专题2.3-平面向量中范围、最值等综合问题-玩转压轴题-突破140分之高三数学选填题高端精品(原卷版

拔高点突破01一网打尽平面向量中的范围与最值问题(十大题型)-2

拔高点突破01 一网打尽平面向量中的范围与最值问题题型九：平行四边形大法1．如图，圆O 是半径为1的圆，12OA =，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC BC ®®×的取值范围是.2．如图，C ，D 在半径为1的O e 上，线段AB 是O e 的直径，则AC BD ×uuu r uuu r的取值范围是.（2024·浙江·模拟预测）3．已知e r 为单位向量，平面向量a r ，b r 满足||||1a e b e +=-=r r r r ，a b ×r r 的取值范围是 .（2024·江西宜春·校联考模拟预测）4．半径为1的两圆M 和圆O 外切于点P ，点C 是圆M 上一点，点B 是圆O 上一点，则PC PB ×uuu r uuu r 的取值范围为.5．设圆M ，圆N 的半径分别为1，2，且两圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M ，圆N 上的两动点，则PA ⋅PB 的取值范围是（）A ．18,2éù-êúëûB ．316,4éù-êúëûC ．[]8,1-D ．[]16,1-题型十：向量对角线定理6．已知四边形ABCD ，AB BC ^，2AB BC AD ===，3CD =，AC 与BD 交于点O ，若记a OA OB =×uuu r uuu r，b OB OC =×uuu r uuu r ，c OC OD =×uuu r uuu r，则（）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．c a b <<D ．b a c <<7．如图，在圆O 中，若弦3AB =，弦5AC =，则AO BC ×uuu r uuu r的值是（）A ．8-B ．1-C ．1D ．88．如图，在四边形ABCD 中，AB BC ^，AD DC ^若，AB a =uuu r ，AD b =uuu r ，则AC BD ×uuu r uuu r 等于（）A ．22b a -B ．22a b -C ．22a b +D ．22a b ×9．如图，ABC V 的三边长为3,7,5AB BC AC ===，且点,B C 分别在x 轴，y 轴正半轴上移动，点A 在线段BC 的右上方．设(),OA xOB yOC x y =+ÎR uuu r uuu r uuu r ，记,M OA OC N x y =×=+uuu r uuu r，分别考查,M N 的所有可能结果，则（）A ．M 有最小值，N 有最大值B ．M 有最大值，N 有最小值C ．M 有最大值，N 有最大值D ．M 有最小值，N 有最小值10．在矩形ABCD 中，2AB =，3AD =，P 为矩形ABCD 所在平面内的动点，且1PA =，则PB PC ×uuu r uuu r的最大值是（）A ．9B ．10C ．11D ．12（2024·湖北黄冈·二模）11．已知e r 为单位向量，向量a r满足3,1a e e a l ×=-=r r r r ，则a r 的最大值为（）A ．9B ．3C D ．1012．已知e r 为单位向量，向量a r满足3,1e a e a l ×=-=r r r r ，则a r 的最大值为（）A ．9B ．CD ．813．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，5AB =，4=AD ，1DC =，点E 是线段AB 上一点，且满足4AE EB =，动点P 在以E 为圆心的半径为1的圆上运动，则DP AC ×uuu r uuu r的最大值为（）A6B C．6D（2024·四川成都·模拟预测）14．在矩形ABCD中，5,4AB AD==，点E是线段AB上一点，且满足4AE EB=.在平面ABCD中，动点P在以E为圆心，1为半径的圆上运动，则DP AC×uuu r uuu r的最大值为（）A4B6C．4D．6（2024·贵州贵阳·三模）15．已知2|||1,0,||||4,650a b a b c a c a d b d==×=++-=-×+=r r r r rr r r r r r，则||c d-rr的最大值为（）A2B．4C．6D216．已知非零平面向量ar，br的夹角为π3，且1a b-=rr，则(2)a a b×+rr r的最大值为（）A B1C D2+17．如图，在矩形ABCD中，24,AB BC AC==与BD的交点为,M N为边AB上任意一点（包含端点），则MB DN×uuu r uuur的最大值为（）A．2B．4C．10D．1218．如图所示，ABCV中，点D是线段BC的中点，E是线段AD上的动点，若BE xBA yBC=+uuu r uuu r uuu r，则21x y+的最小值（）A．1B．3C．5D．819．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.如图甲是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图乙所示其外框是边长为4的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心为该正六边形的中心O ，圆O 的半径为2，点P 在圆O 上运动，则PE OF ×uuu r uuu r的最小值为（）A ．-8B ．-4C ．0D ．420．已知点A 、B 在圆224x y +=上，且2AB =，P 为圆O 上任意一点，则AB BP ×uuu r uuu r的最小值为（）A ．0B ．4-C ．6-D ．8-21．已知ABC V 是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ×+uuu r uuu r uuu r的最小值是（）A ．2-B ．8-C ．3-D ．6-22．已知向量,a b r r 的夹角为2π3，且24a b ==r r ，则()a tb t +ÎR r r 的最小值是（）A B ．3C ．D ．23．扇形AOB 的半径为1，120AOB Ð=°，点C 在弧AB 上运动，则CA CB ×uuu r uuu r的最小值为（）A ．12-B ．0C ．32-D ．-124．在OAB △中，1,2,120OA OB AOB ==Ð=°，点P 是等边ABC V （点O 与C 在AB 的两侧）边上的一动点，若OP xOA yOB =+uuu r uuu r uuu r，则有（）A ．当12x =时，点P 必在线段AB 的中点处B ．x y +的最大值是92C ．OP OA ×uuu r uuu r 的最小值是1-D ．PA PB ×uuu r uuu r 的范围是77,42éù-êúëû25．已知点A 、B 、P 在C e 上，则下列命题中正确的是（）A ．1AC =uuu r ，则AC AB ×uuu r uuu r 的值是12B ．1AB =uuu r ，则AC AB ×uuu r uuu r 的值是12C ．1AC AB ==uuu r uuu r ，则AP AB ×uuu r uuu r 的范围是13,22éù-êúëûD ．1AC AB ==uuu r uuu r ，且AP AB AC l m =+uuu r uuu r uuu r ，则l m +的范围是1éêë26．已知圆O 半径为2，弦2AB =，点C 为圆O 上任意一点，则下列说法正确的是（）A ．2BA BO ×=uuu r uuu rB ．AB AC ×uuu r uuu r的最大值为6C ．[]0,4OC AB AO --Îuuu r uuu r uuu r D ．满足0AB AC ×=uuu r uuu r的点C 只有一个27．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆O 的半径2，点P 是圆O 内的定点，且OP =，弦AC BD ，均过点P ，则下列说法正确的是（）A ．PA PC ×uuu r uuu r为定值B ．OA OC ×uuu r uuu r的取值范围是[]20-，C ．当AC BD ^时，AB CD ×uuu r uuu r为定值D ．·AC BD uuu r uuu r 的最大值为1628．如图，在梯形ABCD 中，,,2,4,5,,AB CD AD AB CD AD AB E F ^===∥分别在线段,AD AB 上，且线段DE 与线段BF 的长度相等，则（）A ．CE CF ×uuu r uuu r的最小值为4-B ．CE CF ×uuu r uuu r的最大值为18C ．CE EF ×uuu r uuu r的最大值为1-D ．CEF △的面积的最大值为418（2024·山东潍坊·二模）29．已知向量a r ，b r ，c r为平面向量，1a =r ，2b =r ，0a b ×=r r ，12c a -=r r ，则（）A ．312c ££r B ．()()c a c b -×-r r r r C ．11b c -£×£r rD ．若c a b l m =+r r r，则l m +的最小值为1（2024·甘肃·一模）30．已知单位向量,a b rr 满足34a b m -=r r ，则m 的范围是 .（2024·高三·上海闵行·开学考试）31．阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足2PAPB =，则PA PB ×uuu r uuu r的范围为.32．在ABC V 中，3AB =，2AC =，60BAC °Ð=，点P 是ABC V 内一点（含边界），若23AP AB AC l =+uuu r uuu r uuu r，则AP uuu r 的最大值为.（2024·天津河西·三模）33．如图，动点C 在以AB 为直径的半圆O 上（异于A ，B ），DC BC ^，DC BC =，2AB =，CA BC -=uuu r uuu r ；OC OD ×uuu r uuu r的最大值为．34．如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，23AD AC =uuu r uuu r，且点P 在以AD 的中点O为圆心、OA 为半径的半圆上，若BP xBA yBC =+uuu r uuu r uuu r，则下列说法正确的是．①1233BD BA BC =+uuu r uuu r uuu r ②x y +的最大值为1③BP BC ×uuu r uuu r最大值为9 ④1BO DO ×=uuu r uuur35．如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，23AD AC =uuu r uuu r，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，则BP BC ×uuu r uuu r的最大值为．参考答案：1．1,38éù-êúëû【分析】连接OA ，OB ，设D 是线段BC 的中点，连接OD ，则有OD BC ^.设q 为OA ®和BC®的夹角.求出 211cos 22AC BC BC BC q ®®®®×=-,利用二次函数即得解.【详解】解：连接OA ，OB ，设D 是线段BC 的中点，连接OD ，则有OD BC ^.设q 为OA ®和BC ®的夹角.则AC BC OC OA BC OC BC OA BC ®®®®®®®®®æö×=-×=×-×ç÷èøcos cos OC BC BCO OA BC q ®®®®=××Ð-××211cos 22BC BC q ®®=-，221111cos 2222BC BC BC BC q ®®®®-³-2111228BC æö=--ç÷èøuuur ，（当cos 1q =即0q =时取等）因为[]0,2BC ®Î，所以当12BC ®=时，AC BC ®®×有最小值18-.221111cos +2222BC BC BC BC q ®®®®-£2111228BC æö=+-ç÷èøuuur ，（当cos 1q =-即q p =时取等）当2BC ®=时，211+22BC BC ®®有最大值为3，即AC BC ®®×有最大值3，所以AC BC ®®×的取值范围是1,38éù-êúëû.故答案为：1,38éù-êúëû【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用向量的运算建立函数模型211cos 22AC BC BC BC q ®®®®×=-，再利用二次函数的图象和性质求解.2．14,2éù-êúëû【分析】以点O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设出D 的坐标，求出,AC BD uuu r uuu r，然后化简，即可求解它的范围.【详解】以点O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点(cos ,sin ),(),(,)D AC a b q q p q p -££=uuu r ，22CAB pp a a æöÐ=-<<ç÷èø，则2tan ,2cos b a aa a ==，2sin cosb a a =，()cos 1,sin BD q q =-uuu v则(,)(cos 1,sin )cos sin )AC BD a b a b a a q q q q q j ×=×-=+-=+-uuu r uuu r，其中tan a bj =，所以AC BD ×uuu r uuu r的最大值为：22cos a a =22112cos 2cos 2cos 22a a a æö=-=--+ç÷èø，则当1cos 2a =时，AC BD ×uuu r uuu r 取得最大值12，最小值为22112cos 2cos 2cos 22a a a a æö=--=-++ç÷èø，则当cos 1a =时，AC BD ×uuu r uuu r取得最小值4-，综上，AC BD ×uuu r uuu r 的取值范围为14,2éù-êúëû.故答案为：14,2éù-êúëû.【点睛】本题考查平面向量的运算、三角恒等变换，适当建立平面直角坐标系将几何问题代数化是解题的关键，是中档题.3．14,2éù-êúëû【解析】建系，不妨设(1,0)e =r ，(,)a x y =r ，(,)b m n =r ，则a b ×rr mx ny =+，再利用柯西不等式将所求mx ny +x x =，利用换元法求出最大值，最小值显然为,a b rr 共线方向时取得.【详解】不妨设(1,0)e =r，(,)a x y =r ，(,)b m n =r ，由已知，得22(1)1x y ++=，22(1)1m n -+=，a b ×rr (1)mx ny m x ny x x =+=-++£+=x ，令[0,2]t =Î221111(1)2222x t t t =-=--+£，又显然当a r ，b r 向量反向时，a b ×r r 最小，即(2,0)a =-r ，(2,0)b =r ，此时4a b ×=-rr ，综上，a b ×r r 的取值范围是14,2éù-êúëû.故答案为：14,2éù-êúëû.【点睛】本题考查向量数量积取值范围的问题，解决中涉及到了柯西不等式，考查学生通过变形利用不等式求解最大值，本题是一道难题.4．14,2éù-êúëû【分析】设点C 关于点P 的对称点为A ，则点A 在圆O 上，计算可得出21122PC PB OA OB OP ×=-+-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，求出OA OB OP +-uuu r uuu r uuu r 的取值范围，即可得出PC PB ×uuu r uuu r的取值范围.【详解】设点C 关于点P 的对称点为A ，则点A 在圆O 上，所以，()()()2PC PB PA PB OA OP OB OP OP OA OB OA OB OP×=-×=--×-=×+-×-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ()1OP OA OB OA OB =×+-×-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，因为()()222222OA OB OPOA OB OP OP OA OB OA OB+-=++-×++×uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r()322OP OA OB OA OB =-×++×uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以，()22111131222PC PB OP OA OB OA OB OA OB OP OA OB OP éù×=×+-×-=-+--=-+-êúëûuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r ，因为03OA OB OP OA OB OP £+-£++=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，当且仅当OA uuu r 、OB uuu r 同向且OA uuu r 、OP uuur 反向时，3OA OB OP +-=uuu r uuu r uuu r ，当OA OB OP +=uuu r uuu r uuu r时，则()22OA OBOP +=uuu r uuu r uuu r ，所以，221OA OB +×=uuu r uuu r，所以，12OA OB ×=-uuu r uuu r ，所以，1cos ,2OA OB OA OB OA OB ×==-×uuu r uuu ruuu r uuu r uuu r uuu r ，因为0,πOA OB ££uuu r uuu r ，则2π,3OA OB =uuu r uuu r ，故当2π3AOB Ð=且四边形OAPB 为菱形时，0OA OB OP +-=uuu r uuu r uuu r ，因此，21114,222PC PB OA OB OP éù×=-+-Î-êúëûuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r .故答案为：14,2éù-êúëû.5．C【分析】连接MN 分别与两圆交于,E F ，连AE ，延长AP 交圆N 与C ，连CF ，可得//AE CF ，2PC PA =，从而有12PA PB PB PC ×=-×uuu r uuu r uuu r uuu r ，先固定PB ，根据向量数量积的定义，求出PC uuu r 在PB上投影的最大值和最小值，再利用||PB uuu r的范围，即可求解.【详解】连接MN 分别与两圆交于,E F ，又两圆外切于点P ，,,P E F \三点共线，连AE ，延长AP 交圆N 与C ，连CF ，,PE PF Q 分别为圆M ，圆N 的直径，,,//PA AE PC CF AE CF \^^\，又2,2PF PE PC PA =\=，12PA PB PB PC ×=-×uuu r uuu r uuur uuu r ，设G 为PB 中点，连GN ，先固定PB ，根据向量数量积的定义，当PC uuu r在PB 同向投影最大值时C 为与GN 平行的圆切线的切点，记为图中的D 点，此时PD uuu r 在PB 投影1||||22PH PB =+1||||||2||2PB PC PB PD PB PH PB PB æö\×£×=×=×+ç÷èø21||2||162PB PB =+£，当且仅当||4PB =，等号成立，min max 1()()82PA PB PB PC \×=-×=-uuu r uuu r uuur uuu r 同理当PC uuu r在PB 投影最小（在PB 反向上）时，C 为与GN 平行的圆切线的切点，记为图中的K 点，此时PK uuu r 在PB 投影12||2PB -，1||2|2PB PC PB PK PB PB æö×³×=-×-ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r 2211||2||(||2)2222PB PB PB =---=³-，当且仅当||2PB =时，等号成立，max min 11()()(2)122PA PB PB PC \×=-×=-´-=uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以PA ⋅PB 的数量积取值范围是[8,1]-.故选：C.【点睛】本题考查向量数量积的取值范围、向量数量积的几何意义，解题的关键是两圆变一圆，考查数形结合思想，考查直观想象能力，属于较难题.6．C【分析】根据向量形式的余弦定理计算可得0AC DB ×>uuu r uuu r，再利用作差法即可比较,,a b c 的大小关系.【详解】在ADC △中，根据余弦定理有222||||||2||||cos 2CD CA AD CA CD ACD CA CD +-=×Ð=×uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r；在ABC V 中，根据余弦定理有222||||||2||||cos 2CB CA AB CA CB ACB CA CB +-=×Ð=×uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r；两式作差得22222()||||||||CA CD CB AB CD CB AD ×-=+--uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r即2222||||||||5022AB CD CB AD AC DB +--×==>uuu r uuu r uuu r uuu ruuu r uuu r ，所以00b a OB OC OA OB OB AC tDB AC t -=×-×=×=×>>uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r（）.又||||cos 0AC DB AC DB BOC ×=Ð>uuu r uuu r uuu r uuu r，所以cos 0BOC Ð>，则cos 0AOB Ð<，由图易知,OD OA OC OB >>uuu r uuu r uuu r uuu r，所以()cos 0c a OC OD OA OB OC OD OA OB AOB -=×-×=-Ð<uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，所以c a b <<.故选：C ．7．D【分析】过点O 作OD BC ^，交BC 于点D ，连接AD ，则D 为BC 的中点，0OD BC ×=uuu r uuu r，由()12AD AC AB =+uuu r uuu r uuu r ，又,AO AD DO BC AC AB =+=-uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r，即可得出()AO BC AD DO BC ×=+×uuu r uuu r uuu r uuur uuu r AD BC =×uuu r uuu r，进而求出结果.【详解】如图所示，过点O 作OD BC ^，交BC 于点D ，连接AD ，则D 为BC 的中点，0OD BC ×=uuu r uuu r，所以()12AD AC AB =+uuu r uuu r uuu r ，又,AO AD DO BC AC AB =+=-uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r ，则()AO BC AD DO BC×=+×uuu r uuu r uuu r uuur uuu r ()()12AD BC AC AB AC AB=×=+×-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ()()22221153822AC AB =-=-=uuu r uuu r .故选：D 8．A【分析】由对角线向量定理直接求解.【详解】如图所示，由对角线向量定理得22222222()()()()22AD BC AB CD b a BC CD AC BD +-+-+-×==uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r =22222222()()()2b a AC AB AC AD b a -+---=-uuu r uuu r uuu r uuu r ，故选：A 9．B【分析】设π0,,2BCO ACB a b æöÐ=ÎÐ=ç÷èø，用,a b 表示出,M N ，然后利用三角函数的性质求最值.【详解】设π0,,2BCO ACB a b æöÐ=ÎÐ=ç÷èø，由余弦定理得4925913cos ,sin 27514b b +-===´´过A 点作AD y ^轴，设垂足为D ，在BOC V 中，cos 7cos ,sin 7sin OC BC OB BC a a a a ====，所以()()7sin ,0,0,7cos B C a a 在ADC △中，()()sin 5sin ,cos 5cos AD AC ACD CD AC ACD a b a b =Ð=+=Ð=+，所以()()()5sin ,7cos 5cos A a b a a b +-+由OA xOB yOC=+uuu r uuu r uuu r即()()()()()5sin ,7cos 5cos 7sin ,00,7cos x y a b a a b a a +-+=+得()()5sin 7cos 5cos ,7sin 7cos x y a b a a b aa+-+==，所以()()5sin 7cos 5cos 117sin 7cos N x y a b a a b aa+-+=+=+=³+当且仅当π4a =时取最小值，没有最大值．()()33217cos 7cos 5cos sin 242M OA OC a a a b a g éù=×=-+=++ëûuuu r uuu r ，其中11πsin ,cos 0,142g g g æö==Îç÷èø，因为2πg a g g <+<+，所以()()11sin πsin 2114g a g -=+<+£，所以750,4M æùÎçúèû，当且仅当()sin 21a g +=即π42g a =-时取最大值，没有最小值．故选：B.10．B【分析】建立平面直角坐标系，设(,)P x y ，根据条件得到)(2,),(2,3P x C x y B y P ==----uuuuu r uuu r，从而得到2239(2)(24x PB y PC ×=-+--uuu r uuu r ，又221x y +=，结合图形，得PH AH AP =£+，即可求出结果.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设(,)P x y ，BC 中点为H ，因为2AB =，3AD =，所以(0,0)A ,(2,0)B ，(2,3)C ，3(2,)2H ，得到)(2,),(2,3P x C x y B y P ==----uuuuu r uuu r，所以222239(2)3(2)()24x y y x y PB PC =-×+-=-+--uuu r uuu r ，又因为1PA =，所以221x y +=，又712PH AH AP £+=+=，当且仅当,,H A P （P 在HA 的延长线上）三点共线时取等号，所以222239499(2)3(2)()102444PB PC x y y x y =-+-=-+--£-=×uuu r uuu r ，故选：B.【点睛】关键点点晴：设(,)P x y ，利用向量数量积的坐标运算，得到2239(2)(24x PB y PC ×=-+--uuu r uuu r ，再利用圆的几何性质，即可求解.11．C【分析】根据条件得到()222||61(3)10a l l l =---=--+r ，利用二次函数的性质，即可求出结果.【详解】根据条件得22222()|26|1a e a a e a l l l l l -=+-×=-+=r r r r r r ，得到()222||61(3)1010a l l l =---=--+£r ，所以a £r ，即a r 的最大值为，故选：C.12．C【分析】设()1,0e =r ，(),a x y =r ，根据3e a ×=r r求出x ，再根据1e a l -=r r 得到()2213y l =--，最后根据向量模的坐标表示及二次函数的性质计算可得.【详解】依题意设()1,0e =r，(),a x y =r ，由3e a ×=r r，所以3x =，则()3,a y =r ，又()()(),03,3,e a y y l l l -=-=--r r ，且1e a l -=r r，1=，即()2213y l =--，所以a ==£r 3l =时取等号，即a r的最大值为.故选：C.13．A【分析】利用题设条件，建系，求得相关点的坐标，因点P 在圆上，设点(cos ,sin )P q q ，计算DP AC ×uuu r uuu r得三角函数形式，运用辅助角公式将其化成正弦型函数，即可求其最值.【详解】如图，以E由题意，梯形ABCD =(4,0),(1,(2,A C D ---.因为以E 为圆心的半径为1的圆的方程为：221x y +=，可设点(cos ,sin )P q q ，02πq £<.则(cos 2,sin (3,3cos 612DP AC q q q q ×=+-×=++-uuu r uuu r3cos 6)6,q q q j =+-=+-其中，tan j =故当sin()1q j +=时，max ()6DP AC ×=uuu r uuu r.故选：A.14．A【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解.【详解】以E 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，动点P 在以E 为圆心，1为半径的圆上运动，故设()cos ,sin P q q ，则()()()0,4,4,4,4,1A D C -,()()()()()cos 4,sin 44,54cos 45sin 44DP AC q q q q q j ×=--×-=---=++uuu r uuu r，其中锐角j 满足5tan 4j =，故DP AC ×uuu r uuu r 4,故选：A15．C【分析】由题意首先得出||c d -rr 为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转换为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可．【详解】如图所示，不妨设a OA ==uuur r ，(0,1)b OB ==uuu r r ，(,)OC m n =uuu r ，(,)OD p q =uuu r ，1(A ，满足||a =r ||1b =r ，0a b ×=rr ，又||||4c a c a ++-=r rr r1422||a c A A ==>==，由椭圆的定义可知点C 在以1A A 为焦点，长轴长为4的椭圆上运动，2a =，c =，1b ===，所以该椭圆方程为2214x y +=，而2650d b d -×+=r r r，即22650p q q +-+=，即22(3)4p q +-=，这表明了点D 在圆22(3)4x y +-=上面运动，其中点(0,3)E 为圆心，2r =为半径，又2c d OC OD CD CE ED CE -=-=£+=+uuu r uuu rr r ，等号成立当且仅当C ，D ，E 三点共线，故只需求||CE 的最大值即可，因为点C 在椭圆2214x y +=上面运动，所以不妨设(2cos ,sin )C q q ，则||CE ==所以当6sin 12(3)q -=-=-´-，且C ，D ，E 三点共线时，||c d -r r 有最大值，max ||226CE +==．故选：C ．【点睛】关键点点睛，本题的关键是转化化归数学思想的灵活应用，比如||||4c a c a ++-=r rr r，转化为动点的轨迹为椭圆，然后再利用转化为CD CE ED £+，三点共线时取最值.最后一个关键点转化，就是求||CE 最大值时，转化为了三角换元，从而求得最值.16．B【分析】利用数量积的定义及运算律可得22||||1a b a b +-=r r r r，再利用数量积的运算律变形(2)a a b ×+r r r，并结合基本不等式求解即得.【详解】由向量a r，b r 的夹角为π3及1a b -=r r ，得2221a b a b +-×=r r r r ，即22||||1a b a b +-=r r r r ，则()222221221ba ab a a a b a a b a b a b b ba a++×+=+×==+-æöç÷-+ç÷èør r r r r r rr r r r r r r r r r r r，令||0||b t a =>r r ，于是22111()31(1)3(1)3(1)312t t a a b t t t t t t++×===-++-++++-++r rr1£，当且仅当311t t +=+，即t =时取等号，由221)||1aa b a b -íï+-=îr r r r r，解得|||a b =r r所以当|||a b ==r r π,3a b áñ=r r 时，(2)a a b ×+rr r 1.故选：B 17．C【分析】利用建系法，将向量运算转化为数量运算求解.【详解】以点A 为坐标原点，,AB AD uuu r uuu r的方向为x 轴，y 轴正方向，建立平面直角坐标系，则()()2,1,4,0M B ，()0,2D ，设()(),004N m m ££，所以()()2,1,,2MB DN m =-=-uuu r uuur ，则22MB DN m ×=+uuu r uuur，因为04m ££，所以210MB DN £×£uuu r uuur，即MB DN ×uuu r uuur 的最大值为10.故答案为：C 18．D【分析】根据题意，由三点共线定理可得()210,0x y x y +=>>，再由基本不等式代入计算，即可求解.【详解】因为点D 是线段BC 的中点，则2BC BD =uuu r uuu r，则2BE xBA yBC xBA yBD =+=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，因为,,A E D 三点共线，所以()210,0x y x y +=>>，则()212142448y x x y x y x y x y æö+=++=++³+=ç÷èø，当且仅当421y xx y x y ì=ïíï+=î时，即11,24x y ==时，等号成立，所以21x y +的最小值为8.故选：D 19．C【分析】通过建系设点，设()()2cos ,2sin 02πP q q q £<利用平面向量的坐标计算转化为正弦型函数的值域问题求解即得.【详解】如图，以O 为坐标原点，BE 所在直线为x 轴，AF 的垂直平分线所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系.设点()()2cos ,2sin 02πP q q q £<，由题意知，()()(4,0,0,0,2,E O F ，则()42cos ,2sin PE q q =--uuu r，(2,OF =uuu r ，所以π84cos 88sin 6PE OF q q q æö×=--=-+ç÷èøuuu r uuu r ，因02π££q ，则ππ13+π666q ££,故当π2π=6q +时，即πsin 16q æö+=ç÷èø时，PE OF ×uuu r uuu r 取最小值0.故选:C.【点睛】方法点睛：本题主要考查圆的参数方程和平面向量的数量积的取值范围问题.在处理已知圆上的动点有关的问题时常通过圆的参数方程设点，利于分析和计算；在处理平面向量的数量积问题时，常通过三种方法解决：（1）定义法：运用向量的数量积定义公式计算分析；（2）基底表示法：通过选设平面的一组基底，将相关向量进行表示，利用基底计算；（3）建系法：通过建系得向量坐标，再计算分析.20．C【分析】由题可设(1,A -、(1,B ，设点()2cos ,2sin P a a ，然后根据向量数量积的坐标表示及三角函数的性质即可得解.【详解】因为点A 、B 在圆22:16O x y +=上，且2AB =，P 为圆O上任意一点，因为2OA OB AB ===，所以，OAB △是等边三角形，则π3AOB Ð=，不妨设(1,A -、(1,B ，设点()2cos ,2sin P a a ，所以()2,0AB =uuu r，(2cos 1,2sin BP a a =-uuu r ，所以()[]22cos 14cos 26,2AB BP a a ×=-=-Î-uuu r uuu r，即AB BP ×uuu r uuu r的最小值为6-.故选：C.21．D【分析】建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用坐标法结合平面向量数量积的定义求最小值即可.【详解】以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系.则(0,(2,0),(2,0),A B C -设P (x,y )，则()()(),,2,,2,PA x y PB x y PC x y =--=---=--uuu r uuu r uuu r所以()()()()222222PA PB PC x x y y x y×+=-×-+×-=-+uuu r uuu r uuu r222[(3];x y =+-所以当0,x y ==, ()PA PB PC ×+uuu r uuu r uuu r取得最小值为2(3)6´-=-.故选：D.22．C【分析】根据题意结合数量积的运算律可得22()4(1)12a tb t +=-+r r ，进而可得最小值.【详解】因为向量,a b r r 的夹角为2π3，且24a b ==r r ，则2πcos43a b a b ×==-r r r r ，可得222222()248164(1)1212a tb a ta b t b t t t +=+×+=-+=-+³r r r r r r ，当且仅当1t =时，等号成立，所以()a tb t +ÎR r r的最小值是故选：C.23．A【分析】利用三角函数的定义可得(cos ,sin )C q q ，即可根据向量的坐标运算，结合三角恒等变换可得1πsin()26CA CB q ×=-+uuu r uuu r，即可利用三角函数的性质求解.【详解】以O 为原点，以OA 所在直线为x 轴，过O 作OA 的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，设AOC q Ð=，则(cos ,sin )C q q ，其中2π03q ££，(1,0)A ，1(2B -，故(1cos ,sin )CA q q =--uuu r ，1(cos 2CB q =--uuu r sin )q -，\1(cos 1)(cos )sin )(sin )2CA CB q q q q ×=-+--+-uuu r uuu r111πcos sin(2226q q q =-=-+，2π03q ££Q ，\ππ5π666q £+£，\1πsin()126q £+£，11πsin(0226q \-£-+£，\CA CB ×uuu r uuu r 的取值范围为1[2-,0]，故CA CB ×uuu r uuu r 的最小值为12-；故选：A ．24．BCD【分析】A 选项，过OA 中点作OB 的平行线，根据平行线与ABC V 的交的个数判断；B 选项，建系，利用余弦定理得到各点的坐标，然后分点P 在,,AB AC BC 上三种情况考虑；C 选项，根据数量积的几何意义判断；D 选项，将PA PB ×uuu r uuu r转化为274PD -uuu r ，然后求范围即可.【详解】如图，过OA 中点作OB 的平行线与ABC V 的三边有两个交点，所以12x =时，点P 有两种情况，故A 错；在三角形OAB 中由余弦定理得2222141cos120242OA OB AB AB OA OB +-+-°===-××,解得AB =，则222cos2AB OB OA ABO AB OB +-Ð==××，sin ABO Ð=()1cos cos 2CBO ABO CBA Ð=Ð+Ð==以O 为原点，OB为x 轴，过点O 垂直OB 向上的方向为y 轴建系，O (0,0)，12A æ-ççè，()2,0B ，32C æççè，12OA æ=-ççèuuu r ，()2,0OB =uuu r ，(AC =uuu r ，12BCæ=-ççèuuu r ，122xOA yOB x y x æö+=-+ç÷ç÷èøuuu r uuu r ，当点P 在AB 上时，1x y +=，当点P 在AC 上时，设()2AP AC l l ==uuu r uuu r，[]0,1l Î，112222OP OA AP x y xlæöæö=+=-+=-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøuuu r uuu r uuu r，则12x l=+，32y l=，712x y l+=+，所以当1l=时，x y+最大为92，当点P在BC上时，设12BP BCm mæö==-ç÷ç÷èøuuu r uuu r，[]0,1mÎ，112222OP OB BP x ymæöæö=+=-=-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøuuu r uuu r uuu r，则3x m=，112y m=+，712x y m+=+，当1m=时，x y+最大为92，综上可得，当点P在点C处时x y+最大为92，故B正确；根据数量积的几何意义可得，当点P在点B处时OP OA×uuu r uuu r最小，此时1OP OA OB OA×=×=-uuu r uur uuu r uur，故C正确；取AB中点D，则()()22274PA PB PD DA PD DA PD DA PD×=+×-=-=-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，因为PDéÎêëuuu r，所以77,42PA PBéù×Î-êúëûuuu r uuu r，故D正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：数量积的求法：（1）公式法：cos,a b a b a b×=××r r rr r r；（2）坐标法；（3）几何意义法；（4）转化法：将向量利用线性运算转化.25．BCD【分析】由21cos2AC AB AC AB BAC AB×=×Ð=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r可判断AB，由()1cos,2AP AB AC CP AB CP AB×=+×=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r可判断C，设Ce方程为221x y+=，()()[]11,0,,cos ,sin ,0,22A B P q q q p æÎççè，根据坐标运算结合三角恒等式可判断D ．【详解】由21cos 2AC AB AC AB BAC AB×=×Ð=uuu r uuu r uuu r uuu r uuur 当1AB =uuu r 时， 12AC AB ×=uuu r uuu r ，则A 错，B 正确；由()1cos ,2AP AB AC CP AB AC AB CP AB CP AB×=+×=×+×=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 因为[]cos ,1,1CP AB Î-uuu r uuu r ，所以AP AB ×uuu r uuu r 的范围是13,22éù-êúëû，故C 正确；设C e 方程为221x y +=，()()[]11,0,,cos ,sin ,0,22A B P q q q p æÎççè由AP AB AC l m =+uuu r uuu r uuu r 得()()1cos 1,sin 1,02q q l m æ-=-+-ççè则1cos 2sin q l m q ì-ïïíï=ïî，得cos 1l q m q q ì=ïïíï-+ïî所以()cos 111l q q a m q é-+=++Î++êë=，故D 正确．故选：BCD 26．AB【分析】对于A ，根据数量积的定义计算即可判断；对于B ，由投影向量可找出最大值点的位置，计算即可判断；对于C ，作图得到OA BA EA +=uuu r uuu r uuu r，再由OC AB AO OC OA BA --=++uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 可确定最值点的位置，计算判断即可；对于D ，当,C A 重合或者AC AB ^时都可以得到0AB AC ×=uuu r uuu r，从而可判断.【详解】对于A 选项，圆O 半径为2，弦2AB =，故ABO V 为等边三角形，取AB 的中点D ，连接OD ，则OD AB ^，所以2BA BO BA BD ×=×=uuu r uuu r uuu r uuu r，A 正确；对于B 选项，过点O 作OE 平行于AB ，交圆与点E，过点E 作EG AB ^，交AB 延长线于点G ，连接EB ，则四边形OABE 为菱形，由投影向量可知，当点C 与点E 重合时，AB AC ×uuu r uuu r取得最大值，此时123AG AD DG =+=+=，故AB AC ×uuu r uuu r的最大值为236AB AG ×=´=uuu r uuu r ，B 正确；对于C 选项，OC AB AO OC OA BA --=++uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，因为四边形OABE 为菱形，所以OA BA EA +=uuu r uuu r uuu r，且EA =uuu r ，因为2OC =uuu r为定值，故当OC uuu r 与EA uuu r平行且方向相同时，OC AB AO --uuu r uuu r uuu r 取得最大值，最大值为2+当OC uuu r 与EA uuu r平行且方向相反时，OC AB AO --uuu r uuu r uuu r 取得最小值，最小值为2-，故2,2OC AB AO éù--Î-ëûuuu r uuu r uuu r，C 错误；对于D 选项，因为点C 为圆O 上任意一点，故当,C A 重合时，0AB AC ×=uuu r uuu r，又当AC AB ^时，满足0AB AC ×=uuu r uuu r ，故满足0AB AC ×=uuu r uuu r的点C 有2个，D 错误.故选：AB 27．ACD【分析】根据题设中的圆幂定理可判断AC ；取AC 的中点为M ，连接OM ，利用向量的线性运算可判断B ；根据直径的大小可判断D.【详解】对于A ，如图，过O P ，作直径EF ，由题意PA PC PA PC PF PE OF OP OE PO ×=-=-=--+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，所以()PA PC OF OP OF OP OF OP OF OP ×=---+=--+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ()()()222OF OPOF OP OF OP =--+=--=-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 为定值，故A 正确；对于B ，若M 为AC 中点，连接OM ，则()()OA OC OM MA OM MC×=+×+uuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu u r ()()2222424OM OM MA MC MA MC OM OM OM =+×++×=--=-uuuu r uuuu r uuu r uuu u r uuu r uuu u r uuuu r uuuu r uuuu r ，由题意2202OM OP ££=uuuu r uuu r ，则[]40OA OC ×Î-uuu r uuu r ，，故B 错误；对于C ，若AC BD ^，故0PB CP AP PD ×=×=uuu r uuu r uuu r uuu r，则()()AB CD AP PB CP PD AP CP PB CP AP PD PB PD ×=+×+=×+×+×+×uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，又2PA PC ×=-uuu r uuu r ，则2AP CP ×=-uuu r uuu r ，同理可得2PB PD ×=-uuu r uuu r，故4AB CD ×=-uuu r uuu r ，故C 正确；对于D ，因为44AC BD ££uuu r uuu r ，，则当弦AC BD ，均与EF 重合时，此时AC BD ×uuu r uuu r有最大值，为16，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：根据定义及向量线性运算的几何意义，结合数量积的运算律转化各项数量积或乘积关系，再由圆的性质判断各项正误.28．BCD【分析】利用坐标法，以A 为原点建立坐标系，写出相关点坐标，得到相关向量的坐标，利用向量的坐标运算，再求解二次函数最值即可判断各个选项.【详解】如图，以点A 为坐标原点建立平面直角坐标系，设()04DE BF x x ==££，则()()()()()()2,4,0,4,5,0,2,,3,4,5,4C E x F x CE x CF x EF x x --=--=--=--uuu r uuu r uuu r，对于A,B ，[]264666,18CE CF x x x ×=-+=-Î-uuu r uuu r，故A 错误，B 正确；对于C ，()222210461031CE EF x x x x x x ×=--+=-+-=---uuu r uuu r ，当3x =时，CE EF ×uuu r uuu r取得最大值，且最大值为1-，故C 正确；。

第6讲平面向量中的范围与最值问题(高阶拓展、竞赛适用)(教师版)-2025版高中数学一轮复习考点帮

第06讲平面向量中的范围与最值问题（高阶拓展、竞赛适用）（2类核心考点精讲精练）平面向量中的范围与最值范围问题是向量问题中的命题热点和重难点，综合性强，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，常以选择填空题的形式出现，难度稍大，方法灵活。

基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，"比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，在复习过程中要注重对基本方法的训练，把握好类型题的一般解法。

由于数量积和系数的范围在前两节已学习，本讲主要围绕向量的模和夹角的范围与最值展开学习。

本讲内容难度较大，需要综合学习。

1.模长的范围及最值与向量的模有关的问题,一般都会用到22||a a，结合平面向量及最值范围等基本知识可求解。

2.夹角的范围及最值类别几何表示坐标表示模|a |＝a ·a |a |＝x 21＋y 21夹角cos θ＝a ·b |a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22结合平面向量的模长、夹角公式及最值范围等基本知识可求解。

．．【详解】试题分析：由于垂直，不妨设，，，则，，表示到原点的距离，表示圆心，为半径的圆，因此的最大值，故答案为C ．考点：平面向量数量积的运算．【详解】因为1c a b --= ，()1c a b -+= ，做出图形可知，当且仅当c 与()a b + 方向相反且1c a b -+= 时，c1；当且仅当c 与()a b +方向相同且1a b c +-= 时，c 取到最小值；最小值1-.【详解】试题分析：甴已知易得120,2ADC ADB BDC DA DB DC ∠=∠=∠=︒===.以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，则()((2,0,1,,1,.A B C --设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=，又11,,,22x x PM MC M BM ⎛⎛-+=∴∴= ⎝⎭⎝⎭()(22214x y BM -++∴=，它表示圆()2221x y -+=上点().x y与点(1,--距离平方的14，()22max 149144BM⎫∴==⎪⎭，故选B ．考点：1.向量的数量积运算；2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题.1．（2024·全国·模拟预测）已知,,a b c为单位向量，且357a b -= ，则22a c b c -+- 的最小值为（）A ．2B ．C ．4D ．6【答案】B【分析】由357a b -= ，得12a b ⋅=-r r ，可得a b -= ，由2222222a c b c a c b c a b -+-=-+-≥-= ，当等号成立时可得最小值.【详解】,,a b c 为单位向量，有1a b c === ，得2221a b c ===，由357a b -= ，得()222359302549a ba ab b -=-⋅+=，有12a b ⋅=-r r ，所以2π,3a b =，a b -=1b c == ，,,b c c b = ，有22b c b c -=-，则2222222a c b c a c b c a b -+-=-+-≥-=，当且仅当2a c -与2b c - 方向相反时“=”成立，如取()111,0,,22a b c ⎛⎛==-= ⎝⎭⎝⎭时，可使“=”成立.所以()min22a c b c -+-= 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题关键点是由已知条件得22b c b c -=- ，这样就能得到222222a c b c a c b c a b -+-=-+-≥-.2．（23-24高二上·四川·阶段练习）已知平面向量,a b满足112a b a b ==⋅= ，22||c b c =⋅ ，则22c c a b-+- 的最小值是.【答案】72【分析】根据余弦定理求解长度，进而可判断点C 的轨迹为以OD 为直径的圆，进而根据三点共线求解最值.【详解】令OA a = ，OB b = ，OC c =，OB 中点为D ，OD 中点为F ，E 为AB 中点，由112a b a b ==⋅=，得cos ,12cos ,1a b a b a b a b ⋅=⋅=⨯= ，即1cos ,2a b = ，即60AOB ∠=︒，所以AB =222AO AB OB +=，即90OAB ∠=︒、30ABO ∠=︒,故EF =由22||c b c =⋅，即()1222202OC OC OB OC OC OC OB OC OC OD OC DC ⎛⎫⋅-⋅=⋅-=⋅-=⋅= ⎪⎝⎭，即有OC CD ⊥，故点C 的轨迹为以OD 为直径的圆，由2222cos CB BE CE BE CE BEC =+-⋅∠，()2222cos 180CA AE CE AE CE BEC =+-⋅︒-∠，故222222CA CB AE BE CE +=++，则222222223222c a c b CA CB AE BE CE CE -+-=+=++=+ ，故当F 、C 、E 三点共线，且点C 在点F 、E 之间时，CE 最小，此时1122CE EF OD =-=，故22223317222222c a c b CE ⎫-+-=+≥+-=⎪⎪⎝⎭ .故答案为：72【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于利用平面向量的几何意义得到各向量所表示的有向线段的关系，从而将问题化为点到圆上的点的距离的最小值问题，由此得解.3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知向量a ，b 为单位向量，且12a b ⋅=-r r ，向量c 与3a b +rr 共线，则||b c + 的最小值为.【答案】14【分析】令(3),R c t a b t =+∈ ，利用向量模的计算公式把||b c +表示成t 的函数，求出函数最小值即可.【详解】因向量c 与3a b +rr 共线，令(3),R c t a b t =+∈ ，则(13)b c ta t b +=++ ，而向量a ，b为单位向量，且12a b ⋅=-r r ，于是得b c +==14=，当且仅当514t =-时取“=”，所以||b c +的最小值为14.故答案为：144．（2024·上海长宁·二模）已知平面向量,,a b c满足：2a b c === ，若()()0c a c b -⋅-= ，则a b - 的最小值为．【答案】2【分析】先利用()2214a b a b a b ⋅=+-- 和()()2240a b a b ++-=证明228a b --≤ 等式得到22824a b --≤ ，从而有2a b -≥ ，再验证()3,1a = ，()3,1b =- ，()2,0c = 时2a b -= ，即得到a b -的最小值是2.【详解】由于()()()()()()()2222222211122444a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⋅=++⋅-+-⋅=+--=+--，且()()()()()()222222222222101040a ba ba b a b a b a b a b ++-=++⋅++-⋅=+=+=，故有()()0c a c b =-⋅- ()2c a b c a b =-+⋅+⋅ 2c a b c a b ≥-++⋅42a b a b=-++⋅()()()221424a b a ba b=-+++--()()21424024a b a b=-++--()2144024a b=---21142a b =-- ，所以228a b --≤ ，记228a b x --= ，则有x ≤，从而120x -≤≤或()21612x x ≤+，即120x -≤≤或824x ≤≤.总之有24x ≤，故22824a b --≤ ，即2a b -≥ .存在()3,1a = ，()3,1b =- ，()2,0c = 时条件满足，且此时2a b -= ，所以a b -的最小值是2.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：对于a b -的最小值问题，我们先证明2a b -≥ ，再给出一个使得2a b -= 的例子，即可说明a b - 的最小值是2，论证不等关系和举例取到等号两个部分都是证明最小值的核心，缺一不可.5．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知a = ，1= b ，0a b ⋅= ，4c a c a ++-= ，2430d b d -⋅+= ，则c d -的最大值为（）A ．13+B ．4C ．23+D ．313【答案】A【分析】由题意首先得出c d - 为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转换为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可.【详解】如图所示：不妨设)()()()()1,0,1,,,,,a OA b OB OC m n OD p q A ======-，满足a = ，1= b ，0a b ⋅=，又4c a c a ++-=1422a c A A==>==，由椭圆的定义可知点C 在以1,A A 为焦点，长轴长为4的椭圆上运动，2,1a c b ===，所以该椭圆方程为2214x y +=，而2430d b d -⋅+= ，即22430p q q +-+=，即()2221p q +-=，这表明了点D 在圆()2221x y +-=上面运动，其中点()0,2E 为圆心，1r =为半径，又1c d OC OD CD CE ED CE -=-=≤+=+，等号成立当且仅当,,C D E 三点共线，故只需求CE 的最大值即可，因为点C 2214x y +=在椭圆上面运动，所以不妨设()2cos ,sin C θθ，所以CE =所以当()42sin 233θ-=-=-⨯-且,,C D E 三点共线时，c d - 有最大值max113CE +==+.故选：A.【点睛】关键点睛：解题的关键是将向量问题转换为圆锥曲线中的最值问题来做，通过数学结合的方法巧妙的将几何问题融入代数方法，从而顺利得解.6．（21-22高一下·浙江·阶段练习）已知||||||1a b c ===，12a b ⋅= ，,,3a c b c π〈〉+〈〉= ．若,R m n ∈，则||||||ma nb ma c nb c -+-+-的最小值为（）A ．0B ．2C ．1D 【答案】D【分析】根据给定条件，画出图形，确定点C 的位置，再利用向量模的几何意义，借助对称思想求解作答.【详解】令,,OA a OB b OC c === ，依题意，1cos 2||||a b AOB a b ⋅∠==，而0AOB π≤∠≤，则3AOB π∠=，因,,3a cbc π〈〉+〈〉=，则有点C 在半径为1，所含圆心角为3π的扇形AOB 的弧AB 上，如图，因,R m n ∈，则||ma nb -表示直线OA 上的点Q 与直线OB 上的点P 间距离，||ma c - 、||nb c - 分别是点C到点Q ，P 的距离，因此，||||||ma nb ma c nb c -+-+-表示三点Q ，P ，C 两两距离的和，作点C 关于直线OA 对称点N ，关于直线OB 对称点M ，连MN 交OA ，OB 分别于点F ，E ，连FC ，EC ，ON ，OM ，则有,FC FN EC EM ==，令COA θ∠=，则3MOB COB πθ∠=∠=-，AON θ∠=，于是得222()33NOM ππθθ∠=+-=，而1ON OM OC ===，由余弦定理得MN ==，因此，CF FE CE NF FE EM NM ++=++==对于直线OA 上任意点Q 、直线OB 上任意点P ，连接CQ ，NQ ，QP ，CP ，PM ，PN ，则,CQ NQ CP PM ==，CQ QP CP NQ QP PM PN PM MN ++=++≥+≥，当且仅当点Q 与F 重合且点P 与点E 重合时取“=”，从而得||||||ma nb ma c nb c CQ QP CP MN -+-+-=++≥=所以||||||ma nb ma c nb c -+-+-故选：D【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以借助向量的几何意义，作出符合要求的图形，数形结合求解作答.1．（2024·广东江门·二模）设向量(1,),(2,)OA x OB x == ，则cos ,OA OB 〈〉的最小值为.【答案】3【分析】先求得cos ,OA OB 〈〉的表达式，再利用换元法并结合二次函数的性质即可求得其最小值.【详解】2cos ,OA OB 〈〉= ，令22(2)x t t +=≥，则22x t =-，所以cos ,OA OB 〈〉=== 当114t =，即24,2t x ==时，cos ,OA OB 〈〉取得最小值，且最小值为3．故答案为：32．（2022·上海奉贤·一模）设平面上的向量,,,a b x y 满足关系(),2a y x b mx y m =-=-≥ ，又设a 与b 的模均为1且互相垂直，则x 与y的夹角取值范围为.【答案】[arccos)104π【分析】用a 与b表示出向量,x y ，利用平面向量数量积结合夹角公式求出cos ,x y 〈〉 即可计算作答.【详解】当2m ≥时，由,a y x b mx y =-=-得：,11a b ma b x y m m ++==-- ，因a 与b的模均为1且互相垂直，即有0a b ⋅= ，则|||x y == 22()()1(1)(1)a b ma b m x y m m +⋅++⋅==--，则有cos |||,|x y x y x y 〈〉==⋅，而11013m<≤+，于是得,cos 2x y <〈〉 ,0x y π≤〈〉≤ ，则,4x y π≤〈〉< ，所以x与y 的夹角取值范围为)4π.故答案为：πarccos ,104⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【点睛】思路点睛：用向量基本定理解决问题，利用已知的不共线的两个向量为基底，将问题中的向量用该基底表示出，再通过向量的运算来解决.3．（22-23高三上·江西·阶段练习）已知平面向量a OA = ，b OB = ，c OC =，满足241OC AC OA ⋅=- ，241OB CB OC ⋅=- ，则向量4a b - 与2c b -所成夹角的最大值是（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】A【分析】由向量线性运算和数量积的定义和运算律可化简已知等式得到22441c a c a -⋅=- ，22441b b c c -⋅=- ，根据向量夹角公式，结合推导出的等式可化简得到cos θ=利用基本不等式可求得cos θ≥θ的最大值.【详解】()2244441OC AC OC OC OA OC OC OA OA ⋅=⋅-=-⋅=-，即22441c a c a -⋅=-，()2224421c a c a c a∴-⋅+=-= ；()2244441OB CB OB OB OC OB OB OC OC⋅=⋅-=-⋅=- ，即22441b b c c -⋅=- ，()2224421b b c c b c ∴-⋅+=-= ；设向量4a b - 与2c b -所成夹角为θ，242cos a b c b θ-⋅-∴=()22222311244444a a b b a b -+-⋅+-+=≥4a b -= ；又[]0,πθ∈，max π6θ∴=.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查向量夹角最值的求解问题，解题关键是能根据向量夹角的计算公式，将向利用基本不等式求解函数的最小值即可得到夹角的最大值.1．（2024·全国·模拟预测）已知非零向量a 与b的夹角为锐角，c 为b 在a 方向上的投影向量，且||||2c a == ，则a b c ++r r r 与b的夹角的最大值是．【答案】π6【详解】先通过向量的定义得到c a =，从而4a b ⋅= ，通过()22a b +r r 求出2a b +r r ，再求出()2a b b +⋅ ，利用()2cos 2a bba bbθ+⋅=+表示夹角，进而利用基本不等式求最值.【分析】因为,c a c = 为b 在a 方向上的投影向量，且a 与b的夹角为锐角，所以c a =，故2a b c a b ++=+ ．因为4a b a c ⋅=⋅= ，且0a b ⋅> ，所以4a b ⋅=．设0b x => ，则()222222244424432a ba ab b x x +=+⋅+=⨯+⨯+=+ ，故2a b += ()22222248a b b a b b x x +⋅=⋅+=⨯+=+ ．设2a b + 与b的夹角为θ，所以()22cos 2a b b a bb θ+⋅=+因为()()()2222222332332482x x x x x ⎡⎤++⎢⎥+≤=+⎢⎥⎣⎦（当且仅当22332x x =+，即4x =时取等号），所以()2232x x +≤()22483x +，即()()222283432x xx+≥+，故cos 2θ≥．又0πθ≤≤，所以π06θ≤≤．故a b c ++r r r 与b 的夹角的最大值是π6．故答案为：π6.【点睛】方法点睛：平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．2．（21-22高三上·浙江温州·期末）已知平面向量,a b 满足1a a b =+= ，12a b ⋅=- ，向量p 满足()2p a b λλ=-+ ，当p 与p a -的夹角余弦值取得最小值时，实数λ的值为.【详解】由a a b =+ 得2222a a b a b =++⋅ ，又1a = ，12a b ⋅=- 则1b = 由12a b ⋅=- ，可知2,3a b π= ，即向量,a b 满足=1a b = ，且夹角为23π取OA a = ，OB b =，OP p =uu u r u r ，A B 、分别是线段OD ，OC 的中点，则222OD OC OA OB ====,23COD π∠=，CD =由()2p a b λλ=-+ 可知，点P 在直线CD 上.又p 与p a -的夹角为APO∠要使得APO ∠最大，则取圆过点A 、O 且与直线CD 相切于点P ，此时APO ∠取得最大，由切割线定理得22DP DA DO =⋅=，又()()22222222OP OA OB OD OC OD OD DC OD DC λλλλλλλ--=-+++==++= ，则有，2DP CD λ==，解之得3λ=【点睛】应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．3．（2021·浙江宁波·模拟预测）已知,a b ru r 是空间单位向量，0a b ⋅= ，若空间向量c满足：1,2,c a c b c ⋅=⋅==r r r r r 则a b c ++=，对于任意,x y R ∈，向量c与向量xa yb +r r 所成角的最小值为．【答案】4π【分析】由题意得：a b c ++=，根据数量积公式及题意，代入数据，即可求得答案；设向量c 与向量xa yb +r r 所成角为θ，根据求夹角公式，令y t x =,计算可得cos θ=243()1t f t t -=+，（0t >），利用导数判断其单调性，求得最值，即可求得cos θ的最大值，即可得答案.【详解】由题意得：a b c ++=3因为xa yb =+设向量c与向量xa yb +r r 所成角为θ，所以(cos )c xa yb xa yb c θ++⋅==当0,0x y >>时，夹角才可能最小，令yt x=（0t >），则cos θ===令243()1t f t t -=+，（0t >），则222224(1)2(43)2(21)(2)()(1)(1)t t t t t f t t t +---+-'==++，所以当(0,2)t ∈时，()0f t '>，()f t 为增函数，当(2,)t ∈+∞时，()0f t '<，()f t 为减函数，所以max ()(2)1f t f ==，所以max cos 2θ=，即min 4πθ=.所以向量c 与向量xa yb +r r 所成角的最小值为4π.故答案为：4π.【点睛】解题的关键是熟练掌握求模，求夹角的方法，并灵活应用，难点在于，需结合导数，判断()f t 的单调性，求得最值，当cos θ最大时，角度最小，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.一、单选题1．（2023·江西九江·一模）已知m 、n为单位向量，则向量2m n + 与n 夹角的最大值为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】A【分析】设,m n α=，即可得到2m n += ，()2cos 2m n n α+⋅=+，再根据夹角公式得到cos 2,m n n +=.【详解】设,m n α= ，则2m n +=22(2)22cos 2m n n m n n m n n α+⋅=⋅+=⋅+=+ ，则(2)cos 2,2m n nm n n m n n+⋅+==+⋅令t =，因为1cos 1α-≤≤，所以[1,3]t ∈，2521314cos 2,44t m n n t t t -+⎛⎫∴+==+≥⨯ ⎪⎝⎭t =时取等号，又[]2,0,πm n n +∈ ，所以π2,0,6m n n ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以向量2m n + 与n 夹角的最大值为π6．故选：A ．2．（2023·北京·模拟预测）平面向量a ，b 满足3a b =r r ，且4a b -= ，则a 与a b -夹角的正弦值的最大值为（）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】B【分析】设a OA = ，b OB = ，则a b BA -= ，设b m = ，3a m = ，2cos 33m OAB m∠=+，根据均值不等式计算最值，再利用同角三角函数关系得到答案.【详解】如图所示：设a OA = ，b OB = ，则a b BA -=，设b m = ，3a m = ，12m <<，2222291622cos 2243332OA BA OB m m m OAB m m OA BA+-+-∠===+≥⋅，当233m m =，即m =π0,2OAB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，当cos OAB ∠最小时，sin OAB ∠最大，故a 与a b -13=.故选：B3．（2023·安徽安庆·二模）已知非零向量a ，b的夹角为θ，2a b += ，且43a b ≥ ，则夹角θ的最小值为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【答案】C【分析】应用向量数量积运算律及题设可得()421cos a b θ≥⋅+，注意等号成立条件，结合已知不等条件求θ范围，即可得最小值.【详解】由24a b += 有222cos 4a b a b θ++⋅= ，即()()8421cos 1cos 3a b θθ≥⋅+≥+ ，前一个等号成立条件为||||a b = ，整理得1cos 2θ≤.由于[]0,πθ∈，所以ππ3θ≤≤，于是夹角为θ的最小值为π3.故选：C4．（2024·安徽六安·模拟预测）已知平面向量a ，b ，c满足1a = ，b = ，32a b ⋅=- ，,30a c b c --︒= ，则c的最大值等于（）A ．B C ．D ．【答案】A【分析】由0,1530AOB ACB ==︒∠︒∠，即点,,,A O B C 四点共圆，再利用余弦定理、正弦定理求解即可.【详解】设,,OA a OB b OC c ===，由1a = ，b = 32a b ⋅=- ，则cos AOB =∠所以150AOB ∠=︒，又,30a c b c --︒=，所以30ACB ∠=︒，即点,,,A O B C 四点共圆，要使c最大，即OC 为圆的直径，在AOB 中，由余弦定理可得2222cos 7AB OA OB OA OB AOB =+-⨯⨯∠=，即AB =，又由正弦定理可得2sin ABR AOB==∠即c的最大值为故选：A5．（2024·全国·模拟预测）已知a ，b 为非零向量，且||||(0)a b r r ==>，π,3a b 〈〉= ，若||a tb + 则22r t +的值为（）．A ．52B ．94C ．4D ．174【答案】D【分析】由数量积的定义和模长公式对||a tb + 平方可得，当12t =-时，||a tb + 取得最小值2r ，可求出2r =，即可求出22r t +的值,【详解】因为||||(0)a b r r ==>，π,3a b 〈〉= ，由题意得()2222222213||||||2124a tb a t b ta b r t t r t ⎡⎤⎛⎫+=++⋅=++=++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以当12t =-时，||a tb +，2r =，所以22117444r t +=+=．故选：D ．6．（2021·全国·模拟预测）已知向量a ，b 满足3a b += ，0a b ⋅= ，若(1)()c a b λλλ=+-∈R ，且c a c b ⋅=⋅ ，则c r 的最大值为（）A ．3B ．2C ．12D ．32【答案】D【分析】令a AM =，b MB AN == ，根据题意作出图形，结合图形将已知条件转化，得到AC MN ⊥ ，然后数形结合求c r 的最大值.【详解】如图:令a AM = ，b MB AN == ，则a b AM MB AB +=+=，故3AB = .因为0a b ⋅= ，所以AM MB ⊥，记AB 的中点为O ，所以点M 在以AB 为直径的圆O 上.设c AC =，连接MN ，因为(1)c a b λλ=+- ，所以点C 在直线MN 上.因为c a c b ⋅=⋅ ，所以)0(c a b ⋅-= ，即0AC NM ⋅=，所以AC MN ⊥ .结合图形可知，当NM AB ⊥时，||AC 即c r 取得最大值，且max 3||2c AO ==.故选：D【点睛】思路点睛：向量中有关最值的求解思路：一是形化，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题；二是数化，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题.7．（2021·浙江·模拟预测）已知非零平面向量a ，b ，c 满足2a = ，1b c -= ，若a 与b 的夹角为π3，则a c- 的最小值为（）A1BC1D【答案】A【分析】解法一利用绝对值三角不等式得到1a c a b -≥-- ，然后求a b -r r 的最小值即可；解法二设OA a =，OB b = ，OC c =，易得1BC = ，则C 的轨迹是以B 为圆心，半径为1的圆，连接AB ，然后又A ，C ，B 三点共线且C 在A ，B 中间时，a c -取得最小值求解.【详解】解法一由题可得，1a c a b b c a b b c a b -=-+-≥---=-- ，所以要求a c -的最小值，需求a b -r r 的最小值.因为2a = ，a 与b 的夹角为π3，所以a b -r r的最小值为πsin 3a =所以11a c a b -≥--≥-，即a c -1，解法二如图，设OA a = ，OB b = ，OC c = ，则c b BC -= ，a c CA -= .由1b c c b -=-= ，知1BC = ，点C 的轨迹是以B 为圆心，半径为1的圆，连接AB ，结合图形可知，当A ，C ，B 三点共线且C 在A ，B 中间时，a c -取得最小值.由正弦定理得：πsin sin 3AB OAOBA =∠，所以sin AB OBA=≥∠故a c -1.故选：A【点睛】关键点点睛：本题关键是根据a 与b 的夹角为π3，由a b -r r 的最小值为πsin 3a 而得解.8．（2021·全国·模拟预测）设||=1a →，||b →=a b →→⊥，若向量c →满足2c a b a b →→→→→--=-，则||c →的最大值是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】设OA a →→=，OB b →→=，OC c →→=，OD a b →→→=+，根据条件，借助平面图形得到点C 的轨迹，即可得到结果．【详解】如图，设OA a →→=，OB b →→=，OC c →→=，OD a b →→→=+，连接AD ，BD ，则由a b →→⊥可知四边形OBDA 为矩形，则||||2a b a b →→→→+=-=.由|()|2||c a b a b →→→→→-+=-，可得|()|4c a b →→→-+=，连接CD ，则4DC →=，所以点C 在以点D 为圆心，4为半径的圆上，所以OC→的最大值为246OD DC →→+=+=.故选：B.【点睛】对于向量模的最值或者范围的问题，我们往往采取数形结合的方式进行解决.首先我们要根据题目的条件将几个向量的起点平移到同一点，作出图形，最后根据所求向量的条件得出终点的轨迹.二、填空题9．（2023·安徽宣城·二模）已知向量,a b 满足22a b == ，对任意的0,a b λλ>-则a 与b 的夹角为．【答案】60︒【分析】利用模的计算得到24cos 43λθλ-+≥恒成立，判断出取等号的条件，即可求出a 与b的夹角.【详解】因为向量,a b满足22a b == ，所以向量,a b满足2,1a b == .设a 与b的夹角为(),0πθθ≤≤所以a b λ-=因为任意的0,a b λλ>-24cos 43λθλ-+≥恒成立，配方后可得：()222cos 4cos 43λθθ--+≥恒成立，所以当2cos λθ=时，24cos 4λθλ-+取得最小值3，此时244cos 3θ-=，解得：1cos 2θ=±.又因为2cos 0λθ=>，所以1cos 2θ=.因为0πθ≤≤，所以60θ=︒.故答案为：60︒.10．（2023·河北·模拟预测）已知平面向量,a b 满足1a b -= 且a b ⊥ ，当向量a b - 与向量3a b - 的夹角最大时，向量b的模为．【分析】由1a b -= 可平方求得221a b =-，利用向量夹角公式可化简得到2cos θ()0t t =>，结合基本不等式可求得()min cos θ，根据取等条件可确定b .【详解】a b ⊥ ，0a b ∴⋅= ，2222221a b a a b b a b ∴-=-⋅+=+= ，即221a b =-；设向量a b - 与向量3a b -的夹角为()0πθθ≤≤，()()2223cos 3a b a b a b a b θ-⋅-∴==-⋅-()0t t =>，则2298t b -=，229331314cos 444t t t t t t θ--+⎛⎫∴===+≥⨯= ⎪⎝⎭3t t =，即t 时取等号）；当θ最大时，cos θ=，解得：b= .11．（2023·上海闵行·二模）已知单位向量,a b，若对任意实数x ，2xa b -≥ 恒成立，则向量,a b 的夹角的最小值为.【答案】3π/60o 【分析】把2xa b -≥两边平方得到关于x 的一元二次不等式，利用一元二次不等式恒成立的条件以及两向量夹角的余弦公式求得结果.【详解】a ，b是单位向量，由xa b -≥ 得：2231()2()044xa b x a b x -≥⇔-⋅+≥ ，依题意，不等式212()04x a b x -⋅+≥ 对任意实数x 恒成立，则24()10a b ∆=⋅-≤ ，解得1122a b -≤⋅≤ ，而cos ,||||a ba b a b a b ⋅〈〉==⋅，则11cos ,22a b -≤〈〉≤ ，又0,πa b ≤〈〉≤，函数cos y x =在[0,]π上单调递减，因此π2π,33a b ≤〈〉≤ ，所以向量a ，b 的夹角的取值范围为π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.则向量,a b的夹角的最小值为π3.故答案为：π3.12．（2024·河北沧州·模拟预测）已知单位向量a ，向量b 与a不共线，且5π,6a b b -=r r r ，则b 的最大值为．【答案】2【分析】由5π,6a b b -= ，则π6A =，方法一：利用正弦定理可得2sin bB = ，当π2B =时，可求得结果；方法二：作出△ABC 的外接圆，当AC 为圆的直径，即π2B =时，可求max 2b = .【详解】法1：设CB a = ，CA b =，则AB a b =-，如图所示．因为5π,6a b b -= ，所以在△ABC 中，π6A =，5π06B <<，由正弦定理，得sin sin ba A B= 即2sin b B = ，得2sin b B = ，当π2B =时，max π2sin 22b == ．法2：设CB a = ，CA b =，则AB a b =- ，作出△ABC 的外接圆，如图所示．因为5π,6a b b -= ，所以π6A =，因为1a CB == ，当AC 为圆的直径，即π2B =时，max 22b a == ．故答案为：213．（2023·上海杨浦·二模）已知非零平面向量a 、b 、c满足5a = ，2b c =r r ，且()()0b a c a -⋅-=r r r r ，则b 的最小值是【分析】由向量的运算，数量积与模长的关系，利用三角函数的性质求最值即可.【详解】解：如图AC a = ，AD b =，AB c = ，则b a CD -=uu ur r r ，c a CB -=uu r r r ，已知()()0b a c a -⋅-=r r r r ，即0CD CB ⋅=uu u r uu r，所以CD CB ⊥，取BD 的中点O ，则有1122OC BD b c ==-r r，而12OA b c =+r r，根据三角形的三边关系可知OA OC AC+≥则11522b c b c a ++-≥=r r r r r，所以10b c b c ++-≥r r r r ，当A ，O ，C 三点共线时取等号，记,b c向量的夹角为θ，则b c b +==r r ，同理b c -=r r ，由10b c b c ++-≥r r r r，可得10b ≥r ，则225b ≥=r ，当cos 0θ=，即b c ⊥时取等号，所以b ≥r ，即b【点睛】本题考查平面向量的综合运用，关键点在于利用三角形的三边关系得到不等式10b c b c ++-≥r r r r ，进而利用数量积求模长.14．（22-23高一下·福建福州·期中）已知平面向量a ，b ，且满足||||2⋅===a b a b ，若e 为平面单位向量，则⋅+⋅a eb e 的最大值【答案】【分析】先根据平面向量的数量积公式求出a →与b →的夹角，根据条件，可设()(2,0,a b →→==，再设()cos ,sin e αα→=，根据平面向量的坐标运算和数量积公式，以及三角恒等变换和三角函数的性质得出π3a e b e α⎛⎫⋅+⋅=+ ⎪⎝⎭ ，即可求出结果.【详解】解：2a a b b →→→→⋅=== ，设a →与b →的夹角为θ，cos 22cos 2b a a b θθ→→→→∴⋅=⋅⋅=⨯⨯=，1cos 2θ∴=，又[]0,πθ∈，则π3θ=，不妨设()(2,0,a b →→==，再设()cos ,sin e αα→=，则(()cos ,sin a e b e a b e αα→→→→→→→⎛⎫⋅+⋅=+⋅=⋅ ⎪⎝⎭π3cos 223ααα⎛⎫=+=+≤ ⎪⎝⎭即a e b e →→→→⋅+⋅≤，所以a e b e →→→→⋅+⋅的最大值为故答案为：15．（2023·贵州铜仁·模拟预测）已知向量a ，b ，c 满足0a b c ++= ，()()0a b a c -⋅-= ，3b c -= ，则a b c ++的最大值是.【答案】11【分析】设a DA = ，b DB = ，c DC = ，由0a b c ++=得到点D 是ABC 的重心，结合()()0a b a c -⋅-= 得到ABC 是直角三角形，建立适当的直角坐标系，转化为基本不等式求最值.【详解】设a DA = ，b DB = ，c DC =， 0a b c ++=，∴点D 是ABC 的重心，∴()()a b a c -⋅-=()()0DA DB DA DC BA CA -⋅-=⋅= ，∴BA CA ⊥．∴ABC 是直角三角形，又∵||3b c -=，即3CB =，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设(,0)B c ，(0,)C b ，则,33c bD ⎛⎫⎪⎝⎭且229(00)b c b c +=>>,，∴2,33c b b DB ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ，2,33c b c DC ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ，故a b c ++1=1=1113≤+⨯=当且仅当2236393b b -=+，即292b =时等号成立.故答案为：1+16．（2024·全国·模拟预测）已知非零且不垂直的平面向量a ，b 满足6a b += ，若a 在b方向上的投影与b在a 方向上的投影之和等于()2a b ⋅ ，则a ，b 夹角的余弦值的最小值为．【答案】227【分析】利用基本不等式求出9a b ≤ ，再根据向量投影求出()2222cos cos cos a b a ba b θθθ+=⋅=，求出a b，夹角的余弦值的最小值.【详解】因为6a b += ，所以292a b a b ⎛⎫+ ⎪≤= ⎪⎝⎭，当且仅当3a b == 时取等号．设a ，b 的夹角为θ，则由题意得()2222cos cos cos a b a ba b θθθ+=⋅=，易知0a ≠，0b ≠ 且cos 0θ≠，则22cos a b a b θ+= ，所以22222662cos 927a b a b a b θ+==≥= ，所以a ，b夹角的余弦值的最小值为227．故答案为：22717．（21-22高三上·浙江嘉兴·期末）已知非零平面向量a ，b ，c满足4a b -= ，且()()1a c b c -⋅-=- ，若a 与b 的夹角为θ，且ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则c 的模取值范围是.【答案】2⎡⎣【分析】以向量几何意义去解题，数形结合的方法可以简化解题过程.【详解】如图1，令a OA = ，b OB = ，c OC = ，则4BA = ，取AB 中点M.由()()1a c b c -⋅-=-，可得1CA CB ⋅=- ，22221()()14CA CB CM MA CM MA CM MA CM AB ⋅=+⋅-=-=-=- ，所以23CM = ，即C 在以M.由c OM MC =+，当O 、M 、C 三点共线时（M 在线段OC 上），maxc OM =+ 由于O 在以AB 为弦的圆弧上，设圆心为G ，由正弦定理可知2sin AB OG θ=，即2sin OG θ= ，ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当π3θ=时，圆G 半径OGGM =当O 、M 、G 三点共线（G 在线段OM 上），且π3θ=时，OM取得最大值，此时23max OM OG GM =+= ，所以333max max c OM =+=.如图2，显然当O 、M 、C 三点共线（点C 在线段OM 上），3min c OM =-当π2θ=时，圆G 半径OG 取得最小值2.2222220GM GB BM=--，即M 、G 两点重合.OM 取得最小值为2.则π2θ=时，23min c =- 故向量c 的模取值范围是23,33⎡⎤⎣⎦故答案为：23,33⎡⎤⎣⎦18．（23-24高三上·天津宁河·期末）在平行四边形ABCD 中，60ABC ∠=︒，E 是CD 的中点，2AF FE =，若设,BA a BC b == ，则BF可用a ，b 表示为；若ADE V 32，则BF 的最小值为．【答案】2233a b + 433【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算法则，以及向量数量积的运算公式以及模的运算公式，结合基本不等式，即可求解.【详解】如图所示，根据向量的运算法则，可得222122()()333233BF BA AF BA AE BA AD DE a b a a b =+=+=++=+-=+，设,a m b n ==，因为ADE V 32113sin 60222n m ⋅= ，即4mn =，又由2222222244()(2)(2cos 60)3399BF a b a b a b m n mn =+=++⋅=++224416()(2)993m n mn mn mn =++≥+=，当且仅当m n =时，等号成立，所以BF 433故答案为：2233a b +19．（2020·浙江温州·三模）已知向量a ，b满足||3a = ，1b ||=，若存在不同的实数()1212,0λλλλ≠，使得3i i i c a b λλ=+ ，且()()0(1,2),i i i c a c b -⋅-==则12c c - 的取值范围是【答案】2,⎡⎡⎣⎣ 【分析】设a b k ⋅=，()()0i i c a c b -⋅-= 变形（数量积的运算）得12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，利用韦达定理求得12λλ-，则12123c c a b λλ-=-+可表示为k 的函数，由k 的范围可得结论，在题中注意k 的范围的确定．【详解】111(1)3c a a b λλ-=-+ ，111(31)c b a b λλ-=+-，设a b k ⋅=（33k -≤≤），由()()110c a c b -⋅-= 得211()0c a b c a b -+⋅+⋅= ，整理得2116(3)4(3)0k k k λλ+-++=，同理2226(3)4(3)0k k k λλ+-++=，所以12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，由120λλ≠得0k ≠，3k =-时方程无解，故0k ≠且3k ≠-，8(3)(6)0k k ∆=+->，1223λλ+=，126(3)k k λλ=+，所以12λλ-==3a b +===，所以1212123c c a b λλλ-=-+-=由33k -<≤且0k ≠得12c c - 的范围是[2, ．故答案为：[2, ．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是设a b k ⋅=后通过数量积的运算把12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，这样可用韦达定理求得12λλ-，从而求得目标12c c -关于k 的函数，属于难题．20．（2021·浙江金华·模拟预测）已知平面向量,,a b c 满足74a b ⋅= ，3a b -=,()()2a c b c -⋅-=- ,则c 的取值范围是；已知向量,a b 是单位向量，若0a b = ，且2c a c b -+-=r r r r 2c a +r r 的取值范围是.【答案】3522⎡⎤⎢⎥⎣⎦，35⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）根据向量不等式可得()||||c a b c a b +≤⋅+，从而得到关于||c的不等式，即可得答案；（2）根据已知设出向量a和向量b ，向量c 的坐标，代入等式化简，再利用距离的几何意义可看成一个动点到两个定点的距离之和，而所求的可看成是一个定点到线段的距离，由此可求得最值．【详解】解：（1）由74a b = ，||3a b -= ，解得22252a b += ，又由2()()()2a c b c a b c a b c --=-++=-，代入已知值可得215||()||||4||4c c a b c a b c +=+≤⨯+= ，化简可得：24||16||150c c -+≤，解得35||22≤≤c .（2）因为,a b 是单位向量，且0a b =，设()()1,0,0,1a b == ，设(),c x y = ，则()()1,,2,2c a x y c b x y -=--=-，因为2c a c b -+-=r r r r化简得，()220,01x y x +-=≤≤，所以2c a +=()220,01x y x +-=≤≤上的点到点()2,0-的距离，所以2min c a d +==，()2123max c a +=--=，故答案为：3522⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】利用向量数量积的定义可得向量不等式，即||||a b a b ⋅≤；向量问题进行坐标化处理，将模的范围问题转化为距离的最值问题.【详解】因为2a b == ，2a b ⋅=- ，所以1cos ,2a b a b a b⋅==-, ,120a b =︒ .如图所以，设,,OA a OB b OC c === ，则CA a c =- , C B b c=-, 120AOB ∠=︒.所以60ACB ∠=︒，所以180AOB ACB ∠+∠=︒，所以,,,A O B C 四点共圆.不妨设为圆M ，因为AB b a =- ,所以222212AB a a b b =-+=.所以AB =由正弦定理可得AOB ∆的外接圆即圆M 的直径为2R 4ABsin AOB==∠.所以当OC 为圆M 的直径时，c 取得最大值4.故选A.点睛:平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【详解】由题意，AC 为直径，所以24437PA PB PC PO PB PB ++=+≤+≤+=,当且仅当点B 为（-1，0）时，PA PB PC ++取得最大值7，故选B.考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想.由平面几何知识知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到．圆周角为直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键.【详解】试题分析：由已知易得120,2ADC ADB BDC DA DB DC ∠=∠=∠=︒===.以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则()((2,0,1,,1,.A B C ---设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=，又11,,,,,2222x y x y PM MC M BM ⎛⎫⎛⎫-++=∴∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()(222+14x y BM ++∴=，它表示圆()2221x y -+=上的点()x y ，与点(1,--的距离的平方的14，()22max 149144BM⎫∴==⎪⎭，故选B.【考点】平面向量的数量积运算，向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出120ADC ADB BDC ∠=∠=∠=︒，且2DA DB DC ===，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点,,,A B C D 的坐标，同时动点P 的轨迹是圆，则()(22214x y BM +++=，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．。

平面向量中的最值或范围问题

b- b+ = b+ 。
2
2 2
2
所以 c
o
sa - b,
a =
(
·a
a-b)
=
|
a-b|
|
a|
3 2 9
b+
2
2 1
3
3
。
= |
b|+
≥
6
|
b|
4
4
|
b| 2
因为 0≤ a-b,
所以 0≤ a-b
a ≤π,
≤
π
π
,
故 a-b 与a 的夹角的最大值为。
6
6

2
=9
b +a -2×3
b·a≤4,所以 a·b≥2+
2
3
|
b|
2+
3
|
b|
a·b
2
。所以 c
o
sa,
b =
≥
2
|
a|·b
4
|
b|
2
2
1
3
|
b|
,因为|
=
+
b|≤1,所以当|
b|=1
2
|
b|
8
时,
c
o
sa,
b取得最小值为
[
C.
4,
1
2]
7
。
8
→
其中 0≤λ≤1,则 B→
C ·BP
→
一般情况下,如果遇到的问题适合建立
2
+
3 s
i
n
π
2

【高考数学解题指导】重难点突破：平面向量中最值问题全梳理

重难点突破：平面向量最值问题全梳理模块一、题型梳理题型一数量积的最值问题例题1：平面向量,,a b c 满足1,2,2,1a e b e a b e ⋅=⋅=-==，则a b ⋅最小值是______分析：本题条件中有1e =，而1,2a e b e ⋅=⋅=可利用向量数量积的投影定义得到,a b 在e 上的投影分别为1,2，通过作图可发现能够以e 的起点为原点，所在直线为x 轴建立坐标系，则,a b 起点在原点，终点分别在1,2x x ==的直线上，从而,a b 可坐标化，再求出a b ⋅的最值即可【解析】如图建系可得：()()1,,2,a a b b ==由2a b -=()223a b =⇒-=而2a b ab ⋅=+，由轮换对称式不妨设a b >，则a b b a -=⇒=-(225522244a b a a a a ⎛∴⋅=+-=-+=-+≥ ⎝⎭，()min54a b∴⋅=例题2：已知点M为等边三角形ABC的中心，2AB=，直线l过点M交边AB于点P，交边AC于点Q，则BQ CP⋅的最大值为.【分析】本题由于l为过M的任一直线，所以:,:AP AB AQ AC的值不确定，从而不容易利用三边向量将,BQ CP进行表示，所以考虑依靠等边三角形的特点，建立直角坐标系，从而,,,A B C M坐标可解，再借助解析几何的思想设出直线l方程，与,AB AC方程联立解出,P Q坐标，从而BQ CP⋅可解出最大值【解析】以,BC AM为轴建立直角坐标系，()()(1,0,1,0,,0,3B C A M⎛-⎝⎭设直线:3l y kx=+，由()()(1,0,1,0,B C A-可得：)):1,:1AB y x AC y y x=+==-):31y kxPy x⎧=+⎪∴⎨⎪=+⎩得：xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；):31y kxQy x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩得：xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩((53353,,kBQ CP⎛⎫⎛⎫+∴==(()()22222257593162239333k k kBQ CPkk k--+∴⋅=+=+=---()222226221618401406333333k kk kk⎛⎫+-+⎛⎫===⋅+⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭若直线与,AB AC相交，则33k⎡∈-⎢⎣⎦；21401402266333039BQ CPk⎛⎫⎛⎫∴⋅=-≤-=-⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭例题3：如图，半径为1的扇形AOB 中，23AOB π∠=，P 是弧AB 上的一点，且满足OP OB ⊥，,M N 分别是线段,OA OB 上的动点，则PM PN ⋅的最大值为（）A ．2B C ．1 D例题4：在矩形ABCD 中，3AB =，1AD =，若M ，N 分别在边BC ，CD 上运动（包括端点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的取值范围是__________．例题5：已知圆C 的方程22(1)1x y -+=，P 是椭圆22143x y +=上一点，过P 作圆的两条切线，切点为A ，B ，则PA PB ⋅的取值范围为（）A ．3[,)2+∞ B．3,)+∞ C．563,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．356,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】(,)P x y ，设222221,(1,0),||||1(1)1244CPA CPB C PA PC x y x x θ∠=∠==-=-+-=-+ 2222122114sin cos 212sin 11||242444x x PC x x x x θθθ-+⇒==⇒=-=-+-+，设221124(4)44t x x x =-+=-，又2min (2)2||cos 2(1)3223,2,()t PAPB PA t t t PA PB t tθ-•==-=+-≥-=•=max563,9,()9t PA PB =•=⇒PA PB ⋅的取值范围为563,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选C例题6：已知△ABC 中，4AB =，2AC =，|(22)|AB AC λλ+-（R λ∈）的最小值为P 为边AB 上任意一点，则PB PC ⋅的最小值是【解析】令()f λ＝22222|(22)|(22)2(22)AB AC AB AC AB AC λλλλλλ+-=+-+-⋅＝216λ＋24(22)λ-＋2(22)8cos A λλ-⋅＝216[(22cos )(2cos 2)1]A A λλ-+-+，当cos 0A =时，()f λ＝221116(221)16[2()]822λλλ-+=-+≥，因为>2A π=，则建立直角坐标系，(0,0)A ，(4,0),(0,2)B C ，设(,0)P x (04)x <<，则(4,0)PB x =-，(,2)PC x =-，所以PB PC ⋅＝(4)x x --＝2(2)4x --；当cos 0A ≠时，()f λ＝2116[(22cos )()2A λ--＋1cos ]2A+≥88cos 12A +=，解得1cos 2A =，所以3A π=，则建立直角坐标系，(0,0)A ，(4,0),B C ，设(,0)P x (04)x <<，则(4,0)PB x =-，(1PC x =-，所以PB PC ⋅＝(4)(1)x x --＝259()24x --．综上所述，当52x =时，PB PC ⋅取得最小值94-题型二向量模长的最值问题例题7：已知,a b 为单位向量，且a b ⊥，向量c 满足2c a b --=，则c 范围为【解析】如图，,()OA a b OB c AB c a b =+=⇒=-+，又||||222||22OA a b c =+=⇒-≤≤+例题8：向量,,a b c 满足4,22,a b ==a 与b 的夹角为4π，()()1c a c b -⋅-=-，则c a -的最大值为（）【分析】根据已知条件可建立直角坐标系，用坐标表示有关点（向量），确定变量满足的等式和目标函数的解析式，结合平面几何知识求最值或范围．【解析】设c OC b OB a OA ===,,；以OA 所在直线为x ，O 为坐标原点建立直角坐标系 ∵4,22,a b ==a 与b 的夹角为4π，则A （4，0），B （2，2），设C （x ，y ） ∵()()1c a c b -⋅-=-，∴x 2+y 2-6x-2y+9=0，即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3，1）为圆心，以1为半径的圆，c a -表示点A ，C 的距离即圆上的点与点A （4，0）的距离． ∵圆心到B 的距离为2)01()43(22=-+-，∴c a -的最大值为12+4224681051015A BO例题9：已知向量,a b 夹角为3π，2b =，对任意x R ∈，有b xa a b +≥-，则()2atb a tb t R -+-∈的最小值是__________．【解析】()()1,0,0,3,A B ()()1,0,1,3a b ∴=-=- ()()22132a tb a tb t t∴-+-=-+()2222113421424t tt t t t ⎛⎫+-+=-++-+= ⎪⎝⎭2222131********t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，表示(),0P t 与11,48M N ⎛⎛⎝⎭⎝⎭的距离之和的2倍，当,,M P N 共线时，取得最小值2MN ，即有22MN ==．题型三向量夹角的最值问题例题10：已知非零向量,a b 满足2a b =，若函数3211().132f x x a x a bx =+++ 在R 上存在极值，则a 和b 夹角的取值范围为【解析】()'2f x x a x a b =++⋅，设a 和b 夹角为θ，因为()f x 有极值，所以240a a b ∆=-⋅>，即24cos 0a a b θ∆=-⋅⋅>，即1cos 2θ<，所以,3πθπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦例题11：非零向量满足=，，则夹角最小值是【解析】由题意得2212a b a b ⋅=，()24a b+=，整理得22422a b a b a b +=-⋅≥⋅，即1a b ⋅≤，11cos ,22a b a b a b a b⋅==⋅≤，,3a b ππ∴≤≤，夹角的最小值为3π例题12：已知向量满足，且关于的函数在实数集R上单调递增，则向量a,b 的夹角的取值范围是（） A ．π[0,]6 B ．π[0,]3 C ．π[0,]4 D ．ππ[,]64b a ,b a ⋅222b a 2||||=+b ab a 与a,b |a|=22|b|0≠x 32f(x)=2x +3|a|x +6a bx+7⋅题型四平面向量系数的最值问题例题13：已知()2,λ=，()5,3-=，且a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是【分析】a 与b 的夹角为锐角等价于0a b ⋅>，且a 与b 不共线同向，所以由0a b ⋅>，得310<λ，再除去a 与b 共线同向的情形．【解析】由于与的夹角为锐角，0>⋅∴，且与不共线同向，由01030>+-⇒>⋅λ，解得310<λ，当向量a 与b 共线时，得65-=λ，得56-=λ，因此λ的取值范围是310<λ且56-≠λ．例题14：已知G 是ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 交于点,M N ，且AM xAB =，AN y AC =，(),0x y >，则3x y +的最小值是【解析】如图M N G ，，三点共线，MG GN λ∴=，AG AM AN AG λ∴-=-（）， ∵G 是ABC 的重心，13AG AB AC ∴=+（）， 1133AB AC x AB y AC AB AC λ∴+-=-+（）（（））1133{ 1133x y λλλ--∴-＝，＝解得，31311x y --=（）（）；结合图象可知111122x y ≤≤≤≤，；令1131312222x m y n m n -=-=≤≤≤≤，，（，）；故11133m nmn x y ++===，，；故14443133333n n x y m m ++=++=++≥+=，当且仅当m n ==例题15：如右图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,N M 两点，且,AM x AB AN y AC ==，则2x y +的最小值为【解析】因为,,M N G 三点共线，所以(),MG GN AG AM AN AG λλ=-=-，因为G 是ABC ∆重心，所以()13AG AB AC =+()()1133AB AC xAB y AC AB AC λ⎛⎫+-=-+ ⎪⎝⎭，所以11331133x y λλλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，化简得()()31311x y --=，解得题目所给图像可知111,122x y ≤≤≤≤．由基本不等式得()()23162231622x y x y -+-⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭即()332323x y x y ++-≥+≥．当且仅当3162x y -=-，即x y ==例题16：直角梯形ABCD 中，CB CD ⊥，AD BC ，ABD 是边长为2的正三角形，P 是平面上的动点，1CP =，设AP AD AB λμ=+（λ，R μ∈），则λμ+的最大值为________【解析】以C 为原点，CD 为x 轴，BC 所在直线为y 轴，建立直角坐标系，1CP =∴可设()()()cos ,,1,3,2,0CP sin AD AB αα==-=-，(,,AC =-(cos 2,,AP AC CP sin αα=+=-+因为AP AD AB λμ=+，所以()()cos 2,32,3sin ααλμλ-+=--1223{{1122sin cos sin cos λαλμααμαα=+--=-⇒==-+，()133cos =26232sin λμαααϕ+=-++-+ 332≤+=96+，即λμ+．例题17：已知向量，，．（1）若，求的值；（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．【解析】（1）因为，，，所以．若，则，与矛盾，故．于是，所以．（2）. 因为，所以，从而于是，当，即时，取到最大值3；当，即时，取到最小值(cos ,sin )x x =a (3,=b [0,]x π∈∥a b x ()f x =⋅a b ()f x x (cos ,sin )x x =a (3,=b ∥a b 3sin x x =cos 0x =sin 0x =22sin cos 1x x +=cos 0x ≠tan x =[0,]x π∈56x π=π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅=-=+a b [0,]x π∈ππ7π[,]666x +∈π1cos()6x -≤+≤ππ66x +=0x =()f x π6x +=π5π6x =()f x -例题18：在平面直角坐标系中，已知点，，，是轴上的两个动点，且，则的最小值为______．【解析】设，，所以，当时，取得最小值．例题19：在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅的最大值为（） A ．714-B ．24-C ．514-D ．30-【分析】如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据AE BE =求出E 的坐标，求边CD所在直线的方程，设(,M x +，利用坐标表示,AM ME ，根据二次函数性质求最大值.【解析】依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，()0,0A ∴，(B，(C ，()5,0D ，因为点E 在线段CB的延长线上，设(0E x ，01x <AE BE =，()222001x x +=-解得01x =-，(E ∴-，(4,3C ，()5,0D ，CD ∴所在直线的方程为y =+，因为点M 在边CD所在直线上，故设(,M x +(,AM x ∴=+，(1E x M -=--， ()1AM ME x x -∴⋅=--++242660x x =-+-23714144x ⎛⎫= ⎪⎭---⎝当134x =时()max714AM ME ⋅=-故选：A【小结】本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题(10)A -，(2,0)B E F y ||2EF =AE BF ⋅(0,)E t (0,2)±F t (1,)(2,2)⋅=⋅-±AE BF t t 222(2)22(1)3=-+±=±-=±-t t t t t 1=±t AE BF⋅3-题型七平面向量与基本不等式相结合的最值问题例题20：若平面向量，满足：；则的最小值是．【解析】，例题21：在等腰梯形中,已知,,,．动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为．【解析】因为，，，，，当且仅当即时的最小值为a b 23-≤a b ⋅a b _____2223494a b a b a b -≤⇔+≤+2294449448a b a b a b a b a b a b +≥≥-⇒+≥-⇔≥-ABCD AB DC ∥2AB =1BC =60ABC ∠=E F BC DC BE BC λ=19DF DC λ=AE AF ⋅19DF DC λ=12DC AB =119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==AE AB BE AB BCλ=+=+19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+()1918AE AF AB BC AB BC λλλ+⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎝⎭22191911818AB BC AB BC λλλλλλ++⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭19199421cos1201818λλλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥+=2192λλ=23λ=2918BA例题22：已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点，且20OA aOB bOC --=,则221a ba b b+++的最小值是___________【分析】本题根据条件构造21a b +=，研究的式子分别加1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式. 【解析】由20OA aOB bOC --=可得， 2OA aOB bOC =+，根据A 、B 、C 三点共线可得21a b +=，且0,0a b >>，所以()2222222112221222a b a b a a b b a ba b a b b a b a b b a b a b+++++++=-+-=+-≥+++++++ 所以最小值为2，故填2.题型八平面向量与圆相结合的最值问题例题23：在平面直角坐标系中，为原点，动点满足，则的最大值是．【解析】设(,)D x y ，由||1CD =，得22(3)1x y -+=，向量OA OB OD ++(1,x y =-+，故||(OA OBOC x ++=的最大值为圆22(3)1x y -+=上的动点到点(1,距离的最大值，其最大值为圆22(3)1xy -+=的圆心(3,0)到点(1,的距离加上圆的半径，11=+例题24：已知是单位向量，．若向量满足，则的最大值为ABCD 【解析】建立平面直角坐标系，令向量的坐标，又设，代入，又的最大值为圆上的动点到原点的距离的最大值，即圆心(1，1)．O (1,0),(3,0),A B C -D ||1CD =||OA OB OD ++,a b 0⋅a b =c 1--=c a b c 112,a b ()()1,0,0,1==a b (),x y =c 1--=c a b 1=c ()()22111x y -+-=1例题25：若过点()1,1P 的直线l 与22:4O x y +=相交于,A B 两点，则OA OB ⋅取值范围______【解析】本题中因为,OA OB 位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即过B 作直线OA 的垂线，垂足为D ，通过旋转AB 可发现，当OB OA ⊥时，0OA OB ⋅=，AB 位于其他位置时，D点始终位于OA 的反向延长线上，OA OB OA OD ⋅=-⋅，故0OA OB ⋅<，故()max0OA OB⋅=，下面寻找最小值，即DO 的最大值，可得当B 在OA 上的投影与C 重合时，DA 最大，即为AC ，此时直线OP 即为直线AB 。

最全归纳平面向量中的范围与最值问题 (十大题型)(学生版)

最全归纳平面向量中的范围与最值问题目录题型一：三角不等式题型二：定义法题型三：基底法题型四：几何意义法题型五：坐标法题型六：极化恒等式题型七：矩形大法题型八：等和线题型九：平行四边形大法题型十：向量对角线定理方法技巧总结技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：(1)定义法第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步：得出结论(2)坐标法第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步：将平面向量的运算坐标化第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解(3)基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论(4)几何意义法第一步：先确定向量所表达的点的轨迹第二步：根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果技巧二．极化恒等式(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a|2+|b |2)证明：不妨设AB =a ,AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -bAC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2①DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2②①②两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2 =2AB 2+AD 2 (2)极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b 2-a -b 2 ----极化恒等式①平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．②三角形模式：a ⋅b =AM 2-14DB 2(M 为BD 的中点)技巧三．矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：OA 2+OC 2=OB 2+OD 2．【证明】(坐标法)设AB =a ,AD =b ，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ，则B (a ,0),D (0,b ),C (a ,b )，设O (x ,y )，则OA 2+OC 2=(x 2+y 2)+[(x -a )2+(y -b )2]OB 2+OD 2=[(x -a )2+y 2]+[x 2+(y -b )2]∴OA 2+OC 2=OB 2+OD 2技巧四．等和线(1)平面向量共线定理已知OA =λOB +μOC ，若λ+μ=1，则A ,B ,C 三点共线；反之亦然．(2)等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ，OP =λOA +μOB(λ,μ∈R )，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．①当等和线恰为直线AB 时，k =1；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；③当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；④当等和线过O 点时，k =0；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；技巧五．平行四边形大法1.中线长定理2AO 2=AB 2+AD 2-12DB 22.P 为空间中任意一点，由中线长定理得：2PO 2=PA 2+PC 2-12AC 22PO 2=PD 2+PB 2-12DB 2两式相减：PA 2+PC 2-PD 2+PB 2=AC2-BD 22=2AB ⋅AD技巧六．向量对角线定理AC ⋅BD =(AD 2+BC 2)-(AB 2+CD2)2必考题型归纳题型一:三角不等式1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ,b ,c 满足|a |=2,|b |=1,|c -a -b |=1，若对任意c ，(c -a )2+(c-b )2≤11恒成立，则a ⋅b 的取值范围是.2(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：|a|=1,b ⋅a =-1，若对满足条件的任意向量b ，|c -b |≥|c -a |恒成立，则cos c +a ,a 的最小值是．3已知向量a ,b ,c 满足a =b =c =2，a ⋅b =0，若关于t 的方程ta +b2-c=12有解，记向量a ,c 的夹角为θ，则sin θ的取值范围是.1.已知e 1 ,e 2 ,e 3 是平面向量，且e 1 ,e 2 是互相垂直的单位向量，若对任意λ∈R 均有e 3 +λe 1的最小值为e 3 -e 2 ，则e 1 +3e 2 -e 3 +e 3 -e 2的最小值为．2.已知平面向量e 1 ,e 2 满足2e 2 -e 1 =2，设a =e 1 +4e 2 ,b =e 1 +e 2 ，若1≤a ⋅b ≤2，则|a|的取值范围为．3.(2023·浙江金华·统考一模)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =74，|a -b |=3，(a -c )(b -c)=-2，则c的取值范围是．1已知向量a ，b 的夹角为π3，且a ⋅b =3，向量c 满足c =λa +1-λ b 0<λ<1 ，且a ⋅c =b ⋅c ，记x =c ⋅a a ，y =c ⋅b b，则x 2+y 2-xy 的最大值为.2(2023·四川成都·高二校联考期中)已知向量a ，b ，c 满足a =1，b=2，a ⋅b =-1，向量c -a与向量c -b 的夹角为π4，则c 的最大值为．3(2023·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知向量a ，b 满足a =1，b=3，且a ⊥b ，若向量c满足c -a -b =2a -b ，则c的最大值是．1.已知向量a ，b 满足a =1，b =3，且a ⋅b =-32，若向量a -c 与b -c 的夹角为30°，则|c |的最大值是.2.已知向量a ，b ，满足a =2b =3c =6，若以向量a ，b 为基底，将向量c 表示成c =λa+μb (λ，μ为实数)，都有λ+μ ≤1，则a ⋅b的最小值为3.已知向量a 、b 满足：a -b =4，a =2b .设a -b 与a +b的夹角为θ，则sin θ的最大值为.1.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E ，F 分在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF=μDC ．若λ+μ=23，则AE ⋅AF 的最小值为．2.(2023·天津·高三校联考阶段练习)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E 、F 分别在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF =μDC ，若2λ+μ=52，则AE ⋅AF 的最小值．3.如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为．4.菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AB ⋅AN的最大值为．5.如图，菱形ABCD 的边长为4,∠BAD =60°,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为.6.平面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且∠A =120°，点N 是DC 边上的点，且DN =3NC，点M 是四边形ABCD 内或边界上的一个动点，则AM ⋅AN的最大值为.7.(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足a +b =3，a ⋅b =0．若c =λa+1-λ b ，且c ⋅a =c ⋅b ，则c 的最大值为．8.已知平面向量a ，b ，c 满足a =2，b =1，a ⋅b =-1，且a -c 与b -c 的夹角为π4，则c 的最大值为．9.已知平面向量a 、b 、c 满足a =4，b =3，c =2，b ⋅c =3，则a -b 2a -c 2-a -b ⋅a -c 2最大值为.10.在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，且满足AN =λAB +μAC，则λ2+μ2的最小值为.题型四:几何意义法1(2023·全国·模拟预测)已知a ，b ，c 是平面向量，满足a -b =a +b ，a =2b =2，c +a -b=5，则向量c 在向量a上的投影的数量的最小值是.2(2023·上海浦东新·上海市建平中学校考三模)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π4，c -a与c -b 的夹角为3π4，a -b=2，c -b =1，则b ⋅c 的取值范围是.3(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b 夹角为π3，且平面向量c 满足c -a =c -b =1,c -a ⋅c -b =-12,记m 为f t =ta +1-t b (t ∈R )的最小值，则m 的最大值是．1.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =-3，a -b =4，c -a 与c -b 的夹角为π3，则c -a -b 的最大值为．2.(2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π3，c -a 与c -b 的夹角为2π3，a -b=23，c -b =2，则b ⋅c 的取值范围是．3.已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =2，且(c -a )⋅(c -b )=0，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π6,π3，则|c |的最大值是.4.(2023·全国·高三专题练习)平面向量a ,b ,c 满足：a ,b 的夹角为π3，|a -b|=|b -c |=|a -c |=23，则b ⋅c的最大值为.5.(2023·广东阳江·高二统考期中)已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =4，且a -c⋅b -c =-1，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π3,π2，则c 的模取值范围是. 6.(2023·浙江·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c ，若a =b =a -b =1，且2a -c+2b +c =23，则a -c的取值范围是.7.(2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末)已知向量a ，b 满足a =b =1，且a ⋅b=0，若向量c 满足c +a +b =1，则c的最大值为.8.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b ，c 满足a -b +c =2b =2，b -a 与a的夹角为3π4，则c 的最大值为．9.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：a -b =5，向量a与向量b 的夹角为π3，a -c =23，向量a -c 与向量b -c 的夹角为2π3，则a 2+c 2的最大值为.题型五:坐标法1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足2a +b =3，b =1，则a +2a +b的最大值为.2(2023·江苏常州·高三统考期中)已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=2，|b |=4，a ，b 的夹角为π3，且(a -c )⋅(b -c )=2，则|c |的最大值是.3设平面向量a ，b ，c 满足a =b =2，a 与b 的夹角为2π3，a -c ⋅b -c =0则c 的最大值为．1.(2023·安徽滁州·校考三模)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |=1，|b |=3，a ⋅b =0，c -a 与c-b 的夹角是π6，则c ⋅b -a 的最大值为.2.(2023·河北·统考模拟预测)如图，在边长为2的正方形ABCD 中．以C 为圆心，1为半径的圆分别交CD ，BC 于点E ，F ．当点P 在劣弧EF 上运动时，BP ⋅DP的最小值为．3.(2023·山东·山东省实验中学校考一模)若平面向量a ，b ，c 满足a =1，b ⋅c =0，a ⋅b =1，a⋅c=-1，则b +c 的最小值为．4.(2023·四川眉山·仁寿一中校考一模)如图，在平面四边形ABCD 中，∠CDA =∠CBA =90°，∠BAD =120°，AB =AD =1，若点E 为CD 边上的动点，则AE ⋅BE的最小值为．5.(2023·安徽滁州·校考模拟预测)已知a=1，b +a +b -a =4，则b -14a 的最小值是.6.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b 满足a =3，且b -λa的最小值为1(λ为实数)，记a ,b =α，a ,a-b=β，则b ⋅b -a cos α+β最大值为.7.在矩形ABCD 中，AB =4，AD =3，M ，N 分别是AB ，AD 上的动点，且满足2AM +AN =1，设AC =xAM +yAN ，则2x +3y 的最小值为()A.48B.49C.50D.51题型六:极化恒等式1(2023·山东师范大学附中模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是．2(2023·湖北省仙桃中学模拟预测)如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，AD =4，AB =83，BC =12，则BE ⋅BF的取值范围为．3(2023·陕西榆林·三模)四边形ABCD 为菱形，∠BAC =30°，AB =6，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA ⋅PC的最小值为．1.(2023·福建莆田·模拟预测)已知P 是边长为4的正三角形ABC 所在平面内一点，且AP=λAB +(2-2λ)AC (λ∈R )，则PA ⋅PC 的最小值为()A.16B.12C.5D.42.(2023·重庆八中模拟预测)△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =5，PQ 为△ABC 内切圆的一条直径，M 为△ABC 边上的动点，则MP ⋅MQ的取值范围为()A.0,4B.1,4C.0,9D.1,9题型七:矩形大法1已知圆C 1:x 2+y 2=9与C 2:x 2+y 2=36，定点P (2,0)，A 、B 分别在圆C 1和圆C 2上，满足PA ⊥PB ，则线段AB 的取值范围是．2在平面内，已知AB 1 ⊥AB 2 ，OB 1 =OB 2 =1，AP =AB 1 +AB 2 ，若|OP |<12，则|OA |的取值范围是()A.0,52B.52,72C.52,2D.72,23(2023·全国·高三专题练习)已知圆Q :x 2+y 2=16，点P 1,2 ，M 、N 为圆O 上两个不同的点，且PM⋅PN =0若PQ =PM +PN ，则PQ 的最小值为．1.设向量a ，b ，c 满足|a |=|b |=1，a ⋅b =12，(a -c )⋅(b -c )=0，则|c|的最小值是()A.3+12B.3-12C.3D.1题型八:等和线1如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP =xAB +yAC，则2x +2y 的最大值为()A.83B.2C.43D.12在△ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN =λAB +μAC(λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是()A.0,13B.13,12C.[0,1]D.[1,2]3(2023·全国·高三专题练习)如图,OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且OP =xOA +yOB .当x =-12时，y 的取值范围是()A.0，+∞B.12，32C.12，+∞ D.-12，321.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一动点，若OC=xOA +yOB ，则3x +y 的取值范围是．2.(2023·江西上饶·统考三模)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一个动点.若OC=xOA +yOB ，则2x +y 的取值范围是.3.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，OA =1，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB ，则x +3y 的取值范围是.4.(2023·福建三明·高二三明一中校考开学考试)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB，则x +4y 的取值范围是.5.(2023·全国·高三专题练习)如图，OM ⎳AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且OP =xOA +yOB，则实数对x ,y 可以是()A.-14,34B.-15,75C.14,-12D.-23,236.如图，B 是AC 的中点，BE =2OB ，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且OP=xOA +yOBx ,y ∈R ，则下列结论正确的个数为()①当x =0时，y ∈2,3②当P 是线段CE 的中点时，x =-12，y =52③若x +y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段④x -y 的最大值为-1A.1B.2C.3D.47.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =AC=AB ⋅AC=2，点Q 在线段BC (含端点)上运动，点P 是以Q 为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若AP =λAB +μAC，则λ+μ的最大值为()A.1B.33C.3+33D.328.在△ABC 中，AD 为BC 上的中线，G 为AD 的中点，M ，N 分别为线段AB ，AC 上的动点(不包括端点A ，B ，C )，且M ，N ，G 三点共线，若AM =λAB ，AN =μAC，则λ+4μ的最小值为()A.32 B.52C.2D.949.(2023·全国·高三专题练习)在ΔABC 中，AC =2,AB =2,∠BAC =120°,AE =λAB ,AF=μAC ，M 为线段EF 的中点，若AM =1，则λ+μ的最大值为()A.73B.273C.2D.21310.在扇形OAB 中，∠AOB =60o ，OA =1，C 为弧AB 上的一个动点，且OC =xOA +yOB．则x +4y 的取值范围为()A.[1,4)B.[1,4]C.[2,3)D.[2,3]11.(2023·全国·高三专题练习)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =600，C 为弧AB 上且与A ,B 不重合的一个动点，且OC =xOA +yOB，若u =x +λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为()A.(1,3)B.13,3C.12,1D.12,2题型九:平行四边形大法1如图，圆O 是半径为1的圆，OA =12，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC ⋅BC 的取值范围是.2如图，C ，D 在半径为1的⊙O 上，线段AB 是⊙O 的直径，则AC ⋅BD的取值范围是.3(2023·浙江·模拟预测)已知e 为单位向量，平面向量a ，b 满足|a +e |=|b -e |=1，a ⋅b的取值范围是.1.(2023·江西宜春·校联考模拟预测)半径为1的两圆M 和圆O 外切于点P ，点C 是圆M 上一点，点B 是圆O 上一点，则PC ⋅PB的取值范围为.2.(2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习)设圆M ，圆N 的半径分别为1，2，且两圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M ，圆N 上的两动点，则PA ⋅PB的取值范围是()A.-8,12B.-16,34C.-8,1D.-16,1题型十:向量对角线定理1已知平行四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交于点O ，若记a =OA⋅OB ，b =OB ⋅OC ，c =OC ⋅OD ，则()A.a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <a <c2如图，在圆O 中，若弦AB =3，弦AC =5，则AO ⋅BC的值是()A.-8B ．-1C ．1D ．83如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BC 若，AB =a ，AD =b ，则AC ⋅BD 等于()A.b 2-a 2B.a 2-b 2C.a 2+b 2D.a 2⋅b 2。

2025年高考数学复习考点全题型突破(新教材新高考)第04讲平面向量中的最值、范围问题(原卷版)

的最小值．
5．（2023·新疆·统考二模）已知向量 a
，b
满足
a
r 1，b
m, 2
m
，
a
b
cos
（θ为 a
与b
的夹角），
则 a b 的最小值为（）
A． 2 2
B． 2
C．1
D．2
6．（2023 春·黑龙江·高一黑龙江实验中学校考期中）已知 e1 ，e2 是单位向量，且 e1 e2 0 ，设向量 a e1 e2 ，
b
2 且对任意 t R ，恒有
b
ta
b
a
，则
a
b
a
的最大值是_________.
精练核心考点
16 8x2 , x 0, 2
1．（2023
春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考阶段练习）已知函数
f
x
满足
f
x
1 2
f
1 2
x
1
,
x 2, .
向量
a
x0 ,
f
x0
，b
1, 0
有
e1
1 2
e2
e1 te2
恒成立，则 e2 t
e1 e2
的最小值为______．
例题 3．（2023 春·上海普陀·高一曹杨二中校考期中）已知 e 是单位向量，向量 a 满足 a e 2 .若不等式
2
r
a 5 a te 对任意实数 t 都成立，则 a 的取值范围是______.
b
0
．若向量
c
满足
r c
r a
r b
2
，则
c
的取值范围是_____．

21 平面向量中最值、范围问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板含解析

【高考地位】平面向量中的最值和范围问题,是一个热点问题，也是难点问题,这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围,如:向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题. 【方法点评】方法一利用基本不等式求平面向量的最值使用情景：一般平面向量求最值问题解题模板:第一步利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系；第二步运用基本不等式求其最值问题; 第三步得出结论。

例1.已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点,且20OA aOB bOC --=，则221a ba b b+++的最小值是___________ 【答案】222例2 如右图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,N M 两点，且,AM x AB AN y AC ==，则2x y +的最小值为( ）A ．2B ．13C ．3223+ D ．34【答案】C【变式演练1】如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,M N 两点，且,AM x AB AN y AC ==,则x y +的最小值为( ）A ．2B ．13C ．43D ．34【答案】CMNA BGQ考点：向量共线，基本不等式求最值【变式演练2】已知点A（1, 1)，B(4,0），C（2，2）．平面区域D由所有满足AP AB ACλμ=+(1≤≤a，1≤≤b）的点P（x，y)组成的区域．若区域D的面积为8,则a+b的最小值为．【答案】4考点:1、平面向量的线性运算；2、基本不等式．【变式演练3】平行四边形ABCD 中，60,1,2,BAD AB AD P ∠===为平行四边形内一点,且22AP =，若),(R AD AB AP ∈+=μλμλ,则2u λ+的最大值为． 6【解析】试题分析：对),(R AD AB AP ∈+=μλμλ两边平方可得()()22AP AB AD λμ=+可化为222222APAB AB AD ADλλμμ=+⋅⋅+,据已知条件可得22122λμ=+≥,即λμ≤，又()22212223λλμ=++=+≤，则λ+≤. 考点：向量的数量积运算；基本不等式方法二利用向量的数量积m n m n ⋅≤求最值或取值范围使用情景：涉及数量积求平面向量最值问题解题模板：第一步运用向量的加减法用已知向量表示未知向量；第二步运用向量的数量积的性质求解；第三步得出结论。

高考冲刺平面向量中范围、最值等综合问题

平面向量中的范围、最值问题一．方法综述平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数（二次函数、三角函数）的最值或应用基本不等式，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．二．解题策略类型一与向量的模有关的最值问题【例1】（2020·天津高考模拟）如图，在ABC ∆中，3BAC π∠=，2AD DB =u u u r u u u r，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+u u u r u u u r u u u r ，若ABC ∆的面积为||AP uuu r的最小值为( )AB ．43C ．3D【解析】()AP AC CP AC kCD AC k AD AC =+=+=+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 23AC k AB AC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭u u u v u u uv u u u v()21132k AB k AC mAC AB =+-=+u u u v u u u v u u u v u u u v ，得到211,32k k m -==，所以14m =，结合ABC ∆的面积为12AC AB u u uv u u u v ⋅=,得到8AC AB ⋅=u u u v u u u v ，所以AP ==u u u v D ．【点睛】三点共线的一个向量性质：已知O 、A 、B 、C 是平面内的四点，则A 、B 、C 三点共线的充要条件是存在一对实数λ1、λ2，使OC ⃑⃑⃑⃑⃑ =λ1OC ⃑⃑⃑⃑⃑ +λ2OC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，且λ1+λ2=1.【举一反三】1．（2020·天津南开中学高考模拟）如图，在等腰三角形ABC 中，已知2AB AC ==，120,,A E F ∠=︒分别是,AB AC 上的点，且AE AB =uu u r uu u rλ，AF AC μ=u u u r u u u r（其中λ，()0,1μ∈），且41λμ+=，若线段,EF BC的中点分别为,M N ，则MN u u u u r的最小值为________.【分析】由向量的数量积公式求出2AB AC ⋅=-u u u r u u u r，连接,AM AN ，利用向量加法的运算法则得出,AM AN u u u u r u u u r ，再根据平面向量减法运算法则以及平面向量的数量积的运算法则可得222161MN μμ=-+u u u u r ,结合二次函数的性质可得2MN u u u u r 的最小值，进而可得结果. 【详解】连接,AM AN ，Q 等腰三角形ABC 中,2,120AB AC A ===o，||||cos1202AB AC AB AC ︒∴⋅=⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r,AM Q 是AEF ∆的中线, 11()()22AM AE AF AB AC λμ∴=+=+u u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r同理,可得1()2AN AB AC =+u u u r u u u r u u u r,由此可得11()()22MN AN AM AB AC AB AC λμ=-=+-+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 11(1)(1)22AB AC λμ=-+-u u u r u u u r ，2211(1)(1)22MN AB AC λμ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦u u u u r u u u r u u u r 2222111(1)(1)(1)(1)424AB AB AC AC λλμμ=-+--⋅+-u u u r u u u u r u u u r u u u r()22(1)(1)1(1)λμλμ=----+-41λμ+=Q ,可得14λμ-=, ∴代入上式得222(4)4(1)(1)MN μμμμ=--+-u u u u r 22161μμ=-+， ,(0,1)λμ∈Q , ∴当17μ=时, 2MN u u u u r 的最小值为47,.2.（2020·浙江高考模拟）已知平面向量,a b rr 不共线，且1a =r，1a b ⋅=rr ，记b r与2a b +rr的夹角是θ，则θ最大时，a b -=rr （）A ．1BCD ．2【分析】把cos θ表示为|b|r 的函数，利用函数的性质求出当θ最大时|b|r 的值，进而可求出|a-b|r r的值.【详解】设|b|=x r ，则()22·22?2b a b a b b x +=+=+r r r r r r，|2+a b =r r所以()2·2cos 2b a b b a b θ+==+r r r r r r 易得cos 0θ>， ()()()2222222222211cos 124811411222263x x x x x x θ+===+⎛⎫-++--+⎪+++⎝⎭，当24x =时，2cos θ取得最小值，θ取得最大值，此时|a b -==r r 故选C.3.已知向量满足与的夹角为,,则的最大值为 .【分析】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点（向量）,确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围. 【解析】设；以OA 所在直线为x,O 为坐标原点建立平面直角坐标系,∵与的夹角为,则A （4,0）,B （2,2）,设C （x,y ） ∵,∴x 2+y 2-6x-2y+9=0,即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3,1）为圆心,以1为半径的圆,表示点A,C 的距离即圆上的点与点A （4,0）的距离；∵圆心到B 的距离为,∴的最大值为．【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键．,,a b c r r r 4,22,a b ==r r a r b r 4π()()1c a c b -⋅-=-r r r rc a -r r ===,,4,a b ==r r a r b r 4π()()1c a c b -⋅-=-r r r rc a -r r2)01()43(22=-+-c a -r r12+类型二与向量夹角有关的范围问题【例2】已知向量与的夹角为,时取得最小值,当时,夹角的取值范围为________________.【分析】将表示为变量的二次函数,转化为求二次函数的最小值问题,当时,取最小值,由已知条件,得关于夹角的不等式,解不等式得解．【解析】由题意知,,,所以,由二次函数的图像及其性质知,当上式取最小值时,.由题意可得,,求得,所以.【举一反三】1.已知非零向量,在R 上存在极值,则和夹角的取值范围为【解析设和夹角为,因为有极值,所即2.非零向量满足=，，则的夹角的最小值是．【解析】由题意得2212a b a b⋅=r r r r，()24a b+=r r，整理得22422a b a b a b+=-⋅≥⋅r r r r r r，即1a b⋅≤r11cos,22a ba b a ba b⋅==⋅≤r rr r r rr r，,3a bππ∴≤≤r r，夹角的最小值为3π.3.已知向量OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 与ON⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的夹角为θ，|OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=1，|ON⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=2，OP⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−t)OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，OQ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =t ON⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，(0≤t≤1).|PQ⃑⃑⃑⃑⃑ |在t=t0时取得最小值.若0<t0<15，则夹角θ的取值范围是______.【解析】OP⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−t)OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，OQ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =tON⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，(0≤t≤1)∴PQ⃑⃑⃑⃑⃑ =OQ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OP⃑⃑⃑⃑⃑ =tON⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −(1−t)OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，∴|PQ⃑⃑⃑⃑⃑ |2=4t2+(1−t)2−2t(1−t)ON⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(5+4cosθ)t2−(2+4cosθ)t+1,∵在t=t0时取得最小值,∴0<t0=1+2cosθ5+4cosθ<15解可得：−12<cosθ<0,则夹角θ的取值范围→OA→OBθ→→→→→→→-====PQOBtOQOAtOPOBOA,)1(,,1,2t在015t<<θPQu u u rt PQu u u r1)cos42()cos45(2+--++=ttθθθθcos45cos210++=t15t<<θθθcos2cos12=⨯⨯=⋅→→OBOA→→→→→--=-=OAtOBtOPOQPQ)1(2222222(1)2(1)(1)44(1)cosPQ t OB t OA t t OA OB t t t tθ=-+--⋅=-+--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1)cos42()cos45(2+--++=ttθθθθcos45cos210++=t51cos45cos210<++<θθcos21<<-θ322πθπ<<,a br rarbrarbrθ()f xbaϖϖ,baϖϖ⋅222baϖϖ2||||=+baϖϖbaϖϖ与(π2,2π3)类型三与向量投影有关的最值问题【例3】（2020天津模拟）设1,2OA OB ==u u u v u u u v ， 0OA OB ⋅=u u u v u u u v ， OP OA OB λμ=+u u u v u u u v u u u v ，且1λμ+=，则OAu u u v在OP uuu v上的投影的取值范围( )A. ⎛⎤ ⎥ ⎝⎦B.⎤⎥⎝⎦ C. ⎤⎥⎝⎦ D. ⎛⎤⎥ ⎝⎦当λ0=时， 0,x =当1λ0x >===，故当λ1=时，1x 取得最小值为1，即1101x x≥∴<≤，当λ0<时， 1x ====，即1x <05x ∴-<<，综上所述]( ,15x ∈-故答案选D 【举一反三】1.若平面向量e 1⃑⃑⃑ ，e 2⃑⃑⃑ 满足|e 1⃑⃑⃑ |=|3e 1⃑⃑⃑ +e 2⃑⃑⃑ |=2，则e 1⃑⃑⃑ 在e 2⃑⃑⃑ 方向上的投影的最大值为（） A ．−4√23B ．−3√24C ．8√2D ．48√2【解析】因为|e 1⃑⃑⃑ |=|3e 1⃑⃑⃑ +e 2⃑⃑⃑ |=2，所以|e 1⃑⃑⃑ |2=4,9|e 1⃑⃑⃑ |2+|e 2⃑⃑⃑ |2+6e 1⃑⃑⃑ ·e 2⃑⃑⃑ =4，e 1⃑⃑⃑ 在e 2⃑⃑⃑ 方向上的投影为e 1⃑⃑⃑⃑ ·e 2⃑⃑⃑⃑ |e2|=2cosθ，其中θ为e 1⃑⃑⃑ ，e 2⃑⃑⃑ 的夹角．又36+|e 2⃑⃑⃑ |2+12|e 2⃑⃑⃑ |cosθ=4，故|e 2⃑⃑⃑ |2+12|e 2⃑⃑⃑ |cosθ+32=0．设t =|e 2⃑⃑⃑ |，则t 2+12tcosθ+32=0有非负解，故{cosθ≤0144cos 2θ−128≥0，故cosθ≤−2√23，故e 1⃑⃑⃑⃑ ·e 2⃑⃑⃑⃑ |e 2|≤−4√23，故选A ． 2．（2020·北京高考模拟）在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC=3π，2ACB π∠≠，BC=1，P 为BC 中点．过点P 作PQ ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，则AQ uuu r在BC uuu r方向上投影的最大值是（） A ．13B ．12CD ．23建立如图所示的平面直角坐标系，则B （-12，0），C （12，0），P （0，0），由BAC 3π∠=可知，ABC 三点在一个定圆上，且弦BC 所对的圆周角为3π，所以圆心角为23π.圆心在BC 的中垂线即y 轴上，且圆心到直线BC的距离为126tan 3BCπ=，即圆心为，=所以点A的轨迹方程为：22163x y ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，则213x ≤ ，则03x -≤< ，由AQ uuu r 在BC uuu r 方向上投影的几何意义可得：AQ uuu r 在BC uuu r方向上投影为|DP|=|x|，则AQ uuu r在BC uuu r方向上投影的最大值是C ．类型四与平面向量数量积有关的最值问题【例4】（2020·天津高考模拟）已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足2BE EC =u u u r u u u r，23AE BD ⋅=-u u u r u u u r ，则AF EF ⋅u u u r u u u r 的最小值为（）A ．23-B ．43- C ．15275-D ．7336-【详解】由题意知：23BE BC =u u u r u u u r，设DAB θ∠=()()22233AE BD AB BE AD AB AB AD AB BC AD BC AB ∴⋅=+⋅-=⋅-+⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r8824cos 4cos 333θθ=-+-=-1cos 2θ∴= 3πθ⇒=以AC 与BD 交点为原点，AC 为x 轴，BD 为y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系：()A ∴，13E ⎫-⎪⎪⎝⎭，设()0,F t则)AF t =u u u r，13EF t ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r 2112233AF EF t t t t ⎛⎫∴⋅=-++=+- ⎪⎝⎭u u u r u u u r当16t =-时，()min11732361836AF EF⋅=--=-u u u r u u u r ，本题正确选项：D 【举一反三】1．（2020·四川高考模拟）已知ABC ∆是边长为EF 为ABC ∆的外接圆O 的一条直径，M 为ABC ∆的边上的动点，则ME FM ⋅u u u r u u u u r的最大值为（） A ．3B ．4C ．5D ．6如图所示,以AB 边所在直线为x 轴,以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系,因为该正三角形ABC 的边长为())()()(),,0,3,0,1,0,3A BC E F ∴-,当点M 在边AB 上时,设点()0,0M x ,则()()000,1,,3,x ME x FM x u u u r u u u u r ≤≤=--=-∴ 203,ME FM x ⋅=-+u u u r u u u u rQ 0x ME FM≤≤∴⋅u u u r u u u u r 的最大值为3;当点M 在边BC 上时,因为直线BC的斜率为所以直线BC 的方程为30y +-=,设点()00,3M x ,则00x ≤≤()()20000004,,2ME x FM x ME FM x =--=∴⋅=-u u u r u u u u r u u u r u u u u r Q ,00x ME FM ≤≤∴⋅u u u r u Q u u u r的最大值为0;当点M 在边AC 上时,因为直线AC,所以直线AC的方程为30y -+=,设点()00,3M x ,则()()000000,,4,,x ME x FM x ≤≤=--=∴u u u r u u u u r Q 2004,ME FM x ⋅=--u u u r u u u u r Q00,x ≤≤∴ME FM ⋅u u u r u u u u r的最大值为3;综上,最大值为3,故选A.2、（2020辽宁省鞍山市高三一模）△ABC 中，AB =5，AC =4，AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +(1−λ)AC ⃑⃑⃑⃑⃑ (0<λ<1)，且AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =16，则DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅DB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值等于( ) A ．−754B ．−214C ．−94D ．−21【解析】由题意知，向量AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +(1−λ)AC ⃑⃑⃑⃑⃑ (0<λ<1)，且AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =16，可得点D 在边BC 上，|AD ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |cos∠DAC =16，所以|AD ⃑⃑⃑⃑⃑ |cos∠DAC =4，则cos∠DAC =1，即BC ⊥AC ，所以ΔABC 时以C 为直角的直角三角形．如图建立平面直角坐标系，设A(x,4)，则(x −3,0)，则DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅DB ⃑⃑⃑⃑⃑ =x(x −3)，(0<x <3)，当x =32时，则DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅DB ⃑⃑⃑⃑⃑ 最小，最小值为−94．故选：C ．3、已知圆O 的半径为2，P,Q 是圆O 上任意两点，且∠POQ =600，AB 是圆O 的一条直径，若点C 满足OC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(λ−1)OP⃑⃑⃑⃑⃑ +λOQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ （λ∈R ），则CA ⃑⃑⃑⃑⃑ •CB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值为（） A. -1 B. -2 C. -3 D. -4类型五平面向量系数的取值范围问题【例5】（2020·河南高考模拟）在ABC ∆中，点P 满足2BP PC =u u u r u u u r，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM mAB =u u u u r u u u r ，(0,0)AN nAC m n =>>u u ur u u u r ，则2m n +的最小值为（）A ．3B ．4C ．83D ．103【解析】分析：用AM u u u u v ，AN u u u v 表示出AP u u u v,根据三点共线得出,m n 的关系，利用基本不等式得出2m n +的最小值.()21212,33333AP AB BP AB AC AB AB AC AM AN m n =+=+-=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u Q u u v u u u u v u u u u v,,M P N Q 三点共线，121,,3332nm m n n ∴+=∴=-则()()225232326333322,323232n n n n n m n n n n n -+-+-+=+==--- ()()215253223,332333n n ⎡⎤=-++≥⨯+=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 当且仅当()()13232n n -=-即1m n ==时等号成立.故选A.【举一反三】1．（2020·安徽高考模拟）已知G 是ABC V 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 交于点,M N ，且AM xAB =uuur uu u r ，AN yAC =uuur uu u r ，(),0x y >，则3x y +的最小值是( )A ．83B ．72C ．52D ．43+如图M N G Q ，，三点共线， MG GN λ∴=u u u u v u u u v，AG AM AN AG λ∴-=-u u u v u u u u v u u u v u u u v（），∵G 是ABC V 的重心， 13AG AB AC ∴=+u u u v u u u v u u u v （），1133AB AC xAB y AC AB AC λ∴+-=-+u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v （）（（））， 11331133x y λλλ⎧--⎪⎪∴⎨⎪-⎪⎩＝，＝解得，31311x y --=（）（）；结合图象可知11 1122x y ≤≤≤≤，；令1131312222x m y n m n -=-=≤≤≤≤，，（，）；故11133m nmn x y ++===，，；故14443133333n n x y m m ++=++=++≥+=+当且仅当3m n ==D 2.在矩形ABCD 中， 12AB AD ==，，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP AB AD λμ=+u u u v u u u v u u u v，则λμ+的最大值为（）A. 3B.22 C.5 D. 23.（2020云南省昆明市云南师范大学附属中学）已知正方形ABCD 的边长为1，动点P 满足|PB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√2|PC ⃑⃑⃑⃑ |，若AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +μAD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则λ2+μ2的最大值为( ) A ．2√2B ．√5C ．7+2√10D ．√5+√2解：以A 为原点建立如图所示的直角坐标系：则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设P(x,y)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−x,−y ),PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−x,1−y ) ,则由|PB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√2|PC ⃑⃑⃑⃑ |得√(x −1)2+y 2=√2√(x −1)2+(y −1)2，化简得：(x −1)2+(y −2)2=2，又AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +μAD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∴(x,y)=λ(1,0)+μ(0,1)，∴x =λ，y =μ，∴λ2+μ2=x 2+y 2表示圆(x −1)2+(y −2)2=2上的点到原点的距离得平方，其最大值等于圆心(1,2)到原点的距离加半径的平方，即λ2+μ2=x 2+y 2≤(√(1−0)2+(2−0)2+√2)2=7+2√10，故选：C ．类型六平面向量与三角形四心的结合【例6】（2020·吉林高考模拟）如图所示，已知点G 是的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,M N 两点，且,则x y +的最小值为（）A ．2B ．C ．43D ．【解析】由题意得：223323AB AC AB ACAG AQ ++==⨯=u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r ,又,(1)AG AM AN x AB y AC λμλμλμ=+=++=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以111111133333x y x y x y λμ==⇒+=⇒+=，，因此111114()()(2)(22)3333y x y x x y x y x y x y x y +=++⋅=++≥+⋅=，当且仅当时23x y ==取等号，所以选C ．【指点迷津】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．ABC ∆,AM x AB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r1334CMNA BGQ【举一反三】1.如图，O 为ΔABC 的外心，AB =4,AC =2,∠BAC 为钝角，M 是边BC 的中点，则AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AO ⃑⃑⃑⃑⃑ 的值为2.已知ABC ∆的三边垂直平分线交于点O ， ,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且()222c b b =-，则AO BC ⋅u u u v u u u v的取值范围是__________．【解析】如图，延长AO 交△ABC 的外接圆与点D ，链接BD ，CD ，则∠ABD =∠ACD =90°，所以111()()cos cos 222AO BC AO AC AB AD AC AB AC AD CAD AB AD BAD ⋅=⋅-=⋅-=∠-∠u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r221()2b c =-① 又222(2)42c b b b b =-=-，②把②代入①得221322(34)2233AO BC b b b ⎛⎫⋅=-=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，③又22(2)0c b b =->，所以02b <<④ 把④代入①得AO BC ⋅u u u r u u u r的取值范围是2,23⎛⎫-⎪⎝⎭3.（2020大连模拟）已知点O 是锐角三角形ABC 的外心，若OC mOA nOB =+u u u v u u u v u u u v（m ， n R ∈），则（） A. 2m n +≤- B. 21m n -≤+<- C. 1m n +<- D. 10m n -<+<【解析】∵O 是锐角△ABC 的外心，∴O 在三角形内部，不妨设锐角△ABC 的外接圆的半径为1，又OC mOA nOB =+u u u v u u u v u u u v ，∴|OC u u u v |=| mOA nOB +u u u v u u u v|，可得2OC u u u v =22m OA u u u v +22n OB u u u v+2mn OA u u u v ⋅OB uuu v，而OA u u u v ⋅OB uuu v =|OA u u u v |⋅|OB uuu v |cos ∠A 0B <|OA u u u v |⋅|OB uuu v |=1.∴1=2m +2n +2mn OA u u u v ⋅OB uuu v<22m n ++2mn ， ∴m n + <−1或m n + >1，如果m n + >1则O 在三角形外部，三角形不是锐角三角形， ∴m n + <−1，故选：C.三．强化训练1．（2019·辽宁高考模拟（理））已知12,e e r r是两个单位向量，且夹角为3π，则12e te +r r 与12te e +r r 数量积的最小值为（） A ．32-B．C ．12D【解析】由题意：()()()222112122211te e te t e e t t e e e ⋅=++++⋅+r r r rrr r r()22221122111cos 2322t e t e e t e t t π=+++=++r r r r∴当2t =-时，最小值为：11344222⨯-+=-，本题正确选项：A2．（2018·四川高考模拟）已知ABC ∆是边长为2的正三角形，点P为平面内一点，且CP =u u u r，则()PC PA PB ⋅+u u u r u u u r u u u r的取值范围是（）A ．[]0,12B ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,6D ．[]0,3以点B 为坐标原点， BC 所在直线为x 轴，过点B 与BC 垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()00B ，、(A 、()20C ，设() P x y ，因为CP =u u u vP 点轨迹为()2223x y -+=令2x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩则()1PA θθ=-u uu v()2,PB θθ=-u u u v，()PC θθ=u u u v则()16666cos 26PC PA PB sin πθθθ⎫⎛⎫⋅+=-+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v u u u v 由66cos 66πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ 得066cos 126πθ⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭故选A3．（2020·山东高考模拟）如图所示，两个不共线向量,OA OB u u u r u u u r的夹角为θ，,M N 分别为OA 与OB 的中点，点C 在直线MN 上，且(),OC xOA yOB x y R =+∈u u u r u u u r u u u r ，则22x y +的最小值为（）AB ．18CD ．12【解析】由题意，设NC tNM =u u u r u u u u r(01)t ≤≤，则()OC ON NC ON tMN ON t OM ON =+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ＝(1)t ON tOM -+u u u r u u u u r ＝122t t OA OB -+u u u r u u u r ，所以12{2t x t y -==，所以222221111()()()22228t t x y t -+=+=-+，则当12t =时，22x y +取得最小值18，故选B ．4．（2020·河北高考模拟）已知两点(1,0)M -，(1,0)N ，若直线340x y m -+=上存在点P 满足0PM PN ⋅=u u u u r u u u r，则实数m 的取值范围是（） A ．(][),55,-∞-+∞U B ．(][),2525,-∞-+∞U C ．[]5,5-D ．[]25,25-【详解】设(),P x y ，则()()1,,1,,PM x y PN x y =---=--u u u u v u u u v由PM PN ⊥u u u u r u u u r得221x y +=，因P 在直线340x y m -+=上，故圆心到直线的距离1d =≤，故[]5,5m ∈-，故选C.【点睛】此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：（1）如果,A B 为定点，且动点M 满足()1MA MB λλ=≠，则动点M 的轨迹为圆；（2）如果ABC ∆中，BC 为定长，A 为定值，则动点A 的轨迹为一段圆弧．5．（2020·浙江高考模拟）如图，在△ABC 中，点,D E 是线段BC 上两个动点，且AD AE +u u u r u u u r x AB y AC =+u u u r u u u r ，则14x y+的最小值为（）A ．32B ．2C ．52D ．92【分析】根据题意求出x,y 满足的等式，然后利用基本不等式中“1”的代换，求解14x y+最小值【详解】如图可知x ，y 均为正，设=m ,AD AB nAC AE AB AC λμ+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，:,,,B D E C 共线， 1,1m n λμ∴+=+=，()()AD AE xAB y AC m AB n AC λμ+=+=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rQ ，则2x y m n λμ+=+++=，141141419()5(52222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则14x y +的最小值为92，故选D.6、（2020宁夏六盘山一模）如图，矩形ABCD 中边AD 的长为1，AB 边的长为2，矩形ABCD 位于第一象限，且顶点A,D 分别位于x 轴、y 轴的正半轴上（含原点）滑动，则OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·OC⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8如图，设A(a,0),B(b,0)，∠BAx =θ则B(a +2cosθ,2sinθ),C(2cosθ,b +2sinθ) 因为AD =1所以a 2+b 2=1则OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OC⃑⃑⃑⃑⃑ =2cosθ(a +2cosθ)+2sinθ(b +2sinθ) =4+2acosθ+2bsinθ =4+√4a 2+4b 2sin (θ+φ)=4+2sin (θ+φ)所以OB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OC ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为4+2=6 所以选B 7．（2020·山东高考模拟）已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-u u u r u u u r u u u r，．点P 为BC 边上的动点，则()PC PA PB PC ⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值为（）A ．2B ．34-C ．2-D ．2512-【详解】以BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，，由2BA BC ⋅=-u u u r u u u r，可得()()120222x y x +⋅=+=-，，，即20x y =-≠，，则()()()101100PC PA PB PC a x a a a y ⋅++=-⋅---+-++u u u r u u u r u u u r u u u r，， ()()()()21312332a x a a a a a =--=---=--21253612a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当16a =时，()PC PA PB PC ⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为2512-．故选D ．8．（2020·四川高考模拟）已知圆1C ：22(5)1x y ++=，2C ：22(5)225x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，若M 为1C 上的动点，且10CM C M ⋅=u u u u r u u u u r，则CM u u u u v 的最小值为（）A ．B ．C ．4D ．∵圆1C ：()2251x y ++=，圆2C ：()225225x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，设圆C 的半径为r ，由题意得1211516CC CC r r +=++-=（）（）， ∴则C 的轨迹是以（()()505,0，，- 为焦点，长轴长为16的椭圆，∴其方程为221,6439x y += 因为10CM C M ⋅=u u u u v u u u u v ，即CM 为圆1C 的切线，要CM u u u u v 的最小，只要1CC 最小，设()00,M x y ，则CM ===u u u u v088,x =-≤≤Qmin CM ∴===u u u u v ，选A.9．（2020·天津市滨海新区高考模拟）已知ABC V 是边长为a 的正三角形，且,(,,1)AM AB AN AC R λμλμλμ==∈+=.设函数()f BN CM λ=⋅，当函数()f λ的最大值为2-时，a =（）A ．BC ．D 【详解】,BN AN AB CM AM AC =-=-u u u v u u u v u u u v u u u u vu u u u v u u u v,因为ABC ∆是边长为a 的正三角形，且AM AB λ=u u u u v u u u v ，AN AC u u u v u u u vμ=所以()f BN CM λ=⋅u u u v u u u u v ()()AN AB AM AC =-⋅-u u uv u u u v u u u u v u u u vAN AM AM AB AN AC AB AC =⋅-⋅-⋅+⋅u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 22221122a a ua a λμλ=--+ 又因1λμ+=，代入1μλ=-得()()()2222111122f a a a a λλλλλ=----+()22112a λλ=-+-所以当12λ=，最大值为21328f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以2328a -=-，解得a =.故选D 项. 10.在ABC ∆中， 3AB =， 5AC =，若O 为ABC ∆外接圆的圆心（即满足OA OB OC ==），则·AO BC u u u v u u u v的值为__________.【解析】设BC 的中点为D ，连结OD ,AD ，则OD BC ⊥u u u v u u u v，则：()()()()()2222111538222AO BC AD DO BC AD BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅=⋅=+-=-=-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v。

拔高点突破01一网打尽平面向量中的范围与最值问题(十大题型)-2

拔高点突破01 一网打尽平面向量中的范围与最值问题题型九：平行四边形大法1．如图，圆O 是半径为1的圆，12OA =，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC BC ®®×的取值范围是.2．如图，C ，D 在半径为1的O e 上，线段AB 是O e 的直径，则AC BD ×uuu r uuu r的取值范围是.（2024·浙江·模拟预测）3．已知e r 为单位向量，平面向量a r ，b r 满足||||1a e b e +=-=r r r r ，a b ×r r 的取值范围是 .（2024·江西宜春·校联考模拟预测）4．半径为1的两圆M 和圆O 外切于点P ，点C 是圆M 上一点，点B 是圆O 上一点，则PC PB ×uuu r uuu r 的取值范围为.5．设圆M ，圆N 的半径分别为1，2，且两圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M ，圆N 上的两动点，则PA ⋅PB 的取值范围是（）A ．18,2éù-êúëûB ．316,4éù-êúëûC ．[]8,1-D ．[]16,1-题型十：向量对角线定理6．已知四边形ABCD ，AB BC ^，2AB BC AD ===，3CD =，AC 与BD 交于点O ，若记a OA OB =×uuu r uuu r，b OB OC =×uuu r uuu r ，c OC OD =×uuu r uuu r，则（）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．c a b <<D ．b a c <<7．如图，在圆O 中，若弦3AB =，弦5AC =，则AO BC ×uuu r uuu r的值是（）A ．8-B ．1-C ．1D ．88．如图，在四边形ABCD 中，AB BC ^，AD DC ^若，AB a =uuu r ，AD b =uuu r ，则AC BD ×uuu r uuu r 等于（）A ．22b a -B ．22a b -C ．22a b +D ．22a b ×9．如图，ABC V 的三边长为3,7,5AB BC AC ===，且点,B C 分别在x 轴，y 轴正半轴上移动，点A 在线段BC 的右上方．设(),OA xOB yOC x y =+ÎR uuu r uuu r uuu r ，记,M OA OC N x y =×=+uuu r uuu r，分别考查,M N 的所有可能结果，则（）A ．M 有最小值，N 有最大值B ．M 有最大值，N 有最小值C ．M 有最大值，N 有最大值D ．M 有最小值，N 有最小值10．在矩形ABCD 中，2AB =，3AD =，P 为矩形ABCD 所在平面内的动点，且1PA =，则PB PC ×uuu r uuu r的最大值是（）A ．9B ．10C ．11D ．12（2024·湖北黄冈·二模）11．已知e r 为单位向量，向量a r满足3,1a e e a l ×=-=r r r r ，则a r 的最大值为（）A ．9B ．3C D ．1012．已知e r 为单位向量，向量a r满足3,1e a e a l ×=-=r r r r ，则a r 的最大值为（）A ．9B ．CD ．813．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，5AB =，4=AD ，1DC =，点E 是线段AB 上一点，且满足4AE EB =，动点P 在以E 为圆心的半径为1的圆上运动，则DP AC ×uuu r uuu r的最大值为（）A6B C．6D（2024·四川成都·模拟预测）14．在矩形ABCD中，5,4AB AD==，点E是线段AB上一点，且满足4AE EB=.在平面ABCD中，动点P在以E为圆心，1为半径的圆上运动，则DP AC×uuu r uuu r的最大值为（）A4B6C．4D．6（2024·贵州贵阳·三模）15．已知2|||1,0,||||4,650a b a b c a c a d b d==×=++-=-×+=r r r r rr r r r r r，则||c d-rr的最大值为（）A2B．4C．6D216．已知非零平面向量ar，br的夹角为π3，且1a b-=rr，则(2)a a b×+rr r的最大值为（）A B1C D2+17．如图，在矩形ABCD中，24,AB BC AC==与BD的交点为,M N为边AB上任意一点（包含端点），则MB DN×uuu r uuur的最大值为（）A．2B．4C．10D．1218．如图所示，ABCV中，点D是线段BC的中点，E是线段AD上的动点，若BE xBA yBC=+uuu r uuu r uuu r，则21x y+的最小值（）A．1B．3C．5D．819．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.如图甲是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图乙所示其外框是边长为4的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心为该正六边形的中心O ，圆O 的半径为2，点P 在圆O 上运动，则PE OF ×uuu r uuu r的最小值为（）A ．-8B ．-4C ．0D ．420．已知点A 、B 在圆224x y +=上，且2AB =，P 为圆O 上任意一点，则AB BP ×uuu r uuu r的最小值为（）A ．0B ．4-C ．6-D ．8-21．已知ABC V 是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ×+uuu r uuu r uuu r的最小值是（）A ．2-B ．8-C ．3-D ．6-22．已知向量,a b r r 的夹角为2π3，且24a b ==r r ，则()a tb t +ÎR r r 的最小值是（）A B ．3C ．D ．23．扇形AOB 的半径为1，120AOB Ð=°，点C 在弧AB 上运动，则CA CB ×uuu r uuu r的最小值为（）A ．12-B ．0C ．32-D ．-124．在OAB △中，1,2,120OA OB AOB ==Ð=°，点P 是等边ABC V （点O 与C 在AB 的两侧）边上的一动点，若OP xOA yOB =+uuu r uuu r uuu r，则有（）A ．当12x =时，点P 必在线段AB 的中点处B ．x y +的最大值是92C ．OP OA ×uuu r uuu r 的最小值是1-D ．PA PB ×uuu r uuu r 的范围是77,42éù-êúëû25．已知点A 、B 、P 在C e 上，则下列命题中正确的是（）A ．1AC =uuu r ，则AC AB ×uuu r uuu r 的值是12B ．1AB =uuu r ，则AC AB ×uuu r uuu r 的值是12C ．1AC AB ==uuu r uuu r ，则AP AB ×uuu r uuu r 的范围是13,22éù-êúëûD ．1AC AB ==uuu r uuu r ，且AP AB AC l m =+uuu r uuu r uuu r ，则l m +的范围是1éêë26．已知圆O 半径为2，弦2AB =，点C 为圆O 上任意一点，则下列说法正确的是（）A ．2BA BO ×=uuu r uuu rB ．AB AC ×uuu r uuu r的最大值为6C ．[]0,4OC AB AO --Îuuu r uuu r uuu r D ．满足0AB AC ×=uuu r uuu r的点C 只有一个27．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆O 的半径2，点P 是圆O 内的定点，且OP =，弦AC BD ，均过点P ，则下列说法正确的是（）A ．PA PC ×uuu r uuu r为定值B ．OA OC ×uuu r uuu r的取值范围是[]20-，C ．当AC BD ^时，AB CD ×uuu r uuu r为定值D ．·AC BD uuu r uuu r 的最大值为1628．如图，在梯形ABCD 中，,,2,4,5,,AB CD AD AB CD AD AB E F ^===∥分别在线段,AD AB 上，且线段DE 与线段BF 的长度相等，则（）A ．CE CF ×uuu r uuu r的最小值为4-B ．CE CF ×uuu r uuu r的最大值为18C ．CE EF ×uuu r uuu r的最大值为1-D ．CEF △的面积的最大值为418（2024·山东潍坊·二模）29．已知向量a r ，b r ，c r为平面向量，1a =r ，2b =r ，0a b ×=r r ，12c a -=r r ，则（）A ．312c ££r B ．()()c a c b -×-r r r r C ．11b c -£×£r rD ．若c a b l m =+r r r，则l m +的最小值为1（2024·甘肃·一模）30．已知单位向量,a b rr 满足34a b m -=r r ，则m 的范围是 .（2024·高三·上海闵行·开学考试）31．阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足2PAPB =，则PA PB ×uuu r uuu r的范围为.32．在ABC V 中，3AB =，2AC =，60BAC °Ð=，点P 是ABC V 内一点（含边界），若23AP AB AC l =+uuu r uuu r uuu r，则AP uuu r 的最大值为.（2024·天津河西·三模）33．如图，动点C 在以AB 为直径的半圆O 上（异于A ，B ），DC BC ^，DC BC =，2AB =，CA BC -=uuu r uuu r ；OC OD ×uuu r uuu r的最大值为．34．如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，23AD AC =uuu r uuu r，且点P 在以AD 的中点O为圆心、OA 为半径的半圆上，若BP xBA yBC =+uuu r uuu r uuu r，则下列说法正确的是．①1233BD BA BC =+uuu r uuu r uuu r ②x y +的最大值为1③BP BC ×uuu r uuu r最大值为9 ④1BO DO ×=uuu r uuur35．如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，23AD AC =uuu r uuu r，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，则BP BC ×uuu r uuu r的最大值为．参考答案：1．1,38éù-êúëû【分析】连接OA ，OB ，设D 是线段BC 的中点，连接OD ，则有OD BC ^.设q 为OA ®和BC®的夹角.求出 211cos 22AC BC BC BC q ®®®®×=-,利用二次函数即得解.【详解】解：连接OA ，OB ，设D 是线段BC 的中点，连接OD ，则有OD BC ^.设q 为OA ®和BC ®的夹角.则AC BC OC OA BC OC BC OA BC ®®®®®®®®®æö×=-×=×-×ç÷èøcos cos OC BC BCO OA BC q ®®®®=××Ð-××211cos 22BC BC q ®®=-，221111cos 2222BC BC BC BC q ®®®®-³-2111228BC æö=--ç÷èøuuur ，（当cos 1q =即0q =时取等）因为[]0,2BC ®Î，所以当12BC ®=时，AC BC ®®×有最小值18-.221111cos +2222BC BC BC BC q ®®®®-£2111228BC æö=+-ç÷èøuuur ，（当cos 1q =-即q p =时取等）当2BC ®=时，211+22BC BC ®®有最大值为3，即AC BC ®®×有最大值3，所以AC BC ®®×的取值范围是1,38éù-êúëû.故答案为：1,38éù-êúëû【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用向量的运算建立函数模型211cos 22AC BC BC BC q ®®®®×=-，再利用二次函数的图象和性质求解.2．14,2éù-êúëû【分析】以点O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设出D 的坐标，求出,AC BD uuu r uuu r，然后化简，即可求解它的范围.【详解】以点O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点(cos ,sin ),(),(,)D AC a b q q p q p -££=uuu r ，22CAB pp a a æöÐ=-<<ç÷èø，则2tan ,2cos b a aa a ==，2sin cosb a a =，()cos 1,sin BD q q =-uuu v则(,)(cos 1,sin )cos sin )AC BD a b a b a a q q q q q j ×=×-=+-=+-uuu r uuu r，其中tan a bj =，所以AC BD ×uuu r uuu r的最大值为：22cos a a =22112cos 2cos 2cos 22a a a æö=-=--+ç÷èø，则当1cos 2a =时，AC BD ×uuu r uuu r 取得最大值12，最小值为22112cos 2cos 2cos 22a a a a æö=--=-++ç÷èø，则当cos 1a =时，AC BD ×uuu r uuu r取得最小值4-，综上，AC BD ×uuu r uuu r 的取值范围为14,2éù-êúëû.故答案为：14,2éù-êúëû.【点睛】本题考查平面向量的运算、三角恒等变换，适当建立平面直角坐标系将几何问题代数化是解题的关键，是中档题.3．14,2éù-êúëû【解析】建系，不妨设(1,0)e =r ，(,)a x y =r ，(,)b m n =r ，则a b ×rr mx ny =+，再利用柯西不等式将所求mx ny +x x =，利用换元法求出最大值，最小值显然为,a b rr 共线方向时取得.【详解】不妨设(1,0)e =r，(,)a x y =r ，(,)b m n =r ，由已知，得22(1)1x y ++=，22(1)1m n -+=，a b ×rr (1)mx ny m x ny x x =+=-++£+=x ，令[0,2]t =Î221111(1)2222x t t t =-=--+£，又显然当a r ，b r 向量反向时，a b ×r r 最小，即(2,0)a =-r ，(2,0)b =r ，此时4a b ×=-rr ，综上，a b ×r r 的取值范围是14,2éù-êúëû.故答案为：14,2éù-êúëû.【点睛】本题考查向量数量积取值范围的问题，解决中涉及到了柯西不等式，考查学生通过变形利用不等式求解最大值，本题是一道难题.4．14,2éù-êúëû【分析】设点C 关于点P 的对称点为A ，则点A 在圆O 上，计算可得出21122PC PB OA OB OP ×=-+-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，求出OA OB OP +-uuu r uuu r uuu r 的取值范围，即可得出PC PB ×uuu r uuu r的取值范围.【详解】设点C 关于点P 的对称点为A ，则点A 在圆O 上，所以，()()()2PC PB PA PB OA OP OB OP OP OA OB OA OB OP×=-×=--×-=×+-×-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ()1OP OA OB OA OB =×+-×-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，因为()()222222OA OB OPOA OB OP OP OA OB OA OB+-=++-×++×uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r()322OP OA OB OA OB =-×++×uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以，()22111131222PC PB OP OA OB OA OB OA OB OP OA OB OP éù×=×+-×-=-+--=-+-êúëûuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r ，因为03OA OB OP OA OB OP £+-£++=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，当且仅当OA uuu r 、OB uuu r 同向且OA uuu r 、OP uuur 反向时，3OA OB OP +-=uuu r uuu r uuu r ，当OA OB OP +=uuu r uuu r uuu r时，则()22OA OBOP +=uuu r uuu r uuu r ，所以，221OA OB +×=uuu r uuu r，所以，12OA OB ×=-uuu r uuu r ，所以，1cos ,2OA OB OA OB OA OB ×==-×uuu r uuu ruuu r uuu r uuu r uuu r ，因为0,πOA OB ££uuu r uuu r ，则2π,3OA OB =uuu r uuu r ，故当2π3AOB Ð=且四边形OAPB 为菱形时，0OA OB OP +-=uuu r uuu r uuu r ，因此，21114,222PC PB OA OB OP éù×=-+-Î-êúëûuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r .故答案为：14,2éù-êúëû.5．C【分析】连接MN 分别与两圆交于,E F ，连AE ，延长AP 交圆N 与C ，连CF ，可得//AE CF ，2PC PA =，从而有12PA PB PB PC ×=-×uuu r uuu r uuu r uuu r ，先固定PB ，根据向量数量积的定义，求出PC uuu r 在PB上投影的最大值和最小值，再利用||PB uuu r的范围，即可求解.【详解】连接MN 分别与两圆交于,E F ，又两圆外切于点P ，,,P E F \三点共线，连AE ，延长AP 交圆N 与C ，连CF ，,PE PF Q 分别为圆M ，圆N 的直径，,,//PA AE PC CF AE CF \^^\，又2,2PF PE PC PA =\=，12PA PB PB PC ×=-×uuu r uuu r uuur uuu r ，设G 为PB 中点，连GN ，先固定PB ，根据向量数量积的定义，当PC uuu r在PB 同向投影最大值时C 为与GN 平行的圆切线的切点，记为图中的D 点，此时PD uuu r 在PB 投影1||||22PH PB =+1||||||2||2PB PC PB PD PB PH PB PB æö\×£×=×=×+ç÷èø21||2||162PB PB =+£，当且仅当||4PB =，等号成立，min max 1()()82PA PB PB PC \×=-×=-uuu r uuu r uuur uuu r 同理当PC uuu r在PB 投影最小（在PB 反向上）时，C 为与GN 平行的圆切线的切点，记为图中的K 点，此时PK uuu r 在PB 投影12||2PB -，1||2|2PB PC PB PK PB PB æö×³×=-×-ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r 2211||2||(||2)2222PB PB PB =---=³-，当且仅当||2PB =时，等号成立，max min 11()()(2)122PA PB PB PC \×=-×=-´-=uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以PA ⋅PB 的数量积取值范围是[8,1]-.故选：C.【点睛】本题考查向量数量积的取值范围、向量数量积的几何意义，解题的关键是两圆变一圆，考查数形结合思想，考查直观想象能力，属于较难题.6．C【分析】根据向量形式的余弦定理计算可得0AC DB ×>uuu r uuu r，再利用作差法即可比较,,a b c 的大小关系.【详解】在ADC △中，根据余弦定理有222||||||2||||cos 2CD CA AD CA CD ACD CA CD +-=×Ð=×uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r；在ABC V 中，根据余弦定理有222||||||2||||cos 2CB CA AB CA CB ACB CA CB +-=×Ð=×uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r；两式作差得22222()||||||||CA CD CB AB CD CB AD ×-=+--uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r即2222||||||||5022AB CD CB AD AC DB +--×==>uuu r uuu r uuu r uuu ruuu r uuu r ，所以00b a OB OC OA OB OB AC tDB AC t -=×-×=×=×>>uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r（）.又||||cos 0AC DB AC DB BOC ×=Ð>uuu r uuu r uuu r uuu r，所以cos 0BOC Ð>，则cos 0AOB Ð<，由图易知,OD OA OC OB >>uuu r uuu r uuu r uuu r，所以()cos 0c a OC OD OA OB OC OD OA OB AOB -=×-×=-Ð<uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，所以c a b <<.故选：C ．7．D【分析】过点O 作OD BC ^，交BC 于点D ，连接AD ，则D 为BC 的中点，0OD BC ×=uuu r uuu r，由()12AD AC AB =+uuu r uuu r uuu r ，又,AO AD DO BC AC AB =+=-uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r，即可得出()AO BC AD DO BC ×=+×uuu r uuu r uuu r uuur uuu r AD BC =×uuu r uuu r，进而求出结果.【详解】如图所示，过点O 作OD BC ^，交BC 于点D ，连接AD ，则D 为BC 的中点，0OD BC ×=uuu r uuu r，所以()12AD AC AB =+uuu r uuu r uuu r ，又,AO AD DO BC AC AB =+=-uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r ，则()AO BC AD DO BC×=+×uuu r uuu r uuu r uuur uuu r ()()12AD BC AC AB AC AB=×=+×-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ()()22221153822AC AB =-=-=uuu r uuu r .故选：D 8．A【分析】由对角线向量定理直接求解.【详解】如图所示，由对角线向量定理得22222222()()()()22AD BC AB CD b a BC CD AC BD +-+-+-×==uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r =22222222()()()2b a AC AB AC AD b a -+---=-uuu r uuu r uuu r uuu r ，故选：A 9．B【分析】设π0,,2BCO ACB a b æöÐ=ÎÐ=ç÷èø，用,a b 表示出,M N ，然后利用三角函数的性质求最值.【详解】设π0,,2BCO ACB a b æöÐ=ÎÐ=ç÷èø，由余弦定理得4925913cos ,sin 27514b b +-===´´过A 点作AD y ^轴，设垂足为D ，在BOC V 中，cos 7cos ,sin 7sin OC BC OB BC a a a a ====，所以()()7sin ,0,0,7cos B C a a 在ADC △中，()()sin 5sin ,cos 5cos AD AC ACD CD AC ACD a b a b =Ð=+=Ð=+，所以()()()5sin ,7cos 5cos A a b a a b +-+由OA xOB yOC=+uuu r uuu r uuu r即()()()()()5sin ,7cos 5cos 7sin ,00,7cos x y a b a a b a a +-+=+得()()5sin 7cos 5cos ,7sin 7cos x y a b a a b aa+-+==，所以()()5sin 7cos 5cos 117sin 7cos N x y a b a a b aa+-+=+=+=³+当且仅当π4a =时取最小值，没有最大值．()()33217cos 7cos 5cos sin 242M OA OC a a a b a g éù=×=-+=++ëûuuu r uuu r ，其中11πsin ,cos 0,142g g g æö==Îç÷èø，因为2πg a g g <+<+，所以()()11sin πsin 2114g a g -=+<+£，所以750,4M æùÎçúèû，当且仅当()sin 21a g +=即π42g a =-时取最大值，没有最小值．故选：B.10．B【分析】建立平面直角坐标系，设(,)P x y ，根据条件得到)(2,),(2,3P x C x y B y P ==----uuuuu r uuu r，从而得到2239(2)(24x PB y PC ×=-+--uuu r uuu r ，又221x y +=，结合图形，得PH AH AP =£+，即可求出结果.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设(,)P x y ，BC 中点为H ，因为2AB =，3AD =，所以(0,0)A ,(2,0)B ，(2,3)C ，3(2,)2H ，得到)(2,),(2,3P x C x y B y P ==----uuuuu r uuu r，所以222239(2)3(2)()24x y y x y PB PC =-×+-=-+--uuu r uuu r ，又因为1PA =，所以221x y +=，又712PH AH AP £+=+=，当且仅当,,H A P （P 在HA 的延长线上）三点共线时取等号，所以222239499(2)3(2)()102444PB PC x y y x y =-+-=-+--£-=×uuu r uuu r ，故选：B.【点睛】关键点点晴：设(,)P x y ，利用向量数量积的坐标运算，得到2239(2)(24x PB y PC ×=-+--uuu r uuu r ，再利用圆的几何性质，即可求解.11．C【分析】根据条件得到()222||61(3)10a l l l =---=--+r ，利用二次函数的性质，即可求出结果.【详解】根据条件得22222()|26|1a e a a e a l l l l l -=+-×=-+=r r r r r r ，得到()222||61(3)1010a l l l =---=--+£r ，所以a £r ，即a r 的最大值为，故选：C.12．C【分析】设()1,0e =r ，(),a x y =r ，根据3e a ×=r r求出x ，再根据1e a l -=r r 得到()2213y l =--，最后根据向量模的坐标表示及二次函数的性质计算可得.【详解】依题意设()1,0e =r，(),a x y =r ，由3e a ×=r r，所以3x =，则()3,a y =r ，又()()(),03,3,e a y y l l l -=-=--r r ，且1e a l -=r r，1=，即()2213y l =--，所以a ==£r 3l =时取等号，即a r的最大值为.故选：C.13．A【分析】利用题设条件，建系，求得相关点的坐标，因点P 在圆上，设点(cos ,sin )P q q ，计算DP AC ×uuu r uuu r得三角函数形式，运用辅助角公式将其化成正弦型函数，即可求其最值.【详解】如图，以E由题意，梯形ABCD =(4,0),(1,(2,A C D ---.因为以E 为圆心的半径为1的圆的方程为：221x y +=，可设点(cos ,sin )P q q ，02πq £<.则(cos 2,sin (3,3cos 612DP AC q q q q ×=+-×=++-uuu r uuu r3cos 6)6,q q q j =+-=+-其中，tan j =故当sin()1q j +=时，max ()6DP AC ×=uuu r uuu r.故选：A.14．A【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解.【详解】以E 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，动点P 在以E 为圆心，1为半径的圆上运动，故设()cos ,sin P q q ，则()()()0,4,4,4,4,1A D C -,()()()()()cos 4,sin 44,54cos 45sin 44DP AC q q q q q j ×=--×-=---=++uuu r uuu r，其中锐角j 满足5tan 4j =，故DP AC ×uuu r uuu r 4,故选：A15．C【分析】由题意首先得出||c d -rr 为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转换为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可．【详解】如图所示，不妨设a OA ==uuur r ，(0,1)b OB ==uuu r r ，(,)OC m n =uuu r ，(,)OD p q =uuu r ，1(A ，满足||a =r ||1b =r ，0a b ×=rr ，又||||4c a c a ++-=r rr r1422||a c A A ==>==，由椭圆的定义可知点C 在以1A A 为焦点，长轴长为4的椭圆上运动，2a =，c =，1b ===，所以该椭圆方程为2214x y +=，而2650d b d -×+=r r r，即22650p q q +-+=，即22(3)4p q +-=，这表明了点D 在圆22(3)4x y +-=上面运动，其中点(0,3)E 为圆心，2r =为半径，又2c d OC OD CD CE ED CE -=-=£+=+uuu r uuu rr r ，等号成立当且仅当C ，D ，E 三点共线，故只需求||CE 的最大值即可，因为点C 在椭圆2214x y +=上面运动，所以不妨设(2cos ,sin )C q q ，则||CE ==所以当6sin 12(3)q -=-=-´-，且C ，D ，E 三点共线时，||c d -r r 有最大值，max ||226CE +==．故选：C ．【点睛】关键点点睛，本题的关键是转化化归数学思想的灵活应用，比如||||4c a c a ++-=r rr r，转化为动点的轨迹为椭圆，然后再利用转化为CD CE ED £+，三点共线时取最值.最后一个关键点转化，就是求||CE 最大值时，转化为了三角换元，从而求得最值.16．B【分析】利用数量积的定义及运算律可得22||||1a b a b +-=r r r r，再利用数量积的运算律变形(2)a a b ×+r r r，并结合基本不等式求解即得.【详解】由向量a r，b r 的夹角为π3及1a b -=r r ，得2221a b a b +-×=r r r r ，即22||||1a b a b +-=r r r r ，则()222221221ba ab a a a b a a b a b a b b ba a++×+=+×==+-æöç÷-+ç÷èør r r r r r rr r r r r r r r r r r r，令||0||b t a =>r r ，于是22111()31(1)3(1)3(1)312t t a a b t t t t t t++×===-++-++++-++r rr1£，当且仅当311t t +=+，即t =时取等号，由221)||1aa b a b -íï+-=îr r r r r，解得|||a b =r r所以当|||a b ==r r π,3a b áñ=r r 时，(2)a a b ×+rr r 1.故选：B 17．C【分析】利用建系法，将向量运算转化为数量运算求解.【详解】以点A 为坐标原点，,AB AD uuu r uuu r的方向为x 轴，y 轴正方向，建立平面直角坐标系，则()()2,1,4,0M B ，()0,2D ，设()(),004N m m ££，所以()()2,1,,2MB DN m =-=-uuu r uuur ，则22MB DN m ×=+uuu r uuur，因为04m ££，所以210MB DN £×£uuu r uuur，即MB DN ×uuu r uuur 的最大值为10.故答案为：C 18．D【分析】根据题意，由三点共线定理可得()210,0x y x y +=>>，再由基本不等式代入计算，即可求解.【详解】因为点D 是线段BC 的中点，则2BC BD =uuu r uuu r，则2BE xBA yBC xBA yBD =+=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，因为,,A E D 三点共线，所以()210,0x y x y +=>>，则()212142448y x x y x y x y x y æö+=++=++³+=ç÷èø，当且仅当421y xx y x y ì=ïíï+=î时，即11,24x y ==时，等号成立，所以21x y +的最小值为8.故选：D 19．C【分析】通过建系设点，设()()2cos ,2sin 02πP q q q £<利用平面向量的坐标计算转化为正弦型函数的值域问题求解即得.【详解】如图，以O 为坐标原点，BE 所在直线为x 轴，AF 的垂直平分线所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系.设点()()2cos ,2sin 02πP q q q £<，由题意知，()()(4,0,0,0,2,E O F ，则()42cos ,2sin PE q q =--uuu r，(2,OF =uuu r ，所以π84cos 88sin 6PE OF q q q æö×=--=-+ç÷èøuuu r uuu r ，因02π££q ，则ππ13+π666q ££,故当π2π=6q +时，即πsin 16q æö+=ç÷èø时，PE OF ×uuu r uuu r 取最小值0.故选:C.【点睛】方法点睛：本题主要考查圆的参数方程和平面向量的数量积的取值范围问题.在处理已知圆上的动点有关的问题时常通过圆的参数方程设点，利于分析和计算；在处理平面向量的数量积问题时，常通过三种方法解决：（1）定义法：运用向量的数量积定义公式计算分析；（2）基底表示法：通过选设平面的一组基底，将相关向量进行表示，利用基底计算；（3）建系法：通过建系得向量坐标，再计算分析.20．C【分析】由题可设(1,A -、(1,B ，设点()2cos ,2sin P a a ，然后根据向量数量积的坐标表示及三角函数的性质即可得解.【详解】因为点A 、B 在圆22:16O x y +=上，且2AB =，P 为圆O上任意一点，因为2OA OB AB ===，所以，OAB △是等边三角形，则π3AOB Ð=，不妨设(1,A -、(1,B ，设点()2cos ,2sin P a a ，所以()2,0AB =uuu r，(2cos 1,2sin BP a a =-uuu r ，所以()[]22cos 14cos 26,2AB BP a a ×=-=-Î-uuu r uuu r，即AB BP ×uuu r uuu r的最小值为6-.故选：C.21．D【分析】建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用坐标法结合平面向量数量积的定义求最小值即可.【详解】以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系.则(0,(2,0),(2,0),A B C -设P (x,y )，则()()(),,2,,2,PA x y PB x y PC x y =--=---=--uuu r uuu r uuu r所以()()()()222222PA PB PC x x y y x y×+=-×-+×-=-+uuu r uuu r uuu r222[(3];x y =+-所以当0,x y ==, ()PA PB PC ×+uuu r uuu r uuu r取得最小值为2(3)6´-=-.故选：D.22．C【分析】根据题意结合数量积的运算律可得22()4(1)12a tb t +=-+r r ，进而可得最小值.【详解】因为向量,a b r r 的夹角为2π3，且24a b ==r r ，则2πcos43a b a b ×==-r r r r ，可得222222()248164(1)1212a tb a ta b t b t t t +=+×+=-+=-+³r r r r r r ，当且仅当1t =时，等号成立，所以()a tb t +ÎR r r的最小值是故选：C.23．A【分析】利用三角函数的定义可得(cos ,sin )C q q ，即可根据向量的坐标运算，结合三角恒等变换可得1πsin()26CA CB q ×=-+uuu r uuu r，即可利用三角函数的性质求解.【详解】以O 为原点，以OA 所在直线为x 轴，过O 作OA 的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，设AOC q Ð=，则(cos ,sin )C q q ，其中2π03q ££，(1,0)A ，1(2B -，故(1cos ,sin )CA q q =--uuu r ，1(cos 2CB q =--uuu r sin )q -，\1(cos 1)(cos )sin )(sin )2CA CB q q q q ×=-+--+-uuu r uuu r111πcos sin(2226q q q =-=-+，2π03q ££Q ，\ππ5π666q £+£，\1πsin()126q £+£，11πsin(0226q \-£-+£，\CA CB ×uuu r uuu r 的取值范围为1[2-,0]，故CA CB ×uuu r uuu r 的最小值为12-；故选：A ．24．BCD【分析】A 选项，过OA 中点作OB 的平行线，根据平行线与ABC V 的交的个数判断；B 选项，建系，利用余弦定理得到各点的坐标，然后分点P 在,,AB AC BC 上三种情况考虑；C 选项，根据数量积的几何意义判断；D 选项，将PA PB ×uuu r uuu r转化为274PD -uuu r ，然后求范围即可.【详解】如图，过OA 中点作OB 的平行线与ABC V 的三边有两个交点，所以12x =时，点P 有两种情况，故A 错；在三角形OAB 中由余弦定理得2222141cos120242OA OB AB AB OA OB +-+-°===-××,解得AB =，则222cos2AB OB OA ABO AB OB +-Ð==××，sin ABO Ð=()1cos cos 2CBO ABO CBA Ð=Ð+Ð==以O 为原点，OB为x 轴，过点O 垂直OB 向上的方向为y 轴建系，O (0,0)，12A æ-ççè，()2,0B ，32C æççè，12OA æ=-ççèuuu r ，()2,0OB =uuu r ，(AC =uuu r ，12BCæ=-ççèuuu r ，122xOA yOB x y x æö+=-+ç÷ç÷èøuuu r uuu r ，当点P 在AB 上时，1x y +=，当点P 在AC 上时，设()2AP AC l l ==uuu r uuu r，[]0,1l Î，112222OP OA AP x y xlæöæö=+=-+=-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøuuu r uuu r uuu r，则12x l=+，32y l=，712x y l+=+，所以当1l=时，x y+最大为92，当点P在BC上时，设12BP BCm mæö==-ç÷ç÷èøuuu r uuu r，[]0,1mÎ，112222OP OB BP x ymæöæö=+=-=-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøuuu r uuu r uuu r，则3x m=，112y m=+，712x y m+=+，当1m=时，x y+最大为92，综上可得，当点P在点C处时x y+最大为92，故B正确；根据数量积的几何意义可得，当点P在点B处时OP OA×uuu r uuu r最小，此时1OP OA OB OA×=×=-uuu r uur uuu r uur，故C正确；取AB中点D，则()()22274PA PB PD DA PD DA PD DA PD×=+×-=-=-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，因为PDéÎêëuuu r，所以77,42PA PBéù×Î-êúëûuuu r uuu r，故D正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：数量积的求法：（1）公式法：cos,a b a b a b×=××r r rr r r；（2）坐标法；（3）几何意义法；（4）转化法：将向量利用线性运算转化.25．BCD【分析】由21cos2AC AB AC AB BAC AB×=×Ð=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r可判断AB，由()1cos,2AP AB AC CP AB CP AB×=+×=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r可判断C，设Ce方程为221x y+=，()()[]11,0,,cos ,sin ,0,22A B P q q q p æÎççè，根据坐标运算结合三角恒等式可判断D ．【详解】由21cos 2AC AB AC AB BAC AB×=×Ð=uuu r uuu r uuu r uuu r uuur 当1AB =uuu r 时， 12AC AB ×=uuu r uuu r ，则A 错，B 正确；由()1cos ,2AP AB AC CP AB AC AB CP AB CP AB×=+×=×+×=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 因为[]cos ,1,1CP AB Î-uuu r uuu r ，所以AP AB ×uuu r uuu r 的范围是13,22éù-êúëû，故C 正确；设C e 方程为221x y +=，()()[]11,0,,cos ,sin ,0,22A B P q q q p æÎççè由AP AB AC l m =+uuu r uuu r uuu r 得()()1cos 1,sin 1,02q q l m æ-=-+-ççè则1cos 2sin q l m q ì-ïïíï=ïî，得cos 1l q m q q ì=ïïíï-+ïî所以()cos 111l q q a m q é-+=++Î++êë=，故D 正确．故选：BCD 26．AB【分析】对于A ，根据数量积的定义计算即可判断；对于B ，由投影向量可找出最大值点的位置，计算即可判断；对于C ，作图得到OA BA EA +=uuu r uuu r uuu r，再由OC AB AO OC OA BA --=++uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 可确定最值点的位置，计算判断即可；对于D ，当,C A 重合或者AC AB ^时都可以得到0AB AC ×=uuu r uuu r，从而可判断.【详解】对于A 选项，圆O 半径为2，弦2AB =，故ABO V 为等边三角形，取AB 的中点D ，连接OD ，则OD AB ^，所以2BA BO BA BD ×=×=uuu r uuu r uuu r uuu r，A 正确；对于B 选项，过点O 作OE 平行于AB ，交圆与点E，过点E 作EG AB ^，交AB 延长线于点G ，连接EB ，则四边形OABE 为菱形，由投影向量可知，当点C 与点E 重合时，AB AC ×uuu r uuu r取得最大值，此时123AG AD DG =+=+=，故AB AC ×uuu r uuu r的最大值为236AB AG ×=´=uuu r uuu r ，B 正确；对于C 选项，OC AB AO OC OA BA --=++uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，因为四边形OABE 为菱形，所以OA BA EA +=uuu r uuu r uuu r，且EA =uuu r ，因为2OC =uuu r为定值，故当OC uuu r 与EA uuu r平行且方向相同时，OC AB AO --uuu r uuu r uuu r 取得最大值，最大值为2+当OC uuu r 与EA uuu r平行且方向相反时，OC AB AO --uuu r uuu r uuu r 取得最小值，最小值为2-，故2,2OC AB AO éù--Î-ëûuuu r uuu r uuu r，C 错误；对于D 选项，因为点C 为圆O 上任意一点，故当,C A 重合时，0AB AC ×=uuu r uuu r，又当AC AB ^时，满足0AB AC ×=uuu r uuu r ，故满足0AB AC ×=uuu r uuu r的点C 有2个，D 错误.故选：AB 27．ACD【分析】根据题设中的圆幂定理可判断AC ；取AC 的中点为M ，连接OM ，利用向量的线性运算可判断B ；根据直径的大小可判断D.【详解】对于A ，如图，过O P ，作直径EF ，由题意PA PC PA PC PF PE OF OP OE PO ×=-=-=--+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，所以()PA PC OF OP OF OP OF OP OF OP ×=---+=--+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ()()()222OF OPOF OP OF OP =--+=--=-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 为定值，故A 正确；对于B ，若M 为AC 中点，连接OM ，则()()OA OC OM MA OM MC×=+×+uuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu u r ()()2222424OM OM MA MC MA MC OM OM OM =+×++×=--=-uuuu r uuuu r uuu r uuu u r uuu r uuu u r uuuu r uuuu r uuuu r ，由题意2202OM OP ££=uuuu r uuu r ，则[]40OA OC ×Î-uuu r uuu r ，，故B 错误；对于C ，若AC BD ^，故0PB CP AP PD ×=×=uuu r uuu r uuu r uuu r，则()()AB CD AP PB CP PD AP CP PB CP AP PD PB PD ×=+×+=×+×+×+×uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，又2PA PC ×=-uuu r uuu r ，则2AP CP ×=-uuu r uuu r ，同理可得2PB PD ×=-uuu r uuu r，故4AB CD ×=-uuu r uuu r ，故C 正确；对于D ，因为44AC BD ££uuu r uuu r ，，则当弦AC BD ，均与EF 重合时，此时AC BD ×uuu r uuu r有最大值，为16，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：根据定义及向量线性运算的几何意义，结合数量积的运算律转化各项数量积或乘积关系，再由圆的性质判断各项正误.28．BCD【分析】利用坐标法，以A 为原点建立坐标系，写出相关点坐标，得到相关向量的坐标，利用向量的坐标运算，再求解二次函数最值即可判断各个选项.【详解】如图，以点A 为坐标原点建立平面直角坐标系，设()04DE BF x x ==££，则()()()()()()2,4,0,4,5,0,2,,3,4,5,4C E x F x CE x CF x EF x x --=--=--=--uuu r uuu r uuu r，对于A,B ，[]264666,18CE CF x x x ×=-+=-Î-uuu r uuu r，故A 错误，B 正确；对于C ，()222210461031CE EF x x x x x x ×=--+=-+-=---uuu r uuu r ，当3x =时，CE EF ×uuu r uuu r取得最大值，且最大值为1-，故C 正确；。

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玩转压轴题，突破140分之高三数学选填题高端精品专题03 平面向量中范围、最值等综合问题一．方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．二．解题策略类型一与向量的模有关的最值问题【例1】【2018河北定州中学模拟】设向量,,a b c 满足2a b ==， 2a b ⋅=-， ,c>60a c b <--=︒，则c 的最大值等于（）A. 4B. 2C.2 D. 1【指点迷津】由已知条件得四点共圆是解题关键，从而转化为求外接圆直径处理. 【举一反三】1、【2018辽宁沈阳东北育才学模拟】在Rt ABC ∆中， 090A ∠=，点D 是边BC 上的动点，且3AB =,4AC =,(0,0)AD AB AC λμλμ=+>>，则当λμ取得最大值时， AD 的值为（）A.72 B. 3 C. 125 D. 522、【2018湖南长沙市长郡中学模拟】已知向量,a b 满足： 1a b ==，且12a b ⋅=，若c xa yb =+，其中0x >， 0y >且2x y +=，则c 的最小值是__________．3、【2018浙东北联盟联考】已知向量,,a b c ，满足1,2,3a b c ===， 01λ≤≤，若0b c ⋅=，则()1a b c λλ---的最大值为_________，最小值为__________．类型二与向量夹角有关的范围问题【例2】已知向量→OA 与→OB 的夹角为θ，→→→→→→→-====PQ OB t OQ OA t OP OB OA ,)1(,,1,20t 在时取得最小值，当0105t <<时，夹角θ的取值范围为________________. 【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解．【举一反三】1、非零向量b a ,满足b a ⋅2=22b a ，2||||=+b a，则b a 与的夹角的最小值是．2、已知向量=（－2，－1），=（λ，1），则与的夹角θ为钝角时，λ的取值范围为（）A. B. C. 且λ≠2 D. 无法确定类型三与向量投影有关的最值问题【例3】设1,2OA OB ==， 0OA OB ⋅=， OP OA OB λμ=+，且1λμ+=，则OA 在OP 上的投影的取值范围( ) A. 25-,15⎛⎤⎥ ⎝⎦ B.25,15⎛⎤⎥⎝⎦C. 5,15⎛⎤⎥⎝⎦ D. 5-,15⎛⎤⎥⎝⎦【指点迷津】由已知求得OA OP→⋅→及OP→，代入投影公式，对λ分类后利用二次函数求最值，在分类讨论时需要讨论完整，不要漏掉哪种情况，讨论完可以检查下是否把整个实数全部取完。

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