大连理工大学高等代数考研试题
大连理工大学线性代数与解析几何A卷答案(2014.6)
姓名：__________大 连 理 工 大 学 学号：__________课 程 名 称： 线性代数与解析几何 试卷： A 考试形式： 闭卷院系：__________ 授课院（系）： 数学科学学院 考试日期： 2014年6月16日 试卷共 6 页 _____ 级_____ 班装 得 分 一、（每小题4分，共40分）填空题1.已知222222222222kk k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A , 则3(6)(2)k k =+-A . 2. 设1300250000200003--⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A , 则1530021001000210003-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 订 3. 设123,,a a a 是一线性无关的向量组，若向量组122313,,k k -++a a a a a a 线性相关， 则k 需满足条件1-1k =或4. 矩阵111022021113-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 的行最简形为1-10000100001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦5. 已知25141001k -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 有三个线性无关的特征向量，则=1k 线6. 设1231233,2223p k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A b ，方程组=Ax b 无解，则,p k 应满足关系2k p =7. 过点0(1,2,3)P ，且垂直于直线4010x y z y z +++=⎧⎨--=⎩的平面的一般式方程为230x y z -++-=8. 已知二次型10()9000T k f k k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦x x x 为正定二次型，则k 需满足条件03k <<9. 在空间直角坐标系Oxyz 中，设22a i j k =+- ，b i j =+，则a 与b 的夹角为π410. 设[]1234,,,=A a a a a ，123,,a a a 线性无关，且412323=++a a a a ， 则齐次线性方程组=Ax 0的通解为[]1,2,3,1Tk -得 分 二、（每小题2分，共10分）单项选择题1.方阵A 是降秩矩阵的充要条件是（ D ）（A ）()()r r <AB B （B ）方程组=Ax b 有无穷多个解 （C ）存在非零矩阵B ，使得≠AB O （D ）存在非零矩阵B ，使得=AB O 2.设,A B 都是n 阶方阵，E 为n 阶单位矩阵，且,,≠≠+=+A E B E AB E A B ， 则必有（ A ）（A ） 0,0-=-=A E B E （B ） 0,0-=-≠A E B E （C ） 0,0-≠-≠A E B E （D ） 0,0-≠-=A E B E 3.设矩阵,,A B P 都是n 阶方阵，若=B AP ，且P 可逆，则（ B ） （A ）矩阵A 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （B ）矩阵A 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价 （C ）矩阵P 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵P 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价4.已知123,,ηηη是齐次线性方程组=Ax 0的基础解系，则该方程组的基础解系还可选用（ C ）（A ）122331,,ηηηηηη--- （B ）与123,,ηηη等秩的向量组 （C ）122331,,ηηηηηη+++ （D ）与123,,ηηη等价的向量组5.设对称矩阵111111111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，200000000⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，则A 与B （ B ） （A ）合同且相似 （B ）合同但不相似（C ）不合同但相似 （D ）不合同且不相似得 分 三、（8分）已知210120,2,001**⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ABA BA E 求.B解：由2**=+ABA BA E ，得(2),(2)*-=-=A E BA E A E B A A11(2)3-=-B A E A10100102100,(2)100001001-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A E A E12012103001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦B 得 分 四、（8分）求向量组[][][]1231,1,0,1,3,2,2,4,2,1,2,3,TTT===a a a[]41,0,2,1T=--a 的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
高等代数考研真题第一章多项式
且f(x)在有理数域上不可约。
第一章多项式1 (清华2 000— 20分)试求7次多项式f(X )，使f(M 1能被(X -1)4整除，而f(X )-1能被(X 1)4整除。
2、 (南航 2001 — 20 分)(1) 设 x —2px+2 I x +3x +px+q ，求 p,q 之值。
(2) 设f(x) , g(x), h(x) € R[x]，而满足以下等式2(x +1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=02(x +1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=02 2证明：x +1 I f(x) , x +1 I g(x)3、 (北邮2002 —12分)证明：x d - 1 I x "- 1的充分必要条件是d I n (这里里记号 d I n 表示正整数d 整除正整数n )。
4、 、(北邮 2003 —15分)设在数域 P 上的多项式 g 1(x), g 2(x) , g 3(x) , f(x),已知 g 1(x) I f(x),g 2(x) I f(x) , g 3(x) I f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：(〔)如果 g 1(x) ,g 2(x) , g 3(x)两两互素，则一定有 g 1(x) , g 2(x) , g 3(x) I f(X )(2)如果g1(x) , g 2(x) , g 3(x)互素，则一定有 g 1(x)g 2(x)g 3(x)I f(X )5、 (北师大2003—25分)一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。
证明P 是素数当且仅当任取正整数a ,b 若p I ab 则p I a 或p I b 。
6、 (大连理工2003 —12分)证明：次数＞0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幕主充分必要条件是，对任意的多项式g(x) , h(x),由f(x) I g(x) h(x)可以推出f(x) I g(x)，或者对某一正整数 m , f(x) I h m(x)。
2021-2022年部分高校高等代数考研真题
A
=
1 0 2
−1 1 3
−1 0 1
2 0 −1
1 −2 −2 −1
求 A 的包含 ε1 的最小的不变子空间.
3 1 −1 3. 求 A = −1 3 1 的若尔当标准形及有理标准形.
022
二、证明题.
1. 已知向量组 α1, α2, · · · , αr 线性无关, 且可由向量组 β1, β2, · · · , βs 线性表 出, 证明: 存在某个向量 βj (1 ≤ j ≤ s), 使得向量组 βj, α2, · · · , αr 线性无关.
1 2
1 1
c −2 0
112
(1) 若 A 有特征值 4, 1, −2 , 求 a, b, c. (2) 设 α = (1, k, 1)T 是 B−1 的一个特征向量, 求 k .
五、(15 分) 设 A, B 都是 n 阶实对称矩阵, 且 A 正定, 证明: AB 的特征值 都是实数.
六、(15 分) 设 σ 是 n 维线性空间 V 上的一个线性变换, 证明: σ 的秩 +σ 的零度 = n.
1
北京交通大学 2022 年高等代数考研真题
北京交通大学 2022 年高等代数考研真题
一、填空题 (每题 3 分)
1. 2n 级排列 13 · · · (2n − 1)(2n)(2n − 2) · · · 42 的逆序数为
.
2. 设 4 阶方阵 A, B 的伴随矩阵为 A∗, B∗, 且它们的秩为 r(A) = 3, r(B) =
1
2x1 3x1
+ 3x2 + 5x2
+ (a + 2)x3 + 4x4 = b + 3 + x3 + (a + 8)x4 = 5
大连理工代数学
大连理工大学硕士生入学考试数学分析试题解答一.从以下8题中选答6题1.证 利用极限的定义,和已知连续的定义来证明因为()[,)f x C a ∈+∞,且存在lim ()x f x A →+∞=,所以根据极限的定义, 0ε∀>,0G ∃>,当x G ∀>,|()|2f x A ε-<,即12,[,)x x G ∀∈+∞,有12|()()|f x f x ε-<又因为当[,1]x a G ∈+时,函数连续,所以在该闭区间一致连续,所以对0ε∀>,01δ∃<<,所以对于1212,[,1],||x x a G x x δ∀∈+-<,都有12|()()|f x f x ε-< 综上所述,知对于整个区间,函数都是一致连续的.█2.证 利用定义和反证法证明,其实第一小题直接利用闭区间连续函数一致连续的定理就可以了1()f x x=,[,1]x δ∈对于0ε∀>,20γδε∃<<,对于1212,[,1],||x x x x δγ∀∈-<的时候, 121221212||11|()()|||x x f x f x x x x x γεδ--=-=<=.从而可见,在闭区间一致收敛.1()f x x=,(0,1]x ∈,反证法:1ε∃=,0δ∀>,对1x δ∃=,2112x δ=+,此时12||x x δ-<, 121211|()()|||2f x f x x x ε-=-=>.由此可见对于此区间函数并非一致收敛. █3.解 不断利用积分判别法和p-级数以及比较收敛法则来讨论（1）当1α>，11(ln )(ln ln )n n n n αβγ∞=∑小于一个1p α=>的p-级数，根据比较收敛法则，知该级数收敛.（2） 当1α<，11(ln )(ln ln )n n n n αβγ∞=∑大于一个1p α=<的p-级数，该级数发散.（3）当1α=时，根据积分判别法，考虑如下的积分：ln ln (ln )(ln ln )(ln )(ln ln )ln N N N dn d n dnn n n n n n n βγβγβγ+∞+∞+∞==⎰⎰⎰的敛散性,相当于考虑11(ln )n n n βγ∞=∑的敛散性,根据上面的讨论: [1] 1β>该级数收敛. [2] 1β<该级数发散.[3] 1β=,根据上面的讨论,相当于讨论11n nγ∞=∑的敛散性:<1>1γ>该级数收敛. <2>1γ<该级数发散.<3>1γ=该级数发散.█4.证 利用级数收敛和极限的定义以及放缩法来证明,利用p-级数举反例 如果级数1i i x ∞=∑收敛,那么根据定义和Cauchy 收敛法则,取1ε=,N ∃,n N ∀>,1nx<.由于是正项级数,那么2ii i Ni Nxx ∞∞==<∑∑根据比较收敛法则,知命题成立,级数收敛但是,反过来命题不成立,例如211i i n x ∞∞===∑收敛,但是11i i n x ∞∞===∑.█5.证 利用极限的定义证明对于0ε∀>,11[]1δε∃=+,||x δ∀<,即111x N N <<+,其中1||[]N ε>, 此时111|[]1|min{,}1x x N N ε-<=+,从而可知命题成立.█6.证 利用极限的定义证明:对于任意的点0[0,1]x ∈,对于0ε∀>,1[]1N ε∃=+,必0δ∃>,当00(,)x x x δδ∀∈-+,111{1,1,,,...,,}22x N N 1∀∉---,那么1||1x N ε≤<+,从而命题成立.█7.证 利用定义证明一致收敛首先,显然函数在整个实数域收敛于0,对于0ε∀>,1[]1N ε∃=+,对于n N ∀>,根据基本不等式有:221||||1x x n x nx nε≤=<+,所以,可见命题成立.█8.证 首先如上讨论,知函数序列收敛于0,然后,考虑如下的序列: 111()0112n S n==≠+,利用定理(参见陈纪修老师的《数学分析》)或者反证法,可以得到非一致收敛的结论.█ 一. 以下6题选答4题 9.证 利用反证法如果,所有的点,函数的一阶导数都是0,那么命题得证否则,必然存在某个点,在该点函数的一阶导数不等于0,不妨设为0'()0f x A =>根据题目的已知条件"()0f x ≥,可见,函数的导函数连续而且单调递增,即'()f x A ≥,0x x ∀>.所以, 0x x ∀>,00()()()f x f x A x x -≥-,这显然和题目中的函数上有界矛盾 反之,如果,该点的导数小于0,只需考虑下界即可推出矛盾 综上所述,知函数必为常值函数.命题得证.█10.证 同样利用反证法和极限的定义来证明lim ()x f x A →∞=相当于对于0ε∀>,N ∃,x N ∀>,|()|f x A ε-<假设,存在一个点,0()f x A A δ=+≠,只需取||2δε=,当m 足够大的时候,02m x N >,00(2)()mf x f x =.但是0|(2)|mf x A ε->和题目假设的有所矛盾,从而知命题成立.█11.证 利用定义证明由于积分绝对收敛,不妨假设|()|af x dx M +∞=⎰函数一致连续即对0ε∀>,A ∃,使||()||Aaf x dx M ε-<⎰,uεδ∃=,对12||x x δ∀-<,12|()sin ()sin |AAaaf x ux dx f x ux dx -⎰⎰1212()()2|()cos sin |22A au x x u x x f x dx +-=⎰12()2|()|sin2Aau x x f x dx -<⎰|()|A a A f x dx M δε<<⎰ (1)12|()sin ()sin |2AAf x ux dx f x ux dx ε+∞+∞-≤⎰⎰(2)综合(1)(2)得到12|()sin ()sin |(2)aaf x ux dx f x ux dx M ε+∞+∞-<+⎰⎰由于ε的任意性,知命题成立.█12.证 由于没有函数连续的条件, 所以01[()]'()xf t dt f x x=⎰不一定成立,所以不可以用L ’Hospital 法则，所以还是要回到定义证明由于lim ()x f x λ→∞=，所以根据定义0ε∀>,A ∃,x A ∀>,|()|f x λε-<()()()()()()1()AAxf x dx x A f x dx x A f t dt xx xλελε+--++-<<⎰⎰⎰,由于ε的任意性和夹逼定理,不难证明,命题成立.█13.证 和上一题类似，要利用L ’Hospital 法则的推导过程 01lim()x x f t dt x λ→+∞=⎰即0ε∀>,A ∃,x A ∀>,01|()|xf t dt xλε-<⎰不妨设21x x A ∀>>, 1110()()()x x f t dt x λελε-<<+⎰2121112120()()()()()()()x x x x f x f t dt x x x f x λελε-+-<<++-⎰ （1）2220()()()x x f t dt x λελε-<<+⎰（2） 联立(1,2)2121112122()()()()()()()()x x x x f x x x x f x x λελελελε-<-+-≤++-<+12()()f x f x λελε⇒-<≤<+由于ε的任意性不难得到命题成立.█14.解 利用Gauss 定理和换元法来解决问题2222()SVI x dydz y dzdx z dxdy x y z dxdydz =++=++⎰⎰⎰⎰⎰换元：cos sin ,[0,2),[,]x a r y b r r m R R z c m θθθπ=+⎧⎪=+∈∈∈-⎨⎪=+⎩20202232(cos sin )(cos sin )2))()()38()6VRR RR R R RRI a b c m r r rdrd dma b c m r r rd drdm a b c m rdrdm a b c m dr dm a b c m R m dmR a b c R πθθθθθθππππ----=+++++=+++++=+++=+++=+++-+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰█由于时间仓促,没有输入题目,请原谅!。
大连理工大学06解答
T
P1 , P2 , P3 两两正交,故 P2 = (0,0,1) T .令 P = ( P1 , P2 , P3 ) ,则
∗
解答人: 陈现平
聊城大学
0 1 −1 A = P − 1 P = 1 .■ − 1 0
只有零解,其中 y1 , y 2 分别为 n 维和 1 维列向量.由于
(λE − A) y1 + xy 2 = 0 x T y1 = 0 Ax = λx x T A = λx T
于是
0 = x T (λE − A) y1 + x T xy 2 = λx T y1 − x T Ay1 + x T xy 2 = x T xy 2
二.(10 分) 设三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 1,已知η1 ,η2 ,η3 是它的三个解 向量 , 且 η1 + η2 = (1, 2,3) ' , η 2 + η3 = (0, −1,1) ' , η3 + η1 = (1, 0, −1) ' . 求该方程组的通解 , 其中对任意向量 b , b ' 表示 b 的转置<下同>. 三. (10 分)设 λ + an −1λ
m
⊥
v ∈ R n 使得 A = uv ' .
十.(15 分) 若 A 是实对称正定矩阵,则存在实对称正定矩阵 B,使得 A = B .
2
十一.(15 分) 证明:设 f ( x ) 是整系数多项式,且 f (1) = f (2) = f (3) = p < p 为素数>, 则不存在整数 m ,使 f ( m) = 2 p .
大连理工2004年高等代数试题
大连理工大学2004年硕士生入学考试<<高等代数>>试题说明：填空题的括号在原试题中均是横线一．填空题（每小题四分）（）上的最大公因式是在有理数域则在复数域内无公共根，是有理系数多项式，且设=)(),()(),()(),(.1x g x f x g x f x g x f =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=111212112111.2 n n n D n n 阶行列式 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=αααααααT T T 则的转置矩阵，若是是三维列向量，设,111111111.3 ()324.432131332123211321321321线性，，则线性表示：，，可又向量组，，线性无关，向量组，，设向量组βββααβαααβαααβαααβββααα-=-+=++=得通解是（）则齐次线性方程组且代数余子式阶矩阵，如果是设0,0,1)(.511=≠-=Ax A n A r n A（）向量，则有三个线性无关的特征已知=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x A 00101100.6及符号差分别是（）数正惯性指数，负惯性指的秩各正实数，则，个的特征值中有阶实对称矩阵已知,A 0.7t m A n 的一组基为（）（），的维数则令上的线性空间是的加法及数乘运算，矩阵的集合，对于矩阵上的所有表示是数域，设V V TrA p A V P p P p P ==∈=⨯⨯⨯⨯},0|{,33.8333333下的矩阵是（）在则上的线性变换，且是若的过渡矩阵是到的两组基，且是线性空间和设i i i n n n n i f e V P f f f e e e V f f f e e e βσσσ,...,2,1,)(,,,,,,,,,.9212,1212,1== 的长度为（）则向量，其度量矩阵为，，中有一组基已知三维欧式空间32132132,300021011.10αααβααα-+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=A V 二：（24分）设R,Q 分别表示实数域和有理数域，f(x),g(x)属于Q[x].证明：（1）若在R[x]中有g(x)|f(x),则在Q[x]中也有g(x)|f(x)。
大连理工大学(已有10试题)
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高等代数考研真题 第一章 多项式
第一章 多项式1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4(1)X -整除,而()1f x -能被4(1)X +整除。
2、（南航2001—20分）（1）设x 2-2px+2∣x 4+3x 2+px+q ，求p,q 之值。
（2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式 （x 2+1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0 （x 2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0 证明：x 2+1∣f(x)，x 2+1∣g(x) 3、（北邮2002—12分）证明：x d -1∣x n -1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表示正整数d 整除正整数n ）。
4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x )，g 3(x )，f(x),已知g 1(x)∣f(x)，g 2(x)∣f(x)， g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：（1）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。
证明P 是素数当且仅当任取正整数a ，b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。
6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m (x)。
7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。
大连理工大学线性代数试卷
线 性 代 数 试 题(仅供学习交流，勿用与商业)一、填空题 (共30分, 每空2分)1. 若A 为33⨯型的矩阵且C B A c rr −−→−−−→−⨯+52321, 则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A C . 2. 设321,,a a a 为一向量组, 且存在数k 使得133221,,a a ka a ka a ++-线性无关, 则k 的取值为.3. 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=130140002A , 则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1A . 4. 设四阶方阵的列分块阵为],,,[ ],,,,[321321c a a a B b a a a A ==, 1|| ,2||-==B A , 则=+||B A .5. 设向量组TTa a ]1,1,1[,]1,1,1[21-=-=是向量空间V 的一个基底, 向量b 在该基底下 的坐标向量为T]1,2[, 则=b ; 又基底21,b b 到21,a a 的过渡矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡3211,则=1b ,=2b , 向量b 在基底21,b b 下的坐标向量为.6. 设向量组I:s a a a ,,,21 线性相关, 秩是r , II:t b b b ,,,21 线性无关, 且II 可由I 线性表 示, 则r 与t 的关系为; s 与t 的关系为.7. 设b Ax =是n m ⨯型的非齐次方程组, 1)(-=n A r , 21,u u 是该方程组的两个不 同的已知解, 则其通解为.8. 若二次型232221321)()(2),,(x x x x x x x f +++-=, 则其规范形=),,(321y y y g.9. 若方阵A 满足O E A A =-+62, 则A 的特征值可能的取值为.10. 设2是三阶方阵A 的一个特征值, 且1)2(=+A E r , 则=+||A E .二、判断题: 正确的在题后的括号中填写“对”,错误的填写“错”(共10分,每题1分) 1. 设B A ,都是n 阶非零方阵，若AC AB =，则C B =.（ ） 2. 设B A ,是方阵，O AB =，则B A ,至少有一个不可逆. （ ）3. 设可逆变换Px y =将二次型Ax x T化为二次型By y T ，则B A ,相合. （ ） 4. 若方阵A 的特征值都为零, 则O A =. ( )5. 若矩阵A 的秩为r , 则A 中所有r 阶子阵都非奇异. ( )6. 若矩阵A 满足E AA A A TT==, 则A 为正交矩阵. ( ) 7. 如果A 为负定矩阵, 则,0)(<A tr 且0||<A . ( ) 8. 若A 为实对称矩阵, 则O A O A =⇔=2. ( )9. 设实矩阵A 的列向量组是标准正交向量组, 则A 为正交矩阵. ( )10. 若向量组s a a ,,1 中任意1-s 个向量都线性无关, 则s a a ,,1 也不一定线性无关.( )三、（10分）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=110111012A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=311211C ，并且C B AB =-，求矩阵B ． 四、（10分） 1. 化简()[]TT TTBA A BA AB A B112)(--+++.2. 当k 满足什么条件时, 矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡10010000200kk kk k 为正定矩阵. 五、（10分）求向量组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=20211a ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=83742a ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=23113a ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11004a 的秩, 一个极大无关组, 并用所求极大无关组线性表示其余向量.六、（10分）k 取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=++022232212321321x k x x k kx x x kx x x（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？在有无穷多解时，求其通解.七、（10分）求正交变换Qy x =将二次型32232221321433),,(x x x x x x x x f +++=化为标准形, 写出相应的标准形, 并求该二次型的正、负惯性指数. 八、（共10分） 1．设s a a a ,,,21 是n 元向量组, P 是秩为n 的n n ⨯型矩阵, 令i i Pa b = (s i ,,1 =),证明s a a a ,,,21 与s b b b ,,,21 的秩相等.2．设A 是n 阶实对称阵，若存在n 元实向量y x ,使得0>Ax x T,0<Ay y T , 证明：存在非零的n 元实向量z 使得0=Az z T.。
大连理工大攻读硕士研究生入学考试高等代数试题及参考解答
大连理工大攻读硕士研究生入学考试高等代数试题及参考解答一、填空题(每小题4分)设a 、P 均为n 维列向量：a 'P =2,则A = E +aP '可逆,A" = E -^aP '3飞"2 +5+川+5h=^1 +口3 +)丨|+5P r =% + t||+^r _1 P r +=«1+«2+H|+«rX S ,川，P r, P r 十线性相关.5.设A 是n 阶矩阵，秩A = r ，非齐次线性方程组 Ax = P 有解，则Ax = P 的解向量组的秩为n —r +1.6.设a 、b 均为实数，二次型f(X 1,X 2，小,X n ) =(ax 1 +bx 2)2 +(ax 2 +bx 3)2+'" + (aX n4 + bX n )2 +(aX n +以)2a 、b 满足条件a n+(—1)n^b nH0时，f 为正定二次型.7.设V 是由矩阵A 的全体实系数多项式组成的线性空间，其中了10 ©2/则V 的一组基是E,A,A 2.取定V 的一个非零向量a ,则V = L(a)的全部线性变换形女口1. 设f(X)是有理数域上的不可约多项式 ,Ot 为f(X)在复数域内的一个根，Ot 的重数为1 2.n 阶行列式1 II I1 3II I1II III I II1IIIn+1n1 =[1+送 1]n!.k4k3. 4. 设向量组％,(/2,|||,%线性无关，8.设V 是数域P维线性空间，写出V 上的所有线性变换f a : x a T a(x a),其中a是P中任一取定的数■9.正交矩阵的实特征值为±1.10.设G为群，H、N分别是G的子群，H、N的阶分别是m、n,且m、n互素,令a H c N ,则元素a的阶为_1：二、(10分)设f(x),g(x)是数域P上的多项式，证明：在数域P上，若f3(x)|g3(x).则f(x)|g(x).参考解答：若f (x), g(x)中有一个是零多项式或零次多项式，则结论显然成立.下设戲(X)A O,0(X) A O,且g(x^a^ri(x)p2r2(x^|p s rs(x)是g(x)的标准分解式，其中p i(x), P2(X),IH, p s(x)是互不相同的最高次项系数为1的不可约多项式，「1,「2,111,1都是正整数.任取f (x)的一个不可约因式q(x),由于q(x)| f(x), f(x)| f3(x), f3(x)|g3(x)3利用多项式整除的传递性，得q(x)|g (x).由于q(x)是不可约多项式，故q(x)|g(x),进一步可知,q(x) =cp i(x),对某个1兰i兰s及c忘P.于是我们可以设f(X)= bp,1(X)pJWlll P s ts(x),其中t1,t2,HI,t s是非负整数.从f 3(x) |g3(x)知，存在多项式h(x卢P[x],使得3 3g(X)= f (X) | h(x),即a3 P13r1(x) P23r2(x) 111P s3rs(x) =b3pi3t1(x) P23t2(x)HI P s3ts(x)h(x).由此推出3r i >3t i ,即r i >t i , ^1,2j|l,s.因此g(x)=bpi t1(x) P2t2(X)川p s ts(X)*7 p/ T (x) P2r2主(x)liI P s rs」s (x)b= f(x) €口心&) P s r H(X)b由多项式整除的定义知，f(x)|g(x).2 k三、(15分)设A为n级矩阵,且秩A=秩A ,证明：对任意自然数k ,有秩A =秩A.参考解答：对k作数学归纳法.当k =1,2时结论显然成立.假设k -1时结论成立，即rank A =rank A k丄.令V ={X€=0}, i =1,2,m那么显然有V i匸V2匸从rank A =rank A k-知. k 1dim V, = n-rankA = n — rank A =dim V k』于是V i=V k」.任取X。
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大连理工大学2004年硕士生入学考试<<高等代数>>试题
说明：填空题的括号在原试题中均是横线
一．填空题（每小题四分）
（）
上的最大公因式是在有理数域则在复数域内无公共根，是有理系数多项式，且设=)(),()(),()(),(.1x g x f x g x f x g x f =⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=111212112111.2""""""""n n n D n n 阶行列式 =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=αααααααT T T 则的转置矩阵，若是是三维列向量，设,111111111.3 ()
324.43213
133
2123
211321321321线性，，则线性表示：，，可又向量组，，线性无关，向量组，，设向量组βββααβαααβαααβαααβββααα−=−+=++=得通解是（）
则齐次线性方程组且代数余子式阶矩阵，如果是设0
,0,1)(.511=≠−=Ax A n A r n A
（）向量，则有三个线性无关的特征已知=
⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛=x x A 00101100.6 及符号差分别是（）
数正惯性指数，负惯性指的秩各正实数，则，个的特征值中有阶实对称矩阵已知,A 0.7t m A n 的一组基为（）
（），的维数则令上的线性空间是的加法及数乘运算，矩阵的集合，对于矩阵上的所有表示是数域，设V V TrA p A V P p P p P ==∈=××××},0|{,33.8333333下的矩阵是（）
在则上的线性变换，且是若的过渡矩阵是到的两组基，且是线性空间和设i i i n n n n i f e V P f f f e e e V f f f e e e βσσσ,...,2,1,)(,,,,,,,,,.9212,1212,1==""""的长度为（）
则向量，其度量矩阵为，，中有一组基已知三维欧式空间32132132,
300021011.10αααβααα−+=⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=A V 二：（24分）设R,Q 分别表示实数域和有理数域，f(x),g(x)属于Q[x].证明：。