最大值和最小值问题
最大值最小值问题
作业布置
课本P69第2题，P71第2题 第 题 课本 第 题
3.给定函数 = f ( x) x∈[a, b]如何求取最值？ y 如何求取最值？ ，
y
y = f ( x)
a
x1
o
X2
X3
b
x
4.函数 = f ( x）的最值与极值的联系 y 与区别？ 与区别？
值可能有多个，而最大（ （1）. 函数的极大（小）值可能有多个，而最大（小）值只 ） 函数的极大（ 有唯一的一个 （2）极大值不一定比极小值大，但是最大值一定比最小值大 ）极大值不一定比极小值大， （3）极值只能在区间的内部取得，不能在端点处取得，而函 ）极值只能在区间的内部取得，不能在端点处取得， 数的最值可以在端点处取得 （4）函数的最值在函数在整个定义域内的整体性质，极 ）函数的最值在函数在整个定义域内的整体性质， 值只是函数在某一点附近的局部性质
最大值与最小值问题(一 最大值与最小值问题 一）
导数与函数的最值问题
情境引入
如图，在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去 如图，在边长为 的正方形铁片的四角上切去 相等的正方形，再把它的边沿虚线折起， 相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无 盖的方底箱子，要求箱子的高度不小于5cm且不大于 不小于5cm 盖的方底箱子，要求箱子的高度不小于5cm且不大于 问当箱子的高度为多少时，容积最大？ 20cm，问当箱子的高度为多少时，容积最大？最大容 积是多少？ 积是多少？
3
y
6
x ∈ [−2,0] −
5
4
y = f ( x)
x ∈ [0,2]
2
x ∈ [−2,2] −
-2 -1
1 0 1 2
x
2.2最大值、最小值问题
函数的极值是函数的局部性质，是比较极 值点附近的函数值得出的？
思考尝试：
1函数的极大值一定是函数的最大值。 （╳ ） 2若函数在其定义域内有极值，则一定有最值（╳） 3若函数在其定义域内有唯一的极值，则此极值一
定是最值。(√ )
2.2
极值反映的是函数在某一点附近的局部 性质,而不是函数在整个定义域内的性质。
但是我们往往更关心函数在某个区间上 哪个值最大，哪个值最小。
问题1、图1，区间[a，b]上极大值f(x2),f(x4),f(x6)极小值 f(x1),f(x3),f(x5 。) 区间[a，b]上最大值 f ( a ) 最小值 f ( x 3 ) 。 区间(a，b)上最大值 无 最小值 f ( x 3 ) 。
变式训练2、已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a; 若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20， 求它在该区间上的最小值。
解: f (x) =-3x2+6x+9
令f ' (x)=0 解 得 x1或 x3
x
-2 （-2，-1）
-1
（-1,2） 2
f (x)
—
0
+
f(x)
2+a
单调递减↘
例 1、求函数 f(x)= 1 x3 4x 4 在[0, 3]上 的最大值与最小值 3
例 1、求函数 f(x)= 1 x3 4x 4 在[0, 3]上 的最大值与最小值 3
解：f'(x)x24
令 f'(x)=0， x24=0， 即 x2
x 0 (0,2)
2
（2,3） 3
最大值最小值问题
解 设房租为每月x元，
租出去的房子有
50
x
180 10
套，
每月总收入为
R(
x)
(
x
20)
50
x
180 10
R(
x)
(
x
20)
68
x 10
R( x)
68
x 10
(x
20)
1 10
70
x 5
R( x) 0 x 350 （唯一驻点）
故每月每套租金为350元时收入最高。
f (2) 34;
f (1) 7;
f (4) 142;
y 2x3 3x2 12x 14
比较得 最大值 f (4) 142，最小值 f (1) 7.
例2 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟 的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟．问 我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最 好）？
注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)
二、应用举例
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
计算 f (3) 23;
0.5公里
s(t )
A
B 4公里
解 (1)建立敌我相距函数关系
设 t 为我军从B处发起 追击至射击的时间(分).
0.5公里
s(t ) A
敌我相距函数 s(t)
B
s(t) (0.5 t)2 (4 2t)2
4公里
(2) 求s s(t)的最小值点.
方法技巧练——最大值与最小值问题
方法技巧练——最大值与最小值问题1.数字排列中的最大值与最小值。
解决数字排列中的最大值与最小值问题,要清楚:一个自然数,数位越多,这个数越大;数位越少,这个数越小。
(1)一个六位的自然数,各个数位上的数字之和是13,这个自然数最大是( 940000),最小是( 100039)。
(2)一个八位的自然数,各个数位上的数字之和是21,这个自然数最大是( 99300000),最小是( 10000299)。
2.根据近似数推断精确数的最大值与最小值。
根据近似数推断精确数的最大值与最小值,要把两种情况考虑完整:这个精确数可能比近似数大,是经过“四舍”得到的;这个精确数也可能比近似数小,是经过“五入”得到的。
再结合数值最大与最小的原则确定每一位上的数字。
(1)一个自然数,省略万位后面的尾数得到的近似数是93万,最大是多少?最小是多少?最大:934999 最小:925000【提示】“四舍五入”后是93万,“四舍”→万位上的数是3→千位上最大是4,其余各位最大是9→最大数。
“五入”→万位上的数是2→千位上最小是5,其余各位最小是0→最小数。
(2)一个整数的近似数是200万,这个数最大是多少?最小是多少?最大:2004999 最小:19950003.两个数的和一定,积的最大值与最小值。
(1)两个数的和是26,这两个数分别是多少时,积最大?13+13=2613×13=169答:积最大是169。
(2)两个数的和是43,这两个数相乘,积最大是多少?21+22=43 并且两个加数最接近21×22=462答:积最大是462。
(3)两个数的和是52,这两个数相乘,积最大是多少?26+26=52 26×26=676答:积最大是676。
(4)用1,4,5,8这四个数字组成两个无重复数字的两位数,再把这两个数相乘,积最大是多少?最小是多少?积最大:先确定两个因数的十位8,5,再根据两个因数的相近原理确定个位81×54=4374积最小:先确定两个因数的十位1,4,再根据两个因数的相近原理确定个位15×48=720答:积最大是4374,最小是720。
§2 2.2 最大值、最小值问题
一、预习教材·问题导入 1．问题：如何确定你班哪位同学最高？ 提示：方法很多，可首先确定每个学习小组中最高的同学， 再比较每组的最高的同学，便可确定班中最高的同学．
2．如图为 y＝f(x)，x∈[a，b]的图像．
问题 1：试说明 y＝f(x)的极值． 提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极 小值． 问题 2：你能说出 y＝f(x)，x∈[a，b]的最值吗？ 提示：函数的最小值是 f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函数的 最大值是 f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的． 问题 3：根据问题 2 回答函数 y＝f(x)，x∈[a，b]的最值可能 在哪些点取得． 提示：在极值点或端点中．
令 f′(x)＝0，解得 x＝59或 x＝3(舍去)． 当 0＜x＜59时，f′(x)＞0，当59＜x＜1 时，f′(x)＜0， 所以 x＝59时，f(x)有最大值 f59＝20 000. 所以当 x＝59时，本年度的年利润最大，最大年利润为 20 000 万元．
[类题通法] 利用导数解决优化问题的一般步骤 (1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式 y＝f(x)． (2)求函数 f(x)的导数 f′(x)，并解方程 f′(x)＝0，即求函数 可能的极值点． (3)比较函数 f(x)在区间端点的函数值和可能极值点的函数 值的大小，得出函数 f(x)的最大值或最小值． (4)根据实际问题的意义给出答案．
二、归纳总结·核心必记 1．最值点 (1)最大值点：函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点 x0 指 的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 不超过 f(x0)． (2)最小值点：函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点 x0 指 的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 不小于 f(x0)． 2．最值 函数的 最大值 与 最小值 统称为最值．
36最大值与最小值问题
二、应用举例
例1 求函数 y 2 x 3 x 12 x 14 的在[3,4]
3 2
上的最大值与最小值 .
解 f ( x ) 6( x 2)( x 1)
解方程 f ( x ) 0, 得
x1 2, x2 1.
f ( 2) 34; f (4) 142;
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解
如图,
y
T
B
设所求切点为P ( x0 , y0 ),
则切线 PT为
P
o
A
y y0 2 x0 ( x x0 ),
2
C
x
2 y0 x0 , A( 1 x0 , 0), C (8, 0), B(8, 16 x0 x02 )
SABC
1 1 2 (8 x0 )(16 x0 x0 ) 2 2
x 180 租出去的房子有 50 套， 10
每月总收入为
x 180 R( x ) ( x 20) 50 10
x R( x ) ( x 20) 68 10
x x 1 R( x ) 68 ( x 20) 70 5 10 10
( 0 x0 8 )
1 2 令 S ( 3 x0 64 x0 16 16) 0, 4 16 解得 x0 , x0 16 (舍去). 3
16 s( ) 8 0. 3
16 4096 s( ) 为极大值. 3 217
16 4096 故 s( ) 为所有三角形中面积的 最大者. 3 27
距最近射击最好）？
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最大值和最小值问题
最大值和最小值问题3.2.2最大值、最小值问题教学过程：一、复习引入：1.极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点二、讲解新课：1.函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象．图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是．一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．说明：⑴在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个⒉利用导数求函数的最值步骤:由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求在内的极值；⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值三、讲解范例：例1求函数在区间上的最大值与最小值例2已知x,y为正实数，且满足，求的取值范围例3.设,函数的最大值为1,最小值为,求常数a,b例4已知,∈(0,+∞).是否存在实数,使同时满足下列两个条件：（1）)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）的最小值是1，若存在，求出，若不存在，说明理由.四、课堂练习：1．下列说法正确的是()A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2.函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x)()A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能3.函数y=，在［－1，1］上的最小值为()A.0B.－2C.－1D.4.函数y=的最大值为()。
第四章 §2 2.2 最大值、最小值问题
面积、体积(容积)的最值问题
[例 3] 某地政府为科技兴市，欲将如图所示的 一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科 技工业园．已知 AB⊥BC，OA∥BC，且|AB|＝|BC| ＝4 km，|AO|＝2 km，曲线段 OC 是以点 O 为顶点 且开口向上的抛物线的一段．如果要使矩形的两边分别落在 AB，BC 上，且一个顶点落在曲线段 OC 上，应如何规划才能使矩形工业园 的用地面积最大？并求出最大的用地面积(精确到 0.1 km2)．
(2)当 x∈[－1,2]时，f(x)<m 恒成立，只需使 f(x)在[－1,2]上的 最大值小于 m 即可．
由(1)知 f(x)极大值＝f(－23)＝5＋2227， f(x)极小值＝f(1)＝72. 又 f(－1)＝121，f(2)7. 所以 m>7，即 m 的取值范围为(7，＋∞)．
求函数的最值 [例 1] 求下列函数的最值． (1)f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5，x∈[－2，＋∞)； (2)f(x)＝12x＋sin x，x∈[0,2π] [思路点拨] 先求函数在给定区间的极值，然后再与端点 值比较，即可确定函数的最值．
[精解详析] (1)f′(x)＝12x2＋6x－36，
元，则总造价的最小值为
()
A．400 元
B．1 200 元
C．1 600 元
D．2 800 元
解析：设总造价为 y 元，池底的一边长 x 米，池底的面积为 8÷2 ＝4(平方米)，池底的另一边长为4x米，池壁的面积为 4x＋4x平 方米，故有 y＝4×300＋4x＋4x×100＝400x＋4x＋1 200(x＞ 0)．y′＝4001－x42， 令 y′＝0 得 x＝2，由 y′ ＞0 得 x ＞2，由 y′＜0 得 0＜x＜2， 即 y 在(0,2)上是减少的，在(2，＋∞)上是增加的，所以当 x＝2 时，y 取得最小值，且 ymin＝2 800. 答案：D
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最大值和最小值问题
3.2.2 最大值、最小值问题教学过程：一、复习引入： 1.极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点 2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点 3.极大值与极小值统称为极值注意以下几点：（�。
┘�值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（��）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（�＃┘�大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而 > （�ぃ┖�数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点二、讲解新课： 1.函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象．图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是．一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．说明：⑴在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件． (4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个⒉利用导数求函数的最值步骤: 由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求在内的极值；⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值三、讲解范例：例1求函数在区间上的最大值与最小值例2已知x,y为正实数，且满足，求的取值范围例
3.设 ,函数的最大值为1,最小值为 ,求常数a,b 例4已知 ,
∈(0,+∞).是否存在实数 ,使同时满足下列两个条件：（1） )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）的最小值是1，若存在，求出，若不存在，说明理由. 四、课堂练习： 1．下列说法正确的是( ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2.函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x) ( ) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能 3.函数y= ，在［－1，1］上的最小值为( ) A.0 B.－2 C.－1 D. 4.函数y= 的最大值为( )。
A. B.1 C. D. 5.设y=|x|3,那么y在区间［－3，－1］上的最小值是( ) A.27 B.－3 C.－1 D.1 6.设f(x)=ax3－6ax2+b在区间［－1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且a>b,则( ) A.a=2,b=29 B.a=2,b=3 C.a=3,b=2 D.a=－2,b=－3
五、小结：⑴函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；⑵函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；⑶闭区间上的连续函数一定有最值；开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.。