《自动控制原理》第四章自学要点
自动控制原理基本知识点和重点难点-第4章
《自动控制原理》课程基本知识点及重点难点分析2011年11月第4章 根轨迹法1、内容提要闭环系统特征方程的根决定着闭环系统的稳定性及主要动态性能。
对于高阶系统而言，其特征根是很难直接求解出来的。
因此，有必要探索不解高次代数方程也能求出系统闭环特征方程的根，进而分析系统闭环特性的有效方法。
根轨迹法就是这样的一种图解方法。
它根据基本法则，利用系统的开环零、极点的分布，绘出系统闭环极点的运动轨迹，形象且直观地反映出系统参数的变化对根的分布位置的影响，并在此基础上对系统的性能进行进一步的分析。
利用根轨迹法分析系统时，根轨迹的绘制是前提。
只有比较准确地绘制出系统的根轨迹，利用根轨迹法及相关的已知条件，得出系统的闭环零极点在s 平面的分布，才能在此基础上运用第3章讲述的时域分析方法，判断系统的稳定性，估算动态性能指标，计算系统稳态误差等。
从不同的角度，根轨迹有几种类型划分：常义根轨迹、广义根轨迹（参数根轨迹）、180根轨迹、0根轨迹等。
而这些不同类型的根轨迹，则是由系统的不同结构（正反馈或负反馈）、不同性质（最小相位或非最小相位）所形成的特征方程的形式决定的。
所以，在绘制根轨迹时，首先要解决的关键问题是系统特征方程的列写。
依照系统的不同结构和性质，将系统的开环传递函数的分子和分母多项式的s 最高次项系数变为+1，其特征方程的形式有如下4种可能：()()*111mii njj K s z s p ==+±=±+∏∏ （4-1）这4种可能又归结为()()()*1*11,0mii njj s z KK s p ==+=±>+∏∏ （4-2）根据式（4-2）等号右端的符号就可确定相应的根轨迹类型——“+”对应0︒根轨迹，“-”对应180︒根轨迹；式（4-2）中的*K 为系统的根轨迹放大系数或系统的其它参数，i z -和j p -分别为等效的系统开环零点和极点。
2、基本内容闭环系统特征方程的根决定着闭环系统的稳定性及主要动态性能。
自动控制原理 第4章
3s K g 0 s1, 2 j 2
9.出射角与入射角 出射角：位于复平面上的开环极点，根轨迹离开此极点与正实轴的夹角。 入射角：位于复平面上的开环零点，根轨迹进入此零点与正实轴的夹角。
出 180 ( i i )
j 1 m i 1
m
n 1
入 180 ( i i )
σ
一般来说，两个开环极点之间会有一个分离点，两个有限开环零点 之间会有一个会合点。
' ' 计算分离点和会合点的依据：N ( s ) D( s ) D ( s ) N ( s ) 0
求出的重根要代入原方程，只有当Kg为正，才是分离点和会合点。
例 已知系统的开环传递函数如下所示，请求出根轨迹的分离点和会合点。
K
s( s p1 )( s p2 )
解：
基本思想: 根据幅值条件确定根轨迹 上某一点对应的增益，由 相角条件确定根轨迹上的 某点位置。
1 1 2 3 180 ( 2k 1)
在上图，各相角必满足 LLL K g0 1 2 3 再按幅值条件求得该点的根轨迹传递系数 l1
一般而言，绘制根轨迹时的可变参量可以是系统的任意参量。但最 常用的可变参量是系统的开环传递系数Kg（也称为根轨迹增益）。 Kg——常规根轨迹 Kg以外的参数——参量根轨迹
以上二阶系统的根轨迹可以用解析法来求得，但对于高阶系统来说，解
析法就不适用了，工程上常采用图解的方法来绘制。
4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
( s 1) Gk ( s ) K g ( s 0.1)( s 0.5 )
解：系统有一个开环零点为-1，有两个开环极点分别为-0.1和-0.5。 根据根轨迹绘制原则可知，根轨迹与实轴相重合的区间为 [-0.1~-0.5],[-1~∞]。 求根轨迹的分离点和会合点：
自动控制原理_第四章
控制系统的根轨迹分析法
主要问题： （一）根轨迹的基本概念 （二）根轨迹的绘制规则 （三）利用根轨迹分析系统性能
一、根轨迹基本概念
1948年，伊凡思（W.R.Evans）根据反馈系统中开、闭环传递函数间 的内在联系，提出了求解闭环特征方程根的比较简易的图解方法，称之 为根轨迹法。因为根轨迹法直观形象，所以在控制工程中获得了广泛应 用。
根轨迹与原系统的根轨迹完全相同，而借助于
G* (s) 的形式，可以利用常规根轨迹的绘制方
法绘制系统的根轨迹，如右图所示。
（2）零度根轨迹
在负反馈条件下根轨迹方程为：G( s) H ( s) 1 ，
相角条件为 G(s) H (s) (2k 1) （k 0,1,2,），因此称相应的常规根
正实轴的夹角，称为起始角，以
利用相角条件求出。
切线与正实轴的夹角，称为终止角，以 zi 表示。起始角、终止角可直接
i
表示；根轨迹进入开环复数零点处的 p
m n pi ( pi z j pi p j ) j 1 j 1 ( j i ) m n ( ) zi z j zi p j zi j 1 j 1 ( j i )
*
K
*
(s z )
i i 1 j
m
(s p )
j 1
n
( s )
G( s) 1 G( s) H ( )( s zm ) 1 ( s p1 )(s p2 )( s pn )
K K*
法则5
k 0,1,2, , n m 1
根轨迹的分离点：两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又 分离的点，称为根轨迹的分离点，分离点的坐标是下列方程的解
自动控制原理 第四章.
s1.2 1 1 K1 1 1 2 K
第 4章
根轨迹
根轨迹的基本概念(续)
s1 0 ① K 0 s 2 2
j
2
② K 0.5 s1 s2 1 ③ K 1 s1 , 2 1 j ④ K 2.5 s1 , 2 1 j 2 p2
由于实际控制系统闭环特征方程的系数或为已知
实数，或为根轨迹增益Kg 的函数，所以当Kg 由0→∞
连续变化时，闭环特征根的变化必然也是连续的，所
以根轨迹具有连续性。 系统闭环特征方程的系数仅与系统的参数有关。
对于实际控制系统而言，这些参数都是实数。具有实
系数的闭环特征方程的根为共轭复数的形式，必然对
称于实轴。因而，根轨迹也必然பைடு நூலகம்于实轴对称。
s pi s zj
j 1
n
而 ( s z j ) ( s pi ) ( 2 K 1) ——相角方程
j 1 i 1
m
n
第 4章
根轨迹
根轨迹的基本概念(续)
若s平面上的点是闭环极点，则它与zj 、pi所组成
的相量必定满足上述两方程，而且模值方程与Kg有
第四章 根轨迹法
§4-1 根轨迹的基本概念 §4-2 绘制根轨迹的基本法则 §4-3 广义根轨迹
主要内容
1．根轨迹基本概念和根轨迹方程
2．绘制常规根轨迹的九大法则
3．参量根轨迹与零度根轨迹
第 4章
根轨迹
重点与难点
重 点
1、绘制常规根轨迹的九大法则 2、参量根轨迹与零度根轨迹 3、控制系统根轨迹法分析
§4—2 绘制根轨迹的基本法则
绘制根轨迹的基本法则（续）
自动控制原理第四章
2003.6
第二节 绘制根轨迹的基本法则
前面介绍了求根轨迹的分析法和试探法。对于高 阶系统来说，采用这两种方法绘制系统的根轨迹的过程 仍是十分麻烦的。但是，只要掌握根轨迹的一些共性及 某些特征点，就可以不用或少用试探法而又较快地绘制 出复杂系统的根轨迹，从而达到事半功倍的效果。 本节将根据根轨迹方程讨论根轨迹与开环系统零、 极点的关系，讨论根轨迹的特征点、渐近线和其它的某 些性质，从而归纳出绘制根轨迹的十条基本法则。现分 述如下：
Kg
(s p )
j
n
(s z )
i i 1
j 1 m
s p1 s p2 s pn s z1 s z2 s zm
(4 11)
2003.6
式中，分子为各开环极点至测试点s所形成的向量长度之积； 分母则为各开环零点对测试点s所形成的向量长度之积。
k = 0，1，
(s z )
Kg
2003.6
m
(s p )
j 1 j
i 1 n
i
1
(4 9)
相角条件方程为
(s zi ) ( s p j ) 1800 2k+1
i 1 j 1 m n
k = 0,1,2,
(4 10)
比较式（4－9）、（4－10）可看出，幅值条件方程（4－9） 与根轨迹增益Kg有关，而相角条件方程（4－10）却与Kg无关。 所以，s平面上的某个点，只要满足相角条件方程（4-10），则 该点比在根轨迹上。换言之，它就是根轨迹上的一个点。至于该 点所对应的Kg值，可从幅值条件方程求解得出。这意味着：s平 面上满足相角条件方程的一切点，都是对应于Kg取不同数值时的 闭环特征根，即根轨迹。总之，在s平面上满足相角条件的点， 必定也同时满足幅值条件。因此，相角条件是确定根轨迹的充分 而必要条件。
自动控制原理第四章
§4-1 根轨迹的基本概念与绘制条件
一、根轨迹的基本概念 二、根轨迹的绘制条件
一、根轨迹的基本概念
例1：单位反馈二阶系统
K* Wk = s × ( s + 2)
K* WB = 2 s + 2s + K *
K* s ( s + 2)
−
s 2 + 2s + K ∗ = 0 特征方程：
特征根：
s1 = −1 + 1 − K , s2 = −1 − 1 − K
l1 = 1 L1 L2 L3 K g
α1 − ( β1 + β 2 + β 3 ) = −180
s1 L2
L3
β3
β2
l1
α1 L1
β1
l1 = 2.42 L1 = 3.03 L2 = 2.12 L3 = 2.26
α1 = 119.2o β1 = 135.9o β 2 = 94.8o β 3 = 68.8o
∑
j =1
j
k
∑
i =1
i
k
∑ P −∑ Z
j =1 j i =1
n
m
i
= ( n − m )σ k ⇒
∑ P −∑ Z
σk =
j =1 j i =1
n
m
i
n−m
二、绘制根轨迹的一般法则(*)
例3
WK ( s) = K s ( s + 1)( s + 2 )
jω
绘制根轨迹。 ①起点:0，-1，-2 终点：无穷远 ②实轴分支： [-1,0] [-2,-∞]
分支数等于开环极点数n（特征方程阶数）。 由实系数特征方程知，特征根不是实根，就 是共轭复根，故根轨迹一定对称于实轴。
自动控制原理第4章专业知识讲座
14 3.74, k 60
所以,与虚轴交点旳坐标为±j 3.74 13
(2) 利用劳斯判据
将系统特征方程展开为:
s3 5s2 14s (10 K ) 0
劳斯阵列表为:
s3 1 14
s2 5 10+K
s1 70 (10 K) =0 5
5s 2 70 0
s1,2 j3.74
j
渐近线与实轴旳交点
-3
-1 0
渐解得近d求1a为ad线11分,复2与(离d122数9实3k720点012，d轴1.151)舍旳kdj去夹112303。角,1
19
②求仅有一种分离点时旳值，即求方程
2d 2 (a 3)d 2a 0 有重根时旳a 值
(a 3) (a 3) 2 16a
d 4
s 0 10+K
K = 60 14
补充规则
❖ 规则八：闭环极点之和
系统满足n-m≥2时,系统闭环极点之和等于 开环极点之和
❖ 规则九：闭环极点之积
系统旳n-m≥２且有开环零点位于原点时,系 统闭环极点之积就等于开环极点之积
15
返回
§4-3 控制系统根轨迹旳绘制
例⑥4根-2解轨：：迹闭系与环统虚系旳轴统开旳旳环交特传点征递方函程数如为下，试绘制
j
若方程有重根，则有
(a 3) 2 16a 0
即a 1或a 9。 -10
-5
a 1时，零极点对消，
故a 9为所求。
0
20
例设4-s5 点设在系根统轨旳迹开上环，传则递应函满数足如相下角，条试件绘制系
统旳根(s轨迹1) ， 并(s证明0.复1) 平面(s上旳0.5根) 轨 1迹80是 圆。
p④3K⑤d用d*(ssssss极-511-16350124系5分36KsK试6885.095(点00*3G115334*6.s1统4.离63探3976K50(-K34..-s576*旳0.*点d01[法)(556d01021H+)d5.0.6根0120((j求.2.(6.05ss4216旳1s51K2轨-)d得2K235KK0K3*起KK66*.1.)迹12***分56)*13s*a5始(0302s)(5图s② 渐离..SsKa300110渐2K角s(-662*0j1近四点*3d39近aa51K为K1023()514条线3为*(2s*线2(2sKK0Ks62k5161渐与s141***..与2353342(6856310014054s近实024)K11d,实0(0)1①*,s极零线轴1jj4031a22)轴1K.)2a17根13.点点③ 轨 及,旳4641*s旳k921(轨0)K实迹-夹s(0，jj交s154*43迹)位轴15角j0，52， 336点5003054-,K(K1)有d0， ,)5)3于上为6无,**3.12之80)5K0旳6,穷110支3，间*3(j根s-5远23..j656)]
自动控制原理基本知识点和重点难点第4章
《自动控制原理》课程基本知识点及重点难点分析20XX年11月第4章 根轨迹法1、内容提要闭环系统特征方程的根决定着闭环系统的稳定性及主要动态性能。
对于高阶系统而言，其特征根是很难直接求解出来的。
因此，有必要探索不解高次代数方程也能求出系统闭环特征方程的根，进而分析系统闭环特性的有效方法。
根轨迹法就是这样的一种图解方法。
它根据基本法则，利用系统的开环零、极点的分布，绘出系统闭环极点的运动轨迹，形象且直观地反映出系统参数的变化对根的分布位置的影响，并在此基础上对系统的性能进行进一步的分析。
利用根轨迹法分析系统时，根轨迹的绘制是前提。
只有比较准确地绘制出系统的根轨迹，利用根轨迹法及相关的已知条件，得出系统的闭环零极点在s 平面的分布，才能在此基础上运用第3章讲述的时域分析方法，判断系统的稳定性，估算动态性能指标，计算系统稳态误差等。
从不同的角度，根轨迹有几种类型划分：常义根轨迹、广义根轨迹（参数根轨迹）、180根轨迹、0根轨迹等。
而这些不同类型的根轨迹，则是由系统的不同结构（正反馈或负反馈）、不同性质（最小相位或非最小相位）所形成的特征方程的形式决定的。
所以，在绘制根轨迹时，首先要解决的关键问题是系统特征方程的列写。
依照系统的不同结构和性质，将系统的开环传递函数的分子和分母多项式的s 最高次项系数变为+1，其特征方程的形式有如下4种可能：()()*111mii njj K s z s p ==+±=±+∏∏ （4-1）这4种可能又归结为()()()*1*11,0mii njj s z KK s p ==+=±>+∏∏ （4-2）根据式（4-2）等号右端的符号就可确定相应的根轨迹类型——“+”对应0︒根轨迹，“-”对应180︒根轨迹；式（4-2）中的*K 为系统的根轨迹放大系数或系统的其它参数，i z -和j p -分别为等效的系统开环零点和极点。
2、基本内容闭环系统特征方程的根决定着闭环系统的稳定性及主要动态性能。
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、自学提纲
1、根轨迹是如何提出来的？在分析自动控制系统方面，它什么优点？
2、根轨迹的概念、含义，什么是根轨迹方程？什么是常规根轨迹（180°根轨
迹）？
3、复习复向量的加、减、乘、除、求模值、求相角运算，理解根轨迹方程的模值条
件和相角条件。
4、根轨迹的绘制法则1，根轨迹的分支数、对称性和连续性。
5、根轨迹的绘制法则2，根轨迹的起点和终点。
6、根轨迹的绘制法则3，根轨迹在实轴上的分布。
7、根轨迹的绘制法则4，根轨迹的渐近线。
8、根轨迹的绘制法则5，根轨迹的分离点和分离角。
9、根轨迹的绘制法则6，根轨迹与虚轴的交点。
10、根轨迹的绘制法则7，根轨迹的出射角。
11、根轨迹的绘制法则8，闭环特征方程的极点之和=开环极点之和。
12、参数根轨迹（广义根轨迹）的绘制，与常规根轨迹的绘制有何不同？
13、正反馈根轨迹的绘制（0°根轨迹），与负反馈根轨迹的绘制有何不同？
14、利用闭环主导极点估算系统的性能。
15、闭环偶极子对根轨迹的影响。
16、闭环偶极子对根轨迹的影响。
17、附加开环零点对根轨迹的影响。
18、附加开环极点对根轨迹的影响。
19、掌握利用Matlab绘制控制系统的根轨迹，并与手绘图形进行比较。
二、讨论分10个小组（同第一章讨论），习题共11道，第一题所有小组都做，后面10题，指定各小组做1题（可抽签选择）。
三、每组讨论共同的题目，所有成员独自完成一份手写报告，准备在课堂上讲解。
报告需要指出每道题目涉及到的知识点（见自习提纲），将计算步骤详细完整地写出，并将手工绘图结果与Matlab绘图结果对比。
字体工整，能以此报告为讲稿通俗易懂地在课堂上讲解给其他同学听。
四、课堂讨论时，教师随机选定每组的一名或多名同学讲解，如果讲解的不好，同组的其他同学可补充。
给每组一个评定成绩，作为该组所有成员的讨论成绩。
习 题
1. 已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为()r
(1)(10)
K G s s s s =
++，画出该系统的根轨迹图，确
定产生闭环纯虚根的开环增益，并计算出此时所有的闭环极点。
详细描述绘制根轨迹的步骤。
(各小组必做题)
2． 已知单位负反馈控制系统开环传递函数如下，画出相应的闭环根轨迹。
（需计算出射角） （1）()()
r 2225
K s G s s s +=++
（2）()()
r 220(20200)
K s G s s s s +=++
3 . 设单位负反馈控制系统的开环传递函数
()()()
102.0101.0++=
s s s K
s G
（1）画出系统的根轨迹图； （2）确定系统临界稳定的开环增益；
（3）确定与系统临界阻尼比相应的开环增益。
4. 设系统开环传递函数如下，试画出以参量b 为变量（b 从零变到无穷时）的系统根轨迹图。
（1）()()()b s s s G ++=
420
（2）()()()
1030++=
s s b s s G 5. 设控制系统开环传递函数
()()()()
4212r +++=
s s s s K s G 试分别画出正反馈系统和负反馈系统的根轨迹图，并指出它们的稳定情况有何不同。
6. 设单位负反馈控制系统的开环传递函数()()()
21r +-=s s s K s G ，试绘制系统根轨迹图，并求出使系统产生重实根和纯虚根的r K 值。
7.设控制系统开环传递函数
()()()()
4212r +++=
s s s s K s G 试分别画出正反馈系统和负反馈系统的根轨迹图，并指出它们的稳定情况有何不同。
8. 某单位负反馈系统的开环传递函数为
()()()
42r
++=
s s s K s G
（1）绘制r K 由零到无穷变化的根轨迹图； （2）根据根轨迹，分析系统的稳定性；
（3）确定系统为欠阻尼状态的r K 取值范围； （4）系统产生持续等幅振荡时的r K 值和振荡频率； （5）求主导极点5.0=ζ时的r K 值。
9. 某单位负反馈系统的开环传递函数为
()()()
r
225K G s s s s =
++
(1) 概略绘出闭环系统的根轨迹图，并判断闭环系统的稳定性；
(2) 如果改变反馈通道的传递函数，使()12H s s =+，试判断()H s 改变后的系统稳定性，研究由
于()H s 改变所产生的效应。
10. 设控制系统如下图所示，其中()c G s 可从t K s ⋅，2
a K s ⋅和2
20
a K s s ⋅+三种传递函数中任选一种，你
选择哪一种？为什么？
11. 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为
2(1)
(),0,0()
K s G s a K s s a +=
>>+
试分别画出a=10，9, 5，1 时系统的根轨迹图。
研究a 的大小对根轨迹图的影响。