《角的比较与运算》示范教学设计

第四章几何图形初步

4.3角

4.3.2角的比较与运算

一、教学目标：

1.理解角的大小、角的加与减、角平分线的意义及数量关系，并会用文字语言、图形语言、符号语言进行描述．

2.类比线段的大小、和与差、中点，学习角的比较、角的加与减、角平分线，体会类比思想．

二、教学重点及难点：

重点：角的大小、角的加与减、角平分线的意义及数量关系；感受类比的思想．

难点：用图形语言、文字语言、符号语言综合描述角的大小、角的和差的关系及角的平分线．

三、教学准备：

多媒体课件

四、相关资源：

相关图片

五、教学过程：

【复习回顾】

（1）如图，已知线段AB，CD，你有哪些办法比较它们的长短

（2）画出一个三角形．（如下图所示）

C

B

A

提出问题：比较图中线段AB、BC、CD的长短．D

C

师生活动：回顾线段长短的比较方法．小组交流，得出适当的比较线段长短的方法．用圆规比较AB、BC、CD三条线段长短，并写出结论：AB＞AC＞BC．

设计意图：通过对线段大小的比较的类比，探究角的大小的比较方法，巩固旧知识，引入新知识．

那么，怎样比较图中∠A、∠B、∠C的大小？

设计意图：通过回忆与本节课内容密切相关的引导性材料，使学生对学习进程心中有数，帮助学生掌握研究问题的方法．

【探究新知】

本图片是微课的首页截图，本微课资源讲解了比较角的大小的两种方法，并通过讲解实例与练习，巩固所学的知识点，有利于启发教师教学或学生预习或复习使用.若需使用，请插入微课【知识点解析】角的比较.

探究一：角的比较

活动1：展示下面角的模型，比较两个角的大小.

类比线段大小的比较，你认为该如何比较两个角的大小？在练习本上画两个角，比较它们的大小，并说明你是怎么比较的．

师生活动：学生讨论解决问题的方法，学生代表展示、交流．

学生展示、交流后，提问：比较角的大小的方法有几种？每种方法中应注意什么？ 教师在学生展示交流的基础上，利用课件动画演示：用量角器量角、用叠合法比较角的大小过程．归纳操作要点：

目测法 ：

度量法：量角器量角要注意：对中，重合，读数；

叠合法：叠合两角时要注意：（1）重合（两角的顶点及一边重合）；

（2）同旁（另一边落在第一条边的同旁）．

活动2.两个角的大小关系有几种？你能用图形和符号表示吗？

师生活动：学生画出图形，并用符号表示（如图），指出两个角的大小关系有且仅有三种情况．

∠AOB ＞∠A'O'B'

∠AOB ＝∠A'O'B'∠AOB ＜∠A'O'B'

(B')

B (A')

B (A')(A')

B'

教师关注：学生运用度量法、叠合法比较角的大小操作的规范性；学生是否能体会两个角的大小关系有且仅有三种情况．

设计意图：采用类比的方法，按照“几何模型——图形——文字——符号”的学习程序，学生动手操作，自主探究．建立线段比较长短与角比较大小之间知识与方法的联系．在对比中加深理解．指出对于两个角的大小关系和两个实数的大小关系一样，有且仅有三种情况：

∠A ＞∠B ，∠A ＝∠B ，∠A ＜∠B ，为以后分类研究一些有关角的问题奠定基础．

活动3.如图，图中共有几个角？它们之间有什么关系？

B

师生活动：学生确定角的个数，明确角之间的和差关系．

教师关注：学生是否能发现角的和差关系，若学生仅说出它们的大小关系，教师可引导学生进一步观察图形，类比线段的和与差，发现角的和差关系．

学生完成上述问题后提问：

你能用符号表示这些角之间的加减关系吗？

教师关注：学生能否理解角的加减的意义．

书写出角的加减关系．

设计意图：以角的大小比较的图形为背景，提出角的加减问题，将知识由角的大小过渡到角的加与减，衔接自然流畅．同时，针对同一图形变换审视角度提出问题，可以提高学生的读图能力．用符号表示角的和差关系，仍遵循“几何模型——图形——文字——符号”的学习过程，在图形与等式之间建立一种关系．从角的大小数量上研究角的加与减，突出反映角的加与减的意义与度数的数量间的关系，加深对角的加与减概念的理解．

活动4.利用一副三角尺，你能画出哪些度数的角？这些角有什么规律？

师生活动：学生动手操作，小组合作探究，师生归纳．

师生归纳：一副三角尺上的角都是常用的角，它们是30°，45°，60°，90°的角，利用这些角可以很方便地画出与这些角相关的一些特殊角，如15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°等．

设计意图：用一副三角尺画出一些特殊角，除让学生巩固角的和、差概念外，也使学生对这些特殊角的大小有直观的认识，培养学生对角的大小的估计能力和动手操作能力，加深学生对角的认识．

探究二：角平分线

活动1.类比线段的中点，在一个角内，是否存在一条射线把这个角分成两个相等的角？

在透明纸上画一个角，沿着顶点对折，使角的两边重合．

师生活动：画出图形，如图，明确角的平分线的概念．用几何语言表示角平分线．

ααC

O

A

B

归纳总结：角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．

几何语言表示：因为OB 平分∠ AOC ，所以∠ AOB=∠ BOC=1

2

∠ AOC （或∠ AOC=2∠ AOB=2∠ BOC ）.

设计意图：进一步明确角平分线的概念，为后续学习轴对称和研究有关图形的翻折问题打下基础．

活动2.类似角的平分线，还有角的三等分线（如图），一个角的三等分线有几条？

αααC

O

A

D

设计意图：从角的和差问题中，将射线OB 的位置特殊化，并类比线段的中点的概念，不仅知识的产生、发展自然连续，也体现了由一般到特殊，由特殊到一般．同时，也能建立知识间的联系，完善认知结构．

【典型例题】

例1.如图，O 是直线AB 上一点，∠AOC ＝53°

17′，求∠BOC 的度数．

C

解：由题意可知，∠AOB是平角，

∠AOB＝∠AOC＋∠BOC，

所以∠BOC＝∠AOB－∠AOC．

＝180°－53°17′，

＝126°43′．

例2.把一个周角7等分，每一份是多少度的角（精确到分）？

解：360°÷7＝51°＋3°÷7

＝51°＋180′÷7

≈51°26′．

答：每份约是51°26′．

设计意图：通过例题的学习，使学生进一步掌握角的有关计算，并初步学习运用几何语言叙述解题过程．

例3．按图填空：

（1）∠AOB＋∠BOC＝__________；（2）∠AOC＋∠COD＝__________；

（3）∠BOD－∠COD＝__________；（4）∠AOD－__________＝∠AOB．

例4.如图，OP是∠AOB的平分线，则下列说法错误的是（）．C

A．∠AOB＝2∠AOP B．∠AOP＝

1

2

∠AOB

C．∠AOB＝

1 2

∠BOP D．∠AOP＝∠BOP

P

B

【课堂练习】

1．估计图中∠1与∠2的大小关系，并用适当的方法检验．

解：（1）∠1＜∠2；（2）∠1＝∠2．用量角器度量验证．

设计意图：通过对角大小的估计，培养学生估计角的大小的能力．用适当方法验证，则可进一步巩固掌握比较角大小的方法．

2．如图，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，OE平分∠AOD，若∠EOC＝60°，则∠AOC＝________，∠AOE＝________，∠EOD＝________．

E

C

O

A

B

D

答案：45°；15°；15°．

设计意图：巩固角平分线性质和角的和与差概念，能使学生加深对角的平分线概念的认识，将形与数建立起联系，培养学生数行结合的思想意识．

3．如图所示，①∠AOC是哪两个角的和？②∠AOB是哪两个角的差？③如果∠AOB＝∠COD，则∠AOC与∠BOD的大小关系如何？

C O

A

B

D

解：①∠AOC 是∠AOB 与∠BOC 两个角的和；

②∠AOB 是∠AOC 与∠BOC 两个角的差或∠AOD 与∠BOD 两个角的差； ③∠AOC ＝∠BOD ． 因为∠AOB ＝∠COD ，

所以∠AOB ＋∠BOC ＝∠COD ＋∠BOC ．即∠AOC ＝∠BOD ．

设计意图：通过观察图形，得出角之间的加与减关系，提高学生对角的加与减意义的认识，从而培养学生的识图能力．

4.如图，若∠AOB ＝∠COD ，请判断∠AOC 与∠BOD 的大小关系；若∠AOC ＝∠BOD ，请判断∠AOB 与∠COD 的大小关系．

解：∠AOC ＝∠BOD ；∠AOB ＝∠COD ．

5．如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，则∠1______∠3；如果∠1＞∠2，∠2＞∠3，则∠1_________∠3．

=，＞

6．如图，BD 和CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，且∠DBC ＝∠ECB ＝31°，求∠ABC 和∠ACB 的度数，它们相等吗？

62°，相等

六、课堂小结

C

O

A

B

D

1．角的大小比较：

（1）用量角器量角，角的度数越大，角越大．

（2）叠合法比较：将两个角顶点和其中一边重合，观察另一边所在的位置．

2.角的和与差

3．角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，类似地还有角的三等分线．

七、板书设计：