中考数学专题讲座
练一练
1．若 ab 0 ，则正比例函数
y ax
b 与反比例函数 y x
致图象可能是（
y
在同一坐标系中的大
）
y y y x
O O
x
O O
x
x D．
A．
解析：由于 ab 0 ，即a、b异号，所以两个图 像不可能在相同的象限内，排除了A、C、D.故选B.
B．
C．
1 k 2、如图，双曲线 y 与直线 y - x 2 x
， 例1.若 0 x 1 则 小关系是（ ）
1 2 A． x x x
C． x 2 x 1
1 2 x， ，x 的大 x
1 2 x B．x x
x
1 2 D． x x x
解析：由于 0 x 1， 取x=0.5,不难发现答案 应选C.
1.根据如图所示的⑴，⑵，⑶三个图所表示的 规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是 （ ） A． 3n B． 3n(n 1) C．6 n D．6n(n 1)
……
（1）
（2）
解析：数出第一个图形中有6个平行四边形，第二个图 形中有18个平行四边形，取n=1，分别代入A、B、C、 D四个答案的代数式，发现只有B、C符合，再取n=2 分别代入B、C的两个代数式，发现只有B符合，故答 案为B.
（3）
2.观察下列图形，则第n个图形中三角形
的个数是（
）
……
第1个 第2个 第3个
A、7队 C、5队 B、6队 D、4队
４、如图，几何体上半部为正三梭柱，下半 部为圆柱，其俯视图是（ ）
A
B
C
D
分析：本题考查三视图知识，左视图指左边观察物 体所看到的图形；俯视图指从上面观察物体所看到 的图形；主视图指从正面所看到的的图形，此几何 体从上面看看到的是一个正三角形和圆，故应选Ｃ。
2.函数
中，自变量的取值范围是
（B ）
A．x≥0 C．x＞0 B．x≥0且x≠1 D．x＞0且x ≠1
二、排除法 即根据题设和有关知识，排除明 显不正确选项，那么剩下唯一的选 项，自然就是正确的选项，如果不 能立即得到正确的选项，至少可以 缩小选择范围，提高解题的准确率。 排除法是解选择题的间接方法，也 是选择题的常用方法。
六、估算法 根据题干所提供的信息，以正确的算 理为基础，借助合理的观察、判断和 推理等，对结果进行“估算”，无需 计算出准确结果，即可对问题做出正 确的判断。
例1、如图，AB为⊙O的弦，C是AB上 一点，且BC=2AC,连接OC并延长交⊙O 于D，若 则圆心O到AB 的距离是（ ）
A． 6 2 B． 92 283 Nhomakorabea2 D．
C． 7
圆心O到AB的距离一定小于斜边 OC，即小于3，而通过对选项进 行估算可知A、B、D均大于3，故 应选C
练一练
1．如图，已知A、B两点的坐标分别为(2, 0)、 (0, 2), ⊙C的圆心坐标为(－1，0)，半径为 1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于 点E，则△ABE面积的最小值是
2 x y 3， 1．方程组 的解是 x y 3 （ ）
练一练
x 1， A． y 2．
C． x 1，
y 1．
x 2， B． y 1． D． x 2， y 3．
解析：本题可以直接解方程组，再根据所得的解选 择答案.但考虑到第二个方程为x+y=3，排除了C、D 两个答案，只需将A、B两个答案分别代入原方程组 的第一个方程进行验算，即可得到答案.答案为B.
解选择题的基本思想
在解答时应该突出一个“选”字，尽量减 少书写解题过程，要充分利用题干和选择 支两方面提供的信息，依据题目的具体特 点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便 快速智取，这是解选择题的基本策略.
具体求解时： 一是从题干出发考虑，探求结果； 二是题干和选择支联合考虑或从选 择支出发探求是否满足题干条件. 事 实上，后者在解答选择题时更常用 、更有效.
一、解题技巧
解答选择题时有以下情况需要我们引起 高度重视： 1、有些题目解出的答案有两个或两个以上 ，在这些答案中往往有些不符合题目的要 求，而这些选择题的A选项往往就是我们 同学解出的多个答案，同学们不要轻易下 定论，要仔细检验这多个答案，去除不符 合题意的答案，防止多选，举例如下：
x 2 x 3 1、已知分式 的值为零,那么X的值为( ) x 1
2016年中考数学专题讲座
———选择题解题方法
建民中学 仇莉
选择题具有题目小巧，答案简明； 适应性强，解法灵活；概念性强、
知识覆盖面宽等特征，它有利于考
核学生的基础知识，有利于强化分
析判断能力和解决实际问题的能力
的培养.
选择题解题的基本原则
充分利用选择题的特点， 小题小做，小题巧做，
切忌小题大做.
A．2n＋2
B．4n＋4
C．4n－4
D．4n
四、验证法 即由题目的已知条件，对供选择 的答案一一进行验证，找出正确 的答案，有时比直接法快捷得多。
2a 3b 和 a 2b 6 例1.若最简根式 是同类二次根式，则a、b的值为（ ）
3a b
A、a=1 b=1 C 、 a = －1 b = － 1
4、化简二次根式
的
结果是（ A． C．
） B． D．
分析：本题是二次根式的化简，首先要留意隐 含条件——字母的取值范围，即a≤－2，
所以，原式的结果是个非正值，故可排除A、C； 又因为a≤－2，所以a－2 ≤0 ，所以排除答案D， 应选B
5. 已知一次函数y＝ax＋c与二次函数
y＝ax2＋bx＋c，它们在同一坐标系内的
2
A 、 3或-1 C、 3
B、-3或1 D 、 -1
2、已知
(x y ) (x y ) 2 0
2 2 2 2 2
那么 ( x
2
y )的值是(
2
)
A 、 2或－１ Ｃ、－２或１
B、 ２ Ｄ、 －１
2、有些选择题同学们很容易解出一
个答案，而且这个答案往往放在A 选项，但这个答案同时也在别的选 项中出现，这时我们同学一定要仔 细检查别的答案，而且往往发现别 的答案也符合要求，这样去思考可 以防止漏解，举例如下：
大致图象是 （ ）
解析：A. 对抛物线来讲a＜0，对直线来讲a＞0矛盾。 B. ∵当x＝0时，一次函数与二次函数的值都等于c ∴两图象应交于y轴上同一点。 ∴B）错，应在C、D中选一个 D.答案对抛物线来讲a＞0，对直线来讲a＜0， ∴矛盾，故选C。
m 2m 1 6．若点(3，4)是反比例函数 y x
例1．把多项式 2 x 8x 8 分解因 式，结果正确的是（ ） Ｃ
2
A．
2x 4
2 x 2
2
2
B．2 D．2
x 4
2
C．
x 2
2
解析：不难发现A、B两个答案的式子展开后的 常数项分别是16和32，答案D 的式子展开后的 一次项符号为正，这些都与原式的形式不符， 应排除.
B、a=1 b=－ 1 D 、 a = －1 b=1
解析：由同类二次根式定义可知这两个根式根指数都是2， 被开方数也相同，这样便可列出一个二元一次方程组，再解 这个二元一次方程组，用求出的解去检验给出的a、b的值， 显然比较麻烦，如采用将给出a、b的值分别代入最简根式 中，再做出判断便容易多了。当把a=1、b=1代入根式后分 别得出 和 5 ，显然它们为同类根式，故应选 A。 5
下面举例谈谈解数学选择题 的几种常用方法，希望能给同 学们带来一定的启示和帮助。
常用方法：
1、直接法 2、排除法
3、特殊值法 4、验证法
5、图解法（数形结合法）
6、估算法
一．直接法 即根据已学过的知识，进行合理 的推理及运算，求出正确的结果， 然后把此结果和四个备选答案进行 比较，最后作出判断。
五、图解法（数形结合法） 数形结合是初中数学的重要思 想，根据已知条件作出图像或画出 图形，从而利用图像或图形的性质 去直观的分析和判断，进而找到正 确的答案。
例1．在△ABC中，∠C＝90°，如果
5 tanA＝ 12 ，那么sinB的值等于
（
）
A.
5 13
12 B. 13
5 C. 12
12 D. 5
A 解析：根据菱形的性质和已 知条件∠BCD = 120°，可 推出三角形ABC是等边三角 形，因此AC=AB=5． B C
D
2、某地资源总量Q一定，该地人均资 源享有量 与人口数 n 的函数关系 x 图象是（ ）
x
x
O
n
O
n
A
x
x
B
O
n
O
n
C
D
3、某单位要组织一次篮球赛，赛制为单 循环形式（每两个队之间赛一场）计划 安排10场比赛，则参加比赛的球队应有 （ ）
例1.若
2 3,4 5, 则2
x y
x -2y
的值为 （ Ｂ）
5
（A）
3 5
x2 y
（B）-2
6 （C） 3 5 （D）
5
解析：此题考查逆用同底数幂的除法运算法则，由于
2
y
2 2
x
4 5
，即
2 4 3 x2 y 2 5
2y x
y
，且
2 3，
x
练习：
1.如图， 在菱形ABCD中，AB = 5， ∠BCD = 120°，则对角线AC等于 （ ） A．20 B．15 C．10 D．5
1、 已知点Ｐ是圆所在平面上的一点， 点Ｐ到圆上的最近距离是２，最远距离 是８，则圆的半径（ )
初中数学中考复习 第8讲 中考数学备考策略—复习方法3- 中考数学冲刺复习讲座
C
B
M
E D
F
N A
Q 24--1 P
（2）如图24－2，若将原题中的 “正方形”为“菱形”，且 ∠M =∠B，其它条件不变，探 索线段ME与线段MF的数量关 系，并加以证明．
（4）如下图，若将原题中的“正方 形”改为平行四边形，且∠M =∠B ， AB:BC = m，其它条件不变，求出 ME：MF的值 .（直接写出答案）
中考数学备考策略之 复习方法（三）
（三）一题多变，融会贯通
• 变式1 如图，四边形ABCD是正
方形，点M是AD边上 不同于A、
D的点，
点N是CD的中点.
M A
若sin∠ABM= 10 ，
10
H
求证：∠NMB=∠MBC.B 思路：构造等腰三角形， 利用相似证全等
D
N
C
P
变式2
如图，四边形ABCD是正方
角板使两直角边始终与BC、AB相交， 交点分别为M、N. 如果AB=4，AD=6，
OM=x，ON=y，则y与x的关系是 .
A
D
Ny
G
xO
B
MH
C
例4：如图24-1，正方形ABCD 和正方形QMNP， M是正方 形ABCD的对称中心，MN交 AB于F，QM交AD于E．
（1）猜想：ME 与MF的数量关 系;
A
D
1
E3
O
2
4
BF
C
C1
S四边形OEBF=1/4S正方形ABCD
引申
三角形
120°
五边形
72°
n边形?
拓广
A
例3： 在一副三角板中，将一块含30°角的三
角板DEF的直角顶点D放在一块含45°角的三 角板ABC的斜边AC的中点上逆时针方向旋
(中考类)初中数学竞赛讲座精讲与练习题之精讲篇(一)
基础知识1．面积公式由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式．它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用．设△ABC ，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，a h 为a 的高，R 、r 分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，)(21c b a p ++=．则△ABC 的面积有如下公式：（1）a ABC ah S 21=∆；（2）A bc S ABCsin 21=∆ （3）))()((c p b p a p p S ABC ---=∆（4）pr c b a r S ABC =++=∆)(21（5）Rabc S ABC 4=∆（6）C B A R S ABC sin sin sin 22=∆（7）)sin(2sin sin 2C B CB a S ABC +=∆ （8）)(21a cb r S a ABC -+=∆ （9）)2sin 2sin 2(sin 212C B A R S ABC++=∆ 2．面积定理（1）一个图形的面积等于它的各部分面积这和； （2）两个全等形的面积相等；（3）等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积相等；（4）等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高（或底）的比；（5）两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方；（6）共边比例定理：若△PAB 和△QAB 的公共边AB 所在直线与直线PQ 交于M ，则QM PM S S Q AB PAB ::=∆∆；（7）共角比例定理：在△ABC 和△C B A '''中，若A A '∠=∠或︒='∠+∠180A A ，则C A B A ACAB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆． 3．张角定理：如图，由P 点出发的三条射线PC PB PA ,,，设α=∠APC ，β=∠CPB ，︒<+=∠180βαAPB ，则C B A ,,三点共线的充要条件是：PCPA PB )sin(sin sin βαβα+=+．例题分析例1．梯形ABCD 的对角线BD AC ,相交于O ，且m S AOB =∆，n S COD =∆，求ABCD S 例2．在凸五边形ABCDE 中，设1=====∆∆∆∆∆EAB D EA CD E BCD ABC S S S S S ，求此五边形的面积．例3．G 是△ABC 内一点，连结CG BG AG ,,并延长与AB CA BC ,,分别交于F E D ,,，△AGF 、△BGF 、△BGD 的面积分别为40，30，35，求△ABC 的面积．例4．R Q P ,,分别是△ABC 的边BC AB ,和CA 上的点，且1====RC QR PQ BP ，求△ABC 的面积的最大值．例5．过△ABC 内一点引三边的平行线DE ∥BC ，FG ∥CA ，HI ∥AB ，点I H G F E D ,,,,,都在△ABC 的边上，1S 表示六边形DGHEFI 的面积，2S 表示 △ABC的面积．求证：2132S S ≥．例6．在直角△ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，过△ABD 的内心与△ACD 的内心的直线分别交边AB 和AC 于K 和L ，△ABC 和△AKL 的面积分别记为S 和T ．求证：T S 2≥．例7．锐角三角形ABC 中，角A 等分线与三角形的外接圆交于一点1A ，点1B 、1C 与此类似，直线1AA 与B 、C 两角的外角平分线将于一点0A ，点0B 、0C 与此类似．求证：（1）三角形000C B A 的面积是六边形111CB BA AC 的面积的二倍； （2）三角形000C B A 的面积至少是三角形ABC 的四倍．例8．在△ABC 中，R Q P ,,将其周长三等分，且Q P ,在边AB 上，求证：92>∆∆ABCPQR S S ． 例9．在锐角△ABC 的边BC 边上有两点E 、F ，满足CAF BAE ∠=∠，作AB FM ⊥，AC FM ⊥（N M ,是垂足），延长AE 交△ABC 的外接圆于点D ，证明四边形AMDN 与△ABC 的面积相等． 三．面积的等积变换等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一，它的特点是利用间面积相等而进行相互转换证（解）题．例10．凸六边形ABCDEF 内接于⊙O ，且13+===DC BC AB ，1===FA EF DE ，求此六边形的面积．例11．已知ABC ∆的三边c b a >>，现在AC 上取AB B A ='，在BA 延长线上截取BC C B ='，在CB 上截取CA A C ='，求证：C B A ABC S S '''∆∆>．例12．C B A '''∆在ABC ∆内，且ABC ∆∽C B A '''∆，求征：ABC AB C CA B BC A S S S S ∆'∆'∆'∆=++ 例13．在ABC ∆的三边AB CA BC ,,上分别取点F E D ,,，使EA CE DC BD 3,3==，FB AF 3=，连CF BE AD ,,相交得三角形PQR ，已知三角形ABC 的面积为13，求三角形PQR 的面积．例14．E 为圆内接四边形ABCD 的AB 边的中点，AD EF ⊥于F ，BC EH ⊥于H ，CD EG ⊥于G ，求证：EF 平分FH ．例15．已知边长为,,,c b a 的ABC ∆，过其内心I 任作一直线分别交AC AB ,于N M ,点，求证：bca IN MI +≤． 例16．正△PQR ≅正△R Q P '''，1a AB =，1b BC =，2a CD =，2b DE =，3a EF =，3b FA =．求证：232221232221b b b a a a ++=++．例17．在正ABC ∆内任取一点O ，设O 点关于三边AB CA BC ,,的对称点分别为C B A ''',,，则C C B B A A ''',,相交于一点P ．例18．已知CE AC ,是正六边形ABCDEF 的两条对角线，点N M ,分别内分ACCE ，且使k CECNAC AM ==，如果N M B ,,三点共线，试求k 的值． 例19．设在凸四边形ABCD 中，直线CD 以AB 为直径的圆相切，求证：当且仅当BC ∥AD 时，直线AB 与以CD 为直径的圆相切．训练题1．设ABC ∆的面积为102cm ，F E D ,,分别是CA BC AB ,,边上的点，且,3,2cm DB cm AD ==若DBEF ABE S S =∆，求ABE ∆的面积．2．过ABC ∆内一点作三条平行于三边的直线，这三条直线将ABC ∆分成六部份，其中，三部份为三角形，其面积为321,,S S S ，求三角形ABC ∆的面积．3．在ABC ∆的三边CA BC AB ,,上分别取不与端点重合的三点L K M ,,，求证：AML ∆，CLK BKM ∆∆,中至少有一个的面积不大于ABC ∆的面积的41．4．锐角ABC ∆的顶角A 的平分线交BC 边于L ，又交三角形的外接圆于N ，过L 作AB 和AC 边的垂线LK 和LM ,垂足是M K ,，求证：四边形AKNM 的面积等于ABC ∆的 面积．5．在等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上取一点D ，使BC DC 31=，作ADBE ⊥交AC 于E ，求证：EC AE =．6．三条直线n m l ,,互相平行，n l ,在m 的两侧，且m l ,间的距离为2，n m ,间的距离为1，若正ABC ∆的三个顶点分别在n m l ,,上，求正ABC ∆的边长． 7．已知321P P P ∆及其内任一点P ，直线P P i 分别交对边于i Q （3,2,1=i ），证明：在332211,,PQ P P PQ P P PQ P P 这三个值中，至少有一个不大于2，并且至少有一个不小于2．8．点D 和E 分别在ABC ∆的边AB 和BC 上，点K 和M 将线段DE 分为三等分，直线BK 和BM 分别与边AC 相交于点T 和P ，证明：AC TP 31≤．9．已知P 是ABC ∆内一点，延长CP BP AP ,,分别交对边于C B A ''',,，其中x AP =，w C P B P A P z CP y BP ='='='==,,，且3,23==++w z y x ，求xyz 之值． 10．过点P 作四条射线与直线l l ',分别交于D C B A ,,,和D C B A '''',,,，求证：CB D A DC B A BC AD CD AB ''⋅''''⋅''=⋅⋅． 11．四边形ABCD 的两对对边的延长线分别交L K ,，过L K ,作直线与对角线BD AC ,的延长线分别F G ,，求证：KGLGKFLF=． 12．G 为ABC ∆的重心，过G 作直线交AC AB ,于F E ,，求证：GF EG 2≤．同余式与不定方程同余式和不定方程是数论中古老而富有魅力的内容.考虑数学竞赛的需要,下面介绍有关的基本内容.1. 同余式及其应用定义:设a、b、m为整数（m＞0），若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余.记为或一切整数n可以按照某个自然数m作为除数的余数进行分类，即n=pm+r （r=0，1，…，m-1），恰好m个数类.于是同余的概念可理解为,若对n1、n2，有n1=q1m+r，n2=q2m+r，那么n1、n2对模m的同余，即它们用m除所得的余数相等.利用整数的剩余类表示,可以证明同余式的下述简单性质:(1) 若,则m|(b-a).反过来,若m|(b-a),则;(2) 如果a=km+b(k为整数),则;(3) 每个整数恰与0,1,…，m-1，这m个整数中的某一个对模m 同余；(4) 同余关系是一种等价关系：①反身性；②对称性，则，反之亦然.③传递性，，则；（5）如果，，则①；②特别地应用同余式的上述性质，可以解决许多有关整数的问题.例1（1898年匈牙利奥林匹克竞赛题）求使2n+1能被3整除的一切自然数n.解∵∴则2n+1∴当n为奇数时，2n+1能被3整除；当n为偶数时，2n+1不能被3整除.例2 求2999最后两位数码.解考虑用100除2999所得的余数.∵∴又∴∴∴2999的最后两位数字为88.例3 求证31980+41981能被5整除.证明∵∴∴∴2．不定方程不定方程的问题主要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数；如果不定方程有整数解，采取正确的方法，求出全部整数解.(1) 不定方程解的判定如果方程的两端对同一个模m(常数)不同余,显然,这个方程必无整数解.而方程如有解则解必为奇数、偶数两种，因而可以在奇偶性分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解.例4 证明方程2x2-5y2=7无整数解.证明∵2x2=5y2+7，显然y为奇数.①若x为偶数，则∴∵方程两边对同一整数8的余数不等，∴x不能为偶数.②若x为奇数，则但5y2+7∴x不能为奇数.因则原方程无整数解.说明:用整数的整除性来判定方程有无整数解,是我们解答这类问题的常用方法.例5 (第14届美国数学邀请赛题)不存在整数x,y使方程①证明如果有整数x，y使方程①成立，则=知（2x+3y2）+5能被17整除.设2x+3y=17n+a，其中a是0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8中的某个数，但是这时（2x+3y）2+5=（17n）2+34na+（a2+5）=a2+5（mod17），而a2+5被17整除得的余数分别是5，6，9，14，4，13，7，3，1，即在任何情况下（2x+3y）2+5都不能被17整除，这与它能被17整除矛盾.故不存在整数x，y使①成立.例7 （第33届美国数学竞赛题）满足方程x2+y2=x3的正整数对（x，y）的个数是（）.（A）0 （B）1（C）2（D）无限个（E）上述结论都不对解由x2+y2=x3得y2=x2（x-1），所以只要x-1为自然数的平方，则方程必有正整数解.令x-1=k2(k为自然数),则为方程的一组通解.由于自然数有无限多个,故满足方程的正整数对(x,y)有无限多个,应选(D).说明:可用写出方程的一组通解的方法,判定方程有无数个解.(2) 不定方程的解法不定方程没有统一的解法,常用的特殊方法有:配方法、因式（质因数）分解法、不等式法、奇偶分析法和余数分析法.对方程进行适当的变形,并正确应用整数的性质是解不定方程的基本思路.例6 求方程的整数解.解(配方法)原方程配方得(x-2y)2+y2=132.在勾股数中,最大的一个为13的只有一组即5,12,13,因此有8对整数的平方和等于132即(5,12),(12,5),(-5,-12),(-12,-5),(5-,12),(12,-5),(-5,12),(-12,5).故原方程组的解只能是下面的八个方程组的解解得例7 (原民主德国1982年中学生竞赛题)已知两个自然数b和c及素数a满足方程a2+b2=c2.证明:这时有a＜b及b+1=c.证明（因式分解法）∵a2+b2=c2，∴a2=（c-b）（c+b），又∵a为素数，∴c-b=1，且c+b=a2.于是得c=b+1及a2=b+c=2b+1＜3b，即＜.而a≣3,∴≢1，∴＜1.∴a＜b.例9（第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程的正整数（a，b，c）的组数是（）.（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （E）4解（质因数分解法）由方程ac+bc=23得（a+b）c=23=1³23.∵a，b，c为正整数，∴c=1且a+b=23.将c和a=23-b代入方程ab+bc=44得(23-b)b+b=44,即(b-2)(b-22)=0,∴b1=2,b2=22.从而得a1=21,a2=1.故满足联立方程的正整数组(a,b,c)有两个,即(21,2,1)和(1,22,1),应选(C).例10求不定方程2(x+y)=xy+7的整数解.解由(y-2)x=2y-7,得分离整数部分得由x为整数知y-2是3的因数,∴y-2=±1，±3，∴x=3，5，±1.∴方程整数解为例11 求方程x+y=x2-xy+y2的整数解.解（不等式法）方程有整数解必须△=（y+1）2-4（y2-y）≣0，解得≢y≢.满足这个不等式的整数只有y=0，1，2.当y=0时，由原方程可得x=0或x=1；当y=1时，由原方程可得x=2或0；当y=2时，由原方程可得x=1或2.所以方程有整数解最后我们来看两个分式和根式不定方程的例子.例12 求满足方程且使y是最大的正整数解（x，y）.解将原方程变形得由此式可知，只有12-x是正的且最小时，y才能取大值.又12-x应是144的约数，所以，12-x=1，x=11，这时y=132.故满足题设的方程的正整数解为（x，y）=（11，132）.例13（第35届美国中学生数学竞赛题）满足0＜x＜y及的不同的整数对（x，y）的个数是（）.（A）0 （B）1 （C）3 （D）4 （E）7解法1 根据题意知，0＜x＜1984，由得当且仅当1984x是完全平方数时，y是整数.而1984=26²31，故当且仅当x具有31t2形式时，1984x是完全平方数.∵x＜1984，∵1≢t≢7.当t=1，2，3时，得整数对分别为（31，1519）、（124，1116）和（279，775）.当t＞3时y≢x不合题意，因此不同的整数对的个数是3，故应选（C）.解法2 ∵1984=∴由此可知：x必须具有31t2形式，y 必须具有31k2形式，并且t+k=8（t，k均为正整数）.因为0＜x＜y，所以t＜k.当t=1，k=7时得（31，1519）；t=2，k=6时得（124，1116）；当t=3，k=5时得（279，775）.因此不同整数对的个数为3.练习二十1. 选择题(1)方程x2-y2=105的正整数解有( ).（A）一组（B）二组（C）三组（D）四组(2)在0,1,2,…，50这51个整数中，能同时被2，3，4整除的有（）.（A） 3个（B）4个（C）5个（D）6个2．填空题（1）的个位数分别为_________及_________.(2)满足不等式104≢A≢105的整数A的个数是x³104+1，则x的值________.(3) 已知整数y被7除余数为5,那么y3被7除时余数为________.(4) (全俄第14届中学生数学竞赛试题)求出任何一组满足方程x2-51y2=1的自然数解x和y_________.3.(第26届国际数学竞赛预选题)求三个正整数x、y、z满足.4．（1985年上海数学竞赛题）在数列4，8，17，77，97，106，125，238中相邻若干个数之和是3的倍数，而不是9的倍数的数组共有多少组？5．求的整数解.6．求证可被37整除.7．（全俄1986年数学竞赛题）求满足条件的整数x，y的所有可能的值.8．（1985年上海初中数学竞赛题）已知直角三角形的两直角边长分别为l厘米、m厘米，斜边长为n厘米，且l，m，n均为正整数，l为质数.证明：2（l+m+n）是完全平方数.9.(1988年全国初中数学竞赛题)如果p、q、、都是整数，并且p＞1，q＞1，试求p+q的值.练习二十1.D.C.2.(1)9及1. (2)9. (3)4.(4)原方程可变形为x2=(7y+1)2+2y(y-7),令y=7可得x=50.3.不妨设x≢y≢z,则,故x≢3.又有故x≣2.若x=2,则,故y≢6.又有,故y≣4.若y=4,则z=20.若y=5,则z=10.若y=6,则z无整数解.若x=3,类似可以确定3≢y≢4,y=3或4,z 都不能是整数.4.可仿例2解.5.先求出,然后将方程变形为y=5+x-2要使y为整数,5x-1应是完全平方数,…,解得6.8888≡8(mod37),∴88882222≡82(mod37).7777≡7(mod37),77773333≡73(mod37),88882222+77773333≡(82+73)(mod37),而82+73=407,37|407,∴37|N.7.简解:原方程变形为3x2-(3y+7)x+3y2-7y=0由关于x的二次方程有解的条件△≣0及y为整数可得0≢y≢5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程仅有两组解(4,5)、(5,4).8.∵l2+m2=n2,∴l2=(n+m)(n-m).∵l为质数,且n+m＞n-m＞0,∴n+m=l2,n-m=1.于是l2=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l2-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l2+2l+1=(l+1)2.即2(l+m+1)是完全平方数.9.易知p≠q,不妨设p＞q.令=n,则m＞n由此可得不定方程(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.几何解题途径的探求方法一．充分地展开想象想象力，就是人们平常说的形象思维或直觉思维能力。
最新中考数学第二轮专题复习经典PPT课件
目录
专题一 规律探索问题 专题二 三角函数应用题 专题三 方程（组）、不等式（组）的综合题
第1讲 含参数 的方程与不等式（组）的解的讨论 第2讲 一次不定方程（组）的应用题 第3讲 一次、二次方程应用题
专题四 反比例第1讲 单线型函数应用题 第2讲 双线型函数应用题
专题六 函数图像探索题 专题七 阅读理解题
第1讲 数字型阅读理解题 第2讲 数字与代数综合型阅读理解题 第3讲 代数型阅读理解题 第4讲 方程和函数型阅读理解题
专题八 几何证明
第1讲 与中点有关的辅助线(一) 第2讲 与中点有关的辅助线(二) 第3讲 与角平分线有关的几何问题 第4讲 与角有关的问题 第5讲 “a=kb”型的线段和差问题 第6讲 “a=b+c”型的线段和差问题 第7讲 含根号2的线段和差问题 第8讲 含根号3的线段和差问题
专题九 抛物线与几何综合问题
第1讲 与抛物线有关的面积最值问题 第2讲 与抛物线有关的线段最值问题—单最值型 第3讲 与抛物线有关的线段最值问题—双最值型 第4讲 与抛物线有关的三角形存在性问题 第5讲 与抛物线有关的四边形存在性问题 第6讲 与抛物线有关的动态几何问题
2013年中考数学复习专题讲座二：新概念型问题(含答案)
2013年中考数学专题讲座二：新概念型问题一、中考专题诠释所谓“新概念”型问题，主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型.“新概念”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略和解法精讲“新概念型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．整理得：x 2+2x+1-（1-2x+x 2）-8=0，即4x=8，解得：x=2． 故答案为：2点评：此题考查了整式的混合运算，属于新概念的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键． 对应训练2．（2012•株洲）若（x 1，y 1）•（x 2，y 2）=x 1x 2+y 1y 2，则（4，5）•（6，8）= ． 考点三：探索题型中的新概念例3 （2012•南京）如图，A 、B 是⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点（P 不与A 、B 重合）、我们称∠APB 是⊙O 上关于点A 、B 的滑动角． （1）已知∠APB 是⊙O 上关于点A 、B 的滑动角， ①若AB 是⊙O 的直径，则∠APB= °；②若⊙O 的半径是1，AB=，求∠APB 的度数； （2）已知O 2是⊙O1外一点，以O 2为圆心作一个圆与⊙O 1相交于A 、B 两点，∠APB 是⊙O 1上关于点A 、B 的滑动角，直线PA 、PB 分别交⊙O 2于M 、N （点M 与点A 、点N 与点B 均不重合），连接AN ，试探索∠APB 与∠MAN 、∠ANB 之间的数量关系．思路分析：（1）①根据直径所对的圆周角等于90°即可求解； ②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，再分点P 在优弧上；点P在劣弧上两种情况讨论求解；（2）根据点P 在⊙O 1上的位置分为四种情况得到∠APB 与∠MAN 、∠ANB 之间的数量关系． 解：（1）①若AB 是⊙O 的直径，则∠APB=90． ②如图，连接AB 、OA 、OB ． 在△AOB 中， ∵OA=OB=1．AB=，∴OA 2+OB 2=AB 2． ∴∠AOB=90°． 当点P 在优弧上时，∠AP 1B=∠AOB=45°；当点P 在劣弧上时，∠AP 2B=（360°﹣∠AOB ）=135°…6分（2）根据点P 在⊙O 1上的位置分为以下四种情况． 第一种情况：点P 在⊙O2外，且点A 在点P 与点M 之间，点B 在点P 与点N 之间，如图① ∵∠MAN=∠APB+∠ANB ， ∴∠APB=∠MAN ﹣∠ANB ；第二种情况：点P 在⊙O 2外，且点A 在点P 与点M 之间，点N 在点P 与点B 之间，如图②．∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°﹣∠ANB ）， ∴∠APB=∠MAN+∠ANB ﹣180°；第三种情况：点P 在⊙O 2外，且点M 在点P 与点A 之间，点B 在点P 与点N 之间，如图③． ∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°， ∴∠APB=180°﹣∠MAN ﹣∠ANB ， 第四种情况：点P 在⊙O 2内，如图④， ∠APB=∠MAN+∠ANB ．点评：综合考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，点与圆的位置关系，本题难度较大，注意分类思想的运用．对应训练 3．（2012•陕西）如果一条抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是 三角形；（2）若抛物线y=-x 2+bx （b ＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b 的值； （3）如图，△OAB 是抛物线y=-x 2+b′x （b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD ？若存在，求出过O 、C 、D 三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．考点四：开放题型中的新概念四、中考真题演练一、选择题1．（2012•六盘水）概念：f（a，b）=（b，a），g（m，n）=（-m，-n）．例如f（2，3）=（3，2），g（-1，-4）=（1，4）．则g[f（-5，6）]等于（）A．（-6，5）B．（-5，-6）C．（6，-5）D．（-5，6）A ．5 B ．6 C ．7 D ．8点评：本题考查的是实数的运算，根据题意得出输出数的式子是解答此题的关键． 3． （2012•丽水）小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围城三角形，其棵数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A ．2010B ．2012C ．2014D ．2016二、填空题4．（2012•常德）规定用符号[m]表示一个实数m 的整数部分，例如：[]=0，[3.14]=3．按此规定[]的值为 ．5．（2012•随州）概念：平面内的直线1l 与2l 相交于点O ，对于该平面内任意一点M ，点M 到直线1l 、2l 的距离分别为a 、b ，则称有序非实数对（a ，b ）是点M 的“距离坐标”，根据上述概念，距离坐标为（2，3）的点的个数是（ ）三、解答题2．64解：∵（x 1，y 1）•（x 2，y 2）=x 1x 2+y 1y 2， ∴（4，5）•（6，8）=4×6+5×8=64， 故答案为64．一、选择题 1．A 2．B ．3． D解：∵3，6，9，12，…称为三角形数， ∴三角数都是3的倍数，∵4，8，12，16，…称为正方形数，∴正方形数都是4的倍数，∴既是三角形数又是正方形数的是12的倍数， ∵2010÷12=167…6， 2012÷12=167…8， 2014÷12=167…10，2016÷12=168，∴2016既是三角形数又是正方形数． 故选D ． 二、填空题 4．4 解：∵3＜＜4，∴3+1＜+1＜4+1， ∴4＜+1＜5， ∴[+1]=4， 故答案为：4． 5．C解：如图所示，所求的点有4个，三、解答题，，（3）①依题意画出图形，点M的运动轨迹如答图3中粗体实线所示：由图可见，封闭图形由上下两段长度为8的线段，以及左右两侧半径为2的半圆所组成，其周长为：2×8+2×π×2=16+4π，∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为：16+4π．②结论：存在．∵m≥0，n≥0，∴点M位于第一象限．∵A（4，0），D（0，2），∴OA=2OD．如图4所示，相似三角形有三种情形：（I）△AM1H1，此时点M纵坐标为2，点H在A点左侧．如图，OH1=m+2，M1H1=2，AH1=OA-OH1=2-m，由相似关系可知，M1H1=2AH1，即2=2（2-m），∴m=1；（II）△AM2H2，此时点M纵坐标为2，点H在A点右侧．如图，OH2=m+2，M2H2=2，AH2=OH2-OA=m-2，2013年中考数学复习专题讲座三：开放性问题四、中考真题演练一、选择题1.考点：绝对值。
2013年中考数学复习专题讲座五：数学思想方法(一)(含详细参考答案)
2013年中考数学复习专题讲座五：数学思想方法（一）一、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。
二、中考考点精讲考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。
整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。
例1 10．（2012•德州）已知，则a+b等于（）A．3 B．C．2 D．1考点：解二元一次方程组。
点评：本题考查了解二元一次方程组的应用，关键是检查学生能否运用整体思想求出答案，题目比较典型，是一道比较好的题目．考点二：转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。
例2 （2012•内江）已知A（1，5），B（3，﹣1）两点，在x轴上取一点M，使AM﹣BM 取得最大值时，则M的坐标为．考点：一次函数综合题；三角形三边关系；关于x轴、y轴对称的点的坐标。
点评：本题可能感觉无从下手，主要原因是平时习惯了线段之和最小的问题，突然碰到线段之差最大的问题感觉一筹莫展．其实两类问题本质上是相通的，前者是通过对称转化为“两点之间线段最短”问题，而后者（本题）是通过对称转化为“三角形两边之差小于第三边”问题．可见学习知识要活学活用，灵活变通．考点三：分类讨论思想在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。
中考数学备考策略和技巧讲座
中考数学备考策略和技巧讲座一、讲座的意义中考数学可太重要啦，就像通往美好未来的一扇大门的钥匙。
数学成绩好，在中考里那就是超级加分项。
这个讲座就是来帮大家把这把钥匙磨得更锋利的。
二、备考策略1. 基础知识要打牢中考数学的基础分可不少呢。
那些定理、公式，一定要像背自己的名字一样熟练。
比如说一元二次方程的求根公式，这是必须要烂熟于心的。
可不能在考试的时候还在那想公式是啥，那时间可就不够用啦。
2. 分板块复习几何、代数、函数这些板块，要一个一个地攻克。
几何就多画图，把那些三角形、四边形的性质和定理都用在图上。
代数就多做计算练习，提高计算的准确性和速度。
函数的话，要理解函数的概念、图像和性质，这对解题超级有帮助。
3. 整理错题把平时做练习、模拟考试的错题都整理出来。
看看自己是哪里出了问题，是概念没理解，还是计算失误，或者是解题思路不对。
针对这些问题，有针对性地进行复习。
三、技巧方面1. 考试时间分配中考数学考试时间有限，要合理分配。
简单的题目要快速做完，把更多的时间留给那些比较难的题目。
比如说选择题和填空题，尽量在较短的时间内完成，为后面的大题争取时间。
2. 巧用草稿纸草稿纸可不是乱写乱画的地方。
要把草稿纸划分好区域，每一道题的计算过程都写清楚。
这样既方便检查，又能避免计算混乱。
3. 解题思路遇到难题不要慌。
可以从题目中的已知条件入手，一步一步地推导。
有时候，换个角度思考问题，比如从结论往回推，可能就会找到解题的思路。
四、心态调整备考的时候压力肯定大，但是要保持积极的心态。
相信自己的能力，不要被一时的挫折打败。
考试的时候更是要放松，就把它当成平时的一次练习，这样才能发挥出自己的最佳水平。
中考数学考试策略及技巧PPT课件
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前言
经过三年循序渐进的学习和紧张而又艰苦的 几个月的复习准备之后，同学们将要走进考 场，实现自己的宏愿，此时此刻我们一定要 坚定信心，要知道只要我们认真的进行了准 备，就一定能够成功。 心理学家告诉我们：良好的心境，平稳的情 绪不仅有助于积极思考，而且解决问题的效 果也是最佳的。要达到这个最佳的效果，考 前准备是十分重要的。
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一、考前准备 ①考试前一天的下午，到自己的考点看 看自己的考场和座位，熟悉一下周围的 环境。 ②考试前一天的晚上一定要休息好，不 要开夜车，睡足八小时。 ③考试要准备准考证，笔，答题模板， 铅笔、橡皮、圆规、三角板、量角器等。 最好把这些列好清单，以备查点。
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考场应试技巧及注意事项
▪ ①提前半小时来到考点，稳定情绪，从容进场（进 入考点大门，进入考场后都需要准考证）。
▪ ②进入考场暗示：“我经过的 考试多了，没什么了不起的”“我今天感觉不错， 肯定能考好”
▪ ③试卷发到手后，填写卷头，填涂答题卡，填完之 后快速浏览一下试卷，看看试卷有多少页，是否齐 全，了解考题的题型和数量，看看哪些题容易做， 哪些题稍加思考便可以做，哪个题是难题，做到心 中有数。避免出现“前面难题做不上，后面简单题 没时间做”的情况。
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十二、立足一次成功，重视复查环节，不争交 头卷。
答题一定要做到稳扎稳打，字字有据，步步准 确，尽量一次成功，如最后有时间检查，一定 讲究方法，首先检查是否有漏做的题目，其次 要有针对性地检查没把握的题目。三是格式是 否规范，字母、符号是否抄错，在确信万无一 失的情况下方可交卷，宁可坚持到终考最后一
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④合理的答题顺序，三先三后。
2024年初中数学专题讲座课件
2024年初中数学专题讲座课件一、教学内容本讲内容基于初中数学教材第七章《平面几何图形及其性质》中的“三角形的性质”一节。
详细内容包括：三角形的基本概念，三角形的内角和定理，等腰三角形和等边三角形的性质，三角形的重心、外心、内心、垂心的定义及性质。
二、教学目标1. 理解并掌握三角形的基本概念及内角和定理。
2. 能够运用等腰三角形和等边三角形的性质解决问题。
3. 了解三角形的重心、外心、内心、垂心的概念，并能够运用其性质解决相关问题。
三、教学难点与重点教学难点：三角形的重心、外心、内心、垂心的概念及性质。
教学重点：三角形的基本概念，内角和定理，等腰三角形和等边三角形的性质。
四、教具与学具准备1. 教具：三角板、圆规、直尺、量角器。
2. 学具：练习本、铅笔、三角板、圆规。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示生活中的三角形物体，让学生感受三角形的广泛应用，激发学生的学习兴趣。
教学细节：展示图片，引导学生观察、思考。
2. 例题讲解：例1：已知一个三角形的两个角分别是30°和60°，求第三个角的度数。
例2：已知一个等腰三角形的底边长为10cm，腰长为13cm，求该三角形的面积。
教学细节：引导学生分析题目，找出已知条件和未知数，运用所学知识解决问题。
练习题1：已知一个三角形的三个内角分别为45°、45°和90°，判断该三角形的类型。
练习题2：已知一个等边三角形的边长为6cm，求该三角形的面积。
教学细节：学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4. 知识拓展：介绍三角形的重心、外心、内心、垂心的性质。
教学细节：通过讲解和演示，让学生了解并掌握三角形的四种特殊点的性质。
六、板书设计1. 三角形的基本概念2. 内角和定理3. 等腰三角形和等边三角形的性质4. 三角形的重心、外心、内心、垂心的定义及性质七、作业设计1. 作业题目：（1）已知一个三角形的两个内角分别为40°和50°，求第三个内角的度数。
中考数学复习专题讲座28页PPT
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称
中考数学重难点专题讲座第八讲动态几何与函数问题(含答案)
中考数学重难点专题讲座第八讲 动态几何与函数问题【前言】在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。
整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。
而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。
但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。
所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。
其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。
不过从近年北京中考的趋势上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。
但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。
【例1】如图①所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l .将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E.（1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t≥0），直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图②所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且NQ 平行于x 轴，N 点横坐标为4，求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积.（2）当24t <<时，求S 关于t 的函数解析式.【思路分析】本题虽然不难，但是非常考验考生对于函数图像的理解。
很多考生看到图二的函数图像没有数学感觉，反应不上来那个M 点是何含义，于是无从下手。
其实M 点就表示当平移距离为2的时候整个阴影部分面积为8，相对的，N 点表示移动距离超过4之后阴影部分面积就不动了。
脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当D 移动过了0点的时候.所以根据这么几种情况去作答就可以了。