无界区域上简单反常二重积分的计算
二重积分的计算法2
D
D
及坐标轴所围成的在第一象限内的区域. 2. ( x 2 y 2 )d 其中 D 是由直线
D
y x , y x a, y a, y 3a(a 0)所围成的区域. 3. R2 x 2 y 2 d ,其中 D 是由圆周
D
x 2 y 2 Rx 所围成的区域. 2 2 2 2 4. , 其中 D : x y 3. x y 2 d
三、设平面薄片所占的闭区域 D 是由螺线 r 2 上一段
弧( 0 )与直线 所围成,它的面密度为 2 2
( x , y ) x 2 y 2 ,求这薄片的质量.
四、 计算以 xOy 面上的圆周 x 2 y 2 ax 围成的闭区域为底， 而以曲面 z x 2 y 2 为顶的曲顶柱体的体积.
D1
(1 x y )
R
D1
(1 r )
r 2 1 (1 R ) 1 d d r 2 1 0 (1 r ) 0
I lim I ( R) lim
R
2 1 (1 R ) R 1
2
, 当 1 1 1 当 1 ,
d e r rdr
2
2 0
a
a x
0
D
2
0
1 r2 a ( e ) 0 d 2
2
0
1 a2 a2 (1 e )d (1 e ). 2
通常当积分区域的边界由圆弧、射线组成且被积函数 y 含有x y ， 等形式时，用极坐标计算较为简单. x
2 2
例 2 计算 ( x 2 y 2 )dxdy，其 D 为由圆 x 2 y 2 2 y ，
二重积分的定义和计算方法
二重积分的定义和计算方法引言：二重积分在数学中扮演着重要的角色，用于求解平面区域上的面积、质量分布、物理量等。
本文将介绍二重积分的定义以及常用的计算方法，帮助读者更好地理解和应用二重积分。
一、二重积分的定义二重积分用于计算平面上某个有界区域的面积或者其他类型的物理量。
其定义如下：设函数f(x,y)在闭区域D（边界为C）上连续，其中D的边界C由有限个简单光滑的曲线组成。
将D划分为m×n个小区域，区域在第i 行第j列的小区域记为ΔSij，并任选ΔSij上一点(xi,yi)。
当ΔSij趋近于零且区域D趋近于闭区间上的有限个点时，若二重极限$$\lim_{\substack{m,n \to\infty}}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}f(xi,yi)\Delta Sij$$存在，且与D的划分和点(xi,yi)的选择无关，则称该极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记为$$\iint_D f(x,y)dS$$其中，dS表示面积元素。
二、二重积分的计算方法1. 直角坐标系下的二重积分计算当函数f(x,y)在闭区域D上连续或者分段连续时，二重积分的计算可以通过以下两个步骤进行：步骤一：确定积分区域D的范围和边界方程。
根据题目的描述或者所给的图形，确定积分区域D的边界曲线的方程。
可以使用直线、圆等几何图形的方程来描述。
步骤二：建立二重积分的积分式，计算积分。
根据所给的积分区域D，在直角坐标系下建立对应的积分式，然后进行计算。
根据题目需求，可以选择使用直角坐标系的面积元素dS = dxdy或者极坐标系的面积元素dS = r dr dθ。
2. 极坐标系下的二重积分计算当函数f(r,θ)在极坐标系下连续或者分段连续时，二重积分的计算可以通过以下步骤进行：步骤一：确定积分区域D的范围和边界方程。
根据题目给出的信息或者图形，确定积分区域D在极坐标系下的范围和边界曲线的方程。
步骤二：建立二重积分的积分式，计算积分。
反常二重积分word版
反常二重积分一、无界区域上的二重积分与一元函数在无限区间上的反常积分类似，对无界区域上的反常二重积分作如下定义．定义1 设是平面上一无界区域，函数在上有定义，用任意光滑或分段光滑曲线在中划出有界区域， 如图1所示．若二重积分存在，且当曲线连续变动，使区域以任意过程 无限扩展而趋于区域时，极限图1都存在且取相同的值，则称反常二重积分收敛于，即==否则，称发散．对于一些特殊的无界区域，其上的二重积分如果存在，则它们有特殊的计算途径和表示方式．1．==或 ==2．D ),(y x f D C D C D ⎰⎰σCDd y x f ),(C C D D ⎰⎰σ→CC D DD d y x f ),(limI ⎰⎰σDd y x f ),(I ⎰⎰σDd y x f ),(⎰⎰σ→CC D DD d y x f ),(limI ⎰⎰σDd y x f ),(D },|),{(+∞<≤≤≤=y c b x a y x D ⎰⎰Ddxdyy x f ),(dyy x f dx Mc b aM ),(lim⎰⎰+∞→dyy x f dx cb a),(⎰⎰+∞⎰⎰Ddxdyy x f ),(dxy x f dy baM cM ),(lim⎰⎰+∞→dxy x f dy bac),(⎰⎰+∞},|),{(+∞<≤+∞≤≤=y c x a y x D==⎰⎰DcaM N +∞→+∞→dyy x f dx ca),(⎰⎰或 ==3．==或 ==也可在极坐标系下计算==定理一 设D 是平面R 2中无界区域， ()y x f ,在D 上的可积函数的充分必要条件是()|,|y x f 在D 上的可积.定理 2 (比较判别法) 设D 是平面R 2中无界区域，()y x f ,, ()y x g ,是D 上的函数, 在D 的任何有界可求面积的子区域上可积,并且()),(,0y x g y x f ≤≤.那么(1)当⎰⎰Ddxdy y x g ),(收敛时, ⎰⎰Ddxdy y x f ),(收敛;(2)当⎰⎰Ddxdy y x f ),(发散时, ⎰⎰Ddxdy y x g ),(发散.推论 设D 是平面R 2中无界区域， ()y x f ,是D 上的函数, 并且在D 的任意有界可求面积的子集上可积, 那么 (1) 当22y x +足够大时, α)(),(22y x c y x f +≤(c 是常数),如果α>2, 则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(收敛;(2)当22y x +足够大时, α)(),(22y x c y x f +≥(c 是常数),如果 α⎰⎰DacN M +∞→+∞→dxy x f dy ac),(⎰⎰},|),{(+∞<≤-∞+∞≤≤-∞=y x y x D ⎰⎰Ddxdyy x f ),(dyy x f dx M MN NN M ),(lim⎰⎰--+∞→+∞→dyy x f dx ),(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎰⎰Ddxdyy x f ),(dxy x f dy N NMMM N ),(lim⎰⎰--+∞→+∞→dxy x f dy ),(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎰⎰Ddxdyy x f ),(rdrr r f d RR )sin ,cos (lim020θθθ⎰⎰π+∞→rdrr r f d )sin ,cos (020θθθ⎰⎰+∞π≤2, 则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(发散.例1 设=，计算解 方法一方法二例2 计算二重积分，其中D 是由曲线在第一象限所围成的区域．分析：区域D 是无界区域，且从下列图形可以看出，D 是型区域，化成累次积分时应先对积分． 解法一：= 图8.26 D }0,0|),{(+∞≤≤+∞≤≤y x y x dxdy y x D ⎰⎰++)1)(1(122dy y dx x dxdy y x M M M D 2020221111lim )1)(1(1++=++⎰⎰⎰⎰+∞→M M M yx 0arctan arctan lim +∞→=4)2()(arctan lim 222π=π==+∞→M M dy y dx x dxdy y x D 2020221111)1)(1(1++=++⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=0arctan arctan yx 4)2(22π=π=⎰⎰-Dy dxdyxe2,42x y =29x y =y x }0,23|),{(+∞≤≤≤≤=y yx y y x D ⎰⎰-Dydxdy xe 2dxxedy y yy 223-∞+⎰⎰=dy e y y y ⎰-+∞-2)9141(21014451445725022=-==+∞--+∞⎰y y e dy ye解法二：设，则二、无界函数的反常积分设D 是平面R 2中有界可求面积区域， P 是的聚点, ()y x f ,是D (可能除P 以外)上的函数, 在P 的任何邻域内无界(P 称为奇点或瑕点),. 设Δ为含有P 的任何小区域, ()y x f ,在 D - Δ上可积. 设{}∆∈-+-=),(),,(|)()(sup 2211221221y x y x y y x x d .如果⎰⎰∆-→D d dxdy y x f ),(lim存在, 则称()y x f ,在D上可积, 这个极限也称为()y x f ,在D 上的反常二重积分. 还是记作:()⎰⎰Ddxdy y x f ,, 即()⎰⎰Ddxdyy x f ,=⎰⎰∆-→D d dxdyy x f ),(lim. 当()y x f ,在D 上可积时, 称()⎰⎰D dxdyy x f ,收敛. 如果⎰⎰∆-→D d dxdyy x f ),(lim不存在, 我们还用()⎰⎰Ddxdy y x f ,这个记号, 也称为()y x f ,在D 上的无界函数反常二重积分,但这时我们称这个反常二重积分发散.与无界区域的反常二重积分一样, 可以对无界函数反常二重积分也可以建立相应的收敛定理.定理 3 设D 是平面R 2中有界区域， P (x 0, y 0)是D 的聚点, ()y x f ,是D (可能除P 以外)上的函数, 在P 的任何邻域内无界,. 设Δ为含有P 的任何小区域, ()y x f ,在D - Δ上可积,那么}0,23|),{(b y y x y y x D b ≤≤≤≤=⎰⎰-Dydxdy xe 2dxxe dy y y y b b 223lim-+∞→⎰⎰=dy e y y y b b ⎰-+∞→-=2)9141(lim 2101445)1(lim 1445lim 725220=--==-+∞→-+∞→⎰b b y b b e dy ye(1)当2020)()(y y x x -+-足够小时,α))()((),(2020y y x x cy x f -+-≤(c 是常数),如果 α<2, 则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(收敛;(2)当2020)()(y y x x -+-足够小时,α))()((),(2020y y x x cy x f -+-≥(c 是常数),如果 α≥2, 则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(发散.例3 求⎰⎰≤++12222)(1y x mdxdy y x .解 显然函数是区域上.(0,0) 可能为奇点, 取Δ: )1(,222<≤+ρρy x , 那么⎰⎰⎰⎰≤+≤→≤++=+12212222222)(1lim)(1y x my x mdxdy y x dxdy y x ρρ2,2,ln lim 2)1(21lim 21lim 10201200=≠⎪⎩⎪⎨⎧--==⎰⎰→-→-→m m mdr r d m m ρρρπρρπρπθ 当2<m ,mdxdy y x y x m-=+⎰⎰≤+22)(112222π, 当2≥m ,⎰⎰≤++12222)(1y x mdxdy y x 发散.三、泊松积分在概率论中要用到一种重要的广义积分—泊松积分22π=-∞+⎰dx ex例4 计算．解，令，则计算 1)⎰⎰≥+++144222)(y x dxdy y x yx ; 2) ⎰⎰≤++-1222222y x dxdy y x y x ; 3）4)5)设，问 取何值时，该广义积分收敛？（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
《反常二重积分》课件
目录
01.02.03.源自04.05.06.
反常二重积分的 定义：反常二重 积分是二重积分 的一种特殊情况， 其积分区域为无 限区域或半无限
区域。
反常二重积分的 定义域：反常二 重积分的定义域 为无限区域或半 无限区域，包括 无穷大、无穷小、
无穷远等。
反常二重积分的积 分区域：反常二重 积分的积分区域可 以是无限区域或半 无限区域，包括无 穷大、无穷小、无
推广到高维空间： 将反常二重积分推 广到高维空间，如 三维空间、四维空 间等。
推广到更广泛的函数类： 将反常二重积分推广到 更广泛的函数类，如连 续函数、可积函数等。
推广到更复杂的积分 区域：将反常二重积 分推广到更复杂的积 分区域，如曲面积分 、曲线积分等。
推广到更广泛的应用 领域：将反常二重积 分推广到更广泛的应 用领域，如物理、工 程、经济等。
反常二重积分在 物理学中的重要 性在于它可以帮 助我们更好地理 解和描述物理现 象，从而更好地 解决实际问题。
积分计算：用于计算反常二重积分的值 积分变换：用于将反常二重积分转化为其他类型的积分 积分估计：用于估计反常二重积分的上下界 积分方程：用于求解反常二重积分方程
计算电场强度：反常二重积分用于计算电场强度，如点电荷、线电荷、面电荷等。 计算磁场强度：反常二重积分用于计算磁场强度，如点磁荷、线磁荷、面磁荷等。 计算引力场强度：反常二重积分用于计算引力场强度，如点引力源、线引力源、面引力源等。
反常二重积分的定义和性质 反常二重积分的求解方法 反常二重积分的应用 反常二重积分与其他积分的关系
反常二重积分的 定义和性质
反常二重积分的 计算方法
反常二重积分的 应用
反常二重积分与 其他数学领域的 联系
反常二重积分教学讲义
重积分收敛, 并记
f(x ,y )d lim f(x ,y )d;
D
d D
(1 )
否则称 f (x, y) 在 D 上的反常二重积分发散, 或简
称 f (x, y)d 发散.
D
定理21.16 设在无界区域 D 上 f(x,y)0, 1,2, ,
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n, 为一列包围原点的光滑封闭曲线序列,满足
前页 后页 返回
定理21.17 若在无界区域 D上 f(x,y)0,则反常二 重积分(1)收敛的充要条件是：在 D 的任何有界子
区域上 f (x, y) 可积，且积分值有上界.
例1 证明反常二重积分
e d (x2 y2 )
D
收敛,其中 D 为第一象限部分,即 D [0 , ) [0 , ).
算公式,有
所以
x y e d 2p1 2q1 (x2y2)
DR
Rx2p1ex2dx R y2q1ey2dy.
0
0
(p ) (q ) lim 4x 2p 1y2 q 1 e (x 2 y2)d R D R 前页 后页 返回
4x 2 p 1 y 2 q 1 e (x 2 y 2 )d, D
( i ) d n i n fx 2 y 2 ( x ,y ) n ( n ) ;
(ii)Isupf(x,y)d , n D n
其中 D nE n D ,E n 为 n 所围的有界区域.这时反
常二重积分 (1) 必定收敛, 并且
f(x,y)dI.
D
证 设 为任何包围原点的光滑封闭曲线,它所围成
r 0
0
22 (c o s)2 p 1 (s in)2 q 1 d (p q ). 0
反常二重曲面积分
反常二重曲面积分是数学分析中一个深入且重要的概念，它涉及到曲面上的积分，并且在某些特定条件下表现出“反常”的性质。
在理解这个概念之前，我们首先需要明确什么是二重积分以及它在曲面上的应用。
二重积分，简而言之，是对二元函数在平面区域上的积分。
当我们将这个概念扩展到曲面上时，就需要考虑曲面的几何特性和函数在曲面上的行为。
而反常二重曲面积分，则是指当被积函数在曲面的某些点或区域上表现出无界或不可积的特性时的情况。
在实际应用中，反常二重曲面积分经常出现在物理、工程和科学的各个领域。
例如，在电磁学中，计算通过曲面的电流或电荷分布时，就可能需要用到反常二重曲面积分。
在流体力学中，当考虑流体通过具有奇异点或边界的曲面时，反常二重曲面积分也是一个重要的工具。
从数学分析的角度来看，反常二重曲面积分的研究不仅涉及到积分理论本身，还与实分析、复分析以及微分几何等多个数学分支紧密相连。
在处理这类积分时，我们需要格外小心，因为被积函数的无界性或不可积性可能会导致积分结果不存在或无法定义。
为了处理反常二重曲面积分，数学家们发展了一系列的技术和工具，包括极限过程、分割法、变量替换等。
这些方法的目的是将被积函数在奇异点或边界附近的行为进行适当的处理，以便得到有意义的积分结果。
总的来说，反常二重曲面积分是数学分析中一个既有趣又具挑战性的课题。
它不仅深化了我们对积分理论的理解，还为我们在物理、工程和科学等领域解决实际问题提供了有力的数学工具。
反常二重积分与三重积分简介
平面 x y z 1所围成的四面体． 解 闭区域 如图8.4.4所示． 将区域 投影到 xy 坐标平面上, 得到 Dxy .
0 y 1 x 投影区域, 即 Dxy : 0 x 1
1
z
●
o
x
1
●
y
图8.4.4
在Dxy 上任取一点(x, y), 过此点作平行于 z 轴的直线, 该直线
d 0 i 1 i i i
机动
n
i
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结束
f ( x, y, z )dv lim f ( , ,
d 0 i 1 i i
n
i
) vi
其中 称为积分区域, f ( x, y, z ) 称为被积函数, f ( x, y, z )dv 称为被积表达式, d v 称为体积元素, x, y, z 称为积分变量,
x d x
1 x 0
d y
1 x y 0
dz
x d x
0
1 x 0
(1 x y )d y
1 4 1 3 1 2 1 1 1 1 2 x(1 x ) d x ( x x x ) 0 8 3 4 24 2 0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
●
y
z z1 ( x, y )
在对 z 积分时,先将x、y看作常
x
Dxy
图8.4.3 d x d
y
数, 将ƒ(x, y, z)只看作 z 的函数, 在区间 [z1( x, y), z2 ( x, y)] 上对
z 积分, 得到关于 x, y 的二元函数, 记为
F ( x, y )
二重积分的计算公式
二重积分的计算公式二重积分是微积分中的基本内容之一，它用于计算平面上一些区域内的一些函数的面积或者平面质量分布等问题。
在进行二重积分计算时，首先需要确定被积函数、积分区域以及坐标系，然后通过适当的积分方法进行计算。
本文将介绍二重积分的计算公式及其应用。
一、二重积分计算公式1.矩形区域上的二重积分考虑一个定义在矩形区域D上的函数f(x,y)，该区域上的二重积分可以通过将该区域分为许多小的矩形区域，并对每个小区域内的函数值进行求和，再取极限的方法进行计算。
设矩形区域D的边界为a≤x≤b，c≤y≤d，将其进行分割，得到对应的小矩形区域ΔxΔy，将f(x,y)在该矩形区域上的积分记为ΔI。
则整个矩形区域上的二重积分可以表示为：∬Df(x,y)dA = lim Δx,Δy→0 Σf(x,y)ΔxΔy其中Σ表示对所有小矩形区域进行求和，lim表示小矩形区域的数量趋于无穷小。
2.二重积分的换元法在计算二重积分时，有时可以通过变量替换将原来的积分变为更加简化的形式，这种方法称为换元法。
换元法的基本思想是将原坐标系中的二重积分转化为新坐标系下的二重积分，并通过求导和求逆变换的方法进行计算。
设原坐标系为（x,y），新坐标系为（u,v），变换公式为x=x(u,v)，y=y(u,v)，则原坐标系中的二重积分可以表示为：∬Df(x,y)dA = ∬D′f[x(u,v),y(u,v)]，J(u,v)，dudv其中D′为新坐标系下的区域，J(u,v)为变换矩阵的行列式，J(u,v)，为其绝对值。
二、二重积分的应用1.几何应用二重积分常常用于计算平面几何中的面积和质心等问题。
例如，可以通过对平面上一个区域内的特定函数进行二重积分来计算该区域的面积，并可以通过对函数的乘积进行二重积分来计算该区域的质心位置。
2.物理应用二重积分在物理学中具有广泛的应用，特别是在计算质量分布、重心位置和力矩等问题上。
例如，可以通过对平面上一些区域的质量分布函数进行二重积分来计算该区域的总质量，并可以通过对质量分布函数与各点与一些轴线的距离的乘积进行二重积分来计算该区域对该轴线的力矩。
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D D D
存在且取相同的值I，则称I为f(x,y)在无 界区域D上的反常二重积分，记作
f (x , y)dσ lim f (x , y)dσ I
D
D D D
此时也称反常二重积分 f (x , y )dσ 收敛，否则称反常
D
二重积分 f (x , y )dσ发散．
D
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为了简化计算，常常选取一些特殊的DΓ趋于区域D．
例1 设D为全平面，已知ex dσ 2y2 收敛，求其值． D
解 设 DR为中心在原点，半径为R的圆域，则
e(x 2y2)dσ
2
dθ
0
R er2rdr
0
2 1 er2 2
R 0
1 eR2
DR
显然，当R→+∞时，有 DR→D,因此有
0
0
0
D
由例1知
， e dx (x 2y2) dy (1 ea2 ) 4
e dx (x 2y2) dy (1 e2a2 ) 4
D1
D2
从而得
(1 ea2 ) ( a ex 2dx )2 (1 e2a2 )
4
0
4
令 a 得 ex2 dx .
0
2
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D2 { x, y︱x2 y2 2a2 , x 0, y 0},
则有
e dx (x 2y2) dy e dx (x 2y2) dy e(x 2y2)dx dy
D1
D
D2
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而
e(x 2y2)dx dy a ex 2dx a ey2dy ( a ex 2dx )2
e（x 2y2)dσ lim e(x 2y2)dσ lim 1 eR2
R
R
D
DR
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例2
证明 ex 2dx ．
0
2
证 如右图所示，令
D { x, y︱0 x a,0 y a},
D１ { x, y︱x2 y2 a2 , x 0, y 0},