2008年江苏高考数学卷

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2008年高考数学(江苏卷)

2008年高考数学(江苏卷)2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）本试卷分第I卷（填空题）和第II卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．参考公式：样本数据1x ，2x ，，nx 的标准差锥体体积公式222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-13V Sh=其中x 为样本平均数其中S 为底面面积、h 为高柱体体积公式球的表面积、体积公式V Sh=24πS R =，34π3V R = 其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．)6cos()(πω-=x x f 最小正周期为5π，其中0>ω，则=ω ▲2．一个骰子连续投2次，点数和为4的概率 ▲3．),(11R b a bi a ii∈+-+表示为的形式，则b a += ▲ 4．{}73)1(2-<-=x x x A ，则集合A Z 中有 ▲ 个元素5．b a ,的夹角为 120，1,3a b==，则5a b-=▲开始S←0输入i←1S← S＋i≥5 i← iNY输出结束8．直线b x y +=21是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b 的值为 ▲9．在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设p c b a ,,,均为非零实数，直线CP BP ,分别交AB AC ,于点F E ,，一同学已正确算的OE 的方程：01111=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y ap x c b ，请你求OF 的方程： ( ▲ )011=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+y a p x10．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 。

2008年江苏省高考数学试卷及部分答案

绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考公式：样本数据1x ，2x ，，n x 的标准差锥体体积公式222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-13V Sh =其中x 为样本平均数其中S 为底面面积、h 为高柱体体积公式球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.)6cos()(πω-=x x f 最小正周期为5π，其中0>ω，则=ω 2.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率3.),(11R b a bi a ii∈+-+表示为，则b a += 4.{}73)1(2-<-=x x x A ，则A Z 的元素的个数 5.b a ,的夹角为120，,3,1==b a 则=-b a 56在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率7. 某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了50位老人进行调查。

下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表。

序号（i ）分组（睡眠时间）组中值（i G ）频数（人数）频率（i F ）1 [4,5) 4.5 6 0.12 2 [5,6) 5.5 10 0.203 [6,7) 6.5 20 0.404 [7,8) 7.5 10 0.20 5 [8,9) 8.5 4 0.08在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的S 的值是。

8.直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b= ▲ 9.在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设p c b a ,,,均为非零实数，直线CP BP ,分别交AB AC ,于点F E ,，一同学已正确算的OE 的方程：01111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-y a p x c b ，请你求OF 的方程： 10.将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。

2008年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学(含详细解答)苏教版

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）·数学本试卷分第Ⅰ卷（填空题）和第Ⅱ卷（解答题）两部分。

参考公式：样本数据x 1,x 2,…,x n 的标准差 s=1n[(x 1-x -)2+(x 2-x -)2+…+(x n -x -)2]其中x - 为样本平均数柱体体积 V=Sh其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式V ＝13Sh其中S 为底面面积、h 为高球体表面积、体积公式S=4πR 2，V=43πR 3，其中R 为球的半径一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

1.若函数y=cos(ωx-π6)(ω>0)的最小正周期是π5，则ω＝_ ▲提示：由T=2πω =π5有ω＝１０2.若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是_ ▲提示：设抛掷两次向上点数之和为事件A ，向上点数之和为４为事件B ，则事件A 的总数为６×６＝３６，事件B 共有：{１,３},{３,１},{２,２}3种情形，所以P(B)=336 =1123.若将复数1+i1-i 表示为a+bi (a,b ∈R,i 是虚数单位)的形式,则a+b=_ ▲提示：因为1+i1-i＝i= a+bi,所以a=0,b=1,所以a+b=１4.设集合A={x|(x-1)2<3x +7,x ∈R }，则集合A ∩Z 中有_ ▲ 个元素.提示：因为A={x|(x-1)2<3x+7,x ∈R }＝{x| -1<x<6,x ∈R }，所以A∩Z ＝{０,１,２,３,４,５},其中有６个元素5.已知向量a → 与 b → 的夹角为1200，｜a → ｜＝1，｜b → ｜＝3，则｜5a → －b → ｜=_ ▲ 提示：因为｜5a → －b →｜＝｜5a → －b →｜2 ＝76.在平角直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落在E 中的概率_ ▲提示：依题意作简图如下，则P(E) ＝圆面积正方形面积＝π167.某地区为了解70～80岁老人的平均睡眠时间(单位:h),随机选择了50位老人进行调查.下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表.在上述统计数据的分析中,一部分计算见算法流程图,则输出的S 的值是_ ▲提示：从流程图可知S ＝∑i =15G i F i ＝4.5×0.12+5.5×0.20+6.5×0.40+7.5×0.20+8.5×0.08＝6.428.设直线y=12x+b 是曲线y=lnx(x>0)的一条切线，则实数b 的值为_ ▲提示：因为y ' = 1x ，由切线斜率为12有1x ＝12，所以x=2，所以切点为(2,ln2),代入切线方程得b=-1+ln29.如图,在平面直角坐标系xOy 中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0);点P(0,p)在线段AO 上的一点（异于端点），这里a,b,c,p 为非零常数.直线BP 、CP 分别与边AC 、AB 交于点E 、F.某同学已正确求得直线OE 的方程：)11(cb -x+)11(a p -y=0.请你完成直线OF 的方程：（_ ▲ ）x+)11(ap -y=0提示：11c b-10.将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15. . . . . . . . .提示：如图，由已知可知，三角形OPH 为等腰直角三角形，所以有a 2c ＝2a ，所以离心率e= 2213.满足条件AB ＝2，AC ＝ 2 BC 的三角形ABC 的面积的最大值是 ▲提示：２ 214.设函数f (x )=ax 3-3x+1(x ∈R ),若对于任意x ∈[-1,1],都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为 ▲ 提示：４二、解答题：本大题共6小题,共计90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2008年江苏省高考数学试卷及部分答案

下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表。

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案-江苏卷

绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．参考公式: 样本数据1x ,2x ,,n x 的标准差()()()222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh =其中S 为底面积，h 为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ▲ ．2．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ▲ ． 3.11ii+-表示为a bi +(),a b R ∈，则a b +== ▲ ．4.A={()}2137x x x -<-，则A Z 的元素的个数 ▲ ．锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面积，h 为高球的表面积、体积公式24S R π=，343V R π= 其中R 为球的半径5.a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b = 则5a b -= ▲ ．6.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落入E 中的概率是 ▲ ．7.某地区为了解70-80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随即选择了50为老人进行调查，下表是这50为老人日睡眠时间的频率分布表。

2008高考江苏数学试卷含附加题详细解答全版080718

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1．若函数cos()(0)6y x πωω=->最小正周期为5π，则ω= ▲ . 解：2105T ππωω==⇒=2．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ▲ ．解：基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故316612P ==⨯ 3．若将复数11ii+-表示为(,,a bi a b R i +∈是虚数单位）的形式，则a b += ▲ ．解：∵()21112i i i i ++==- ，∴0,1a b ==，因此1a b += 4．若集合2{|(1)37,}A x x x x R =-<+∈，则A Z I 中有 ▲ 个元素解：由2(1)37x x -<+得2560x x --<,(1,6)A =-∴，因此}{0,1,2,3,4,5A Z =I ，共有6个元素．5．已知向量a r 和b r 的夹角为0120，||1,||3a b ==r r ，则|5|a b -=r r ▲ ．解：()2222552510a b a ba ab b -=-=-+r r r r r r r r g =22125110133492⎛⎫⨯-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，57a b -=r r6．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是 ▲ 解：如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此．214416P ππ⨯==⨯8．设直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b 的值是 ▲ 解： '1y x = ，令112x =得2x =，故切点坐标为（2，ln2），代入直线方程得ln 21ln 21b b =+⇒=-7．某地区为了解7080-岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值为 ▲解：由算法流程图可知S 为5组数据中的组中值（i G ）与对应频率（i F ）之积的和，1122334455S G F G F G F G F G F =++++4.50.125.50.206.50.407.50.28.50.08=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 6.42=9．如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点(0,)P p 在线段AO 上的一点（异于端点），这里p c b a ,,,均为非零实数，设直线 CP BP ,分别与边AB AC ,交于点F E ,，某同学已正确求得直线OE 的方程为01111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y a p x c b ，请你完成直线OF 的方程： ( ▲ )011=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+y a p x 。

2008年高考数学试题及参考答案(江苏卷)

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学本试卷分第I卷（填空题）和第II卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．参考公式:样本数据, , , 的标准差其中为样本平均数柱体体积公式其中为底面积，为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．1. 的最小正周期为，其中，则= ▲ ．本小题考查三角函数的周期公式.102．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率▲ ．本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故3. 表示为，则= ▲ ．本小题考查复数的除法运算．∵，∴＝0，＝1，因此14.A= ，则A Z 的元素的个数▲ ．本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由得,∵Δ＜0，∴集合A 为，因此A Z 的元素不存在．5. ，的夹角为，，则▲ ．本小题考查向量的线性运算．= ，776.在平面直角坐标系中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率▲ ．本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此．7.算法与统计的题目8.直线是曲线的一条切线，则实数b＝▲ ．本小题考查导数的几何意义、切线的求法．，令得，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b＝ln2－1．ln2－19在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P（0，p）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE的方程：，请你求OF的方程：（▲ ） .本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填．事实上，由截距式可得直线AB：，直线CP：，两式相减得，显然直线AB与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．10．将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10．．．．．．．按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为▲ ．本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1 行共有正整数1＋2＋…＋（n－1）个，即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第＋3个，即为．11.已知，，则的最小值▲ ．本小题考查二元基本不等式的运用．由得，代入得，当且仅当＝3 时取“＝”．312.在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= ▲ ．? ?设切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以△OAP 是等腰直角三角形，故，解得．13．若AB=2, AC= BC ，则的最大值▲ ．?本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC＝，则AC＝，根据面积公式得= ，根据余弦定理得，代入上式得=由三角形三边关系有解得，故当时取得最大值14. 对于总有≥0 成立，则= ▲ ．本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论取何值，≥0显然成立；当x＞0 即时，≥0可化为，设，则，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而≥4；当x＜0 即时，≥0可化为，在区间上单调递增，因此，从而≤4，综上＝44二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角, ，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B 的横坐标分别为．（Ⅰ）求tan( )的值；（Ⅱ）求的值．本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．由条件的，因为, 为锐角，所以=因此（Ⅰ）tan( )=（Ⅱ），所以∵为锐角，∴，∴=16．在四面体ABCD 中，CB= CD, AD⊥BD，且E ,F分别是AB,BD 的中点，求证：（Ⅰ）直线EF ‖面ACD ；（Ⅱ）面EFC⊥面BCD ．本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．（Ⅰ）∵E,F 分别是AB,BD 的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF‖AD，∵EF 面ACD ，AD 面ACD ，∴直线EF‖面ACD ．（Ⅱ）∵AD⊥BD ，EF‖AD，∴EF⊥BD.∵CB=CD, F 是BD的中点，∴CF⊥BD.又EF CF=F，∴BD⊥面EFC．∵BD 面BCD，∴面EFC⊥面BCD ．17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为km．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO= (rad)，将表示成的函数关系式；②设OP (km) ，将表示成x 的函数关系式．（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．本小题主要考查函数最值的应用．（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO= (rad) ，则, 故，又OP＝10－10ta ，所以，所求函数关系式为②若OP= (km) ，则OQ＝10－，所以OA =OB=所求函数关系式为（Ⅱ）选择函数模型①，令0 得sin ，因为，所以= ，当时，，是的减函数；当时，，是的增函数，所以当= 时，。

2008年江苏省高考数学试卷加详细解析

2008年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）（2008•江苏）若函数最小正周期为，则ω=_________ ．2．（5分）（2008•江苏）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是_________ ．3．（5分）（2008•江苏）若将复数表示为a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）的形式，则a+b= _________ ．4．（5分）（2008•江苏）若集合A={x|（x﹣1）2＜3x+7，x∈R}，则A∩Z中有_________ 个元素．5．（5分）（2008•江苏）已知向量和的夹角为120°，，则= _________ ．6．（5分）（2008•江苏）在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投点在E中的概率是_________ ．7．（5分）（2008•江苏）某地区为了解70﹣80岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：序号i分组（睡眠时间）组中值（G i）频数（人数）频率（F i）1[4，5） 4.560.122[5，6） 5.5100.203[6，7） 6.5200.404[7，8）7.5100.205[8，9]8.540.08在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为_________ ．8．（5分）（2008•江苏）设直线y=x+b是曲线y=lnx（x＞0）的一条切线，则实数b的值为_________ ．9．（5分）（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABC的顶点分别为A（0，a），B（b，0），C（c，0），点P（0，p）在线段AO上的一点（异于端点），这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F，某同学已正确求得直线OE的方程为，请你完成直线OF的方程：_________ ．10．（5分）（2008•江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为_________ ．11．（5分）（2008•江苏）设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则的最小值是_________ ．12．（5分）（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆M，若过作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为_________ ．13．（5分）（2008•江苏）满足条件AB=2，AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是_________ ．14．（5分）（2008•江苏）f（x）=ax3﹣3x+1对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a= _________ ．二、解答题（共12小题，满分90分）15．（15分）（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是，．（1）求tan（α+β）的值；（2）求α+2β的值．16．（15分）（2008•江苏）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．17．（15分）（2008•江苏）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB=20km，BC=10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设∠BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数；（ii）设OP=x（km），将y表示成x的函数；（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短．18．（15分）（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x2+2x+b（x∈R）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C．（1）求实数b的取值范围；（2）求圆C的方程；（3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论．19．（15分）（2008•江苏）（1）设a1，a2，…，a n是各项均不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．（i）当n=4时，求的数值；（ii）求n的所有可能值．（2）求证：对于给定的正整数n（n≥4），存在一个各项及公差均不为零的等差数列b1，b2，…，b n，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．20．（15分）（2008•江苏）已知函数，（x∈R，p1，p2为常数）．函数f（x）定义为：对每个给定的实数x，（1）求f（x）=f1（x）对所有实数x成立的充分必要条件（用p1，p2表示）；（2）设a，b是两个实数，满足a＜b，且p1，p2∈（a，b）．若f（a）=f（b），求证：函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（闭区间[m，n]的长度定义为n﹣m）21．（2008•江苏）如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求证：ED2=EB•EC．22．（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2+y2=1在矩阵对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．23．（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆上的一个动点，求S=x+y的最大值．24．（2008•江苏）设a，b，c为正实数，求证：．25．（2008•江苏）记动点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上一点，记．当∠APC为钝角时，求λ的取值范围．26．（2008•江苏）请先阅读：在等式cos2x=2cos2x﹣1（x∈R）的两边求导，得：（cos2x）′=（2cos2x﹣1）′，由求导法则，得（﹣sin2x）•2=4cosx•（﹣sinx），化简得等式：sin2x=2cosx•sinx．（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）n=C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n（x∈R，正整数n≥2），证明：．（2）对于正整数n≥3，求证：（i）；（ii）；（iii）．2008年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）考点：三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：根据三角函数的周期公式，即T=可直接得到答案．解答：解：.故答案为：10点评：本小题考查三角函数的周期公式，即T=．2．（5分）考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：分别求出基本事件数，“点数和为4”的种数，再根据概率公式解答即可．解答：解析：基本事件共6×6个，点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，故．故填：．点评：本小题考查古典概型及其概率计算公式，考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．3．（5分）考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数除法的法则：分子分母同乘以分母的共轭复数．解答：解：．∵，∴a=0，b=1，因此a+b=1故答案为1点评：本小题考查复数的除法运算．考点：交集及其运算．分析：先化简集合A，即解一元二次不等式（x﹣1）2＜3x+7，再与Z求交集．解答：解：由（x﹣1）2＜3x+7得x2﹣5x﹣6＜0，∴A=（﹣1，6），因此A∩Z={0，1，2，3，4，5}，共有6个元素．故答案是 6点评：本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．5．（5分）考点：向量的模．专题：计算题．分析：根据向量的数量积运算公式得，化简后把已知条件代入求值．解答：解：由题意得，=，∴=7．故答案为：7．点评：本小题考查向量模的求法，即利用数量积运算公式“”进行求解．6．（5分）考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是区域D表示边长为4的正方形的内部（含边界），满足条件的事件表示单位圆及其内部，根据几何概型概率公式得到结果．解答：解析：本小题是一个几何概型，∵试验包含的所有事件是区域D表示边长为4的正方形的内部（含边界），面积是42=16，满足条件的事件表示单位圆及其内部，面积是π×12根据几何概型概率公式得到∴故答案为：．点评：本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到，本题是通过两个图形的面积之比得到概率的值．本题可以以选择和填空形式出现．考点：频率分布表；工序流程图（即统筹图）．专题：图表型．分析：观察算法流程图知，此图包含一个循环结构，即求GF1+G2F2+G3F3+G4F4+G5F5的值，再结合直方图中数据即可1求解．解答：解：由流程图知：S=G1F1+G2F2+G3F3+G4F4+G5F5=4.5×0.12+5.5×0.20+6.5×0.40+7.5×0.2+8.5×0.08=6.42，故填：6.42．点评：本题考查读频率分布直方图、算法流程图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用图表获取信息时，必须认真观察、分析、研究图表，才能作出正确的判断和解决问题．8．（5分）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：欲实数b的大小，只须求出切线方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，最后求出切线方程与已知直线方程对照即可．解答：解：y′=（lnx）′=，令=得x=2，∴切点为（2，ln2），代入直线方程y=x+b，∴ln2=×2+b，∴b=ln2﹣1．故答案为：ln2﹣1点评：本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．9．（5分）考点：直线的一般式方程；归纳推理．专题：转化思想．分析：本题考查的知识点是类比推理，我们类比直线OE的方程为，分析A（0，a），B（b，0），C（c，0），P（0，p），我们可以类比推断出直线OF的方程为：．解答：解：由截距式可得直线AB：，直线CP：，两式相减得，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求直线OF的方程．故答案为：．点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．10．（5分）考点：归纳推理；等比数列的前n项和．专题：压轴题；规律型．分析：观察图例，我们可以得到每一行的数放在一起，是从一开始的连续的正整数，故n行的最后一个数，即为前n项数据的个数，故我们要判断第n行（n≥3）从左向右的第3个数，可先判断第n﹣1行的最后一个数，然后递推出最后一个数据．解答：解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n﹣1行共有正整数1+2+…+（n﹣1）个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第+3个，即为．点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．11．（5分）考点：基本不等式．分析：由x﹣2y+3z=0可推出，代入中，消去y，再利用均值不等式求解即可．解答：解：∵x﹣2y+3z=0，∴，∴=，当且仅当x=3z时取“=”．故答案为3．点评：本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，是高考考查的重点内容．12．（5分）考点：椭圆的简单性质．专题计算题；压轴题．：分析：抓住△OAP是等腰直角三角形，建立a，c的关系，问题迎刃而解．解答：解：设切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故，解得，故答案为．点评：本题考查了椭圆的离心率，有助于提高学生分析问题的能力．13．（5分）考点：三角形中的几何计算．专题：计算题；压轴题．分析：设BC=x，根据面积公式用x和sinB表示出三角形的面积，再根据余弦定理用x表示出sinB，代入三角形的面积表达式，进而得到关于x的三角形面积表达式，再根据x的范围求得三角形面积的最大值．解答：解：设BC=x，则AC=x，根据面积公式得S△ABC=AB•BCsinB=×2x，根据余弦定理得cosB===，代入上式得S△ABC=x=，由三角形三边关系有，解得2﹣2＜x＜2+2．故当x=2时，S△ABC取得最大值2．点评：本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题．14．（5分）考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；压轴题．分析：这类不等式在某个区间上恒成立的问题，可转化为求函数最值的问题，本题要分三类：①x=0，②x＞0，③x＜0等三种情形，当x=0时，不论a取何值，f（x）≥0都成立；当x＞0时有a≥，可构造函数g（x）=，然后利用导数求g（x）的最大值，只需要使a≥g（x）max，同理可得x＜0时的a的范围，从而可得a的值．解答：解：若x=0，则不论a取何值，f（x）≥0都成立；当x＞0即x∈（0，1]时，f（x）=ax3﹣3x+1≥0可化为：a≥设g（x）=，则g′（x）=，所以g（x）在区间（0，]上单调递增，在区间[，1]上单调递减，因此g（x）max=g（）=4，从而a≥4；当x＜0即x∈[﹣1，0）时，f（x）=ax3﹣3x+1≥0可化为：a≤，g（x）=在区间[﹣1，0）上单调递增，因此g（x）min=g（﹣1）=4，从而a≤4，综上a=4．答案为：4点评：本题考查的是含参数不等式的恒成立问题，考查分类讨论，转化与化归的思想方法，利用导数和函数的单调性求函数的最大值，最小值等知识与方法．在讨论时，容易漏掉x=0的情形，因此分类讨论时要特别注意该问题的解答．二、解答题（共12小题，满分90分）15．（15分）考点：两角和与差的正切函数．分析：（1）先由已知条件得；再求sinα、sinβ进而求出tanα、tanβ；最后利用tan（α+β）=解之．（2）利用第一问把tan（α+2β）转化为tan[（α+β）+β]求之，再根据α+2β的范围确定角的值．解答：解：（1）由已知条件即三角函数的定义可知，因为α为锐角，则sinα＞0，从而同理可得，因此．所以tan（α+β）=；（2）tan（α+2β）=tan[（α+β）+β]=，又，故，所以由tan（α+2β）=﹣1得．点评：本题主要考查正切的和角公式与转化思想．16．（15分）考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：证明题．分析：（1）根据线面平行关系的判定定理，在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可，根据中位线可知EF∥AD，EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，满足定理条件；（2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判定定理可知BD⊥面EFC，而BD⊂面BCD，满足定理所需条件．解答：证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF∥面ACD；（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD点评：本题主要考查线面平行的判定定理，以及面面垂直的判定定理．考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力．17．（15分）考点：在实际问题中建立三角函数模型．分析：（1）（i）根据题意知PQ垂直平分AB，在直角三角形中由三角函数的关系可推得OP，从而得出y的函数关系式，注意最后要化为最简形式，确定自变量范围．（ii）已知OP，可得出OQ的表达式，由勾股定理推出OA，易得y的函数关系式．（2）欲确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短也就是最小值问题，（1）中已求出函数关系式，故可以利用导数求解最值，注意结果应与实际情况相符合．解答：解：（Ⅰ）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ（rad），则，故，又OP=10﹣10tanθ，所以，所求函数关系式为②若OP=x（km），则OQ=10﹣x，所以OA=OB=所求函数关系式为（Ⅱ）选择函数模型①，令y′=0得sin，因为，所以θ=，当时，y′＜0，y是θ的减函数；当时，y′＞0，y是θ的增函数，所以当θ=时，．这时点P位于线段AB的中垂线上，在矩形区域内且距离AB边km处．点评：本小题主要考查函数最值的应用．①生活中的优化问题，往往涉及到函数的最值，求最值可利用单调性，也可直接利用导数求最值，要掌握求最值的方法和技巧．②在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点．18．（15分）考点：二次函数的图象；圆的标准方程．专题：计算题．分析：（1）由题意知，由抛物线与坐标轴有三个交点可知抛物线不过原点即b不等于0，然后抛物线与x轴有两个交点即令f（x）=0的根的判别式大于0即可求出b的范围；（2）设出圆的一般式方程，根据抛物线与坐标轴的交点坐标可知：令y=0得到与f（x）=0一样的方程；令x=0得到方程有一个根是b即可求出圆的方程；（3）设圆的方程过定点（x0，y0），将其代入圆的方程得x02+y02+2x0﹣y0+b（1﹣y0）=0，因为x0，y0不依赖于b得取值，所以得到1﹣y0=0即y0=1，代入x02+y02+2x0﹣y0=0中即可求出定点的坐标．解答：解：．（1）令x=0，得抛物线与y轴交点是（0，b）；令f（x）=x2+2x+b=0，由题意b≠0且△＞0，解得b＜1且b≠0．（2）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0令y=0得x2+Dx+F=0这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b．令x=0得y2+Ey+F=0，方程有一个根为b，代入得出E=﹣b﹣1．所以圆C的方程为x2+y2+2x﹣（b+1）y+b=0．（3）圆C必过定点，证明如下：假设圆C过定点（x0，y0）（x0，y0不依赖于b），将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为x02+y02+2x0﹣y0+b（1﹣y0）=0（*）为使（*）式对所有满足b＜1（b≠0）的b都成立，必须有1﹣y0=0，结合（*）式得x02+y02+2x0﹣y0=0，解得经检验知，（﹣2，1）均在圆C上，因此圆C过定点．点评：本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．是一道综合题．19．（15分）考点：等差数列的性质；等比关系的确定；等比数列的性质．专题：探究型；分类讨论；反证法．分析：（1）根据题意，对n=4，n=5时数列中各项的情况逐一讨论，利用反证法结合等差数列的性质进行论证，进而推广到n≥4的所有情况．（2）利用反证法结合等差数列的性质进行论证即可．解答：解：（1）①当n=4时，a，a2，a3，a4中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推1出d=0．若删去a2，则a32=a1•a4，即（a1+2d）2=a1•（a1+3d）化简得a1+4d=0，得若删去a3，则a22=a1•a4，即（a1+d）2=a1•（a1+3d）化简得a1﹣d=0，得综上，得或．②当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5中同样不可能删去a1，a2，a4，a5，否则出现连续三项．若删去a3，则a1•a5=a2•a4，即a1（a1+4d）=（a1+d）•（a1+3d）化简得3d2=0，因为d≠0，所以a3不能删去；当n≥6时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列a1，a2，a3，…，a n﹣2，a n﹣1，a n中，由于不能删去首项或末项，若删去a2，则必有a1•a n=a3•a n﹣2，这与d≠0矛盾；同样若删去a n﹣1也有a1•a n=a3•a n﹣2，这与d≠0矛盾；若删去a3，，a n﹣2中任意一个，则必有a1•a n=a2•a n﹣1，这与d≠0矛盾．（或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项）综上所述，n=4．（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列b1，b2，b n，其中b x+1，b y+1，b z+1（0≤x＜y ＜z≤n﹣1）为任意三项成等比数列，则b2y+1=b x+1•b z+1，即（b1+yd）2=（b1+xd）•（b1+zd），化简得（y2﹣xz）d2=（x+z﹣2y）b1d（*）由b1d≠0知，y2﹣xz与x+z﹣2y同时为0或同时不为0当y2﹣xz与x+z﹣2y同时为0时，有x=y=z与题设矛盾．故y2﹣xz与x+z﹣2y同时不为0，所以由（*）得因为0≤x＜y＜z≤n﹣1，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数．于是，对于任意的正整数n（n≥4），只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列．例如n项数列1，，，，满足要求．点评：本题是一道探究性题目，考查了等差数列和等比数列的通项公式，以及学生的运算能力和推理论证能力．20．（15分）考点：指数函数综合题．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：（1）根据题意，先证充分性：由f（x）的定义可知，f（x）=f（x）对所有实数成立，等价于f1（x）≤f1（x）对所有实数x成立等价于，即对所有实数2x均成立，分析容易得证；再证必要性：对所有实数x均成立等价于，即|p1﹣p2|≤log32，（2）分两种情形讨论：①当|p1﹣p2|≤log32时，由中值定理及函数的单调性得到函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度；②当|p1﹣p2|＞log32时，a，b是两个实数，满足a＜b，且p1，p2∈（a，b）．若f （a）=f（b），根据图象和函数的单调性得到函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度．解答：解：（1）由f（x）的定义可知，f（x）=f（x）（对所有实数x）等价于f1（x）≤f2（x）（对所有实数x）1这又等价于，即对所有实数x均成立．（*）由于|x﹣p1|﹣|x﹣p2|≤|（x﹣p1）﹣（x﹣p2）|=|p1﹣p2|（x∈R）的最大值为|p1﹣p2|，故（*）等价于，即|p1﹣p2|≤log32，这就是所求的充分必要条件（2）分两种情形讨论（i）当|p1﹣p2|≤log32时，由（1）知f（x）=f1（x）（对所有实数x∈[a，b]）则由f（a）=f（b）及a＜p1＜b易知，再由的单调性可知，函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度为（参见示意图）（ii）|p1﹣p2|＞log32时，不妨设p1＜p2，，则p2﹣p1＞log32，于是当x≤p1时，有，从而f（x）=f1（x）；当x≥p2时，有从而f（x）=f2（x）；当p1＜x＜p2时，，及，由方程解得f1（x）与f2（x）图象交点的横坐标为（1）显然，这表明x0在p1与p2之间．由（1）易知综上可知，在区间[a，b]上，（参见示意图）故由函数f1（x）及f2（x）的单调性可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（x0﹣p1）+（b﹣p2），由于f（a）=f（b），即，得p1+p2=a+b+log32（2）故由（1）、（2）得综合（i）（ii）可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和为．点评：考查学生理解充分必要条件的证明方法，用数形结合的数学思想解决问题的能力，以及充分必要条件的证明方法．21．（2008•江苏）考点：与圆有关的比例线段；二阶行列式与逆矩阵；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明．分析：根据已知EA是圆的切线，AC为过切点A的弦得两个角相等，再结合角平分线条件，从而得到△EAD是等腰三角形，再根据切割线定理即可证得．解答：证明：因为EA是圆的切线，AC为过切点A的弦，所以∠CAE=∠CBA．又因为AD是ÐBAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD所以∠DAE=∠DAC+∠EAC=∠BAD+∠CBA=∠ADE所以，△EAD是等腰三角形，所以EA=ED．又EA2=EC•EB，所以ED2=EB•EC．点评：此题主要是运用了弦切角定理的切割线定理．注意：切线长的平方应是EB和EC的乘积．22．（2008•江苏）考点：圆的标准方程；矩阵变换的性质．专题：计算题．分析：由题意先设椭圆上任意一点P（x，y0），根据矩阵与变换的公式求出对应的点P′（x0′，y0′），得到两点的关系式，再由点P在椭圆上代入化简．解答：解：设P（x，y0）是椭圆上任意一点，则点P（x0，y0）在矩阵A对应的变换下变为点P′（x0′，y0′）则有，即，所以又因为点P在椭圆上，故4x02+y02=1，从而（x0′）2+（y0′）2=1所以，曲线F的方程是x2+y2=1点评：本题主要考查了矩阵与变换的运算，结合求轨迹方程得方法：代入法求解；是一个较综合的题目．23．（2008•江苏）考点：椭圆的参数方程．专题：计算题；转化思想．分析：先根据椭圆的标准方程进行三角代换表示椭圆上任意一点，然后利用三角函数的辅助角公式进行化简，即可求出所求．解答：解：因椭圆的参数方程为（ϕ为参数）故可设动点P的坐标为，其中0≤ϕ＜2π．因此所以，当时，S取最大值2．点评：本题主要考查了椭圆的简单性质及参数方程的问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．24．（2008•江苏）考点：平均值不等式；不等式的证明．专题：证明题．分析：先根据平均值不等式证明，再证．解答：证明：因为a，b，c为正实数，由平均不等式可得，即，所以，，而，所以，点评：本题考查平均值不等式的应用，n个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数．25．（2008•江苏）考点：用空间向量求直线间的夹角、距离．专题：计算题；压轴题．分析：由题意易知∠APC不可能为平角，则∠APC为钝角等价于，即，再将用关于λ的字母表示，根据向量数量积的坐标运算即可解答：解：由题设可知，以、、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1）由，得，所以显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于，则等价于即（1﹣λ）（﹣λ）+（﹣λ）（1﹣λ）+（λ﹣1）2=（λ﹣1）（3λ﹣1）＜0，得因此，λ的取值范围是点评：本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于基础题．26．（2008•江苏）请先阅读：考点：微积分基本定理；二项式定理；类比推理．专题证明题；综合题；压轴题．：分析：（1）对二项式定理的展开式两边求导数，移项得到恒等式．（2）（i）对（1）中的x 赋值﹣1，整理得到恒等式．（ii）对二项式的定理的两边对x求导数，再对得到的等式对x两边求导数，给x赋值﹣1化简即得证．（iii）对二项式定理的两边求定积分；利用微积分基本定理求出两边的值，得到要证的等式．解答：证明：（1）在等式（1+x）n=Cn 0+Cn1x+Cn2x2++Cnn x n两边对x求导得n（1+x）n﹣1=Cn1+2Cn2x++（n﹣1）Cnn﹣1x n﹣2+nCnn x n﹣1移项得（*）（2）（i）在（*）式中，令x=﹣1，整理得所以（ii）由（1）知n（1+x）n﹣1=C n1+2C n2x+…+（n﹣1）C n n﹣1x n﹣2+nC n n x n﹣1，n≥3两边对x求导，得n（n﹣1）（1+x）n﹣2=2C n2+3•2C n3x+…+n（n﹣1）C n n x n﹣2在上式中，令x=﹣1，得0=2C n2+3•2C n3（﹣1）+…+n（n﹣1）C n2（﹣1）n﹣2即，亦即（1）又由（i）知（2）由（1）+（2）得（iii）将等式（1+x）n=C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n两边在[0，1]上对x积分由微积分基本定理，得所以点评：本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求系数和问题、考查微积分基本定理．（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

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一、填空题：本大题共 1 小题，每小题 5 分，共 70 分．
1. 【答案】 10
【解析】本小题考查三角函数的周期公式
2 .T
10
5
1
2．【答案】
12
【解析】本小题考查古典概型．基本事件共
6× 6 个，点数和为 4 的有 (1,3)、(2,2) 、 (3,1)共 3 个，
故P 3
1
6 6 12
3. 【答案】 1
并铺设三条排污管道 AO,BO,OP ，设排污管道的总长为 y km ．
（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：
①设∠ BAO= (rad)，将 y 表示成的函数关系式； ②设 OP x (km) ，将 y 表示成 x 的函数关系式．
（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．
11
E、 F ，某同学已正确求得 OE 的方程：
x
bc
1
1 y
0 ，请你完成直线 OF 的方程：
pa
（ ▲ ）x
11 y 0.
pa
10．将全体正整数排成一个三角形数阵： 1
23 456 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ．．．．．．．按照以上排列的规律，数阵中第 n 行（ n ≥ 3）从左向右的第 3 个数为 ▲ ．
2
2
2
2
5a b 5a b 25a 10a b b
= 25 12 10 1 3
1 32 49 ， 5a b 7 2
6. 【答案】
16
【解析】本小题考查古典概型．如图：区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部（含边界），区域 E 表
示单位圆及其内部，因此． P
12
4 4 16
7. 【答案】 6.42 8. 【答案】 ln2－ 1
18．设平面直角坐标系 xoy 中，设二次函数 f x x2 2x b x R 的图象与两坐标轴有三个
交点，经过这三个交点的圆记为 C．（Ⅰ）求实数 b 的取值范围；（Ⅱ）求圆 C 的方程；（Ⅲ）问圆 C 是否经过某定点（其坐标与 b 无关）？请证明你的结论．
第 3 页共 12 页
19.（Ⅰ）设 a1, a2,
【解析】本小题考查复数的除法运算．∵
2
1i 1i i ，∴ a ＝ 0， b ＝ 1，因此 a b 1
1i 2
4. 【答案】 0
【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．
由 ( x 1)2 3x 7 得 x2 5x 8 0 ,∵Δ
＜ 0，∴集合 A 为，因此 A Z 的元素不存在．
5. 【答案】 7 【解析】本小题考查向量的线性运算．
n 2 n ＋ 3 个，即为 n2 n 6 ．
2
2
11. 【答案】 3 【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由
2
x 2 y 3z
0得 y
x
3z
y
，代入
得
2
xz
x2 9z2 6xz 6xz 6xz 3，当且仅当 x ＝ 3 z 时取“＝”．
4xz
4 xz
2
12. 【答案】
2
【解析】设切线 PA、 PB 互相垂直，又半径 OA 垂直于 PA，所以△ OAP 是等腰直角三角形，故
第 5 页共 12 页
【解析】本小题考查导数的几何意义、
切线的求法．
'
y
代入直线方程，得，所以 b＝ln2 －1．
1
1
，令
x
x
1 得x
2
2 ，故切点（ 2，ln2），
11
9【答案】
cb
【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填
11
．事实上，由截距式可得
cb
直线 AB ： x y 1 ，直线 CP： x
解：由已知条件及三角函数的定义可知， cos
2 ,cos
25
，
10
5ห้องสมุดไป่ตู้
因为
,
为锐角，所以 sin
=7
2 ,sin
5
10
5
1 因此 tan 7, tan
2
tan tan
（Ⅰ） tan(
)=
3
1 tan tan
第 7 页共 12 页
（Ⅱ） tan 2
2 tan 1 tan2
4 ，所以 tan 3
2
tan tan 2 1 tan tan 2
S 的值是 ▲ 。
8.设直线 y 1 x b 是曲线 y ln x x 0 的一条切线，则实数 b＝ ▲ ． 2
9 在平面直角坐标系 xOy 中，设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0,a),B(b,0),C (c,0)
，点 P（ 0，p）在
线段 AO 上的一点（异于端点），设 a,b,c, p 均为非零实数，直线 BP,CP 分别与边 AC , AB 交于点
2
4 ，从而 a ≥ 4；
当 x＜ 0 即 1,0 时， f x
ax3 3x 1≥ 0 可化为 a
3 x2
1 x3
，
g'
x
3 1 2x x4
0
g x 在区间 1,0 上单调递增，因此 g x man g 1 4 ，从而 a ≤ 4，综上 a ＝ 4
二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．
e=
c
▲．
第 2 页共 12 页
13．满足条件 AB=2, AC= 2 BC 的三角形 ABC 的面积的最大值是
▲．
14.设函数 f x ax3 3x 1（ x∈R），若对于任意 x 1,1 ，都有 f x ≥ 0 成立，则实数 a =
▲．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分。请在答题卡指定区域内作答，证明过程或演算步骤． 15．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边做两个锐角
1
∵ , 为锐角，∴ 0
3
3
2
，∴ 2 =
2
4
16．【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．
解：（Ⅰ）∵ E,F 分别是 AB,BD 的中点，
∴ EF 是△ ABD 的中位线，∴ EF∥ AD ，
∵ EF 面 ACD ，AD 面 ACD ，∴直线 EF∥面 ACD ．
（Ⅱ）∵ AD ⊥ BD ，EF∥ AD ，∴ EF⊥ BD.
2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损． 5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．参考公式 :
（Ⅱ）设 a,b 为两实数，满足 a b ，且 p1, p2 ∈ a, b ,若 f a f b ，求证： f x 在区间 a, b
上的单调增区间的长度之和为
b a （闭区间 m, n 的长度定义为 n m）． 2
第 4 页共 12 页
2008 年普通高等学校招生全国统一考试
数学参考答案
（江苏卷）
1. f x cos x
的最小正周期为，其中
0 ，则 = ▲
．
6
5
2．一个骰子连续投 2 次，点数和为 4 的概率
▲．
1
3.
i 表示为 a
bi
a, b
R ，则 a
b
=
▲
．
1i
2
4.A= x x 1 3x 7 ，则 A Z 的元素的个数 ▲ ．
5. a ， b 的夹角为 120 ， a 1 ， b 3 则 5a b
绝密★启用前
2008 年普通高等学校招生全国统一考试
数学
（江苏卷）
本试卷分第 I 卷（填空题）和第 II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．
4 x2 2x2 4x
4 x2
，代入上式得
4x
S ABC = x 1
4 x2 2 4x
128 x2 12 16
由三角形三边关系有
2x x 2 解得 2 2 2 x 2 2 2 ，
x 2 2x
故当 x 2 2 时取得 S ABC 最大值 2 2
14. 【答案】 4 【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若
, an 是各项均不为零的等差数列（ n 4 ），且公差 d 0 ，若将此数列删去
某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：
①当 n =4 时，求 a1 的数值；②求 n 的所有可能值； d
（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数
n(n ≥ 4) ，存在一个各项及公差都不为零的等差数列
b1 , b2 ,
, bn ，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．
解答时应写出文字说明、
, ，它们的终边分别与单位圆相交于 A 、B 两点，已知 A 、B 的
横坐标分别为 2 , 2 5 ． 10 5
（Ⅰ）求 tan(
)的值；
（Ⅱ）求
2 的值．
16．如图，在四面体 ABCD 中， CB= CD, AD ⊥ BD，点 E 、
F分
别是 AB 、 BD 的中点，