【赢在高考】届高考数学轮复习配套课件空间向量及其运算
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适用于新教材2024版高考数学一轮总复习：空间向量及其运算课件北师大版
4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判
断向量的共线与垂直.
5.理解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.
强基础 固本增分
抓住空间向量的两个主要元素:大小与方向
1.空间向量的有关概念
名称
概念
零向量
模 (长度)为
单位向量 模 (长度)为
相等向量 方向
相反向量 方向
共线向量
相同
相反
关内容相类比进行学习,将达到事半功倍的效果.
2.空间向量中的有关定理
定理
语言描述
共线向量 空间两个向量a,b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ,使得
基本定理 a=λb
空间向量
基本定理
{a,b,c}叫作空间的一组基
如果向量a,b,c是空间三个不共面的向量,p是空间任意一个向量,
那么存在唯一的三元有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc
12 + 22 + 32 12 +22 +32
垂直问题一般通过向量的数量积运算来解决
常用结论
1.证明空间任意三点共线的方法
对空间三点P,A,B,可通过证明下列结论成立来证明三点共线:
①=λ(λ∈R);
②对空间任意一点 O, = +t (t∈R);
③对空间任意一点 O,=x+y(x+y=1).
第八章
第五节 空间向量及其运算
内
容
索
引
01
强基础 固本增分
02
研考点 精准突破
1.掌握空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置;会
推导空间两点间的距离公式.
2.理解空间向量的概念,理解空间向量的基本定理及其意义,掌
高三高考数学复习课件8-6空间向量及其运算
题型三 空间向量数量积的应用 【例3】 (2018·云南师大附中月考)如图，已知平行六面 体 ABCDA1B1C1D1 中 ， 底 面 ABCD 是 边 长 为 1 的 正 方 形 ， AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
(1)求线段AC1的长； (2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值； (3)求证：AA1⊥BD.
则 cos θ＝|cos〈A→C1，A→1D〉|＝A|→A→CC11·||AA→1→1DD|.
∵A→C1＝a＋b＋c，A→1D＝b－c，
∴A→C1·A→1D＝(a＋b＋c)·(b－c) ＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2，
|A→1D|＝ （b－c）2＝ |b|2－2b·c＋|c|2
(1)A→P； (2)M→P＋N→C1.
【解析】 (1)因为 P 是 C1D1 的中点， 所以A→P＝A→A1＋A→1D1＋D→1P ＝a＋A→D＋21D→1C1 ＝a＋c＋12A→B＝a＋c＋21b. (2)因为 M 是 AA1 的中点， 所以M→P＝M→A＋A→P＝12A→1A＋A→P
＝－21a＋a＋c＋12b ＝21a＋21b＋c. 又N→C1＝N→C＋C→C1＝21B→C＋A→A1 ＝21A→D＋A→A1＝21c＋a， 所以M→P＋N→C1＝12a＋12b＋c＋a＋12c ＝23a＋21b＋23c.
【证明】 (1)连接 BG， 则E→G＝E→B＋B→G ＝E→B＋12(B→C＋B→D) ＝E→B＋B→F＋E→H ＝E→F＋E→H， 由共面向量定理的推论知 E，F，G，H 四点共面．
(2)因为E→H＝A→H－A→E ＝21A→D－21A→B ＝21(A→D－A→B)＝21B→D， 所以 EH∥BD. 又 EH⊂平面 EFGH，BD⊄平面 EFGH， 所以 BD∥平面 EFGH.
2025年高考数学一轮复习 第八章 -第五节 空间向量及其运算【课件】
2.共面向量定理:如果两个向量,不共线,那么向量与向量,共面的充要条件是存在
唯一
= +
______的有序实数对
, ,使____________.
3.空间向量基本定理
如果三个向量,,不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组 , , ,
= + +
相反
（ⅱ）当 < 0时,与的方向______.
②当 = 0或 = 时, =___.
（4）空间向量的线性运算满足如下运算律:对于实数 与 ,向量与,有
① + = + ；②( + ) = + .
四、空间向量的数量积及运算律
1.数量积
非零向量,的数量积 ⋅ = cos⟨,⟩.
边的平行六面体中,与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量.
（3）给定一个实数 与任意一个空间向量,则实数 与空间向量相乘的运算称为数
乘向量,记作.其中:
①当 ≠ 0且 ≠ 时,的模为______,而且的方向如下:
相同
（ⅰ）当 > 0时,与的方向______；
第八章 立体几何与空间向量
第五பைடு நூலகம் 空间向量及其运算
1
1 强基础 知识回归
2
2 研考点 题型突破
1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其
课 坐标表示.
标 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量
解 的数量积判断向量的共线和垂直.
+ + = 1）,为空间中任意一点.
3.若 = + 且点或点不在平面内,则//平面.
唯一
= +
______的有序实数对
, ,使____________.
3.空间向量基本定理
如果三个向量,,不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组 , , ,
= + +
相反
（ⅱ）当 < 0时,与的方向______.
②当 = 0或 = 时, =___.
（4）空间向量的线性运算满足如下运算律:对于实数 与 ,向量与,有
① + = + ；②( + ) = + .
四、空间向量的数量积及运算律
1.数量积
非零向量,的数量积 ⋅ = cos⟨,⟩.
边的平行六面体中,与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量.
（3）给定一个实数 与任意一个空间向量,则实数 与空间向量相乘的运算称为数
乘向量,记作.其中:
①当 ≠ 0且 ≠ 时,的模为______,而且的方向如下:
相同
（ⅰ）当 > 0时,与的方向______；
第八章 立体几何与空间向量
第五பைடு நூலகம் 空间向量及其运算
1
1 强基础 知识回归
2
2 研考点 题型突破
1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其
课 坐标表示.
标 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量
解 的数量积判断向量的共线和垂直.
+ + = 1）,为空间中任意一点.
3.若 = + 且点或点不在平面内,则//平面.
2025年高考数学一轮复习-8.6-空间向量及其运算和空间位置关系【课件】
PAD∩平面ABCD=AD,PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD,又四边形ABCD为正方形,所
以AB,AP,AD两两垂直,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).
n= −2,1,1 ,则(
)
A.l∥α
B.l⊥α
C.l⊂α或l∥α
D.l 与α斜交
【解析】选C.因为a= 1,0,2 ,n= −2,1,1 ,
所以a·n=0,即a⊥n,所以l∥α或l⊂α.
核心考点·分类突破
考点一利用空间向量证明平行问题
角度1 线面平行
[例1]如图,在四面体A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2 2,M是AD的
因为=(0,1,0),=(0,2,0),
所以=2,所以BC∥EF.
又因为EF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,
所以EF∥平面PBC,
同理可证GF∥PC,从而得出GF∥平面PBC.
又因为EF∩GF=F,EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,所以平面EFG∥平面PBC.
解题技法
利用空间向量证明线面、面面平行的方法
中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.证明:PQ∥平面BCD.
【证明】如图,取BD的中点O,以O为原点,OD,OP所在射线分别为y,z轴的正半轴,
建立空间直角坐标系Oxyz.
由题意知,A(0, 2,2),B(0,- 2,0),D(0, 2,0).设点C的坐标为(x0,y0,0),
1
2
,所以k=4.
−2
3.(选择性必修一P32例4·变形式)若直线l的方向向量a=(1,-3,5),平面α的法向量
以AB,AP,AD两两垂直,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).
n= −2,1,1 ,则(
)
A.l∥α
B.l⊥α
C.l⊂α或l∥α
D.l 与α斜交
【解析】选C.因为a= 1,0,2 ,n= −2,1,1 ,
所以a·n=0,即a⊥n,所以l∥α或l⊂α.
核心考点·分类突破
考点一利用空间向量证明平行问题
角度1 线面平行
[例1]如图,在四面体A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2 2,M是AD的
因为=(0,1,0),=(0,2,0),
所以=2,所以BC∥EF.
又因为EF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,
所以EF∥平面PBC,
同理可证GF∥PC,从而得出GF∥平面PBC.
又因为EF∩GF=F,EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,所以平面EFG∥平面PBC.
解题技法
利用空间向量证明线面、面面平行的方法
中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.证明:PQ∥平面BCD.
【证明】如图,取BD的中点O,以O为原点,OD,OP所在射线分别为y,z轴的正半轴,
建立空间直角坐标系Oxyz.
由题意知,A(0, 2,2),B(0,- 2,0),D(0, 2,0).设点C的坐标为(x0,y0,0),
1
2
,所以k=4.
−2
3.(选择性必修一P32例4·变形式)若直线l的方向向量a=(1,-3,5),平面α的法向量
高考理科数学(北师大版)一轮复习课件86空间向量及其运算
(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任
一向量p,存在唯一的有序实数组{x,y,z}使得p=xa+yb+zc.其中
{a,b,c}称为空间的一个基底.
3.两个向量的数量积
(1)a·b=|a||b|cos<a,b>.
(2)a⊥b⇔ a·b=0 (a,b为非零向量).
(3)|a|2= a2 .
3
11
A.
6
11
B.6
1
C.
2
1
D.
3
解析:设 D(x,y,z),则=(x+1,y-1,z-2),=(2,-1,-3),
=(1-x,-y,-1-z),
1
= 3,
+ 1 = 2(1-),
∵ =2,∴ -1 = -2,
-2 = -2-2.
∴D
1 1
, ,0
3 3
1
-λ,-λ,-1-λ
解题心得空间向量的坐标表示主要应用于向量平行、向量垂直、
向量的模、向量的夹角,在研究几何问题中只要建立适当的坐标系,
把空间几何体中涉及的直线和平面用向量表示,就可以使得几何证
明通过代数运算得到解决,这是使用空间向量研究立体几何问题的
基本思想.
-23-
考点1
考点2
考点3
考点4
对点训练3(1)已知向量a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ
1
+ 2 ( − )= + − = + ,由共面向量定理知
E,F,G,H 四点共面.
1
1
1
1
(2)因为 = − = 2 − 2 = 2 ( − )=2 ,
一向量p,存在唯一的有序实数组{x,y,z}使得p=xa+yb+zc.其中
{a,b,c}称为空间的一个基底.
3.两个向量的数量积
(1)a·b=|a||b|cos<a,b>.
(2)a⊥b⇔ a·b=0 (a,b为非零向量).
(3)|a|2= a2 .
3
11
A.
6
11
B.6
1
C.
2
1
D.
3
解析:设 D(x,y,z),则=(x+1,y-1,z-2),=(2,-1,-3),
=(1-x,-y,-1-z),
1
= 3,
+ 1 = 2(1-),
∵ =2,∴ -1 = -2,
-2 = -2-2.
∴D
1 1
, ,0
3 3
1
-λ,-λ,-1-λ
解题心得空间向量的坐标表示主要应用于向量平行、向量垂直、
向量的模、向量的夹角,在研究几何问题中只要建立适当的坐标系,
把空间几何体中涉及的直线和平面用向量表示,就可以使得几何证
明通过代数运算得到解决,这是使用空间向量研究立体几何问题的
基本思想.
-23-
考点1
考点2
考点3
考点4
对点训练3(1)已知向量a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ
1
+ 2 ( − )= + − = + ,由共面向量定理知
E,F,G,H 四点共面.
1
1
1
1
(2)因为 = − = 2 − 2 = 2 ( − )=2 ,
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《空间向量的概念与运算》课件ppt
若 P，A，B，C 为空间四点，且有P→A＝λP→B＋μP→C(P→B，P→C不共线)， 当 λ＋μ＝1 时，即 μ＝1－λ，可得P→A－P→C＝λ(P→B－P→C)，即C→A＝λC→B， 所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共 线的充要条件，所以D正确.
思维升华
应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较
弦值
|a||b|
cos〈a，b〉＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 ___a_21_＋__a_22＋__a_23_·__b_21_＋__b_22＋__b_23__
知识梳理
4.空间位置关系的向量表示 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l 平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的 法向量.
跟踪训练 2 (1)已知空间中 A，B，C，D 四点共面，且其中任意三点均
不共线，设 P 为空间中任意一点，若B→D＝6P→A－4P→B＋λP→C，则 λ 等于
A.2
√B.－2
C.1
D.－1
B→D＝6P→A－4P→B＋λP→C，即P→D－P→B＝6P→A－4P→B＋λP→C， 整理得P→D＝6P→A－3P→B＋λP→C， 由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线， 可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2.
(1)空间中任意两个非零向量a，b共面.( √ ) (2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反.( × ) (3)若A，B，C，D是空间中任意四点，则有A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0.( √ ) (4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.( × )
教材改编题
1.如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，AC 与 BD 的交点为点 M，
2024届高考数学一轮复习+第七章《立体几何与空间向量》第五节+空间向量及其运算+课件
（5）空间向量基本定理定理:如果三个向量 , , 不共面,那么对空间任一向量 ,存在唯一有序实数组 使得 _____________.推论:设 , , , 是不共面的四点,则对平面 内任一点 都存在唯一的有序实数组 ，使 ，且 .
2.数量积及坐标运算
（1）两个向量的数量积 ； _________（ , 为非零向量）; ____.
10
[解析] ， ， ， .
关键能力·突破
考点一 空间向量的线性运算
1. （2022广东深圳重点中学高三联考）如图，空间四边形 中， ， ， ，点 在 上，且满足 ，点 为 的中点，则 ( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由题意得， ，又 ， ， ， .
③ ,正确；④ 与 不是一对相反向量,是相等向量，错误.正确结论的个数为1，故选A.
4. 已知四边形 为正方形， 是正方形 所在平面外一点， 在平面 上的射影恰好是正方形的中心 ， 是 的中点，求下列各题中 ， 的值：
（1） ；
[解析] 如图， ， .
（2） .
迁移应用
2. （2022江苏南通期末）试写出一个点 的坐标：_ _______________________，使之与点 ， 共线.
（答案不唯一）
[解析] 设 ,令 ，则 ，故 ， ,不妨令 ，则 ，故 .
3. （2022山西运城二模）如图，在几何体 中， ， ， 均为边长为2的等边三角形，平面 平面 ，平面 平面 .求证： ， ， ， 四点共面.
5. （2022福建宁德期末）如图，在平行六面体 中， ， ， ，点 是 中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是_ ____.
[解析] ， .又 ， ，从而有 ， ， .
方法感悟用已知向量表示某一向量的三个关键点（1）用已知向量来表示某一向量，一定要结合空间图形，以图形为指导是解题的关键.（2）要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.（3）在空间中，向量的三角形法则、平行四边形法则仍然成立.
高考数学专题复习《空间向量及其运算》PPT课件
(3)a·b= x1x2+y1y2+z1z2
;
(4)|a|= ·=
(5)当 a≠0 且 b≠0
12 + 12 + 12
·
时,cos<a,b>=||||
;
=
1 2 +1 2 +1 2
12 +12 +12 22 +22 +22
.
9.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
第七章
7.5 空间向量及其运算
内
容
索
引
01பைடு நூலகம்
必备知识 预案自诊
02
关键能力 学案突破
【知识梳理】
1.空间向量
(1)定义:空间中既有 大小
又有 方向
(2)向量的模(或长度):向量的 大小
.
的量称为空间向量.
(3)表示方法:
①几何表示法:可以用 有向线段
来直观的表示向量,如始点为A终点
为B的向量,记为 ,向量的模用 | | 表示.
(ⅰ)当λ>0时,与a的方向 相同
;
(ⅱ)当λ<0时,与a的方向 相反
,而且λa的方向:
.
②当λ=0或a=0时,λa= 0 .
(4)空间向量的线性运算满足如下运算律:
对于实数λ与μ,向量a与b,有λa+μa=(λ+μ)a,λ(a+b)=λa+λb.
4.空间向量的数量积
(1)空间向量的夹角
非零
<a,b>
x2=λx1
(1)当 a≠0 时,a∥b⇔b=λa⇔(x2,y2,z2)=λ(x1,y1,z1)⇔ y2=λy1
;
(4)|a|= ·=
(5)当 a≠0 且 b≠0
12 + 12 + 12
·
时,cos<a,b>=||||
;
=
1 2 +1 2 +1 2
12 +12 +12 22 +22 +22
.
9.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
第七章
7.5 空间向量及其运算
内
容
索
引
01பைடு நூலகம்
必备知识 预案自诊
02
关键能力 学案突破
【知识梳理】
1.空间向量
(1)定义:空间中既有 大小
又有 方向
(2)向量的模(或长度):向量的 大小
.
的量称为空间向量.
(3)表示方法:
①几何表示法:可以用 有向线段
来直观的表示向量,如始点为A终点
为B的向量,记为 ,向量的模用 | | 表示.
(ⅰ)当λ>0时,与a的方向 相同
;
(ⅱ)当λ<0时,与a的方向 相反
,而且λa的方向:
.
②当λ=0或a=0时,λa= 0 .
(4)空间向量的线性运算满足如下运算律:
对于实数λ与μ,向量a与b,有λa+μa=(λ+μ)a,λ(a+b)=λa+λb.
4.空间向量的数量积
(1)空间向量的夹角
非零
<a,b>
x2=λx1
(1)当 a≠0 时,a∥b⇔b=λa⇔(x2,y2,z2)=λ(x1,y1,z1)⇔ y2=λy1
高考数学总复习第讲空间向量及其运算优秀课件
三条侧棱 OA，OB，OC 两两垂直，且长度
均为 2. E，F 分别是 AB，AC 的中点，H 是
EF 的中点. 试建立适当的空间坐标系，表示
向量 AH ，BC 的坐标.
O
思路二：以底面ABC中心
G为坐标原点，建立空间
坐标系 ．
A
求解较繁！
C F
H
E
B
求解过程
解（选用思路一）如图以 O 为原点，建立空间直
试用向量a ，b，c 表示向量GH ．
HC
A G B
思路分析
例 1 如图，在空间四边形 OABC 中，G，H 分
别是△ ABC 和△ OBC 的重心，
O
设OA a，OB b，OC c ，
试用向量a ，b，c 表示向量GH ． 思路一（通法）：
HC
由空间向量基本定理，关键找
A
到一组有序数组（x，y，z），
F
C A
E 第3题 B
参考答案
1．证明 EF
1 2
BB1
1 2
BD
2．建立空间直角坐标系，证明向量间垂直，
（2）方法比较：方法一利用共面向量定理证明，侧 重于空间向量的计算，使几何问题数量化，方 法二与方法四需添加辅助线，侧重于推理．这 三种方法，各具特色，运用时因人、因题而 异. 思路三将平几类比到立几时没有注意两者的 差异，导致错误.
廓清疑点：两向量夹角的 确定
基础知识
1. 两向量的夹角 a ，b是空间两个非零向量，过空间任意一点 O，作 OA a，OB b，则∠AOB 叫做向量a 与向量b的夹角， 记作＜a ，b＞，并且规定 0≤＜a ，b＞≤ π . 2. 向量的数量积 设a ，b是空间两个非零向量，将数量 |a ||b|cos＜a ，b＞叫做向量a ，b的数量积，记作a b， 即a b＝|a ||b|cos＜a ，b＞.
2023版高考数学一轮总复习：空间向量及其应用课件理
(5)a⊥b⇔a·b=0⇔ a1b1+a2b2+a3b3=0 ;
(6)|a|= · =
(7)cos<a,b>=
12 + 22 + 23 ;
·
||||
=
+ +
+ + · + +
.
考点1
空间向量及其运算
4. 空间两点间的距离及中点坐标
l∥α
n·m=0
n⊥m⇔_______
平面α的法向量为m.
l⊥α
n∥m⇔n=λm(λ∈R)
平面α,β的法向量分
α∥β
n∥m⇔n=λm(λ∈R)
别为n,m.
α⊥β
n⊥m⇔_________
n·m=0
考点2
空间向量的应用
3. 直线与平面所成的角
(1)
直角
射影
(2)线面角θ的取值范围:
π
[0, ]
2
.
(3)最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和
( C )
A.直线的方向向量是唯一确定的
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B.若直线a的方向向量和平面α的法向量平行,则a∥α
C.若两平面的法向量平行,则两平面平行
考点1
空间向量及其运算
3. 空间向量的坐标运算
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
(1)a±b=(a1±b1,a2±b2,a3±b3);
(2)λa=(λa1,λa2,λa3)(λ∈R);
(3)a·b= a1b1+a2b2+a3b3 ;
(4)a∥b⇔a=λb(b≠0)⇔ a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R) ;
(6)|a|= · =
(7)cos<a,b>=
12 + 22 + 23 ;
·
||||
=
+ +
+ + · + +
.
考点1
空间向量及其运算
4. 空间两点间的距离及中点坐标
l∥α
n·m=0
n⊥m⇔_______
平面α的法向量为m.
l⊥α
n∥m⇔n=λm(λ∈R)
平面α,β的法向量分
α∥β
n∥m⇔n=λm(λ∈R)
别为n,m.
α⊥β
n⊥m⇔_________
n·m=0
考点2
空间向量的应用
3. 直线与平面所成的角
(1)
直角
射影
(2)线面角θ的取值范围:
π
[0, ]
2
.
(3)最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和
( C )
A.直线的方向向量是唯一确定的
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B.若直线a的方向向量和平面α的法向量平行,则a∥α
C.若两平面的法向量平行,则两平面平行
考点1
空间向量及其运算
3. 空间向量的坐标运算
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
(1)a±b=(a1±b1,a2±b2,a3±b3);
(2)λa=(λa1,λa2,λa3)(λ∈R);
(3)a·b= a1b1+a2b2+a3b3 ;
(4)a∥b⇔a=λb(b≠0)⇔ a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R) ;
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第 6 讲 空间向量及其运算
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考 纲 展 示
1.空间直角坐标系 ( 1) 了解空间直角坐标系, 会用空间直角 坐标表示点的位置. ( 2) 会简单应用空间两点间的距离公式. 2.空间向量及其运算 ( 1) 了解空间向量的概念, 了解空间向量 的基本定理及其意义, 掌握空间向量的 正交分解及其坐标表示. ( 2) 掌握空间向量的线性运算及其坐标 表示. ( 3) 掌握空间向量的数量积及其坐标表 示, 能用向量的数量积判断向量的共线 和垂直.
������1 ������1 +������2 ������2 +������3 ������3
2 2 2
2 2 ������2 1 +������2 +������3 · ������1 +������2 +������3
.
若 A( a1, b1, c1) , B( a 2, b2, c2) , 则 dAB=|������������|= (������2 -������1 )2 + (������2 -������1 )2 + (������2 -������1 )2 .
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对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共 线向量定理进行学习理解.空间向量基本定理是适当选取基底的依 据, 共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、 线线平行、 四点 共面、 线面平行的工具, 三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算 方法完成几何证明问题的完美“嫁接”.
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3.空间向量的数量积及运算律 ( 1) 数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量 a, b, 在空间任取一点 O, 作������������=a, ������������=b, 则∠ AOB 叫做向量 a, b 的夹角, 记作<a, b>, 其范围是 0≤<a, b>≤π, 若 <a, b>=2, 则称向量 a 与 b 互相垂直, 记作 a⊥b. ②两向量的数量积 已知两个非零向量 a, b, 则|a||b|cos<a, b>叫做 a, b 的数量积, 记作 a· b, 即 a· b=|a||b|cos<a, b>. 零向量与任何向量的数量积为 0.特别 地, a· a=|a||a|· cos<a, a>=|a|2.
π
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( 2) 空间向量数量积的运算律 ①结合律: ( λa) · b=λ( a· b) ; ②交换律: a· b=b· a; ③分配律: a· ( b+c) =a· b+a· c.
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4.空间向量的坐标表示及应用 ( 1) 空间向量的加法、减法、数乘及数量积的坐标运算 若 a=( a1, a2, a3) , b=( b1, b2, b3) , 则 a+b=( a1+b1, a2+b2, a3+b3) , a-b=( a1-b1, a2-b2, a3-b3) , λa=( λa1, λa2, λa3) , a· b=a1b1+a2b2+a3b3. ( 2) 共线与垂直的坐标表示 设 a=( a1, a2, a3) , b=( b1, b2, b3) , 则 a∥b⇔a=λb⇔a1=λb1, a2=λb2, a3=λb3( λ∈R) . a⊥b⇔a· b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0( a, b 均为非零向量) .
考 纲 解 读
高考中以选择题、填空题 为主, 重在考查空间两点间 距离公式的应用, 向量的概 念、数量积及其运算性质, 运用空间向量的线性运算 及数量积考查点共线、点 共面、线共面问题.
目录Leabharlann 退出目录退出1.空间向量的有关概念 ( 1) 在空间中, 具有大小和方向的量叫做空间向量. ( 2) 我们规定, 长度为 0 的向量叫做零向量, 模为 1 的向量称为单 位向量, 与向量 a 长度相等而方向相反的向量, 称为 a 的相反向量. ( 3) 方向相同且模相等的向量称为相等向量. ( 4) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合, 则这些向量叫做共线向量或平行向量. ( 5) 平行于同一个平面的向量, 叫做共面向量.
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( 2) 共面向量定理 如果两个向量 a, b 不共线, 那么向量 p 与向量 a, b 共面的充要条 件是存在惟一的有序实数对( x, y) , 使 p=xa+yb. 推论: 空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数 对( x, y) , 使������������=x������������+y������������; 或对空间任意一点 O, 有 ������������ = ������������+x������������+y������������. ( 3) 空间向量基本定理 如果三个向量 a, b, c 不共面, 那么对空间任一向量 p, 存在有序实 数组( x, y, z) , 使得 p=xa+yb+zc, 我们把{a, b, c}叫做空间的一个基 底, a, b, c 都叫做基向量.
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2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 ( 1) 共线向量定理 对空间任意两个向量 a, b( b≠0) , a∥b 的充要条件是存在实数 λ, 使得 a=λb.
推论: 如图所示, 点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t, 使 ������������ = ������������+ta.① 其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量, 在 l 上取������������=a, 则①式可化为������������ = ������������+t������������, 或 ������������=( 1-t) ������������+t������������.
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( 3) 模、夹角和距离公式 设 a=( a1, a2, a3) , b=( b1, b2, b3) , 2 2 2 则|a|= ������·������ = ������1 + ������2 + ������3 , cos<a, b>=|������||������| =
������·������
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考 纲 展 示
1.空间直角坐标系 ( 1) 了解空间直角坐标系, 会用空间直角 坐标表示点的位置. ( 2) 会简单应用空间两点间的距离公式. 2.空间向量及其运算 ( 1) 了解空间向量的概念, 了解空间向量 的基本定理及其意义, 掌握空间向量的 正交分解及其坐标表示. ( 2) 掌握空间向量的线性运算及其坐标 表示. ( 3) 掌握空间向量的数量积及其坐标表 示, 能用向量的数量积判断向量的共线 和垂直.
������1 ������1 +������2 ������2 +������3 ������3
2 2 2
2 2 ������2 1 +������2 +������3 · ������1 +������2 +������3
.
若 A( a1, b1, c1) , B( a 2, b2, c2) , 则 dAB=|������������|= (������2 -������1 )2 + (������2 -������1 )2 + (������2 -������1 )2 .
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对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共 线向量定理进行学习理解.空间向量基本定理是适当选取基底的依 据, 共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、 线线平行、 四点 共面、 线面平行的工具, 三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算 方法完成几何证明问题的完美“嫁接”.
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3.空间向量的数量积及运算律 ( 1) 数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量 a, b, 在空间任取一点 O, 作������������=a, ������������=b, 则∠ AOB 叫做向量 a, b 的夹角, 记作<a, b>, 其范围是 0≤<a, b>≤π, 若 <a, b>=2, 则称向量 a 与 b 互相垂直, 记作 a⊥b. ②两向量的数量积 已知两个非零向量 a, b, 则|a||b|cos<a, b>叫做 a, b 的数量积, 记作 a· b, 即 a· b=|a||b|cos<a, b>. 零向量与任何向量的数量积为 0.特别 地, a· a=|a||a|· cos<a, a>=|a|2.
π
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( 2) 空间向量数量积的运算律 ①结合律: ( λa) · b=λ( a· b) ; ②交换律: a· b=b· a; ③分配律: a· ( b+c) =a· b+a· c.
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4.空间向量的坐标表示及应用 ( 1) 空间向量的加法、减法、数乘及数量积的坐标运算 若 a=( a1, a2, a3) , b=( b1, b2, b3) , 则 a+b=( a1+b1, a2+b2, a3+b3) , a-b=( a1-b1, a2-b2, a3-b3) , λa=( λa1, λa2, λa3) , a· b=a1b1+a2b2+a3b3. ( 2) 共线与垂直的坐标表示 设 a=( a1, a2, a3) , b=( b1, b2, b3) , 则 a∥b⇔a=λb⇔a1=λb1, a2=λb2, a3=λb3( λ∈R) . a⊥b⇔a· b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0( a, b 均为非零向量) .
考 纲 解 读
高考中以选择题、填空题 为主, 重在考查空间两点间 距离公式的应用, 向量的概 念、数量积及其运算性质, 运用空间向量的线性运算 及数量积考查点共线、点 共面、线共面问题.
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( 2) 共面向量定理 如果两个向量 a, b 不共线, 那么向量 p 与向量 a, b 共面的充要条 件是存在惟一的有序实数对( x, y) , 使 p=xa+yb. 推论: 空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数 对( x, y) , 使������������=x������������+y������������; 或对空间任意一点 O, 有 ������������ = ������������+x������������+y������������. ( 3) 空间向量基本定理 如果三个向量 a, b, c 不共面, 那么对空间任一向量 p, 存在有序实 数组( x, y, z) , 使得 p=xa+yb+zc, 我们把{a, b, c}叫做空间的一个基 底, a, b, c 都叫做基向量.
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2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 ( 1) 共线向量定理 对空间任意两个向量 a, b( b≠0) , a∥b 的充要条件是存在实数 λ, 使得 a=λb.
推论: 如图所示, 点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t, 使 ������������ = ������������+ta.① 其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量, 在 l 上取������������=a, 则①式可化为������������ = ������������+t������������, 或 ������������=( 1-t) ������������+t������������.
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( 3) 模、夹角和距离公式 设 a=( a1, a2, a3) , b=( b1, b2, b3) , 2 2 2 则|a|= ������·������ = ������1 + ������2 + ������3 , cos<a, b>=|������||������| =
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