量与量纲
计量基础知识
第一节 量和单位
3）国际单位制中具有专门名称的导出单位 4）国家选定的非国际单位制单位（16） 注：包括SI辅助单位在内的具有专门名称的SI导出单位共有21个。1984年我国 公布法定计量单位时，把平面角弧度和立体角球面度称为SI辅助单位。1990年 国际计量委员会规定它们是具有专门名称的SI导出单位的一部分。我国国家标 准GB3100-1993《国际单位制及其应用》也将平面角弧度和立体角球面度列入 了具有专门名称的SI导出单位。所以具有专门名称的导出单位共有21个。 3、我国的法定计量单位的使用 法定计量单位名称的使用方法：（+） 1）组合单位的中文名称与符号表示的顺序一致，符号中的乘号没有对应的名 称，除号的对应名称为“每”字，无论分母中有几个单位， “每”字中出现 一次。 如：比热容单位的符号是J/（kg . k），其单位名称是“焦耳每千克开尔文”， 而不是“每千克开尔文焦耳” 或“焦耳每千克每开尔文”。 2）乘方形式的单位名称，其顺序应是指数名称在前，单位名称在后。相应的 指数名称由数字加“次方”二字而成。如：断面惯性矩的单位m4的名称为“四 次方米”。
第一节 量和单位
1、基本单位 “给定量制中基本量的计量单位”称为基本单位。 2、导出单位 “给定量制中导出量的计量单位”称为导出单位。 （1）具有专门名称的导出单位 为了表示方便，对有些导出单位给予专门的名称和符号，称它们为了具有 专门名称的导出单位，如压力单位帕斯卡（Pa）、电阻单位欧姆（Ω）等。 （2）导出单位的构成 1）由基本单位和基本单位组成，如速度单位米/秒。 2）由基本单位和导出单位组成，如力的单位牛吨为千克.米/秒2，其中千 克为基本单位，而米/秒2为加速度单位，它是导出单位。 3）由基本单位和具有专门名称的导出单位组成，如功、热的单位焦耳为 牛.米，其中牛为具有专门名称的导出单位，米为基本单位。 4）由导出单位和导出单位组成，如电容单位法拉为库/伏，库仑和伏特均 为导出单位。
第9章 量纲分析
量纲的分类：基本量纲 导出量纲
基本量纲是一组具有独立性的量纲。在 水力学领域中有三个基本量纲：[ L ] ， [ T ]， [ M ]。
导出量纲由基本量纲组合或推导出来的 量纲。如加速度的量纲 [a]=LT-2 ；力的量 纲 [F]=[ma]=MLT-2
可知p / v2与其余三个无量纲数有关，那么
p/v2=F1(l/d, /d, 1/Re)= (l/d)F2( /d, 1/Re)
p/g= p/= (l/d)(v2/2g)F2( /d, 1/Re)
令= F2( /d, 1/Re) p/= (l/d)(v2/2g)
这就是达西公式， 为沿程阻力系数， 表示了等直圆管中流动流体的压降与 沿程阻力系数、管长、速度水头成
1=l1v1d1 2=2v2d2 3=3v3d3 4= p4v4d4
将上述表达式写成量纲形式 [1]=L(ML-3)1(LT-1)1L1=M0L0T （1） [2]=L(ML-3)2(LT-1)2L2=M0L0T0
（2） [3]=ML-1T-1(ML-3)3(LT-1)3L3=M0L0T0
（3） [4]=ML-1T-2 (ML-3)4(LT-1)4L4=M0L0T0
所以 3=/vd=1/Re 求解方程（4） M: 1+4=0 → 4= -1
T: -2-4=0 → 4= -2 L: -1-3 4+ 4+4=0 → 4= 0 所以 4= p / v2 因此，所解问题用无量纲数表示的方程为
F(l/d, /d, 1/Re, p / v2)=0
至此，问题求解结束，进一步对上式整理规范。 由上式
有量纲量和无量纲量
水力学中任何物理量C的量纲可写成 [C]=[ M ][ L ][ T ]
量纲分析法
量纲分析法量纲分析法是一种工程数学方法，用于处理含有多个变量的物理问题。
这种方法非常有用，因为在实际应用中，我们通常需要考虑许多不同的变量和参数，这些参数可能具有不同的单位和量纲，使得问题变得复杂和难以处理。
利用量纲分析法，可以将各个参数转换为无量纲形式，从而简化问题并提高计算精度。
1. 什么是量纲首先，我们需要明确什么是量纲。
量纲是一个物理量所具有的度量属性，通常包括基本量纲，比如长度、时间、质量、电流等等。
每个量纲都有一个标准单位，比如米、秒、千克、安培等等。
通过组合不同的基本量纲和单位，我们可以得到其他物理量的单位和量纲。
比如速度可以表示为长度/时间，加速度可以表示为长度/时间^2。
在处理物理问题时，量纲是非常重要的，因为它们决定了各个物理量之间的关系和单位的选择。
2. 如何运用量纲分析法量纲分析法是一种基于量纲的数学方法，用于研究变量之间的关系和有效参数的数量。
在使用这种方法时，我们需要将所有涉及的物理量和参数转换为无量纲形式，然后通过比较各个无量纲参量的数量级和变化趋势来分析问题。
这种方法可用于许多不同的物理问题，例如流体力学、热传递、电路分析等等。
下面我们以流体力学为例来讲解量纲分析法的应用过程。
首先，我们考虑一个典型的流体力学问题：水从一根直管中流出的速度是多少？公司设计师可以运用以下方程式解决此题: v = (P1 - P2) / ρL其中v是水的速度，P1和P2是入口和出口处的压力，ρ是水的密度，L是管道长度。
我们观察到这个公式涉及四个参数，每个参数都有自己的单位和量纲。
在使用量纲分析法时，我们需要将它们都转换为无量纲形式。
我们可以定义以下五个无量纲参量：F1 = v L / νF2 = (P1 - P2) / (0.5ρv^2)F3 = D / LF4 = ε/ D其中，ν是水的动力粘度，D是管道的直径，ε是管道壁面粗糙度。
这里表示F1 代表惯性力，F2 代表压力力，F3 代表管道长度比，F4 代表管道细度等无量纲参量。
七个基本量纲的表示
七个基本量纲的表示量纲是物理量的属性之一，用于表示物理量的种类。
国际单位制中，有七个基本量纲，分别是长度、质量、时间、电流强度、热力学温度、物质的物量和发光强度。
本文将分别介绍这七个基本量纲，并探讨它们在现实生活中的应用。
一、长度长度是物体在某一方向上的延伸，用来描述物体的大小和形状。
长度的单位是米（m）。
长度在日常生活中有着广泛的应用，比如测量房间的大小、计算行走的距离等。
在工程领域，长度的准确测量对于建造和制造是至关重要的。
二、质量质量是物体所具有的惯性和引力作用的特性，用来描述物体的重量大小。
质量的单位是千克（kg）。
质量在日常生活中广泛应用于衡量物体的重量，比如购买食品时称量的重量、衡量人体的体重等。
在科学研究中，质量的准确测量对于研究物质的性质、反应等有着重要的意义。
三、时间时间是事件发生或持续的顺序，用来描述事件的先后和持续的时长。
时间的单位是秒（s）。
时间在日常生活中广泛应用于衡量事物的持续时间，比如做饭的时间、上班的时间等。
在物理学中，时间是运动物体的重要参量，也是研究各种现象和规律的基础。
四、电流强度电流强度是电荷通过导体所携带的电量，用来描述电流的大小。
电流强度的单位是安培（A）。
电流强度在日常生活中广泛应用于电器的使用和电路的设计，比如测量电器的功率、计算电路的电流等。
在电子工程和电力系统中，电流强度是电路分析和设计的基础。
五、热力学温度热力学温度是物体分子热运动的程度，用来描述物体的热量状态。
热力学温度的单位是开尔文（K）。
热力学温度在日常生活中广泛应用于温度的测量和调控，比如测量室内外的温度、调节空调的温度等。
在热力学和热工学中，热力学温度是研究热现象和能量转化的基础。
六、物质的物量物质的物量是物质所包含的基本粒子数，用来描述物质的数量。
物质的物量的单位是摩尔（mol）。
物质的物量在化学反应和材料科学中有着重要的应用，比如计算化学反应的摩尔比例、研究材料的组成和性质等。
量纲分析法
下(g为重力加速度),做往复摆动. 忽略阻力, 求摆动周期t的表达式. 求解 考虑问题中出现的物理量t、m、l、g， 假设它们之间有关式
t m l
1 2 3
g
(1)
其中α1,α2,α3是待定常数,λ是无量纲的
比例常数.上式的量纲表达式为
t [m]
1
[l ] [ g ]
2
3
其中 [质量]=[ m ]=M, [长度]=[ l ]=L, [时间]=[ t ]=T,
称为 基本量 纲
ds 例4.1.1 [速度]=[ v ]=[ ] = =LT－1 ; dt [加速度]=[ a ] =LT－2 ;
因为力 F=ma, 故 [ F ]=[ m ][ a ] =MLT－2;
部分物理常数也有量纲，如万有引力定律
3.写出量纲矩阵
(f) (l) (h) (v) (ρ) (μ) (g)
1 1 1 1 3 1 1 ( L) A37 1 0 0 0 1 1 0 (M ) 2 0 0 1 0 1 2 (T )
4.求解齐次线性方程组 AY=0,因Rank (A)=r=3 方程有m－r=7－3=4个基本解, 可取为
f K
m1m 2 r
2
中的引力常数K的量纲为
fr 2 [ f ][ r 2 ] [K ] m1m2 [ m1 ][ m2 ]
LMT
2 2
L
M
2
L3 M 1T 2
部分物理量是无量纲的,称之为纯数字,如 ［角度］=LL—1=L0
尽管角度是无量纲量,但它有单位(弧度).
(4) 式的量纲表达式为
L
y 3 y4
物理量的单位与量纲
§2.2 物理量的单位和量纲2.2.1 国际单位制（SI 制）在历史上, 由于物理量的单位制有很多种，世界各国往往按照各自的习惯，沿用不同的单位制，这不便于科学技术的交流和发展，而且也不规范。
鉴于这种情况，国际计量大会决议推行统一的国际单位制（Le Système International dùnités ）简写为SI （注意是法文）。
我国也决定从1987年1月1日起，在各级学校的教科书中使用国际单位制。
国际单位制规定了7个具有严格定义的基本单位，见表2.1所示。
其中前三个单位：长度单位“米”、质量单位“千克”、时间单位“秒”是力学里的基本单位。
国际单位制除了规定7个基本单位之外，还有两个辅助单位，分别是平面角的单位弧度（rad ）和立体角的单位球面度（sr ）。
表2.1 国际单位制中的基本单位国际单位制规定的其它物理量所对应的单位，如力的单位牛顿、能量单位焦耳、电压单位伏特等等，都可以由这7个基本单位导出。
按照上述基本量和基本单位的规定，速度的单位是米每秒（1m s -⋅）；角速度的单位是弧度每秒（1rad s -⋅）；加速度的单位是米每二次方秒（2m s -⋅）；力的单位是千克米每二次方秒（2kg m s -⋅⋅），称为 “牛顿”，简称“牛”（N ）。
21N 1kg m s -=⋅⋅。
其它常见物理常数的名称、符号、数值和单位见附录B 。
2018年11月16日，第26届国际计量大会通过了关于修订国际单位制的决议。
国际单位制7个基本单位中的4个，即千克、安培、开尔文和摩尔将分别改由普朗克常数、基本电荷、玻尔兹曼常数和阿伏伽德罗常数来定义。
加之此前对“秒”、“米”和“坎德拉”的重新定义，至此组成国际计量单位制的7个基本单位均实现了由常数定义，全部告别了采用实物计量的历史。
为了便于读者理解，我们将力学中三个基本单位的新旧定义一并列出。
1. 秒，符号：s ，SI 的时间单位。
流体力学-第5章
F ( x1 , x2 ,...xn ) = 0
而这些变量中含有m个基本量纲， 而这些变量中含有 个基本量纲，则这个物理过 个基本量纲 程可以由n个物理量组成的 个物理量组成的n-m个无量纲量（相似 个无量纲量（ 程可以由 个物理量组成的 个无量纲量 的函数关系来描述, 准则数πi）的函数关系来描述 即:
和管径d有关，试用瑞利量纲分析法建立vc的公式结构。 和管径 有关，试用瑞利量纲分析法建立 的公式结构。 有关 [解] 假定 vc = kρ α ⋅ µ β ⋅ d γ 式中k为无量纲常数。 式中 为无量纲常数。 为无量纲常数 将各物理量的量纲
dim vc = LT −1 , dim ρ = ML−3 dim µ = ML−1T −1 , dim d = L
F′ F = 2 2 ρ ′l ′2v′2 ρl v
——牛顿数 牛顿数
二、各单项力相似准则
1.基本量纲和导出量纲 1.基本量纲和导出量纲 基本量纲：无任何联系、相互独立的量纲。 基本量纲：无任何联系、相互独立的量纲。 导出量纲： 导出量纲：可以由基本量纲导出的量纲 基本量纲具有独立性、唯一性， 基本量纲具有独立性、唯一性，如： 具有独立性 质量（ ）、长度 长度（ ）、时间 时间（ ）、温度 温度（ 质量（M）、长度（L）、时间（T）、温度（Θ）
解上述三元一次方程组得： 解上述三元一次方程组得： α1 = −1, β1 = −2, γ 1 = −2 其中 同理： 同理：
π1 =
FD ρv 2 d 2
µ 1 π2 = = ρvd Re
并就F 解出， 代入 ϕ (π 1 , π 2 ) = 0 ，并就 D解出，可得
FD = f (Re) ρv 2 d 2 = C D ρv 2 d 2
附录三物理量单位与量纲
附录三物理量单位与量纲1．物理学中的单位制1.1 基本单位和导出单位物理学是一门实验科学，常需要对各种物理量进行必要的测量。
对一个物理量测量的结果一般包括所测定的数值和所需用的单位两个部分。
由于各个物理量之间存在一定的规律性联系，所以可不必对每个物理量的单位都独立地给予规定，而只需选择一组互相独立的物理量为基本量，并为每一个基本量规定一个基本单位。
至于其它的物理量，由于它们都可以由基本量通过有关的关系式（定义或定律）导出，因而称为导出量，与之所对应的单位则称为导出单位。
1.2 单位制由基本单位和一系列有关关系式得到的导出单位就制定了一套单位，这就构成了一定的单位制。
1.2.1 国际单位制（SI）为了国际上的贸易、工业及科学技术交往的需要，1875年在法国巴黎由17个国家的外长制定了米制公约。
米制公约规定：长度单位为米、质量单位为千克（公斤）、时间单位为秒，这种单位制被称为米⋅千克⋅秒制（英文简写为MKS制）。
随着电磁学、热力学、光学和微观物理学的发展，基本量由3个扩大到7个，在此基础上发展起来的单位制被称为国际单位制，这是在1960年的第11届国际计量大会上被首次予以确认的，并统一以SI表示。
在国际单位制中，将单位分为三大类：基本单位、导出单位和辅助单位。
其中基本单位有7个，它们分别为：（1）长度单位―――米（m）。
1889年第1届国际计量大会上批准以铂铱米尺（被称为国际米原器）的长度为1米。
1983年第17届国际计量大会上对米作了最新的定义：“米是1/299792458秒的时间间隔内光在真空中行程的长度”。
在通过“米”的定义的同时，还规定了复现新的米定义的三种方法（在此之前，应首先规定真空中的光速为c = 299792458m s-1）：一是利用平面电磁波在真空中经过时间间隔∆t 所传播的距离l = c∆t的关系，从计量时间∆t得出l；二是利用频率为ν的平面电磁波在真空中的波长λ = c/ν的关系，从测量频率ν得出波长λ；三是可采用所规定的某种饱和吸收稳频激光的辐射，或某些光谱灯的辐射，通过测量其频率而得出波长。