余弦定理可知，故，，，，在中由正弦定理得：，即，故.故答案为【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，属于基础题．16.已知等差数列中，，公差d>0，则使得前n项和取得最小值时的正整数n 的值是______．【答案】6或7【解析】【分析】将转化为的形式，得到，即，由此判断前或项的和最小.详解】]由且得，，且，即，即，即，故且最小.【点睛】本题主要考查利用基本元的思想，求等差数列的前项和取得最小值时的值.直接用等差数列的通项公式，将已知条件转化为的形式，由此得到为零，从而求得使等差数列的前项和取得最小值时的值.属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.18.如图，在中，，是边上一点，，，，为锐角.(1)求角大小；(2)求的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在三角形中，利用正弦定理表示出，求出，确定出的度数；（2）在中，设，由余弦定理可得，即可求出的长．【详解】（1）在中，，，由正弦定理可得，，即，，为锐角，，（2）在中，设，由正弦定理可得，，即，，即.【点睛】考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．19.数列满足，，.(1)设，证明是等差数列；(2)求的通项公式.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）要证是等差数列，即证，即由已知可得．（2）由（1）可得，利用累加法，求出数列的通项公式．【详解】（1）由得，又，所以是首项为，公差为的等差数列；（2）由（1）得，，由得，，则，，，，，所以，又，所以的通项公式.【点睛】本题考查：①用定义法证明等差数列；②等差数列的通项公式；③累加法求数列的通项公式；形如“”的递推关系式，求通项时一般利用累加法，属于中档题．20.的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)若，求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得：，由余弦定理可得，结合范围，可求的值．（2）可设，，由余弦定理可得，再由余弦定理，得，利用同角三角函数基本关系式可求的值．【详解】（1）由及正弦定理可得：，即.由余弦定理可得，又，.（2），所以可设，，则由余弦定理可得，，再由余弦定理得，故，.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．21.已知是等差数列，是各项为正数的等比数列，且，，.⑴求数列和的通项公式；⑵若，求数列的前项和.【答案】(1) ，;(2) .【解析】【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据等差数列和等比数列的通项公式，结合已知条件，，.可列出关于的方程组，解方程组求出的值，最后求出数列和的通项公式；(2)用错位相消法，结合等比数列前项和公式，可以求出数列的前项和.【详解】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，，所以有，所以，.(2)因为，.，所以，因此①，②，①—②得：，.【点睛】本题考查了等比数列和等差数列的通项公式，考查了用错位相消法求数列前项和.22.已知、、、为同一平面上的四个点，且满足，，设，的面积为，的面积为.（1）当时，求的值；（2）当时，求的值.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（I）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得到，即可求解的值；（II）由，得到，从而，由此能求出．试题解析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得所以在中，由余弦定理得所以所以.（Ⅱ）因为，所以所以解得考点：余弦定理；三角函数的恒等变换.【方法点晴】本题主要考查了三角形的面积的求法等问题，其中解答中涉及到三角形的面积，余弦定理，三角恒等变换等知识点综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了转化与化归思想，解题是要认真审题，注意余弦定理的合理运用，试题有一定的难度，属于中档试题.。
2018-2019学年浙江省宁波市鄞州中学高一(下)期中数学试卷
2018-2019学年浙江省宁波市鄞州中学高一（下）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，4分）在等差数列{a n}中，已知a6+a7＜0，且S11＞0，则S n中最大的是（）A.S5B.S6C.S7D.S8，q=2，则a4与a8的等比中项是（）2.（单选题，4分）等比数列{a n}中，a1= 18A.±4B.4C.± 14D. 143.（单选题，4分）直线L1：ax+（1-a）y=3，L2：（a-1）x+（2a+3）y=2互相垂直，则a 的值是（）A.0或- 32B.1或-3C.-3D.14.（单选题，4分）已知点A（2，3），B（-3，-2），若直线l过点P（1，1）与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（）＜k＜2A. 34B.k＞2或k＜34C.k＞34D.k＜2，b=2，以下错误的是（）5.（单选题，4分）△ABC中，A= π6A.若a=1，则c有一解B.若a= √3，则c有两解C.若a= 11，则c有两解6D.若a=3，则c有两解6.（单选题，4分）已知数列{a n}满足a1=2，a n+1-a n=a n+1a n，那么a31等于（）A.- 358B.- 259C.- 130D.- 2617.（单选题，4分）若关于x的不等式|x+1|-|x-2|＞a2+2a有实数解，则实数a的取值范围为（）A.（-3，1）B.（-1，3）C.（-∞，-3）∪（1，+∞）D.（-∞，-1）∪（3，+∞）8.（单选题，4分）设锐角△ABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且a=1，B=2A，则b的取值范围为（）A.（√2，√3）B.（1，√3）C.（√2，2）D.（0，2）9.（单选题，4分）数列{a n}满足a n+1+a n=2n-3，若a1=2则a21-a20=（）A.9B.7C.5D.310.（单选题，4分）等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n和T n，若S nT n = 2n+13n+2，则a3+a11+a19b7+b15=（）A. 6970B. 129130C. 123124D. 13513611.（填空题，6分）在△ABC中，A=60°，b=1，其面积为√3，则a=___ ，a+bsinA+sinB=___ ．12.（填空题，6分）在数列{a n}中，a1=12，a n+1=1+a n1−a n，数列{a n}前n项和为S n，则a4=___ ，S2019=___ ．13.（填空题，6分）已知a，b为正实数，且a+b=2，则2a +1b+1的最小值是___ ，a2+2a+b2b+1的最小值为___ ．14.（填空题，6分）已知函数f（x）=x2+ax+1．若不等式f（x）≥0对一切x∈（0，1]恒成立，则实数a的最小值为___ ；若f（x）=0的一个根比1大，另一个根比1小，则实数a的取值范围是___ ．15.（填空题，4分）已知直线l经过点（7，1）且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l 的方程___ ．16.（填空题，4分）在等差数列{a n}中，已知公差d＞0，a3+a5=-4，a2a6=-12，则数列{|a n|}的前n项和S n=___ ．17.（填空题，4分）设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，已知a2+2b2=c2，则tanB的最大值为___ ．18.（问答题，15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2−a2bc=2sinB−sinAsinC．（1）求角C的值；（2）若a+b=4，当边c取最小值时，求△ABC的面积．19.（问答题，14分）过点P（2，1）作直线l分别交x轴的正半轴，y轴的正半轴于A，B 两点．（1）当|OA|•|OB|取最小值时，求出最小值及直线l的方程；（2）当|PA|•|PB|取最小值时，求出最小值及直线l的方程．20.（问答题，15分）（1）解关于x不等式ax2-3x+2＞5-ax（a∈R）．（2）若对于m∈[-2，2]，不等式mx2-mx-1＜-m+5恒成立，求x的取值范围．21.（问答题，15分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1= a na n+3（n∈N*）．（1）求证：{ 1a n + 12}是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（2）数列{b n}满足b n=（3n-1）• n2n•a n，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（-1）nλ＜T n+ n2n−1对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．22.（问答题，15分）已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，S n为其前n项和，且满足a n2=S2n-1，令b n=1a n a n+1，数列{b n}的前n项和为T n．（1）求数列{a n}的通项公式及数列{b n}的前n项和为T n；（2）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．2018-2019学年浙江省宁波市鄞州中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，4分）在等差数列{a n}中，已知a6+a7＜0，且S11＞0，则S n中最大的是（）A.S5B.S6C.S7D.S8【正确答案】：B（a1+a11）=11a6＞0，得到a6＞0，a7＜0，由此能求出S n 【解析】：由a6+a7＜0，且S11= 112中最大的是S6．【解答】：解：∵在等差数列{a n}中，a6+a7＜0，且S11＞0，（a1+a11）=11a6＞0，∴S11= 112∴a6＞0，a7＜0，∴S n中最大的是S6．故选：B．【点评】：本题考查等差数列中前n项和最大时项数的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．，q=2，则a4与a8的等比中项是（）2.（单选题，4分）等比数列{a n}中，a1= 18A.±4B.4C.± 14D. 14【正确答案】：A【解析】：利用等比数列{a n}的通项公式、等比中项意义即可得出．【解答】：解：设a4与a8的等比中项是x．由等比数列{a n}的性质可得x2=a4•a8= 18 ×23× 18×27=16，∴x=±4，∴a4与a8的等比中项x=±4．故选：A．【点评】：本题考查了等比中项的求法，属于基础题．3.（单选题，4分）直线L1：ax+（1-a）y=3，L2：（a-1）x+（2a+3）y=2互相垂直，则a 的值是（）A.0或- 32B.1或-3C.-3D.1【正确答案】：B【解析】：首先考虑两条直线斜率都不存在时，是否满足两直线垂直，再看两直线斜率都存在时，依据斜率之积等于-1，求出a的值．【解答】：解：当a=1时，直线L1的斜率不存在，L2的斜率等于0，两直线互相垂直，故a=1满足条件．当a=- 32时，直线L1的斜率不等于0，L2的斜率不存在，两直线不互相垂直，故a=- 32不满足条件．当a≠1且a≠- 32时，由两直线垂直，斜率之积等于-1得：aa−1× 1−a2a+3=-1，解得 a=1或a=-3．综上，a的值是1或-3，故选：B．【点评】：本题考查两条直线垂直的条件，要特别注意直线斜率不存在的情况，体现了分类讨论的数学思想．4.（单选题，4分）已知点A（2，3），B（-3，-2），若直线l过点P（1，1）与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A. 34＜k＜2B.k＞2或k＜34C.k ＞ 34D.k ＜2【正确答案】：A【解析】：求出PA ，PB 所在直线的斜率，数形结合得答案．【解答】：解：点A （2，3），B （-3，-2），若直线l 过点P （1，1）， ∵直线PA 的斜率是 3−12−1 =2， 直线PB 的斜率是 1+21+3 = 34 ．如图，∵直线l 与线段AB 始终有公共点，∴斜率k 的取值范围是（ 34 ，2）．故选：A ．【点评】：本题考查了直线的倾斜角和直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．5.（单选题，4分）△ABC 中，A= π6 ，b=2，以下错误的是（ ）A.若a=1，则c 有一解B.若a= √3 ，则c 有两解C.若a= 116 ，则c 有两解D.若a=3，则c 有两解【正确答案】：D【解析】：在△ABC 中，已知a ，b 和角A 时， ① 若A 为锐角，有bsin A ＜a ＜b ，则三角形有两解， ② 若a=bin A ，则有一解， ③ 若a≥b ，则有一解，逐一判断各个选项即可得解．【解答】：解：∵A= π6 ，b=2，可得：bsinA=1，对于A ，若a=1，则A 为锐角，bsinA=a ，可得c 有一解，故正确；对于B ，若a= √3 ，则bsinA ＜a ＜b ，则c 有两解，故正确；对于C ，若a= 116 ，则bsinA ＜a ＜b ，c 有两解，故正确；对于D ，若a=3，则A 为锐角，a ＞b ，则c 有一解，故不正确；故选：D ．【点评】：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形解的个数的判断，属于中档题．6.（单选题，4分）已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1-a n =a n+1a n ，那么a 31等于（ ）A.- 358B.- 259C.- 130D.- 261【正确答案】：B【解析】：设b n = 1a n ，确定数列{b n }是以 12 为首项，公差为-1的等差数列，即可得出结论．【解答】：解：由已知可得1a n +1 - 1a n =-1， 设b n = 1a n ，则数列{b n }是以 12为首项，公差为-1的等差数列．∴b 31= 12 +（31-1）×（-1）=- 592 ，∴a 31=- 259 ．故选：B ．【点评】：本题考查等差数列的确定，考查学生的计算能力，比较基础．7.（单选题，4分）若关于x 的不等式|x+1|-|x-2|＞a 2+2a 有实数解，则实数a 的取值范围为（ ）A.（-3，1）B.（-1，3）C.（-∞，-3）∪（1，+∞）D.（-∞，-1）∪（3，+∞）【正确答案】：A【解析】：根据绝对值不等式，求出|x+1|-|x-2|的最大值等于3，从而有a2+2a小于|x+1|-|x-2|的最大值3，列出不等关系解出实数a的取值范围即得．【解答】：解：∵|x+1|-|x-2|≤|（x+1）-（x-2）|=3，∴-3≤|x+1|-|x-2|≤3，由不等式|x+1|-|x-2|＞a2+2a有实数解，知3＞a2+2a，解得-3＜a＜1．故选：A．【点评】：本题考查绝对值不等式、有关绝对值不等式有解的问题．利用a2+2a小于|x+1|-|x-2|的最大值，求出实数a的取值范围是关键．8.（单选题，4分）设锐角△ABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且a=1，B=2A，则b的取值范围为（）A.（√2，√3）B.（1，√3）C.（√2，2）D.（0，2）【正确答案】：A【解析】：由题意可得0＜2A＜π2，且π2＜3A＜π，解得A的范围，可得cosA的范围，由正弦定理求得ba=b=2cosA，根据cosA的范围确定出b范围即可．【解答】：解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=2A，∴0＜2A＜π2，且B+A=3A，∴ π2＜3A＜π．∴ π6＜A＜π4，∴ √22＜cosA＜√32，∵a=1，B=2A，∴由正弦定理可得：ba =b= sin2AsinA=2cosA，∴ √2＜2cosA＜√3，则b的取值范围为（√2，√3）．故选：A．【点评】：此题考查了正弦定理，余弦函数的性质，解题的关键是确定出A的范围．9.（单选题，4分）数列{a n}满足a n+1+a n=2n-3，若a1=2则a21-a20=（）A.9B.7C.5D.3【正确答案】：B【解析】：由已知条件推导出{a n-n+2}是首项为a1-1+2=3，公比为-1的等比数列，从而a n-n+2=3•（-1）n-1，进而a n=n-2+3•（-1）n-1，由此能求出a21-a20=22-15=7．【解答】：解：∵a n+1+a n=2n-3，∴a n+1=-a n+2n-3=-a n+（n+1）+n-4=-a n+（n+1）+n-2-2，a n+1-（n+1）+2=-a n+n-2=-（a n-n+2），{a n-n+2}是首项为a1-1+2=3，公比为-1的等比数列，∴a n-n+2=3•（-1）n-1，a n=n-2+3•（-1）n-1，a20=20-2+3•（-1）19=15，a21=21-2+3•（-1）20=22．∴a21-a20=22-15=7．故选：B．【点评】：本题考查数列的两项之差的求法，是中档题，解题时要注意等比数列的性质的合理运用．10.（单选题，4分）等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n和T n，若S nT n = 2n+13n+2，则a3+a11+a19b7+b15=（）A. 6970B. 129130C. 123124D. 135136【正确答案】：B【解析】：根据等差数列的性质，结合等差数列的前n项和公式进行转化即可．【解答】：解：在等差数列中a3+a11+a19b7+b15 = 3a112b11= 32• 2a112b11= 32• a1+a21b1+b21= 32•a1+a212×21b1+b212×21= 32• S21T21= 32• 2×21+13×21+2= 32• 4365= 129130，故选：B．【点评】：本题主要考查等差数列性质的应用，结合等差数列的前n项和公式以及性质是解决本题的关键．11.（填空题，6分）在△ABC中，A=60°，b=1，其面积为√3，则a=___ ，a+bsinA+sinB=___ ．【正确答案】：[1] √13 ; [2] 2√393【解析】：由已知结合三角形的面积公式可求c，然后结合余弦定理可求a，再由正弦定理即可求解．【解答】：解：因为S△ABC= 12bcsinA = 12×1×c×√32= √3，∴c=4，由余弦定理可得，cos60°= 1+16−a 22×1×4 = 12解可得，a= √13，∴ a+b sinA+sinB = asinA= √13√32= 2√393．故答案为：√13，2√393．【点评】：本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．12.（填空题，6分）在数列{a n}中，a1=12，a n+1=1+a n1−a n，数列{a n}前n项和为S n，则a4=___ ，S2019=___ ．【正确答案】：[1]- 13 ; [2] 11792【解析】：由数列{a n }首项 a 1=12 ，递推公式 a n+1=1+an 1−a n，可求前几项，发现数列{a n }是四项一循环的周期数列，进而可求数列{a n }前2019项和S 2019．【解答】：解：由已知：a 2=1+121−12=3；a 3= 1+31−3 =-2；a 4= 1−21+2 =- 13 ；a 5= 1−131+13= 12 ， ∴数列{a n }是四项一循环的周期数列．且四项和为 12 +3+（-2）+（- 13 ）= 76 ， 则数列前2019项中包括504个周期多3项，即S 2019=504× 76 + 12 +3+（-2）= 11792， 故答案为：- 13， 11792．【点评】：本题考查归纳法，特殊的递推数列和周期数列的求和．属于中档题． 13.（填空题，6分）已知a ，b 为正实数，且a+b=2，则 2a+1b+1的最小值是___ ， a 2+2a +b 2b+1 的最小值为___ ． 【正确答案】：[1]3+2√23 ; [2] 6+2√23【解析】：将题设条件变形为 a3+b+13=1 ，即可利用“乘1法”结合基本不等式求解．【解答】：解：∵a+b=2，∴a+（b+1）=3，即 a3+b+13=1 ，∴ 2a +1b+1 =（ 2a +1b+1 ）（ a3+b+13 ）= 23+a3(b+1)+2(b+1)3a +13 ≥1+2 √29 = 3+2√23， 当且仅当 a3(b+1)=3(b+1)2a，即a =6−3√2 ， b =3√2−4时等式成立 ．∴ a 2+2a +b 2b+1 =a+ 2a+b +1+1b+1−2 = 2a +1b+1+1≥6+2√23． 故答案为： 3+2√23，6+2√23．【点评】：本题主要考查基本不等式中的“乘1法”的运用，需要学生有一定的计算化简能力． 14.（填空题，6分）已知函数f （x ）=x 2+ax+1．若不等式f （x ）≥0对一切x∈（0，1]恒成立，则实数a 的最小值为___ ；若f （x ）=0的一个根比1大，另一个根比1小，则实数a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]-2; [2]a ＜-2【解析】：不等式f （x ）≥0对一切x∈（0，1]恒成立，即有-a≤x+ 1x 在（0，1]的最小值，结合对勾函数的单调性，可得最小值，进而得到a 的最小值；由二次函数的图象和性质可得f（1）＜0，解不等式可得a的范围．【解答】：解：不等式f（x）≥0对一切x∈（0，1]恒成立，即为x2+ax+1≥0，即有-a≤x+ 1x在（0，1]的最小值，由y=x+ 1x在（0，1]递减，可得y的最小值为2，则-a≤2，即a≥-2，则a的最小值为-2；若f（x）=0的一个根比1大，另一个根比1小，结合二次函数f（x）的图象为开口向上的抛物线，可得f（1）＜0，即有1+a+1＜0，解得a＜-2．故答案为：-2，a＜-2．【点评】：本题考查二次函数的图象和性质，以及二次不等式恒成立问题和二次方程的实根分布情况，注意运用参数分离和数形结合思想，以及对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．15.（填空题，4分）已知直线l经过点（7，1）且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l 的方程___ ．【正确答案】：[1]x-7y=0，或x-y-6=0【解析】：当直线l经过原点时，用点斜式求直线l的方程．当直线l不过原点时，设其方程x a + yb=1，由题意可得a+b=0 ① ，又l经过点（7，1），有7a+ 1b=1 ② ，由① ② 求得a=6，b=-6，由此求得l的方程．【解答】：解：当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，故直线l的斜率为1 7，∴所求直线方程为y= 17x，即x-7y=0．当直线l不过原点时，设其方程xa + yb=1，由题意可得a+b=0，① 又l经过点（7，1），有7 a + 1b=1，②由① ② 得a=6，b=-6，则l的方程为x6 + y−6=1，即x-y-6=0．故所求直线l的方程为 x-7y=0，或x-y-6=0．故答案为 x-7y=0，或x-y-6=0．【点评】：本题主要考查用点斜式、截距式求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．16.（填空题，4分）在等差数列{a n }中，已知公差d ＞0，a 3+a 5=-4，a 2a 6=-12，则数列{|a n |}的前n 项和S n =___ ．【正确答案】：[1] {n (9−n )，1≤n ≤5n (n −9)+40，n ≥6【解析】：由a 3+a 5=-4，可得a 2+a 6=-4，又a 2a 6=-12，d ＞0，联立解得a 2，a 6．进而得出通项公式．令a n ≤0，解得n 范围，通过分类讨论，利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】：解：∵a 3+a 5=-4，∴a 2+a 6=-4，又a 2a 6=-12，d ＞0， 解得a 2=-6，a 6=2． ∴d=2−(−6)4=2． ∴a n =-6+2（n-2）=2n-10． 令a n =2n-10≤0，解得n≤5．∴n≤5时，|a n |=-a n ；n≥6时，|a n |=a n ． 则n≤5数列{|a n |}的前n 项和S n =-a 1-a 2-……-a n =-n (−8+2n−10)2=n （9-n ）． n≥6数列{|a n |}的前n 项和S n =-a 1-a 2-…-a 5+a 6+……+a n = n (−8+2n−10)2 -2× 5(−8+0)2=n （n-9）+40． ∴S n = {n (9−n )，1≤n ≤5n (n −9)+40，n ≥6．故答案为： {n (9−n )，1≤n ≤5n (n −9)+40，n ≥6 ．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.（填空题，4分）设△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，已知a 2+2b 2=c 2，则tanB 的最大值为___ ． 【正确答案】：[1] √33【解析】：由已知可得C 为钝角，根据正弦定理和余弦定理可得 tanCtanA =-3，再根据诱导公式以及两角和的正切公式和基本不等式即可求出．【解答】：解：∵a 2+2b 2=c 2， ∴C 为钝角，∴ tanC tanA = sinCcosA cosCsinA = c•b 2+c 2−a 22bca•a 2+b 2−c 22ab= b 2+c 2−a 2a 2+b 2−c 2 = b 2+a 2+2b 2−a 2a 2+b 2−a 2−2b 2 = 3b 2−b 2 =-3， ∴tanC=-3tanA ，∵tanB=tan[π-（A+C ）]=-tan （A+C ）=- tanA+tanC1−tanAtanC = 2tanA1+3tan 2A =21tanA+3tanA ，∵tanA ＞0，可得 1tanA +3tanA≥2 √3 ，当且仅当tanA= √33 时等号成立， ∴tanB=21tanA+3tanA2√3= √33，故答案为： √33．【点评】：本题考查了正弦定理和余弦定理以及三角函数的化简和基本不等式，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.（问答题，15分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 b 2+c 2−a 2bc =2sinB−sinAsinC． （1）求角C 的值；（2）若a+b=4，当边c 取最小值时，求△ABC 的面积．【正确答案】：【解析】：（1）由余弦定理和正弦定理进行化简即可（2）结合余弦定理以及基本不等式求出c 的最小值，结合三角形的面积公式进行 计算即可．【解答】：解：（1）由条件和正弦定理可得 b 2+c 2−a 2bc = 2b−a c ，即 b 2+c 2−a 2b=2b −a ，整理得b 2+a 2-c 2=ab 从而由余弦定理得cosC= b 2+a 2−c 22ab=ab 2ab =12 ．又∵C 是三角形的内角，∴C= π3 ．（2）由余弦定理得c 2=a 2+b 2-ab=（a+b ）2-3ab=16-3ab ， ∵4=a+b≥2 √ab ，∴ √ab ≤2，ab≤4，则-ab≥-4，即c 2=16-3ab≥16-12=4，当且仅当a=b=2时等号成立． ∴c 的最小值为2，故S △ABC = 12ab sinC= 12×4×√32= √3 ．【点评】：本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理和余弦定理进行转化是解决本题的关键．19.（问答题，14分）过点P（2，1）作直线l分别交x轴的正半轴，y轴的正半轴于A，B 两点．（1）当|OA|•|OB|取最小值时，求出最小值及直线l的方程；（2）当|PA|•|PB|取最小值时，求出最小值及直线l的方程．【正确答案】：【解析】：（1）根据所求结果，设直线为xa +yb=1，代入点，用基本不等式可得结果，（2）根据所求结果，设直线为y=k（x-2）+1，可得|PA|•|PB|式子，用基本不等式可得结果，【解答】：解（1）设A（a，0），B（0，B），设直线方程为xa +yb=1，过点P（2，1），代入2a+1b=1≥2√2ab，解之得ab≥8，当且仅当2 a =1b时取等号，k=−ba =−12，所以|OA|•|OB|取最小值为8，此时直线方程为x+2y-4=0．（2）设y=k（x-2）+1，令x=0，y=0，可得A= (2−1k，0)，B（0，1-2k），则|PA|•|PB|= √(4+4k2)(1+1k2) = √8+4(k2+1k2)≥4，当且仅当k=1或k=-1（舍）时取等号，即最小值为4，此时方程为x+y-3=0．【点评】：本题考查直线的性质，注意合理选择直线的方程，属于基础题．20.（问答题，15分）（1）解关于x不等式ax2-3x+2＞5-ax（a∈R）．（2）若对于m∈[-2，2]，不等式mx2-mx-1＜-m+5恒成立，求x的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）不等式化为（x+1）（ax-3）＞0，讨论a=0和a＞0、a＜0时，分别求出对应不等式的解集；（2）利用函数的恒成立，转化成函数f（m）=（x2-x+1）m-6＜0，m∈[-2，2]，计算f（2）=（x2-x+1）2-6＜0即可．【解答】：解：（1）不等式ax2-3x+2＞5-ax可化为ax2+（a-3）x-3＞0，即（x+1）（ax-3）＞0，① 当a=0时，原不等式的解集为{x|x＜-1}；② 当a≠0时，方程的两根为-1和3a；当a＞0时，不等式的解集为{x|x＜-1或x＞3a}；当a＜0时，（i）若3a ＞-1，即a＜-3，原不等式的解集为{x|-1＜x＜3a}；（ii）若3a ＜-1，即-3＜a＜0，原不等式的解集为{x| 3a＜x＜-1}；（iii）若3a=-1，即a=-3，原不等式的解集为∅，综上所得：当a=0时，原不等式的解集为{x|x＜-1}；当a＞0时，不等式的解集为{x|x＜-1或x＞3a}；当a＜-3时，原不等式的解集为{x|-1＜x＜3a}；当-3＜a＜0时，原不等式的解集为{x| 3a＜x＜-1}；当a=-3时，原不等式的解集为∅．（2）若对于m∈[-2，2]，不等式mx2-mx-1＜-m+5恒成立，即：mx2-mx+m-6＜0恒成立，所以（x2-x+1）m-6＜0恒成立，令函数f（m）=（x2-x+1）m-6，m∈[-2，2]，因为（x2-x+1）=（x- 12）2+ 34＞0恒成立，所以函数f（m）=（x2-x+1）m-6，在m∈[-2，2]上单调递增，所以只需要函数的最大值小于0即可，所以：f（2）=（x2-x+1）×2-6＜0，即：x2-x-2＜0，解得：-1＜x＜2，即x的取值范围是（-1，2）．【点评】：本题考查了含有字母的不等式解法与应用问题，也考查了恒成立问题，是中档题．21.（问答题，15分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1= a na n+3（n∈N*）．（1）求证：{ 1a n + 12}是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（2）数列{b n}满足b n=（3n-1）• n2n•a n，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（-1）nλ＜T n+ n2n−1对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由数列{a n}中，a1=1，a n+1= a na n+3（n∈N*），可得1a n+1=a n+3a n=1+ 3a n．变形为1a n+1+12=3(1a n+12)，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）可知：b n，利用“错位相减法”即可得出T n，利用不等式（-1） nλ＜T n+n2n−1，通过对n分为偶数与奇数讨论即可．【解答】：解：（1）由数列{a n}中，a1=1，a n+1= a na n+3（n∈N*），可得1a n+1=a n+3a n=1+ 3a n．∴ 1 a n+1+12=3(1a n+12)，∴{ 1a n +12}是首项为11+12=32，公比为3的等比数列，∴ 1 a n +12=32×3n−1，化为a n=23n−1．（2）由（1）可知：b n=(3n−1)•n2n •23n−1= n2n−1，T n= 120+221+322+…+ n−12n−2+n2n−1．1 2T n=121+222+…+ n−12n−1+ n2n，两式相减得12T n=1+12+122+⋯+12n−1- n2n= 1−12n1−12−n2n= 2−n+22n．∴ T n=4−n+22n−1．∴（-1）n•λ＜4−n+22n−1 + n2n−1=4- 22n−1．若n为偶数，则λ＜4−22n−1，∴λ＜3．若n为奇数，则−λ＜4−22n−1，∴-λ＜2，解得λ＞-2．综上可得-2＜λ＜3．【点评】：熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式、“错位相减法”、分类讨论的思想方法等是解题的关键．22.（问答题，15分）已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，S n为其前n项和，且满足a n2=S2n-1，令b n=1a n a n+1，数列{b n}的前n项和为T n．（1）求数列{a n}的通项公式及数列{b n}的前n项和为T n；（2）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）把等差数列的求和公式代入a n2=S2n-1整理后可求得a n，代入b n=1a n a n+1利用裂项法求得T n．（2）根据（1）中求得T n分别表示出T1，T m，T n根据等比中项的性质建立等式，化简整理即可求得m的范围，进而根据m和n均为正整数求得m，进而n【解答】：解：（1）因为{a n}是等差数列，由a n2=S2n−1=(a1+a2n−1)(2n−1)2=(2n−1)a n，又因为a n≠0，所以a n=2n-1，由b n=1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以T n=12(1−13+13−15++12n−1−12n+1)=n2n+1．（2）由（1）知，T n=n2n+1，所以T1=13，T m=m2m+1，T n=n2n+1，若T1，T m，T n成等比数列，则(m2m+1)2=13(n2n+1)，即m 24m2+4m+1=n6n+3．由m 24m2+4m+1=n6n+3，可得3n =−2m2+4m+1m2，所以-2m2+4m+1＞0，从而：1−√62＜m＜1+√62，又m∈N，且m＞1，所以m=2，此时n=12．故可知：当且仅当m=2，n=12使数列{T n}中的T1，T m，T n成等比数列．【点评】：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了学生综合分析问题和实际运算能力．。
2018年浙江省宁波市高一下学期期中考试数学(普通班)试题6
高一下学期期中考试数学（普通班）试题请将所有题目的答案填写在答题卡的相应位置一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．1．sin 20cos170cos 20sin10-=A .BC .12-D .122．若等差数列{}n a 满足35791180a a a a a ++++=,则=-9821a aA ．8B ．9C ．10D ．113．若A 是ABC ∆的内角，当7cos 25A =，则cos 2A=A ．35±B ． 35C ．45±D ． 454．已知等差数列{}n a 的公差0d >，则下列四个命题:①数列{}n a 是递增数列； ②数列{}n na 是递增数列；③数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列； ④数列{}3n a nd +是递增数列；其中正确命题的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．若tan tan tan tan 10,,(,)2παβαβαβπ+-+=∈，则αβ+为A ． 4πB ． 34πC ． 54πD ．74π6.若sin sin()sin 2C B A A +-=，则ABC ∆的形状为A ．等腰三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 7．等比数列{}n a 的前4项和为5, 前12项和为35, 则前8项和为 A ．10-B ．15C ．15-D ．1015-或8．已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足21324(2)n n S S n n n -+=++≥.若对任意的*n N ∈，1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是 A ．2329(,)44 B ．2029(,)34 C ．2320(,)43D ．20(,)3-∞二、填空题：本大题共7小题，共25分．9．已知钝角．．ABC ∆的面积为12，1AB =，BC B = ▲ , AC = ▲ . 10．若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n = ▲ 时,数列{}n a 的前n 项和有最 ▲ 值.11．ABC ∆中，角A,B,C 所对边分别为,,a b c ，2,45a B == ，①当b =三角形有 ▲ 个解；②若三角形有两解，则b 的取值范围是 ▲ ．12．2()cos()cos 2f x x x x π=-⋅+的最小正周期为 ▲ ,单调递减区间为 ▲ .13．若等差数列}14{+n 与等比数列}3{n 的公共项按照原来的顺序排成数列为}{n a ，则=8a ▲ ．14．设数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，数列{}n b 是单调递增的等比数列，21=b 是1a 与2a 的等差中项，35a =，341b a =+，若当n m ≥*()m N ∈时，n n S b ≤恒成立，则m 的最小值为 ▲ ．15．数列{}n a 满足:*)()1(2222233221N n n a a a a n n ∈+=++++ ，则数列{}n a 的前n 项和为 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共51分．要求写出解题过程或演算步骤．16．（本题满分8分）用数学归纳法证明(1)(1)(2)13626n n n n n +++++++= ．17．（本题满分10分）已知sin()410x π-=7cos 225x =，（I ）求7cos 12x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（II ）求2sin 22sin 1tan x xx+-的值.18．（本题满分10分）在ABC ∆中，角A,B,C 所对边分别为,,a b c ，sin 1sin sin A a bB C a c-=-+-.（I）若b =ABC ∆周长的取值范围；（II ）设()()sin ,1,6cos ,cos 2m A n B A ==，u r r 求m n ⋅u r r 的取值范围.19．（本题满分11分）数列{}n a 的前n 项和n S 满足: *)(632N n n a S n n ∈-= (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设nnn a b λ=,其中常数0>λ,若数列{}n b 为递增数列,求λ的取值范围．20．（本题满分12分）已知数列{}n x 满足11=x ，λ=2x ,并且11-+=n n n n x xx x λ（λ为非零常数， ,4,3,2=n ）． （Ⅰ）若531,,x x x 成等比数列，求λ的值；（Ⅱ）设01λ<<，常数k *∈N ，证明1212()1k k k n k kn x x x n x x x λλ*++++++<∈-N …．高一期中考试数学试卷答题卡座号________________________准考证请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效班级姓名考场号座位号…………………………………………密…………………………………封………………20、高一下学期期中考试数学（普通班）试题答案1~5 CADBD 6~8 BBC9、34π10、8，大； 11、1，； 12、π，511[,],1212k k k Z ππππ++∈； 13、89 ； 14、4；15、112522n n +-16、证明：（1）当1n =时，左边12316⨯⨯===右边，等式成立 （2）假设n k =时等式成立，即(1)(1)(2)13626k k k k k +++++++= 当1n k =+时，(1)(1)(2)(1)(2)(1)(2)1362262k k k k k k k k k ++++++++++++=+(1)(2)3(1)(2)(1)(2)(3)66k k k k k k k k ++++++++==，所以等式成立由（1）（2）知，原等式成立。
最新浙江省宁波市效实中学高一(数理班)下学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年浙江省宁波市效实中学高一（数理班）下学期期中数学试题一、单选题1．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝－3，ac ＝－9【答案】B【解析】因为22(1)(9),0,3,9b b b ac b =--<∴=-∴==Q 2．下列不等式①212a a +>；②22111x x +≥+；2≥；④2244sin x sin x+≥，其中恒成立的不等式的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】根据不等式的基本性质、基本不等式逐一判断4个不等式是否成立，不难得出结论． 【详解】①因为()221210a a a +-=-≥，所以212a a +≥，故不恒成立； ②因为222211=+1121=111x x x x ++-≥-++，当21=1x +时等号成立，所以22111x x +≥+正确； ③若0,0a b <<0<，故不恒成立； ④令(][)24sin 0,1,5,t x y t t =∈=+∈+∞故原不等式2244sin x sin x+≥恒成立； 所以恒成立的有2个， 故选：B . 【点睛】本题考查不等式的性质及基本不等式应用，利用基本不等式时注意是否能取等的条件，属于中等题.3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝20，S 20＝15，则S 30＝（ ）A ．10B ．30-C ．15-D ．25【答案】C【解析】根据等差数列片段和性质可知10S ，1200S S -，3020S S -成等差数列，利用等差中项定义可构造方程求得结果. 【详解】由题意知：10S ，1200S S -，3020S S -成等差数列()()20101030202S S S S S ∴-=+-，即30102015S -=+-，解得：3015S =-故选：C 【点睛】本题考查等差数列片段和性质的应用，属于基础题. 4．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L （ ）A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+【答案】B【解析】由等比数列的性质可得：564756218a a a a a a +==，所以569a a =.1102938479a a a a a a a a ====⋯=.则5313231031103log log log log ()5log 910a a a a a +++===L ，故选B.5．已知数列{}n a 满足：()36nn a n λ=--，且数列{}n a 单调递减，则实数λ的取值范围是( ) A ．3(,)2-∞ B ．5(,)2-∞C ．3(,)2+∞D ．5(,)2+∞【答案】B【解析】由已知，利用数列{}n a 为单调递减数列，可得()1132210n n n a a n λ--=--<-，化简即可得出实数λ的取值范围.【详解】∵()36nn a n λ=--，①∴()11316n n a n λ--=-+-，n >1，②①−②得数列()113221n n n a a n λ---=--(n >1,n ∈N ∗)，∵数列{}n a 单调递减， ∴2210n λ--< 化为212n λ+<,(n >1,n ∈N ∗)，， ∴52λ<， ∴λ的取值范围是5(,)2-∞. 故选：B . 【点睛】本题考查数列的函数特性，根据数列的单调性结合函数性质可列出不等式，由此解出参数取值即可，属于中等题.6．已知圆224x y +=，直线l ：y x b =+，若圆224x y +=上恰有4个点到直线l的距离都等于1，则b 的取值范围为( )A ．()1,1-B ．[]1,1-C ．⎡⎣D ．(【答案】D【解析】圆224x y +=上恰有4个点到直线l 的距离都等于1，所以圆心到直线l ：y x b =+的距离小于1，利用点到直线距离求出b 的取值范围.【详解】因为圆224x y +=上恰有4个点到直线l 的距离都等于1，所以圆心到直线l ：y x b =+的距离小于11b b <⇒<⇒<，故本题选D.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了数形结合思想.7．直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于,M N 两点，若MN ≥则k的取值范围是( ) A ．3[,0]4-B ．[)3(,)0,4-∞-⋃+∞C．( D．(,)33-∞-+∞U 【答案】A【解析】由弦长公式及MN ≥d ≤1，利用圆心到直线距离公式可建立不等式，解此不等式求出k 的取值范围． 【详解】由圆的方程22(3)(2)4x y -+-=可得圆心(3,2)， 设圆心到直线y =kx +3的距离为d ,由弦长公式得M N =≥，故d ≤1，≤1,化简得384k k ⎛+⎫⎪⎝⎭≤0, ∴−34≤k ≤0， 故选A . 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，利用半径、弦心距、弦长建立勾股定理关系可进行求解，属于基础题.8．已知,,a b c 分别为三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边，且222334a b c ab +-= ，则三角形ABC ( )A ．可能为锐角三角形B ．一定不是锐角三角形C ．一定为钝角三角形 D ．不可能为钝角三角形【答案】B【解析】利用余弦定理表示出cosC ，将已知等式变形后代入得到cosC 的范围，确定出C 的范围，即可得到结果．【详解】当222334a b c ab +-=，即2222222242()a b c a b ab a b +-=--+=--∴22222()cos =022a b c a b C ab ab+---=≤，∵(0,)C π∈， ∴C 不可能为锐角.故选：B . 【点睛】本题考查余弦定理的应用，根据题目边的等量关系带入余弦定理可得余弦的取值范围，由此得出角的范围，属于中等题.9．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos B C b c +=，π3B =，则a c +的取值范围是A ．B ．3(2C ．D ．3[2【答案】A【解析】因为cos cos B C b c +=cos cos c B b C +==，由正弦定理可得sin cos cos sin C B C B +=()sin sin B C A +==所以2b =，因为π3B =，所以1sin sin sin a bc A B C ===， 所以2π3πsin sin sin sin sin cos 3226a c A C A A A A A ⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2π03A <<，所以ππ5π666A <+<π6A ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即a c <+≤， 故选A ．10．已知点()1,0A ，设P ，Q 分别是直线20x y ++=和圆22(1)(1)1x y -+-=上的动点，则PA PQ +的最小值为( )A ．4B ．3C ．D ．1【答案】A【解析】求出点A 关于直线x +y +2=0的对称点，将已知问题转化为对称点到圆上的最小值问题，根据圆的几何条件，圆外的点到圆上的点的最小值等于该点到圆心的距离减去半径． 【详解】由于点()1,0A 关于直线x +y +2=0的对称点为A ′(−2,−3)， 则|PA |+|PQ |=|PA ′|+|PQ |≥|A ′Q |，圆22(1)(1)1x y -+-=圆心C （1，1），半径r =1，又A ′到圆上点Q 的最短距离为|A ′C |−r 4，故选：A 【点睛】本题考查点、直线与圆的距离问题，点与圆心的距离d ，点到圆的最小距离等于d -r ，最大距离为d +r ，本题属于中等题.二、填空题11．已知直线1:330l ax y ++=和直线2:2(21)30l x a y ++-=.当a =____时，12l l //.当a =____时，12l l ⊥. 【答案】32 38- 【解析】根据直线的平行与垂直，利用系数关系列出等量关系求解即可得出． 【详解】∵直线1:330l ax y ++=和直线2:2(21)30l x a y ++-=, 当直线l 1∥直线l 2，可得(21)230a a +-⨯=，解得3,2a =或2a =-， 当2a =-时，直线l 1与直线l 2重合，舍去， 故3,2a =当12l l ⊥，可得23(21)0a a ++=，解得38,a =- 故答案为：32，38-. 【点睛】本题考查两条直线的位置关系，涉及直线平行与垂直的关系，属于基础题.12．直线l 经过点(45)A -，,且在x 轴和y 轴上的截距互为相反数，则l 的方程为____. 【答案】90x y --=或540x y +=【解析】根据直线在x 轴、y 轴上的截距互为相反数，分截距为0以及截距不为0两种情况讨论：当l 截距为0时，过原点，结合A 的坐标即可得到方程，若截距不为0时，设出方程为1x y a a+=-，根据l 过A 得出a 的值，进而解答本题. 【详解】当直线l 的截距为0时，直线过原点，设直线方程为y =kx ，过点(45)A -，， 则有-5=4k ，解得54k =- 直线方程为y =54-x ，即540x y +=. 当直线l 的截距不为0时，设直线在x 、y 轴上的截距分别为a 和-a （a ≠0）， 则直线l 的方程为1x ya a+=-. 因为直线过点(45)A -，， 所以451a a-+=-， 解得：a =9.所以直线l 的方程为x -y -9=0.故答案为：90x y --=或540x y +=. 【点睛】本题考查直线方程的应用，关键是掌握直线的截距式，根据截距互为相反数设出截距式直线方程求解，易错点为容易忽略截距为0的情况，属于基础题.13．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(2,0)-重合，且点(2018,2019)与点(,)m n 重合，则m n -等于____.【答案】1-【解析】根据点的坐标关系，知已知的两点关于y 轴对称，则折痕即为y =-x 轴，进一步根据关于y =-x 轴对称，则横坐标，纵坐标交换位置，且改变符号，可得答案． 【详解】∵将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与(−2,0)重合， ∴折痕是y =−x .∴点(2018,2019)与点(−2019,−2018)重合， 故m =−2019，n =−2018， 故m −n =−1， 故答案为：−1. 【点睛】本题考查点关于直线对称问题，解题关键是找出点与点的关系求解即可，属于中等题. 14．在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点坐标分别为(0,),(,0),(,0)A a B b C c ，点(0,)P p 在线段OA 上（异于端点），设,,,a b c p 均为非零实数，直线,BP CP 分别交,AC AB 于点E ，F ，一同学已正确算出OE 的方程：11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，请你求OF 的方程： 。
高一第二学期期中考试数学试卷含答案(word版)
2018-2019学年第二学期高一期中考试数学科试题本试卷共4页,22小题,满分150分.考试时间120分钟. 注意事项:1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、若集合{}21A x x =-<<,{1B x x =<-或}3x >,则A B =I ( )A 、{}21x x -<<-B 、{}23x x -<<C 、{}11x x -<<D 、{}13x x <<2、下列与角7312π终边相同的角是（ ） A 、312π B 、512π C 、12π D 、12π-3、已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩，则()()1f f = ( )A 、－15B 、15C 、－3D 、34、已知平面,αβ，直线m ，且αβ⊥，AB αβ=I ，m αP ，m AB ⊥， 则下列说法正确的是（ ）A 、m βPB 、m β⊥C 、m β⊂D 、直线m 与平面β的关系不确定 5、直线ax －4y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为( ) A 、4 B 、－1 C 、－4 D 、16、已知函数()22x x f x -=-，若()f a =，则()f a -=（ ）A B 、 C D 、7、已知函数()()1x f x a a =>，且()()2741f m f m ->-，则实数m 的取值范围是（ ） A 、[)3,-+∞ B 、(),3-∞- C 、(],3-∞- D 、()3,-+∞ 8、某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的体积(单位:3cm )是( ) A .12π+ B . 32π+ C . 312π+ D . 332π+ 9、过点P (2,3)的直线l 分别与两坐标轴交于A 、B 两点， 若P 为AB 的中点，则直线l 的方程为（ ）A 、32120x y -+=B 、32120x y --=C 、32120x y ++=D 、32120x y +-= 10、圆22:(2)25C x y +-=一点P 到直线3100l x y ++=的距离的最小值为（ ） A 、5 B 、11 C 、6 D 、111、已知圆C 过点(0,1)，且圆心在y 轴的正半轴上，直线310l y ++=与 圆相切，则圆C 的标准方程为（ ）A 、()2212x y ++= B 、()2232x y +-= C 、()2234x y +-= D 、()2214x y ++=12、已知函数()(21x x f x ln x x e e -=++-，则满足()()210f a f a -+<的实数a 的取值范围是（ ）A 、1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B 、()1,+∞C 、(),1-∞D 、1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13、计算：13642lg 2lg 25-++= ； 14、函数()()1f x ln x =+的定义域为 ；15、若直线430x y a -+=与圆221x y +=相交，则a 的取值范围为___________；16、已知直线:330l mx y m ++-=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若23AB =CD = .三、解答题：本大题共6个小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知直线l 的方程为2x +（1+m ）y +2m=0，m ∈R ，点P 的坐标为（-3，1）． （Ⅰ）求证：直线l 恒过一定点，并求出定点坐标； （Ⅱ）求点P 到直线l 的距离的最大值．18．（本小题满分12分）如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点． 求证：（Ⅰ）EF ∥面ACD ；（Ⅱ）面EFC ⊥面BCD ．19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，点()()1,0,1,0A B -，平面上一点M 满足2MA MB =. （Ⅰ）求点M 的轨迹方程； （Ⅱ）过点A 且倾斜角为6π的直线l 与点M 的轨迹交于,P Q ，求线段PQ 的长度.20．（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数.当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数)(x v 的表达式;（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/每小时）)()(x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）.21．（本小题满分12分）如图,四边形ABCD 为正方形,,E F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,2BE AB DF ==.（Ⅰ）求二面角B AC E --的余弦值； （Ⅱ） 证明:平面AEC ⊥平面AFC .22．（本小题满分12分）已知函数)()14(log )(2R k kx x f x ∈++=是偶函数，)342(log )(2a a x g x -⋅=（其中0>a ）.（I ）求函数)(x g 的定义域； （II ）求k 的值；（III ）若函数)(x f 与)(x g 的图象有且只有一个交点，求a 的取值范围.CDFEBA2018—2019学年第二学期高一调研考试数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
浙江省宁波市高一下学期期中数学试卷
浙江省宁波市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·肇庆模拟) 已知向量，且，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高一下·滕州期末) ﹣ + =（）A .B . 2C . 2D .3. （2分）在等差数列{an}中，已知a3+a5=2，a7+a10+a13=9，则此数列的公差为（）A .B . 3C .D .4. （2分） (2018高一上·陆川期末) 下列函数定义域是的是（）A .B .C .D .5. （2分）已知等差数列，为其前项和，若，且，则（）A . 20B . 24C . 26D . 306. （2分）设集合则（）A . {x|x<－2或x>2}B . {x|x>2}C . {x|x>1}D . {x|x<1}7. （2分）已知O是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二上·福州期中) △ABC中，a=x，b=2，∠B=60°，则当△ABC有两个解时，x的取值范围是（）A . x＞B . x＜2或x＞C . x＜2D . 2＜x＜9. （2分） (2016高一下·望都期中) 在△ABC中，a=3，，A=60°，则cosB=（）A .B .C .D .10. （2分）在△ABC中，a=4，b=， 5cos（B+C）+3=0，则角B的大小为（）A .B .C .D . 或11. （2分）已知向量均为单位向量，若它们的夹角，则||等于（）A .B .C .D . 412. （2分）等比数列的前n项和为Sn ，且成等差数列．若，则（）A . 7B . 8C . 15D . 16二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·安徽月考) 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，向量，，且，，则周长的取值范围是________．14. （1分）(2017·南京模拟) 如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线上从左向右依次取点Ak、Bk ， k=1，2，…，其中A1是坐标原点，使△AkBkAk+1都是等边三角形，则△A10B10A11的边长是________．15. （1分） (2016高二上·宁阳期中) 如图，某人在高出海面600米的山上P处，测得海面上的航标在A正东，俯角为30°，航标B在南偏东60°，俯角为45°，则这两个航标间的距离为________米．16. （1分） (2018高二上·浙江月考) 已知，若，其中，，则的最大值为________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分） (2016高一下·南沙期中) 已知函数f（x）=2sin2（ +x）﹣ cos2x，（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）当x 时，求f（x）的最大值和最小值．18. （5分） (2016高三上·崇礼期中) △ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sin2 =sinC+1．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若a= ，c=1，求△ABC的面积．19. （10分） (2016高二上·开鲁期中) 已知：、、是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2）（1）若| |=2 ，且∥ ，求的坐标；（2）若| |= ，且 +2 与2 ﹣垂直，求与的夹角θ．20. （5分） (2017高一上·长宁期中) 解不等式组：．21. （5分） (2018高二上·西安月考) 有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．22. （10分）(2017·宝山模拟) 设数列{xn}的前n项和为Sn ，且4xn﹣Sn﹣3=0（n∈N*）；（1）求数列{xn}的通项公式；（2）若数列{yn}满足yn+1﹣yn=xn（n∈N*），且y1=2，求满足不等式的最小正整数n的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、。