北京市东城区2015届高三上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案
北京市东城区示范校2015届高三上学期综合能力测试数学(文)试卷及答案
北京市东城区普通高中示范校2015届上学期高三年级综合能力测试数学试卷（文科）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共150分。
考试时长120分钟。
第I 卷（选择题 共40分）一、选择题。
（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知集合{}22|<<-∈=x R x A ，{}034|2≥+-∈=x x R x B ，则=⋂B A （ ）A. ]1,2(-B. ()1,2-C. ()2,2-D. ()),3[2,∞+⋃∞-2. 已知复数i a z 21+=，i z 212-=，若21z z 是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A. 2-B. 1C. 2D. 43. “3π=x ”是“21cos =x ”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 下图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为55=s ，则在判断框中应填入关于k 的判断条件是（ ）A. 11≤kB. 10≤kC. 9≤kD. 8≤k5. 已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个棱锥的侧面积是（ ）A. 24cmB. 212cmC. 2248cm +D. 232244cm ++6. 已知()a x x f x ++=2||2有唯一的零点，则实数a 的值为（ ）A. -3B. -2C. -1D. 07. 如图，直线2-=x y 与圆03422=+-+x y x 及抛物线x y 82=依次交于A 、B 、C 、D 四点，则=+||||CD AB （ ）A. 13B. 14C. 15D. 168. 已知()⎪⎩⎪⎨⎧>+--≤+-=,0,32,0,3422x x x x x x x f 不等式()()x a f a x f ->+2在[]1,+a a 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()2,-∞-B. ()0,∞-C. ()2,0D. ()0,2-第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题。
北京市东城区2015届高三上学期期末考试数学(文)试题(已解析)
东城区2014-2015学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}12A x x =∈-≤≤Z ，集合{}420，，=B ，则A B =（A ）{}02， （B ）{}420，， （C ）{}4,2,0,1- （D ）{}4,2,1,0,1- 【答案】A 【解析】因为{}1,0,1,2A =-，所以{}0,2A B =故答案为：A 【考点】 集合的运算 【难度】1（2）下列函数中，既是奇函数，又在区间(0+)∞，上为增函数的是 （A ）x y ln = （B ）3y x = （C ）3x y = （D ）x y sin = 【答案】B【解析】选项中的函数是奇函数的是3y x =、sin y x =，是奇函数且又在(0,)+∞上为增函数的是3y x = 故答案为：B 【考点】 函数综合 【难度】1（3）设x ∈R ，则“1x >”是“21x >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】21x >，则1x >或1x <-，所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件。
故答案为：A【考点】充分条件与必要条件 【难度】1（4）当3n =时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）6 （B ）8 （C ）14 （D ）30【答案】C 【解析】1k =，1022S =+=； 2k =，2226S =+=； 3k =，36214S =+=； 43k =>，所以输出14故答案为：C 【考点】算法和程序框图 【难度】 1 （5）已知3cos 4α=，(,0)2απ∈-，则sin 2α的值为（A ）38 （B ）38- （C （D ）【答案】D【解析】 因为02π⎛⎫-⎪⎝⎭，，所以sin 0α<，所以sin α=，所以sin 22sin cos ααα== 故答案为：D 【考点】 恒等变换综合 【难度】2（6）如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，某同学首先选定了与A ，B 不共线的一点C ，然后给出了四种测量方案：（△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c ） ①测量A ，C ，b ②测量a ，b ，C ③测量A ，B ，a ④测量a ，b ，B 则一定能确定A ，B 间距离的所有方案的序号为（A ）①②③ （B ）②③④ （C ）①③④ （D ）①②③④ 【答案】A 【解析】选项①，在ABC ∆中，()B A C π=-+，所以sin sin()B A C =+,由正弦定理得sin()sin b c A C C=+，所以sin sin()b Cc A C =+选项②，由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，所以c =选项③，在ABC ∆中，()C A B π=-+，所以sin sin()C A B =+由正弦定理得sin sin()a cA AB =+，所以sin()sin a A B c A +=选项④，用余弦定理222cos 2a c b B ac+-=解得的c ，可能有两个值。
北京市东城区2015届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
东城区2014-2015学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{0,1}A =，2{|4}B x x =≤ ，则AB =（A ）{0,1} （B ） {0,1,2} （C ）{|02}x x ≤< （D ）{|02}x x ≤≤ （2）在复平面内，复数i1+i对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）设a ∈R ，则“2a a >”是“1>a ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若493=+a a ，则11S 等于（A ）12 （B ）18 （C ）22 （D ）44 （5）当4n =时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）6 （B ）8 （C ）14 （D ）30（6）已知函数13log,0,()2,0,xx xf xx>⎧⎪=⎨⎪≤⎩若1()2f a>，则实数a的取值范围是（A）(1,0)(3,)-+∞（B）(1-（C）3(1,0)(,)3-+∞（D）(1,)3-（7）在空间直角坐标系O xyz-中，一个四面体的顶点坐标为分别为(0,0,2)，(2,2,0)，(0,2,0)，(2,2,2)．画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到正视图可以为（A）（B）（C）（D）（8）已知圆22:2C x y+=，直线:240l x y+-=，点00(,)P x y在直线l上．若存在圆C 上的点Q，使得45OPQ∠=（O为坐标原点），则x的取值范围是（A）[0,1]（B）8[0,]5（C）1[,1]2-（D）18[,]25-第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
【真题】2015-2016年北京市东城区高三(上)期末数学试卷(文科)与答案
2015-2016学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={1，2，m}，B={3，4}．若A∩B={3}，则实数m=（）A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣2，x）．若+与﹣平行，则实数x的值是（）A．4 B．﹣1 C．﹣44．（5分）经过圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且与直线2x﹣y=0平行的直线方程是（）A．2x﹣y﹣3=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2x﹣y+3=0 D．x+2y+1=05．（5分）给出下列函数：①y=log2x；②y=x2；③y=2|x|④．其中图象关于y轴对称的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④6．（5分）“sin2α﹣cos2α=1”是“α=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某程序框图如图所示，当输入的x的值为5时，输出的y值恰好是，则在空白的处理框处应填入的关系式可以是（）A．y=x3 B．y=3x C．y=3x D．8．（5分）已知函数f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）与g（x）=x+1的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．B．[1，2]C．D．[﹣1，1]二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线的离心率为．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，B=45°，面积S=2，则a=；b=．11．（5分）100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在[50，70）中的学生人数是．12．（5分）设某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为13．（5分）已知点P（x，y）的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|OP|的最大值等于．14．（5分）纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以A0，A1，A2，B1，B2，…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A系列和B系列，其中An（n∈N，n≤8）系列的幅面规格为：①A0，A1，A2，…，A8所有规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表示）的比例关系都为；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格，A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格．现有A0，A1，A2，…，A8纸各一张．若A4纸的宽度为2dm，则A0纸的面积为dm2；这9张纸的面积之和等于dm2．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=2，S3=12．（I）求数列{a n}的通项公式；，S k成等比数列，求正整数k的值．（II）若a3，a k+116．（13分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）在一个周期内的部分对应值如下表：（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）+2sinx的最大值和最小值．17．（13分）某中学从高三男生中随机抽取100名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示．（Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；（Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行体能测试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进行测试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求：第4组中至少有一名学生被抽中的概率．组号分组频数频率第1组[160，165）50.050第2组[165，170）①0.350第3组[170，175）30②第4组[175，180）200.200第5组[180，185]100.100合计100 1.0018．（13分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=3AB．（Ⅰ）求证：平面ACE⊥平面CDE；（Ⅱ）在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19．（14分）已知函数f（x）=x﹣ae x，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程；（Ⅱ）若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数g（x）=x3，请写出曲线y=f（x）与y=g（x）最多有几个交点．（直接写出结论即可）20．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点，且满足a+b=3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）斜率为的直线交椭圆C于两个不同点A，B，点M的坐标为（2，1），设直线MA与MB的斜率分别为k1，k2．①若直线过椭圆C的左顶点，求此时k 1，k2的值；②试探究k1+k2是否为定值？并说明理由．2015-2016学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={1，2，m}，B={3，4}．若A∩B={3}，则实数m=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵集合A={1，2，m}，B={3，4}，A∩B={3}，∴m=3，故选：C．2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），位于第三象限．故选：C．3．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣2，x）．若+与﹣平行，则实数x的值是（）A．4 B．﹣1 C．﹣4【解答】解：+=（﹣1，2+x）．﹣=（3，2﹣x），∵+与﹣平行，∴3（2+x）+（2﹣x）=0，解得x=﹣4．4．（5分）经过圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且与直线2x﹣y=0平行的直线方程是（）A．2x﹣y﹣3=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2x﹣y+3=0 D．x+2y+1=0【解答】解：圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心（1，﹣1），与直线2x﹣y=0平行的直线的斜率为：2，所求直线方程为：y+1=2（x﹣1）．∴2x﹣y﹣3=0．故选：A．5．（5分）给出下列函数：①y=log2x；②y=x2；③y=2|x|④．其中图象关于y轴对称的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④【解答】解：①y=log2x的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数；②y=x2；是偶函数，图象关于y轴对称，满足条件．③y=2|x|是偶函数，图象关于y轴对称，满足条件．④是奇函数，图象关于y轴不对称，不满足条件，故选：B．6．（5分）“sin2α﹣cos2α=1”是“α=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：sin2α﹣cos2α=1，化为=，∴=或，k∈Z．当k=0时，可得α=或．∴“sin2α﹣cos2α=1”是“α=”必要不充分条件，7．（5分）某程序框图如图所示，当输入的x的值为5时，输出的y值恰好是，则在空白的处理框处应填入的关系式可以是（）A．y=x3 B．y=3x C．y=3x D．【解答】解：由题意，执行程序框图，有x=5不满足条件x≤0，有x=x﹣2=3不满足条件x≤0，有x=x﹣2=1不满足条件x≤0，有x=x﹣2=﹣1满足条件x≤0，此时经相应关系式计算得y=，检验4个选项，有A，y=（﹣1）3=﹣1，不正确．B，y=3×（﹣1）=﹣3，C，y=3﹣1=，D，y==﹣．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）与g（x）=x+1的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．B．[1，2]C．D．[﹣1，1]【解答】解：若函数f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）与g（x）=x+1的图象上存在关于x轴对称的点，则方程a﹣x2=﹣（x+1）⇔a=x2﹣x﹣1在区间[1，2]上有解，令g（x）=x2﹣x﹣1，1≤x≤2，由g（x）=x2﹣x﹣1的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，故当x=1时，g（x）取最小值﹣1，当x=2时，函数取最大值1，故a∈[﹣1，1]，故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线的离心率为．【解答】解：因为双曲线，所以a=4，b=3，所以c=，所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，B=45°，面积S=2，则a=1；b=5．【解答】解：由题意可得S=acsinB=×a×4×=2，解得a=1，由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2acsinB，=1+32﹣2×1×4×=25，解得b=5．故答案为：1；5．11．（5分）100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在[50，70）中的学生人数是25．【解答】解：根据频率分布直方图中频率和为1，得；10（2a+3a+7a+6a+2a）=1，解得a=；∴模块测试成绩落在[50，70）中的频率是10（2a+3a）=50a=50×=，∴对应的学生人数是100×=25．故答案为：25．12．（5分）设某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为4【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积S==6，棱锥的高h=2，故棱锥的体积V==4，故答案为：4．13．（5分）已知点P（x，y）的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|OP|的最大值等于．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如右图所示，则OB的距离最大，由，即，即B（1，3），则．故答案为：．14．（5分）纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以A0，A1，A2，B1，B2，…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A系列和B系列，其中An（n∈N，n≤8）系列的幅面规格为：①A0，A1，A2，…，A8所有规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表示）的比例关系都为；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格，A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格．现有A0，A1，A2，…，A8纸各一张．若A4纸的宽度为2dm，则A0纸的面积为64dm2；这9张纸的面积之和等于dm2．【解答】解：可设A i纸张的长度为y i，i=0，1， (8)由A4纸的宽度为2dm，且纸张的幅宽和长度的比例关系都为，可得y4=2，由题意可得y0=2•24=32，即有A0纸的面积为32×2=64dm2；由A0，A1，A2，…，A8纸9张纸的面积构成一个以64为首项，为公比的等比数列，可得这9张纸的面积之和为=dm2．故答案为：64，．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=2，S3=12．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若a3，a k，S k成等比数列，求正整数k的值．+1【解答】（共13分）解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由题意知a2+a3=10，即2a1+3d=10，由a1=2，解得d=2．所以a n=2+2（n﹣1）=2n，即a n=2n，n∈N*．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以．又a3=2×3=6，a k+1=2（k+1），由已知可得，即（2k+2）2=6（k2+k），整理得k2﹣k﹣2=0，k∈N*．解得k=﹣1（舍去）或k=2．故k=2．…（13分）16．（13分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）在一个周期内的部分对应值如下表：（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）+2sinx的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由表格可知，f（x）的周期，所以．又由sin（2×0+φ）=1，且0＜φ＜2π，所以．所以．…（6分）（Ⅱ）g（x）=f（x）+2sinx=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=．由sinx∈[﹣1，1]，所以当时，g（x）有最大值；当sinx=﹣1时，g（x）有最小值﹣3．…（13分）17．（13分）某中学从高三男生中随机抽取100名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示．（Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；（Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行体能测试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进行测试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求：第4组中至少有一名学生被抽中的概率．组号分组频数频率第1组[160，165）50.050第2组[165，170）①0.350第3组[170，175）30②第4组[175，180）200.200第5组[180，185]100.100合计100 1.00【解答】（共13分）（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为0.35×100=35人，第3组的频率为．解：即①处的数据为35，②处的数据为0.300．…（3分）（Ⅱ）因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样，在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：人；第4组：人；第5组：人．所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，人．…（6分）（Ⅲ）设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的位同学为C1，则从6位同学中抽两位同学有15种可能，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）．其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，C1），（B2，C1），（B1，B2）9种可能．所以第4组的两位同学至少有一位同学被选中的概率P=．…（13分）18．（13分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=3AB．（Ⅰ）求证：平面ACE⊥平面CDE；（Ⅱ）在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解答】（共13分）证明：（Ⅰ）因为CD⊥平面ADE，AE⊂平面ADE，所以CD⊥AE．又因为AE⊥DE，CD∩DE=D，所以AE⊥平面CDE．又因为AE⊂平面ACE，所以平面ACE⊥平面CDE．…（7分）（Ⅱ）在线段DE上存在一点F，且，使AF∥平面BCE．设F为线段DE上一点，且．过点F作FM∥CD交CE于M，则．因为CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，所以CD∥AB．又FM∥CD，所以FM∥AB．因为CD=3AB，所以FM=AB．所以四边形ABMF是平行四边形．所以AF∥BM．又因为AF⊄平面BCE，BM⊂平面BCE，所以AF∥平面BCE．…（13分）19．（14分）已知函数f（x）=x﹣ae x，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程；（Ⅱ）若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数g（x）=x3，请写出曲线y=f（x）与y=g（x）最多有几个交点．（直接写出结论即可）【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x﹣e x，f′（x）=1﹣e x．当x=0时，y=﹣1，又f′（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=﹣1；（Ⅱ）由f（x）=x﹣ae x，得f′（x）=1﹣ae x．当a≤0时，f'（x）＞0，此时f（x）在R上单调递增；当x=a时，f（a）=a﹣ae a=a（1﹣e a）≤0，当x=1时，f（1）=1﹣ae＞0，所以当a≤0时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点；当a＞0时，令f'（x）=0，得x=﹣lna．f（x）与f'（x）在区间（﹣∞，+∞）上的情况如下：若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，则有f（﹣lna）=0，即﹣lna﹣a e﹣lna=0．解得．综上所述，当a≤0或时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点；（Ⅲ）曲线f（x）=x﹣ae x与曲线g（x）=x3最多有3个交点．20．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点，且满足a+b=3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）斜率为的直线交椭圆C于两个不同点A，B，点M的坐标为（2，1），设直线MA与MB的斜率分别为k1，k2．①若直线过椭圆C的左顶点，求此时k1，k2的值；②试探究k1+k2是否为定值？并说明理由．【解答】（共14分）解：（Ⅰ）由椭圆过点，则．又，故．所以椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）①若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是，由解得或故，．…（8分）②k1+k2为定值，且k1+k2=0．设直线的方程为．由消y ，得x 2+2mx +2m 2﹣4=0．当△=4m 2﹣8m 2+16＞0，即﹣2＜m ＜2时，直线与椭圆交于两点． 设A （x 1，y 1）．B （x 2，y 2），则x 1+x 2=﹣2m ，．又，，故=．又，，所以（y 1﹣1）（x 2﹣2）+（y 2﹣1）（x 1﹣2）==x 1x 2+（m ﹣2）（x 1+x 2）﹣4（m ﹣1）=2m 2﹣4+（m ﹣2）（﹣2m ）﹣4（m ﹣1）=0． 故k 1+k 2=0．…（14分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()mf q = ②02b x a->，则()m f p =． xxxx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xf xfxx<O-=f (p)f(q)()2b f a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
2015北京市东城区数学一模文及答案(最终版)
北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（一）高三数学 （文科）本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） （1）在复平面内，复数12i z =-对应的点的坐标为（A ）(1,2) （B ）(2,1) （C ） (1,2)- （D ）(2,1)-（2）双曲线2214x y -=的渐近线方程为（A ）12y x =±（B ）y =（C ）2y x =± （D ）y =（3）记函数)(x f 的导函数为)(x f '，若()f x 对应的曲线在点))(,(00x f x 处的切线方程为1y x =-+，则（A ）0()=2f x ' （B ）0()=1f x ' （C ）0)(0='x f（D ）0()=1f x '-（4）已知命题p ：直线a ，b 不相交，命题q ：直线a ，b 为异面直线，则p 是q 的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）在区间[0,2]上随机取一个实数x ，则事件“310x -<”发生的概率为（A ）12 （B ）13（C ）14（D ）16（6）执行如图所示的程序框图，若输出的b 的值为4，则图中判断框内①处应填（A ）2 （B ）3（C ）4 （D ）5 （7）设集合1,(,)x y D x y ⎧⎫+≥⎧⎪⎪=⎨⎨⎬，则下列命题中正确的是（A ）(,)x y ∀D ∈，20x y -≤ （B ）(,)x y ∀D ∈，22x y +≥- （C ）(,)x y ∀D ∈，2x ≥（D ）(,)x y ∃D ∈，1y ≤-（8）某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A ，B 两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A 种菜的学生，下星期一会有20%改选B 种菜；而选B 种菜的学生，下星期一会有30%改选A 种菜．用n a ，n b 分别表示在第n 个星期的星期一选A 种菜和选B 种菜的学生人数，若1300a =，则+1n a 与n a 的关系可以表示为 （A ）111502n n a a +=+ （B ）112003n n a a +=+ （C ）113005n n a a +=+ （D ）121805n n a a +=+第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2015年北京市东城区高三二模数学(文)试卷
且每个扇形圆心 角均为 15o ，边界忽略不计)即为中奖． 乙商场：从装有 3 个白球和 3 个红球的盒子中一次性摸出 2 球(这些球除颜色外 完全相同)，如果摸到的是 2 个红球，即为中奖． 试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？请说明理由.
1 2 ， B 2 ，， 3 4 ，如图阴影部分所表示的集合 （1）已知全集 U R ，集合 A 0 ，，
为 （A） 2
1 （B） 0 ，
（D） 0 ,1, 2 ,3 , 4
4 （C） 3 ，
（2）若复数 (m2 m) mi 为纯虚数，则实数 m 的值为 （A） 1 （C） 1 （B） 0 （D） 2
π π , ] ，求 f ( x) g ( x) 的最大值. 6 3
（17） （本小题共 13 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中, 平面 PAD 平面 ABCD ， E 为 AD 上一点，四边形 BCDE 为矩形，
PAD 60o ， PB 2 3 , PA ED 2 AE 2 .
0.9
（ B ） (1, 3)
（ C ） (1, 3)
（5）设 a log0.8 0.9 ， b log1.1 0.9 ， c 1.1 , 则 a ， b ， c 的大小关系是 C （A） a b c （C） b a c （B） a c b （D） c a b
（16） （本小题共 13 分） 已知函数 f ( x) cos(2 x
π 2 ) cos(2 x π) ， g ( x) cos 2 x . 3 3 3 3 ，求 g ( ) 的值； 5
（Ⅰ）若 ( , ) ，且 f ( ) （Ⅱ）若 x [
2015年北京市东城区高三二模数学(文)试卷答案及解析
m2 m 0 m 0 ，解得： m 1 ，选 C
3．【答案】C 【解析】 把圆的一般方程 x 2 y 2 2 x 6 y 1 0 进行配方可得：
( x 1)2 ( y 3)2 9 ，所以圆心坐标为： (1,3) ，选 C
4．【答案】A 【解析】 先考察充分性：
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 a1 = , 整理得 (n 1)(n 14) 0 ， 解得 1 n 14 . 故满足 Tn 1 0 的最大正整数为 13 . 19．【答案】见解析 【解析】 解： （Ⅰ）由已知可得 a c 2 ， b 2 3 ， 又 b2 a 2 c 2 12 ，解得 a 4 .
有图可知，可行域均在 y 轴及其左侧，所以， x 0 所以， z 2 x y ，转化为斜截式得： y 2 x z
第二届“易题库杯”命题大赛进行 ing
~2~
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由图可知，使得 z 取得最大值的最优解为： A(2, 1) 所以，
zmax 3 ，选 B
8．【答案】A 【解析】 易证四边形 EMFN 为菱形，过点 M 作 MH DD1 于 H ，所以
AM AE 1 . MC ED 2 PF AM 1 因为 FM P AP ，所以 . FC MC 2 1 所以 . 3
因为 EM P CD ，所以 （Ⅱ）因为 AP 2, AE 1, PAD 60o , 所以 PE 3 . 所以 PE AD . 又平面 PAD 平面 ABCD ，且平面 PAD I 平面 ABCD AD ,
记 ( x , y) 为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：
(a1 , a2 ) ， (a1 , a3 ) ， (a1 , b1 ) ， (a1 , b2 ) ， (a1 , b3 ) ， (a2 , a3 ) ， (a2 , b1 ) ， (a2 , b2 ) ， (a2 , b3 ) ， (a3 , b1 ) ， (a3 , b2 ) ， (a3 , b3 ) ， (b1 , b2 ) ， (b1 , b3 ) ， (b2 , b3 ) ，共 15 种.
2014-2015东城区综合练习一数学文科答案定稿
东城区2014-2015学年第二学期高三综合练习（一）数学（文科）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）A （3）D （4）B （5）D （6）A （7）B （8）A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）1 （10）sin 2y x = （11）4 （12）1 3 （13）2253a <<（14）2cos cos2θθ-,[,)42ππ∈θ 32 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）甲组五名学生的成绩为9，12，10x +，24，27．乙组五名学生的成绩为9，15，10y +，18，24． 因为甲组数据的中位数为13，乙组数据的平均数是16.8， 所以1013x +=，91510182416.8584y +++++=⨯=．解得3x =，8y =． ………………………..4分 （Ⅱ）成绩不低于10分且不超过20分的学生中甲组有两名设为1a ，2a ，乙组有三名，设为1b ，2b ，3b ，共有5名， 从中任意抽取3名共有10种不同的抽法，分别为1a （，2a ，1b ），1a （，2a ，2b ），1a （，2a ，3b ），1a （，1b ，2b ），1a （，1b ，3b ），1a （，2b ，3b ），2a （，1b ，2b ），2a （，1b ，3b ），2a （，2b ，3b ），1b （，2b ，3b ）． ………………………..8分恰有2名学生在乙组共有6种不同抽法，分别为 1a （，1b ，2b ），1a （，1b ，3b ），1a （，2b ，3b ），2a （，1b ，2b ），2a （，1b ，3b ），2a （，2b ，3b ），故所求概率P =63=105． ………………………..13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）依题意得2sin()23A π+=,即sin()13A π+=.因为0A <<π，所以4333A ππ<+<π ,所以32A ππ+=. 即6A π=． ………………………..5分 （Ⅱ）方案一：选择①② 由正弦定理sin sin a b A B =，得sin 22sin ab B A==.因为A B C ++=π，所以sin sin()C A B =+=62sin()644ππ++=. 所以1sin 2S ab C ==16+2222=3+124⨯⨯⨯. ………………………..13分 方案二：选择①③ 由余弦定理2222cos b c bc A a +-=,即222334b b b +-=,解得2b =，23c =.所以111sin 2233222S bc A ==⨯⨯⨯= ． ………………………..13分 说明:若选择②③,由3c b =得，6sin 3sin 12C B ==>不成立,这样的三角形不存在． （17）（共14分）证明：（Ⅰ）在△AOD 中，因为3OAD π∠=，OA OD =， 所以△AOD 为正三角形. 又E 为OA 的中点， 所以DE AO ⊥ ．因为两个半圆所在平面ACB 与平面ADB 互相垂直且其交线为AB ， 所以DE ⊥平面ACB ． 又CB ⊂平面ACB ，所以CB DE ⊥． ……………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE ⊥平面ACB ，所以DE 为三棱锥D BOC -的高．D 为圆周上一点，且AB 为直径，所以2ADB π∠=. 在△ABD 中，由BD AD ⊥,3BAD π∠=,2AB =, 得1AD =，32DE =．又34BOC S =V ，所以13C BOD D BOC BOC V V S DE --∆==⋅＝234331⨯⨯＝81． ……………………9分 （Ⅲ）存在满足题意的点G ，G 为劣弧»BD的中点． 连接,,OG OF FG ，易知OG BD ⊥，又AD BD ⊥ 所以OG ∥AD .又OG ⊄平面ACD ，AD ⊂平面ACD , 所以OG ∥平面ACD ．在△ABC 中，,O F 分别为,AB BC 的中点， 所以OF ∥AC .又OF ⊄平面ACD ，AC ⊂平面ACD ， 所以OF ∥平面ACD . 因为OG ∩OF O =， 所以平面OFG ∥平面ACD ．FG ⊂平面OFG ，所以FG ∥平面ACD ． ………………………..14分（18）（共14分）所以(1)0f '=，解得3b =．经检验，满足题意，所以3b =. ………………………5分所以()f x 的单调递减区间为0（，1）． ………………9分设过点2（,5）的直线与曲线()g x 相切于点0(x ，0)y ，令2()ln 2h x x x =+-，212()h x x x'=-，由()0h x '>，得2x >，()0h x '<，得02x <<．所以()h x 在区间0（，2）上单调递减，在区间2（，+∞）上单调递增． 因为1()2ln 202h =->，(2)ln 210h =-<，2(e )h =220e>， 所以()h x 与x 轴有两个交点，即方程002ln 20x x +-=有两个实根． 所以过点2（,5）可作两条直线与曲线()y g x =相切． ………………………..14分 （19）（共13分） 解：（Ⅰ）由已知离心率12c e a ==， 又△12MF F 的周长等于226a c +=， 解得2a =，1c =．所以23b =．所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ………………………..5分（Ⅱ）设点M 的坐标为00(,)x y ，则2200143x y +=．由于圆M 与l 有公共点，所以M 到l 的距离04x -小于或等于圆的半径r ． 因为2222100(+1)r MF x y ==+，所以222000(4)(1)x x y -≤++，即20010150y x +-≥．又因为22003(1)4x y =-，所以20033101504x x -+-≥．整理得200340+480x x -≤，解得04123x ≤≤．又022x -<< ， 所以0423x ≤<．所以00y <≤． 因为△12MF F 面积01201=2y F F y =，当0y =12MF F． ………………..13分 （20）（共13分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，则由2474a a =，得75+)4(53)d d =+（， 解得3d =.最新整理所以32n a n =+，n *∈N .因为21n n S b =-（）， ① 所以+1=2n S （11n b +-）. ②②-①得1122n n n b b b ++=-, 即12n n b b +=.由①得1122b b =-,则12b =.所以{}n b 是首项为2,公比为2的等比数列,所以2n n b =,n *∈N . ………………………5分（Ⅱ）因为32,2,n n n n c n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数，，所以数列{}n c 的奇数项组成首项为5,公差为6的等差数列； 数列{}n c 的偶数项组成首项为4,公比为4的等比数列. ① n 为偶数时,214(14)5(1)6222214nn n n n T -=⨯+⨯⨯-⨯+-23=4n 4+3n -++2123n ⋅； ② n 为奇数且3n ≥时,1n n n T T a -=+23=(1)4n -4+(1)3n --+1123n +⋅+3+2n23=4n 55++212n +1123n +⋅.经检验,当1n =时上式也成立.综上所述，22213412,4333551+2,42123n n n n n n T n n n ++⎧+-+⋅⎪⎪=⎨⎪++⋅⎪⎩为偶数为奇数.， ………………………..9分（Ⅲ）由32n a n =+，2nn b =，可得1238d a b ===，210532d a b ===.假设2kn m k d a b ===,则32=2km +.最新整理所以112222(32)3(21)1k kk b m m ++==⋅=+=++,不是数列{}n a 中的项；2+2=2424(32)k k k b m +=⋅=+=3(42)2m ++，是数列{}n a 中的第42m +项.所以+142=n m d a +=222k k b ++=，从而2+1242k n k n d d +==.所以{}n d 是首项为8,公比为4的等比数列. …………………13分。
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东城区2014-2015学年第一学期期末教学统一检测
高三数学 （文科）
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项。
（1）已知集合{}
12A x x =∈-≤≤Z ，集合{}420，，=B ，则A B =
（A ）{}02， （B ）{}420，，
（C ）{}4,2,0,1- （D ）{}4,2,1,0,1-
（2）下列函数中，既是奇函数，又在区间(0+)∞，
上为增函数的是 （A ）x y ln = （B ）3y x = （C ）3x y = （D ）x y sin = （3）设x ∈R ，则“1x >”是“2
1x >”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （4）当3n =时，执行如图所示的程序框图，
输出的S 值为
（A ）6 （B ）8 （C
）14 （D ）30
（5）已知
3cos 4α=
，(,0)2
απ
∈-，则sin 2α的值为 （A ）
38 （B ）38- （C ）8 （D ）8
- （6）如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，某同学首先选定了与A ，B 不共
线的一点C ，然后给出了四种测量方案：（△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c ）
①测量A ，C ，b ②测量a ，b ，C ③测量A ，B ，a ④测量a ，b ，B 则一定能确定A ，B 间距离的所有方案的序号为
（A ）①②③ （B ）②③④ （C ）①③④ （D ）①②③④
（7）已知向量(1,3)=a ，(,23)m m =-b ，平面上任意向量c 都可以唯一地表示为
+λμ=c a b (,)λμ∈R ，则实数m 的取值范围是
（A ）(,0)(0,)-∞+∞ （B ）(,3)-∞ （C ）(,3)
(3,)-∞--+∞
（D ）[3,3)-
（8）已知两点(1,0)M -，(1,0)N ，若直线(2)y k x =-上至少存在三个点P ，使得△MNP
是直角三角形，则实数k 的取值范围是 （A ）11[,0)(0,]33
- （B ）3
[,0)(0,]33
- （C ）11
[,]33
-
（D ）[5,5]- 第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）已知抛物线的方程为24y x =，则其焦点到准线的距离为________． （10）若
2+i
1i ()i
m m =+∈R ,则m =________． （11）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体最长棱的棱长为 cm ．
（12）已知x ，y 满足1,+4,210,x x y x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪--≤⎩
则2z x y =+的最大值为_______．
（13）设函数2log , 0,
()4, 0,
x
x x f x x >⎧=⎨
⎩≤则1
(())2
f f =________；若函数()()
g x f x k =-存在两
个零点，则实数k 的取值范围是________．
正(主)视图
俯视图
侧(左)视图
（14）某商场对顾客实行购物优惠活动，规定购物付款总额要求如下：
①如果一次性购物不超过200元，则不给予优惠；
②如果一次性购物超过200元但不超过500元，则按标价．．
给予9折优惠； ③如果一次性购物超过500元，则500元按第②条给予优惠，剩余部分给予7折优惠． 甲单独购买A 商品实际付款100元，乙单独购买B 商品实际付款．．．．450元，若丙一次性购买A ，B 两件商品，则应付款________ 元．
三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）
已知函数()sin()6
f x A x ωπ
=-（0,0A ω>>）的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为
2
π. （Ⅰ）求()f x 的解析式及最小正周期； （Ⅱ）设(0,)2
απ∈，且()12
f α
=，求α的值.
（16）（本小题共13分）
已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是公比大于零的等比数列，且112a b ==，
33=8a b =．
（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S .
（17）（本小题共14分）
在三棱锥P ABC -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=，E 为
y
x PC 的中点，M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且2AF FP =.
（Ⅰ）求证：AC ⊥平面PBC ； （Ⅱ）求证：CM 平面BEF ；
（Ⅲ）若2PB BC CA ===，求三棱锥E ABC -的体积．
（18）（本小题共13分）
为普及宪法知识，某中学举行了首届“宪法知识大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计.按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据）． （Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中的x ，y 的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取两名学生参加
“全民宪法知识大赛”，求所抽取的两名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率．
（19）（本小题共13分）
已知椭圆1C ：2
214
x y +=，椭圆2C 的中心在坐标原点，焦点在y 轴上，与1C 有相同的离心率，且过椭圆1C 的长轴端点. （Ⅰ）求椭圆2C 的标准方程；
（Ⅱ）设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆1C 和2C 上，若2OB OA =，求直线AB 的方程.
（20）（本小题共14分）
已知函数2()ln f x a x bx =-，a ，b ∈R .
（Ⅰ）若()f x 在1x =处与直线1
2y =-
相切，求a ，b 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求()f x 在1[,e]e
上的最大值；
（Ⅲ）若不等式()f x x ≥对所有的(,0]b ∈-∞，2(e,e ]x ∈都成立，求a 的取值范围.。