二重积分的反常积分

I 目 录 1引言 .................................................................................................................... 1 2无界区域上的二重积分 ............................................................................. 1 2.1定义 .................................................... 1 2.2(,)Dfxyd收敛的判定 ..................................... 2

2.3B函数与函数的联系 ...................................... 4 3无界函数的二重积分 .................................................................................. 9 3.1定义 ..................................................... 9 3.2判定定理................................................ 9 3.3无界函数计算 ............................................ 10 参考文献 ........................................................................................................... 11 致谢 .................................................................................................................... 12 II

二重积分的反常积分 数学系本0601班 魏慧 指导教师：梁素萍 摘 要：本文探究了二重积分中的两种反常积分，即无界区域上的二重积分和无界函数的二重积分，分别从定义及其判别法两个方面研究了关于二重反常积分的敛散性，同时还计算了泊松(Poisson)积分，并用其证明了B函数与Г函数的关系式，鲜明地反映反常二重积分在证明某些题目时的优越性。

关键词： 二重积分， 反常， 广义 。

Double integral of the improper integral Name: Wei Hui Class0601, Mathematics Department Tutor: Liang Suping Abstract：This paper discusses the double integral of the two kinds of abnormal points, namely the unbounded regional double and unbounded function, the double integral respectively from two aspects of definition and research method about double abnormal integral convergence, also calculated, pine (Poisson tabor, and its proof) Г function with the B function equation, vividly reflected abnormal double to prove some questions in the superiority. Key words: Double integral, Abnormal , Generalized. 1

1引言 与定积分相同， 我们也可以把二重积分推广到积分区域是无界的和被积函数是无界的两种情形，统称为反常二重积分。

2无界区域上的二重积分 2.1定义 反常二重积分是数学分析中的一个重要内容，用它来计算泊松(Poisson)积分，或是用它来证明B函数与Г函数的关系式，都是十分简捷的。在概率、统计、数理方程等学科中,反常二重积分也被广泛的引用。所以,对反常二重积分给出一个严格、明确而又易于运用的定义,是十分有益的。 定义1 (,)fxy为定义在无界区域D上的二元函数，若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线，(,)fxy在曲线所围的有界区域E 与D的交集ED=D上二重可积。令d=min22{|(,)}xyxy，若存在有限极限： (,)lim(,)dDDJfxydfxyd

且与的取法无关，则称(,)fxy在D上的反常二重积分收敛，并记 (,)lim(,)dDDJfxydfxyd; （1）

否则称(,)fxy在D上的反常二重积分发散，或简称(,)Dfxyd发散。 2

2.2 (,)Dfxyd收敛的判定 定理1 设在无界区域D上(,)0fxy，12,,,,n为一列包围原点的光滑封闭曲线序列，满足 (i)22inf{|(,)}()nndxyxyn； (ii) sup(,)nnDIfxyd，

其中nnDED，nE为n所围的有界区域，这时反常二重积分 (1) 必定收敛，并且(,)DfxydI

证 设'为任何包围原点的光滑封闭曲线，它所围成的区域记为'E，并记''DED。因为limnxd，因此存在 n，使得'nDDD。由于

(,)0fxy，所以有

'(,)(,)nDDfxydfxydI

另一方面，因为 sup(,)nnDIfxyd，

故对任给的0，总有0n，使得0(,)nDfxydI 因而对于充分大的0'nDD，有'(,)DfxydI

xy

OE



D

D 3 再由 '(,)DIfxydI 可知反常二重积分 (,)Dfxyd存在，且等于I。 由定理 1的证明容易看到有以下定理： 定理2 若在无界区域D上(,)0fxy，则反常二重积分 (1) 收敛的充要条件是：在D的任何有界子区域上(,)fxy可积，且积分值有上界。 例1 计算广义积分222()xyRed 解：对广义积分222()xyRed，取圆aD：222xya，则 222()(1)axyaDede

显然a时2aDR，因此有 222()xyRed

=22()limlimaxyaaDed2(1)ae

例2 利用222()xyRed 计算2xedx



.

解：对广义积分222()xyRed ，若选择正方形方式扩展，取lD:||xl，||yl，则 de

lDyx)(

22dyedxllyxll)(

22

dxdyeellyxll][22 dxdyeellyxll][22 dxedyellxlly22 2][2dxellx

显然当l时有2lDR，因此有 dedelDyxlyx)(R)(22222lim

2][lim2dxellxl

2][2dxex

 4

由此得到dxex2 注：事实上概率论中很重要的泊松积分2xedx的计算有更为简便的算法， 因2xe的原函数不能用初等函数表示，故用一元广义积分的方法不能求出该积分的值。 但2xIedx2yedx 22222xyxyIedxedxedxdy



2xIedx



若在泊松积分2xedx中令12xy，则 2212xedx 221

12xedx

而此式中的被积函数221()2xxe是统计学中常用的标准正态分布的密度函数。 小结： 在计算反常二重积分时，一般选择有利于计算的特殊区域(如圆、矩形等)扩展方式，讨论相应极限的存在性。

2.3B函数与函数的联系 证明: 若0,0pq,则 ()()(,)()pqBpqpq



证 对于函数， 令2xu 则2dxudu， 于是212100()2pxpupxedxuedu 从而 22212100()()4pxqypqxedxyedy

22212100lim4RRpxqyRxedxyedy

