最大值、最小值问题
最大值最小值问题
作业布置
课本P69第2题，P71第2题 第 题 课本 第 题
3.给定函数 = f ( x) x∈[a, b]如何求取最值？ y 如何求取最值？ ，
y
y = f ( x)
a
x1
o
X2
X3
b
x
4.函数 = f ( x）的最值与极值的联系 y 与区别？ 与区别？
值可能有多个，而最大（ （1）. 函数的极大（小）值可能有多个，而最大（小）值只 ） 函数的极大（ 有唯一的一个 （2）极大值不一定比极小值大，但是最大值一定比最小值大 ）极大值不一定比极小值大， （3）极值只能在区间的内部取得，不能在端点处取得，而函 ）极值只能在区间的内部取得，不能在端点处取得， 数的最值可以在端点处取得 （4）函数的最值在函数在整个定义域内的整体性质，极 ）函数的最值在函数在整个定义域内的整体性质， 值只是函数在某一点附近的局部性质
最大值与最小值问题(一 最大值与最小值问题 一）
导数与函数的最值问题
情境引入
如图，在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去 如图，在边长为 的正方形铁片的四角上切去 相等的正方形，再把它的边沿虚线折起， 相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无 盖的方底箱子，要求箱子的高度不小于5cm且不大于 不小于5cm 盖的方底箱子，要求箱子的高度不小于5cm且不大于 问当箱子的高度为多少时，容积最大？ 20cm，问当箱子的高度为多少时，容积最大？最大容 积是多少？ 积是多少？
3
y
6
x ∈ [−2,0] −
5
4
y = f ( x)
x ∈ [0,2]
2
x ∈ [−2,2] −
-2 -1
1 0 1 2
x
§2 2.2 最大值、最小值问题
一、预习教材·问题导入 1．问题：如何确定你班哪位同学最高？ 提示：方法很多，可首先确定每个学习小组中最高的同学， 再比较每组的最高的同学，便可确定班中最高的同学．
2．如图为 y＝f(x)，x∈[a，b]的图像．
问题 1：试说明 y＝f(x)的极值． 提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极 小值． 问题 2：你能说出 y＝f(x)，x∈[a，b]的最值吗？ 提示：函数的最小值是 f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函数的 最大值是 f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的． 问题 3：根据问题 2 回答函数 y＝f(x)，x∈[a，b]的最值可能 在哪些点取得． 提示：在极值点或端点中．
令 f′(x)＝0，解得 x＝59或 x＝3(舍去)． 当 0＜x＜59时，f′(x)＞0，当59＜x＜1 时，f′(x)＜0， 所以 x＝59时，f(x)有最大值 f59＝20 000. 所以当 x＝59时，本年度的年利润最大，最大年利润为 20 000 万元．
[类题通法] 利用导数解决优化问题的一般步骤 (1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式 y＝f(x)． (2)求函数 f(x)的导数 f′(x)，并解方程 f′(x)＝0，即求函数 可能的极值点． (3)比较函数 f(x)在区间端点的函数值和可能极值点的函数 值的大小，得出函数 f(x)的最大值或最小值． (4)根据实际问题的意义给出答案．
二、归纳总结·核心必记 1．最值点 (1)最大值点：函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点 x0 指 的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 不超过 f(x0)． (2)最小值点：函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点 x0 指 的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 不小于 f(x0)． 2．最值 函数的 最大值 与 最小值 统称为最值．
高等数学3.6 最大值、最小值问题
最大值和最小值的求法：
设f(x)在(a，b)内的驻点和不可导点(它们是可能的极值)为
x1，x2， ···，xn，则比较 f(a)，f(x 1)， f(x 2)， ···，f(x n)，f(b) 的大小，其中最大的便是函数f(x)在[a，b]上的最大值，最小的 便是函数f(x)在[a，b]上的最小值． 求最大值和最小值的步骤： (1)求出f(x)在(a，b)内的所有驻点和不可导点；
1 1 W b(d 2b 2) 在(0，d)内只有一个驻点， 所以当b d 时， (0<b<d)． 6 3
W的值最大．这时， h
2 d ． 于是有 d :h :b 3 : 2 :1． 3
(2)求出函数在上述点处和区间端点处的函数值；
(3)比较上述函数值，找出最大的和最小的．
例1 求函数y2x33x212x14在[3, 4]上的最大值与最小值． 解 f(x) 2x 33x 212x 14，
f (x)6x 26x126(x2)(x1)，
解方程f (x)0，得一 x12，x21，由于 f(3) 2(3)33(3) 212(3) 1423； f(2) 2(2)33(2) 212(2) 1434； f(1)2312147； f(4)2· 33· 2 12· 4 4 414142， 比较可得f(x)在 x4取得它在[3，4]上的最大值f(4)142 ,在
D
100km
B
C
解 设ADx (km)，则 DB100x ，
CD 20 2 x 2 400 x 2 ．
设从B点到C点需要的总运费为y，那么
y5k· CD3k· (k是某个正数)， DB
y5k 400 x 2 3k(100x) (0x100)． 5x 3 ， 先求y对x的导数： y k 400 x 2 解方程y0，得x15(km)．
最大值最小值问题
bx o a
bx o a
bx
(3) y f ( x)的最大值、最小值一定在 f ' ( x) 0或f ' ( x)不存在的点及区间的端 点取得；
(4) 极大值、极小值是局部的概念，而 最大值、最小值是全局的概念。
步骤:
1.求驻点和不可导点;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值;
0.5公里
s(t ) A
B 4公里
解 (1)建立敌我相距函数关系
设 t 为我军从B处发起 追击至射击的时间(分).
0.5公里
s(t ) A
敌我相距函数 s(t)
B
s(t) (0.5 t)2 (4 2t)2
4公里
(2) 求s s(t)的最小值点.
s(t)
5t 7.5 .
(0.5 t)2 (4 2t)2
令s(t) 0,
得唯一驻点 t 1.5. 故得我军从B处发起追击后 1.5 分钟射击最好.
实际问题求最值应注意:
(1)建立目标函数; (2)求最值;
若目标函数只有唯一驻点，则该点的 函数值即为所求的最大(或最小)值．
例3 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定 为每月180元时，公寓会全部租出去．当租 金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去， 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护 费．试问房租定为多少可获得最大收入？
f (2) 34;
f (1) 7;
f (4) 142;
y 2x3 3x2 12x 14
比较得 最大值 f (4) 142，最小值 f (1) 7.
例2 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟 的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟．问 我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最 好）？
第四章 §2 2.2 最大值、最小值问题
面积、体积(容积)的最值问题
[例 3] 某地政府为科技兴市，欲将如图所示的 一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科 技工业园．已知 AB⊥BC，OA∥BC，且|AB|＝|BC| ＝4 km，|AO|＝2 km，曲线段 OC 是以点 O 为顶点 且开口向上的抛物线的一段．如果要使矩形的两边分别落在 AB，BC 上，且一个顶点落在曲线段 OC 上，应如何规划才能使矩形工业园 的用地面积最大？并求出最大的用地面积(精确到 0.1 km2)．
(2)当 x∈[－1,2]时，f(x)<m 恒成立，只需使 f(x)在[－1,2]上的 最大值小于 m 即可．
由(1)知 f(x)极大值＝f(－23)＝5＋2227， f(x)极小值＝f(1)＝72. 又 f(－1)＝121，f(2)7. 所以 m>7，即 m 的取值范围为(7，＋∞)．
求函数的最值 [例 1] 求下列函数的最值． (1)f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5，x∈[－2，＋∞)； (2)f(x)＝12x＋sin x，x∈[0,2π] [思路点拨] 先求函数在给定区间的极值，然后再与端点 值比较，即可确定函数的最值．
[精解详析] (1)f′(x)＝12x2＋6x－36，
元，则总造价的最小值为
()
A．400 元
B．1 200 元
C．1 600 元
D．2 800 元
解析：设总造价为 y 元，池底的一边长 x 米，池底的面积为 8÷2 ＝4(平方米)，池底的另一边长为4x米，池壁的面积为 4x＋4x平 方米，故有 y＝4×300＋4x＋4x×100＝400x＋4x＋1 200(x＞ 0)．y′＝4001－x42， 令 y′＝0 得 x＝2，由 y′ ＞0 得 x ＞2，由 y′＜0 得 0＜x＜2， 即 y 在(0,2)上是减少的，在(2，＋∞)上是增加的，所以当 x＝2 时，y 取得最小值，且 ymin＝2 800. 答案：D
第2章 2.4 最大值与最小值问题,优化的数学模型
第2章 2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型1.理解最值概念，并能应用柯西不等式、平均值不等式求函数的最值.2.能利用不等式解决有关的实际问题.[基础·初探]教材整理 最值问题，优化的数学模型 1.最值设D 为f (x )的定义域，如果存在x 0∈D ，使得f (x )≤f (x 0)(f (x )≥f (x 0))，x ∈D ，则称f (x 0)为f (x )在D 上的最大(小)值，x 0称为f (x )在D 上的最大(小)值点.寻求函数的最大(小)值及最大(小)值问题统称为最值问题，它属于更一般的问题——极值问题的一个特别的情况.2.分离常数法分离常数法就是在分子中凑出与分母相同的项，然后约分.这在求含有分式的最值问题时经常用到.这种类型的最值问题也可以用去分母的方法转化成关于x 的二次方程，然后利用判别式求最值.用平均值不等式来解此类问题时，特别要注意等号成立的条件.1.已知0＜x ＜1，则x (1－x )取最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.14 D.23 【解析】 ∵0＜x ＜1， ∴x (1－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(1－x )22＝14， 当且仅当x ＝12时取等号.【答案】 B2.已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值为________. 【解析】 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2.[再练一题]2.设x ，y ，z ∈R ，且(x －1)216＋(y ＋2)25＋(z －3)24＝1.求x ＋y ＋z 的最大值和最小值.【解】 根据柯西不等式，知[42＋(5)2＋22]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z －322≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤4·x －14＋5·y ＋25＋2·z －322，当且仅当x －116＝y ＋25＝z －34，即x ＝215，y ＝－1，z ＝195或x ＝－115，y ＝－3，z ＝115时等号成立.∴25×1≥(x ＋y ＋z －2)2. ∴|x ＋y ＋z －2|≤5， ∴－3≤x ＋y ＋z ≤7，即x ＋y ＋z 的最大值为7，最小值为－3.利用二次函数求最值某地区地理环境偏僻，严重制约着经济发展，某种土特产品只能在本地销售，该地区政府每投资x 万元，所获利润为P ＝－1160(x －40)2＋10万元，为顺应开发大西北的宏伟决策，该地区政府在制订经济发展十年规划时，拟开发此种土特产品，而开发前后用于该项目投资的专项财政拨款每年都是60万元，若开发该产品，必须在前5年中，每年从60万元专款中拿出30万元投资修建一条公路，且5年可以修通，公路修通后该土特产品在异地销售，每投资x 万元，可获利润Q ＝－159160(60－x )2＋1192(60－x )万元.问：从10年的总利润来看，该项目有无开发价值？【精彩点拨】 分别求出开发前、后该项目10年利润的最大值，比较大小即可.【自主解答】 若按原来投资环境不变，由题设知，每年只需从60万元中拿出40万元投资，可获最大利润10万元.这样10年总利润最大值为W ＝10×10＝100(万元).若对该产品开发，则前5年中，当x ＝30时，P max ＝758，前5年总利润为W 1＝758×5＝3758(万元)；设后5年中，x 万元用于本地销售投资，60－x 万元用于异地销售投资，则总利润W 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1160(x －40)2＋10×5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－159160x 2＋1192x ×5＝－5(x －30)2＋4 500， 当x ＝30时，(W 2)max ＝4 500. ∴10年总利润最大值为3758＋4 500(万元). 因3758＋4 500>100，故该项目具有极大的开发价值.1.本题实际上是两个二次函数的叠加问题，叠加后的二次函数最值要比叠加前的二次函数最值大，从而得解.本题的现实意义也很大.2.解不等式应用题的步骤(1)认真审题，抓住问题中的关键词，找准不等关系； (2)引入数学符号，用不等式表示不等关系，使其数学化； (3)求解不等式； (4)还原实际问题. [再练一题]2.某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点.(1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围.【解】(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元.依题意：y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝150a(100＋2x)(10－x)(0<x<10).(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元).依题意得：150a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，化简得，x2＋40x－84≤0，∴－42≤x≤2.又∵0<x<10，∴0<x≤2，∴x的取值范围是0<x≤2.[探究共研型]利用不等式解决实际问题探究利用不等式解决实际问题的步骤是什么？【提示】利用不等式解决实际应用问题，一般可分四个步骤：(1)阅读理解材料，弄清问题背景.(2)建立合理的数学模型，将实际问题转化为数学问题.(3)运用不等式的知识、手段讨论不等式关系.(4)做出结论.然后利用柯西不等式、均值不等式或二次函数等方法来求最值.如图2-4-1所示，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线翻折成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？图2-4-1【精彩点拨】 设切去的小正方形的边长为x ，由题意可知，折成的盒子的底面边长为a －2x ，高为x ，这时盒子的容积为V ＝(a －2x )2x ，再利用三个正数的算术－几何平均值不等式，变形为xyz ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y ＋z 33求解即可. 【自主解答】 设切去的小正方形的边长为x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x <a 2，无盖方底盒子的容积为V ，则V ＝(a －2x )2x ＝14(a －2x )·(a －2x )×4x ≤14⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a －2x )＋(a －2x )＋4x 33＝2a 327. 当且仅当a －2x ＝a －2x ＝4x ，即当x ＝a6时，不等式取等号，此时V 取最大值2a 327，即当切去的小正方形边长是原来正方形边长的16时，折成的盒子容积最大. 在解决实际问题时，阅读理解题意，建立数学模型是关键，在求解数学模型时，平均值不等式是常用的手段之一.[再练一题]3.用一块钢锭浇铸一个厚度均匀且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图2-4-2)，设容器的高为h 米，盖子边长为a 米.图2-4-2(1)求a 关于h 的函数解析式；(2)设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值. (求解本题时，不计容器的厚度) 【解】 (1)设h ′为正四棱锥的斜高， 由已知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4·12h ′a ＝2，h 2＋14a 2＝h ′2，解得a ＝1h 2＋1(h >0).(2)由V ＝13ha 2＝h 3(h 2＋1)(h >0)，易得V ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫h ＋1h .∵h ＋1h ≥2h ·1h ＝2，∴V ≤16. 等号当且仅当h ＝1h ，即h ＝1时取得.故当h ＝1米时，V 有最大值，V 的最大值为16立方米.[构建·体系]最值问题—⎪⎪⎪⎪⎪⎪—最大值、最小值——分离常数法——应用1.已知x >1，y >1，且lg x ＋lg y ＝4，那么lg x ·lg y 的最大值是( ) A.2 B.12 C.14D.4【解析】 ∵4＝lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ， ∴lg x ·lg y ≤4. 【答案】 D2.已知a ，b 为正数，且a ＋b ＝1，则(4a ＋1＋4b ＋1)2的最大值是( )【导学号：38000046】A.2 6B. 6C.6D.12【解析】 (4a ＋1＋4b ＋1)2 ＝(1×4a ＋1＋1×4b ＋1)2≤(12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1)＝2[4(a ＋b )＋2]＝2×(4×1＋2)＝12， 当且仅当4b ＋1＝4a ＋1，即a ＝b ＝12时等号成立.【答案】 D3.数列{a n }的通项公式a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( ) A.第9项 B.第8项和第9项 C.第10项D.第9项和第10项 【解析】 a n ＝n n 2＋90＝1n ＋90n ≤12n ×90n ＝1610， 当且仅当n ＝90n ，即n ＝310时等号成立. 又n 为正整数，检验可知选D. 【答案】 D4.函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值为________. 【解析】 因为函数的定义域为[1,5]，且y >0，则 y ＝5x －1＋2·5－x ≤52＋(2)2×(x －1)2＋(5－x )2＝27×4＝6 3.当且仅当2·x －1＝5·5－x 时，等号成立， 即x ＝12727时，函数取最大值6 3. 【答案】 6 35.(1)求函数y ＝x 2＋5x 2＋4的最小值；(2)求函数y ＝cos 2x (1＋sin x )的最大值； (3)设x >1，求函数y ＝log 2x ＋log x 4的最小值. 【解】 (1)设l ＝x 2＋4，则l ≥2，于是y ＝x 2＋4＋1x 2＋4＝l ＋1l .∵y ′＝1－1l 2＝l 2－1l2，∴当l ∈[2，＋∞)时，y ′>0，即在[2，＋∞)上函数单调递增，∴当l ＝2，即x ＝0时，y 取得最小值，最小值为y ＝2＋12＝52.(2)y ＝(1－sin 2x )(1＋sin x ) ＝(1－sin x )(1＋sin x )(1＋sin x ) ＝4(1－sin x )·1＋sin x 2·1＋sin x2≤4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin x ＋1＋sin x 2＋1＋sin x 233＝4×827＝3227. 等号成立⇔1－sin x ＝1＋sin x 2⇔sin x ＝13，方程sin x ＝13有解，于是函数y＝cos 2x (1＋sin x )有最大值3227. (3)当x >1时，log 2x >0，log x 4>0，于是 y ＝log 2x ＋log x 4＝log 2x ＋2log 2x≥2 2.等号成立⇔log 2x ＝2log 2x ⇔log 2x ＝2(log 2x ＝－2舍去)⇔x ＝22，于是y min＝2 2.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。
最大值与最小值问题
函数的最大值与最小值我们常常遇到求最大值和最小值的问题，在许多情况下可以归结为求函数的最大值与最小值．这类问题涉及的知识面广，综合性强，解法灵活，因而对于培养学生的数学能力具有重要作用．本讲从四个方面来讨论如何求解函数的最大值与最小值问题．1．一次函数的最大值与最小值一次函数y=kx＋b在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的，但是，如果对自变量x的取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了．例1 设a是大于零的常数，且a≠1，求y的最大值与最小值．大值a．例2 已知x，y，z是非负实数，且满足条件 x＋y＋z=30，3x+y-z=50．求u=5x＋4y＋2z的最大值和最小值．分析题设条件给出两个方程，三个未知数x，y，z，当然，x，y，z的具体数值是不能求出的．但是，我们固定其中一个，不妨固定x，那么y，z都可以用x来表示，于是u便是x的函数了．解从已知条件可解得 y=40-2x，z=x-10．所以u=5x＋4y+2z＝5x＋4(40-2x)＋2(x-10)=-x+140．又y，z均为非负实数，所以解得10≤x≤20．由于函数u=-x＋140是随着x的增加而减小的，所以当x=10时，u有最大值130；当x= 20时，u有最小值120．2．二次函数的最大值与最小值例3 已知x1，x2是方程 x2-(k-2)x＋(k2+3k+5)=0解由于二次方程有实根，所以△=[-(k-2)]2-4(k2+3k+5)≥0，3k2＋16k＋16≤0，例4 已知函数有最大值-3，求实数a的值．解因为的范围内分三种情况讨论．-a2＋4a-1＝-3例5 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图3－12)，其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．解设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，于是矩形PNDM的面积 S=xy，2≤X≤4．易知CN=4-x，EM=4-y，且有二次函数S=f(x)的图像开口向下，对称轴为x=5，故当x≤5时，函数值是随x的增加而增加，所以，对满足2≤x≤4的S来说，当x=4时有最大值例6 设p＞0，x=p时，二次函数f(x)有最大值5，二次函数g(x)的最小值为-2，且g(p)=25，f(x)+g(x)=x2+1 6x+13．求g(x)的解析式和p的值．解由题设知f(p)=5，g(p)=25，f(p)＋g(p)=p2＋16p＋13，所以 p2＋16p+13=30， p=1(p=-17舍去)．由于f(x)在x=1时有最大值5，故设 f(x)=a(x-1)2+5，a＜0，所以g(x)=x2+16x+13-f(x)=(1-a)x2+2(a＋8)x＋8-a．由于g(x)的最小值是-2，于是解得a=-2，从而g(x)=3x2＋12x＋10．3．分式函数的最大值与最小值法是去分母后，化为关于x的二次方程，然后用判别式△≥0，得出y的取值范围，进而定出y的最大值和最小值．解去分母、整理得(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0．△≥0，即△=[2(y+1)]2-4(2y-1)(y＋3)≥0，解得-4≤y≤1．时，取最小值-4，当x=-2时，y取最大值1．说明本题求最值的方法叫作判别法，这也是一种常用的方法．但在用判别法求最值时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的x值．解将原函数去分母，并整理得yx2-ax＋(y-b)＝0．因x是实数，故△=(-a)2-4?y?(y-b)≥0，由题设知，y的最大值为4，最小值为-1，所以(y+1)(y-4)≤0，即y2-3y-4≤0．②由①，②得所以a=±4，b=3．4．其他函数的最大值与最小值处理一般函数的最大值与最小值，我们常常用不等式来估计上界或下界，进而构造例子来说明能取到这个上界或下界．解先估计y的下界．又当x=1时，y=1，所以，y的最小值为1．说明在求最小(大)值，估计了下(上)界后，一定要举例说明这个界是能取到的，才能说这就是最小(大)值，否则就不一定对了．例如，本题我们也可以这样估计：但无论x取什么值时，y取不到-3，即-3不能作为y的最小值．例10 设x，y是实数，求u=x2＋xy+y2-x-2y的最小值．分析先将u看作是x的二次函数(把y看作常数)，进行配方后，再把余下的关于y的代数式写成y的二次函数，再配方后，便可估计出下界来．又当x=0，y=1时，u=-1，所以，u的最小值为-1．例11 求函数的最大值，并求此时的x值，其中[a]表示不超过a的最大整数．练习1．填空：(1)函数y=x2＋2x-3(0≤x≤3)的最小值是_____，最大值是_______．(3)已知函数y=x2+2ax+1(-1≤x≤2)的最大值是4，则a=_____．是_______．(5)设函数y=-x2-2kx-3k2-4k-5的最大值是M，为使M最大，k=_____．2．设f(x)=kx＋1是x的函数，以m(k)表示函数f(x)=kx＋1在-1≤x≤3条件下的最大值，求函数m(k)的解析式和其最小值．3．x，y，z是非负实数，且满足x＋3y＋2z=3，3x＋3y＋z=4．求u=3x-2y+4z的最大值与最小值．4．已知x2＋2y2=1，求2x＋5y2的最大值和最小值．交点间的距离的平方最小，求m的值．6．已知二次函数y=x2＋2(a＋3)x＋2a＋4的图像与x轴的两个交点的横坐标分别为α，β，当实数a变动时，求(α-1)2＋(β-1)2的最小值．。
九年级数学最大值、最小值问题
一、最大值、最小值的求法 二、应用
一、最值的求法
若函数 f ( x ) 在 [a , b] 上连续，除个别点外处 处 可导，并且至多有有限 个导数为零的点，则 f ( x ) 在 [a , b]上的最大值与最小值存 在.
y
y
y
o a
bx
o a
b x
o
a
b x
步骤:
1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大 小,其中最大的就是函数在所求区间的最大值,最 小的就是函数在所求区间的最小值; 注意:如果函数在区间内只有一个极值,则这个 极值就是最大值或最小值.
R( x ) 0 x 350
（唯一驻点）
故每月每套租金为350元时收入最高. 最大收入为
350 R( 350) ( 350 20) 68 10
10890 ( 元).
例4
由直线 y 0，x 8 及抛物线 y x 2 围
成一个曲边三角形，在 曲边 y x 2 上求一点，使 曲线在该点处的切线与 直线 y 0 及 x 8 所围成 的三角形面积最大．
；/ 试管婴儿 子宫肌瘤 不孕不育 ；
星辰海之行,会很有意思！" 白重炙默默の想到,难怪海边の府域都会让年轻の子弟,去星辰海历练.在这样の地方历练,很容易锻造一批批精英子弟の.只有经历过血与火の考验,才会成长,在生死之间也是最容易突破の,宝物不少,至强者死前の洞府,也容易遇到大机缘… "好了,多谢店主为俺解惑, 麻烦你呀给俺备上三份星辰海需要の物品,俺们大概有一百多人,你呀看着办吧！" 事情了解の差不多了,白重炙也就不再墨迹了,直接对着店主说道. "三份！一百多人！" 胖子店主,一听见顿时笑脸
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【提升总结பைடு நூலகம்】 函数f(x)在区间[a，b]上最值的取值规律：
函数的最值或者在极值点取得,或者在区间的
端点取得.因此,要想求函数的最值,应首先求出函
数的极值,然后所有的极值点与区间端点的函数值
进行比较,其中最大的值即为函数的最大值,最小
的值即为最小值.
例题解析
例1.求函数y=f(x)=x3-2x2 +5在区间[-2,2]上的 最大值和最小值. 2 3 2 f '( x ) 3 x 4x 解由f(x)=x -2x +5,得 4 2 由 f '( x) 3 x 4 x 0 ,得x=0,x= 3 列表如下：
f '( x) 6 x2 6(2 a 2 ) x 6(1 a 2 ) 由题意知 f '( x) 6 x2 6(2 a2 ) x 6(1 a2 ) 0 恒成立 2 2 2 36 （ 2+ a ) 144(1 a ) 0 ,得 a 4 0 则
解:（1）首先写出V关于x的函数解析式.根据
题意可得V=f（x）=（48-2x）2x 由实际情况可知函数的定义域为｛x︳0<x<24｝. 根据导数公式表及求导法则，可得
f (x) 4x(48 2x) (48 2x) 2 (48 2x)(6x 48) 12(x 24)(x 8) 解方程V(x) 0, 得x1 8, x 2 24.
y 5t CD 3t BD 5t 400 x 2 3t (100 x )(0 x 100)
令 y t (
5x
唯一解x=15,比较后可得在x=15处取得最大值。 所以,当x=15 km,即D点选在距A点15 km时, 总运费最省.
400 x 2
3) 0,在 0 x 100 的范围内有
2 2 f (2) 16 12(2 a ) 12(1 a )1 5 由于
所以 3 3a 2 5
解得 6 a 6 3 3 所以a的取值范围为 ( 6 , 6 ) 3 3
1．下列说法正确的是( D ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.若函数的最值在区间内部取得,则一定是极值
（1）试写出该企业获得的生产利润w（单位：万元）
与产量x之间的函数关系式；
（2）当产量为多少时，该企业可获得最大利润？最大
利润为多少？
解:(1)因为总利润=总收入-总成本,即w=z-y， 所以,由w=w(x)=18x-(x3-24x2+63x+10), (2)求w=w(x)的导函数
w(x) 3x 2 48x 45.由w(x) 0, 得x1 1, x 2 15.
【提升总结】
求函数最值的四个步骤
第一步 求函数的定义域.
第二步 求 f'(x) ,解方程f'(x)=0 . 第三步 列出关于x,f'(x) ,f(x)的变化表. 第四步 求极值、端点值，确定最值.
探究点3
生活中的最值问题
利用导数解决生活中的最值问题 的基本思路：
生活中的最值 问题 用函数表示的数学问题 解决数 学模型 作答 生活中的最值问题 的答案 用导数解决数学问题
根据x1=8，x2=24列表，分析导函数的符号得
到函数的单调性与极值点
x f′(x) V＝f(x)
(0，8) ＋
8 0 极大值
(8，24) －
x=8是函数的极大值点，相应极大值为 V=f(8)=(48-16)2×8=8 192(cm3). 根据对函数变化规律的讨论可知： 当0<x≤8时，函数V=f(x)是增加的；当8≤x＜ 24时,V=f(x)是减少的. (2)区间（0,24）上任意点的函数值都不超过 f(8),因此x=8是函数的最大值点.此时V=8192cm3
x
-2
f′(x) 20
(2,0) +
0
0
极大值
4 (0, ) 3
4 3
4 ( , 2) 3
2
4
-
0
极小值
+
f(x) -11
4 f(0)=5,f( 3
5
f(-2)=-11,f(2)=5 y=x3-2x2+5在区间[-2，2]上的最大值是5,最小值是-11
103 )= 27 ,
【举一反三 】4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小 求函数y=x
典型例题
例4.已知函数 f ( x) tx 2t x t 1(t 0) (1)求f(x)的最小值h(t). (2)若h(t)<-2t+m对t (0, 2)恒成立,求实数 m的取值范围。
2 2
3 f ( x ) t x t t t 1(t 0) 解:(1) 2
变式训练
函数 f ( x) 2 x3 3(2 a2 ) x2 6(1 a2 ) x 1 (1)若f(x)在R上单调,求实数a的值。 (2)f(x)在 [0, 2] 的最大值为5,求实数a的取值范围.
3 2 2 2 解:(1)由 f ( x) 2 x 3(2 a ) x 6(1 a ) x 1 ,得
即当截去的小正方形的边长为8cm时，得到的容 器容积最大，最大容积为8 192 cm3.
例3
产量与利润
对于企业来说，生产成本、销售收
入和利润之间的关系是个重要的问题.对一家药品生产 企业的研究表明，该企业的生产成本y(单位：万元)和 生产收入z(单位：万元)都是产量x（单位：t）的函数，
分别为y=x3-24x2+63x+10, z=18x.
回顾本节课你有什么收获？
1.函数f(x)在[a,b]上的最值的步骤: (1)求f(x)在(a,b)内的极值. (2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最
列表如下
x (0，1) － 1 0 极小值 (1,15 ) + 15 0 极大值 (15，＋ ∞) －
w'(x)
w(x)
w(0)=-10,w(15)=1 340,故函数w=w(x)的最大值为 w(15)=1340,即该企业的产量为15t时,可获得最大 利润,最大利润为1340万元。
【变式练习 】
如图,铁路线上AB段长
所以a=0
2 2 2 2 f '( x ) 6 x 6(2 a ) x 6(1 a ) 6( x 1 a )( x 1) (2)由 且1 1 a 2 知f(x)在(0,1)上增,在[1,1 a 2 ] 上减
在[1 a2 , ) 上增 所以f(x)的最大值为f(1)或f(2)
b 4a 5， b 3,
所以a=2.
5.已知函数f(x)＝2x3－12x.求函数f(x)的
单调递增区间,并求函数f(x)在[－1,3]上
的最大值和最小值．
解析： f(x)＝2x3－12x， f′(x)＝6x2－12＝6(x＋ 2)(x－ 2)． 令 f′(x)＝0，得 x＝－ 2或 x＝ 2.
3
典型例题
t g′(t) g(t) (0,1) ＋ 1 0 极大值 (1,2) －
所以,g(t)在(0,2)内有最大值g(1)=1-m 由h(t)<-2t+m对t (0, 2) 恒成立,得 1-m<0,即m>1 所以m的取值范围为(1, ) 点评:把恒成立问题转化为求函数最值问题。 注意端点处能否取得,本题中函数有最大 值,因而端点处不能取。
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
X
f′(x)
, 2
＋
2
0
2, 2
2
0
2,
－
＋
f(x)
极大值
极小值
所以函数 f(x)的单调递增区间为 (－∞，－ 2,( 2，＋∞ )． 因为 f(－1)＝ 10,f(3)＝ 1,f( 2)＝－ 8 2， 所以当 x＝ 2时 ,f(x)取得最小值为－8 2； 当 x＝ 3 时,f(x)取得最大值为 18.
1 4 1 3 1 2 2.函数y= x x x ,在［－1,1］上 4 3 2 的最小值为( A )
A.0
B.－2
C.－1
13 D. 12
76
,最小值为 -5 .
3.函数 y = x³ + 3 x²－9x在 [－4 , 4 ]上
的最大值为
4.函数f(x)=ax4-4ax2+b(a＞0,1≤x≤2)的最大值
100km,工厂C到铁路的
距离CA=20km.现在要
C
在AB上某一处D,向C修
一条公路.已知铁路每吨
B
D
A
千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料 从供应站B运到工厂C的运费最省,D应修在何处?
【变式练习答案 】 解析 :设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,
2 km）. CD= 202 x 2 400 x（ 又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨 千米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到 工厂C的总运费为
不小于 函数在这个区间上所有点的函数值都________f(x 0).
最值 函数的最大值和最小值统称为______.
练一练
观察右边一个定义
y
在区间[a,b]上的函数
y=f(x)的图像，你能找
出函数y=f（x）在区间
[a，b]上的最大值、最 小值吗？ f(x2) 是极大 f(x1)、f(x3) 是极小值，_________ 发现图中____________ 值，在区间上的函数的最大值是______ f(b) ，最小值是 f(x3) _______.