大连理工大学2007年考研试题及解答正
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学试题数学三试题
(A) 3p(1− p)2
(B) 6 p(1− p)2
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2007 年考研数学试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62701055 网管电话：62780661-433
(C) 3 p2 (1 − p)2
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2007 年全国硕士研究生入学统一考试数学试题数学三试题
试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班
一、 选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分，在每小题给的四个选项中， 只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）
0
2
∫ ∫ （D）
1
dy
π −arcsin y
π
f (x, y)dx
0
2
【解】答案：B。二次积分交换积分次序的过程：
二次积分 ⇒ 确定区域、二重积分 ⇒ 二次积分。
1
y
π − arcsin y
π
1
1
π
∫ ∫ ∫ ∫ π dx f (x, y)dy = sin x
dy
f ( x, y)dx
0
π −arcsin y
需求弹性的绝对值等于 1,则商品的价格是
（A）10
（B）20
（C）30
（D）40
【解】答案 D。商品需求弹性的绝对值等于 dQ P = − 2P = 1 ，则 P = 40 。 dP Q 160 − 2P
本题考点：导函与微分应用。相同例题参见水木艾迪 2007 模拟试题数四 18 题。
(6)曲线 y = 1 + ln(1 + e x ) ，渐近线的条数为 x
2007年考研数学一真题及答案解析
2007年全国硕士入学统考数学(一)试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）当x →+0时，与x 等价的无穷小量是（ ）. (D) ３.[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，)24)(x f 处连续，下列命题错误的是（0)0(=f存在，则0)0(=f (C) 若xx f x )(lim 0→存在，则0)0('=f 存在(D) 若xx f x f x )()(lim 0--→存在，则0)0('=f 存.（5）设函数)(x f 在（0，+∞）上具有二阶的导数，且0)0(>''f 令)2,1)((Λ==n n f u n ，则下列结论正确的是（ ）(A) 若,21u u >则{}n u 必收敛。
(B) 若,21u u >则{}n u 必发散。
(C) 若,21u u <则{}n u 必收敛。
(D) 若,21u u <则{}n u 必发散。
（6）设曲线L ：),((1),(y x f y x f =具有一阶的连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和Ⅳ象限内的点N ，Γ为L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列积分小于零的是（ ）(A).),(⎰Γdx y x f (B).),(⎰Γdy y x f(C) .),(⎰Γds y x f . (D).),(),(⎰Γ'+'dy y x f dx y x f y x（７）设向量组321,,a a a 线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）(A),,,133221a a a a a a --- (B) ,,,133221a a a a a a +++ (C) ,2,2,2133221a a a a a a ---. (D) ,2,2,2133221a a a a a a +++.（８）设矩阵，，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=000010001211121112B A 则Ａ与Ｂ（ ）(A) 合同，且相似 (B) 合同但不相似(C) 不和同，但相似. (D) 既不合同，也不相似（９）某人向同一目标独立的重复射击，每次射击命中目标的概率为p （)10(<<p ，则此人第４次射击恰好第２次命中的概率为（ ）(A)2)1(3p p - (B) 2)1(6p p - (C) 22)1(3p p -. (D) 22)1(6p p -（１０）设随机变量（Ｘ，Ｙ）服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，)(),(y f x f y X 分别表示Ｘ，Ｙ的概率密度，则在Ｙ＝y 的条件下，Ｘ的条件概率密度)|(|Y X f Y X 为（ ） (A) )(x f X (B) )(y f y (C) )()(y f x f y X . (D).)()(y f x f Y X二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （11）1231x e dx x=⎰１ （12） 设(,)f u v 为二元可微函数，(,)yxz f x y =，则zx∂=∂ （13） 二阶常系数非齐次线性方程2432x y y y e '''-+=的通解为y ＝(20) （本题满分10分）设幂级数nn n a x∞=∑在(,)-∞+∞内收敛,其和函数()y x 满足240,(0)0,(0)1y xy y y y ''''--===(Ⅰ)证明22,1,2,;1n n a a n n +==+L (Ⅱ)求()y x 的表达式 (21) （本题满分11分） 设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共的解,求a 的值及所有的公共解.(22) （本题满分11分）.设三阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)Ta λλλ===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量.记534B A A E =-+,其中E 为3阶单位矩阵.(Ⅰ) 验证1a 是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值的特征向量; (Ⅱ) 求矩阵B.(23) （本题满分11分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为2,01,01,(,)0x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他(Ⅰ) 求{}P X>2Y ;(Ⅱ) 求z X Y =+的概率密度()z f z (24)（本题满分11分）设总体X 的概率密度为1,0,21(;)1,2(1),0x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他,其中参数(01)θθ<<未知.12,,,n X X X L 是来自总体X 的简单随机样本,X 是样本均值.(Ⅰ) 求参数θ的矩估计量ˆθ4X是否为2θ的无偏估计量，并说明理由。
2007-2009年考研数学真题及答案解析(三)
证明：
（Ⅰ）存在 (a, b), 使得 f () g() ；
（Ⅱ）存在 (a, b), 使得 f ''( ) g ''( ).
（20）（本题满分 10 ห้องสมุดไป่ตู้）
将函数
f
(x)
x2
1 3x 4
展开成 x 1的幂级数，并指出其收敛区间.
(21)(本题满分11分)
设线性方程组
x1 x1
x2 x3 2x2 ax3
（24）（本题满分 11 分）
-3-
设总体 X 的概率密度为
1 2
,
0
x
,
f
( x;
)
1
2(1
)
,
x
1,
.
0, 其他
其中参数 (0 1) 未知， X1, X 2 ,...X n 是来自总体 X 的简单随机样本， X 是样本均值.
（Ⅰ）求参数 的矩估计量 ；
（Ⅱ）判断 4 X 2 是否为 2 的无偏估计量，并说明理由.
演算步骤.
（17）（本题满分 10 分）
设函数 y y(x) 由方程 y ln y x y 0 确定，试判断曲线 y y(x) 在点（1，1）附近的凹凸性.
【详解】：
-6-
对方程两边求导得y' ln y 2 y' 1 0 y' 1 2 ln y
从而有y'
x 1
2
1 ln1
1 2
利用被积函数 f (x, y) 无论关于 x 轴还是关于 y 轴对称，从而按二重积分的简化计算法则可得
f (x, y)d 4 f (x, y)d
D
D1
设 D1 D11 D12 ，其中 D11 (x, y) x y 1, x 0, y 0 , D12 (x, y) 1 x y 2, x 0, y 0
2007年考研数学一试题答案与解析
x→0
x
事实上，
在(A),(B)两项中，因为分母的极限为 0，所以分子的极限也必须为 0，
则可推得 f (0) = 0 .
在（C）中， lim f (x) 存在，则 x→0 x
f (0) = 0, f ′(0) = lim f (x) − f (0) = lim f (x) = 0 ，所以(C)项正确，故选
故选（D）. 【评注】对于含有抽象函数的问题，通过举符合题设条件的函数的反例可简化计 算.
类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第 1 讲【例 24】，《数学复习 指南》（理工类）第一篇【例 1.22】.
（6）设曲线 L : f (x, y) = 1（ f (x, y) 具有一阶连续偏导数）过第二象限内的点 M
（7）设向量组α1,α2,α3 线性无关，则下列向量组线．性．相．关．的是
(A) α1 − α2 ,α2 − α3,α3 −α1
(B) α1 + α2 ,α2 + α3,α3 + α1
(C) α1 − 2α2 ,α2 − 2α3,α3 − 2α1 . (D) α1 + 2α2 ,α2 + 2α3,α3 + 2α1 . []
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习指南》（理工类）《线性代数》【例 3.3】.
⎛ 2 −1 −1⎞ ⎛ 1 0 0⎞
（8）设矩阵
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
−1 −1
2 −1
−21⎟⎟⎟⎠
,
B
=
⎜ ⎜⎜⎝
∫ ∫ T f (x, y)dy = T dy = y2 − y1 < 0 ；
2007年数学三真题及答案
F ( x) = ∫ f (t )dt ，则下列结论正确的是(
⎧ x1 + x2 + x3 = 0 ⎪ 设线性方程组 ⎨ x1 + 2 x2 + ax3 = 0 与方程 x1 + 2 x2 + x3 = a − 1 有公共解，求 a 的值及 ⎪ 2 ⎩ x1 + 4 x2 + a x3 = 0
所有公共解. （22） (本题满分 11 分) 设三阶对称矩阵 A 的特征向量值 λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = −2 ， α1 = (1, −1,1) 是 A 的属于
（I）求 P { X > 2Y } ； (II) 求 Z = X + Y 的概率密度. （24）(本题满分 11 分) 设总体 X 的概率密度为
⎧ 1 0 < x <θ ⎪ 2θ , ⎪ ⎪ 1 f ( x) = ⎨ , θ ≤ x <1 ⎪ 2(1 − θ ) ⎪ 0, 其他 ⎪ ⎩
( X 1 , X 2 , … , X n ) 为来自总体 X 的简单随机样本， X 是样本均值.
所以应选 B. （2） 【答案】D 【解】取 f ( x) =| x | ，则 lim
x →0
f ( x) − f (− x) = 0 ，但 f ( x) 在 x = 0 不可导，故选 D. x
事实上，在 A,B 两项中，因为分母的极限为 0，所以分子的极限也必须为 0，则可推得
2007年考研数学三真题及解析
2007年考研数学（三）真题一．选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（1）当0x +→等价的无穷小量是（）A.1-.ln(1B+1C-.1D -（2）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是：()A .若0()limx f x x→存在，则(0)0f =.B 若0()()limx f x f x x→+-存在，则(0)0f =.C .若0()limx f x x →存在，则'(0)f 存在.D 若0()()limx f x f x x→--存在，则'(0)f 存在（3）如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是：（）.A .(3)F 3(2)4F =--.B (3)F 5(2)4F =.C (3)F -3(2)4F =-.D (3)F -5(2)4F =--（4）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于（）.A 10arcsin (,)xdy f x y dx ππ+⎰⎰.B 10arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)ydy f x y dxππ+⎰⎰.D 1arcsin 02(,)ydy f x y dxππ-⎰⎰（5）设某商品的需求函数为1602Q ρ=-，其中Q ，ρ分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（）.A 10.B 20.C 30.D 40（6）曲线1ln(1),x y e x=++渐近线的条数为（）.A 0.B 1.C 2.D 3（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是()（A ）12αα-2131,,αααα--(B)21αα-2331,,αααα++（C ）1223312,2,2αααααα---(D)1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵211121112A --⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭，100010000B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭则A 与B （）（A ）合同，且相似(B)合同，但不相似(C)不合同，但相似(D)既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为()2()3(1)A p p -2()6(1)B p p -22()3(1)C p p -22()6(1)D p p -(10)设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()x y f x f y 分别表示X,Y 的概率密度，则在Y y =条件下，X 的条件概率密度()X Y x y f 为()（A ）()X f x (B)()y f y (C)()()x y f x f y (D)()()x y f x f y 二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）3231lim (sin cos )________2x x x x x x x →∞+++=+.（12）设函数123y x =+，则()(0)_________n y =.（13）设(,)f u v 是二元可微函数，(,y x z f x y=则z zy x y∂∂-=∂∂________.（14）微分方程31()2dy y y dx x x=-满足11x y ==的特解为__________.（15）设距阵01000010,00010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭则3A 的秩为_______.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于12的概率为________.三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本题满分10分）设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点（1，1）附近的凹凸性.（18）（本题满分11分）设二元函数2. 1.(,)1 2.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤计算二重积分(,).Df x y d σ⎰⎰其中{}(,)2D x y x y =+≤（19）（本题满分11分）设函数()f x ，()g x 在[],a b 上内二阶可导且存在相等的最大值，又()f a ＝()g a ，()f b ＝()g b ，证明：（Ⅰ）存在(,),a b η∈使得()()f g ηη=；（Ⅱ）存在(,),a b ξ∈使得''()''().f g ξξ=（20）（本题满分10分）将函数21()34f x x x =--展开成1x -的幂级数，并指出其收敛区间.1231232123123(21)(11)020(1)4021(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)Tλλλα===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量.记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量；（Ⅱ）求矩阵B.（23）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他（Ⅰ）求{}2P X Y >；（Ⅱ）求Z X Y =+的概率密度()Z f z .（24）（本题满分11分）设总体X 的概率密度为1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他.其中参数(01)θθ<<未知，12,,...n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值.（Ⅰ）求参数θ的矩估计量 θ；（Ⅱ）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.2007年考研数学（三）真题一、选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（1）当0x +→等价的无穷小量是（B ）A.1-.ln(1B+1C-.1D -（2）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是：(D)A .若0()limx f x x→存在，则(0)0f =.B 若0()()limx f x f x x→+-存在，则(0)0f =.C .若0()limx f x x →存在，则'(0)f 存在.D 若0()()limx f x f x x→--存在，则'(0)f 存在（3）如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是：（C ）.A .(3)F 3(2)4F =--.B (3)F 5(2)4F =.C (3)F -3(2)4F =-.D (3)F -5(2)4F =--（4）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于（B ）.A 1arcsin (,)xdy f x y dx ππ+⎰⎰.B 1arcsin (,)y dy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)ydy f x y dxππ+⎰⎰.D 1arcsin 02(,)ydy f x y dxππ-⎰⎰（5）设某商品的需求函数为1602Q ρ=-，其中Q ，ρ分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（D ）.A 10.B 20.C 30.D 40（6）曲线1ln(1),x y e x=++渐近线的条数为（D ）.A 0.B 1.C 2.D 3（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是(A)（A ）12αα-2131,,αααα--(B)21αα-2331,,αααα++(C)1223312,2,2αααααα---(D)1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵211121112A --⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭，100010000B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭则A 与B （B ）（A ）合同，且相似(B)合同，但不相似(C)不合同，但相似(D)既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(C)2()3(1)A p p -2()6(1)B p p -22()3(1)C p p -22()6(1)D p p -(10)设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()x y f x f y 分别表示X,Y 的概率密度，则在Y y =条件下，X 的条件概率密度()X Y x y f 为(A)（A ）()X f x (B)()y f y (C)()()x y f x f y (D)()()x y f x f y 二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）3231lim (sin cos )___0_________2x x x x x x x →∞+++=+.（12）设函数123y x =+，则()1(1)2!(0)___________3n n n n n y +-=.（13）设(,)f u v 是二元可微函数，(,y xz f x y =则''122(,)2(,)z z y y x x y x y f f x y x x y y x y∂∂-=-+∂∂.（14）微分方程31()2dy y y dx x x =-满足11x y ==的特解为221ln x y x=+.（15）设距阵01000010,00010000A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭则3A 的秩为＿＿1＿＿＿.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于12的概率为＿34＿.三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本题满分10分）设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点（1，1）附近的凹凸性.【详解】：''''1'2'''''''21''11ln 2102ln 112ln121()(2ln )0(2ln )()11(2ln1)8()(1,1)x x x y y y y yy y y y y y y y y y y yy y x ===+-=⇒=+==+++=⇒=-+=-=-<+=对方程两边求导得从而有再对两边求导得求在(1,1)的值：所以在点处是凸的（18）（本题满分11分）设二元函数2. 1.(,)1 2.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤计算二重积分(,).Df x y d σ⎰⎰其中{}(,)2D x y x y =+≤【详解】：积分区域D 如图，不难发现D 分别关于x 轴和y 轴对称，设1D 是D 在第一象限中的部分，即{}1(,)0,0D D x y x y =≥≥ 利用被积函数(,)f x y 无论关于x 轴还是关于y 轴对称，从而按二重积分的简化计算法则可得1(,)4(,)DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰设11112D D D =+，其中{}{}1112(,)1,0,0,(,)12,0,0D x y x y x y D x y x y x y =+≤≥≥=≤+≤≥≥于是1111211122(,)4(,)4(,)4(,) 44(,)DD D D D D f x y d f x y d f x y d f x y d x d f x y d σσσσσσ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于{}11(,)01,01D x y x y x =≤≤≤≤-，故11111222000111(1)3412xD x d x dx dy x x dx σ-==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰为计算12D 上的二重积分，可引入极坐标(,)r θ满足cos ,sin x r y r θθ==.在极坐标系(,)r θ中1x y +=的方程是1,2cos sin r x y θθ=+=+的方程是，2cos sin r θθ=+，因而12120,2cos sin cos sin D r πθθθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬++⎩⎭，故1222cos sin 2100cos sin 1cos sin D r d dr r ππθθθθθθθθ++==+⎰⎰⎰⎰⎰令tan2t θ=作换元，则2arctan t θ=，于是:0:012t πθ→⇔→且2222212,cos ,sin 111dt t td t t t θθθ-===+++，代入即得121122200001122100122(1)cos sin 122(1)22 22 =1)D dt dt d t u t t t du du duu u πθθθ===-=++--=-==--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰综合以上计算结果可知11(,)41)1)123Df x y d σ=⨯+=+⎰⎰（19）（本题满分11分）设函数()f x ，()g x 在[],a b 上内二阶可导且存在相等的最大值，又()f a ＝()g a ，()f b ＝()g b ，证明：（Ⅰ）存在(,),a b η∈使得()()f g ηη=；（Ⅱ）存在(,),a b ξ∈使得''()''().f g ξξ=【详解】：证明：(1)设(),()f x g x 在(,)a b 内某点(,)c a b ∈同时取得最大值，则()()f c g c =，此时的c 就是所求点()()f g ηηη=使得.若两个函数取得最大值的点不同则有设()max (),()max ()f c f x g d g x ==故有()()0,()()0f c g c g d f d ->-<，由介值定理，在(,)c d 内肯定存在()()f g ηηη=使得(2)由(1)和罗尔定理在区间(,),(,)a b ηη内分别存在一点''1212,,()()f f ξξξξ使得＝＝0在区间12(,)ξξ内再用罗尔定理，即''''(,)()()a b f g ξξξ∈=存在，使得.（20）（本题满分10分）将函数21()34f x x x =--展开成1x -的幂级数，并指出其收敛区间.【详解】：102001111()()(4)(1)513121111513512111111()()()154151531()311243111111()()()(1)151101021()211122111()()153nn nnn n n f x x x x x x x x f x x x x x x f x x x x x x f x ∞=∞=∞===--+---+=----+-==-=-----<⇒-<<-===--++-<⇒-<<-=-+∑∑∑记其中其中则01((1)10212nnn x x ∞=---<<∑故收敛域为：1231232123123(21)(11)20(1)4021(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组1231232123123020(3)4021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩的解.即距阵211100201401211a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭211100110001000340a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪- ⎪ ⎪++⎝⎭方程组(3)有解的充要条件为1,2a a ==.当1a =时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为(1,0,1)T ξ=-此时的公共解为：,1,2,x k k ξ==当2a =时，方程组(3)的系数距阵为111011101220011014400001111100⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时方程组(3)的解为1230,1,1x x x ===-，即公共解为：(0,1,1)Tk -（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)Tλλλα===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量.记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量；（Ⅱ）求矩阵B.【详解】：（Ⅰ）可以很容易验证111(1,2,3...)nnA n αλα==，于是5353111111(4)(41)2B A A E ααλλαα=-+=-+=-于是1α是矩阵B 的特征向量.B 的特征值可以由A 的特征值以及B 与A 的关系得到，即53()()4()1B A A λλλ=-+，所以B 的全部特征值为－2，1，1.前面已经求得1α为B 的属于－2的特征值，而A 为实对称矩阵，于是根据B 与A 的关系可以知道B 也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B的属于1的特征向量为123(,,)Tx x x ，所以有方程如下：1230x x x -+=于是求得B 的属于1的特征向量为23(1,0,1),(1,1,0)TTββ=-=因而，矩阵B 属于2μ=-的特征向量是是1(1,1,1)Tk -，其中1k 是不为零的任意常数.矩阵B 属于1μ=的特征向量是是23(1,1,0)(1,0,1)TTk k +-，其中23,k k 是不为零的任意常数.（Ⅱ）由1122332,,,B B B ααβαββ=-==有令矩阵123123(,,)(2,,)B αααβββ=-，则1(2,1,1)P BP diag -=-，所以那么11123123211111033(2,,)(,,)210101303201110330B βββααα------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦（23）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他（Ⅰ）求{}2P X Y >；（Ⅱ）求Z X Y =+的概率密度()Z f z .【详解】：（Ⅰ）{}2(2)DP X Y x y dxdy >=--⎰⎰，其中D 为01,01x y <<<<中2x y >的那部分区域；求此二重积分可得{}112002(2)xP X Y dx x y dy>=--⎰⎰1205()8x x dx=-⎰724=（Ⅱ）{}{}()Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤当0z ≤时，()0Z F z =；当2z ≥时，()1Z F z =；当01z <<时，32001()(2)3zz x Z F z dx x y dy z z -=--=-+⎰⎰当12z <<时，1132115()1(2)2433Z z z x F z dx x y dy z z z --=---=-+-⎰⎰于是222,01()44,120,Z z z z f z z z z ⎧-<<⎪=-+≤<⎨⎪⎩其他（24）（本题满分11分）设总体X 的概率密度为1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他.其中参数(01)θθ<<未知，12,,...n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值.（Ⅰ）求参数θ的矩估计量 θ；（Ⅱ）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.【详解】：（Ⅰ）记EX μ=，则1022(1)xxEX dx dxθθμθθ==+-⎰⎰1142θ=+，解出122θμ=-，因此参数θ的矩估计量为 122X θ=-；（Ⅱ）只须验证2(4)E X 是否为2θ即可，而2221(4)4()4(())4(())E X E X D X E X DX EX n ==+=+，而1142EX θ=+，221(12)6EX θθ=++，22251()481212DX EX EX θθ=-=-+，于是22533131(4)1233n n n E X n n n θθ+-+=++≠因此24X 不是为2θ的无偏估计量.。
2007数学二真题及答案解析
硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(1) 当0x +→时，与x 等价的无穷小量是 (A) 1xe-. (B) 1ln1xx+-. (C) 11x +-. (D) 1cos x -. [ B ]【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案. 【详解】 当0x +→时，有1(1)~xx ee x -=---；111~2x x +-； 2111cos ~().22x x x -= 利用排除法知应选(B). (2) 函数11()tan ()()xxe e xf x x e e +=-在[,]ππ-上的第一类间断点是x =(A) 0. (B) 1. (C) 2π-. (D)2π. [ A ] 【分析】 本题f (x )为初等函数，找出其无定义点即为间断点，再根据左右极限判断其类型。
【详解】 f (x )在[,]ππ-上的无定义点，即间断点为x =0,1,.2π±又 11110()tan tan lim lim 1(1)1()xxx x xx e e x x e exx e e e e --→→++=⋅=⋅-=---， 11110()tan tan lim lim 111()xxx x xx e e x x e exx e e e e++→→++=⋅=⋅=--， 可见x =0为第一类间断点，因此应选(A).(3) 如图，连续函数y =f (x )在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()().xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是(A) 3(3)(2)4F F =--. (B) 5(3)(2)4F F =. (C) )2(43)3(F F =-. (D) )2(45)3(--=-F F . [ C ]【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f (x )在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。
2007-数二真题、标准答案及解析
从而
[ lim
f
(x, y) −
f
(0, 0)] − (
fx(0, 0)x
+
f y(0, 0)y)
→0
= lim f (x, y) − f (0, 0) =
lim
f (x, y) − f (0, 0)
=0
→0
(x,y)→0 (x)2 + (y)2
根据可微的定义，知函数 f(x, y) 在(0，0) 处可微，故应选(C).
x→0
x
x→0 x
(5) 曲线 y = 1 + ln(1+ ex ) ，渐近线的条数为 x
(A) 0.
(B) 1.
(C) 2.
(D) 3.
[D]
【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。
【详解】 因为 lim[1 + ln(1+ ex )] = ，所以 x = 0 为垂直渐近线； x→0 x
x
y→0
y
(C) lim f (x, y) − f (0, 0) = 0 .
( x, y)→(0,0)
x2 + y2
(D)
lim[
x→0
fx(x, 0) −
fx(0, 0)]
=
0 ，且 lim[ y→0
f y(0,
y) −
fy(0, 0)]
=
0.
[C]
【详解】 选项(A)相当于已知 f(x, y)在点(0,0)处连续，选项(B)相当于已知两个一阶偏导
2
2 84
−3
0
3
F(−3) = f (x)dx = − f (x)dx = f (x)dx = F(3)
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1 二．（20分）用离心泵将水库中的水送至60m 高的敞口容器，若水的流量为80m3/h，管路的内径为150mm，阀门全开时，管路总长（包括所有局部阻力当量
长度）为900m，现有一台离心泵,其特性曲线为qVH2004.0120，（Vq的单位：m3/h， H的单位：m）。已知水的密度ρ=1000kg/m3，摩擦系数为0.02。
（1） 求阀门全开时管路的特性曲线； （2） 该泵是否可用？并求阀门全开时该泵的工作点； （3） 用阀将流量调至80m3/h, 求由于流量调节损失在阀门上的压头是多少米；若泵的效率为70%，求轴功率； （4） 在泵的出口管线上并联一管路，定性分析泵的工作点如何变化，并图示之。
量增加。系统流动阻力减小，流相当于阀门开度增大，轴功率门上的压头由于调节流量损失在阀泵提供的扬程时，管路需要的扬程用阀门将流量调至（该泵可用，其工作点为）将其代入式（则若令）解：（)4(4.29100036007.010004.9480;7.247.694.94;4.9480004.0120,7.698000151.060/80)3()44.76,/4.10444.764.10400151.0601/4.104,6000551.0,004.012000151.060)2()1(00151.0603600215.01690002.060150436001215.090002.060221223323222222252221021112000kWgPPmHmHmLhmmLHhmqmLhmqqqqLHqLqgqgLhgugpzLgugpzeVVVVVVVVf
三．（10分）用一回转真空过滤机过滤某水悬浮液，操作真空度为80kPa,生产能力为6m3(滤液)/h，过滤面积为5m2,转鼓沉浸角为1200，转数为0.6转/分，现拟用一板框过滤机代替上述回转真空过滤机，已知滤框长与宽均为1000mm,过滤压力为196kPa（表压）,要求获得的滤液量为10 m3，过滤时间0.5小时，设滤饼不可压缩，过滤介质阻力忽略不计。试求： （1） 需要滤框和滤板各多少； （2） 板框过滤机过滤终了后在压力仍为196kPa（表压）下用相当于滤液量1/5的水洗涤，洗涤时间为多少小时﹖若卸渣﹑重装等辅助时间为0.2小时，则生产能力是多少m3(滤液)/h﹖
（回转真空过滤机生产能力KnAVh3600 ） 2
hmVVKAVddVVaVKAddVddVmmAAAKAVhmKsmKKKnKAVDWhWWWEWh/667.62.08.05.0108.05.02.082.08;841)2(1413,2,26;5.0294.0100;5.0294.010/294.036008019610333.3/10333.31206.02536003606036;360120606.05360036360120606.053600360013222222222225252''22''小时个。个，滤板需要滤框一个滤框的过滤面积为）解：（ 四. （20分）拟用125℃、汽化热为2191.8 kJ/kg的饱和蒸汽将空气由20℃加热到120℃，空气的流量为9000kg/h,空气在其平均温度下的物性数据为：粘度η=2.06×10-5Pas,比热容Cpc=1.017kJ/(kg·K), 热导率λ=0.02996W/(m K)。若忽略热损失，试求： （1） 蒸汽消耗量是多少(kg/h)? （2） 已设计一台单壳程单管程换热器，其传热管规格为Ф19×2,管长为2 m,管子数目为900根，在蒸汽侧对流传热热阻及管壁与污垢热阻均可忽略的条件下，该换热器是否够用？此时空气的出口温度为多少？ （3） 如果把该换热器改为双管程，则空气的出口温度为多少？若使空气的出口 温度恰好达到120℃，应在操作上采取何种措施？（通过定量计算说明） 3 （4） CttttttKmWKKmWhuuhhCtttttttKAWtKAWrDKtttttmLdAKmWKKmWcuddhddhddhhRddbddRddhKhkgDrDttcqiiiccccccmmmpiiiiiiidmidiiicccpcm2.1233.59125105083354.410179000360044.10763.9612520125ln12520125ln)125()20125(44.10763.963600)20(10179000)(63.96019.0015.04.122)/(4.1223.70741.1;741.12)3(1154364.10125201253453.210179000360044.1075.5512520125ln12520125ln)125()20125(44.1075.553600)20(1017900019588285.3244.1075.5525424936006.417108.2191360085.325105ln)120125()20125(ln44.1072900019.0)(5.55019.0015.03.70)(3.7002996.01006.210017.11006.2900015.0436009000015.0015.002996.0023.0023.0100001111)2(/6.4178.2191)20120(017.19000;)()1('2'2'2'2'2'224502450,8.08.0900450900,450,2222223212120224.0538.0524.08.00000,00012,`,
该换热器不够用。实际达到的传热速率需要的传热速率
解： 4 CTTTTTTTTT74.1215224.58120200694.410179000360044.1073.9612020ln12020ln)120()20(44.10763.963600)20120(10179000'''''''''
五．（20分）在连续精馏塔中分离苯-甲苯溶液，塔釜间接蒸汽加热，塔顶采用全凝器，泡点回流。进料为100kmol/h的含苯0.35（摩尔分率，下同）的饱和蒸汽，塔顶馏出液量为40 kmol/h，系统的相对挥发度为2.5。且知精馏段操作线方程为
16.08.0xy，试求：
（1）该操作条件下的最小回流比； （2）提馏段操作线方程； （3）若塔顶第一块板下降的液相中含苯0.70，求该板以气相组成表示的Murphree板效率。
WnWnFnLnWmnWnFnLnFnLmnWnLnVnWnVnLWnVnWmnVnLmnWnWnWnDnFeeeDDDeeeFexqqqqqxqqqqqqqyqqqqqqxqqxqqyhkmolqqqqqxyyxRxRxRRRyyxzyq1''''''
'
1
min/6040100)2(
6.2
1772.035.0
35.08.0
8.016.014541
1772.035.0)15.2(5.235.0)1(,35.0,01）解：（
08.06.105.0608.04035.010060160606016016044111mmWWWnWDnDFnFWmmWnWnLnWmnWnDnDmxyxxxqxqzqxxyxqqqxqqqy 72.016.07.08.0;8.0;)3(212*1211*1yxyyyyyyyyyEDnnnnmV 5
%6072.0854.072.08.0;85.07.05.117.05.2*1mVEy 六．（20分）在一逆流填料吸收塔中，用清水吸收混合气中的丙酮，气体处理量为1400 m3/h（标准状态）。已知混合气中含丙酮0.05（摩尔分率，下同），操作
条件下的平衡关系为xye68.1，若要求丙酮回收率为96%，出塔溶液中丙酮的浓度为0.02，试求： （1） 塔顶液相喷淋量为多少（以kg/h计）； （2） 最少吸收剂用量为多少？ （3） 若此时塔的气相总传质单元高度HOG=0.8m，填料层高度应为多少？ （4） 若填料层高度保持不变，减少吸收剂用量，丙酮回收率如何变化（定性说明），图示操作线变化情况。
mNHhyyyNyyyyyyyyyyhkgqqqxhkghkmolqxxyyqqyyyxxqyyqOGOGmOGmenLnGnLenLnGnLnLnG61.50138.78.00138.700684367.0002.005.000684367.0002.00164.0ln002.00164.0ln002.00;0164.002.068.105.0)3(/6.1132;00298.002.005.0;0298.068.1/05.0)2(/2700/1504.2214004.2,4.2002.0002.005.0002.0)96.01(05.0)1(,05.0);()()1(21212122111minmin121211212121解：
（4）若填料层高度保持不变，减少吸收剂用量，丙酮回收率将随吸收剂用量减小而不断降低。OGmNyyxmxyy11111;
七．（10分）在一常压绝热干燥器内干燥某种物料，干燥器有效传质面积为5m2。空气进入预热器的温度为15C ，湿含量为0.0073kg水/（kg干空气）。空气进干燥器温度为90C，空气出干燥器温度为50C，干燥过程可近似为等焓过程。进入干燥器的湿物料干基含水量为0.15kg水/(kg绝干物料)，产品干基含水量为0.01kg水/(kg绝干物料)；干燥器的生产能力为280kg/h（以干燥产品计）。试求： （1）干空气消耗量（kg干空气/h）； （2）预热器加入的热量（kW）(预热器热损失忽略)； （3）若实验测得该条件下的干燥速率曲线如图所示，试求恒速干燥阶段的干燥时间。