线性分组码的信道编码和译码
信道编码-线性分组码2
2013/4/11
6. 线性分组码的译码
若发送码矢为 Cj，信道干扰的错误图样是陪集首，则接收矢量 R 必在 Dj 中； 若错误图样不是陪集首，则接收矢量 R不在 Dj 中，则译成其 它码字，造成错误译码； 当且仅当错误图样为陪集首时，译码才是正确的。 可纠正的错误图样：这 2n－k 个陪集首称为可纠正的错误图样。
这意味着 Em 是第 l行中的一个矢量，但Em是第m行(m>l) 的第 一个元素， 而按阵列构造规则，后面行的第一个元素 是前面行中未曾出现过的元素，这就和阵列构造规则相矛 盾。
2013/4/11
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6. 线性分组码的译码
线性码纠错极限定理：二元 (n,k) 线性码能纠 2n－k 个错误 图样。这 2n－k 个可纠的错误图样，包括0矢量在内，即把 无错的情况也看成一个可纠的错误图样。
[证明]：
(n,k) 线性码的标准阵列有 2k 列（和码矢矢量相等），2n/2k= 2n－k 行，且任何两列和两行都没有相同的元素。 陪集：标准阵列的每一行叫做码的一个陪集。 陪集首：每个陪集的第一个元素叫做陪集首。
每一列包含 2n－k 个元素，最上面的是一个码矢，其它元素是陪 集首和该码矢之和，例如第 j 列为 接下页
2013/4/11
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6. 线性分组码的译码
从多维矢量空间的角度看完备码：
假定围绕每一个码字 Ci 放置一个半径为 t 的球，每个球内包含了与 该码字汉明距离小于等于 t 的所有接收码字 R 的集合；
这样，在半径为 t=[(dmin－1)/2] 的球内的接收码字数是
因为有 2k 个可能发送的码字，也就有2k 个不相重叠的半径为t的球。 包含在2k个球中的码字总数不会超过2n个可能的接收码字。
LDPC编码
二进制LDPC码的编码
N-M
g
M-g
A
B
0
M-g
T
C
D
E
g
N
基于近似下三角矩阵的编码
p1T=- Φ-1(-ET-1A+C)sT p2T=- T-1(-As-1+Bp1T) 其中Φ=-ET-1B+D s是系统信息码字 编码后码字x=(s, p1 , p2)
常用LDPC码译码算法
BP LLR-BP
LDPC编码及其应用
LDPC码概述 LDPC码编码及译码 LDPC码的应用
LDPC码概述
香农极限
根据香农信道编码定理（1948），对于某种信道编 码，可得到在一定码率下达到某个错误概率所需要的最 小输入信噪比SNR，即香农极限。
线性分组码
信道编码时，在长度为k的信息序列后，以一定规则 增加长度为n-k位的校验码，组成长度为n的码字，校验 码元的产生仅仅与本组k个信息位有关，与其他组无关， 且信息位和校验位满足一组线性代数方程式。
LDPC码的表示
矩阵表示（校验矩阵和生成矩阵）
1111000000 1000111000 H= 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0010010101 0001001011
H= I(n-k)×(n-k) P(n-k )×k G= P(n-k ) ×k I k×k
Tanner图表示
度 环
度
LDPC 译码
OFDM系统框图
去IFFT、CP
1997年Luby等人提出非规则的LDPC码，并证明了非 规则码比规则码具有更好的性能。
由于LDPC码在中长码时具有超过Turbo码的性能， 且具有更低的译码复杂度，同时可实现完全的并行操作， 便于硬件实现，吞吐量大，具有高速译码潜力，所以 LDPC码成为现在信道编码理论的研究热点。LDPC码编码及译码Fra bibliotekN-BP
线性分组码的不足之处
线性分组码的不足之处
线性分组码的缺点在于当网络规模较大时，在信宿节点处需要消耗很长的时间来解码数据分组，这样会导致较高的时延。
所以在实际应用时，还会采取将数据分组分段的处理方式，只有在一个段内的数据分组才能够进行相互组合编码。
该方法可以大大降低计算复杂度。
在通信中，由于信息码元序列是一种随机序列，接收端无法预知码元的取值，也无法识别其中有无错码。
所以在发送端需要在信息码元序列中增加一些差错控制码元，它们称为监督码元。
这些监督码元和信息码元之间有确定的关系。
当分组码的信息码元与监督码元之间的关系为线性关系时用线性方程组联系，这种分组码就称为线性分组码。
包括汉明码和循环码。
在信息码元序列中加监督码元就称为差错控制编码，差错控制编码属于信道编码。
信息码元和监督码元之间有一种关系，关系不同，形成的码类型也不同。
可分为两大类：分组码和卷积码。
经过行变换和列变换的矩阵生成的线性空间与原来的矩阵生成的线性空间是等价的，也就是说生成矩阵经过初等变换之后，所生成的码与原来的码是等价的。
由此可以将生成矩阵经过变换之后，形成系统生成矩阵。
线性分组码详解
2018/10/15
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线性分组码的生成矩阵
线性码的封闭性:
线性码的封闭性：线性码任意两个码字之和仍是一个码字。 [证明]：若 U 和 V 为线性码的任意两个码字，故有
HU T=0T，HV T=0T 那么 H(U+V)T=H(U T+V T)=HU T+HV T=0T 即 U+V 满足监督方程，所以 U+V 一定是一个码字。 一个长为 n 的二元序列可以看作是GF(2)(二元域)上的 n
说明此码的第一个监督元等于第一个和第三个信息元 的模2和，依此类推。
H 阵的 r 行代表了 r 个监督方程，也表示由H 所确定
的码字有 r 个监督元。 为了得到确定的码，r 个监督方程（或H 阵的r 行）必 须是线性独立的，这要求H 阵的秩为 r。 若把H 阵化成标准形式，只要检查单位子阵的秩，就 能方便地确定H 阵本身的秩。
2018/10/Байду номын сангаас5
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信息码组 (101)，即C6=1, C5=0, C4=1 由线性方程组得： C3=0, C2=0, C1=1, C0=1 即信息码组 (101) 编出的码字为 (1010011)。 其它7个码字如表。 (7,3)分组码编码表 信息组 对应码字
000 001 010 0000000 0011101 0100111 0111010 1001110 1010011 1101001 1110100
则称集合V是数域F上的n维矢量空间，或称n维线 性空间，n维矢量又称n重(n-tuples)。
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矢量空间中矢量的关系
对于域F上的若干矢量 V1 ,V2 , 线性组合：
线性分组码的编码方法
线性分组码的编码方法0 引言随着通信技术的飞速发展，数字信息的存储和交换日益增加，对于数据传输过程中的可靠性要求也越来越高，数字通信要求传输过程中所造成的数码差错足够低。
引起传输差错的根本原因是信道内的噪声及信道特性的不理想。
要进一步提高通信系统的可靠性，就需采用纠错编码技术。
1线性分组码线性分组码是差错控制编码的一种，它的编码规则是在k 个信息位之后附加r=（n-k ）个监督码元，每个监督码元都是其中某些信息位的模2和，即（n-k ）个附加码元是由信息码元按某种规则设计的线性方程组运算产生，则称为线性分组码（linear block code ）。
目前，绝大多数的数字计算机和数字通信系统中广泛采用二进制形式的码元，因此以下对线性分组码的讨论都是在有限域GF （2）上进行的，域中元素为0、1。
以（7，3）线性分组码为例，（7，3）线性分组码的信息组长度k=3，在每个信息组后加上4个监督码元，每个码元取值“0”或“1”。
设该码字为（C 6,C 5,C 4,C 3,C 2,C 1,C 0）。
其中C 6,C 5,C 4是信息位，C 3,C 2,C 1,C 0是监督位，监督位可以按下面的方程计算：463C C C +=4562C C C C ++=（1）561C C C += 450C C C +=以上四式构成了线性方程组，它确定了由信息位得到监督位的规则，称为监督方程或校验方程。
由于所有的码字都按同一规则确定，因此上式又称为一致监督方程或一致校验方程，这种编码方法称为一致监督编码或称一致校验编码。
由式（1）可以得出，每给出一个3位的信息组，就可以编出一个7位的码字，同理可以求出其它7个信息组所对应的码字。
2 生成矩阵和一致校验矩阵（n ，k ）线性分组码的编码问题，就是如何从n 维线性空间V n 中，找出满足一定要求的，由2k个矢量组成的k 维线性子空间；或者说在满足一定条件下，如何根据已知的k 个信息元求得n-k 个校验元。
格雷码的编码和译码算法
格雷码（Golay Code ）的编码和译码算法格雷码在通信中应用广泛。
例如早在1980年俄罗斯航天仪表码研究所为了提高“星一地”、“地一星”链路数字指控信息的可靠性，研制和实现了格雷码的编码器和译码器，该设备在某型号飞行任务中成功地进行了试验。
试验表明，使用格雷码，通信系统的误码率与未编码通信系统相比减少了1-3个数量级。
格雷码通常是指线性分组（23,12）码，最小距离d min =7,纠错能力 t=3。
由于223-12=2048=1+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛323223123 ，所以格雷码是完备码，其码重分布见下面表1。
表1 格雷码的码重分布格雷码Golay (23，12)是循环码。
对于汉明码、格雷码、二次剩余码、BCH 码和R-S 码等循环码的解码有很多方法，如梅杰特解码（Meggit, 1961）、大数逻辑解码（Reed ，1954）、门限解码（Massey, 1961）、信息组解码（Prange, 1962）。
最经典的方法当属梅杰特解码，它充分利用了循环码的循环特征。
一、 格雷码的编码算法输入：信源消息u （消息分组u ） 输出：码字v 1、处理：信源输出为一系列二进制数字0和1。
在分组码中，这些二进制信息序列分成固定长度的消息分组（message blocks ）。
每个消息分组记为u ，由k 个信息位组成。
因此共有2k 种不同的消息。
编码器按照一定的规则将输入的消息u 转换为二进制n 维向量v ，这里n >k 。
此n 维向量v 就叫做消息u 的码字（codeword ）、码字矢量或码向量（code vector ）。
因此，对应于2k 种不同的消息，也有2k 种码字。
这2k 个码字的集合就叫一个分组码（block code ）。
若一个分组码可用，2k 个码字必须各不相同。
因此，消息u 和码字v 存在一一对应关系。
由于n 符号输出码字只取决于对应的k 比特输入消息，即每个消息是独立编码的，从而编码器是无记忆的，且可用组合逻辑电路来实现。
线性分组码
C mG
G是一个k*n阶矩阵，称为(n,k)码的生成矩阵。
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1 0 G 0
0 0 1 0 0 1
p11 p 21 p k1
p12 p 22 pk 2
p1( n k ) p 2( nk ) I P k pk ( nk )
n 1
u和v之间的距离表示2个码字对应位不同的数目。
如(7,3)码的两个码字：u=0011101
v=0100111
它们之间的距离d=4
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码的最小距离的dmin ：在（n,k）线性码字集合中， 任意两个码字间的距离最小值，是衡量抗干扰能力的 重要参数，dmin越大，抗干扰能力越强。 码字的重量W：码字中非零码元符号的个数；在二元 线性码中，码字的重量是码字中含“1”的个数。 码的最小重量Wmin：线性分组码中，非零码字重量的 最小值，称为码的最小重量，表示为：
限， 性能界限，即码的译码错误概率的上、下 限。 对码距限而言，最重要的限是汉明限，普 洛特金限和吉尔伯特－瓦尔沙莫夫限，汉 明码和普洛特金限告诉我们，在给定码长n 和码的传输速率R=k/n下，最小距离可以达 到的最大值，故它们都是上限，而吉尔伯 特一瓦尔沙莫夫限给出了码的最小距离的 下限。
HC 0
T
T
r=n-k
H
阵是n列，(n-k)行的矩阵；
为了得到确定的码，r个监督方程必须是线性
无关的，即要求H阵的秩为r。
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2. 生成矩阵G
把方程组写成矩阵的形式为
h11 h 21 h r1
h12 h1k h 22 h 2k h r2 h rk
m 信道编码
C
通信原理知识点串讲
通信原理知识点串讲第1章 绪论1.1 通信系统的组成：1. 通信系统的一般模型的框图2. 模拟信号、数字信号的定义，数字通信系统的模型框图及各部分的作用（1）信源编码与译码：作用有两个，一个是将模拟信号转换为数字信号，即通常所说的模数转换；二是设法降低数字信号的数码率，即通常所说的数据压缩。
信源译码是信源编码的逆过程。
（2）信道编码与译码：数字信号在信道上传输时，由于噪声、干扰等影响，将会引起差错。
信道编码的目的就是提高通信系统的抗干扰能力，尽可能地控制差错，实现可靠通信。
译码是编码的逆过程。
（3）加密与解密：为保证所传信息的安全。
将输入的明文信号人为干扰，即加上密码。
这种处理过程称为加密。
在接收端对收到的信号进行解密，恢复明文。
（4）调制与解调：其作用是在发端进行频谱的搬移，在收端进行频谱的反搬移。
1.3 信息及其度量：信息量、熵（1）信息量I 与消息出现的概率P(x)之间的关系为： （2）说明： a=2时，信息量的单位为比特（bit ）； a=e 时，信息量的单位为奈特（nit ）； a=10时，信息量的单位为十进制单位，叫哈特莱。
（3）定义：信源熵H ：统计独立的M 个符号的离散信息源的平均信息量为：11logMi i iH p p ==å1.4 主要性能指标：1. 有效性：信息速率、码元速率、频带利用率有效性：指在给定信道内所传输的信息内容的多少，用码元传输速率或信息传输速率或频带利用率来度量。
（1）码元传输速率（R B ）码元传输速率简称为传码率，又称为码元速率或符号速率。
定义为单位时间（每秒）内传输码元的数目单位为波特，可记为Baud 或B 。
码元可以是多进制的也可以为二进制。
如果一个码元占用的时间宽度为T ，则码元速率为：TR B 1=Baud （码元/秒）（2）信息速率信息传输速率简称传信率，又称信息速率。
定义为单位时间（每秒）内传递的信息量。
信息传输速率R b 与码元速率R B 的关系为：H R R B b =比特/秒M 个码元独立等概时，H=log 2M 比特/符号，此时：M R H R R B B b 2log ==比特/秒（3）频带利用率B R h B=Baud/Hz （码元/秒.赫兹） BR h b=比特/秒.赫兹 2. 可靠性：误信率、误码率 （1）误码率传输总码元数错误码元数=e P（2）误信率传输总比特数错误比特数=b P3. 可靠性：指接收信息的准确程度，用误码率或误信率来衡量。