504_数学分析(第3版)下册 21.8 反常二重积分 华东师范大学数学系,高等教育出版社
(NEW)华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录第12章 数项级数12.1 复习笔记12.2 课后习题详解12.3 名校考研真题详解第13章 函数列与函数项级数13.1 复习笔记13.2 课后习题详解13.3 名校考研真题详解第14章 幂级数14.1 复习笔记14.2 课后习题详解14.3 名校考研真题详解第15章 傅里叶级数15.1 复习笔记15.2 课后习题详解15.3 名校考研真题详解第16章 多元函数的极限与连续16.1 复习笔记16.2 课后习题详解16.3 名校考研真题详解第17章 多元函数微分学17.1 复习笔记17.2 课后习题详解17.3 名校考研真题详解第18章 隐函数定理及其应用18.1 复习笔记18.2 课后习题详解18.3 名校考研真题详解第19章 含参量积分19.1 复习笔记19.2 课后习题详解19.3 名校考研真题详解第20章 曲线积分20.1 复习笔记20.2 课后习题详解20.3 名校考研真题详解第21章 重积分21.1 复习笔记21.2 课后习题详解21.3 名校考研真题详解第22章 曲面积分22.1 复习笔记22.2 课后习题详解22.3 名校考研真题详解第23章 向量函数微分学23.1 复习笔记23.2 课后习题详解23.3 名校考研真题详解第12章 数项级数12.1 复习笔记一、级数的收敛性1．相关定义（1）给定一个数列{u n}，对它的各项依次用“＋”号连接起来的表达式u1＋u2＋…u n＋… （12-1）称为常数项无穷级数或数项级数（也常简称级数），其中u n称为数项级数（12-1）的通项或一般项．数项级数（12-1）也常写作或简单写作∑u n．（2）数项级数（12-1）的前n项之和，记为 （12-2）称它为数项级数（12-1）的第n个部分和，也简称部分和．（3）若数项级数（12-1）的部分和数列{S}收敛于S（即），则称数项级数（12-1）收敛，称S为数项级数（12-1）的和，记作或S＝∑u n．若{S n}是发散数列，则称数项级数（12-1）发散．2．重要定理。
数学分析第四版华东师大版21章_重积分
f (i ,i ) i I .
i 1
则称f (x, y)在区域D上可积.
二重积分
当f (x, y) 0时,
二重积分D f (x, y)dxdy的几何意义是
以z f (x, y)为顶, D为底面的曲顶柱体的体积. 特别地,当f (x, y) 1时,
f (x, y)在D上的二重积分D f (x, y)d
解答
根据积分区域D的图形正确写出
D的平面直角坐标表示:
D {(x, y) : 0 x R,0 y R x}
由二重积分的计算公式,
R
Rx
| D | D1 dxdy 0 dx0 1 dy
R
0 (R
x)dx
R2 .
2
解答
根据积分区域D的图形也可以写出
D的平面直角坐标的另一种表示 :
D {(x, y) : 0 x R y,0 y R}
例题
试计算二重积分
D (x y)dxdy,
其中D [0,1][0,1].
解答
由二重积分转化成累次积分的公式,
D
(x
y)dxdy
11
0 dx0 (x
y)dy
1
0
(x
1 2
)dx
1.
例题
试计算二重积分
D y sin(xy)dxdy,
其中D [0, ][0,1].
解答
由二重积分转化成累次积分的公式,
二重积分的性质
3.(线性性质)设D为平面上可求面积的有界闭区域, f (x, y), g(x, y)在D上都可积, k1, k2为常数,则k1 f (x, y) k2 g(x, y) 在D上也可积, 且
D k1 f (x, y) k2g(x, y)d k1 D f (x, y)d k2 D g(x, y)d .
华东师范大学数学系《数学分析》讲义重积分【圣才出品】
第21章重积分21.1本章要点详解本章要点■二重积分的概念■二重积分的定义、存在性及性质■格林公式■曲线积分与路径无关的定义■二重积分的变量替换■三重积分的定义、计算■重积分的应用重难点导学一、二重积分的概念1．平面图形的面积（1）设P是一平面有界图形，用某一平行于坐标轴的一组直线网T分割这个图形（如图21-1所示）这时直线网T的网眼——小闭矩形Δi可分为三类①Δi上的点都是P的内点；②Δi上的点都是P的外点，即；③Δi上含有P的边界点．图21-1将所有介于直线网T 的第①类小矩形（如图21-1中阴影部分）的面积加起来，记这个和数为s p （T ），则有（这里ΔR 表示包含P 的那个矩形R 的面积）；将所有第①类与笫③类小矩形（如图21-1中粗线所围部分）的面积加起来，记这个和数为S p （T ），则有s p （T ）≤S p （T ）．由确界存在定理可以推得，对于平面上所有直线网，数集{s p （T ）}有上确界，数集{S p （T ）}有下确界，记显然有通常称I P 为P 的内面积，P I 为P 的外面积．（2）若平面图形P 的内面积I P 等于它的外面积P I ，则称P 为可求面积，并称其共同值P P P I I I ==为P 的面积．（3）平面有界图形P 可求面积的充要条件是：对任给的ε＞0，总存在直线网T ，使得S p （T ）－s p （T ）＜ε（4）平面有界图形P 的面积为零的充要条件是它的外面积0P I =，即对任给的ε＞0，存在直线网T ，使得S p （T ）＜ε或对任给的ε＞0，平面图形P 能被有限个面积总和小于ε的小矩形所覆盖．（5）平面有界图形P可求面积的充要条件是：P的边界K的面积为零．（6）若曲线K为定义在[a，b]上的连续函数f（x）的图像，则曲线K的面积为零．（7）参数方程所表示的光滑曲线K的面积为零．（8）由平面上分段光滑曲线所围成的有界闭区域是可求面积的．2．二重积分的定义及其存在性（1）设f（x，y）是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数，J是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于D的任何分割T，当它的细度时，属于T的所有积分和都有则称f（x，y）在D上可积，数J称为函数f（x，y）在D上的二重积分，记作其中f（x，y）称为二重积分的被积函数，x，y称为积分变量，D称为积分区域．（2）f（x，y）在D上可积的充要条件是：．（3）f（x，y）在D上可积的充要条件是：对于任给的正数ε，存在D的某个分割T，使得S（T）－s（T）＜ε．（4）有界闭区域D上的连续函数必可积．（5）设ε在有界闭域D上有界，且其不连续点集E是零面积集，则f（x，y）在D上可积．3．二重积分的性质（1）若f （x ，y ）在区域D 上可积，k 为常数，则kf （x ，y ）在D 上也可积，且(,)d (,)d D Dkf x y k f x y σσ=⎰⎰⎰⎰（2）若f （x ，y ），g （x ，y ）在D 上都可积，则f （x ，y ）±g （x ，y ）在D 上也积，且（3）若f （x ，y ）在D 1和D 2上都可积，且D 1与D 2无公共内点，则f （x ，y ）在D 1∪D 2上也可积，且（4）若f （x ，y ）与g （x ，y ）在D 上可积，且f （x ，y ）≤g （x ，y ），（x ，y ）∈D则（5）若f （x ，y ）在D 上可积，则函数|f （x ，y ）|在D 上也可积，且（6）若f （x ，y ）在D 上可积，且则这里S D 是积分区域D 的面积．（7）中值定理若f （x ，y ）在有界闭区域D 上连续，则存存（ξ，η）∈D ，使得这里S D 是积分区域D 的面积．二、直角坐标系下二重积分的计算1．定义在矩形区域D ＝[a ，b ]×[c ，d ]上二重积分计算问题（1）设f （x ，y ）在矩形区域D ＝[a ，b ]×[c ，d ]上可积，且对每个x ∈[a ，b ]，积分(,)d dc f x y y ⎰存在，则累次积分d (,)d b da c x f x y y ⎰⎰也存在，且(,)d d (,)db da c D f x y x f x y y σ=⎰⎰⎰⎰（2）设f （x ．y ）在矩形区域D ＝[a ，b ]×[c ，d ]上可积，且对每个y ∈[c ，d ]，积分(,)d ba f x y x⎰存在，则累次积分d (,)d dbc a y f x y x ⎰⎰也存在且(,)d d (,)d d bc a D f x y y f x y x σ=⎰⎰⎰⎰2．定义在一般区域的二重积分计算问题若f （x ，y ）在x 型区域D 上连续，其中y 1（x ），y 2（x ）在[a ，b ]上连续，则21()()(,)d d (,)d b y x a y x D f x y x f x y yσ=⎰⎰⎰⎰即二重积分可化为先对y ，后对x 的累次积分．三、格林公式、曲线积分与路线的无关性1．格林公式（1）设区域D 的边界L 中一条或几条光滑曲线所组成边界曲线的正方向规定为：当人沿边界行走时，区域D总在它的左边；如图21-2所示，与上述规定的方向相反的方向称为负方向，记为－L．图21-2（2）若函数P（x，y），Q（x，y）在闭区域D上连续，且有连续的一阶偏导数，则有（21-1）这里L为区域D的边界曲线，分段光滑，并取正方向．（3）格林公式沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系．格林公式（21-1）也可写成下述形式2．曲线积分与路线的无关性（1）若对于平面区域D上任一封闭曲线，皆可不经过D以外的点而连续收缩于属于D 的某一点，则称此平面区域为单连通区域．否则称为复连通区域．（2）设D是单连通闭区域，若函数P（x，y），Q（x，y）在D内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价①沿D内任一按段光滑封闭曲线L，有。
华东师大数学分析课件04
二重积分是定积分在平面上的推广, 不 同之处在于: 定积分定义在区间上, 区间的 长度容易计算, 而二重积分定义在平面区 域上, 其面积的计算要复杂得多.
一、平面图形的面积 二、二重积分的定义及其存在性 三、二重积分的性质
前页 后页 返回
一、平面图形的面积
我们首先定义平面图形的面积. 我们首先定义平面图形的面积 所谓一个平面图形 P 是有界的 是指构成这个平面图形的点集是平面 是有界的, 上的有界点集, 即存在一矩形 R , 使得 P ⊂ R . 的有界点集 设 P 是一平面有界图形 用平行于二坐标轴的某一 是一平面有界图形, 组直线网 T 分割这个图形 (图21-1) , 这时直线网 T 图21小闭矩形) 可分为三类: 的网眼 (小闭矩形 ∆ i 可分为三类 小闭矩形 (i) ∆ i 上的点都是 P 的内点 的内点; (ii) ∆ i 上的点都是 P 的外点 即 ∆ i I P = ∅ ; 的外点,
i =1 i =1
n
n
(3) 取极限 当直线网 T 的网眼越来越细密 即分割 取极限: 的网眼越来越细密, T 的细度 || T || = max d i ( d i 为 σ i 的直径 趋于零时 就 的直径)趋于零时 趋于零时, 有
1≤ i ≤ n
∑ f (ξ , η )∆σ
i =1 i i
n
i
→V .
于是由(3)可得 于是由(3)可得 (3)
s P (T ) > I P −
ε
2
, S P (T ) < I P +
ε
2
.
从而对直线网 T 有 S P (T ) − s P (T ) < ε . 充分性 设对任给的 ε > 0 , 存在某直线网 T, 使得
复旦大学数学系《数学分析》(第3版)(下册)章节题库-多变量微积分学-含参变量的积分和反常积分【圣才
时
从而
于是不等式 p≤α＜p＋1，蕴含 I（p）≥I（α）＞I（p＋1），I（p＋1）≥I（α＋1）＞I（p＋2），
由此推出
因为
所以由上式可得
在此式中用 α＋n 代 α（因而 p＋n≤α＋n＜p＋n＋1，亦即相应地用 p＋n 代 p），即 得
由此可知当 n→∞时，数列 f（α＋n）（n＝1，2，…）有极限 π/2．但上面已证 f（x）以 1 为周期，所以
（2）证明如下： 因为在上面步骤②中已证 I（α）是 α 的减函数，所以 I（α）＞I（α＋1）＞I（α＋2），
由此可知
（最后一步用到上面步骤①中的结果），即 I（α＋1）/I（a）介于 l 和（α＋2）
2 / 44
圣才电子书
/（α＋1）之间，从而
十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台
这蕴含 f（α＋1）＝（α＋2）I（α＋1）I（α＋2）＝（α＋1）I（α）I（α＋1）＝f（α）．
因此 f 是周期函数（周期为 1），从而若 p 为一个整数，则
1 / 44
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平
台
②因为当 0＜x＜π/2 时 0＜sinx＜1，所以当
由 分
F（y）= 而，更有
易知 f（x，y）是 0≤x≤1，0≤y≤1 上的连续函数．从而，积
是 0≤y≤1 上的连续函数，因此，
．从
9．设：
其中 a<b 及 f（y）为可微分的函数，
8 / 44
圣才电子书
求 F''（x）．
十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台
解：当 x∈（a，b）时，由于
于是，得
（3）利用对称性知，所求的体积为
《数学分析》华东师大出版社第三学期期末复习试题3-6
一、选择题（每小题3分，共15分） 1．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(0)0,0(),(),(263y x y x y x y x y x f ，则它在点 (0, 0) 处是（ ）(A) 连续的； (B) )0,0(),(lim)0,0(),(f y x f y x ≠→(C) 二重极限不存在； (D)),(lim)0,0(),(y x f y x →存在，但)0,0(f 不存在2．),(y x f z =在点),(00y x 处的偏导数xz ∂∂及yz ∂∂存在且连续是),(y x f 在该点可微的（ ）(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件； (D) 以上都不是 3．设22z xy u -=，则u 在点 ( 2, -1, 1 ) 处的方向导数的最大值为（ ） (A) 62 (B) 4 (C) (-2, -4, -2) (D) 6 4．设233y x x z +-=，则它在点 (1, 0) （ ） (A) 取得极大值； (B) 不取得极值；(C) 取得极小值； (D) 不能确定是否取得极值 5．设有空间区域}0,|),,({22221≥≤++=z R z y x z y x V ，}0,0,0,|),,({22222≥≥≥≤++=z y x R zy x z y x V ，则有(A) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=214V V dvx dv x (B) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=214V V dvy dv y(C)⎰⎰⎰⎰⎰⎰=214V V dvz dv z (D)⎰⎰⎰⎰⎰⎰=214V V dvxyz dv xyz二、填空（每空2分，共20分） 1．设nn nx =，则}{n x 的聚点是 ，=}sup{n x；=}inf{n x 。
2．若aa a xf =∂∂),(，则=--→2224)2,(),(lim ay y a f a a f ay3．设V 是锥面22yx z +=与平面1=z 围成的区域，在直角坐标系下将下列积分化为三次积分=⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(4．设V 是锥面22yx z +=与平面1=z 围成的区域，将下列积分化为柱面坐标变换的三次积分=⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(5．设V 是锥面22yx z +=与平面1=z 围成的区域，将下列积分化为球坐标变换的三次积分=⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(6．S 为球面1222=++z y x ，外侧为正侧，则=⎰⎰Sdxdy ；7．设S 为球面1222=++z y x ，则=++⎰⎰SdS z y x )(222 ；8．第二类曲面积分⎰⎰++Sdxdy R dzdx Q dydz P 化成第一类曲面积分是其中γβα,,为有向曲面S 在点 (x , y , z ) 处的 方向角. 三、求偏导数或全微分（共20分） 1．（10分）考察函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0001sin ),(222222yx y x yx xy y x f 在原点（0, 0）的可微性2．（10分）设⎩⎨⎧=--=--,0,022xu v y yv u x ，求x vx u ∂∂∂∂, 四、（45分）求下列积分 1．（10分）求⎰⎰+=1311ydx xy dy I2．（10分）⎰+Lxdy ydx sin 其中L 为x y sin =（π≤≤x 0）与x 轴所围的闭曲线，依顺时针方向3．（10分）求⎰⎰SydS 其中S 是右半球面0,2222≥=++y a z y x4．（15分）计算⎰⎰+=Sdydzz yx I )(22，其中S 是球面2222R z y x =++的外侧.。
华东师范大学2021数学分析试题
华东师范大学2021数学分析试题一、〔30分〕计算题。
1、求2120)2(cos lim x x x x -→ 2、假定)),sin(arctan 2ln x x e y x +=-求'y .3、求⎰--dx x xe x2)1(. 4、求幂级数∑∞=1n n nx的和函数)(x f .5、L 为过)0,0(O 和)0,2(πA 的曲线)0(sin >=a x a y ,求⎰+++L dy y dx y x .)2()(3 6、求曲面积分⎰⎰++S zdxdy dydz z x )2(,其中)10(,22≤≤+=z y x z ,取上侧.二、〔30分〕判别题〔正确的证明，错误的举出反例〕1、假定},,2,1,{ =n x n 是互不相等的非无量大数列，那么}{n x 至少存在一个聚点).,(0+∞-∞∈x2、假定)(x f 在),(b a 上延续有界，那么)(x f 在),(b a 上分歧延续.3、假定)(x f ,)(x g 在]1,0[上可积，那么∑⎰=∞→=-n i n dx x g x f n i g n i f n 110)()()1()(1lim . 4、假定∑∞=1n n a收敛，那么∑∞=12n n a 收敛.5、假定在2R 上定义的函数),(y x f 存在偏导数),(y x f x ,),(y x f y 且),(y x f x ,),(y x f y 在(0,0)上延续，那么),(y x f 在(0,0)上可微.6、),(y x f 在2R 上延续,})()(|),{(),(2202000r y y x x y x y x D r ≤-+-= 假定⎰⎰=>∀∀rD dxdy y x f r y x ,0),(,0),,(00 那么.),(,0),(2R y x y x f ∈= 三、〔15分〕函数)(x f 在).,(+∞-∞上延续，且,)(lim A x f x =∞→ 求证：)(x f 在).,(+∞-∞上有最大值或最小值。
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)章节题库-曲面积分(圣才出品)
第22章曲面积分1．设S是椭圆面的上半部分，点，Ⅱ为S在点P的切平面， （x，y，z）为点O（0，0，0）到平面Ⅱ的距离，求．解：设（X，Y，Z）为Ⅱ上任意一点，则Ⅱ的方程为由此易知由S的方程有，于是其中是S在xOy平面上的投影．作极坐标变换容易求出：2．计算积分其中S：x＋y＋z＝t，解：将z＝t－x－y代入整理可得：由此可知，当时，平面S在球内；当时，平面S在球之外，所以显然当时．F（t）＝0，所以只需计算时的积分：其中D是式（1）所表示的区域．作变换则D变为，其中．于是对式（3）右边进一步计算得所以3．设曲面S由方程所确定，求曲面S的面积．解：在球坐标变换：x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ之下，曲面S的方程是，其参数方程为通过计算易知，由此得由曲面的对称性，只需求第一卦限部分的面积即可．而此时，并且由曲面方程知cos2θ≥0，所以0≤θ≤π/4．故S的面积为4．计算曲面积分，其中S是曲面x2＋y2＝R2及两个平面z＝R，z＝－R（R>0）所围的立体的表面的外侧（数学Ⅰ，Ⅱ）．解：设S1，S2，S3分别为S的上、下底面和圆柱侧面，则记S1＋S2在xOy平面上的投影区域为D xy，则在S3上，而S3在yOz平面上的投影区域D yz：－R≤y≤R，－R≤z≤R，故从而曲面积分5．求，其中S是球面x2＋y2＋z2＝a2（x>0，y≥0，z≥0）的第一卦限部分，取外侧．解：球面在点（x，y，z）处的法向量为，由两类曲面积分的关系，有（利用轮换对称性）其中，x≥0，y≥0．作极坐标变换，有6．计算曲面积分S是闭曲面|x－y＋z|＋|y－z＋x|＋|z－x＋y|＝1，方向取外侧．解：由高斯公式，可得其中Ω是由闭曲面S所围的空间区域．作变换：u＝x－y＋z，v＝y－z＋x，w＝z－x＋y，则区域力变成Ω1：|u|＋|v|＋|w|≤1．由对称性，有7．计算第二型曲面积分其中f（x，y，z）为连续函数，∑是平面x－y＋z＝1在第四卦限部分，方向取上侧．解：设曲面∑的单位法向量为（cosα，cosβ，cosγ），则dydz＝cosαdS，dzdx＝cosβdS，dxdy＝cosγdS．由此可得具体到本例，，因而dydz＝dxdy，dzdx＝－dxdy．于是其中D xy＝{（x，y）1≤x≤1＋y，－1≤y≤0}是曲面∑在xOy平面的投影。