空间向量共面充要条件的应用

空间向量共面充要条件的应用
共面向量定理涉及三个向量→p 、→a 、→b 共面问题，它们之间的充要条件关系为：如果两个向量→a 、→b 不共线，那么向量→p 与向量→a 、→b 共面的充要条件是：存在有序实数组(x,y)，使得→p ＝x →a ＋y →b .
共面向量定理在立体几何中证明中有关有着广泛的运用，如在点线共面、线面平行等问题中，都有很好的体现.由于向量本身具有的位置不定性，使得共面向量可理解为能够平移到同一平面内的向量，或者理解为平行于同一平面的向量.下面就空间向量共面充要条件的应用分类解析，体会应用的方法与技巧.
一、判断点与平面的关系
例1 已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，若→OM ＝2→OA －→OB －→OC ，判断点M 是否在平面ABC 内.
分析：点M 与A 、B 、C 不共面，即点M 不在平面ABC 内，即不存在x ，y 使→AM ＝x →AB ＋y →AC ，可用反证法证明判断.
解：假设M 在平面ABC 内，则存在实数x,y ，使→AM ＝x →AB ＋y →AC ，
于是对空间任意一点O ，O 在平面ABC 外，→OM ＝(1－x －y)→OA ＋x →OB ＋y →OC ，
比较原式可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x －y ＝2
x ＝－1y ＝－1
，此方程组无解，与假设不成立， ∴不存在实数x,y ，使→AM ＝x →AB
＋y →AC ，∴M 与A 、B 、C 不共面. 点评：本题采用反证法来证明点M 不在平面ABC 内，因为反证法就是从正面进行解答比较困难，从对立面进行证明的一种思想方法.
二、用于证明四点共面
例2 如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，N 在AC 上，且AN ﹕NC ＝2﹕1，求证：A 1、B 、N 、M 四点共面.
分析：利用空间向量共面的充要条件，通过证明向量→A 1N 、→A 1B 、→A 1M 共面，即可证明
存在唯一实数λ、μ，使→A 1N ＝λ→A 1B ＋μ→A 1M 成立.
证明：如图，→AA 1＝→a ，→AB ＝→b ，→AD ＝→c ，则→A 1B ＝→AB －→AA 1＝→b －→a ，
∵M 为DD 1的中点，→A 1M ＝→AD －12→AA 1＝→c －12
→a ， ∵AN ﹕NC ＝2﹕1，∴→AN ＝23→AC ＝23(→AB ＋→AD)＝23
(→b ＋→c )， ∴→A 1N ＝→AN －→AA 1＝23(→b ＋→c )－→a ＝23(→b －→a )＋23(→c －12
→a ) ＝23→A 1B ＋23→A 1M
， ∴A 1、B 、N 、M 四点共面.
点评：本题根据空间向量基本定理，充分利用三角法则与平行四边形法则，通过不同的
途径分别用向量→EF ﹑→EH 表示→MQ 或用向量→EG 表示→MQ ，从而建立向量→EG
与向量→EF ﹑→EH 的线性关系，进而使问题得证.这是不用向量坐标形式证明几何问题的常用方法.
三、证明三线平行同一平面
例3 如图所示，E 、F 分别为空间四边形ABCD 中AB 、CD 的中点，证明AD 、EF 、BC 平行于同一平面.
分析：证明AD 、EF 、BC 平行于同一平面，即证明向量→EF 、→AD 、→BC 共面，进而证明→EF 、→AD
、→BC 之间存在线段关系. 证明：→EF ＝→EA ＋→AD ＋→DF ，且→EF
＝→EB ＋→BC ＋→CF ， 又→EA ＝－→EB ，→DF ＝－→CF ，
所以→EF
＋→EF ＝→AD ＋→BC 即→EF ＋→EF ＝12(→AD ＋→BC)＝12→AD ＋12
→BC ， 可知，→EF 、→AD 、→BC 共面，所以EF 与AD 、BC 平行于同一平面.
点评：本题在证明过程中，通过利用两种不同的途径得到向量→EF
的两种不同的表达式，然后两式相加就可以得到所需要证明的表达式，当然其过程要用到三角形法则或平行四边形法则，这是利用加减法处理向量线性线性关系常用的方法.
四、证明线面平行
例4 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，且CM ＝DN ，求证：MN ∥平面CC 1D 1D.
分析：由于DC 与DD 1在同一平面上，因此可以先考虑利用空间向量共面的充要条件证明向量→NM 与→DC 、→DD 1共面，然后只须说明点M 、N 不在CC 1D 1D 内就可证明MN ∥平面CC 1D 1D.
证明：设CM ＝DN ＝λDB ＝λCB 1，则
→DN ＝λ→DB ＝λ(→DA ＋→DC)，→CM ＝λ→CB 1＝λ(→CB ＋→CC 1)，
∴→NM ＝→ND ＋→DC ＋→CM ＝－λ(→DA ＋→DC)＋→DC ＋λ(→CB ＋→CC 1
) ＝(1－λ)→DC ＋λ(→DA ＋→CB ＋→CC 1)＝(1－λ)→DC ＋λ(－→DA ＋→DA ＋→CC 1
) ＝(1－λ)→DC ＋λ→DD 1
∴→NM 与→DC 、→DD 1共面，
又M 、N 不在面DCC 1D 1内，∴MN ∥平面CC 1D 1D.
点评：利用空间证明立体几何问题，减少了利用传统法证明的繁琐的思维量，将考查难度要求较高的空间想象力与抽象的逻辑推理能力转化为考查难度要求稍微较低的运算能力.。