平面向量综合练习题集

1．下列命题中正确的是( )
A.OA→－OB→＝AB→
B.AB→＋BA→＝0
C．0·AB→＝0
D.AB→＋BC→＋CD→＝AD→
考点向量的概念
题点向量的性质
答案 D
解析起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，OA→－OB→＝BA→；AB→，BA→是一对相反向量，它们的和应该为零向量，AB→＋BA→＝0；0·AB→＝0.
2．已知A，B，C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为( )
A．－13 B．9 C．－9 D．13
考点向量共线的坐标表示的应用
题点已知三点共线求点的坐标
答案 C
解析设C点坐标(6，y)，则AB→＝(－8,8)，AC→＝(3，y＋6)．
∵A，B，C三点共线，∴3
－8＝
y＋6
8
，∴y＝－9.
3．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB→＝(1，－2)，AD→＝(2,1)，则AD→·AC→等于( )
A．5 B．4 C．3 D．2
考点平面向量数量积的坐标表示与应用
题点坐标形式下的数量积运算
解析 ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，
∴AD →·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5.
4．(2017·庄河高中高一期中)已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，a ＋λb 与a 垂直，则λ等于( )
A ．－2
B ．1
C ．－1
D ．0
考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用
题点 已知向量垂直求参数
答案 C
解析 a ＋λb ＝(1＋4λ，－3－2λ)，
因为a ＋λb 与a 垂直，
所以(a ＋λb )·a ＝0，
即1＋4λ－3(－3－2λ)＝0，解得λ＝－1.
5．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．12
考点 平面向量模与夹角的坐标表示的应用
题点 利用坐标求向量的模
答案 C
解析 因为a ·b ＝|a |·|b |·cos 60°＝2|a |，
所以(a ＋2b )·(a －3b )＝|a |2－6|b |2－a ·b
＝|a |2－2|a |－96＝－72.
所以|a |＝6.
6．定义运算|a ×b |＝|a |·|b |·sin θ，其中θ是向量a ，b 的夹角．若|x |＝2，|y |＝5，x ·y ＝－
6，则|x ×y |等于( )
A ．8
B ．－8
C ．8或－8
D ．6
考点 平面向量数量积的概念与几何意义
题点 平面向量数量积的概念与几何意义
答案 A
解析 ∵|x |＝2，|y |＝5，x ·y ＝－6，
∴cos θ＝x ·y |x|·|y|＝－6
2×5
＝－35. 又θ∈[0，π]，∴sin θ＝45
， ∴|x ×y |＝|x |·|y |·sin θ＝2×5×45
＝8. 7．如图所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于点F .设AB →＝a ，AC →＝b ，AF
→＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，13 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，12 考点 平面向量基本定理的应用 题点 利用平面向量基本定理求参数
答案 C
解析 令BF →＝λBE →.
由题可知，AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋λBE →
＝AB →
＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AB →＝(1－λ)AB →＋12λAC →. 令CF →＝μCD →，
则AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋μCD →
＝AC →
＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－AC →＝12μAB →＋(1－μ)AC →. 因为AB →与AC →不共线，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧ 1－λ＝12μ，12λ＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝23，μ＝23， 所以AF →＝13AB →＋13
AC →，故选C. 二、填空题
8．若|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(3a ＋5b )⊥(m a －b )，则m 的值为________． 考点 平面向量数量积的应用
题点 已知向量夹角求参数
答案 238
解析 由题意知(3a ＋5b )·(m a －b )＝3m a 2＋(5m －3)a ·b －5b 2＝0，即3m ＋(5m －
3)×2×cos 60°－5×4＝0，解得m ＝238
. 9．若菱形ABCD 的边长为2，则||
AB →－CB →＋CD →＝________.
考点 向量加、减法的综合运算及应用
题点 利用向量的加、减法化简向量
答案 2
解析 ||AB
→－CB →＋CD →＝||AB →＋BC →＋CD →＝||AC →＋CD →＝||AD →＝2. 10．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 考点 平面向量数量积的应用
题点 利用数量积求向量的模
答案 3 2
解析 因为向量a ，b 夹角为45°，
且|a |＝1，|2a －b |＝
10. 所以4a 2＋b 2－4a ·b ＝
10， 化为4＋|b |2－4|b |cos 45°＝10，
化为|b |2－22|b |－6＝0，
因为|b |≥0，解得|b |＝3
2. 11．已知a 是平面的单位向量，若向量b 满足b ·(a －b )＝0，则|b |的取值围是________． 考点 平面向量数量积的应用
题点 利用数量积求向量的模
答案 [0,1]
解析 b ·(a －b )＝a ·b －|b |2＝|a||b |cos θ－|b |2＝0，
∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角，θ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2)， ∴0≤|b |≤1.
三、解答题
12．(2017·三中高一月考)如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上一点，且OP →＝xOA →＋yOB →.
(1)若AP →＝PB →，求x ，y 的值；
(2)若AP →＝3PB →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°，求OP →·AB →的值．
考点 平面向量数量积的概念与几何意义
题点 平面向量数量积的概念与几何意义
解 (1)若AP →＝PB →，则OP →
＝12OA →＋12OB →， 故x ＝y ＝12
. (2)若AP →＝3PB →，
则OP →
＝14OA →＋34OB →， OP →·AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14OA →＋34OB →·()
OB →－OA → ＝－14OA →2－12OA →·OB →＋34
OB →2 ＝－14×42－12×4×2×cos 60°＋34
×22 ＝－3.
13．若OA →＝(sin θ，－1)，OB →
＝(2sin θ，2cos θ)，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，求|AB →|的最大值． 考点 平面向量模与夹角的坐标表示的应用
题点 利用坐标求向量的模
解 ∵AB →＝OB →－OA →＝(sin θ，2cos θ＋1)，
∴|AB →|＝
sin 2θ＋4cos 2θ＋4cos θ＋1 ＝
3cos 2θ＋4cos θ＋2 ＝3⎝
⎛⎭⎪⎫cos θ＋232＋23， ∴当cos θ＝1，即θ＝0时，|AB →|取得最大值3.
四、探究与拓展
14．在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且|BO →|＝3|CO →|，当AO →＝xAB →＋yAC →时，x
－y ＝________.
考点 向量共线定理及其应用
题点 利用向量共线定理求参数
答案 －2
解析 由|BO →|＝3|CO →|，得BO →＝3CO →，
则BO →
＝32BC →， 所以AO →＝AB →＋BO →＝AB →
＋32BC →＝AB →＋32(AC →－AB →) ＝－12AB →＋32
AC →. 所以x ＝－12，y ＝32，所以x －y ＝－12－32
＝－2. 15．已知OA →＝(1,0)，OB →＝(0,1)，OM →＝(t ，t )(t ∈R )，O 是坐标原点．
(1)若A ，B ，M 三点共线，求t 的值；
(2)当t 取何值时，MA →·MB →取到最小值？并求出最小值．
考点 向量共线的坐标表示的应用
题点 利用三点共线求参数
解 (1)AB →＝OB →－OA →＝(－1,1)，
AM →＝OM →－OA →＝(t －1，t )．
∵A ，B ，M 三点共线，∴AB →与AM →共线，
∴－t －(t －1)＝0，∴t ＝12.。